Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Hãy tính đọ dài đoạn IK.. +) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:.. - Tìm đoạn v[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011-2012 MƠN: TỐN 11
A-Đại số:
1.Giới hạn dãy số.
Dạng Tính giới hạn dãy số:
* Phương pháp: Đưa toán dạng để áp dụng định lí định lí giới hạn dãy số
- Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử mẫu cho nk , k số mũ cao n
- Nếu biểu thức dạng tùy trường hợp dùng phép biến đổi sau:
+ Đặt thừa số chung để áp dụng định lí giới hạn vơ cực
+ Nhân chia cho biểu thức liên hợp để đưa dạng phân thức biểu thức chứa biến n dấu
Dạng Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: *Phương pháp:
+ Chứng minh dãy số cho CSN lùi vô hạn (Nếu tốn chưa cho dãy số CSN lùi vô hạn)
+ Áp dụng công thức tính tổng : Bài tập :
Bài 1.Tính giới hạn sau: a) lim36 21
n n b) lim 2 n n n c) lim n n
n d) lim( 2 1)
n n
n e) lim( )
n n
n f) lim( )
n n n
Bài Tính tổng sau:
a) 10 ) ( 10 10
1 2 1
n
n
A
b) ) ( 1 1 n n B
c) ) ( 2 1 2 n n C
2.Giới hạn hàm số:
Dạng 1.Tính giới hạn hàm số nhờ áp dụng trực tiếp định lý hay quy tắc giới hạn vơ cực
Dạng Tính giới hạn dạng vô định: +) Dạng 00 (lim (( ))
x g
x f x
x
0 ) ( lim ) (
lim
x f x x x g x
x ) :
*Phương pháp: Phân tích tử số mẫu số thành nhân tử giản ước
lim (( ))
) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim x Q x P x Q x x x P x x x g x f x x x x x
x
(2)- Nếu f(x) hay g(x) có chứa biến số dấu nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp trước phân tích chúng giản ước
+) Dạng
( lim (( )) x g
x f x
x
( ) lim ( )
lim f x g x
x x x
x ):
* Phương pháp : Chia tử số mẫu số cho xn với n số mũ bậc cao biến số x. - Nếu f(x) hay g(x) có chứa biến số dấu đưa xk ngồi dấu (với k số mũ cao x dấu căn) trước chia tử số mẫu số cho lũy thừa x
+) Dạng (xlimx f(x) g(x)
( ) lim ( )
lim f x g x
x x x
x xlimx f(x)limxxg(x)
):
*Phương pháp : Nhân chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dấu căn) quy đồng mẫu số để đưa phân thức (nếu chứa nhiều phân thức)
Bài tập :
Bài Tính giới hạn sau : a) lim3 12
4
x
x
x ; b) lim
4
x
x ;c) lim( 1)
2
x x x
x ;
d) lim(2 33 5)
x x
x ; e) 3
1 lim
2
x
x
x ;f) 4
2 lim 2
2
x
x x x
g)
x x x
x 3
1 lim
2
; h)
1 lim3
1
x
x x
x Bài Tính giới hạn sau: a)
x x x
x
1
lim
; b)
) (
lim x x2 x
x
3.Hàm số liên tục:
Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số y f(x)tại điểm x:
* Phương pháp : Dựa vào định nghĩa tính liên tục hàm số điểm + Tính limxx f(x)và f(x)
+ So sánh xlimx f(x) với f(x)để kết luận
Trường hợp bên trái, bên phải xhàm số xác định hai biểu thức khác nhau, để
tìm limxx f(x)ta cần tìm xlimx f(x)
) (
lim f x
x x
lưu ý :
L x f x
f L
x f
x x x
x x
x ( ) lim ( )lim ( )
lim
Dạng : Xét tính liên tục hàm số y f(x) tập tập R * Phương pháp :
+ Áp dụng định lí tính liên tục hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ,lượng giác + Nếu hàm số cho nhiều biểu thức khác nhau, cần nghiên cứu tính liên tục điểm
Dạng : Chứng minh PT f(x)0 có nghiệm tập DR
* Phương pháp : Để chứng minh PT f(x)0 có nghiệm tập DR, ta cần tìm hai số a
và b thuộc D cho hàm số f(x) liên tục đoạn a;b f(a).f(b) 0 Bài tập :
(3)
2 5
2 2
8 )(
3
x khi
x khi x x x g
Bài Tìm m để hàm số yf(x) liên tục R, biết :
3 1
3 3
3 4 )
(
2
x khi mx
x khi x
x x x f
Bài Chứng minh phương trình : a)
x
x có hai nghiệm b) sinxx có nghiệm 4.Đạo hàm:
Dạng 1: Tính đạo hàm hàm số y f(x) điểm x
- Nếu yêu cầu tính đạo hàm định nghĩa, cần thực theo bước:
+b1: giả sử x số gia biến số x điểm x, tính yf(x x) f(x)
+b2: lập tỉ số
x x f x x f x y
( ) ( )
+b3: tính giới hạn L
x x f x x f
x
) ( ) (
lim
0
f '(x)L
- Nếu tốn khơng nói thêm ,sử dụng công thức quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương để tính f'(x )
sau tính giá trị hàm số y f '(x )
x x
Dạng : Tính đạo hàm hàm hợp y fg(x) tập xác định * Phương pháp :
+ Đặt ug(x)
+ Áp dụng cơng thức tính đạo hàm quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Lưu ý :
Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) hàm số y f(x) +) Loại Tiếp tuyến điểm M(x;y)(C) có dạng :
) ( ) )(
(
'
x x f x x
f
y
+) Loại Tiếp tuyến d song song với đường thẳng d’ cho trước: * Phương pháp :
+ Tiếp tuyến d // d’ kd kd'
' '
' .
x u
x y u
(4)+ Gọi x hoành độ tiếp điểm, ta có : f (x)kd x y
'
+ Phương trình tiếp tuyến cần lập :
x x y
x f
y '( )( )
+) Loại Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng d’ cho trước : * Phương pháp :
+ Tiếp tuyến
'
1 '
d d
k k
d
d
+ Gọi x hồnh độ tiếp điểm, ta có : f (x)kd x y
'
+ Phương trình tiếp tuyến cần lập :
x x y
x f
y '( )( )
+) Loại Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị hàm số y f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(x1;y1):
* Phương pháp :
+ Bước 1: Gọi k hệ số góc tiếp tuyến (d)
Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(x1;y1) có hệ số góc k là: yk(x x1)y1 (*)
+ Bước 2: Để (d) tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương trình:
)( )(
) ( )(
'
1 1
I x
f k
y x x k xf
có nghiệm
+ Bước 3: Nghiệm hệ phườn trình hồnh độ tiếp điểm x từ suy y;
suy '( )
x f
k Phương trình tiếp tuyến
* Lưu ý: Hệ (I) có nghiệm tương ứng có nhiêu tiếp tuyến Bài tập:
Bài Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau : a)
x x
y x 2 b) ysin2x
6 x c) y 3 4x x 1
d)
1
x x
y x 0
Bài Tính đạo hàm hàm số sau: a)
5 2
2
x x x
y
b) y (x7 5x2)2012
c)
x x
x x y
3
2
(5)d) 1
x x
x y
e) y xx
1 cos
f) y tan2 x cotx2
Bài 10 Chứng minh hàm số sau có đạo hàm khơng phụ thuộc vào x : a) y sin6x cos6x 3sin2x.cos2 x
b) y x x x x 2sin2x
2 cos
2 cos
cos
cos
Bài 11 Cho hàm số ( ) 3 2
x x
x f
a) Giải bất phương trình : '( )
x f
b) Giải phương trình : f "(sin x) 3 c) Giải phương trình : ' xf)(18 " xf)( 3 Bài 12 Cho hàm số 3 2
x x
y có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có tung độ y 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3xy 20120
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 2x 90y20120
Bài 13 Cho hàm số 22 54
x x
y có đồ thị (H).
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến có hệ số góc k 8 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến qua điểm M(-2; 2)
B-Hình học: Quan hệ vng góc khơng gian: Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ : *Phương pháp : Sử dụng :
+ Quy tắc điểm :
+ Quy tắc hình bình hành: + Quy tắc hình hộp: + Quy tắc trung điểm: + Trọng tâm tam giác: + Trọng tâm tứ diện:
+ Các tính chất phép cộng, trừ vectơ phép nhân vectơ với số: Bài Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC
Chứng minh rằng:
(6)Bài Gọi M,N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD.Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Chứng minh rằng:
a) IAIBICID0
b) ( )
1
PD PC PB PA
PI
Dạng Xác định góc hai đường thẳng :
*Phương pháp : ( , ) ( , ) 0( 90 )
// ,
// 2
1
1
d d b a b d a d
O d d
*Phương pháp 2:
180 90
180 ), (
90 0
), ( ),
(
nêu ba
nêu ba bđt
vtcp v
ađt vtcp u
vu
Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Biết AB = CD = 2a; MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD
Bài Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC BAD 60 Chứng minh rằng:
a) ABCD;
b) Nếu M, N trung điểm AB CD MN AB v MNà CD Dạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng tìm góc đường thẳng
mặt phẳng cắt nhau: *Phương pháp : +)
,
( )
( ), ( )
d a d b
a b I d
a b
+) ( , ( )) ( , )d d d'
với d’ hình chiếu d mp( )
Bài5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có SA = SB = SC = SD Gọi O giao điểm AC BD.Chứng minh rằng:
a) SO(ABCD)
b) AC (SBD) BD(SAC)
Bài6:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng (ABC)
a) Chứng minh rằng: BC(OAH), CA(OBH), AB(OCH) b) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC
c) Chứng minh rằng: 2 12 12 2
OH OA OB OC
(7)Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm A SB, SC, SD
a) Chứng minh BC (SAB CD), (SAD)
b) Chứng minh (SAC) mặt phẳng trung trực đoạn BD
c) Chứng minh AH, AK vng góc với SC Từ suy ba đường thẳng AH, AI, AK chứa mặt phẳng
d) Tính diện tích tứ giác AHIK, biết SA = AB = a Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vng góc :
*Phương pháp : +) Góc hai mặt phẳng: ( ) (( ), ( )) ( , ) ( )
a
a b b
(1)
+) Từ (1): Nếu ( , ) 90a b ( ) ( )
+) ( ) ( ) ( ) ( )
d d
Bài8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm hình vng ABCD
a) Tính độ dài đoạn thẳng SO
b) Gọi M trung điểm đoạn SC Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) (SAC) vng góc với
c) Tính độ dài đoạn OM tính góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có BAD 60,
cạnh
2 a
SC SC vng góc với mặt phẳng (ABCD)
a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (SAC)
b) Trong tam giác SCA kẻ IK vng góc với SA K Hãy tính đọ dài đoạn IK c) Chứng minhBKD 90 từ suy mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng
(SAD)
Bài10: Cho tam diện Sxyz có Sx, Sy, Sz đơi vng góc với Lấy điểm A, B, C Sx, Sy, Sz Gọi H trực tâm tam giác ABC
a) Chứng minh SH (ABC) b) Chứng minh ( )2 .
SBC ABC HBC
S S S , từ suy : ( )2 ( )2 ( )2 ( )2
ABC SAB SBC SCA
S S S S
Dạng Tính khoảng cách :
*Phương pháp : +) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :
(H hc vng góc điểm Mtrên đt ) +) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :
(H hc vuông góc điểm Mtrên mp())
( , )
d M M H
( ,( ))
(8)+) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
- Tìm đoạn vng góc chung hai đt chéo nhau: cách tìm - Tính độ dài đường vng góc chung : cách tính
Bài11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD 60
SA = SB = SD =
2
a .
a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB
c) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD) d) Chứng minh SC vng góc với BC