VEC TO

VÏ ra phÝa ngoµi cña tam gi¸c c¸c h×nh b×nh hµnh ABIF, BCPQ, CARS.. M lµ trung ®iÓm cña BC..[r]

H×nh häc 10



VÐc tơ

I Véc tơ:

1 Định nghĩa:

Véctơ đoạn thẳng có:

+ Mt u đợc xác định gốc, đầu + Hớng từ gốc đến gọi hớng véctơ

+ Độ dài đoạn thẳng gọi độ dài véctơ (Mơ đun)

Véctơ có gốc A, B đợc kí hiệu AB; độ dài AB kí hiệu AB

Mét vÐc t¬ có kí hiệu chữ in thờng phÝa trªn cã mịi tªn nh: a; b; c;

2 Véctơ không:

Véctơ không: 0 véctơ có:

+ Điểm gốc điểm trùng + Độ dài

+ Hớng

3 Hai véctơ ph ơng:

Hai véctơ AB;CD gọi phơng: kí hiệu

hàng

thẳng

D

C,

B,

A,

CD

//

AB

CD

//

AB

4 Hai vÐct¬ cïng h ớng:

Hai véctơ AB;CD gọi hớng: kÝ hiƯu











h íng

cïng

CD

AB,

tia

hai

CD

//

AB

CD

AB

5 Hai véctơ ng ợc h ớng:

Hai véctơ AB;CD gọi ngợcchớng: kí hiệu











h íng

ng ỵc

CD

AB,

tia

hai

CD

//

AB

CD

AB

6 Hai vÐct¬ b»ng nhau: Hai vÐct¬ AB;CD b»ng nhau: kÝ hiÖu















CD

AB

CD

AB

CD

AB

7 Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ AB;CD đối nhau: kí hiệu















CD

AB

CD

AB

CD

AB

8 Gãc cña hai véctơ:

Góc hai véctơ AB;CD góc tạo hai tia Ox; Oy lần lợt híng víi hai tia AB; CD

+ Khi AB;CD không hớng 0o xOy180o + Khi AB;CD hớng xOy0o

II Các phép toán véctơ:

1 PhÐp céng vÐct¬:

Định nghĩa: Tổng hai véctơ a;b véctơ đợc xác định nh sau:

+ Từ điểm O tùy ý mặt phẳng dựng véctơ OAa

+ Từ điểm A dựng vÐct¬ ABb

+ Khi véctơ OB gọi véctơ tổng hợp hai véctơ a;b: OBab Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm):

Víi ®iĨm A, B, C bất kì, ta luôn có: ABBCAC

(HƯ thøc Chasles cã thĨ më réng cho n ®iĨm liªn tiÕp)

Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành): ABADAC (với ABCD hình bình hnh)

Qui tắc trung điểm: Với ®iĨm M t ý vµ I lµ trung ®iĨm cđa AB ta lu«n cã:



MA MB



2

1 MI 

TÝnh chÊt:

- Giao ho¸n: abba - Kết hợp:

ab

ca

bc

- Cộng với không: a0a

- Cộng với véctơ đối: a(a)0

2 PhÐp trõ vÐct¬: a ba(b)

Víi a bc abc

Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B ta có: ABOB OA

3 Phép nhân véctơ với số thực: a Định nghĩa: k.a véctơ:

- Với a0;k0thì véctơ k.a phơng với a sẽ:

+ Cựng hng vi a k>0 + Ngợc hớng với a k<0 + Có độ dài k.a k.a - 0.ak.00

b TÝnh chÊt:

+) 1.aa;( 1).a a +)m.(n.a)(mn)a +) (mn)amana

+) m(ab)mamb +) a;b cïng ph¬ng  akb (a0) 4 TØ sè cđa hai vÐct¬ cïng ph ¬ng:

       

 



 

 



b a k

b a nÕu 0 k

b a nÕu 0 k k b a

b // a

phân loại tập Véc tơ phép toán

Dng Chng minh cỏc ng thc vộct

*Ph

ơng pháp:

+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm

+ Vn dng cỏc cỏc chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP ng ợc lại; biến đổi hai vế thành đẳng thức; biến đổi đẳng thức đ cho thành ng thc luụn ỳng.ó

*Bài tập minh hoạ:

Bài 1. Cho điểm A, B, C, D chứng minh r»ng:

a.ABCDADCB b AB CDAC BD

c ABDCBDCA0 d ABCDBCDA0

Bµi 2. Cho tam giác A, B, C G trọng tâm tam giác M điểm tuỳ ý mặt phẳng CM: a GBGBGC0 b MBMBMC3MG

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm I AOa;BO b

a Chøng minh r»ng: ABAD2AI

b TÝnh AC;BD;AB;BC;CD;DA theo a;b

Bài 4. Cho điểm A, B, C, D, E, F Chøng minh r»ng: ADBECFAEBFCD

Bài 5. Cho tam giác ABC I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác CM: a.IAb.IBc.IC0

Bµi 6. Cho hai tam giác ABC A'B'C' Gọi G trọng tâm cđa G vµ G' Chøng minh r»ng:

' GG 3 ' CC ' BB '

AA  

Bài 7. Cho điểm A, B, C, D; M, N lần lợt trung điểm AB, CD Chøng minh r»ng:

MN 4 BC AC BD

AD   

Bài 8. Gọi O; H; G lần lợt tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) HAHBHC2HO b) HG2GO

Bài 9. Cho tam giác ABC tâm O M điểm tuỳ ý bên tam giác; D, E, F lần lợt hình chiếu

BC, CA, AB Chøng minh r»ng: MO

2 3 MF ME

MD

Bài 10. Cho tam giác ABC Vẽ phía tam giác hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng mình:

0 PS IQ

RF  

Bµi 11. Cho điểm A, B, C, D; I, F lần lợt trung ®iĨm cđa BC, CD CM: 2



ABAIFADA



3DB

Bài 12. Cho tam giác ABC với G trọng tâm; H điểm đối xứng với B qua G CM:

a AB

3 1 AC 3 2

AH  ;



AB AC



3

1

CH 

b M trung điểm BC CM: AB

6 5 AC 6 1 MH 

Dạng Xác định điểm thoả mãn mt ng thc vộct

*Ph

ơng pháp chung:

+ Biến đổi đẳng thức đ cho dạng: ã OMa O a đ biết.ã

+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng véctơ véctơ a Khi ú ngn ca vộct ny

chính điểm M

*Bài tập áp dụng:

Bi 1. Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết: 2MA 3MB0

Bài 2. Cho hai điểm A, B véc tơ v Xác định điểm M biết: MAMBv

Bài 3. Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC=2NA a Xác định điểm K cho: 3AB2AC 12AK 0

b Xác định điểm D cho: 3AB4AC 12KD0

Bài 4. Cho tam giác ABC

a Xác định điểm I cho: IA2IB0 b Xác định điểm K cho: KA2KBCB c Xác định điểm M cho: MAMB2MC0

Bài 5. Cho điểm A, B, C, D, E Xác định điểm O, I, K cho:

0 ) KE KD ( 3 KC KB KA . c

0 ID IC IB IA . b

0 OC 3 OB 2 OA . a

 

  

   

 



Bài 6. Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M cho: MAMB2MC0

Bài 7. Cho tam giác ABC Xác định điểm M, N cho: a MA2MB0 b.NA2NBCB

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả m n: ã 3AMABACAD

Bài 9. Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả m n: ã OAOBOCOD0

Bài 10. Cho tam giác ABC cố định Chứng minh aMA4MB 5MC khơng phụ thuộc vị trí ca im M

Bài 11. Cho tứ giác ABCD Chứng minh có điểm M thoả m n hƯ thøc: · 2MA3MB 5MCMD0

D¹ng Chứng minh ba điểm thẳng hàng

*Ph

ơng pháp chung:

Mun chng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: ABkAC(kR) Để chứng minh đợc

điều ta áp dụng hai phơng pháp: + Cách 1: áp dụng quy tắc biến đổi véctơ

+ Cách 2: Xác định hai véctơ thông qua tổ hp trung gian

*Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC; D E hai điểm cho: BDDEEC

a Chøng minh: ABACADAE

b TÝnh vÐct¬: ASABADACAE theo AI

c Suy ba ®iĨm A, I, S thẳng hàng

Bài 2. Cho tam giác ABC Đặt ABu; ACv

a Gi P l im đối xứng với B qua C Tính AP theo u; v?

b Qọi Q R hai điểm định bởi: AB

3 1 AR ; AC 2 1

AQ  TÝnh RP;RQ theo u; v

c Suy P, Q, R thẳng hàng

Bài 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy ®iÓm I, J cho: 2IA3IC0, 2JA5JB3JC0

a CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N trung ®iĨm cđa AB vµ BC b CMR: J lµ trung điểm BI

Bài 4. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J thoả m n: · IA 2IB; 3JA2JC0

Chøng minh IJ ®i qua trọng tâm G tam giác ABC

Bài 5. Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P tho¶ m n:· MAMB0; 3AN 2AC0; PB2PC

Chøng minh M, N, P thẳng hàng

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm I, J thoả m n:· 3JA2JC 2JD0; JA 2JB2JC0

Chøng minh I, J, O thẳng hàng với O giao điểm AC vµ BD

Bài 7. Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC CMR: O, G, H thẳng hàng

Bµi 8. Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P cho: MB 3MC0, AN3NC, PAPB0

Chøng minh r»ng M, N, P thẳng hàng

Dạng Chứng minh hai điểm trùng nhau

*Ph

ơng pháp chung:

Để chứng minh M M' trùng nhau, ta lùa chän mét hai híng: C¸ch 1: Chøng minh MM' 0

C¸ch 2: Chøng minh OM OM' với O điểm tuỳ ý

*Bài tập áp dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC Lấy ®iÓm A1BC;B1AC;C1AB cho: AA1BB1CC1 Chøng minh

r»ng hai tam giác ABC A1B1C1 có trọng tâm

Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm

Dạng Quỹ tích điểm

*Ph

ơng pháp chung:

i với tốn quỹ tích, học sinh cần nhớ số quỹ tích sau: - Nếu MA MB với A, B cho trớc M thuộc đờng trung trực đoạn AB

- Nếu MC k.AB với A, B, C cho trớc M thuộc đờng trịn tâm C, bán kính k.AB

- NÕu MAkBC th×

+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC kR

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC hớng BC 

R k

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC ngợc hớng BC kR

*Bài tập ỏp dng:

Bài 1. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả m n:Ã

a MB MC 2

3 MC MB

MA   

b MA3MB 2MC 2MA MB MC

Bài 2. Cho tam giác ABC M điểm tuỳ ý mặt phẳng a CMR: véctơ v3MA 5MB2MC khụng i

b Tìm tập hợp ®iĨm M tho¶ m n: · 3MA2MB 2MC MB MC

trục toạ độ hệ trục toạ độ



Phần Trục toạ độ

Bài 1. Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt 2 a/ Tìm tọa độ 

AB

b/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB c/ Tìm tọa độ điểm M cho 

MA + 5MB = 0 d/ Tìm tọa độ điểm N cho 2NA + 3NB = 1

Bài 2. Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ lần lợt a, b, c a/ Tìm tọa độ trung điểm I AB

b/ Tìm tọa độ điểm M cho 

MA + MB  MC = 0

c/ Tìm tọa độ điểm N cho 

NA  3NB = NC

Bài 3. Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt 3 a/ Tìm tọa độ điểm M cho 3MA  2MB =

c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + 3NB = AB

Bài 4. Trên trục x'Ox cho ®iÓm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a/ CMR :

AC

+ AD

1 =

AB

b/ Gäi I lµ trung ®iĨm AB CMR:

IA ID

IC

c/ Gọi J trung điểm CD CMR: AC.ADAB.AJ

phần Hệ toạ độ đề vng góc



I Toạ độ véc tơ - Toạ độ điểm:

Bµi 1. BiĨu diƠn vÐc t¬ uxiyj biÕt a) u(2;5) b) u( 4;0)

Bài 2. Xác định toạ độ véc tơ u biết: a) u5i 2j b) u3i c)u7j

Bài 3. Xác định toạ độ độ dài véc tơ c biết

a) ca3b; a(2; 1); b(3;4) b) c3a 5b; a( 2;3); b(3; 6) Bµi 4. Cho ba ®iĨm A(-1;1); B(1;3)

a) Xác định toạ độ véc tơ: AB;BA b) Tìm toạ độ điểm M cho BM(3;0)

c) Tìm toạ độ điểm N cho NA(1;1)

II BiĨu diƠn VÐc tơ:

Bài 1. Biểu diễn véc tơ c theo véc tơ a;b biết:

a) a(2; 1);b( 3;4);c( 4;7) b) a(1;1);b(2; 3);c( 1;3)

Bµi 2. Cho ®iĨm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) H y biểu diễn véc tơ Ã AD theo véc tơ AB;AC

Bài 3. Biểu diễn véc tơ c theo véc tơ a;b biết:

a) a( 4;3);b( 2; 1);c(0;5) b) a(4;2);b(5;3);c(2;0)

Bµi 4. Cho ®iĨm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) H y biĨu diƠn véc tơ Ã AD theo véc tơ AB;AC

III Xác định điểm thoả mãn đẳng thức véc tơ, độ dài:

Bài 1. Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3) a Xác định toạ độ điểm E cho AE2BC

b Xác định toạ độ im F cho AF=CF=5

c Tìm tập hợp ®iÓm M biÕt: 2(MAMB) 3MC MB MC

Bài 2. Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ:

a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I đờng trịn ngoại tiếp tam giác

d) §iĨm D cho ABCD hình bình hành

Bài 3. Cho M(1+2t; 1+3t) H y tìm điểm M cho · 2 M 2 M y

x  nhá

Bài 4. Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;

2 3 )

a CM: ABC vng b Tìm toạ độ tâm đờng trịn ngoại tiếp ABC c Tìm tập hợp điểm M thoả m n: ã 2MA2MB 3MC MA MC

Bài 5. Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ độ của:

a Träng t©m G cđa tam giác b Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC

e Điểm M biết: CM2AB 3AC f Điểm N biết: AN2BN 4CN0 Bài 6. Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3) Tìm toạ độ của:

a Trọng tâm G b Tâm đờng tròn ngoại tiếp c Điểm M biết 2AM 3CMAB Bài 7. Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D cho ABCD hỡnh bỡnh hnh

Bài 8. Cho điểm A(3;1)

a Tìm toạ độ điểm B, C cho OABC hình vng điểm B nằm góc phần t thứ b Viết phơng trình hai đờng chéo hình vng OABC

Bµi 9. Cho M(1-2t; 1-3t) H y tìm điểm M cho à 2 M 2 M y

x  nhá nhÊt

IV Véc tơ ph

ơng - Ba điểm thẳng hµng:

Bµi 1. Cho A(0;4); B(3;2)

a Chøng minh A,B,C biÕt C(-6-3t;8+2t) b A, B, D kh«ng thẳng hàng biết D(3;0) Tính chu vi ABD

Bi 2. Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ:

a §iĨm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b §iĨm N trªn trơc tung cho A, B, N thẳng hàng

c Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng PA 2 5 Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)

a Tính diện tích tam giác ABC B Tìm tất ®iĨm M trªn trơc Ox cho gãc AMB nhá

Bài 4. Tìm điểm P trục hoành cho tổng khoảng cách từ P tới A B lµ nhá nhÊt, biÕt: a) A(1;1) vµ B(2;-4) b) A(1;2) vµ B(3;4)

Bài 5. Cho M(4;1) hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A B cho: a Diện tích OAB lớn b OA+OB nhỏ c 2 2

OB 1 OA

1

 nhá nhÊt

Bài 6. Cho A(-1;-4); B(3;4) Tỡm to :

a Điểm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b Điểm N trục tung cho A, B, N thẳng hàng

c Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng PA 3 5 Bài 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)

a TÝnh diÖn tÝch tam giác ABC B Tìm tất điểm M trªn trơc Ox cho gãc AMB nhá nhÊt

Bài 8. Tìm điểm P trục hoành cho tổng khoảng cách từ P tới A B nhá nhÊt, biÕt: a) A(1;2) vµ B(3;4) b) A(1;1) B(2;-5)

Bài 9. Tìm điểm P trục tung cho tổng khoảng cách từ P tới A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt: a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-3)

Bài 10. Tìm điểm P đờng thẳng (d): x+y=0 cho tổng khoảng cách từ P tới A B nhỏ nhất, biết: a) A(1;1) B(-2;-4) b) A(1;1) B(3;-2)

Bài 11. Cho M(1;4) hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A B cho: a Diện tích OAB lớn b OA+OB nhỏ c 2 2

OB 1 OA

1

 nhá nhÊt

Bài 12. Cho M(1;2) hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A B cho: a Diện tích OAB lớn b OA+OB nhỏ c 2 2

OB 1 OA

1

 nhá nhÊt

Bµi tËp tù lun:

Bài 1. Viết tọa độ vectơ sau: a =i  3j , b =

i



+j ; c = i +

2

j



; d = 3i ; e = 4j

Bµi 2. ViÕt díi d¹ng u = xi + yj , biÕt r»ng: u



= (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)

Bài 3. Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0) Tìm tọa độ độ dài vectơ:

a/ u = 3a  2b b/ v = 2a + b c/ w = 4a 

2

b



Bài 4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2) a/ Tìm tọa độ vectơ 

AB, AC , BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I AB

c/ Tìm tọa độ điểm M cho: 

CM = 2AB  3AC

d/ Tìm tọa độ điểm N cho: 

AN + 2BN  4CN = 0

Bµi 5. Trong mp Oxy cho ABC cã A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a/ CMR : ABC c©n TÝnh chu vi ABC

b/ Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC

Bµi 6. Trong mp Oxy cho ABC cã A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1)

a/ CMR : ABC vng Tính diện tích ABC b/ Gọi D (3; 1) CMR : điểm B, C, D thẳng hàng c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành

Bµi 7. Trong mp Oxy cho ABC cã A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4)

a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c/ Tìm tọa độ tâm I đờng tròn ngoại tiếp ABC tính bán kính đờng trịn

Bµi 8. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) H y tìm trục hoành điểm M cho à ABM vuông M

Bài 9. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ H y tìm trục hoành điểm C cho à ABC cân C

b/ Tớnh din tớch ABC c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành

Bµi 10. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c/ CMR : ABC vng cân d/ Tính diện tích ABC

Chúc em ôn tập tốt!

(Túm li phải chăm nhiều vào giỏi đợc!!!!)

TÝch v« híng

I Lí thuyết:

1 Định nghĩa: a.ba.b.cos

a,b

 

 

 

 

o

 

o o o 180 b , a 90 0 b , a cos 0 b . a b a 90 b , a 0 b , a cos 0 b . a 90 b , a 0 0 b , a cos 0 b . a                    

2 Tính chất:

a Giao hoán b Tính chất phân phèi c

a . b b .

a  a.



bc



abac

 

mabm

 

a.b

3 Biểu thức toạ độ tích vơ h ớng:

NÕu a(x1;y1);b(x2;y2) a.b x1y1x2y2

4 Công thức hình chiếu:

a Nếu bốn điểm A, B, C, D trục thì: AB.CDAB.CD

b Nếu A', B' hình chiếu A, B lên giá CD thì: CD . ' B ' A CD . AB 

II Bài tập áp dụng:

Tính tích vô hớng

Bài 1. Cho tam giác ABC cạnh a, trng tõm G

a Tính tích vô hớng AB.CD;AB.BC b Gọi I điểm thoả m n · IA 2IB4IC0 Chøng minh r»ng:

BCIG hình bình hành từ tính IA



ABAC



;IB.IC;IA.IB Bài 2. Cho tam giác ABC cạnh a, b, c

a Tính AB.AC từ suy ra: AB.ACBC.CACA.AB

b Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài đoạn AM từ suy độ dài AG cosin góc nhọn tạo AG BC

Bài 3. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O, M điểm tuỳ ý đờng tròn nội tiếp hình vng, N điểm tuỳ ý cạnh BC Tính:

a MA.MBMC.MD b.NA.NB c NO.BA

Bài 4. Cho ba véc tơ a;b;c thoả m n điều kiện à a a;b b;c c ab3c0 TÝnh: a c c b b a

A  

Bài 5. Cho tam giác ABC cạnh a, đờng cao AH

a TÝnh c¸c tích vô hớng AB.HC b

AB AC

.2ABBC

Bài 6. Cho tam gi¸c ABC cã AB=6, AC=8, BC=10

a TÝnh AB.AB b Trªn AB lÊy M cho AM=2; cạnh AC lấy N ch0o AN=4 TÝnh AM.AN

Bài 7. Cho hình thang vng ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2 Tính tích vơ hớng AB.CD;BD.BC;AC.BD

Bµi 8. Cho ba véc tơ a;b;c thoả m n điều kiện à a 3;b 2;c 1 vµ ab3c0 TÝnh: a c c b b a

A  

Chứng minh đẳng thức tích vơ hớng hay độ di

Bài 9. Cho hai điểm A B, O trung điểm AB M ®iÓm tuú ý Chøng minh r»ng:

2 2 OA OM MB .

MA  

Bài 10. Cho MM1 đờng kính đờng trịn tâm O, bán kính R A điểm cố định OA=d Giả sử AM cắt (O) N

a Chøng minh r»ng tÝch v« híng AM.AM1 có giá trị không phụ thuộc M

b CMR: AM.AN có giá trị không phụ thuộc M

Bi 11. Cho nửa đờng trịn đờng kính AB có AC, BD hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt E Chứng minh rằng: AE.AC BE.BD AB2



Bài 12. Cho tam giác ABC, trực tâm H, M trung điểm BC Chứng minh rằng:

a 2

BC . 4 1 MA .

MH  b 2 2 2 BC2

2 1 AH MA

MH   

Bài 13. Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C Chøng minh r»ng: AM.BCMB.CAMC.AB0

Chøng minh tÝnh vu«ng góc - thiết lập điều kiện vuông góc

Bi 14. Chứng minh tam giác ba đờng cao đồng quy

Bài 15. Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngồi tam giác vng cân đỉnh A ABD, ACE Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: AMDE

Bµi 16. Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng: ABCD 2 2 2 2 BC AD BD

AC   



Bài 17. Cho hình thang vng ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng cao AB=h Tìm hệ thức a, b, h cho: a BDCI b ACDI c.BMCN với M, N theo thứ tự trung điểm AC BD

Bµi 18. Cho tø gi¸c ABCD biÕt AB.ADBA.BCCB.CDDC.DA0 Tø gi¸c ABCD hình gì? Vì sao?

im tho ng thức tích vơ hớng hay độ dài

Bài 19. Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho:

4 a MA . MC MC . MB MB . MA

2

 



Bµi 20. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho:

a



MAMB

 

.MAMC



0 b 2MB2 MB.MCa2 víi BC=a.

Bài 21. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a AM.ABAC.AB b MA2-MB2+CA2-CB2=0