Híng dÉn chÊm nµy chØ tr×nh bµy s¬ lîc mét c¸ch gi¶i.[r]
(1)sở giáo dục đào tạo
quảng ninh kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnhlớp năm học 2006-2007 đề thi thc
môn : Toán Số báo danh:
(bảng A)
Thời gian làm : 150 phút Chữ ký giám thị 1:
(khụng k thời gian giao đề)
Ngµy thi : 27/3/2007. Bµi 1.
Rót gän biĨu thøc A = 1330 2 94
Bµi 2.
Chøng minh r»ng víi x > 0, x 1, biĨu thøc sau kh«ng phơ thuéc vµo biÕn:
1
1
1
x
x x x x x x
x x x x
x x x
Bài 3.
Giải phơng trình: (2x + 1)2(x + 1)x = 105
Bµi 4.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đờng thẳng (d1) : y = 3x – m –
(d2) : y = 2x + m - Chứng minh m thay đổi, giao điểm (d1) (d2)
luôn nằm đờng thẳng cố định
Bµi 5.
Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D khác A B Trên tia đối tia CA lấy điểm E khác C Cạnh BC cắt DE I Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEI điểm thứ hai K Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp ADE qua điểm K
Bµi 6.
Cho tam giác ABC có góc nhọn, H trực tâm tam giác Dựng đờng tròn tâm O đờng kính BC, qua A kẻ tiếp tuyến AP, AQ với đờng tròn (P, Q tiếp điểm) Chứng minh: P, H, Q thẳng hàng
Bµi 7.
Cho a, b≥0 tho¶ m·n : a b 1 Chøng minh r»ng: ab(a + b)2 ≤
64
DÊu b»ng x¶y nµo ?
- HÕt
-híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giái cÊp tØnh m«n toán lớp - bảng a năm học 2006-2007.
Bài Sơ lợc lời giải Cho
(2)Bµi 1
3 điểm Rút gọn đợc: => 94 2=2 2+1 ; 2 94 = 2+1
2 30
13 = 4330 = +
1,5 ® 1,5 đ
Bài 2
3 im Vi x > 0, x 1, rút gọn đợc: x x x x x x x
x 1
= .(2 1) x x vµ x x x x x x
= x.(x 1)
Suy :
1 1 x x x x x x x x x x x x x x
= - (®pcm !)
1,5 đ 1,0 đ 0,5 đ
Bài 3
3 điểm Biến đổi ph/tr (1): (2x + 1)
2(x + 1)x = 105 thµnh (4x2+4x+1)(x2+x) = 105
Đặt x2+x = t, từ (1) => (4t+1)t = 105 <=> 4t2 + t – 105 = (2)
Giải (2) đợc t = t = -21/4
Với t = 5, tìm đợc x1,2 = (-1 21)/2; Với t = -21/4, vơ nghiệm Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm x1,2 = (-1 21)/2
0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 0,5 ® Bµi 4
3 điểm Tìm đợc (dSuy quan hệ : y1) cắt (dm2 = 5x) M(2m ; 5m-1) với m m/2 – với m
Do m thay đổi, giao điểm M (d1) (d2) nằm đờng
thẳng cố định (d) : y = (5/2)x -
1,0 đ 1,0 đ 1,0 đ
Bài 5
3 điểm Trớc hết ch/m đợc Chứng minh đợc: DKE = BKI +BDI =DKI + BKC +IKE = BAC => BKID nội tiếp.DBC + BCA => DKE+DAC = DBC+BCA+DAC = 1800=> ADKE nội tiếp
Suy đờng tròn (ADE) qua K (đpcm !)
1,0 ® 0,5 ® 1,25 đ 0,25 đ
Bài 6
3 im Gọi I = AOxPQ; D = ACx(O) Do AP, AQ tiếp tuyến nên PQChứng minh đợc AI.AO = AQ2 = AD.AC = AH.AK AO
=> tứ giác HIOK nội tiếp Suy IH AO Từ suy P, H, Q thẳng hàng (đpcm !)
0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 0,5 ®
Bµi 7
2 điểm Do giả thiết a, b 0; a b 1 nªn: ab(a + b)2 ≤641 64.ab(a + b)2 ≤
1
64ab(a + b)2 ≤ ( a b)8
64ab(a + b)2≤ (a+b+2 ab)4
áp dụng BĐT Côsi, đợc: (a+b+2 ab) (ab).2 ab
=> (a+b+2 ab)4 (2 (ab).2 ab )4 = 64.ab(a+b)2 (®pcm !)
DÊu = cã a+b = ab a = b = 1/4
1,0 ® 0,75 ® 0,25 ®
C¸c chó ý chÊm:
1 Hớng dẫn chấm trình bày sơ lợc cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác đợc điểm tối đa
2 Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết nhng không đợc vợt số điểm dành cho câu phần
3 Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhng phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, khơng làm trịn
(3)