Ky yeuTHHV2010Vatly

HỆ THỐNG BÀI TẬP KINH ĐIỂN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN Bài 1.[r]

1 ặng ình Tới (Chu biên) T« Giang

KỶ YẾU

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG

Lần thứ 6-2010

2 Mục lục

Trang

Lời nói đầu

Phần 1: CÁC BÀI VIẾT – TRAO ĐỔI KINH NGHIỆM DẠY VẬT LÝ

$1 GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP PHẤN TĨNH ĐIỆN CÓ THỂ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

$2 MỘT SỐ KIẾN THỨC NÂNG CAO VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN

Phần 2: BÀI TẬP CƠ HỌC THEO CHỦĐỀ 56

Chủ đề 1: Công – Công suất – Năng lượng 56

Chủ đề 2: Lực hấp dẫn Vệ tinh 65

Chủ đề 3: Các định luật bảo toàn 71

Chủ đề 4: Tĩnh học 78

Phần 3: ĐỀ THI DO CÁC TRƯỜNG ĐỀ NGHỊ 94

Đề 1: Trường THPT chuyên tỉnh Hà Giang 94

Đề 2: Trường THPT chuyên tỉnh Lạng Sơn 97

Đề 3: Trường THPT chuyên tỉnh Sơn La 101

Đề 4: Trường THPT chuyên tỉnh Vĩnh Phúc 107

Đề 5: Trường THPT chuyên tỉnh Cao Bằng 111

3 Lời nói đầu

Khoa học mn màu, trí tuệ đánh giá tầm cao Bởi trí tuệ cảm hứng lịng đam mê, nhiệt huyết sẻ chia Trong Vật lý lĩnh vực mà thách thức với trí tuệ nhân loại nói chung nhà Vật lý riêng chứa đựng nhiều chông gai Điểm lại nhà khoa học cho đóng góp nhiều nhất, ảnh hưởng nhiều nhất, tiếng thiếu nhà vật lý thiên tài từ cổ chí kim Cho dù thiên tài hay vĩ đại, nhà vật lý với áo sơ mi bình thường phố, hay chí giáo viên vật lý đóng vai trị “thày tu” giảng vật lý cho học sinh họđều có chung đặc điểm - niềm vui làm vật lý, sẻ chia ý thưởng mà họ gặp phải; tất họ trải qua thời học sinh học sinh Tất họ hay nhiều trăn trở vấn đề đó, cho dù ngây thơđến vĩ đại, điên rồđến làm người khác phải phát cáu, hay đơn giản vấn đề, tốn mức độ phổ thơng mà lúc câu trả lời thoảđáng

Khoa học nói chung hình thành sở sẻ chia ý tưởng, niềm vui ý tưởng mới, khía cạnh phát Vật lý vậy, cấp độ tất tạo sân chơi cho riêng Giới hạn hoạt động vật lý phổ thơng, có thi cấp trường, cấp tỉnh (thành phố), cấp quốc gia, khu vực quốc tế Chúng ta có nỗ lực lớn đường tìm đến niềm đam mê, khí phách người yêu vật lý cách tạo giao lưu hữu Giao lưu trường phổ thông tỉnh; giao lưu học sinh chuyên tỉnh với nhau; hay giao lưu trường phổ thơng ngồi nước nhiều tên gọi khác nhiều hình thức giao lưu Tất cảđều hoạt động sở siết chặt tình đồn kết, nới rộng vịng tay, chia sẻ ý tưởng, kinh nghiệm học tập lối sống Trong khuân khổ Trại hè Hùng Vương cố gắng nhiều trì phát huy tính tích cực mang ý nghĩa

Góp phần làm cho hoạt động giao lưu trường THPT chuyên trung du, miền núi phía Bắc ý nghĩa, đa dạng, phong phú Trại Hè xin biên tập số viết, đề thi tác giả, trường chuyên tỉnh thành tập Kỷ yếu Trại hè Hùng Vương lần thứ sáu - 2010 Đó thực đóng góp tâm huyết, sẻ chia mang tính cộng đồng mà người yêu Vật lý nói riêng, khoa học nói chung đồng ý cần thiết Nó thực tài liệu tham khảo thiết thực cho học sinh nói chung, người yêu muốn tìm hiểu sâu vật lý phổ thơng nói riêng Kỷ yếu cịn hữu ích có thêm viết đóng góp hoạt động bên lề kinh nghiệm chia sẻ giảng dạy Mong muốn xin dành lại cho tập san lần sau

4 Phần 1: CÁC BÀI VIẾT – TRAO ĐỔI KINH NGHIỆM DẠY VẬT LÝ

$1 GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP PHẤN TĨNH ĐIỆN

CÓ THỂ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

Th.S Bùi Tuấn Long

Trường THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ (Bài viết có sử dụng số tư liệu đồng nghiệp) I Đặt vấn đề:

Định luật bảo toàn lượng định luật đắn vật lý học - mà nhà khoa học thấy điều kiện ngặt nghèo phịng thí nghiệm

Việc áp dụng định luật bảo toàn lượng nhiều nhiều toán phức tạp nhiều tượng tự nhiên làm cho vấn đề trở nên đơn giản nhiều

Sau xin giới thiệu đồng nghiệp số toán tĩnh điện giải phương pháp dùng định luật bảo tồn

II Một số tốn áp dụng: Bài tốn 1:

Điện tích Q phân bố mặt cầu kim loại rắn tuyệt bán kính R Hãy xác định lực F tác dụng lên đơn vị diện tích mặt từ phía điện tích cịn lại

Giải:

Theo điều kiện mặt cầu rắn tuyệt đối nên bán kính thực khơng thể thay

đổi Tuy nhiên tưởng tượng lực đẩy điện tích dấu, bán kính mặt cầu tăng lên chút ít, cụ thể lượng vơ nhỏ δR Mặt cầu tích

điện có tính chất tụđiện – giữ ngun điện tích mà người ta truyền cho

Điện mặt cầu liên hệ với điện tích hệ thức:

R Q V

0 4πεε

= Mặt khác,

theo định nghĩa điện dung ta có V = Q/C, suy C = 4πεε0R Năng lượng tụđiện W = Q2/2C = Q2/(8πεε0R) Như tăng bán kính mặt cầu, lượng giảm lượng:

∆W = W – W’ =

) (

8 ) (

8

8 0

2

0

0

R R R

R Q R

R Q R

Q

δ πεε

δ δ

πεε

πεε − + = +

Theo định luật bảo toàn lượng, độ biến thiên lượng cơng tồn phần A lực đẩy tĩnh điện yếu tố riêng rẽ mặt cầu thực Gọi F lực tác dụng lên đơn vị diện tích, ta có: A = F.4πR2.δR Do đó:

F.4πR2.δR =

) (

8 0

2 R R R

R Q

δ πεε

δ

5

F = 4

0

2

32 R

Q

εε π

Bài 2:

Hai vật có kích thước nhỏ, khối lượng m1 m2 , mang điện tích dấu

q1 q2 nằm cách khoảng a chân khơng Hãy tính cơng lực điện

trường thảđồng thời hai điện tích cho chúng tự chuyển động Xét trường hợp khối lượng trường hợp khối lượng không

Giải:

a) Trường hợp khối lượng hạt nhau:

Do lực tương tác nhau, gia tốc hạt Chúng đồng thời thả

ra, nên điện tích ln đối xứng qua khối tâm chung, năm đoạn a ban

đầu

Gọi x khoảng cách tức thời từ điện tích đến khối tâm Cơng dịch chuyển điện tích đến vô bằng:

1 2

1

0 0

/2 /2 /2

1

4 (2 ) 16

a a a

q q dx q q q q A Fdx

x x a

πε πε πε

∞

∞ ∞

⎛ ⎞

= = = ⎜− ⎟ =

⎝ ⎠

∫ ∫

Suy cơng tồn phần lực điện trường cho hai điện tích đồng thời chuyển

động xa vô bằng:

1

1

0

4 q q A A A A

a

πε

= + = =

b) Trường hợp khối lượng m1, m2 khác nhau:

Khi gia tốc hai vật khác Tuy nhiên theo định luật bảo toàn khối tâm:

1 2

1 2 1

2 2

m x m x x m x x (x x ) m m l

m m m m m

+ ⇒ = ⇒ = + =

+ +

và

2

1 m

x l

m m =

+

với l kà khoảng cách tức thời hai điện tích

Gọi khoảng cách ban đầu từ khối tâm đến điện tích a1 a2, ta có cơng dịch

chuyển điện tích q1 xa vô bằng:

1

1 2 2

1 1

0 2

1

4

a a

q q m dl q q m A F dx

m m l m m a

πε πε

∞ ∞

= = =

+ +

∫ ∫

Tương tự cơng cho điện tích q2:

1 2

0

q q m A

m m a

πε

=

+

6

1

0 W

4

t

q q A A

a

πε

= + =

Nhận xét: hay hai điện tích hệ dịch chuyển xa vơ cơng lực điện trường điện tích điện trường điện tích chúng cách khoảng r

Bài 3:

Một có sốđiện môi ε =3 nằm hai tụ điện phẳng, chốn hết thể tích tụ điện Tụ điện mắc vào nguồn có suất điện động U = 100V qua điện trở Sau

được đẩy khỏi tụ điện thật nhanh, đến mức điện tích tụ điện chưa kịp biến thiên

Hỏi phần lượng toả mạch sau dạng

nhiệt bao nhiêu? Biết điện dung tụđiện chưa có điện mơi la C0 = 100μF Giải:

Khi vừa đánh bật điện môi khỏi tụđiện, điện dung tụđiện cịn C0, điện tích tụ vẫ q1 = CE = εC0U Do lượng tụđiện

sau điện môi bịđánh bật bằng:

2 2

0

1

0

( )

W

2

C U C U C

ε ε

= =

Sau điện tích tụ lại: q2 = C0U để phù hợp với điện dung mới, nên có điện lượng ∆q = q1 – q2 chạy qua nguồn ngược chiều lực lạ, nguồn tiêu thụ

cơng:

2

1

( ) ( 1)

A qU q q U ε C U Δ = Δ = − = −

đồng thời lượngcủa tụđiện bằng:

2 W

2 C U =

Áp dụng định luật bảo toàn lượng ta thu nhiệt lượng toả mạch sau đẩy điện mơi ngồi:

2 2

2

0

1

( 1) ( 1)

W W ( 1)

2

C U C U

Q= − − Δ =A ε − − −ε C U = ε− = J Một số tập khác:

Bài 4:

Một tụđiện phẳng có hai tụ kim loại diện tích S, điện mơi khơng khí Tích điện cho tụ hiệu điện U Tính lực hút hai tụ?

Gợi ý giải:

Bài toán áp dụng toán

7

- Giả sử kéo hai tụ xa khoảng nhỏ x

- Tính lượng tụ dịnh chuyển đoạn nhỏ x (W’) Độ chênh lệch lượng hai vị trí ∆W = /W’ – W/ cơng dịnh chuyển hai tụ xa khoảng x công cản lực hút hai tụ - Từ kết ta tính được: F.x = ∆W

Bài 5:

Một đồng dày b đưa vào tụ phẳng có diện tích S Chiều dày nửa khoảng cách

a) Hỏi điện dung sau đưa đồng vào?

b) Hỏi công thực đưa đồng vào? Tấm bị hút vào hay phải đẩy vào?

Gợi ý giải:

Khi đưa đồng vào gữa hai tụ ta tụ ghép nối tiếp Học sinh đễ

dàng tính điện dung tụ So sánh lượng tụ ghép với lượng tụ ban đầu (chưa đưa đồng vào) tính cơng thực để đưa đồng vào, biết đồng bị hút vào hay phải đẩy vào (chú ý: vật có xu hướng tồn với trạng thái có mức lượng thấp - mức bền vững nhất)

Lời kết:

8 $2 MỘT SỐ KIẾN THỨC NÂNG CAO VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN

Trần Văn Hùng Trường THPT chuyên Bắc Giang I BỔ TRỢ KIẾN THỨC TOÁN

Tích có hướng hai vectơ: cr = ×a br r véc tơ có

- Phương vng góc với mặt phẳng chứa ( )a, br r

- Chiều tuân theo quy tắc đinh ốc: quay đinh ốc theo chiều từ ar đến br chiều

tiến đinh ốc chiều cr

- Độ lớn cr =a.b.sinα =diện tích hình bình hành OADB

- Nếu ar // br cr = 0r

Mômen véc tơ

Mômen Vr điểm O tích có hướng

của bán kính rr với véc tơ Vr :

ký hiệu : M (V)r O r = ×r Vr r

- Có phương ⊥mặt phẳng chứa rr Vr

- Có chiều xác định theo quy tắc đinh ốc - Có độ lớn M=r.V.sinα =V.dvới d = OH (d:

cánh tay địn củaVr )

Tính chất:

+ Nếu Vr // rr M (V)r O r = 0r

+ M (V V ) M (V) M (V )r O r1+r2 = r O r1 +r O r2

+ Mr O( V )λ r = λMr O( Vr2) λ số

+ Nếu Vr1+Vr2= 0r ⇒ M (Vr O r1+V )r2 = 0r

II CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ VẬT RẮN

1 KHÁI NIỆM VẬT RẮN

- Vật rắn tuyệt đối vật mà khoảng cách hai điểm khơng đổi - Vật rắn xem hệ chất điểm Vật rắn tuyệt đối thường xem hệ chất

điểm liên kết chặt chẽ với - Khái niệm vật rắn tương đối

2 LỢI ÍCH CỦA KHÁI NIỆM VẬT RẮN

- Để nghiên cứu hệ chất đấy, ta phải đặc trưng chuyển động điểm hệ, điều khiến ta phải đụng chạm đến số nhiều thông số dẫn đến phép tính rắc rối khó gỡ

br

A D B c

r

ar

M

uur

O

Vr H r r

α

9

- Nếu hệđược xem vật rắn, số thơng số phải tính đến trở nên vừa phải: Nhiều thông số đủ xác định chuyển động vật rắn hệ quy chiếu gắn với vật rắn

- Trong nhiều tốn coi vận rắn chất điểm

3 CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

- Chuyển động tịnh tiến

- Chuyển động quay xung quanh trục cốđịnh - Chuyển động song phẳng

4 CÁC VẤN ĐỀ CẦN CHÚ Ý TRONG KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT

RẮN:

4.1 Các ý động học động lực học vật rắn:

Các đại lượng ϕ, ϕ0, ω, γ đại lượng đặc trưng cho chuyển động quay vật

rắn Trong hệ quy chiếu, ω có giá trị với trục quay song song với

Các đại lượng aρt;aρn;aρ;vρchỉđặc trưng cho điểm vật rắn

Giữa chuyển động quay vật rắn chuyển động tịnh tiến có đại lượng vật lí tương đương nhau: [1]

Các đại lượng liên quan đến chuyển động chất điểm (hay chuyển động tịnh tiến vật rắn) gọi đại lượng dài.

Các đại lượng liên quan đến chuyển động quay vật rắn quanh trục

được gọi đại lượng góc

Các đại lượng dài: Các đại lượng góc:

- Gia tốc - Gia tốc góc

- Vận tốc - Vận tốc góc

- Lực - Momen lực

- Động lượng - Momen động lượng

Nếu đại lượng dài đại lượng vectơ đại lượng góc tương ứng đại lượng vectơ

Định lý phân bố vận tốc:

Xét vật rắn P dịch chuyển hệ quy chiếu (HQC) O

Xét hai điểm vật rắn A B Gọi ω vận tốc góc quay vật rắn hệ quy chiếu O Hệ thức quan trọng vận tốc A B vật rắn thời điểm cho trước là: vρB =vρA +ωρ∧AB (1)

4.2 Đặc điểm lực tác dụng lên vật rắn

10

Hệ lực tác dụng lên vật rắn (F1 →

, F2 →

, F3 →

) tìm hợp lực khơng tìm hợp lực Cần phân biệt hợp lực tổng véc tơ lực

Lý thuyết thực nghiệm cho thấy, xảy ba trường hợp (TH)

đây:

TH1: Vật chuyển động tịnh tiến giống chất điểm Trong trường hợp hệ lực tương đương với lực đặt khối tâm tổng lực hợp lực

TH2: Vật quay quanh trục qua khối tâm Trong trường hợp hệ lực tương đương với ngẫu lực mà ta biết khơng thể tìm hợp lực Vì hệ lực khơng có hợp lực nên ta phải nói tổng lực tác dụng vào vật 0, tổng momen lực trục qua khối tâm khác khơng vật quay quanh khối tâm đứng yên (nếu lúc đầu vật đứng yên)

TH3: Vật vừa chuyển động tịnh tiến, vừa quay quanh khối tâm Trong trường hợp này, hệ lực tương đương với lực đặt khối tâm ngẫu lực Do đó, lực tương

đương đặt khối tâm hợp lực mà tổng lực

Cách xác định tổng lực: Sử dụng phương pháp:

• phương pháp hình học Giả sử vật rắn chịu ba lực

đồng thời tác dụng F1 →

, F2 →

F3 →

(H.4.2a) Lấy điểm P không gian làm điểm đặt lực, ta vẽ lực F'1

→

, F→'2 →F'3 song song, chiều độ lớn với lực F1

→

, F2 →

F3 →

(H.4.2b) Dùng quy tắc hình bình hành ta tìm hợp lực hệ lực đồng quy F'1

→

, F→'2

3

' F

→

Hợp lực tổng lực hệ lực F1 →

, F2 →

F3 →

• Phương pháp đại số: Chọn hệ trục toạ độ Đề-các (Ox, Oy) nằm mặt phẳng vật chiếu lực F1

→

, F2 →

, F3 →

lên trục toạđộ Tổng lực lực →F, có hình chiếu lên trục toạ độ tổng đại số hình chiếu lực

1 F →

, F2 →

F3 →

lên trục đó: Fx = F1x + F2x + F3x = ∑Fix

Fy = F1y + F2y + F3y = ∑Fiy

11 4.3 Biểu thức véctơ mômen lực trục quay [1]

Biểu thức momen lực trục quay Δ viết dạng vectơ sau: M r Ft

→ → →

∧

= , đó,

t F →

thành phần tiếp tuyến lực →F với quỹ đạo chuyển động điểm đặt M vectơ lực, →r =

→

OM vectơ bán kính điểm đặt M (H.4.3)

Theo tính chất tích có hướng hai vectơ ba vectơ →r, Ft

→

M→ tạo thành tam diện thuận

Theo đó, vectơ momen M→ có phương vng góc với mặt phẳng chứa →r Ft →

, tức có phương trục quay Δ Vì momen lực đại lượng góc biểu diễn vectơ nằm dọc theo trục quay (vectơ trục)

Nếu chọn chiều dương cho trục quay (phù hợp với chiều dương chuyển động quay) momen lực đại lượng đại số Momen lực có giá trị dương vectơ

→

Mcùng chiều với chiều dương trục quay ngược lại

SGK trình bày momen lực đại lượng đại số giống nhưđã trình bày vận tốc góc gia tốc góc

4.4 Ðịnh lý Steiner Mơmen qn tính chuyển trục quay

Xét với trục quay Δ song song với trục quay ΔG qua khối tâm G vật rắn, chúng

cách khoảng d Khối lượng vật rắn M, mơ men qn tính vật rắn trục quay Δ I xác định qua mơ men qn tính IGđối với trục quay ΔG

I = IG + Md2 (4.4)

(Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens))

4.5 Định luật Niu-tơn II cho chuyển động tịnh tiến chuyển động quay

4.5.1 Trong trường hợp tổng quát, chịu lực tác dụng, vật rắn vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay quanh khối tâm

Để tìm gia tốc →a chuyển động tịnh tiến (cũng gia tốc →a khối tâm), ta áp

dụng phương trình: ∑→F = m→a, (1)

hay: ∑Fx = max ∑Fy = may (1.b)

Để tìm gia tốc góc chuyển động quay quanh trục qua khối tâm, ta áp dụng phương trình:

∑M→ = IG →

γ , (2)

hay: ∑M = IGγ (dạng đại số)

12

4.5.2 Điều kiện cân tổng quát trường hợp riêng hai phương trình (1) (2) →a = →0 →γ = →0 Nếu ban đầu vật đứng yên vật tiếp tục đứng yên Ta có trạng thái cân tĩnh

Cần ý là, vật trạng thái cân tĩnh ∑M→ = khơng trục qua khối tâm, mà trục bất kỳ

4.5.3 Đối với vật rắn quay quanh trục cố định chuyển động tịnh tiến vật bị khử phản lực trục quay

4.6 Năng lượng vật rắn

4.6.1 Thế năng của vật rắn:

Xét với vật rắn tuyệt đối, trọng trường có gia tốc g, Z độ cao khối tâm G tính từ mốc đó, vật rắn khối tâm mang tổng khối lượng vật rắn: U = MgZ (4.5.1)

4.6.2 Động năng của vật rắn:

- Khi vật rắn quay xung quanh trục quay cốđịnh Δ: K = 12IΔ.ω2 (4.5.2)

Chú ý: Nếu trục quay Δ không qua khối tâm G, cần xác định IΔ qua IG định lý

Stenơ (4.4)

- Trường hợp tổng quát: K = 12IG.ω2 + 12M.VG2

"Ðộng toàn phần vật rắn tổng động tịnh tiến khối tâm mang khối lượng vật động quay xung quanh trục qua khối tâm"

4.6.3 Định luật bảo toàn cơ năng:

Khi lực tác dụng lên vật rắn lực thế, E hệ vật rắn bảo toàn: K + U = const

Nếu trình biến đổi hệ từ trạng thái sang trạng thái 2, có lực ma sát, lực cản tác dụng mà ta tính cơng A lực áp dụng định luật bảo tồn lượng dạng: E2 - E1 = A

4.7 Bài tồn chuyển động lăn khơng trượt

Xét bánh xe có bán kính R có

tâm C dịch chuyển mặt đất nằm ngang cố định hệ quy chiếu O, tất luôn nằm mặt phẳng thẳng đứng Gọi điểm A điểm tiếp xúc bánh xe với mặt đất thời điểm t

Có thể phân biết ba điểm nơi tiếp xúc: • Điểm AS đất cốđịnh HQC

O

C

M

O

A = As = AR

y

13

• Điểm AR bánh xe, bánh xe quay thời điểm sau điểm

khơng tiếp xúc với đất

• Điểm hình học A xác định chỗ tiếp xúc

Rõ ràng thời điểm t, ba điểm có vận tốc khác HQC O • Vận tốc điểm AS đất rõ ràng không

• Vận tốc điểm hình học A vận tốc tâm C bánh xe C A ln đường thẳng đứng

• Vận tốc điểm AR bánh xe thỏa mãn: vAR =vC +ω∧CA ρ ρ ρ

Vận tốc vρARgọi vận tốc trượt bánh xe mặt đất (chú ý mặt đất cốđịnh)

Bánh xe gọi lăn không trượt vρAR =0

Điểm AR bánh xe tiếp xúc với mặt đất có vận tốc thời điểm

tiếp xúc Trong điều kiện việc xảy hai thời điểm gần t t + dt bánh xe quay quanh trục qua A vng góc với mặt phẳng xOy, trục gọi trục quay tức thời bánh xe A gọi tâm quay tức thời

Khi lăn khơng trượt, có hệ thức liên hệ: vG = ωR; quãng đường dịch chuyển

của tâm C mặt đất cung cong ARA’R chu vi bánh xe

III HỆ THỐNG BÀI TẬP KINH ĐIỂN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN Bài Khảo sát chuyển động vành tròn mặt phẳng

Một vành tròn mảnh bán kính R khối lượng M

phân bốđều Trên vành mặt có gắn vật nhỏ

khối lượng m (hình vẽ) Kéo cho vành lăn không trượt mặt ngang cho tâm vành có vận tốc v0 Hỏi

v0 phải thoả mãn điều kiện để vành khơng nảy lên?

Lực tác dụng lên vành để kéo vành chuyển động với vận tốc khơng đổi (như giả thiết) khơng có thành phần thẳng đứng?

Bài giải

+ Khi m vị trí bất kì, lực tác dụng vào m có P F lực mà vành tác dụng vào m Có thể phân tích lực F thành hai phần: N có phương trùng với bán kính vành trịn, chiều hướng tâm, Q có phương tiếp tuyến với vịng (hình vẽ)

Định luật II: ma= P+Q+N (1)

N P

14

Chiếu (1) theo Q theo N ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = R mv N P P Q cos sin α α

+Thành phần lực F tác dụng vào m theo phương thẳng đứng: Fy = Qsinα - N cosα (3)

Từ (2) (3) ta có:

α α

α

α cos cos cos

sin 2 R mv P P R mv P

Fy ⎟⎟− = −

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =

(Fy)max α = vật vị trí cao nhất, Fy hướng xuống với (Fy)max = P -

R mv2

0

Theo định luật III lực tác dụng từ m vào vành M có phương ngược với Fy, (Fy’ hướng

xuống):

(Fy)’max = - (Fy)max =

R mv2

0 -P Vành không nẩy lên khi:

gR M m v Mg P R mv Mg

Fy ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ ⇒ ≤ − ⇔ ≤ ) ( 0 max '

Bài Khảo sát chuyển động của khối trụ tương tác với hai mặt phẳng

Một hình trụ có khối M bó trí thành hệ hình vẽ, hệ số ma sát hình trụ với mặt phẳng ngang μ1, với mặt phẳng ngang μ2 mặt phẳng ngang

chuyển động phía trái, cần phải tác động vào mặt phẳng ngang lực F nhỏ

nhất để xảy điều Lời giải:

Hình trụ có hai khả quay hay không quay Giả sử trụ quay:

Khi mặt phẳng ngang chuyển

động trụ quay gia tốc khối trụ không Ta có: + Tổng Moment lực trục quay qua khối tâm 0: F1 = F2 = F

+ Theo phương ngang:

Nsinα - F2 cosα -F1 = (1)

+ Theo phương thẳng đứng:

N1 – Mg – N2cosα - F2sin α = (2)

Rút gọn biểu thức ta thu được: F N

N Mg N

2 1 2 sin 1 cos α ⎧ = ⎪ + α ⎨ ⎪ = + ⎩ (3)

15

• Trường hợp

μ1 N1 > μ2 N2, hình trụ quay, F = μ2N2

Khi dó từ (3): 2

cos sin N N μ α α = + 1.a/ α α cos sin

+ > μ2 => N2 = 0, F = với điều kiện μ1N1 > μ2N2 với giá trị

μ1, μ2

1.b/ α α cos sin

+ < μ2 , hình trụ bị kẹt, điều kiện μ1N1 > μ2N2 xảy với μ1 > μ2

• Trường hợp

μ1 N1 < μ2 N2, hình trụ khơng quay F = μ1N1

Từ (3) suy ra: 1

cos sin N N μ α α = +

μ1(Mg + N2 ) = N2 αα

cos

sin

+ Tìm N2 =

1 cos sin μ α α μ − + Mg 2.a/ α α μ cos sin

1 ≥ + , trụ bị kẹt, điều kiện μ1N1 > μ2N2 μ1 < μ2

2.b/ α α μ cos sin

1 < + , F = μ1N1 = μ1 ( N2 + Mg) Hay: F =

α α μ μ sin cos 1 1 + − Mg

Điều kiện μ1N1 < μ2N2 xảy

α α μ cos sin > +

μ2N2 > μ1 ( N2 + Mg) Đánh giá:

Biểu diễn kết qua đồ thị, đồ thị

biểu diễn mặt phẳng μ1, μ2 chia làm

3 miền

- Miền 1: ứng với trường hợp (1.a)

- Miền 2: ứng với trường hợp (1.b ) (2.a) hình trụ bị kẹt nên F = ∞ - Miền 3: ứng với trường hợp (2.b),

F = α α μ μ sin cos 1 1 + − Mg

Bài 3. Vật rắn có liên kết rịng rọc

Có hai rịng rọc hai đĩa tròn gắn đồng trục Ròng rọc lớn có khối lượng m = 200g, bán kính R1 = 10cm Rịng rọc nhỏ có khối lượng m’ = 100g, bán kính R2 =

5cm Trên rãnh hai rịng rọc có hai dây quấn ngược chiều để m1 xuống

16

m2 lên ngược lại Đầu dây ròng rọc lớn mang khối lượng m1 = 300g, đầu

dây ròng rọc nhỏ mang khối lượng m2 = 250g Thả cho hệ chuyển động từ trạng

thái đứng yên Lấy g = 10m/s2 a Tính gia tốc vật m1 m2

b Tính lực căng dây treo Lời giải

P1 = m1g > P2 = m2g, nên m1 xuống, m2

lên Phương trình chuyển động m1 m2: 2 2 1

1 T m a ;P T m a

P + = + = (1)

Chiếu (1) theo chiều (+) chiều chuyển động

của m1 m2: (2)

2 2 1 1 ⎩ ⎨ ⎧ = − = − a m g m T a m T g m

Với ròng rọc T1R1 - T2R2 = Iγ (3)

I =

2 1 2

1 ; ;

2 a a R a R a mR

mR + γ = = = + Nhân (2a) với R1, (2b) với R2, cộng hai

vế (2) (3):

⇒ m1gR1 - m2gR2 = m1a1R1 + m2a2R2 + Iγ =

a2 2 1 2 1 2 2 1 ) ( R I R m R m g R m R m a R I R m R m + + + = ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

+ thay số ta

được: a2 = 1,842 (m/s2); a1 = 2a2 = 3,68 (m/s2)

+ Thay a1, a2 vào (2) ta

T1 = 1,986 (N); T2 = 2,961 (N)

Bài Động lực học vật rắn có liên kết rịng rọc giải bằng phương pháp sử dụng ĐLBT Moment xung lượng

Hai vật nặng P1 P2 buộc vào hai dây quấn vào

hai tang tời bán kính r R (hình vẽ) Để nâng vật nặng P1 lên người ta tác dụng vào tời mơmen quay M

Tìm gia tốc góc tời quay Biết trọng lượng tời Q bán kính quán tính trục quay ρ

Lời giải

Xét hệ gồm vật nặng A, B, tời C ( hình vẽ ) Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực Pr1, Pr2, Qr

Mômen Mr phản lực Rr0, phản lực Rr0có mơmen trục quay O

không m2 m1 o r1 r2 T P T P

Pr

A B

Pr

R r R0

17

ÁP dụng định lý biến thiên mômen động lượng trục quay z qua qua O tời ta có: d Lz P r1 P R2 M

dt = − + + ( )

Mặt khác ta lại có : Lz = Lz( A ) + Lz( B ) + Lz( C )

Mômen động lượng vật A là: Lz( A ) = A

P P

r v r g = g ω

Mômen động lượng vật B là: Lz( B ) = B 2

P P

R v R g = g ω

Mômen động lượng tời C là: Lz( C ) = z Q

g Ι ω = ρ ω ⇒ Lz = (P1r2 + P2R2 + Qρ2 )

g ω

( )

Thay ( ) vào ( ) ta được:

2 2

1

M P R P r d

dt P r P R Q + − ω

= γ =

+ + ρ

Vậy

2 2

1

M P R P r g P r P R Q

+ − γ =

+ + ρ

Câu 5. Động lực học vật rắn có liên kết ròng rọc sử

dụng DLBT cơ

Hai phẳng song song thẳng đứng

trong số chúng hồn tồn trơn, cịn lại nhám,

được phân bố cách khoảng D Giữa chúng có đặt ống với đường kính ngồi b ằng D, khối lượng chung M mômen quán tính trục I Ổng bị kẹp chặt phẳng cho

chuyển động xuống quay không trượt so với phẳng nhám Một sợi nhẹ buộc với vật nặng khối lượng ma quấn vào hình trụ

trong ống có đường kính d Tìm gia tốc vật nặng?

Lời giải

Giả sử thời gian Δt khối tâm ống

xuống đoạn DH Lúc ống quay quanh khối tâm góc:

D H R

H Δ

= Δ =

Δϕ

m1

o

d

18

Khối m bị lên đoạn:

D d H d =Δ

Δ

2

ϕ so với khối tâm cuộn Vậy khối m

đi xuống đoạn: t D d D H D d H H

h=Δ −Δ =Δ − Δ

Δ Gọi a gia tốc khối tâm ống

chỉ, gia tốc vật m là: a0 = a

2 ;

2

; t2

D d D a h t a H D d

D− Δ = Δ Δ = − Δ

Vận tốc vật m: v = aΔt, v0 = a0Δt = a Δt

D d -D

Vận tốc góc trục chỉω =

D t a D v Δ = 2

Áp dụng định luật bảo toàn năng:

MgΔH + mgΔh =

2 2 2 mv Iω Mv + +

Mga 2 2 2 2 ) D d -D ( ) ( D d -D

2 ⎟⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + Δ + Δ = Δ + Δ D t a I t a m t a M t mga t

suy a = g

2 D M D D I m d D m d D M + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − −

Bài 6 Khảo sát chuyển động lăn của một vật rắn mặt phẳng nghiêng

Từ mức cao mặt phẳng nghiêng, hình trụ đặc cầu

đặc có khối lượng bán kính, đồng thời bắt đầu lăn khơng trượt xuống Tìm tỷ số vận tốc hai vật một mức ngang

Lời giải

Gọi vc vận tốc cầu sau lăn xuống độ cao h

vT vận tốc hình trụ sau lăn xuống độ cao h

Khi cầu, hình trụ lăn khơng trượt xuống dưới,

điểm đặt lực ma sát tĩnh nằm trục quay tức thời, mà vận tốc

điểm khơng khơng ảnh hưởng tới tồn phần vật

Vai trò lực ma sát đảm bảo cho vật lăn tuỳ không trượt đảm bảo cho độ giảm hoàn toàn chuyển thành độ tăng động tịnh tiến chuyển động quay vật

A

19

O

x y

ms

F

C P N

α

Vì lực tác dụng lên hình trụđặc cầu : pr( lực ), Νr ( theo phương

pháp tuyến) lực ma sát tĩnh Frms Ta có Νr Frms khơng sinh công

⇒ Acác lực không = ⇒ hệđược bảo toàn

Như ta áp dụng định luật bảo toàn cho chuyển động cầu hình trụ:

Với cầu: mgh =

2

2

c c c mv Ι ω

+ ( ) Với hình trụ: mgh =

2

2

mvΤ Ι ωΤ Τ

+ ( ) Trong đó:

2

2

c

mR

Ι = ; c

c v

R

ω =

2

2

mR

Τ

Ι = ; v

R Τ Τ ω =

Thay vào ( ) ( ) ta có: mgh =

2

10

c mv

; mgh =

2

4 mvΤ

2

15 15

14 14

c c

v v

vΤ vΤ

⇒ = ⇒ =

Bài 7: Khảo sát chuyển động lăn của một vật trụ rắn mặt phẳng nghiêng

Một hình trụđồng chất khối tâm C, bán kinh R, momen quán tính I =

2

mR trục Được đặt khơng vận tốc đầu mặt phẳng nghiêng góc α Gọi f hệ số ma sát trượt hình trụ mặt phẳng nghiêng

1) Xác định gia tốc hình trụ Chứng tỏ có trượt hay khơng tuỳ theo giả thiết α so với giả thiết α0 cần xác định

2) Tìm biến thiên động thời điểm t, Xét hai trường hợp α<α0

20

Lời giải

1) Xác định gia tốc hình trụ

Giả sử trụ lăn không trựơt: Psinα-Fms=ma

Fms.R = I

R a mR2 =

γ

Suy ra: Fms = ma

a = sinα

3

g

Điều kiện

Fms= sinα

3

mg ≤ fmgcosα ⇔tgα ≤3f Tức α ≤α với tgα0 = 3f trụ

lăn không trượt

Trường hợp α> α Fms ma sát trượt Ta có: Fms = fmgcosα

a2 =

m F mgsinα − ms

= g(sinα - fcosα ) F Rms 2fgcos

I R

γ = = α

2) Sự biến thiên động

Trường hợp α<α0 thời điểm t: v = at = sinα

2

g t g t

R

t sin

2

α

γ

ω = =

Động năng: Eđ =

2

2

mv +Iω Bảo toàn năng lượng ΔE=0

- Trường hợp α > α thời điểm t:

v = g(sinα - fcosα ).t

t

R fg α

ω = cos

Biến thiên lượng:

( )

2

2 sin 3 cos

2 cos

2 S fmg g f t

t a F A

E ms ms q⎟⎟= α α− α

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− =

= Δ

Với Sq= ( ).t R ω

( )2

2 cos sin 3cos

1

t f

mg

E = α α − α

Δ

1 S S S = −

21 Bài 8. Khảo sát chuyển động lăn có trượt – khơng trượt

Người ta dùng gậy tác động vào bi- a bán kính R, xung lực nằm ngang cách mặt bàn bi- a khoảng h

a) Xác định hệ thức ω vận tốc khối tâm v0 bi-a

b) Nghiên cứu chuyển động bi - a sau lực ngừng tác động trường hợp:

1) h >

r

2) h =

5

r

3) r < h <

r Lời giải

a) Gậy tác dụng vào bi- a xung lực uurX Tại điểm tiếp xúc I lực ma sát gây xung lực uurX' cản quay quanh O bi - a Fms nhỏ ( khơng có

thêm lực nén ) nên X’<< X, ta bỏ qua

Theo định luật bảo toàn momen động lượng ta có: X(h - R) = I0ω (1)

Và X = mv0 hay v0 = X

m (2)

Từ (1) suy X = 2

5( )

mR h R

ω

− thay vào (2) ta được:

v0 =

2

5( )

R h R

ω

− (3)

b) Nghiên cứu chuyển động: +) h >

5R : v0 < ωR

Ta có vuurI =vuuuuur uuuuuuurI/0+v0/dat =vuurq+vuur0 (vq=ωR)

VI = vq- v0 , chiều vI

uur

hướng sau Như I xuất lực ma sát làm cho ω giảm dần ω=ω’ vI = 0, bi- a không trượt

chuyển sang chuyển động lăn không trượt, chuyển động chậm dần dừng hẳn +) h =

5R : v0 = vq = ωR, vI =

Quả bi- a lăn không trượt, chuyển động chậm dần dừng lại +) R < h <

22

vI = v0 - ωR, hướng phía trước

Fms hướng sau cản chuyển động làm tăng ω đến ω”: v0” = ω”R

lúc bi-a lăn khơng trượt chuyển động chậm dần dừng lại

Bài Khảo sát va chạm lý tưởng giữa một vật rắn lý tưởng với mp ngang

Một bóng siêu đàn hồi đặc, khối lượng m, bán kính R Bóng bay tới va chạm vào mặt sàn ngang với vận tốc v vận tốc góc ω Chỗ mà bóng tiếp xúc với sàn có ma sát giữ cho điểm tiếp xúc khơng trượt Do có ma sát nên va chạm không đàn hồi nhiên bỏ qua biến thiên thành phần pháp tuyến vy độ biến

thiên động bóng

a) Xác định thành phần tiếp tuyến vx’ v’

ω’ bóng sau va chạm theo vx ω

trước va chạm? Biện luận?

b) Tính vận tốc điểm tiếp xúc A bóng trước sau va chạm? Giải thích kết quả? c) Xét ω = vx >

Lời giải

*) Theo định luật biến thiên momen động lượng ta có: dL = Mdt = FmsRdt = dPxR

Idω = mRdvx

I 'd mRvx'dv vx

ω ω

ω∫ = ∫

I(ω’-ω) = mR(vx’- vx) (1)

Ta có vy’= - vy

*) Theo định luật bảo toàn động ta có:

2 '2 '2

2 2

mv +Iω = mv + Iω

m(vx2−v' )2x =I( 'ω 2−ω2) (2)

*) Thay (1) vào (2) rút ω’= 10

7 ω vxR

⎛ ⎞

− ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

vx’ =

7

vx− ωR

*) Biện luận:

+) ω’ < siêu bóng quay ngược lại với chiều quay ban đầu sau va chạm

+) vx’ > vx >

23

+) vx’ = vx =

3ωR +) vx’ < vx <

3ωR Ban đầu (trước va chạm):

vAx =vx+ωR

vAy = vy

Sau va chạm:

v’Ax = v’x+ ω'R= - (vx+ωR)

v’Ay = v’y = - vy

vuuurA' = −uuurvA

Như vậy: Vận tốc điểm A trước sau va chạm có độ lớn nhau, chiều ngược

Bài 10. Khảo sát chuyển động lăn của một lăng trụ mặt phẳng nghiêng

Một lăng trục lục giác cạnh a, khối lượng m phân bố Mơmen qn tính lăng trụ I =

12

ma2 mặt lăng trụ lõm để lăn mặt phẳng nghiêng lăng trụ tiếp xúc mặt phẳng nghiêng cạnh coi vật rắn Gọi ω1,ω2 vận tốc góc lăng trụ trước sau va chạm Tìm tỉ số

1

α ω

biết ma sát đủ lớn để khối trụ lăn không nảy lên

Lời giải

Ngay trước va chạm lăng trụ quay với ω1,mômen

động lượng trục quay :

0 1

5

;

L =Iω = ma ω vr ⊥OB trước va chạm,

lăng trụ quay quanh B

Đối với trục quay A: Ngay trước va chạm :

0

5 sin 30

12

A

mav L =L +a mv = ma ω +

2

1 1

5 11

12 12

A

L = maω + maω = ma ω (1)

Ngay sau va chạm lăng trụ quay quanh A với ω2,đối với (A):

' 2

2

5 17

( )

12 12

A A

L =I ω= ma +ma ω = ma ω (2)

0

v

uur

ỏ A B

a C

D

24

Mômen động lượng bảo tồn coi có phản lực N (va chạm) Fms qua trục quay,

suy mômen (mômen vectơ urp thời gian nhỏ ta bỏ qua)

'

1

11 17

ω ω

= ⇒ =

A A

L L

Bài 11. Khảo sát chuyển động của một vật liên kết ròng rọc bằng sử dụng định luật bảo tồn cơng dạng vi phân của định luật bảo toàn cơ.

Một vật A có trọng lượng P kéo lên từ trạng thái đứng yên nhờ tời B đĩa trịn đồng chất có bán kính R, trọng lượng Q chịu tác dụng ngẫu lực có mơmen M khơng đổi ( hình vẽ ) Tìm vận tốc vật A kéo lên đoạn h Tìm gia tốc vật A

Lời giải

Cơ hệ khảo sát gồm vật A chuyển động tịnh tiến; tời B quay quanh trục cốđịnh

Các lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực P, Qr r , ngẫu lực Mr ,

phản lực Rr0 nội lực

Nhận xét: trọng lực tác dụng có ngẫu lực Mr trọng lực Pr sinh cơng; cịn phản lực Rr0 trọng lực Qr khơng sinh

cơng điểm đặt chúng cố định, nội lực không sinh cơng

Vì tính cơng hữu hạn ngẫu lực Mr trọng lực Pr để tìm vận tốc vrA vật

A ta áp dụng định lý biến thiên động năng:

Τ − Τ =0 A P( ) ( )r +A Mr ( )

trong T0 động hệ thời điểm ban đầu ; T động hệ thời điểm ( t )

Ta có: T0 = ban đầu hệđứng yên ( )

Ta có: T = TA + TB ( )

Vật A chuyển động tịnh tiến nên TA =

2 A

P v

g ( )

Vật B quay quanh trục cốđịnh nên

2

B O

T = Ι ω

2

2 2

1 1

2 4

A

B A

v

Q Q Q

R R v

g g R g

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ Τ = ⎜⎜ ⎟⎟ω = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ( )

Thay ( ) , ( ) vào ( ) ta có: ( )

2

2

A P Q v

g +

Τ = ( )

R0 R

Q

P A

25

Ta có: A P( ) ( )r +A Mr = Mϕ - P.h = Mϕ - P.R.ϕ với h = R.ϕ

⇔ A P( ) ( )r +A Mr = M P h R

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )

Thay ( ), ( ), ( ) vào ( ) ta được: ( )

2

2

A P Q v

g +

= M P h

R ⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )

( )

4

A

M Ph

v g h

R P Q − ⇒ =

+

Để tìm gia tốc aA vật A ta sử dụng định lý biến thiên động dạng vi phân

i e

k k

dΤ =∑dA +∑dA ⇔ (2 )

2

P Q g

+

vA aA = M P

R ⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠vA ⇒aA = 2g

( )

(2 )

M PR R P Q

− +

Vậy ( )

( )

4

A

M Ph

v g h

R P Q − =

+ aA = 2g

( )

(2 )

M PR R P Q

− + Bài 12

Một bánh đà có dạng hình trụ đồng khối lượng M, bán kính R quay quanh trục cốđịnh nằm ngang Một sợi dây quấn quanh bánh đà, đầu sợi dây buộc vật nặng có khối lượng m Quả nặng nâng lên buông cho rơi xuống Sau rơi độ cao h, nặng bắt đầu làm căng sợi dây quay bánh

đà Tìm vận tốc góc bánh đà thời điểm ( hình vẽ ) Lời giải

Vận tốc vật nặng m cuối độ cao h tính nhờ áp dụng

định luật bảo toàn : v1 = 2gh ( 1)

Khi vật nặng bắt đầu làm căng dây, xuất tương tác vật nặng bánh đà Vì tương tác xảy thời gian xem ngắn nên ta có gần bảo tồn mô men xung lượng (đối với trục quay):

Lngay trước trước tương tác = L trước sau tương tác

⇔m.v1.R = m.v2.R + I ω (2)

Trong v2 vận tốc vật m sau tương tác, I mơmen

qn tính bánh đà trục quay, ω vận tốc góc bánh

đà sau tưong tác

Ta có: I =

2.M.R

2 ( )

v2 = ω.R ( )

h M

26

Từ ( 1), ( ), ( ), ( ) ta tính :

( )

2

2

m gh m M R

ω =

+

Bài 13

Một sợi dây vắt qua ròng rọc, hai đầu sợi dây có hai người đu vào Biết khối lượng người lớn gấp lần khối lượng ròng rọc Người A bắt đầu leo theo dây với vận tốc tương dây u Tính vận tốc người B so với mặt đất? coi

khối lượng ròng rọc phấn bốđều vành Lời giải

Gọi vr B vận tốc dây đất, (và vận tốc

người B đất ) Theo cơng thức cộng vận tốc ta có vận tốc người A đất là:

vrA = +ur rvB

( )

Chiếu ( ) xuống phương chuyển động A ta : vA = −u vB ( )

Ban đầu hệ đứng yên nên mơmen động lượng hệ trục rịng rọc không:

Lr =0 ( )

Khi người A bắt đầu leo lên dây mơmen động lượng hệ gồm mơmen động lượng người A, người B mômen quay ròng rọc:

'

A B

L =R.m.v −R.m.v − ωI với vB R ω =

Ta áp dụng định luật bảo tồn mơmen động lượng cho hệ : , L=L

⇔ R.m.vA−R.m.vB− ω =I

⇔

0

B

B B

v m R.m.(U V ) R.m.v R

R

− − − =

Ta tìm được:

9

B u

v =

Vậy vận tốc người B đất :

9

B u v =

Câu 14. Va chạm đàn hồi của nhiều vật rắn lý tưởng – Vận dụng ĐLBT động lượng Ba vòng đệm nhỏ giống A, B,C, nằm yên mặt phẳng ngang, nhẵn, người ta truyền cho vịng A vận tốc v đến chạm đồng thời với hai vòng B, C (hình vẽ) Khoảng cách giữ hai tâm vòng B, C trước va chạm N lần đuờng kính vịng Giả sử va chạm hoàn toàn đàn hồi Xác định

ur

A

27

vận tốc vòng A sau va chạm Tính giá trị N để vòng A: bật ngược lại, dừng lại, tiếp tục tiến lên?

Lời giải

Vì hệ có tính đối xứng nên A chuyển động đường thẳng cố định B C có quỹđạo

đối xứng qua quỹđạo A

Vì vịng đệm trịn nên va chạm xun

tâm vòng B C chuyển động

theo phương 12 13 Gọi v;'vB;vC vec tơ vòng tròn A, B, C sau va chạm

Theo định luật bảo toàn động lượng: mv=mv'+vB +mvC

Suy ra: mv = mv’ + 2mvBcosϕ (1)

Trong vB = vC, ϕ góc quỹđạo A phương chuyển động B C

Ta có: cosϕ =

2

) (

4 2

N R

NR

R − = −

(với OAOB = 2R) (2)

Thay (2) vào (1) v = v + VB 4−N2

Vì chạm đàn hồi nên:

2 mv

=

2 mv

+

2

B mv

+

2

C mv

⇔ v2= v2 + 2

C B v

v + (4)

Từ (3) (4) tìm v = v’ (5)

hoặc v’ = v

N N

2

2 −

−

(6)

Với kết (5) suy vB = vC = loại trường hợp

* Vậy vận tốc A sau va chạm v’ = v N N

2

2 −

−

* Để A bật ngược trở lại v’ < hay

2 2

< −

− N

N và để A va vào cả B C N ≤

Do N2 - < suy < N < * Để A đứng yên v; = suy N = * Để A tiếp tục tiến lên phía trước ≥ N >

Bài 15. Va chạm đàn hồi của nhiều vật rắn lý tưởng – Vận dụng ĐLBT động lượng và bảo toàn cơ

Hai cầu giống nhẫn va chạm đàn hổi vào với vận tốc song song có độ lớn v 2v Đường thẳng qua tâm cầu có phương

v

A

B

28

vận tốc tiếp tuyến cầu Tính góc mà sau va chạm vận tốc

cầu với hướng ban đầu Lời giải

+ Chọn hệ toạđộ xOy hình vẽ Gọi VA;VBlà vận tốc cầu

ngay sau va chạm v1x, v1y, v2y, v2x

thành vận tốc sau va chạm A B theo trục Ox, Oy

+ Xung lực tác dụng va chạm: ΔPA = F1Δt, ΔPB = F2Δt

Vì F1 = F2⇒ΔPA = ΔPB = ΔP

Xét cầu A: + mv1x = m2v - ΔPcosα⇒ v1x = 2v -

m P Δ (1) + mv1y = ΔPsinα⇒ v1y =

m P

2

Δ

(2) *Xét cầu B: + mv2x = ΔPcosα - mv ⇒ v2x =

m P

2

Δ

- v (3);

+ mv2y = -ΔPsinα⇒ v2y =

-m P

2

Δ

(4)

+ Định luật bảo toàn năng: E(trước) = E(sau) ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 y x y

x v m v v v

m mv

v

m + = + + + (5)

Từ (1) - (4) vào (5) sau biến đổi: 8ΔP2 = 3

mv (6)

Thay (6) vào (1) - (4) ta được:

4 3 ; ; 3 ;

4 2

1 v v v v v v v

vx = − y = x = y =− (7)

+ Từ hình vẽ:

2 1 46 3 ; 79

3 ⇒ = = = ⇒ =

= = β γ γ β x y x y v v tg v v tg

* Góc vBvà 2v : 180

0 - 790 = 1010 Góc giữa

B

v vlà: 1800 - 460 = 1340

Bài 16

Một sợi dây quấn ống dây hình trụ đồng chất kim loại m, bán kính R, J =

2

mR2 so với trục Hình trụ di chuyển mặt phẳng nghiêng góc α, giả thiết dây

đủ mảnh để mẫu dây AB bị căng song song với mặt phẳng nghiêng Hệ số ma sát ống dây mặt phẳng nghiêng f Ban đầu ống dây đứng yên

1.Với giả thiết α, ống dây đứng yên

2v

A

B

29

N

x y O

F ms

T

α

mg C

α

A

B

I

2.Trong trường hợp chuyển đơng: a, Tính gia tốc tâm C ống dây

b, Tính biến thiên động t = t

Lời giải

1, Khi ống đứng yên

Do ống không quay nên: Tur =Fmsuuuur +) Điều kiện cân bằng:

ur uur ur uuuurP N T Fms+ + + =0 (1) Fms ≤ f.N (2)

+) Chiếu lên trục 0x, 0y ta được: N = mgcosα

Fms = T = sinα

1 mg

Thế vào (2) rút ra: tgα ≤ 2f

Vậy với α thoả mãn : tgα ≤ 2f ống dây cịn đứng n

2, Khi ống chuyển động ( tgα > 2f) : trụ trượt mặt phẳng nghiêng lăn không trượt dây AB

Ta có: Fms = fmgcosα

+) mgsinα - fmgcosα - T = ma (3)

+) (T - Fms)R =

mR2

R a

(4) Từ (3) (4) suy ra: a = (sinα cosα)

3

f

g −

Biến thiên động gữa thời điểm t t0 = là:

2

0

2 d t

mv J

E E E ω

Δ = − = +

Trong : v = a.t

R t a R v = =

ω

I

ω

B A

α

30

Ta tìm được: 2(sin 2 cos )2.

4

t f

mg

Ed = α − α

Δ

Bài 17 Điều kiện cân bằng của vật rắn

Một cầu bán kính R, khối lượng m

đặt mặt phẳng không nhẵn nghiêng góc α so với mặt phẳng ngang Quả cầu giữ cân nhờ sợi dây AC song song với mặt phẳng nghiêng hình vẽ Biết cầu cịn nằm cân với góc α lớn α0 Hãy

tính:

a Hệ số ma sát cầu với mặt phẳng nghiêng b Lực căng T dây AC

Lời giải

a Tìm hệ số ma sát: Điều kiện cân cầu:

) ( );

1 (

0 P/A Fms/A

ms M M

F T N

P+ + + = =

Chiếu (1) lên Ox, Oy: Psinα +T + Fms = (3’) Pcosα + N = (3)

Từ (2) ta có: PRsinα = Fms.2R ⇒ Fms = P/2 sinα (4)

Vì cầu không trượt Fms≤kN ⇒ k ≥

N Fms

(5) Thay (3), (4) vào (5):

2 cos

2

sin α

α α tg P

P

k ≥ =

b Lực căng dây ứng với α = α0 Từ (3’) T = Psinα - Fms = Psinα - kN;

T = Psinα0 - kPcosα0

Bài 18.Điều kiện để một vật rắn lăn qua một điểm cản Một khối gỗ hình trụ đồng chất khối

lượng m = 10kg, bán kính R = 10cm đặt khối M hình vẽ Góc tạo bán kính OA OB với phương thẳng đứng 600 300

Bỏ qua ma sát Tính áp lực đè lên M A B M đứng yên M chuyển động với gia tốc a0 = 2m/s2 phương nằm ngang

hướng từ trái sang phải

Nếu có ma sát tìm a0 M để khối gỗ lăn quanh A Cho g = 10m/s2

Lời giải

a Khi hệđứng yên

O A

C

α

O A

31

Vật chịu tác dụng ba lực.Trọng lực P, phản lực NA, phản lực NB hình vẽ:

Áp dụng quy tắc momen lực trục quay qua B: NAR = P.R.sinβ

Hay NA = mgsin600 = 10.20.0,5 = 50 (N)

b Khi m nằm yên M mà M chuyển động

Xét hệ quy chiếu gắn với M Vật chịu tác dụng thêm lực quán tính fqt

Áp dụng quy tắc mômen trục quay qua B NAR = P.Rsinβ + ma0cosβ;

NA = mgsinβ + ma0cosβ

NA = 10.10.0,5 + 10.2 50 10 67,3N

2

3 = + =

Áp dụng quy tắc mômen trục quay qua A: NBR + fqtRsinβ = pRcosβ

NB =mgcosβ - ma0 sinβ = 10.10

2

3- 10.2.0,5 = 50

3 - 10 = 76,6 N c Khi m lăn qua A

Để m lăn qua A phải có: Fqt R sin β > P Rcosβ 10 17,3 /

sin cos

s m g

a > = ≈ ⇒

β β

Bài 19

Một đồng chất có chiều dài l vị trí thẳng đứng thỡ bị đổ xuống Hóy xỏc định :

a, Vận tốc dài đỉnh chạm đất?

b, Vị trí điểm M cho M chạm đất thỡ vận tốc nú vận tốc chạm đất vật rơi tự từ vị trí M?

Lời giải

a, Khi đổ xuống xem quay quanh điểm O với vận tốc góc w Khi vị trí thẳng đứng thỡ cú (thay

bằng chất điểm nằm khối tâm G cách O đoạn l/2) U =

2 mgl

Khi chạm đất thỡ biến hoàn toàn thành động quay :

Kquay=

2Iω =

2

2 ml ω

=

2 mgl

Từđó : w = 3lg

32

b, Ta biết vật rơi tự độ cao h chạm đất có vận tốc v = 2gh

Áp dụng cơng thức với điểm M có độ cao xM : vM = 2gxM

Theo đầu : 2gxM = xMw = xM 3g

l

Từđó tìm : xM =

3l

Bài 20. Dùng định luật bảo toàn xung lượng khảo sát chuyển động quay của đồng chất

Một AB đồng chất tiết diện đều, khối lượng m chiều dài l, đặt mặt phẳng ngang dễ dàng quay quanh trục quay cố định qua trọng tâm G vuông góc mặt phẳng nằm ngang

Ban đầu nằm yên Một bi khối lượng m chuyển động với vận tốc v0 (theo phương nằm ngang có hướng

vng góc với AB) đập vào đầu A Va chạm hoàn toàn đàn hồi Biết hệ số ma sát

và mặt phẳng nằm ngang μ Tìm góc quay cực đại sau va chạm Lời giải

Sau vừa va chạm vật có vận tốc v, có vận tốc góc ω

+ Bảo tồn mômen động lượng: mv0 l ml v ml ω v v lω

6 12

1

2

2 ⇒ = +

+

= (1)

+ Bảo toàn lượng 2 2

0 2

2

0

12

1 12

1 2

1

v l

v mv ml

mv = ω + ⇒ = ω + (2)

Từ (1) (2)

l v0

3

= ⇒ω

(3)

Áp dụng định lý động năng: IG 2 Ams

1 2

− ω =

v l

ml mg

l

2 3 0

1 1

2 12 4

⎛ ⎞ = μ φ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ Vậy:

v gl

2 0

3 2 φ =

μ

Bài 21. Dùng định luật bảo toàn xung lượng khảo sát chuyển động quay của hệ vật liên kết bởi lý tưởng

Một cứng AB khối lượng không

đáng kể chiều dài l, hai đầu có gắn viên bi giống nhau, viên có khối lượng m Ban đầu giữđứng yên trạng thái thẳng đứng, viên bi , bi tiếp xúc với mặt phẳng ngang trơn

Một viên bi thứ có khối lượng m chuyển động

m v

G A

B

B

33

với vận tốc v0 hướng vuông góc với AB đến va chạm xun tâm dính vào bi Hãy

tìm điều kiện v0 để hệ cầu không rời mặt phẳng ngang? Vận tóc

cầu chạm vào mặt phẳng ngang

Lời giải

Sau vừa va chạm hệ cầu có vận tốc: v13 =

2 0 v m mv = Khối tâm C hệ cầu có vận tốc: vc =

3

0 v

* Xét hệ quy chiếu h ệ quán tính Q có vận tốc

3 v

so với sàn C đứng n, cịn cầu 1,3 có vận tốc: v13Q =

6

0

0 v v

v − =

* Gia tốc hướng tâm vật 1, tâm C: ( )

l v l

v a Q ht

12

6 02

2 13 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Gia tốc khối tâm C hệ có phương thẳng đứng a0 = -g

Gia tốc vật 1,3 đất phương thẳng đứng là: a13 = (a13Q)ht +ac g

l v a = −

12 13 Để vật nâng lên a13 > suy v02 > 12gl

Vậy để vật (1, 3) khơng bị nâng lên v02 ≤ 12gl

* Xét hệ quy chiếu gắn với sàn:

- Vì vật 1, khơng nâng lên nên trước vật chạm sàn vận tốc theo phương ngang vật là:

3 v v v

vn = n = n = Theo ĐLBTCN:

gl v v mgl mv v v m mv mv d d n n n 2 2 ) ( 2 2 2 2 2

1 + + + = + ⇒ = +

Vậy vận tốc vật trước chạm sàn: v2 = v n v d v 2gl

9 2 2

2 + = +

Với β = (v2,v0) tgβ = v gl

v v gl v v v n d 2 3 3 2 0 2

2 = +

34 Bài 22. Dùng định luật bảo toàn momet xung lượng khảo sát chuyển động quay của thanh đồng chất

Một khối lượng M chiều dài l quay tự quanh trục cố định O nằm ngang qua đầu Từ vị trí nằm ngang đầu thả Khi rơi đến vị trí thẳng đứng va chạm hồn tồn

đàn hồi với vật nhỏ khối lượng m nằm mặt bàn Bỏ qua sức cản không khí ma sát trục quay

a xác định vận tốc vật m sau va chạm

b Xác định khoảng cách s mà vật m sau va chạm hệ số ma sát vật mặt bàn μ không phụ thuộc vào vận tốc vật Biết sau va chạm

đứng lại vật chuyển động tịnh tiến bàn Lời giải

a Vận tốc vật m sau va chạm

Khi rơi xuống bảo tồn Chọn gốc tính mặt bàn

ta có: W = W0

Mgl +l I =Mgl

2

2 ω I = 1/3 Ml

2

Giải phương trình ta

l g =

ω Xét va chạm vật m

Theo định luật bảo tồn mơmen động lượng ta có: L = L0⇔ Iω’ + mv.l = I ω

Va chạm hoàn toàn đàn hồi nên động hệ bảo toàn Wđ = Wođ⇔ 1/2Iω’2 + 1/2mv2 = 1/2 Iω2 (2)

Giải hệ phương trình (1) (2) ta được: gl

m M

M v

l g m M

m M

3 ;

3 3 '

+ = +

− =

ω b Quãng đường mà vật m bàn Gia tốc m bàn a = - μg

Quãng đường vật thêm dừng lại là:

s = 2

2

) (

6

3

2 M m

l M g

gl m M

M a

v

+ =

+ = −

μ μ

m

35 Bài 23

Một chất điểm chuyển động với vận tốc v tới va chạm vào đầu A kim loại M, chiều dài l treo vào O đầu Coi va

chạm đàn hồi Vận tốc chất điểm sau va chạm v’ chuyển

động phương chiều với vr liên kết hoàn hảo

a)v’ = ? ωt=?

b) Góc lệch cực đại θmcủa khỏi phương thẳng đứng c) Sự mát động tương đối Q chuyển động theo tỉ

số n = m

M , Qmax?

Lời giải

a) Trong suốt trình va cham, monme ngoại lực tác dụng lên hệ “chất điểm + thanh” ( trục quay qua O) Nên / 0=

uuuuur r

L const

Ta có: Bảo tồn momen động lượng: mvl = mv’l + Iω (1) Bảo toàn động năng: m

2

v

= m '2

v

+

2

Iω (2)

Mơmen qn tính thanh: I =

Ml (3)

ml(v - v’) = Iω; m(v2 - v’2) =

Iω

ω = v v'

l

+

ml(v - v’) =

3

Ml ω Suy v’ = 3 .

3

m M v m M

−

+ (4)

ta tìm được: ω =

m v

m M l+ (5)

Sau va chạm vur' phương chiều với vr nên ta có v’≥ ⇔3m ≥ M b) Theo định luật bảo toàn năng:

2

Iω = Mg (1 cos )

2

l

m

θ

−

⇒ sin2θm= 2

2

I mv

gl m M gl

ω ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

+ ⇒ sinθm =

6

v

M gl m

+

c) Sự mát lượng tương đối

Q =

2

I

2

2

2

I mv mv

ω

ω

= ⇒ Q = 12 2 9 12

(3 ) 6

Mm

m M m M

m m

=

36

Mà 9m M

M + m ≥ = Dấu xảy

1

m M =

Nên Qmax= 12 1

6

m M

= ⇔ =

+

Bài 24. Khảo sát chuyển động của hệ vật hai mặt phẳng bằng ĐLBT cơ

Thanh AB cứng, nhẹ chiều dài l đầu gắn cầu nhỏ khối lượng nhau, tựa vào tường thẳng đứng (Hình vẽ) Truyền cho cầu B vận tốc nhỏ để trượt mặt sàn nằm ngang Giả thiết trình chuyển động AB ln nằm mặt phẳng vng góc với tường sàn Bỏ qua ma sát cầu với tường sàn Gia tốc trọng trường g

a Xác định góc α hợp với sàn vào thời điểm mà quà cầu A bắt đầu rời khỏi tường

b Tính vận tốc cầu B

Lời giải

a Vào thời điểm đầu A tựa vào tường AB hợp với phương ngang góc α Vận tốc A B vA vB lúc A xuống đoạn x -

l(1-sinα)

b Định luật bảo toàn năng: mgx = ( )

2 ) sin ( )

(

1 2 2

B A B

A v mgl m v v v

m + ⇒ − α = + (1)

Vì AB cứng nên theo định lí hình chiếu hai điểm A, B vật rắn:

B A

B

A v v v

v

α α α

α

sin cos cos

sin = ⇒ =

Từ (1) (2) ta suy ra; gl(1-sin α α

α

α 2

2

2 2 (1 sin ).sin

sin

1

)= vB ⇒vB = gl −

Khi A chưa rời tường lực gây gia tốc vận tốc theo phương ngang nằm ngang phản lực tường tác dụng lên A theo phương ngang Lực vGx tăng dần

Nên đầu A rời tường tức N = 0, aGx = vGxđạt cực đại

Mà vB = 2vGx nên vBđạt giá trị cực đại

Xét phương trình:

2 sin sin ) sin ( sin ) sin (

2

2 = gl − α α = gl − α α α

vB

37

Ta thấy : =const

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + + ≤ − sin sin ) sin ( 27 sin sin ) sin ( α α α α α α

Nên vBđạt cực đại ; 420

3 sin sin ) sin ( − α = α ⇒ α = α ≈

b Thay sinα = 2/3 vào (3) ta vB = gl 27

8

Bài 25

Thanh ABC khối lượng M, chiều dài 2L, gấp lại trung điểm B đặt mặt phẳng nằm ngang Vật m chuyển động với vận tốc v0

uur

mặt phẳng nằm ngang theo phương vng góc với BC, va chạm với C Coi va chạm đàn hồi, bỏ qua ma sát Tìm điều kiện m để sau va chạm vật bị bật ngược trở lại

Lời giải

Áp dụng định luật bảo tồn động lượng mơmen động lượng G:

mvo = mv1 + Mv2

(1)

mvo l =mv l +Iω

4

3

1 (2) áp dụng định luật bảo toàn năng:

02 12 22

2 2

mv mv Mv Iω

= + + (3)

Với :

2

2

2 ( )

2

2 ( )

12 24 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = → = G G M L M I NG L

NG I ML

Giải hệ phương trình

2

0

1

5 18

18

5 24 ( o )

v L L v

v v v m v v Mv

ω ω

= ⇒ =

+ = − =

Điều kiện m bị bật ngược trở lại v1 < Rút ra:

29 < m M Bài 26

Thanh AB với chiều dài l treo khớp vào điểm A ( hình vẽ ) Cho bỏ qua ma sát khớp, xác định vận tốc góc ω0bé cần phải truyền cho để có đạt tới vị trí nằm ngang

38

Lời giải

Các đại lượng biết : ω =1 độ dời hệ xác

định góc B0AB1 Do để giải toán tiện

hơn sử dụng định lý biến thiên động

Vì hệ khơng biến hình, ta có phương trình biến thiên động là:

1 01

ng A

Τ − Τ = (1 ) Gọi m khối lượng thanh, ta xác định đại lượng tham gia phương trình

Ta có động hệở vị trí ban đầu là:

2

0 0

1

2 A 6ml

Τ = Ι ω = ω ( )

Vì vân tốc vị trí cuối không ⇒ Τ =1 ( ) Liên kết ( khớp A ) lý tưởng, nên có lực chủ động P = mg thực công bằng:

A = - P.hc = - mg

l

( ) Thay ( ), ( ) ( ) vào ( ) ta : - 2

0

6ml ω = - mg2

l

0 3g

l ⇒ ω =

Vậy phải tạo cho vận tốc góc nhỏ 0 3g

l

ω = để có thểđạt đến vị

trí nằm ngang

Câu 27. Vật rắn chuyển động một mặt cầu

Một khối trụ đặc có khối lượng m bán kính r bắt đầu lăn không trượt bên mặt trụ có ma sát bán kính R từ

một vị trí xác định góc α0 Hãy xác định áơ lực khối trụ vị trí tuỳ ý xác định góc α

Lời giải

Áp lực khối trụ tài vị trí tuỳ ý xác

định góc α

Phương trình chuyển động khối trụ: P+N+F =ma (1) Hợp lực tác dụng vào vật hướng tâm quỹđạo lực hướng tâm

C

O

P F

N

B1 A

39

Chiếu (1) lên phương pháp tuyến ta được: cosα

) (

2

P N r R

mv

− =

− (2)

Chọn mốc tính vị trí cân khối tâm trụ

Xét vật vị trí ban đầu góc α0:

Cơ năng: Wl = Wl = Wt = mg(R -r)(1-cosα0) (3)

Xét vật vị trí góc α

Cơ năng: W2 = mg(R - r)(1-cosα) + 2

2

1 ω

I mv + (Trong I = 1/2mR2 mơmen qn tính khối trụ,

r v

=

ω vận tốc góc khối trụ quay quanh khối tâm

W2= mg(R-r)(1-cosα) + 2

2 2

4 ) cos )( ( W

;

1 2

1

mv r

R mg r

v mr

mv + = − − α + (4)

Vì W1 = W2⇔mg(R - r) (cosα- cosα0) = 3/4mv2; (cos cos )

3 )

(

2

α

α−

= −

⇒ mg

r R

mv

(5) Thay (5) vào (1) ta tìm được: N = P/3 (7cosα - 4cosα0)

Câu 28

Hình trụđồng chất khối lượng m bán kính r lăn khơng trượt mặt bán trụ cố định bán kính R từđỉnh với vận tốc đầu V0 =

1 Xác định vận tốc khối tâm hình trụ theo góc ϕ góc hợp đường thẳng đứng

đường thẳng nối tâm hai trụ

2 Định vị trí hình trụ r rời mặt trụ R Bỏ qua ma sát Lời giải

1 Xác định vận tốc khối tâm hình trụ theo góc ϕ góc hợp đường thẳng đứng

đường thẳng nối tâm hai trụ

Áp dụng định lý động năng: Wđ - Wđ0 = Ap (1)

C y

x R

r

O ϕ

N

40

Với Wđ0 = 0; (2)

2

1

W '2

d = mvC + Iω ; vC = (R +r)ω

ω vận tốc góc khối tâm C trụ nhỏđối với tâm O trụ lớn ω’2 kà vận tốc góc của trụ nhỏ quanh khối tâm C

Lăn không trượt nên: ω’r = ω (R +r); (2) 2

d ( )

4

W = m R+r ω

⇒ (3)

Ap = mg(R +r)(1-cosϕ) (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ( )(1 cos )

3

4 + − ϕ

=

⇒vc g R r (5)

2 Từ vị trí hình trụ r rời mặt trụ R:

Áp dụng định luật II Niu tơn cho hình trụ: mac = P+N Chiếu hệ thức vec tơ lên trục hướng tâm:

r R

v m mg

n N mg

r R

v

m C C

+ − =

⇒ − =

+

2

cos

cosϕ ϕ (6)

Khi N = Từ (5) (6) suy ra:

7 arccos

4

cosϕ = ⇒ϕ =

Bài 29 Bài toán sử dụng định luật bảo toàn moment xung lượng

Một đĩa trịn đồng chất, trọng lượng Q, bán kính R quay quanh trục thẳng đứng AB qua tâm đĩa vng góc với đĩa Trên vành đĩa có chất điểm M có trọng lượng P

Đĩa quay quanh trục với vận tốc góc ω0 Tại

thời điểm chất điểm M chuyển động theo vành đĩa với vận tốc tương đối so với đĩa u Tìm vận tốc góc đĩa lúc

Lời giải

Khảo sát hệ gồm đĩa chất điểm M Đĩa quay quanh trục cố định z thẳng

đứng, chất điểm M chuyển động mặt đĩa theo đường trịn tâm O, bán kính OM (chuyển động tương đối ) với vận tốc u quay với đĩa quanh trục z (chuyển

động theo)

Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực Qr , Pr phản lực RrA, RrB

ổ trục A B

Vì hệ ngoại lực gồm lực song song cắt trục z ta có :

RA

Pr B

Z RB ω

u Q

O

41

z e

z k dL

M (F ) dt =∑ =

r

⇒Lz = const

⇒Lz = Lz( ) (1)

Trong đó: Lz Mômen động lượng hệ theo trục z thời điểm Lz( )

Mômen động lượng hệ theo trục z thời điểm ban đầu

Giả sử thời điểm đầu chất điểm nằm yên đĩa với đĩa quay quanh trục z theo chiều dương với vận tốc góc ω0

⇒ Mơmen động lượng hệ theo trục z thời điểm ban đầu là: Lz( ) = Lz1( ) + Lz2( )

Trong đó: L1( ) = Ι ωz 0=

0

Q R

g ω mômen động lượng đĩa theo trục z thời

điểm ban đầu

L2( ) = R

P v

g = P R R

gω =

0 P

R

g ω mômen động lượng chất điểm

theo trục z thời điểm ban đầu ⇒ Lz( ) = ( ) 0

2

Q P R g

+

ω ( )

Khi chất điểm chuyển động đối đĩa với vận tốc u ( theo chiều dương z ) đĩa

quay quanh trục z với vận tốc góc ω theo chiều dương

Suy ta có mơmen động lượng hệ theo trục z thời điểm là: Lz = Lz1 + Lz2

Trong đó: Lz1 = Ι ωz =

2

Q R

g ω mômen động lượng chất điểm theo trục z

thời điểm

Lz2 = R.P.v,

g = P

R ( R u)

g ω + mômen động lượng chất điểm theo trục

z thời điểm ⇒ Lz = ( )

2

2

R Q P PRu g

ω + +

( ) Thay ( ) ( ) vào ( ) ta được:

( )

0

2

Pu Q P R

ω = ω − +

Đĩa quay quanh trục z theo chiều âm hay dương phụ thuộc vào

( )

0

2

Pu Q P R

ω = ω − +

dương hay âm

Bài 30

42

chúng dao động xoắn Cho khối lượng trục bé khơng đáng kể, cịn mơmen qn tính đĩa trục x I1 I2 đại lượng biết

Lời giải

Để bỏ qua lực đàn hồi chưa biết có tác dụng gây dao động đĩa, ta xem trục đĩa hệ

Các lực tác dụng lên hệ gồm: phản lực gối đỡ trọng lực cắt trục x vậy:

∑M (F )x k = ⇒0 Lx = const

Vậy mơmen động lượng hệ bảo tồn

Ta có mômen xung lượng ban đầu hệ là: Lx1 = (1)

Ta có mơmen động lượng hệ dao động là: Lx2 = I1.ω1 + I2.ω2 (2)

(vì mơmen động lượng hệđối vớ trục x tổng mômen động lượng đĩa

đối với trục đó) Từ ( 1) ( 2) ta có:

1

1 I I

ω = − ω (3)

Tích phân vế ( ) từ t ta có: 2

1 2

0 1

t t

I I

dt dt

I I

ω = − ω ⇔ ϕ = − ϕ

∫ ∫

Trong ϕ1 ϕ2 góc xoắn đĩa từ vị trí ban đầu Bởi vậy, dao động

xảy ngược chiều nhau, biên độ dao động góc tỷ lệ nghịch với mơmen qn tính đĩa

Bài 31

Một gián khối lượng m bò ngược chiều kim

đồng hồ theo mép khay nhiều ( đĩa trịn lắp trục thẳng đứng ), bán kính R, mơmen qn tính I, với ổ trục khơng ma sát Vận tốc gián ( trái đất ) v, khay quay theo chiều kim đồng hồ

với vận tốc góc ω0 Con gián tìm mẩu vụn bánh mì

mép khay dừng lại

a) Vận tốc góc khay sau gián dừng lại, bao nhiêu?

b) Cơ hệ có bảo tồn khơng? Lời giải

Mơmen qn tính Ig gián trục quay là: Ig = m.R2

I2 I1

x

vr

0 ωr

0 ωr

g

ωr

43

m g T

m O R T ro n g M

M ô to

g

Vận tốc góc gián trục quay là: g v

R ω = Mômen động lượng hệ gián bò là:

0 g g

L= Ι ω − Ιω =m v

R

R - Ιω =0 m

Rv− Ιω ( ) Mômen động lượng hệ gián dừng lại là:

( ) ( 2)

,

g

L = Ι + Ι ω = Ι +mR ω ( )

Theo định luật bảo tồn mơmen động lượng :

,

L = L ⇔ Ι +( m R2)ω = m R v− Ιω0

0

mRv mR

− Ιω ⇔ ω =

Ι + ( ) Động hệ gián bò là:

K1 = Kg + K0 = 20

2mv + Ιω2 ( ) Động hệ gián dừng lại là:

K2 = 1( ) 1( 2) 20

2 g

mRv mR

mR − Ιω

⎛ ⎞

Ι + Ι ω = Ι + ⎜ ⎟ Ι +

⎝ ⎠ ( )

Độ biến thiên động q trình biến thiên là:

ΔΚ = Κ − Κ2 1 ( ) Thay ( ) , ( ) vào ( ) biến đổi ta có:

ΔΚ = Κ − Κ2 1 = - ( )

( )

2 2

m v R mR Ι + ω

Ι + <

⇒ K2 < K1: Động năng( ) hệ bị giảm (không bảo toàn) Bài 32

Một tời trống quay xem hình trụ tâm O khối tâm có bán kính R, momen qn tính I trục Một dây cáp khối lượng khơng đáng kể, hoàn toàn mềm quấn quanh trống đầu dây cáp nối với tải khối lượng m Trống quay khơng ma sát quanh trục cố

định nhờ động tác động ngẫu lực có

momen M = const Xác định gia tốc thẳng

đứng tải trọng Lời giải

44

Gọi T lực căng dây, γ gia tốc góc trống ay gia tốc tải m

M - TR = Iγ Ta có: T - mg = may

ay = γ R

tìm T = mRM2 mgI

mR I +

+

ay =

2

− −

=

+

T mg MR mR g

m mR I

Cách 2: Sử dụng =∑M dt

dL

ngoại

Lz = I mRv (I mR2)v R

ω+ = +

∑Mngoai =M −mgR

Suy (I + mR2)

R a

= M – mgR ta tìm a (M mgR R2)

I mR

− =

+

Bài 33 Dao động của vật rắn

Để đo gia tốc trọng trường g, người ta dùng lắc rung, gồm thép phẳng chiều dài l, khối lượng m, đầu thép gắn chặt vào điểm O giá, đầu gắn chất điểm khối lượng M vị trí cân thép thẳng đứng Khi làm thép lệch khỏi vị trí cân góc nhỏ θ (radian) sinh momen lực c.θ (c hệ số không đổi) kéo thép trở vị trí (xem hình vẽ) Trọng tâm thép nằm trung điểm momen qn tính riêng thép trục quay qua O ml2/3

a, Tính chu kì T dao động nhỏ lắc

b, Cho l = 0,20m, m = 0,01kg, M = 0,10kg Để lắc dao động, hệ số c phải lớn giá trị nào? Biết g không vượt 9,9m/s2

c, Cho l, m, M có giá trị nhưở mục b, c = 0,208 Nếu đo T = 10s g có giá trị bao nhiêu?

d, Cho l, m, M, c có giá trị cho mục c Tính độ nhạy lắc, xác định

dg dT

, dT biến thiên nhỏ T ứng với biến thiên nhỏ dg g quanh giá trị trung

bình

0 9,8m/s

g = Nếu gần g0, gia tốc g tăng 0,01m/s2 T tăng hay giảm bao

45

e, Xét lắc đơn có chiều dài L = 1m dùng đểđo g Tính độ nhạy lắc đơn gần giá trị trung bình g0; g tăng 0,01m/s2 chu kì T của lắc đơn tăng

hay giảm bao nhiêu? So sánh độ nhạy hai lắc (Trích đề thi chọn học sinh vào

đội tuyển dự olympic vật lý châu năm 2004)

Lời giải

a) Momen quán tính lắc I =

3 ml

+ Ml2 = l2(M + m

)

Momen lực M = mg

2 l θ

sin + Mglsinθ - cθ ≈ ⎢⎣⎡gl M +m)−c⎤⎥⎦ (

θ Phương trình Jθ = M

2

l ( ) θ m

M + = ⎢⎣⎡gl M +m)−c⎥⎦⎤ (

θ hay θ θ

) ( ) ( m M l m M gl c + + −

+ =

Giả thiết )

2 (M m gl

c> + , lắc dao động nhỏ với chu kì:

T = ) ( ) ( 2 m M gl c m M l + − +

π (1)

b) Điều kiện )

2 (M m gl

c> + , với max 9,9m/s

g = cho c>9,9.0,2.0,105 hay c>0,2079

c) Đặt ) 0,004132 ,

3 (

2 + =

= l M m

a ) 0,021

2

( + =

=l M m

b (đơn vị SI)

(1) bg c a T − =

→ 2π (2), hay

bg c a T − = 2

4π , với T = 10 s tính

đượcg=9,83m/s2

d) Lấy ln hai vế (2) ln( )

2 ln 2 ln

lnT = π + a− c−bg

Lấy đạo hàm g, với T hàm g :

) ( bg c b dg dT

T = − → độ nhạy 2(c bg) bT dg

dT

−

= (3)

Với b=0,021, c=0,208 với g ≈g =9,8m/s2 T ≈10s, ta có ≈48 dg

46 k g O R C 02 T T01 x ω mg 02 T C 01 T

g tăng 0,01m/s2 T tăng 0,48s, dễ dàng đo được

Chú ý: Nếu tính trực tiếp

dg dT

từ (2), khơng qua ln phức tạp Cũng khơng cần thay T (3) (2), ta biết với g ≈g0 T ≈10s

e) Với lắc đơn

g L

T =2π , làm tương tự: T L lng

2 ln 2 ln

ln = π + − Lấy đạo hàm g

g dg dT T 1 − = → g T dg dT − =

Con lắc đơn có L=1m T ≈2s Với g ≈9,8m/s2thì ≈−0,1 dg

dT

; g tăng 0,01m/s2

thì T giảm 0,001s, khơng đo Vậy lắc rung nhạy lắc đơn là:

( ) sin( )

3 0 t l m M mv ω ω θ +

= với

) ( ) ( m M l m M g + + =

ω , tần số

ω π

2 = T

và góc lệch cực đại

l m M mv ω θ θ ) ( 0

max = = +

Bài 34

Tính chu kì dao động thẳng đứng tâm C hình trụ đồng khối lượng

m, bán kính R, có momen qn tính trục

2

mR Sợi dây không dãn, không

khối lượng, không trượt lên rịng rọc Lị xo có hệ sốđàn hồi k Lời giải

Cách 1 ( phương pháp động học, động lực học) +) Tại vị trí cân ta có:

T01= T02 = mg

, T02 = k.Δl = mg

=> mg - k.Δl=

+) Tại li độ x (của C ) lò xo dãn (Δl+2x) Ta có phương trình động lực học: (T1- T2)R = Iγ = I

R x"

=> T1 = 2 "

T mx + Mà T2 = Fđ = k(Δl+2x)

+) Phương trình động lực II Newton: - (T2+T1) + mg = mx”

rút x”+

3

8 =

x m

k

với

47

Chu kì dao động khối tâm C : T = 2

8

m k

π π

ω =

Cách 2: Phương pháp lượng

Ta có: C li độ x, lò xo dãn thêm 2x

E = ( )

2

2 2

2 2

k x I mv

const

ω + + =

R x R v = ' =

ω

Đạo hàm (4) theo thời gian thay (5) vào ta được: x”(m + 2)+4kx=0

R I

x”+

3

8 =

x m

k

với

m k

3

=

ω

Chu kì dao động khối tâm C : T =

k m

8

2 π

ω

π =

Bài 35

Một hình trụ đặc đồng chất, trọng lượng P, bán kính r

đặt mặt lõm bán kính cong R (hình vẽ) Ở điểm hình trụ người ta gắn lị xo với độ cứng k Tìm chu kì dao động nhỏ hình trụ với giả thiết hình trụ lăn khơng trượt

Lời giải

Định luật II Newton:

2kΔx + Mgα - Fms = Ma (1)

(2) (2) =>

(1) =>

=>

Chú ý là:

Δx = (R- 2r)α ; a = (R- r)

=> 4k (R- 2r)α + Mgα + M(R – r) =0

=> α + =

=>

R k

r

R k

α

θ

A A’

B1

B

48 IV HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài

Một bóng bán kính R quay quanh trục cố định nằm ngang OO’ Một dải băng giáp cứng làm thành nửa hình trụ bán kính R ,áp dựa vào bóng từ

bên chuyển động với vận tốc v hướng nằm ngang vng góc với trục OO’(hình vẽ) Hãy tính vận tốc góc

quay bóng

Bài

Trên bề mặt nằm ngang khơng ma sát có

hai đĩa giống nhau(hvẽ) Ký hiệu đường vận tốc góc bên, kích thước R r (R >r),va chạm đàn hồi Xác định vận tốc đĩa sau va chạm

Bài

Ống thành mỏng khối lượng m quay xung quanh trục bên cạnh có

một ống ban đầu đứng yên nằm

ngang(hvẽ).Hệ số ma sát tất bề mặt tiếp giáp μ =2 Tính gia tốc chuyển động ống ban đầu quay?

Bài

Một hình trục quấn quanh sợi dây

được cố định đầu, đầu mặt phẳng nghiêng, nghiêng góc α với phương ngang (hvẽ)

ở thời điểm, dây thẳng đứng vận tốc góc hình trụ ω Tính thời điểm đó:

a/ Vận tốc trục hình trụ

b/ Vận tốc điểm hình trụ tiếp điểm với phương ngang Bán kính hình

trụ R

Bài

Với giá trị góc αnhư khối lập phương giống nằm

cân hình vẽ Hệ số ma sát khối giá trị

μ, khối với coi nhỏ

Bài

R

R V2

V1

l

V

O

O’

2R

a

49

Một AB đồng chiều dài 2b, đầu tựa mặt đất nằm ngang, đầu tựa vào tường thẳng đứng Vị trí xác định theo góc α = (OX,OG) Bỏ qua ma sát Ở thời điểm ban đầu α = α0,

đứng yên Tính phản lực NB tường lên từđó suy

ra góc nghiêng α1 mà rời khỏi tường Bài

Một hình trụ rỗng khối lượng m lăn xuống theo mặt phẳng nghiêng(với góc α= 45o) (lăn khơng trượt) Ở

bề mặt phía hình trụ tuyệt đối nhẵn có vật nhỏ khối lượng m = M/2 Hỏi góc βkhi hình trụđang lăn

Bài

Một không khối lượng nối với nặng đầu bắt đầu rơi từ vị trí thẳng

đứng khơng vận tốc đầu Đầu bị chặn phía hình vẽ Hỏi góc véc tơ vận tốc phương thẳng đứng thời điểm chạm mặt phẳng ngang?

Bài

Một hình trụđặc khối lượng m bán kính r lăn khơng trượt theo mặt hình trụ rỗng khối lượng M, bán kính R Hình trụ lớn quay xung quanh trục theo phương ngang Các trục hình trụ song song với Bỏ qua ma sát Ban

đầu hình trụ đặc vị trí mà đường nối tâm hai hình trụ lệch góc ỏ nhỏ so với phương thẳng đứng Thả cho hình trụ dao động Viết phương trình dao động hình trụ

Bài 10

Vật rắn có khối lượng M quay quanh trục cố định nằm ngang di qua

điểm O nằm vật, mơ men qn tính vật với trục quay I điểm A cách O đoạn d ta nối vật m AB khơng khối lượng có chiều dài l quay quanh A mặt phẳng quay vật rắn Tìm chu kì dao động nhỏ

của vật

Bài 11

Vật A có khối lượng M nối với vật B khối lượng m AB có khối lượng khơng đáng kể Vật A nằm mặt phẳng ngang nhẵn buộc với đầu lị xo có độ cứng k, đầu lại lò xo chột cố định O mặt phẳng ngang Khi vật B dao động mặt phẳng thẳng đứng kéo vật A dao động theo đường thẳng ox nằm ngang Viết phương trình dao động vật biết thời điểm ban đầu, vật B

m

m

l

50 vị trí có góc lệch α0 so với phương thẳng đứng Oy vận tốc v0 hướng vng góc

với AB vị trí cân

Bài 12

Một vành xe bán kính R lăn khơng trượt mặt bàn nằm ngang, vận tốc khối tâm G V0 Gọi I điểm vành, ban đầu I tiếp xúc với bàn Xác định

phương trình chuyển động, vận tốc gia tốc I

Bài 13

Một cầu bán kính R lăn không trượt mặt phẳng nghiêng vơi gia tốc không đổi a Ở thời điểm t vị trí điểm hình

vẽ Hãy xác định vận tốc gia tốc A, B O

Bài 14

Một cầu bán kính R lăn khơng trượt máng

hình chữ V với góc mở ỏ Vận tốc khối tâm O v0 Hãy xác định vận tốc góc

của cầu

Bài 15

Một hình nón trịn xoay có nửa góc đỉnh ỏ, bán kính đáy r, lăn khơng trượt mặt phẳng ngang

hình vẽ: Đỉnh nón khớp vào điểm O có

độ cao với tâm C đáy Vận tốc C v0 Hãy xác định vận tốc góc gia tốc góc hình nón

Bài 16

Trên mặt phẳng ngang có vành đai đứng yên bán kính R Một vành đai khác giống hệt chuyển động với vận tốc v Tìm phụ thuộc vận tốc u giao điểm vành đai vào khoảng cách d hai tâm Các vành đai mảnh chạm trình chuyển động

Bài 17

Người ta xâu vòng O,O’ vào hai trục song song

cách khoảng d Một sợi dây buộc cốđịnh A’ luồn qua vịng Vịng O’ xuống với vận tốc v khơng đổi Tìm gia tốc vịng O dây tạo với AB góc α

Bài 18

Hai thép có chiều dài OA = L1, BO = L2 liên kết khớp nối

O Người ta kéo hai đầu A,B hai theo phương ngang hai phía ngược chiều với vận tốc không đổi v1,v2 Xác định gia tốc khớp nối O lúc hai

thanh vuông góc nhau, biết hai ln nằm mặt phẳng

Bài 19

A B O

d O’

51

Một cầu đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R lăn khơng trượt mặt phẳng nghiêng hợp với phương ngang góc α Tìm:

a Giá trị hệ số ma sát để trượt không xảy

b Động cầu sau t giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động

Bài 20

Một đĩa đồng chất có bán kính R, quay chỗ với vận tốc góc ban đầu ự0 Hệ số ma sát đĩa mặt phẳng ngang k Tìm số vịng mà đĩa quay thêm dừng lại

Bài 21

Cho hệ hình vẽ Hệ số ma sát m1 bàn k Ròng rọc coi

một đĩa tròn đặc khối lượng M bán kính R quay khơng ma sát quanh trục Vật m2 ban đầu cách mặt đất khoảng h Thả cho hệ chuyển động từ nghỉ Tìm gia tốc vật tỷ số hai lực căng dây trước m1 chạm đất

2 Sau m1 chạm đất vật m2 chuyển động

nào?

Bài 22

Một hình trụ đặc đồng chất bán kính R, khối lượng M quay tự quanh trục nằm ngang qua tâm Trên trụ có sợi dây mảnh có

độ dài l khối lượng m Tìm gia tốc góc hình trụ phụ thuộc vào chiều dài đoạn dây bỏ thõng xuống Giả thiết trọng tâm phần dây nằm trục trụ

Bài 23

Một hình trụ đặc đồng chất có khối lượng m, bán kính R làm quay xung quanh trục với vận tốc góc ω0 Hình trụđược đặt lên mặt phẳng ngang Hệ số

ma sát hình trụ mặt phẳng ngang k Tìm:

a Thời gian chuyển động hình trụ có trượt b Cơng tồn phần lực ma sát tác dụng lên hình trụ

Bài 24

Một hình trụ đồng khối lượng m, bán kính R đặt khơng vận tốc đầu mặt phẳng nghiêng hợp với phương ngang góc α, hệ số ma sát k

1 Xác định gia tốc hình trụ CMR: có trượt hay khơng cịn tùy vào giá trị góc α so với giá trịα0 cần tìm

2 Tìm tổng lượng hình trụở thời điểm t = t Xét hai trường hợp: α < α0 α > α0

x

m1 M

m2

52 Bài 25

Một hình lập phương khối lượng M hình trụđặc m bán kính R Sợi dây không dãn không khối lượng đâu buộc vào M, đầu vào hình trụ Hình lập phương chuyển động khơng ma sát mặt phẳng nghiêng nghiêng góc α Rịng rọc khơng khối lượng quay khơng ma sát quanh trục Hệđược thả tự không vận tốc đầu, dây không bị

trùng mà không bị căng, phần dây bên hình trụ thẳng đứng, phần buộc vào M song song với mặt phẳng nghiêng Xác định gia tốc vật, biện luận theo giá trị α

Bài 26

Một hình trụ đặc đồng chất có bán kính R = 15cm nằm mặt phẳng ngang mặt phẳng nghiêng tạo góc α = 300 với mặt phẳng ngang Tìm vận tốc cực đại v0 hình trụđể khơng bi nảy lên Giả thiết khơng có trượt

Bài 27

Một đồ chơi hình trụđặc đồng chất khối lượng m, bán kính R ban đầu nằm cạnh giá (cạnh song song với đường sinh hình trụ) Dưới ảnh hưởng vận tốc ban đầu không đáng kể, đồ chơi rơi xuống Hệ số ma sát trượt đồ chơi giá k độ nghiêng α0 đồ chơi

bắt đầu rời khỏi giá Áp dụng: k = 0,2

Bài 28

Một hình trụđồng chất, khối lượng m, bán kính a, khối tâm G thời điểm ban

đầu hình trụ quay với vận tốc góc ự0 cịn khối tâm G đứng n mặt bàn nằm ngang Hệ số ma sát trượt trụ bàn k

1 Xác định thời điểm t: vận tốc G vận tốc góc ω

2 Ở thời điểm t1 hết trượt? Xác định v1, ω1 quãng đường S1 mà

3 Tính cơng lực tiếp xúc

4 Sau hình trụ chuyển động nào? Biện luận vẽđường cong biểu diễn biến thiên v ω theo thời gian

Bài 29

Một vành đai mỏng rắn có bán kính R đặt thẳng

đứng sàn gần điểm tiếp xúc với sàn người ta gắn vào vành đai vật nhỏ A có khối lượng khối lượng

53

vành đai Sau người ta truyền cho trục vành đai vận tốc nằm ngang v0 Với

các giá trị v0 vành đai không nhảy lên, lăn xảy không trượt Bài 30

Một vật rắn khối lượng m, khối tâm G nằm mặt đất

nằm ngang A,B Tiếp xúc B khơng có ma sát, cịn tiếp xúc A có

ma sát với hệ số k thời điểm đầu người ta đẩy vật rắn với vận tốc đầu v0 nằm ngang Xác định khoảng cách d mà vật dừng lại

Bài 31

Một người xe đạp khởi động đường

nằm ngang Người xe đạp xem vật rắn liên kết với xe đạp (bỏ qua khối lượng đôi chân chuyển động người) Gọi m

khối lượng người + xe đạp, hai bánh xe giống có bán kính R khối lượng khơng đáng kể Khối tâm G hệ chuyển động xác định chiều dài a, b, h Gọi n tỷ số đĩa líp bánh sau, k hệ số ma

sát trượt bánh xe đường Hỏi mô men ngẫu lực M người phải tác dụng lên

đĩa để bánh xe không trượt mặt đường

Bài 32 (Đề thi HSGQG năm 95-96)

Một khối trụ T, gồm hai nửa, nửa có tiết diện nửa hình trịn, bán kính R, chiều cao h, có khối lượng riêng D1 D2 với D1<D2 Khối trụ đặt

trên phẳng P Hệ số ma sát T p đủ lớn để T lăn không trượt P Tìm khối tâm nửa hình trịn đặc đồng tính

2 Cho mặt P nghiêng góc α so với đường nằm ngang Tính góc ϕ mà mặt phân cách làm với mặt ngang trụ cân

3 Tăng dần góc nghiêng α Đến giá trị α hình trụ bắt đầu lăn xuống? Lúc

đó ϕ bao nhiêu?

4 P hồn tồn nằm ngang hình trụđang nằm cân Đẩy nhẹ cho T lăn góc nhỏθ bng Chuyển động khối tâm hình trụ coi dao động điều hịa

được khơng? Nếu có tính chu kì dao động?

Bài 33

Một vịng dây xích kín A có khối lượng m = 0,36kg, nối qua dây vào

đầu trục thẳng đứng máy quay li tâm quay với vận tốc góc khơng đổi ω = 35rad/s Sợi dây làm góc α = 450 với đường thẳng đứng Xác định khoảng cách từ

khối tâm vịng dây xích đến trục quay sức căng dây xích

Bài 34

A B

h

b a

54

Một hình nón trịn xoay A khối lượng m = 3,2kg có nửa góc ởđỉnh α = 100, lăn khơng trượt mặt nón B cho bất động Khối tâm hình nón A

độ cao với đỉnh O, cách đỉnh khoảng L = 17cm chuyển động theo đường trịn với vận tốc góc ω Hãy xác định:

a Lực ma sát tĩnh tác dụng vào hình nón A ω = 1rad/s

b Giá trị ự chuyển động hình nón A tiến hành khơng trượt, hệ số ma sát mặt k = 0,25

Bài 35:(đề thi HSGQG năm 2006)

Một vật hình cầu bán kính R đứng yên gỗ mỏng CD Mật độ khối lượng vật phụ thuộc vào khoảng cách r đến tâm theo quy luật:

u = )

R r + (

m

R3

π ; m số dương

Tấm gỗ kéo mặt bàn nằm

ngang theo chiều CD với gia tốc khơng

đổi a (hình vẽ) Kết vật lăn khơng trượt phía D đoạn l rơi

xuống bàn Hệ số ma sát trượt vật mặt bàn k

1 Tính khối lượng mơmen qn tính vật trục quay qua tâm Hãy xác định thời gian vật lăn gỗ gia tốc tâm O vật mặt bàn Tại thời điểm vật rơi khỏi gỗ vận tốc góc vật bao nhiêu?

4 CMR suốt trình chuyển động mặt bàn vật ln lăn có trượt Vật chuyển động quãng đường s bàn?

Bài 36

Một AB đồng chất khối tâm G, khối lượng m, chiều dài l Thanh treo vào điểm O hai dây không dãn, không khối lượng chiều dài l

1 Hệ cân tính lực căng T0 dây

2 Cắt dây OB tính giá trị T vừa cắt Tính tỷ

số T/T0 Bài 37

Một AB đồng chất chiều dài 2b khối tâm G đặt thẳng đứng mặt đất Nhẹ nhàng làm thăng khiến bị đổ Giả thiết đầu A trượt không ma sát sàn Tìm vận tốc v0 G chạm đất

A B

55 Bài 38

Một dây xích AB đồng có chiều dài l khối lượng m, đặt mép bàn nằm ngang, đầu B xích cách mép bàn khoảng h

Dây thả tự không vận tốc ban đầu Bỏ qua ma sát

1 Xác định phương trình vi phân toạđộ x B theo thời gian Xác định thời điểm t phản lực R mà bàn tác dụng lên dây xích

Bài 39

Một sợi dây xích đồng chất, khơng đàn hồi, khối lượng m, chiều dài l vắt qua ròng rọc khối lượng M, bán kính R Rịng rọc quay khơng ma sát quanh trục

thời điểm ban đầu, hệđứng yên, hai đầu mút dây chênh lệch đoạn h Xác

định chuyển động hệ sau (giả thiết dây khơng trượt rịng rọc)

Bài 40

Một đĩa nặng quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ự Đồng xu khối lượng m, bán kính r thả xuống đĩa trục thẳng đứng (hình

vẽ) Khoảng cách hai trục d (d > r) Hệ số ma sát đĩa đồng xu k Tìm vận tốc góc ổn định đồng xu? Giá trị mômen lực đặt vào trục đĩa lớn để giữ cho vận tốc khơng đổi? Khơng có ma sát trục

Bài 41

Một cuộn dây không đàn hồi, khối lượng không đáng kể quấn qua hình trụ bán kính R nằm ngang đứng n (vắt qua nửa vịng hình trụ) Tính giá trị cực tiểu F0 F cần phải tác dụng đầu mút A

của dây để ngăn không cho tải trọng rơi xuống Giả thiết hệ số ma sát trượt dây f trọng lượng dây không đáng kể

Bài 42

Một xe ôtô ban đầu đứng yên, khởi động có gia tốc a đường nằm ngang Một cánh cửa xe mở tạo nên góc α0 = 900

Tính thời gian cần thiết để cánh cửa tự đóng lại Bỏ qua ma sát, gọi J mơmen qn tính cửa so với trục lề

(giả thiết thẳng đứng), b khoảng cách từ khối tâm G cửa đến trục lề m khối lượng cửa

Bài 43 (Đề thi QT ÁO năm 88)

Đĩa Maxwell Một đĩa đồng chất hình trụ (khối lượng M = 0,4kg, bán kính R = 0,06m, bề dày d = 0,01m) treo hai dây dài quấn vào trục (bán kính r) qua tâm đĩa Bỏ qua khối lượng dây trục, bề dày dây

A

56

Quấn dây để nâng khối tâm đĩa lên độ cao H = 1m thả Đĩa quay tụt xuống vị trí thấp lại lên Đểđơn giản ta giả sử tâm quay tức thời nằm đường thẳng đứng qua điểm treo P

1 Tính vận tốc góc ω đĩa lúc khối tâm G tụt quãng đường s

2 Tính động tịnh tiến Et đĩa lúc tụt

s=0,5m Tính tỷ số lượng dạng lượng khác đĩa thời điểm

đó, biết r = 0,003m

3 Tính lực căng dây T1 đĩa xuống

4 Tính vận tốc góc ω’ đĩa theo góc quay θ giai đoạn đổi chiều

Vẽ tọa độ Đềcác thích hợp dạng đường cong biểu diễn thành phần

đường vận tốc khối tâm đĩa, coi hàm góc quay θ, cho giai đoạn

5 Lực căng tối đa mà dây chịu Tm=10N Tính chiều dài tối đa Sm dây

57 Phần 2: BÀI TẬP CƠ HỌC THEO CHỦ ĐỀ

Chủ đề 1: CÔNG - CÔNG SUẤT - NĂNG LƯỢNG

Trường THPT Chun Hồng Văn Thụ, tỉnh Hịa Bình

1.83 Nghiên cứu tai nạn đường, cảnh sát giao thông đo chiều dài vệt bánh xe mặt đường phanh gấp xe có chiều dài L = 60m Tìm vận tốc ban đầu xe, hệ số ma sát bánh xe mặt đường k = 0,5?

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc ban đầu xe v

Vệt bánh xe mặt đường L = 60m nên quãng đường xe trượt 60m Áp dụng định lý động cho q trình phanh ta có:

2

2mv kmgL

− = −

⇔ v= 2kgL =24,5(m/s)

1.84 Tìm quãng đường xe trượt mặt phẳng nằm ngang trượt xuống theo dốc nghiêng góc α = 300 so với phương nằm ngang từđộ cao H = 15m? Hệ số ma sát xe trượt đường k = 0,2

Hướng dẫn giải

Sự biến thiên điểm A B: WB −WA = Ams

α α

sin cos

2

H kmg

mgH mvB

− = −

) cot (

2 gH k α

vB = − )

Sự biến thiên điểm B C: WC −WB = Ams

kmgL mv =− −

2

2

B

Fms

P

+ +

α

P Fms

L H

A

B

C

58 kg

v L B

2

= (1 cot ) 49(m) k

H

L= − α =

1.85 Vật chuyển động không vận tốc đầu xuống hố, thành hố nhẵn thoải dần sang

đáy hố nằm ngang (Hình 1.48) Chiều dài

phần đáy l = 2m Hệ số ma sát vật đáy hố k = 0,3 Chiều sâu hố H = 5m Tìm khoảng cách từ vị trí vật dừng lại tới

điểm hố?

Hướng dẫn giải

Tổng chiều dài đường ngang đáy hố mà vật S: kmgS = mgH

cm m

m k

H

S 16,67 16 67

,

5 = = +

= = ⇒

Vì chiều dài phần đáy hố l = 2m nên chiều dài mà vật đáy hố:

S = lần qua đáy + 67cm

=> Khoảng cách từ vị trí vật dừng lại tới điểm hố là: x l 67 33cm

2− =

=

1.86 Tìm cơng cần thực để đưa xe trượt mang theo vật lên dốc có độ

cao H = 10m? Khối lượng tổng cộng xe vật m = 30kg Góc nghiêng dốc α = 300 Hệ số ma sát xe trượt mặt dốc giảm từ k1 = 0,5

chân dốc đến k2 = 0,1 đỉnh dốc

Hướng dẫn giải

Hệ số ma sát trung bình xe trượt mặt phẳng nghiêng : k =

2 k k +

Trong trường hợp này, trọng lực lực ma sát sinh cơng cản, cơng cần thực phải công dương độ lớn công trọng lực lực ma sát

+

α

F

P

Fms H

l H

Hình 1.48

59

α α

sin

cos H

kmg mgH A= +

) ( 10 , cot

( k1 k2 J

mgH

A= + + α =

1.87 Làm việc với công suất không đổi, đầu máy xe lửa kéo đồn tàu lên dốc có góc nghiêng α1 = 5.10-3 rad với vận tốc v1 = 50km/h Với góc nghiêng

α2=2,5.10-3 rad điều kiện đồn tàu chuyển động với vận tốc v2

= 60km/h Xác định hệ số ma sát, coi hai trường hợp

Hướng dẫn giải

Do công suất không đổi D Fv = const => F1v1 =F2v2

Mà xe chuyển động nên:

1

1 mgsinα kmgcosα

F = +

2

2 mgsinα kmgcosα

F = +

D mgv1(sinα1 +kcosα1)=mgv2(sinα2 +kcosα2) (sin 1 cos 1) 2(sin 2 cos 2)

1 α k α v α k α

v + = +

k = 0,01

cos cos

sin sin

1 2

2

1 ≈

− −

α α

α α

v v

v v

1;

α α góc nhỏ nên 0,01

v v

v v

k

1

2

1 =

− α − α ≈

1.88 Một tơ có khối lượng m = 1000kg tắt động xuống dốc có góc nghiêng với phương ngang α = 60 tăng tốc đến vận tốc cực đại v =72 km/h sau

đó chuyển động Tìm cơng suất ơtơ để lên dốc với vận tốc

đó?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, xe tắt động xuống dốc với v = 72km/h = const

+ Lực ma sát dốc Fms =kmgcosα cân với thành phần lực kéo α

sin

mg

FK = kmgcosα =mgsinα

+ Khi lên dốc lực kéo củαđộng F =mgsinα +kmgcosα =2mgsinα Công suất tơ để lên dốc với vận tốc v = 72km/h = 20m/s là: P=F.v=2mgvsinα =40.103(W)

P Fms

60

1.89 Một xe khối lượng M = 1000 kg chuyển động quãng

đường nghiêng, kilơmét lên cao thêm h =10 m Tìm lượng xăng cần tốn nhiều so với chuyển động với vận tốc đường nằm ngang? Lượng xăng tính quãng đường dài L = 100km Cho suất tỏa nhiệt xăng q = 4,6.107 J/kg Hiệu suất động cơη = 10%

Hướng dẫn giải

Gọi m1 khối lượng xăng cần trường hợp có tăng độ cao, m2 khối

lượng xăng cần dùng trường hợp không tăng độ cao k hệ số ma sát trường hợp

Ta có: L= 100km = 105 m, H= h.L=103m TH1: Xe chạy đường nghiêng

Do chuyển động nên công cần thực để xe chuyển động quãng

đường L1 là:

mgH Lkmg

A A

A1 = ms + P = cosα +

Do sin = =0,01

L H

α α nhỏ cosα≈

mgH kmgL

A1 = +

Ta có: =η ⇔ + =η

q m

mgH mgkL

Q A

1

1

q mgH mgkL

m

η

+ =

⇔

1

TH2: Xe chạy đường thẳng

Do chuyển động nên cơng cần thực công lực ma sát:

kmgL A

A2 = ms2 =

Ta có: =η ⇔ =η

q m mgkL Q

A

2

2

q mgkL m

η

2 = ⇔

) ( , 10 , ,

10 10 1000

7

1 q kg

mgH q

mgkL mgH

mgkL m

m

m= − = + − = = ≈

Δ

η η

1.90 Tính lực cản nước lên tầu chuyển động, biết chạy với vận tốc v = 10km/h ngày cần dùng hết M = 6,5 than? Hiệu suất động cơη = 0,1 Cho suất tỏa nhiệt than q = 33,5.106 J/kg

H L

61 Hướng dẫn giải

Gọi lực cản nước lên tầu Fc

Quãng đường tàu ngày : S = 10.3.24 = 720 km = 720000 m

Do tầu chuyển động nên Fkéo = Fc

Ai =FC.S

Mà: Q=Mq

Ta có: Ai F SC

Q Mq

η= = 3.10 ( )4

C

Mq

F N

S

η

= ≈

1.91 Khi thành phố lớn, xe ô tô thường phải dừng lại nơi có hệ

thống đèn hiệu Ví dụ, taxi Matxcơva trung bình chạy 100 km phải dừng lại 100 lần Giả sử, sau lần dừng xe lại tăng tốc tới vận tốc v = 60 km/h Lực cản lại chuyển động ôtô F = 300N phụ thuộc vào vận tốc Lượng xăng mà xe dùng chạy thành phố tốn chạy đường ngoại ô (nơi dừng lại) lần? Khối lượng taxi M = 1,5 Hiệu suất động không phụ thuộc vào vận tốc

Hướng dẫn giải

Ký hiệu:

H hiệu suất củαđộng ; v = 50/3 (m/s) M1 khối lượng xăng chạy

M2 khối lượng xăng chạy ngồi ngoại

Ai1 cơng có ích TH chạy

Ai2 cơng có ích TH chạy

L = 100km=100000m, V = 60km/h = 50/3 m/s, M = 1500kg Ta có:

Ai1 = Ac + nAtăng tốc =Fc.L + Mv2/2 (n = 100)

Atp1 = m1.q ; Ai2 = Ac = Fc.L ; Atp2 = m2.q

7 , 100000

300

3 50 1500 100 2Fc.L

Mv

2

2

2

2

2 2 1

≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

= +

= ⇔

= +

⇔

= =

n L Fc m

m

q m

L Fc q

m nMv L

Fc

A A A

A H

tp i tp

i

62

rơi xuống tàu chảy từ thành toa tầu xuống đất Bỏ qua thay đổi lực ma sát trời mưa

Hướng dẫn giải Đổi: v = 20m/s

Ta có: Pt = Mv ; Ps = (M+m)v

Áp dụng định lí biến thiên động lượng: Fnl.Δt = Ps – Pt =(M+m)v – Mv = mv

Lấy Δt = 1s

Lực mà đầu tàu cần tăng lên / đơn vị thời gian F = mv/Δt, m = mt =

100kg

Cần tăng công suất lên 40( W)

t

N Fv m v k Δ = = =

1.93 Chiếc búa máy đóng cọc nặng m = 500 kg thả rơi tự từđộ cao

đó đập vào cọc đóng sâu xuống đất l = cm Xác định lực cản đất F (coi không đổi), trước va chạm, búa có vận tốc v = 10 m/s Bỏ qua khối lượng cọc

Hướng dẫn giải

Từđịnh lí vềđộng =>

2

2mv mg F

− = l− l

=> g 2,5.10 ( )N

l v m

F =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ =

1.94 Chiếc xe trượt trượt mặt băng với vận tốc v = 6m/s bắt đầu trượt

vào phần đường nhựa Chiều dài ván trượt L = 2m, ma sát ván trượt với mặt đường nhựa k = Tìm quãng đường xe trượt đường nhựa dừng lại hoàn toàn?

Hướng dẫn giải Động ban đầu: Wđ=1

2mv =18m

0< ≤x L: Fms kmg x L =

Giả sử xe trượt quãng đường vào đường nhựa cơng lực ma sát có độ lớn:

Ams1= dt tam giác = (1/2)kmgL = 9,8m

Ams1< Wđ => toàn chiều dài xe trượt vào đường nhựa, sau xe cịn trượt

thêm quãng đường có chiều dài d phần động cịn lại tiệt tiêu hồn toàn

Wđ = Ams1 + kmgd => 18m-9,8m=9,8md => d=0,84(m)

Fms

kmg

L x

63

Tổng quãnq đường xe trượt đường nhựa:

l =L+d=2,84(m)

1.95 Tìm lực cần thiết để nhổ đinh dài L = 80 mm khỏi bảng,

được đóng sáu nhát búa có khối lượng m = 0,5 kg vận tốc búa trước va chạm v = 2m/s? Bỏ qua khối lượng đinh

Hướng dẫn giải

Công để rút đinh lên khỏi mặt bảng động củα nhát búa

L F mv

tb

2

=

L mv Ftb

2 = ⇔

Ta có:

2

max F

Ftb = (vì lực để rút đinh giảm tuyến tính từ Fmaxđến 0)

Lực cần thiết lực lớn Fmax = Ftb =

L mv F

F tb

2 max

6

2 =

=

Vậy lực cần thiết để nhổ đinh là: F =

L mv2

1.96 Tìm cơng cần thực hiện, để quay ván nằm mặt đất quanh đầu góc α? Tấm ván có chiều dài L, khối lượng M, hệ số ma sát mặt đất k

Hướng dẫn giải

Cơng cần thực hiên có độ lớn cơng củα lực ma sát thực hiên cung GG’

Độ dài cung GG’ là:

2 L R x=α =α

2 L kMg A= α

1.97 Thùng nước kéo từ giếng sâu H=20 m Ban đầu thùng đầy nước Do có lỗ thủng nhỏ đáy nên kéo lên nước bắt đầu chảy khỏi thùng Coi trình kéo thùng lên đặn, lưu lượng nước chảy khỏi thùng khơng đổi Tìm cơng kéo thùng nước, kéo thùng lên, thùng lại 2/3 lượng nước ban đầu Thùng rỗng có khối lượng m=2kg, thể tích thùng V=15l

Hướng dẫn giải

Vì trình kéo thùng nước lên đặn nên lực cần kéo thùng nước trọng lượng thùng cộng trọng lượng nước

L

G G’

α

h O

H mg

2/3ρgV +mg

F mg gV +

64

Vì lượng nước thùng giảm từ thể tích V xuống 2/3V nên lực kéo thùng nước giảm từ F0 =mg+ρgV đến F mg ρgV

3 + =

Công cần thực để kéo thùng nước diện tích hình thang

= ⎢⎣⎡ + )+( + )⎥⎦⎤

3 (

mg gV mg

gV H

A ρ ρ

⇔

2 )

( V m gH

A= ρ +

Thay số A = 2,9kJ

1.98 Một xylanh đặt thẳng đứng, đầu chìm nước Trong xylanh có pittơng đặt nằm mặt nước

Kéo chậm pittông lên độ cao H = 15m (Hình 1.49) Tìm

cơng kéo pittơng? Diện tích tiết diện pittông S = 1dm2, áp suất khí P0=105 Pa Bỏ qua khối lượng

pittơng

Hướng dẫn giải

+ Khi kéo pittông lên, nước pittông dâng lên theo Đến áp suất cột nước áp suất khí cột nước khơng dâng lên Khi xi lanh tồn môi trường chân không

+ Nếu tiếp tục kéo pittơng lên cần phải tác dụng vào pittông lực để thắng áp lực khí tác dụng lên pittơng

+ Chiều cao tối đa cột nước dâng lên xilanh: ρgh= p0

=> m

g p

h 10

10 10

10

3

0 = =

=

ρ <H

Vậy công cần thực tính cột nước có chiều cao h cơng

để kéo pittơng từđộ cao h đến độ cao (H - h)

( )

2

2

h H S p gSh

A= ρ + − Thay số ta có: A = 104 J

1.99 Một lắc toán học khối lượng m, chiều dài l làm dao động cách

mỗi lần qua vị trí cân lại tác động lực F khoảng thời gian ngắn t theo phương song song với vận tốc Sau chu kỳ lắc

đạt tới góc 900?

Hướng dẫn giải

Độ biến thiên động lượng lắc sau lần qua vị trí cân là: Δp=Ft

Sau n lần qua vị trí cân bằng: nFt =∑Δp=mv

65 Để lắc đạt đến góc 900 vận tốc cần có (ở vị trí cân bằng) lắc là:

Áp dụng định luật bảo toàn năng: mv =mgl

2

=> v= 2gl Số lần lắc cần phải qua vị trí cân là:

Ft gl m Ft mv

n= =

Số chu kì cần tìm:

Ft gl m n N

2 2=

=

1.100 Hai tên lửa giống nhau, chuyển động đứng yên, cho động hoạt động thời gian ngắn Trong thời gian đó, chúng khối lượng khí đốt (nhỏ so với khối lượng tên lửa) với vận tốc tương đối so với tên lửa Động ban đầu tên lửa chuyển động K, sau động hoặt động tăng thêm 4% Tìm động tên lửa lại?

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 Mv

K = => ΔK =MvΔv =>

v v Mv

v Mv K

K = Δ = Δ Δ

2

2 2

+ Đối với tên lửa chuyển động: Δ =0,04 K

K

=> Δ =0,02 v

v

Gọi v, v1, u vận tốc tên lửa trước khí, vận tốc tên lửa sau

khi khí, vận tốc khí so với tên lửa

M m khối lượng tên lửa khí

Áp dụng định luật bảo tồn động lượng ta có: m(v−u)+Mv1 =(M +m)v

=> u

M m v v v= − =

Δ 1 => Δ = =0,02

v u M

m v

v

+ Đối với tên lửa đứng yên:

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: mu=Mv2 => u M

m v2 =

Ta có: 2

2 2

2

2

2 M u

m u

M m M Mv

K = = = =>

2

2 2

2 ⎟ =4.10−

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = =

v v v

u M

m K K

=> K 4K

2 4.10 − =

Chủ đề 2: LỰC HẤP DẪN VỆ TINH

Trường THPT Chuyên tỉnh Lào Cai

1.101 Một vệ tinh nhân tạo dùng hệ thống viễn thông, phóng lên từ xích đạo Trái Đất, suốt thời gian chuyển động sau ln nằm phía

66

lớn bán kính Trái Đất RE = 6400 km lần? Biết gia tốc rơi tự

trên bề mặt đất g = 9,8 m/s2

1.102 Vệ tinh nhân tạo Trái Đất phóng lên từ xích đạo chuyển động quỹ đạo trịn mặt phẳng xích đạo theo chiều quay Trái Đất Tìm tỉ số

giữa bán kính quỹ đạo vệ tinh bán kính Trái Đất thời gian hai lần liên tiếp qua phía điểm phóng hai ngày?

1.103 Vệ tinh nhân tạo Trái Đất phóng lên từ xích đạo chuyển động quỹ đạo tròn mặt phẳng xích đạo theo chiều quay Trái Đất Bán kính quỹđạo vệ tinh R = 3RE với RE = 6400 km bán kính Trái Đất Thời gian

giữa hai lần liên tiếp vệ tinh qua đỉnh đầu điểm phóng bao nhiêu? 1.104 Coi quỹđạo Trái Đất Mặt Trăng trịn, tìm tỉ số khối lượng Trái Đất

Mặt Trời Biết Mặt Trăng 13 vòng quanh Trái Đất năm khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời lớn 390 lần khoảng cách từ Trái Đất

đến Mặt Trăng

1.105 Xác định tỉ số khối lượng Trái Đất Sao Hỏa theo tham số quỹ đạo trạm tự động “Sao Hỏa 2”: khoảng cách lớn đến mặt đất (viễn điểm) a = 25000 km, nhỏ (cận điểm) p = 1380 km, chu kỳ quay T = 18 h Bán kính Sao Hỏa RM = 3400 km, bán kính Trái Đất RE = 6400 km

1.106 Một vệ tinh Sao Mộc chuyển động quỹ đạo trịn bán kính R1 =

4,22.105 km chu kỳ quay T1 = 1,77 ngày Khối lượng Sao Mộc lớn khối

lượng Trái Đất lần? Biết Mặt Trăng chuyển động quỹ đạo bán kính R2 = 3,8.105 km với chu kỳ T2 = 27,3 ngày

1.107 Tính vận tốc vũ trụ cấp I phóng từ bề mặt Sao Mộc, sử dụng thông số

quỹ đạo vệ tinh Hanimet Sao Mộc: quỹ đạo trịn bán kính R = 1.106 km chu kỳ T = 7,15 ngày Bán kính Sao Mộc RJ = 70000 km

1.108 Tìm khoảng cách xa từ tâm Mặt Trời đến chổi Harley, biết chu kỳ

quay quanh Mặt Trời T = 76 năm, khoảng cách nhỏ từ chổi

đến Mặt Trời Rmin = 1,8.108 km Bán kính quỹđạo Trái Đất R0 = 1,5.108 km

1.109 Vệ tinh chuyển động xung quanh Trái Đất quỹ đạo trịn với bán kính R = 3RE với RE = 6400 km bán kính Trái Đất Vệ tinh khởi động phận hãm

trong thời gian ngắn làm cho vận tốc giảm chuyển sang quỹ đạo elip tiếp tuyến với mặt đất (Hình 1.79) Hỏi sau vệ tinh hạ cánh xuống mặt đất?

1.110 Hai hút lẫn chuyển

động theo quỹ đạo tròn quay xung quanh

khối tâm chúng với chu kỳ T = năm

67

(hệ đôi) Tổng khối lượng m1 + m2 = 2MS với MS khối

lượng Mặt Trời Tìm khoảng cách biết khoảng cách từ

Trái Đất đến Mặt Trời R0 = 1,5.108 km Khối lượng Trái Đất nhỏ khối

lượng Mặt Trời nhiều lần

1.111 Để tạo trọng lượng nhân tạo khoang hành khách, hai phần tàu vũ trụ

(có tỉ lệ khối lượng 1:2) đưa cách khoảng L nhờđộng

làm cho chúng quay quanh khối tâm chung chúng Tìm chu kỳ quay,

biết đồng hồ lắc đặt phần tàu nặng chạy chậm hai lần so với đặt Trái Đất?

1.112 Do chuyển động tự quay hành tinh, trọng lượng xích đạo nhỏ cực Tìm độ cao h so với bề mặt hành tinh cực cho trọng lực trọng lực bề mặt hành tinh xích đạo? Coi hành tinh có dạng cầu bán kính R Chu kỳ tự quay hành tinh T, khối lượng riêng trung bình vật chất cấu thành ρ

1.113 Một tiểu hành tinh có dạng hình cầu bán kính R0 = km Giả sử khối lượng

riêng tiểu hành tinh ρ0 = 5,5 g/cm3, tìm gia tốc rơi tự g0 bề mặt

của Độ cao mà người đứng bề mặt tiểu hành tinh nhảy lên được, với sức bật nhẩy người nhẩy lên đến độ cao cm Trái Đất

1.114 Tìm gia tốc rơi tự bề mặt Mặt Trời bán kính Mặt Trời lớn bán kính Trái Đất 108 lần tỉ lệ khối lượng riêng Mặt Trời Trái Đất 1:4 1.115 Tính gia tốc rơi tự bề mặt Mặt Trời biết bán kính quỹđạo Trái Đất

là R0 = 1,5.108 km, bán kính Mặt Trời RS = 7.105 km chu kỳ quay Trái Đất quanh Mặt Trời T = năm

1.116 Xác định chu kỳ quay nhỏ vệ tinh nơtron Khối lượng riêng ρ = 1017 kg/m3

1.117 Vệ tinh có khối lượng M = 200 kg chuyển động quỹ đạo tròn quanh Trái

Đất Khoảng cách từ mặt đất đến vệ tinh nhỏ so với bán kính Trái Đất Có thể

thay đổi bán kính quỹ đạo bắn phát đạn từ vệ tinh? Khối lượng viên đạn m = 5g, vận tốc đạn u = km/s theo phương ngược chiều vận tốc vệ tinh

1.118 Tầng thứ ba tên lửa bao gồm phần khoang mang nhiên liệu có khối lượng M = 50 kg phần đầu bảo vệ hình nón có khối lượng m =10 kg Phần đầu bật phía trước nhờ lị xo nén Khi thử Trái Đất, tên lửa giữ cố định lị xo đẩy phần đầu khỏi tên lửa với vận tốc v0 = 5,1 m/s Tìm

68

1.119 Vệ tinh phóng lên quỹđạo tròn độ cao H = 500 km so với bề mặt Trái

Đất bị cản lớp khí Trái Đất cao Gia tốc góc vệ tinh õ = 3.10-13 rad/s2 Tìm độ cao vệ tinh sau tháng? Bán kính Trái Đất RE =

6400 km

1.120 Biết thời điểm tại, Mặt Trăng rời xa khỏi Trái Đất với tốc độ v = 3,3 cm/năm Tìm gia tốc góc Mặt Trăng Khoảng cách trung bình từ Trái

Đất đến Mặt Trăng R = 3,84.105 km, vận tốc góc Mặt Trăng quanh Trái Đất ω = 2,56.10-6 rad/s

1.121 Tên lửa phóng lên từ bề mặt Trái Đất theo phương thẳng đứng với vận tốc vũ

trụ cấp I rơi trở lại Trái Đất cách khơng xa điểm bắn Tìm thời gian bay tên lửa? Bán kính Trái Đất RE = 6400 km

1.122 Các nhà du hành vũ trụ hạ cánh xuống bề mặt Mặt Trăng, cần quay trở

trạm vũ trụ chuyển động quỹ đạo tròn độ cao bán kính Mặt Trăng RM = 1700 km Tìm vận tốc đầu v cabin bề mặt Mặt Trăng, để

cho tiếp nối với trạm không cần điều chỉnh vận tốc cabin? Gia tốc rơi tự

do bề mặt Mặt Trăng gM = 1,7 m/s2

1.123 Tàu vũ trụ khối lượng M = 12 chuyển động quanh Mặt Trăng quỹ đạo tròn độ cao h = 100 km Để chuyển sang quỹđạo hạ cánh xuống Mặt Trăng, người ta cho động phản lực hoạt động thời gian ngắn Vận tốc khí khỏi ống u = 104 m/s Bán kính Mặt Trăng RM = 1700 km, gia tốc rơi tự

trên bề mặt Mặt Trăng gM = 1,7 m/s2

a) Tìm khối lượng nhiên liệu cần dùng để động hoặt động điểm A làm tàu đáp xuống Mặt Trăng điểm B (Hình 1.80 a)?

b) Tìm khối lượng nhiên liệu cần dùng để truyền cho tầu xung lượng theo phương nối tâm Mặt Trăng để tầu chuyển sang quỹđạo elip tiếp xúc với bề mặt Mặt Trăng điểm C (Hình 1.80 b)?

LỜI GIẢI Bài 1.180

Theo định luật Kepler ta có

A B

a)

C

A 900

b)

69

(1 )

T, T1: Chu kỳ quay vệ tinh quỹđạo tròn Elip

a: Bán kính quay quỹđạo trịn a = 3RE

a1: Bán kính lớn quỹđạo Elip a1 = 2RE

Xét cđ vệ tinh quỹđạo tròn

=> (2)

Có =>

(3) Từ (1), (2), (3) ta suy

Thời gian hạ cánh xuống mặt đất: t = T/2 = 7191,6s ≈2

Bài 1.181

Với chuyển động hai ngơi hay trái đất lực hấp dẫn đóng vai trị lực hướng tâm

Với trái đất

0 2 R v m R GMm

= (1)

Với hai sao:

( )

2 2 1 2 R v m R v m R R m

Gm = =

+ (2)

Từ (1) (2) ta có: ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = 2 T R v R GM π (3) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = + =

+ R R R R R T

v R R R R M

G ω π

(4)

Từ (3) (4) biến đổi

( ) Km R R R T T R R R R 2 2

1 2 3,0.10

2 = ⇒ + = =

+ Bài 1.182

T= 2TĐ = l

g

π

70 2 2 3 l l T BG L π π ω ω = = =>

1

2 2

3

l l L

T

L g L g g

π

π π π

ω ω

ω = <=> = => = =

Bài 1.183

Vì trọng lượng tổng hợp lực hấp dẫn lực qn tính li tâm nên theo đầu lực hấp dẫn trái đất tác dụng lên vật độ cao h địa cực tổng hợp lực hấp dẫn lực hấp dẫn lực quán tính li tâm tác dụng lên vật xích đạo

( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = + 2 2 2 π ρ ρ π T G G T R h T mR R GMm ma R GMm h R GMm ht Bài 1.184

Gia tốc rơi tư tiểu hành tinh : g’ = GM/R2 M: khơí lượng hành tinh; R: Bán kính hành tinh M = ρ0.V = ρ0.π.R3

vậy g’ = G.ρ0.π.R ≈7,68.10-3m/s2

Khi người nhảy độ biến thiên nên ta có:

Mgh = mg’h’ h’ = gh/g’ ≈ 64m

Bài 1.185

Biểu thức tính gia tốc rơi tự bề mặt vật hình cầu

R R GM g πρ = =

Tỉ số gia tốc rơi tự bề mặt Mặt Trời Trái Đất

( / 2)

265 108 s m g R R g g MT TD TD MT MT TD

MT = = ⇒ =

ρ ρ

Bài 1.186

Lực hấp dẫn Trái Đất Mặt Trời đóng vai trị lực hướng tâm Coi khối tâm hệ

Trái Đất Mặt Trời trùng Mặt Trời

2

2 3

0 0

2

0

S

S M M

G M R GM R R

R T

π

ω ω

= <=> = =

Mặt khác:

2

2 2

4 S S S S GM R g

R T R

π

71 Bài 1.187

Trong việc quay vệ tinh quanh hành tinh lực hấp dẫn đóng vai trị lực hướng tâm nên xây dựng biểu thức tính chu kỳ sau

2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = T R GM T mR mR R

GMm ω π π

Vậy chu kỳ nhỏ bán kính quỹđạo nhỏ tương ứng với bán kính R0

) ( 10 , 3 3 s G T T R R G − = = ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ρ π π ρ π Bài 1.189

- Xét hệ quy chiếu khối tâm hệ gồm khoang mang nhiên liệu đầu bảo vệ

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng: mdvd = mtvt

- Khi thử trái đất ta tính đàn hồi lị xo Áp dụng định luật bảo toàn năng:

2 W v md =

- Trên quỹđạo chuyển hết thành động hai khoang

đầu bảo vệ hai phần tách

d t t t d t d d t d t t d d t d t d d d d d t t d d m m m v m m m v m v m m m v v v m m v m v m v m v m v m v m + = = ⇒ + = ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⇔ + = ⇔ + = 0 2 2 2 2 2 W

- Vận tốc tương đối đầu bảo vệ tên lửa

) / ( , 0

0 m s

m m v m m m v m m m m m v v v t d d t t t d d t t t

72 Chủ đề 3: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

Trường THPT chuyên tỉnh Tuyên Quang

1.124 Một thùng xe có khối lượng m2 = 160 kg, chiều dài L = m nằm đường ray nhẵn Một người có khối lượng m1 = 60 kg từđầu đến đầu

của thùng xe Tìm độ dịch chuyển thùng xe?

1.125 Tấm ván khối lượng m trượt tự mặt băng nằm ngang với vận tốc v1 Một

người khối lượng m2 nhảy lên ván với vận tốc v2 theo phương vuông góc

với vận tốc ván Tìm vận tốc v hệ ván người Bỏ qua lực ma sát ván mặt băng

1.126 Một toa chở téc nước chuyển động khơng ma sát dọc theo đường ray Khối lượng téc M, khối lượng nước bể m Một vật khối lượng m0 thả rơi thẳng đứng vào bể vị trí cách tâm bể đoạn l Tìm phương độ dịch chuyển bể nước chuyển động nước tắt hẳn vật nổi? Giải thích chế tượng

1.127 Viên đạn bắn từ súng đặt mặt đất, nổ thành hai mảnh giống lên đến điểm cao quỹđạo cách súng theo phương ngang

đoạn a Một hai mảnh bay theo phương ngược lại với vận tốc vận tốc viên đạn trước nổ Tìm khoảng cách từ súng đến điểm rơi mảnh đạn thứ hai? Bỏ qua sức cản khơng khí

1.128 Một viên đạn khối lượng m bay theo phương ngang với vận tốc v găm vào khối gỗ khối lượng M đứng yên treo vào sợi dây có chiều dài l Tìm góc lệch ỏ

của dây khỏi phương thẳng đứng

1.129 Dùng súng bắn vào hộp diêm đặt bàn, cách mép bàn khoảng l = 30cm Viên đạn có khối lượng m = 1g, bay theo phương ngang với vận tốc v0

= 150 m/s, xuyên qua hộp diêm bay tiếp với vận tốc v0/2 Khối lượng hộp

diêm M = 50 g Hệ số ma sát k hộp diêm mặt bàn phải để

nó rơi khỏi bàn?

1.130 Hai hạt có khối lượng m 2m, có động lượng p p/2, chuyển động theo phương vng góc với đến va chạm với Sau va chạm, hai hạt trao

đổi động lượng cho Tìm va chạm 1.131 Vật khối lượng m1 chuyển động với vận

tốc v đến va chạm đàn hồi với vật

đứng yên Sau va chạm, chuyển động theo phương hợp với phương chuyển động ban đầu góc 900 với vận tốc v/2 Tìm khối lượng vật thứ hai

1.132 Hạt khối lượng m chuyển động với vận tốc

m v

m/2

m m/2

α

73

v đến va chạm với hạt đứng yên khối lượng m/2 sau va chạm đàn hồi bay theo phương hợp với phương chuyển động ban đầu góc α = 300 (Hình 1.57) Tìm vận tốc chuyển động hạt thứ hai?

1.133 Hai cầu cao su buộc vào sợi dây mảnh đặt cạnh cho chúng có độ cao tiếp xúc với Chiều dài sợi dây l1 = 10 cm

và l2 = cm Khối lượng cầu tương ứng m1 = 8g m2 = 20 g Quả

cầu khối lượng m1 kéo lệch khỏi phương

thẳng đứng góc α = 600 thả Xác định góc lệch cực đại cầu so với phương thẳng đứng sau va chạm Va chạm coi hoàn toàn đàn hồi

1.134 Ba cầu có bán kính, có khối lượng khác nhau, buộc vào sợi dây có chiều dài giống tiếp xúc với Quả cầu m1 kéo lệch lên đến độ cao H thả

(Hình 1.58) Các khối lượng m2 m3 phải để sau va chạm

giữa thứ với thứ hai thứ hai với thứ ba ba có động lượng? Chúng lên đến độ cao nào? Các va chạm hoàn toàn

đàn hồi

1.135 Hai cầu – sắt khối lượng m chì khối lượng m/4 – treo vào điểm sợi dây mảnh Kéo lệch cầu chì lên

đến độ cao H thả Sau va chạm lên đến độ cao h Va chạm xuyên tâm Tìm phần động chuyển thành nhiệt

1.136 Giữa hai cầu khối lượng m1 m2 có lị xo nén Nếu giữ nguyên

một cầu (quả có khối lượng m2) thả tự bay với

vận tốc v0 Tìm vận tốc cầu khối lượng m1 thả đồng thời hai

cầu? Sự biến dạng lò xo hai trường hợp

1.137 Vật khối lượng M nối với lò xo dao động với biên độ A0 mặt bàn

nằm ngang nhẵn Tại thời điểm vật qua vị trí cân có miếng chất dẻo khối lượng m rơi thẳng từ xuống dính vào vật Biên độ dao

động hệ thay đổi nào?

1.138 Hai cầu có khối lượng m, nối với lị xo khơng khối lượng có chiều dài l độ cứng k nằm yên mặt bàn nằm ngang nhẵn Một cầu thứ ba khối lượng m chuyển động với vận tốc v0

theo phương nối tâm hai cầu, va chạm đàn hồi với cầu bên phải (Hình

m m m

3

1

l

Hình 59

m1 m2 m3

74

1.59) Xác định khoảng cách lớn nhỏ cầu nối lò xo, biết thời điểm đó, cầu có vận tốc

LỜI GIẢI

Bài 1.116

• Gọi l quãng đường thùng xe được, v1 vận tốc người so với đường

ray, v2 vận tốc thùng xe so với đường ray v1 = v12 - v2

• Định luật bào toàn động lượng: m1v1 = m2v2 m1(v12 - v2) = m2v2

L m m

m l

L m ) m m ( l t l m t l t L m

2

1

2

1 ⎟= → + = → = +

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

Thay số: l = 0,82(m) Bài 1.117

• Định luật bảo tồn động lượng cho hệ người – ván: v

m v m v

m1ρ1+ 2ρ2 = ρ với m = m1+m2

• Từ hình vẽ ta có (mv)2 = (m1v1)2+(m2v2)2

( ) ( )

2

2 2 1

m m

v m v

m v

+ + =

Bài 1.118

• Gọi x khoảng cách từ trọng tâm hệđến trọng tâm G téc nước Theo quy tắc hợp lực song song ta có:

( )

( )

( )

' o ' o

o o

o P m M m g P m M m g

m g

x m l

x

l x m M g m M m ⎧ = + + ⎧ = + +

⎪ ⇒⎪

⎨ = ⎨ =

⎪ + + ⎪ + +

⎩ ⎩

Trọng tâm hệđã dịch chuyển đoạn:

( o o)

m l x

m M m

=

+ +

• Vậy có dịch chuyển tương đối trọng tâm bình Vì vậy, để

giữ ngun vị trí trọng tâm bình phải dịch chuyển sang phía thả vật

mo khoảng ( o )

o m l x

m M m

=

+ +

• Cơ chế tượng: Vật rơi xuống bể tạo sóng nước gây nên lực tác dụng theo phương ngang làm cho toa xe dao động, thiết lập lại vị trí cân cho xe dao động nước tắt hẳn

Bài 1.119

m1v1

75

v0

l

h O

A H

O'

α

• Định luật bảo toàn động lượng cho hệ theo phương ngang vị trí cao nhất:

' v m v m

mv=− + v’=3v

• Vì khơng có lực tác dụng theo phương ngang nên theo phương ngày mảnh chuyển động thẳng với thời gian thời gian viên đạn bay lên tới vị

trí cao : t = a/v

Quãng đường mảnh bay x=v’t = 3v.a/v = 3a khoảng cách từ súng đến điểm rơi mảnh đạn thứ

hai: L = x+a = 4a Bài 1.120

• Định luật bảo tồn động lượng cho hệđạn + khối gỗ theo phương ngang

điểm O: mv = (m+M)v’

v M m

m ' v

+

= (1)

• Định luật bảo toàn cho hệ O A (điểm cao nhất):

) cos ( gl ) M m ( gh ) M m ( ' v ) M m (

1 = 2= + = + − α (2)

Từ (1) (2) suy

(M m) 2gl v m

cos 2

2 + − = α

Bài 1.121

• mv0=mv+MV V=mv0/(2M)

• MV2/2 ≥ kMgl

gl M

mv Mgl

2 MV

k 2

2

= ≤

Bài 1.222

• Gọi v vận tốc vật m trước va chạm p=mv • p2=2mv2 = p/2 = mv/2 v2=v/4

• Sau va chạm:

o p1’ = p2 mv’=2mv/4 v1’=v/2 o p2’ = p1 2mv2’ = mv v2’ = v/2 • Động trước sau va chạm:

o Wđt= mv2/2 + mv2/16 = 9mv2/16 o Wđs= mv2/2 + mv2/4 = 3mv2/8 Cơ mất: ΔWđ= 3mv2/16

Bài 1.123:

76

• Theo đầu bài: 12 2 2 1 1

1

2 4m K

5 K m p p

p = + → = (1)

• Bảo tồn năng:

K1=K2+K1/4 K2=3K1/4 (2)

• Từ (1) (2) m2=5m1/3

Bài 1.124:

• Bảo tồn động lượng: '

2 m mvr = mvur + ur

• Từ hình vẽ suy ra:

( ) ( )

( )

2

2 2

2

2 2

' ' os30

2

' ' os30 ' '

4

o

mu mv mv m v v c

u

v v v v c v v v v ⎛ ⎞

+ − = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇔ = + − = + −

• Bảo tồn năng:

( )

2

2 2 2

1 1

' '

2 2 2

m u

mv + mv + u ⇔ =v −v

• Từ (1) (2) ta có hệ phương trình

2

2

2

2

'

' '

3 ' v u v

v v v v

v u u v v ⎧ ⎧ = = + − ⎪ ⎪⎪ ⇔ ⎪ ⎨ ⎨ ⎪ = − ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Bài 1.125:

• Vận tốc vật m1 trước va chạm:

( ) 12 ( )

1 1

1

1 os os

2 m v

m g l c v g l c v g l

α α

− = ⇒ = −

⇒ =

• Vận tốc cầu sau va chạm:

( ) ( )

( )

1 2 2

'

1 2

2

m m v m v m m g l v

m m m m

− + +

= =

+ +

( )

( )

2 1 1

'

1 2

2

m m v m v m g l v

m m m m

− +

= =

+ +

• Bảo tồn cho cầu sau va chạm:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

1

'

1 1 1 1

1

2

1 2

1 2

1 2

1

1 os os

2

2 89

os 0,91

2 98

2

m m g l

m v m g l c g l c

m m

m m m m m m

c

m m m m

77

( )

( ) ( )

( )

2

' 1

2 2 2 2

1 2

1

2

2

4

1

1 os os

2

2 107

os 0,727

147

m g l

m v m g l c g l c

m m m l

c

l m m

α α α = − ⇔ ⋅ = − + ⇔ = − = ≈ + Bài 1.126:

• Xét va chạm cầu 2: sau va chạm cầu có vận tốc v/3, cầu có vận tốc v2

o Bảo tồn động lượng: m1v =m1v/3 + m2v2 (1)

o Bảo toàn năng: m1v2=m1v2/9 + m2v22 (2) v2 = 4v/3; m2=m1/2

• Xét va chạm cầu 3: sau va chạm cầu có vận tốc v2/2, cầu

có vận tốc v3

o Bảo toàn động lượng: m2v2 =m2v2/2 + m3v3 (3) o Bảo toàn năng: m2v22= m2v22/4 + m3v23 (2)

v3 = 1,5v2; m3 = m2/3 = m1/6

• Dễ dàng tính H1=H/9; H2=4H/9; H3=4H

Bài 1.127:

• Gọi v0 v vận tốc bi chì trước sau va chạm v02=2gH v2=2gh

• Bảo tồn động lượng: mv0/4 = mv/4 + mv’ (v’ vận tốc bi sắt sau va

chạm)

v’ = (v0 – v )/4

Cơ trước va chạm: W = mgH/4

Cơ sau va chạm: W’ = mgh/4 + mv’2/2 = mgh/4 + mg (H - hH+h)/16 • Phần động chuyển thành nhiệt: Q= W - W’

(3H 5h Hh)

mg 16

1

Q= − +

Bài 1.128:

• Giữ cầu m2:

2 kx

v

m 2

0

1 = (1)

• Thảđồng thời quả:

2 kx v m v

m 2

2 2

1 + = (2)

• Mặt khác: m1v1=m2v2 v2=m1v1/m2 (3)

Thay (1) (3) vào (2) ta ( )

2 2 2 m m m m v v ; m m m v v + = + = Bài 1.129:

• Chưa rơi vật xuống:

k Mv A kA Mv W 2 2

0 = → =

78

• Vật rơi xuống:

k v ) m M ( A kA v ) m M ( ' W 2 2 + = → = +

= (2)

Mặt khác: (M+m)v = Mv0 v0

m M

M v

+

= (3)

Từ (1), (2) (3):

m M M A A 0 + = Bài 1.130:

• Xét va chạm m3 m2: ' v m v m v

m3 0 = 2 + 3 (1)

2 ' 2

3 m v

2 v m v m

1 = +

(2)

Giải (1) (2) ta có v = v0 v’=0 (quả cầu trao đổi vận tốc với cầu 2)

• Bảo tồn động lượng cho cầu 2: mv0= mv1+mv2 v0=v1+v2=const

• Khối tâm G hệ cầu nằm trung điểm lò xo chuyển

động với vận tốc vG=v0/2 Nếu xét hệ quy chiếu gắn với G G đứng

yên, cầu dao động quanh G với vận tốc cực đại v0/2 Khi coi

như cầu gắn với lị xo có chiều dài l/2, độ cứng 2k

• Khi hai cầu có vận tốc v1=v2=v0/2 hệ quy chiếu khối tâm

khi hai cầu đứng yên (chỉ năng, khơng có động năng) Độ biến dạng lị xo tính theo định luật bảo toàn năng:

k m v A A ) k ( 2 v m 2

0⎟ = → =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Lò xo ngắn bị nén 2A:

k m v l A l

lmin = − = − 0

Lò xo dài giãn 2A:

k m v l A l

79 Chuyên đề 4: TĨNH HỌC

Trường THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang

1.139 Một hình cầu buộc vào sợi dây tựa vào tường hình vẽ 1.9

Tâm hình cầu C nằm đường

thẳng đứng qua điểm treo O; góc dây phương thẳng đứng α, bán kính qua điểm nối với dây A phương thẳng đứng β Tìm điều kiện hệ số ma sát cầu tường

để hệ cân bằng? Biết: α + β = π/2

1.140 Một thang có khối lượng m =15kg chiều dài l = 3m đặt tựa đầu (đã mài tròn) vào tường, đầu đặt sàn nhà Góc nghiêng thang so với phương nằm ngang α = 600 Trên thang có người khối lượng M = 60 kg đứng vị trí cách đầu thang khoảng a = 1m Tìm độ lớn phương lực mà sàn tác dụng lên thang cân bằng?

1.141 Một có khối lượng m chiều dài l gắn đầu vào lề

(Hình 1.10) Treo rịng rọc nằm trục thẳng đứng qua lề cách lề đoạn H Buộc đầu vào sợi dây vắt qua ròng rọc Tìm khối lượng nhỏ cần buộc vào đầu dây nằm cân bền mặt phẳng thẳng

đứng?

1.142 Hai vật có khối lượng m M

được nối với lò xo

Khi hệ treo Hình 1.11a,

độ dài lị xo l1 Khi hệ đặt giá đỡ Hình 1.11, b, độ

dài lò xo l2 Tìm độ dài tự

nhiên lị xo?

1.143 Ta phải kéo sợi dây thừng nhẹ góc α để kéo vật nặng chuyển động khơng gia tốc

mặt phẳng nằm ngang (Hình 1.12, a)? Biết vật bắt đầu tự trượt đặt mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng ϕ (Hình 1.12, b)

O

C A

ỏ

õ

Hình 1.9 Hình 1.10

H

l1

m

M l2

m

M

Hình 1.11

80

1.144 Tìm lực nhỏ F tác dụng theo phương nằm ngang vào vật có khối lượng m = 1kg, nằm mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α = 300

đứng n (Hình 1.13)? Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng k = 0,2 1.145 Tìm lực nhỏ F tác dụng theo phương nằm ngang vào vật có khối lượng m

= 2kg, nằm mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α = 300 chuyển động lên mặt phẳng nghiêng (Hình 1.13)? Hệ số ma sát vật mặt phẳng nghiêng k = 0,3

1.146 Một khối hình hộp chữ nhật có tiết diện thẳng b (Hình 1.14) kéo trượt

đều mặt phẳng ngang dây thừng với góc kéo α thay

đổi Hệ số ma sát vật mặt phẳng ngang k Tìm góc α vật bắt

đầu bị nhấc lên?

1.147 Vật khối lượng m có kích thước b (Hình 1.15) nằm mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α Bắt đầu tác dụng lực F song song với mặt phẳng nghiêng Với lực F vật bị lật đổ? Biết vật khơng bị trượt xuống mặt phẳng nghiêng

1.148 Một khối lập phương nhỏ khối lượng m = 100g đặt mặt phẳng nhám nghiêng với phương nằm ngang góc α = 300 (Hình 1.16) Hệ số ma sát khối lập phương mặt nhám k = 0,8 Tìm lực nhỏ F tác dụng vào khối lập phương theo phương ngang bắt đầu chuyển động? Lực nằm mặt phẳng nghiêng

1.149 Một bút chì có tiết diện hình lục giác bị đẩy dọc theo mặt phẳng ngang (Hình 1.17) Tìm hệ số ma sát bút chì mặt phẳng ngang để trượt

mặt phẳng ngang mà không quay?

ỏ

a)

ử

b) Hình 1.12

ỏ

m F

Hình 1.13

b

a ỏ

a/2

Hình 1.14

ỏ

F

Hình 1.15 a

b

ỏ

F

81

1.150 Một ôtô khối lượng M = chuyển động lên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α = 120 Tìm hiệu áp lực bánh trước bánh sau xe xuống mặt đường? Biết rằng, khoảng cách trục L=2,5m, khối tâm xe cách trục nằm ởđộ cao H = 0,75m so với mặt đường

1.151 Xe tải có khối lượng M = vượt dốc (Hình 1.18) Xe tải kéo theo moóc có khối lượng m = Dây nối nằm độ cao h = 1m Khối tâm G xe tải nằm độ cao H = 2m; khoảng cách trục bánh xe L = 4m Khi

đi đường nằm ngang bánh sau ép lên mặt đường lực 3/4 tồn trọng lượng xe Với góc nghiêng dốc xe bị đổ

về sau? Thực tế có nguy hiểm hay khơng, công suất động chỉđủ để

vượt dốc có góc nghiêng khơng vượt q 100?

1.152 Tìm thay đổi áp lực lên bánh trước ô tô khối lượng m = 1500 kg

đang chuyển động mặt đường nằm ngang (có hệ số ma sát k = 0,4), hãm bánh sau cách tối đa mà không làm xảy trượt? Khối tâm ô tô nằm cách trục xe nằm độ cao h = 60 cm so với mặt đất; khoảng cách trục trước trục sau xe d = 3,5 m

1.153 Một nêm có góc nghiêng α chuyển động với gia tốc a mặt bàn nằm ngang phẳng (Hình 1.19) Với gia tốc a vật nằm mặt nêm bắt đầu trượt lên trên? Hệ số ma sát vật nêm k

G L

α

Hình 1.18 F

Hình 1.17

ỏ

a

Hình 1.19 Hình 1.20 Hình 1.21

a r

82

1.154 Một đĩa tròn mỏng đồng bán kính R, bị cắt miếng hình trịn có bán kính nhỏ lần tiếp xúc với vành đĩa (Hình 1.20) Khối tâm phần cịn lại nằm đâu?

1.155 Kéo sợi buộc quanh cuộn đặt mặt bàn Hình 1.21, cho gia tốc cuộn giữ không đổi a Hệ số ma sát bàn vành cuộn phải để cuộn trượt mà khơng quay? Bán kính vành lõi cuộn R r

1.156 Cuộn lăn phía nào, ta kéo sợi góc nghiêng khác (Hình 1.22)? Xét trường hợp sau: a) phương dây qua điểm O (điểm tiếp xúc vành cuộn mặt bàn); b) góc kéo dây nhỏ trường hợp a; c) góc kéo dây lớn trường hợp a Trong ba trường hợp cuộn không trượt

1.157 Trên hình trụ bán kính R, vị trí cách trục khoảng 2R/3, người ta khoan lỗ hình trụ

có bán kính R/4, trục lỗ hình trụ song song với (Hình 1.23) Đổ vào lỗđó chất có khối lượng riêng lớn gấp 11 lần khối lượng riêng chất làm hình trụ Hình trụđược đặt nằm ván nhẹ Nhấc chậm đầu

ván lên Tìm góc nghiêng α cực đại ván với phương ngang hình trụ cịn nằm cân bằng? Hệ số ma sát ván hình trụ k = 0,3

1.158 Trục quay truyền chuyển động quay cho trục nhờ ma sát hai hình nón giống nhau, ép lên dọc theo đường sinh chúng (Hình 1.24) Tìm vận tốc góc ω2 trục khơng tải, vận tốc góc trục ω1

Hình 1.24

Trục

ω2

Trục

ω1

Hình 1.22 a

b c

83 LỜI GIẢI

Bài 1.18

- Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ - Phân tích lực: P N T Fur uur ur uuuur; ; ; ms

* Điều kiện cân : ur uur urP N T+ + + uuuur rFms =0 - Chiếu lên 0xy :

N = Tsinα (1) Fms = P – Tcosα ≤ k.N (2)

* Điều kiện cân mômen với trục quay B : T.R( + cosα) = P.R

Suy : sin

1 c s c s

P P

T N

o o

α

α α

= ⇒ =

+ + (3)

Thay (3) vào (2) rút :

sin

k

α

≥

Bài 1.19

- Các lực tác dụng vào thang phân tích

hình vẽ

* Điều kiện cân mômen với trục quay A : N2.lsinα = P1 cos 2( )cos

2

l

P l a

α + − α

a = l/3; P1 = mg; P2 = Mg

suy : 2 ( ) tan

2

m M

N = + g c α (1)

* Điều kiện cân lực :

N1 = (M + m)g (2)

N2 = Fms (3)

Từ (1), (3) : Fms = ( ) tan

2

m M

g c α

+ (4)

Vậy lực mà sàn tác dụng lên thang :

2

1

F = N + Fms = ( ) ( )

2

2

2

800

2

m M

g ⎛⎜ + ⎞⎟ ctg α + M m+ = N

⎝ ⎠

Góc hợp urF so với phương thẳng đứng : tanβ =

3

tan

6( )

ms

F m M

c

N M m α

+ =

+

3

20

6

m M

arctg ctg

M m

β = ⎛⎜ + α⎞⎟≈

+

⎝ ⎠

D

C A

α

β

Hình 1.9

Tur

P ur N uur

ms

F

uuur

x B y

α

1

N

uur

ms

F

uuur

P

ur

P

uur

N

uur

A B

O y

84 Bài 1.20

Chọn mốc lề - Thế hệ : U = mg

2 l

sinα + Mg(H – a2)

Trong a2 chiều dài đoạn dây bên trái ròng rọc

Chiều dài đoạn dây bên phải ròng rọc :

a1 = H2 + −l2 2Hlsinα (bỏ qua kích thước rịng rọc)

Gọi a = a1 + a2 chiều dài dây 2

sin ( sin )

2

U = mgl α +Mg H − +a H + −l Hl α

Vì vị trí cân bền nên đạo hàm U theo sinα phải 0, ta có :

2 2 2

dU

d(sin ) 2 sin

2

sin

2

mgl Hl

Mg

H l Hl MH

H l

m HL H l

M m

H

α α

α

= − =

+ − ⎛ ⎞ + − ⎜⎝ ⎟⎠

⇒ = ≤

− ⇒ ≥ Bài 1.21

+ Xét hình 1.11 a: lực tác dụng lên vật M gồm hai lực - Trọng lực Pr , lực đàn hồi Frdh

- M trạng thái cân bằng: P Fr+ rdh =0r ⇒ = −Pr Frdh

- Trọng lực hướng xuống => lò xo bị dãn

1

( )

dh

P F Mg k l l

⇒ = ⇔ = − (1)

+ Xét hình 21.a: lực tác dụng lên vật m gồm hai lực - Trọng lực pr , lực đàn hồi frdh

- m trạng thái cân bằng: pr + frdh = ⇒ = −0r pr frdh

- Trọng lực hướng xuống => lò xo bị nén

0

( )

dh

p f mg k l l ⇒ = ⇔ = − (2)

+ Từ (1) (2) => 1

0

( )

( )

k l l ml Ml Mg

l

mg k l l M m

− +

= ⇒ =

− +

Bài 1.22:

+ Xét hình 1.12 a lực tác dụng lên vật nặng gồm

M

Hình 1.10 H

a2 a1

m l

α

m

M P

fdh

m

85

- Trọng lực Pr, lực kéo Fr , phản lực

Nr lực ma sát Fms

r

- Vì vật chuyển động khơng gia tốc nên ta có phương trình sau:

0

ms

P F N Fr+ + +r r r =r (1)

Chọn hệ trục oxy hình vẽ + Chiếu phương trình (1) lên hai trục ox oy ta được:

+ Trục ox: Fcosα - Fms = (2)

+ Trục oy: Fsinα + N - P = (3) => N = P - Fsinα thay vào phương trình (2) ta được:

=> Fcosα- μ(P - Fsinα ) =

os + sin mg F

c

μ

α μ α

⇔ = ( )

+ Biết vật bắt đầu trượt đặt vật mặt phẳng nghiêng có nghiêng ϕ nên Ta có: tanϕ μ= thay vào phương trình (4)

=> tan

os + tan sin mg

F c

ϕ

α ϕ α

= mg.tanϕ= cost nên đặt f( )α =cos + tan sinα ϕ α

=> f( )α′ = −sinα+tan osϕc α f(α ) đạt gia trị cực trị ( ) sin tan os tan tan

fα′ = ⇔ − α+ ϕc α= ⇒ α= ϕ ⇔ =α ϕ

Vậy ta phải kéo vật góc α ϕ= vật trượt không gia tốc

Bài 1.23:

+ Vật tác dụng lên m gồm có: Trọng lực Pr, phản lực Nr , lực ma sát Frms lực Fr Vật đứng cân lên lực ma sát ởđây lực ma sát nghỉ

+ Xét trường hợp thứ nhất: vật có xu hướng xuống Phương chiều lực tác dụng lên m hình vẽ: Ta có phương trình: P N F Fr+ + +r r rms =0r ( 1) chiếu lên trục toạđộ ox oy ta được:

+ Trục ox: Psinα −Fcosα − Fms =0 (2)

+ Trục oy: N− Pcosα−Fsin = 0α (3) => N Pc= os + Fsinα α

Thay vào phương trình ( 2)

α

a)

φ

b)

H×nh 1.12

o x

y P

Fms

F N

α

m F

H×nh 1.13

P Fms

N y

x

α

m F

H×nh 1.13

Fms

P

N x

86

=> Psinα−Fcosα−k Pc( osα+Fsin ) 0α =

(sin os ) (tan )

cos +ksin tan

mg kc mg k

F

k

α α α

α α α

− −

⇔ = =

+ =3,3 (N)

+ Xét trường hợp thứ nhất: vật có xu hướng lên Phương chiều lực tác dụng lên m hình vẽ: Ta có phương trình: P N F Fr+ + +r r rms =0r ( 4)

chiếu lên trục toạđộ ox oy ta chiếu lên trục toạđộ ox oy ta được: + Trục ox: Psinα −Fcosα + Fms =0(5)

+ Trục oy: N− Pcosα−Fsin = 0α (6) => N Pc= os + Fsinα α Thay vào phương trình ( )

=> Psinα−Fcosα+k Pc( osα+Fsin ) 0α =

(sin os ) (tan )

cos ksin tan

mg kc mg k

F

k

α α α

α α α

+ +

⇔ = =

− − = 8.8 >3,3

Vậy lực nhỏ tác dụng vào vật m đ đứng yên là: (tan )

1 tan mg k F

k

α α

− =

+ = 3,3 (N)

Bài 1.24.

+ Các lực tác dụng lên vật gơm có: P, N, F Fms

+ Sử dụng định luật II Newton ta có:

F F N P a

mρ= ρ+ ρ+ ρms + ρ

+ ma = Fcos α - Psin α - Fms = Fcos α - Psin α - kN =

( Vì chuyển động thẳng đều)

+ = - Pcos α - Fsin α + N suy N = Pcos α + Fsin α: Thay vào phương trình trện ta thu được:

Fcos α - Psin α - k(Pcos α + Fsin α) = rút ra:

( )N mg

tg k

k tg

F 21,4

1− =

+ =

α α

Bài 1.25

+ Dễ dàng có điều kiện để vật chuyển động thẳng là: Fcos α = k(P – Fsin α )

=> F =

α

α sin

cos k

kP

+ (1)

+ Điều kiện để vật bị nâng lên: Momen F trục quay qua J phải lớn momen P

Fm

α

F

b

a α

a/2

J

87

Ta có: P .cos )

2 sin (

2 α α

a b

F

b = −

(2)

Thay (1) vào (2) ta có: b.cos α + kb.sin α = 2kb.sin α - k.a.cos α Biến đổi ta thu kết :

k b a

tgα= + (3)

Vậỵđể nâng vật lên ta cần tác dụng vào vật lực F với góc tối thiểu α thỏa mãn (3)

Bài 1.26.

Để lật khối hộp momen tối thiểu lực F phải lớn momen cản lại P

) tan 2 ( cos

.b P α a b α

F ≥ − hay

) sin cos

(

2 α − α

≥ b a mg

F

Bài 1.27

- Chon hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ - Phân tích lực: P N F Fur uur ur uuuur; ; ; ms

- Khi vật bắt đầu chuyển động sàn lực ma sát tác dụng lên vật lực ma sát trượt, ta có:

Fmst = k.N (1)

- Khi tác dụng lực nhỏ vào vật để làm vật bắt đầu chuyển động, vật chuyển động đều, ta có: P N F Fur uur ur uuuur r+ + + ms=0 (2) Chiếu (2) lên trục tọa độ ta được:

+ Trên Ox: Fmsx = Px = mg.sinα (3)

+ Trên Oy: N = Py = mg.cosα (4)

+ Trên Oz: Fmin =Fmsz = Fms2 −Fmsx2 (5) Thay (1, 3, 4) vào (5) ta được:

( )2

min os sin

F =mg k c α − α (6)

Thay số: m = 100g = 0,1kg; g = 9,8m/s2; k = 0,8;

α = 30o vào (6) ta được: Fmin = 0,47 (N)

α

F a

b

x

O

y

Py

Px

P ur N

uur

msx

F

uuuuur

Hình chiếu (Oxy)

Px

msx

F

uuuuur

msz

F

uuuuur uuuurFms

min

F

uuuuur x

z

O

88 Bài 1.28

- Phân tích lực: P N F Fur uur ur uuuur; ; ; ms

(trong đó: giá phản lực uurN có phương thẳng

đứng cắt mặt chân để bút chì)

- Khi bút chì bắt đầu bị quay phản lực Nuur

có giá qua điểm tựa B,

đó: / 0; /

ms

N B F B

Muur = Muuuur = , ta có:

/ /

F B P B Mur =Mur

3

2

a a mg

F mg F

⇒ = ⇒ =

Để bút chì khơng bị quay quanh điểm B thì:

3 mg

F ≤ (1) - Để bút chì bị trượt theo phương ngang:

( msn max)

F ≥ F ⇒ ≥F k N =k mg (2)

- Từ (1, 2) ta có: 0,58

3

mg

k mg≤ ⇒ ≤k ≈

Bài 1.29

- Phân tích lực: P N N Fur uur uuur uuuuuur uuuuuur; 1; 2; msn1;Fmsn2

(Xe chuyển động lên mặt phẳng nghiêng nên lực ma sát tác dụng lên bánh xe ma sát nghỉ, đóng vai trị lực phát động chuyển động xe)

- Vì xe chuyển động lên mặt phẳng

nghiêng (không bị lật), áp dụng quy tắc

mômen:

+ Đối với trục quay qua A:

1/ 0; msn1/ 0; msn2/

N A F A F A

Muur = Muuuuuur = Muuuuuur = , ta có:

2

/ /

2

os sin

2

P A N A

M M

L

Mg c Mg H N L =

⇒ α − α =

ur uuur

2 12 os H.sin

N Mg c Mg L

⇒ = α − α (1)

+ Đối với trục quay qua B:

2/ 0; msn2/ 0; msn1/

N B F B F B

Muuur = Muuuuuur = Muuuuuur = , ta có:

A B

P ur

N

uur

F ur

ms F

uuuur

H

A

B G

1

N

uur

2

N

uuur

P ur

1

ms F

uuuur

2

ms F

89

1

/ /

1

os sin

2

P B N B

M M

L

Mg c Mg H N L =

⇒ α + α =

ur uur

1 12 os H.sin

N Mg c Mg L

⇒ = α + α (2)

- Từ (1, 2) ta có: N N1 N2 2Mg.H.sin L

Δ = − = α

Thay số: M = = 1000kg; g = 9,8m/s2; H = 0,75m; L = 2,5m; α = 12o ta có:

∆N = 1,2.103 (N)

Bài 1.30

- Phân tích lực hình vẽ:

+ Xe tải: P T N Fur ur uur uuuur; ; ; ms (phản lực xe phân bố bánh trước bánh sau)

+ Xe mooc: P T N Fuur uur uur uuuuur'; '; '; 'ms

- Khi xe bắt đầu bịđổ phía sau thì:

+ tồn trọng lực xe dồn hết cho bánh sau, phản lực uurN có giá qua A, nghĩa là: MuurN A/ =0;

+ Đối với trục quay qua A, ta có: MT Aur/ ≥MurP A/ (1)

- Xe mooc kéo lên dốc, nên: T ≥mg.sinα

/ sin

T A

M mg h

⇒ ur ≥ α (2)

- Đối với xe tải mặt đường nằm ngang, 3/4 trọng lượng xe ép lên bánh sau nên trọng tâm G xe bị lệch phía bánh sau cách trục bánh sau theo phương song song với mặt dốc đoạn L/4, ta có:

/ /

/ P Ay P Ax

P A

Mur =M −M

/

L

os sin

P A

M Mg c Mg H

⇒ ur = α − α (3)

G

L

α

P ur N

uur

msn F

uuuuur

H

Tur ' Tuur

h Px

Py

90

- Thay (2, 3) vào (1) ta có:

( )

L

.sin os sin

4

.sin os

4

mg h Mg c Mg H M L

m h M H c

α ≥ α − α

⇒ + α ≥ α

ML/4 tan

m.h+M.H

⇒ α ≥ (4)

Thay số: M = tấn, m = tấn, L = 4m, H = 2m, h = 1m, ta có: tanα≥ 0,4

Cơng suất động ảnh hưởng đến chuyển động tịnh tiến xe tải, khơng gây nguy hiểm xe tải lên dốc

Bài 1.31.

Khi chưa phanh áp lực tác dụng lên bánh trước

2 mg N20=

Khi phanh bánh sau, bánh sau chịu tác dụng lực ma sát Fms =kN1, ta có phương

trình cân momen quanh khối tâm xe:

h F d N d

N2 = 1 + ms (1)

Ta có: N1 + N2 – mg = (2)

Từ (1) (2), suy ra:

kh d kh d mg N2 + + =

Độ biến thiên áp lực lên bánh xe trước:

480 kh d kh mg N N

N 2 20 =

+ = − = Δ (N) Bài 1.32.

Phương trình chuyển động vật m: P+N+Fms =ma

→ ⎩ ⎨ ⎧ = α − α = α − α − ma cos F sin N sin F cos N mg ms ms

Suy ra:

⎩ ⎨ ⎧ α − α = α + α = ) cos a sin g ( m F ) sin a cos g ( m N ms

Biết: Fms ≤kN

Nên: gsinα−acosα ≤k(gcosα+asinα) Vật bắt đầu trượt lên khi:

α − α + = ktg tg k g

a , với điều kiện ktgα <

Bài 1.33.

Chọn tâm O làm gốc toạđộ, ta có:

91

x0 = 0, x1 = -2 R

Khối tâm G trục Ox:

2 R m m

m m

m x m mx x

1 1

1

G − = −

−

= (1)

Mặt khác

4 R

r S S m m

2 1

1 = = = (2)

Từ (1) (2), suy ra:

6 R xG =

Vậy, khối tâm G ngồi OO1 phía O, cách O khoảng R

Bài 1.34. (Hình 1.21G)

Vì cuộn khơng quay ta có phương trình cân momen quanh trục qua tâm cuộn chỉ:

F R F rms. = . (1)

Cuộn trượt với gia tốc a ta có phương trình chuyển động tịnh tiến:

F F− ms =ma (2)

Từ phương trình (2) suy F ma F= + msthay vào phương trình (1):

. ( ).

ms ms

F R= ma F+ r với Fms =kmg Suy

( )

ra k

R r g

= −

Bài 1.35. (Hình 1.22G)

Phương trình chuyển động tịnh tiến:

cos msn

F α −F =ma (1)

Phương trình chuyển động quay quanh trục 0:

0

msn

F R F r I− = γ (2)

Ta có: a

R

γ = ; I0 =βmR2 với β >0 hệ số

Từ phương trình (1) (2), suy ra:

( cos )

(1 )

F R r

a

mR

α β

− =

+ (3)

O

O1 G x

Hình 1.21G a r

R

Fr ms

Fr

Hình 1.22G

α

0

K ar r R

Fr +

92

( cos )

0

(1 )

msn

F R r

F

R

β α

β

+

= >

+ (4)

Theo (4) lực ma sát ln hướng bên trái Theo (3) thì:

a, Khi cos r a

R

α = ⇒ = Lực Fr có giá qua điểm tiếp xúc K Do khơng gây

ra momen K, γ =0 Cuộn chỉđứng cân

b, Khi cos r a

R

α > ⇒ > cuộn chuyển động sang phải

c, Khi cos r a

R

α < ⇒ < cuộn chuyển động sang trái

Bài 1.36. (Hình 1.23G)

* Gọi: m khối lượng hình trụ đồng chất không bị khoét, m1 khối lượng dư vật đem đặt vào lỗ trống

Ta có:

2

1

.

5

4 .10

. 8

R h

m

m m

R h

π π

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

= =

* Khi góc α tăng hình trụ trượt lăn

- Gọi α1 góc mà kể từ hình trụ bắt đầu

trượt, ta có phương trình chuyển động tịnh tiến hình trụ: (m m g+ 1) sinα1=k m m g( + 1) cosα1

⇒tanα1 = =k 0,3

- Gọi α2 góc mà kể từđó hình trụ bắt đầu lăn không trượt: Muốn vậy:

+ Vì hình trụ khơng trượt mà lực ma sát phải nhỏ giá trị lớn (m m g+ 1) sinα2

+ Để hình trụ khơng quay momen lực ma sát trục quay qua khơng vượt q giá trị lớn momen trọng lực m g1 , tương ứng với trường hợp đường thẳng 001 song song với phương ngang

Vì với α α= 2 ta có phương trình cân momen trục quay qua 0:

( 1) sin 2 2 1

3

R R m m g+ α = m g

Hình 1.23G

0 01

Nr

ms Fr

α

1 m gr

93

Thay 1 5

8

m

m = vào phương trình ta tìm sin 2 10

39 α =

* Ta thấy tanα2 =0,26 tan< α1 ta tăng góc α cân momen quay bị phá vỡ trước cân trượt

Vậy góc nghiêng α cực đại ván với phương ngang hình trụ nằm

cân sin 10

39 α =

Bài 1.37.

(Hình 1.24G)

Các hình nón chuyển động tương kèm theo trượt trừ điểm vận tốc dài hai hình nón Ký hiệu toạ độ điểm tính từđỉnh nón thứ x0 Tại điểm lực ma sát trượt tác động lên nón thứ đổi dấu ( hình 1.24a) Bởi trước điểm nón thứ có vận

tốc lớn nón thứ 2, cịn sau điểm nhỏ Hình nón thứ quay với vận tốc góc khơng đổi tổng momen lực ma sát tác động lên khơng Vì lực ma sát tác dụng lên đơn vị độ dài nón khơng đổi nên momen tăng theo hàm bậc tính từđỉnh nón đến đáy nón (Vì cánh tay địn tăng) Tại điểm x0 momen lực ma sát đổi dấu (hình 1.24b)

Gọi H chiều cao, R bán kính đáy nón, r0 bán kính điểm x0 Tổng momen lực ma sát khơng có nghĩa diện tích tam giác diện tích hình thang gạch chéo hình 1.24b

Ta có: 0

2 4

x r HR

= (1)

Hình 1.24

Truc

ω2

Truc

ω1

x

ms Fr

x0

-F +F

a)

x M

x0

A

B

b)

x0

94

Tam giác OAB đồng dạng với tam giác OA1B1 ta có:

0

x H

r = R (2)

Từ (1) (2) suy 0

2

R r =

Các vận tốc dài nón điểm x0 nên ta có: ω1(R r− 0)=ω2 0r với

0 2

R

r = ta được:

95 Phần 3: ĐỀ THI DO CÁC TRƯỜNG ĐỀ NGHỊ

Đề 1: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH HÀ GIANG

Bài 1 Một ôtô địch leo thẳng lên quảđồi với vận tốc không đổi 2,5m/s Đồi có sườn dốc mặt phẳng nghiêng hợp với phương ngang góc 300 Trong mặt phẳng thẳng đứng có chứa ơtơ, người ta bắn quảđạn pháo từ

chân dốc với góc bắn 600 so với phương ngang Lúc bắn ơtơ cách pháo 500m Muốn đạn bắn trúng ơtơ vận tốc đạn phải bao nhiêu? Cho g = 10 m/s2

Bài 2. Cho hệ thống hình vẽ, có rịng rọc cốđịnh A, rịng rọc động B hai vật có khối lượng m1 m2 Bỏ qua khối lượng

dây ma sát

1) Khối lượng hai ròng rọc không đáng kể Thả cho hệ thống chuyển động từ trạng thái nghỉ Tính gia tốc a2 vật m2 lực Q tác

dụng lên trục ròng rọc A So sánh Q với trọng lực Q’ hệ Áp dụng số: m1 = 0,2 kg ; m2 = 0,5kg; g =10m/s2 Tính a2 Q ?

2) Khối lượng rịng rọc B khơng đáng kể rịng rọc A có khối

lượng đáng kể; bán kính A r Thả cho hệ thống chuyển động từ trạng thái nghỉ, người ta thấy m2 có gia tốc a = g/n, g gia tốc rơi tự do, n số dương âm

(lấy chiều dương xuống) Tính khối lượng ròng rọc A theo m1, m2 n

Áp dụng số: r = 0,1m

a) m1 = 0,2 kg ; m2 = 0,5kg; g =10m/s2; n = Tính m, mơmen qn tính lực Q tác

dụng lên trục ròng rọc A? So sánh Q Q’ trọng lực hệ tác dụng b) m1 = 1kg; m có giá trị vừa tìm Tính m2để có n = - 5( m2đi lên)

Bài 3. Con ếch khối lượng m1 ngồi đầu ván khối lượng m2, chiều dài l ;

tấm ván mặt hồ Ếch nhảy lên theo phương hợp với phương ngang góc α dọc theo ván Tìm vận tốc ban đầu v0 ếch để nhảy trúng đầu

tấm ván Bỏ qua ma sát

Bài 4 Một lượng khí biến đổi theo chu trình biểu diễn đồ thị hình bên Biết :

p1 = p3; V1 =1m3 , V2 = 4m3;

T1 = 100K T4 = 300K

Tính V3 = ?

m1

m2

A

B

(2)

(1)

(3)

(4) V

T

V2

V1

96 ĐÁP ÁN

Câu

Chọn hệ trục tọa độ: gốc O trùng với nới đặt pháo, Oy theo phương thẳng đứng hướng lên, Ox theo phương nằm ngang Gốc thời gian t = = lúc viên đạn bắn với vận tốc v

Phương trình chuyển động đạn theo trục tọa độ là: x1 = (vcos600).t = 0,5vt (1)

y1= (vsin600).t – 5t2 =

2 v.t- 5t

2 (2)

Phương trình chuyển động ơtơ theo trục tọa độ là: x2 = 500 cos300 + (2,5.cos300).t = 250 + 1,25 3.t (3)

y2 = 500.sin300 +(2,5sin300).t = 250 + 1,25.t (4)

Khi đạn bắn trúng ơtơ thì: x1 = x2 y1 = y2

Suy ra: 5t2 – 2,5.t – 500 = (5)

Giải pjương trình (5) ta được: t1 = 10,25312451

t2= -9,753124512 < loại

Vậy vận tốc đạn pháo là: từ x1 = x2

Suy ra: 0,5vt1 =250 + 1,25 3.t1 ta v = 88,9747m/s Câu

1) Khối lượng hai ròng rọc khơng đáng kể lực căng

dây có giá trị T suốt dọc dây Ta có phương trình chuyển động m1 m2

(chiều dương xuống ) - T + m2 g = m2.a2

-2T + m1 g= m1a1 = -m11

2a2 Giải ta được: a2 = -2a1 = g

2

4

4

m m

m m

− +

Và T = m2( g – a2) = g 2

3

m m m +m

Q = 3T = g

2

9

m m

m +m ; Q’ = ( m1 +m2)g

Q’ – Q =g ( )

2

1

2 m m

m m −

+ > Vậy Q’ > Q

Áp dụng số: a2 = 7,27m/s2 , Q = 4,1N < Q’ = N

2) Rịng rọc A có khối lượng đáng kể lực căng T bên m2 T’ bên m1 khác

nhau Ta có phương trình: - T + m2 g = m2.a2

m1

m2

A

97

-2T’ + m1 g= m1a1 = -m11

2a2 ( T – T’)r = Iγ =

2mra2

Giải hệ phương trình ta được: a2 = g ( )

2

4

1

4

m m

m m m

− + +

T = m2( g – a2 )

T’ =

2m1 ( g + 2a2 ) Theo đầu a2 = g/n , ta tìm được:

m = 2m2(n – 1) – m1(n +1

2 ) Áp dụng số:

a) m = 2,9kg ; I = 0,0145 kgm2; Q = 35,2 N; Q’ = 36 N

b) a2 = - 2m/s2 ; m2 = 0,133 kg ; T = 1,6N, T’ = 4,5N;

Q = mg + T + 2T’ = 39,6N < Q’ = (m1 +m2 + m)g = 40,3N Câu

- Bỏ qua ma sát, theo phương ngang động lượng hệếch ván bảo toàn m1v0cosα + m2vv = ( với vv vận tốc ván.), suy độ lớn vận tốc ván:

vv = m

m v0cosα

- Gọi quãng đường ếch nhảy tới s1 ; quãng đường ván chuyển động lui s2

- Thời gian ếch nhảy quãng đường s1, thời gian ván di chuyển quãng đường s2 hai lần thời gian ếch lên cao cực đại Thời gian là:

t1 = v0sin

g

α

⇒ t = sinv0 g

α

Đểếch nhảy trúng ván ta có: s1 + s2 = l

Với s1 = v0cosα.t s2 = vv.t

⇒v0cosα.2 sinv0

g

α

+ m

m v0cosα sinv

g

α = l

⇒ 0

1

1 sin

g v

m

m α

=

⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

l

Câu

98

( )

3

3

1

100

V T

T V

V =T ⇒ =

Đoạn 2- có dạng đoạn thẳng nên có dạng: V = a.T + b với a,b số

+ Khi V = V2, T =100

V2 = a.100 + b (2)

+ Khi V = V4, T = 300 : V4 = a.300 + b (3)

+ Từ (2) (3) ta có: a = - 3/200 b = 5,5 + Khi T = T3 ; V = V3 V3 =

3

3

.100 5,5

200 V

− +

Vậy V3 = 2,2m3

(2)

(1)

(3)

(4) V

T

V2

V1

99 Đề 2: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH LẠNG SƠN

Câu Hai xi lanh cách nhiệt giống hệt nối với ống cách nhiệt có kích thước nhỏ, ống nối có lắp van K

Lúc đầu K đóng Trong xi lanh 1, pit-tơng khối lượng M, chứa lượng khí lý tưởng đơn ngun tử có khối lượng mol µ, nhiệt độ T0 Trong xi lanh có

pit-tơng khối lượng m = M/2 khơng chứa khí Phần pit-tơng hai xi lanh chân khơng Sau van K mở để khí từ xilanh tràn qua xi lanh Xác

định nhiệt độ khí sau khí cân bằng, biết

khi phần pit-tơng xi lanh cịn khoảng trống Cho νµ/M = 0,1, với ν số mol khí; ma sát pit-tông xi lanh nhỏ

Сâu 2. Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang chia thành hai phần nhờ pit-tông mỏng dẫn nhiệt Pit-tông nối với thành đầu xi lanh lò xo nhẹ Ở hai bên pit-tơng có ν mol khí lí tưởng đơn ngun tử Xi lanh có chiều dài 2ℓ, chiều dài lò xo lúc chưa dãn ℓ/2

Ở trạng thái ban đầu lò xo bị dãn đoạn X nhiệt độ khí hai phần xi lanh T Sau đó, người ta đục lỗ nhỏ qua thành pit-tông Xác định độ biến thiên nhiệt độ khí xi lanh ΔT sau khí xi lanh cân Bỏ qua nhiệt lượng hấp thụ xilanh, pit-tơng, lị xo ma sát pit-tông xi lanh

Câu 3. Một nêm khối lượng M, mặt nêm nhẵn nằm mặt phẳng nhẵn, nằm ngang Góc hợp mặt phẳng nghiêng mặt phẳng

ngang nêm α (Hình 3) Một viên bi khối lượng m bay với vận tốc v0 theo phương ngang đến va chạm đàn hồi với nêm Xác định tỉ số m/M, biết sau va chạm thời gian viên bi rơi trở lại nêm vào điểm mà va chạm với nêm trước

Câu 4: Một ống khối lượng M đặt nằm ngang bàn dựa vào đinh cắm thẳng

đứng bàn Sợi dài, mảnh, đầu quấn vào ống chỉ, đầu luồn qua khe mặt bàn nối với vật nặng khối lượng m (Hình 4) Với giá trị m hệ cân bằng? Biết ống (phần quấn chỉ) có bán kính r, phần gỗở hai đầu ống có bán kính R, hệ

số ma sát ống đinh µ1 ống với mặt bàn µ2

1 2

K

Hình

Hình

Hình

m

α Hình

100 ĐÁP ÁN

Câu

Khi K mở, toàn lượng khí chuyển qua xi lanh Kí hiệu: H0 – độ cao cột khí bình K chưa mở;

H T – độ cao nhiệt độ cột khí xi lanh K mở khí cân

Áp dụng nguyên lí thứ nhiệt động lực học có:

( 0) 0 ( 0 )

2

g

R T T MgH mgH νμ H H

ν − = − + −

Trước K mở, xi lanh 1:

0 ; 0

Mg

P V H S S

= = MgH0 = νRT0 gH0 RT0

M

ν

=

Sau K mở khí cân bằng, xi lanh 2: gH RT m

ν

=

Vậy: ( 0) ( 0 ) ( 0 )

2 R T T R T T M RT mRT

νμ ν ν

ν − =ν − + −

Hay: 01 0,98 0

2

5 M

T T T

M

νμ νμ

+

= =

+ Câu

Ở trạng thái đầu, lực đàn hồi lò so cân với lực tác động lên pit-tông gây độ chênh lệch áp suất hai bên pit-tông

3

( ) ( )

2

RT RT

kx

l l

x x

ν ν

− = −

− +

1

3

2

RT k

l l

x x x

ν ⎛⎜ ⎞⎟

⇒ = ⎜ − ⎟

⎜ + − ⎟

⎝ ⎠

Sau pit-tông thủng, áp suất hai bên pit-tông cân bằng, độ dãn lị xo khơng Tồn lượng từ đàn hồi dự trữ lị xo biến thành nội khí, nên: 32

2

kx

vR T

= Δ

Vậy: 3 2

6 ( )(3 )

2

kx x x l x

T T T

l l

R x x l x l x

ν

⎛ ⎞

⎜ ⎟ −

Δ = = ⎜ − ⎟ =

+ −

⎜ + − ⎟

⎝ ⎠

Câu

Gọi vx vy thành phần nằm ngang thành phần thẳng đứng vận tốc

của bi sau va chạm Xét hệ bi – nêm, ngoại lực triệt tiêu theo phương ngang nên

101

m v0 = (m + M) vx (1)

Áp dụng định luật bảo toàn có:

02 2 (2)

2 x y

mv m M m v v +

= +

Gọi F lực tương tác bi nêm va chạm lần thứ thời gian va chạm Δt Vì khơng có ma sát nên lực có phương vng góc với mặt nêm

Áp dụng định luật Niu tơn có: m vy = F.Δt cosα

M vx = F.Δt sin α

Hay: os (3)

sin

y x mv c Mv

α α

=

Từ (2) (3) có:

2 2 2

2 2

0

sin sin os

(4)

sin x

m mM M c

m v α α α v

α

+ +

=

Từ (1) (4) có 2

2 os sin

cot

sin m c M

α α α

α

−

= = −

Câu

Giả sử tìm giá tri m0, với m > m0 ống

bắt đầu quay Khi m = m0, hệ cân bằng:

Fms1 = µ1N1; Fms2 = µ2N2 (1)

Áp dụng định luật Niu tơn cho trục 0x, 0y có:

Fms2 – N1 = (2)

Fms1 + N2 – P2 – T’ = (3)

T’ = T = m0g; P2 = Mg (4)

Xét trục quay tạm thời qua O, có:

T’.r – Fms1.r – Fms2.R = (5)

Giải hệ phương trình ta nghiệm: 0

2 (1 r )

R m M

r R

μ μ

μ

+ =

−

- Với 2 r

R

μ < , hệ cân với m < m0 Khi m > m0ống quay

- Nếu µ2 có giá trị tiến gần đến r/R, m0 có giá trị lớn Khi µ2 = r/R hệ

cân với giá trị m - Còn

r R

μ > cân khơng thể bị phá vỡ với giá trị m

1

ms Fr

2

ms Fr Tr

'

Tr Nr Pr

1 Pr Nr y

x 0

0

102 Đề 3: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH SƠN LA

Câu 1:

Một bánh xe có bán kính R, đặt cách mặt đất đoạn h, quay với vận tốc góc ω Từ điểm A bánh xe bắn giọt nước rơi chạm đất điểm B, tâm bánh xe Xác định vị trí điểm A thời gian rơi giọt nước

Câu 2:

Một người khối lượng m đứng ởđầu xe trượt có khối

lượng M chiều dài L Người phải nhảy với vận tốc nhỏ theo hướng đểđến đầu xe trượt nếu:

a) Xe trượt giữ chặt

b) Xe trượt thả tự mặt băng

Câu 3:

Một AB đồng chất khối lượng m = 20kg dựa vào tường trơn nhẵn góc nghiêng α Hệ số ma sát thang sàn μ =0,6

a) Thang đứng yên cân bằng, tìm lực tác dụng lên α = °45

b) Tìm giá trị α để thang đứng yên không trượt sàn

c) Một người có khối lượng m = 40kg leo lên

thang α = °45 Hỏi người lên tới vị trí M thang thang bị trượt Biết thang dài l = 2m Lấy g = 10m/s2

Câu 4:

Một bình hình trụ kín đặt thẳng đứng, có pittơng nặng cách nhiệt chia bình thành hai phần Phần chứa 1mol phần chứa 2mol chất khí Khi nhiệt độ hai phần T0 = 300K áp suất khí phần ba lần áp suất

khí phần Tìm nhiệt độ T khí phần để pitơng nằm bình nhiệt độ phần không đổi

Câu 5:

Cho n mol khí lí tưởng biến đổi trạng thái biểu diễn hình vẽ Các trình 1→2

2→3 biểu thị đoạn thẳng Quá trình

3→1 biểu thị cơng thức:

m

M

A

B

α A

T

0 V 2T1

T1

2

3

O

B

103

( )

1 3

2

T

T = −bV bV

Trong T1 = 77°C, b số chưa biết

Tìm cơng khối khí thực chu trình

ĐÁP ÁN: Câu 1:

Để giọt nước rơi chạm đất B phải bắn từđiểm A thuộc nửa bên trái bánh xe

Gọi α =·AOB, chọn hệ trục toạđộ Oxy hình vẽ, ta có phương trình toạđộ giọt nước:

( ) .cos 1 .sin 2

x v t v R

y v t gt

α ω

α

= =

= +

Khi giọt nước chạm đất B ta có:

( )

2

2 2

4 2

2 2

2

2 2

2

2

sin ; cos

sin tan

(1) (3)

cos

tan tan

(2),(3) sin cos

2

2 cos cos

'

2 cos

2

2

sin cos

2

x R y h R

R t

R

R g h R

g h R g

R gh g

R R gh g

g h

R R gh g

g h α α α α ω α ω α α ω α α ω ω ω α ω α ω ω ω ω ω α ω ω ω ω α α ω = = − ⇒ = = ⎛ ⎞ ⇒ + ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ ⇔ + − − =

Δ = + + >

+ + + ⇒ = + ⎛ + + + ⇒ = − = − + ( )

2 2 2

2

2 2

2

h gh R R R gh g

g h ω ω ω ω ω ω ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + − − + + = +

Thời gian rơi:

( 2 2 2 2)

2 2

2 2 2

tan

2

h gh R R R gh g

t

R R gh g

104 Câu 2:

a) Chọn hệ trục toạđộ hình vẽ, gốc toạđộ vị trí ban đầu người nhảy Phương trình chuyển động người theo trục tọa độ là:

2

0

1 cos ; sin

2 x v= αt y v= α t− gt

0

1

2v sin y = t = 0; t =

Khi

g

α

⇒

Để người nhảy đến cuối xe trượt thì:

0

0 cos

sin

: sin 45

gL

x v t L v

Hay v v gL

α

α

α α

= = ⇔ =

= = ⇔ = ⇒ = °

Vậy người phải nhảy với vận tốc nhỏ gL với góc nhảy hợp với xe trượt góc α = °45

0

0

cos 45

2 sin 45

2

x

y

gL

v v

gL

v v

= ° =

= ° =

(1)

b) Động lượng hệ theo phương ngang bảo tồn xe trượt thả tự do, vận tốc theo phương ngang người v1, xe v2 phải thoả mãn:

1 2

m

mv Mv v v

M

+ = ⇔ = −

Trong hệ quy chiếu gắn với xe, vận tốc người theo phương ngang người là:

1

x x

m M

v v v hay v v

M

+

= − = (2)

Trong hệ quy chiếu này, hình chiếu vận tốc người thoả mãn điều kiện (1)

câu a

Thay (1) vào (2): 1

2

M gL

v

M m

= +

Vậy vận tốc cực tiểu người hệ quy chiếu gắn với đất:

( )

2 2

min y 2

gL M

v v v

M m

= + = +

+

Góc nhảy α người thoả mãn:

1

tan vy m M

v M

105 Câu 3:

a) Thang cân bằng: P N+ 1+N2 +Fmsn =0

ur uur uur ur r

Chiếu lên Ox, Oy (hình vẽ):

1 200

msn

F N

N P N

= ⎧

⎨ = =

⎩

Mặt khác:

2

/ /

P A N A

Mur = Muuur

2

2

.cos sin

2

100 msn

AB

mg N AB

N N F

α α

⇔ =

⇒ = =

b) Tính α để thang khơng trượt sàn:

Ta có: cos 2 .sin 2

2 tan

AB P

P α N AB α N

α

= ⇒ =

Vì 2

2 tan

msn msn

P

N F F

α

= ⇒ =

Mặt khác: Fmsn ≤ μN1= μP

2 tan 1 1 tan 2 1,2 40 P P μ α α μ α ⇒ ≥ ⇒ ≥ = ⇒ ≥ °

c) Đặt AM = x

Ta có: P P+ +1 N1+N2+Fmsn =0 ur ur uur uur ur r

Chiếu lên Ox, Oy (hình vẽ):

1

msn

F N

N P P

= ⎧

⎨ = +

⎩

Mặt khác:

1

/ / /

P A P A N A

Mur +Muur =Muuur

1

1

. .cos cos . .sin

2

(1)

2 msn

AB

mg Px N AB

P Px N F AB α α α ⇔ + = ⇒ = + =

Thang bắt đầu trượt khi: Fmsn =μN1=μ(P P1+ ) (2) Từ (1) (2): x = 1,3m

106 Câu 4:

Gọi p1, V1 p2, V2 ; p’1, V’1 p’2, V’2 tương ứng thể tích áp suất phần

và phần trước sau thay đổi nhiệt độ

Khi chưa thay đổi nhiệt độ:

1 2

0

1 2 1

2

2 5

3 3

3 ; 2

p V p V

RT

V V V V V V

p p

ν ν

ν ν

⎫

= = ⎪ ⇒ =

⇒ = + =

⎬ ⎪

= = ⎭

Mặt khác: p1 P p2 3p1 P 2p1

S S

+ = = ⇒ = (P,S : trọng lượng tiết diện pittông)

Sau thay đối nhiệt độ phần dưới, pittơng giữa:

' '

1

5 2 6 V

V =V = = V

+ Phần nhiệt độ không đổi:

' ' '

1 1 1 '

1 6 5 p V

p V p V p p

V

= ⇒ = =

+ Phần nhiệt độ thay đổi từ T0đến T: ' '

'

2 2 2

2 '

0 0

12 12

.

15 5

p V p V p V T T T

p p p

T = T ⇒ = V T = T = T

Ta có: p1' P p2' S

+ =

1 1

0

0

6 12

2

5

16

400 12

T

p p p

T

T T K

⇔ + =

⇒ = =

Câu 5:

Từ phương trình :

( ) ( )

1

1

2 1

3

3 2

2 3

2 2

T

T bV bV T

P bV b R

pV RT

T

Hay p T b R b RV

ν ν

ν ν

⎫

= − ⎪ ⇒ =

− ⎬

⎪

= ⎭

= −

Ta thấy P hàm bậc V với hệ số a <

Đồ thị biểu diễn hệ trục (P,V) có dạng đoạn thẳng 3→1 (hình vẽ)

Từ phương trình trạng thái ứng với đẳng

p

0 V p1

p3

2

107

trình ta xác định được:

2 1

3 2

T = 2T , V = 2V , p = p T = T , V = V = 2V , p = 3p

Chuyển sang hệ toạđộ (P,V) hình vẽ

( ) ( )

12 1 2 0

A = Δ =p V p V V− =νR T T− = −νRT < : Khí sinh cơng

23 0

A =

( )( )

31 1

1

0

2

A = p + p V −V = νRT > : Khí nhận cơng

Vậy cơng khí thực chu trình:

12 23 31 1

3

4

108 Đề 4: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH VĨNH PHÚC

Câu 1: Một vật nhỏ trượt không vận tốc đầu không ma sát từđiểm cao cầu có bán kính R bị giữ chặt bề mặt nằm ngang bàn (Hình 1) Khi vật rơi

đến bàn hướng rơi tạo với bề mặt bàn góc bao nhiêu?

Câu 2: Ba vịng đệm nhỏ giống A, B, C nằm yên mặt phẳng ngang, nhẵn Người ta truyền cho vòng A vận tốc vo đến va chạm đồng thời với hai vịng B, C

(Hình 2) Khoảng cách hai tâm vòng B, C trước va chạm N lần đường kính vịng Các va chạm

được coi hồn tồn đàn hồi Xác định vận tốc vòng A sau va chạm Biện luận theo N để vòng A: bật ngược lại, dừng lại, tiếp tục tiến lên

Câu 3: Một nhẹ gắn hai vật nhỏ A B hai đầu có khối lượng mA =

1kg mB Thanh đặt lòng máng trịn có bán kính

R (Hình 3), biết AB = R Hệ cân AB tạo với phương ngang góc α=15o, bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s2 a) Xác định khối lượng mB?

b) Tìm áp lực mà vật A B tác dụng lên máng cân

Câu 4: Cho hai miếng gỗ khối lượng m1 m2 đặt chồng lên trượt mặt

phẳng nghiêng góc α Hệ số ma sát chúng k, m1 mặt phẳng nghiêng

k1 Hỏi trình trượt, miếng gỗ trượt nhanh miếng gỗ

khơng? Tìm điều kiện để hai vật trượt vật trượt

Câu 5: Trong xilanh cách nhiệt dài nằm ngang có nhốt mol khí lí tưởng đơn ngun tử có khối lượng m nhờ hai pittơng cách nhiệt có khối lượng

nhau M chuyển động khơng ma sát

trong xilanh (Hình 4) Lúc đầu hai pittơng đứng n, nhiệt độ khí xilanh To Truyền cho hai pittông vận tốc v1, v2 chiều (v1=3vo, v2=vo) Tìm nhiệt độ

cực đại mà khí xilanh đạt được, biết bên ngồi chân khơng

Câu 6: Trình bày phương án thí nghiệm xác định hệ số ma sát mẩu gỗ với mặt phẳng nghiêng, biết độ nghiêng mặt phẳng không đổi không đủ lớn

để cho mẩu gỗ tự trượt xuống Dụng cụ cho: Lực kế, mẩu gỗ, mặt phẳng nghiêng, sợi chỉđủ dài

Hình

M m M

V1 V2

Hình A

B α

O • R

Hình

A B

C

Hình

109 ĐÁP ÁN

Câu

- Trước rời khỏi cầu chuyển động vật chuyển động trịn khơng đều, trước hết ta tìm góc α vận tốc v vật thời điểm

nó rời cầu

- Phương trình động lực học cho phương xuyên tâm: mgcosα - N = man = mv2/R

ở thời điểm vật rời cầu N = nên: v2 = gRcosα (1)

- Áp dụng định luật bảo tồn ta có: mv2/2 = mgR(1-cosα) (2) - Từ (1) (2) ta có: cosα =2/3,

3 2gR v=

- Theo định luật bảo tồn ta có, vận tốc vật chạm bàn v1 thoả mãn:

gR v

mgR mv

2

2

2

1 = → =

- Sau rời cầu, vật tham gia chuyển động ném xiên xuống nên thành phần vận

tốc theo phương ngang khơng đổi Do đó: vcosα=v1cosβ 74o

9

cos = → =

→ β β

Câu

- Vì hệ có tính đối xứng nên A chuyển động đường thẳng cốđịnh, B C có quỹđạo đối xứng qua quỹđạo A Gọi v’ vo vận tốc A B (C) sau

va chạm (B C có độ lớn vận tốc vo)

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: mv=mv’+2mvocosα (1)

(Với α góc phương chuyển động A với phương chuyển động B (C))

- Do hệ có tính đối xứng nên ta có: (2)

2

) ( ) (

cos

2

2 N

R NR

R − = −

=

α - Thay (2) vào (1) ta có: v = v’+vo 4−N2 (3)

- Do va chạm hồn tồn đàn hồi nên ta có:

2 2

'

2

2

o mv mv

mv = +

(4)

- Từ (3) (4) ta có: v’ = v v

N N v 2

6 '

− − =

- Nếu v’=v vo=0 → loại

* Để A bật ngược lại v’<0 →N < (do để A va chạm đồng thời vào B, C N<2 nên 6-N2>0)

* Để A đứng yên v’=0 →N =

* Để A tiếp tục tiến lên v’>0 → <N <2

mg v

N α

110 Câu

a) Gọi G khối tâm hệ hai vật, theo điều kiện cân lực NA, NB, P phải đồng quy O nên G nằm đường thẳng đứng OH

- Tam giác AOB vng cân nên góc OAB = góc OBA=45o,

góc AOH=90-(45+15)=30o

→AH=R/2, AG=AH/cos15o=0,52R

→BG=(1,41-0,52)R=0,89R

- Vì G khối tâm nên AG.mA=BG.mB→mB=0,58kg

b) Xét điều kiện cân trục quay qua A:

A N A

P M B

M / = /

N g m m N R N AH g m

mA B) B B ( A B) /2 7,9

( + = → = + =

↔

Xét điều kiện cân trục quay qua B ta có: MP/B =MNA/B R

N BK g m

mA + B = A

↔( ) , với BK=GB.cos15o=0,86R → NA=13,6N

Câu

- Gọi a1, a2 gia tốc vật

* Giả sử vật trượt nhanh vật 2, lực tác dụng lên vật có chiều hình vẽ - Phương trình chuyển động hai vật là: - Vật 1: P1+N+N1+F'ms+Fms1=m1a1

- Vật 2: P2+N2+Fms =m2a2

- Chiếu hai phương trình xuống mặt phẳng nghiêng ta có:

1 1 1 1 ' sin ' sin m F F g a a m F F

P ms ms

ms ms + − = → = − − α α 2 2

2sin sin

m F g a a m F P ms

ms = → = +

+ α

α

- Ta thấy a2>a1, miếng gỗ trượt nhanh miếng gỗ

* Giả sử vật trượt nhanh vật 1, lực Fms F’ms có chiều ngược lại Tương tự

trên ta có:

2

1

1 , sin

' sin m F g a m F F g

a = α− ms − ms = α − ms

Để a2>a1 k1>k (Chú ý: Fms1=k1(m1+m2)gcosα, Fms=km2gcosα)

Tóm lại: Nếu k1>k vật trượt nhanh vật Nếu k1≤k hai vật trượt

một vật

Câu

- Đối với pittông (1): lực tác dụng vào pittông theo phương ngang lực đẩy F1 ngược

chiều v1 nên pittông (1) chuyển động chậm dần

mA

mB

α

111

- Đối với pittông (2): tương tự, lực đẩy F2 chiều v2 nên pittông (2) chuyển động

nhanh dần

- Trong q trình hai pittơng chuyển động, khối khí nhốt xi lanh chuyển động theo

- Chọn hệ quy chiếu gắn với pittông (2), vận tốc pittông (1) pittông (2) là:

2 12 v v

v = − → pittông (1) chuyển động phía

pittơng (2) chậm dần dừng lại lúc to, sau t>to pittơng (1) chuyển động xa dần

với pittông (2) khí lại giãn nở

- Gọi G khối tâm khối khí xi lanh lúc t<to: khí bị nén, G chuyển động

phía pittơng (2)

- Lúc t>to: khí bị giãn, G chuyển động xa dần pittông (2) Vậy nhiệt độ to vG=0

→ hai pittơng khối khí chuyển động vận tốc v - Định luật bảo tồn động lượng ta có:

M3vo+Mvo=(2M+m)v→ v=4Mvo/(2M+m)

- Động hệ lúc đầu: Wđ1= ( 12 22) 2 o Mv v v

M + = - Động hệ lúc to là: Wđ2= (2 )

2

v m M + →Độ biến thiên động năng: ΔW=Wđ2-Wđ1=

m M m M Mvo + + ) (

- Nội khí: ( )

2 3

2nRT nRT U nR T nR Tmax To

i

U = = →Δ = Δ = −

- Vì ΔU=ΔW nên

m M m M Mv R T T o o + + + = ) ( 2

max (do n=1)

Câu

- Móc lực kế vào mẩu gỗ kéo trượt lên mặt phẳng nghiêng, ta có: F1 = kPcosα + Psinα (1), (F1 số lực kế đó)

- Tương tự, kéo vật chuyển động xuống ta có: F2 = kPcosα - Psinα (2)

- Trừ vế với vế (1) cho (2) ta có: F1-F2=2Psinα

P F F

2 sin = 1−

→ α (3)

- Cộng vế với vế phương trình (1) (2) ta có:

P F F

2

cosα = 1+ 2 (4)

- Do sin2α+cos2α = nên ta có:

2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( F F P F F k kP F F P F F − − + = → + + − =

- Các lực đo lực kế, nên k hoàn toàn đo

M m M

V1 F2

(1) (2)

V2

112 Đề 5: TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH CAO BẰNG

Câu 1:

Thang dựa vào tường hợp với sàn gócα Biết hệ số ma sát thang với tường là: k1 = 0,3, với sàn k2 = 0,4 Khối tâm thang Tìm giá trị nhỏ

α mà thang không trượt

Câu 2:

Hai cầu giống nhau, treo canh hai dây song song Kéo hai cầu khỏi phương thẳng đứng hai phía với góc α thả lúc Coi va chạm hai cầu hồn tồn đàn hồi Tính lực tác dụng lện giá treo

a Tại lúc bắt đầu thả cầu

b Tại thời điểm đầu, cuối trình va chạm cầu c Tại thời điểm cầu bị biến dạng nhiều

Câu 3:

Một vật khối lượng m ném xiên từ mặt phẳng ngang Nó đạt độ cao cực đại H tâm xa S Tính cơng lực ném

Câu 4:

Một viên đạn có khối lượng 100g bay ngang với vận tốc 500,4 m/s xuyên qua cầu có khối lượng 2kg đặt yên giá đỡởđộ cao 5,1m so với mặt đất Quả cầu chuyển động rơi xuống đất điểm cách giá đỡ khoảng 20m tính theo phương nằm ngang

Hãy xác định điểm chạm đất đạn tỉ lệ % chuyển hoá thành nhiệt trình đạn xuyên qua cầu Cho g = 10m/s2

Câu 5:

Một bình chứa khí 02 nén áp suất P1 =1,5×107Pa nhiệt độ t C =37 có

khối lượng (bình khí) M1 =50kg Dùng khí thời gian, áp kế P 6Pa =5×10 nhiệt độ t 0C

2 =7 Khối lượng bình khí:M2 =49kg

113 ĐÁP ÁN

Câu

* Vẽ hình, đầy đủ lực tác dụng vào thang

* Nêu điều kiện cân thang tổng lực không

2

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

= + + +

+NA NB Fms Fms P

* Chọn hệ trục toạđộ 0x; 0y xác định lực theo hệ trục Fms1 = NA;

Fms2 = P - NB

* Fms1 = K1NA; Fms2 = K2NB

* NB =

2 1 K K

P +

*Xét trục quay qua đầu A thang: Mp + Fms2 = MNP

* Xác định độ lớn mômen lực kết quả: tgα =

2

2

K K K

−

* tgα =1,1 giá trị nhỏ α =47,40

Câu

* vẽ hình, nêu đầy đủ lực tác dụng lên vật, lên giá treo * F =T1 +T2 ⇒F =T1

ρ ρ ρ

cosα +T2cosα với T1 = T2

a. Tại thời điểm bắt đầu thả cầu lực tác dụng vào cầu giá treo xác định theo phương dây treo

p2cosα = p1cosα = pcosα với P = mg

Kết : F= 2mgcos2 α

b. Tại thời điểm trước lúc va trạm xác định lúc vật qua vị trí cân v1 = v2 = v = 2gl(1−cosα)

Lực căng tác dụng vào dây treo : T = mg(3 – 2Cosα)

* Vậy, lực tác dụng lên giá treo : F = T1 + T2 = 2mg(3 – 2Cosα ) c. Tại thời điểm cầu bị biến dạng nhiều

T1 + T2 = mg lực đàn hồi tác dụng lên giá treo : F = T1 + T2 = 2mg Câu

* Vật ném xiên - vật tham gia đồng thời vào chuyển động Chuyển động theo phương 0x với x = voxt

Chuyển động biến đổi theo phương 0y với y = - gt2 v0y

1

+ t * Tại vị trí H vật có độ cao cực đại vy =

114

* t =

g h

thời gian từ lúc ném tới độ cao cực đại

* t, =2t thời gian từ lúc ném tới lúc vật chạm đất

g h t, =2 ⇒

* Theo phương 0x :

h g S v t S v t v

s x x x

2 , ,

0 ⇒ = ⇒ =

=

* Vận tốc ném vật g

h h s v v v

vo x y

8 16 2 2

2 = + ⇒ = +

* Công lực ném: mg

h h s mv A 16 16 2 2

0 = + =

Câu

* Áp dụng định luật bảo toàn động lượng : mv0 =mv+MV

* Sau tương tác cầu đạn chuyển động ném ngang Thời gian rơi :

s g

h t= =1,01

* Theo phương ngang vật chuyển động : m s

t s

v= =19,8 /

* Vận tốc đạn sau tương tác : m s

m MV mv

v= − =104,3 /

* Tầm xa đạn : S =vt =104,3.1,01=105m

* Động đạn trước tương tác 0 mv K =

động đạn sau tương tác :

1 2

mv K =

Động cầu sau va chạm :

2

MV K =

* Phần đồng đạn chuyển hóa thành nhiệt :

J K

K K

K = 0 −( 1+ 2)=11587,17 Δ

* Tỉ lệ phần trăm đồng đạn chuyển hoá thành nhiệt :

% 93 = Δ = K K H Câu

* Gọi m khối lượng bình rỗng khối lượng khơng khí bình trước sau :

m M m m M

m1 = 1− ; 2 = 2 −

* Áp dụng phương trình trạng thái :

T PV

=mR

μ Ta có : V

115

* Biến đổi toán học từ biểu thức Kết :

1 2

2 1 2

) (

T P T P

M M T P m

− −

= thay số m2 =0,585kg

* Khối lượng khơng khí trước dùng :m1 =m2 +(M1 −M2)=0,585+1=1,585kg

* Thể tích bình :

μ

μ 22

1 1

P m RT P

m RT

V = =

* Thay số :

7 0,032 0,0085 10

5 ,

585 , 310 31 ,

m

V =

× ×

116 Phần 4: ĐỀ OLYMPIAD TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG – PHÚ THỌ 2009

MÔN VẬT LÝ

(Thời gian làm 180 phút) (Đề gồm 02 trang)

Câu 1:

Có g khí Heli (coi khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực chu trình – – – – biểu diễn giản đồ P-T hình

1 Cho P0 = 105Pa; T0 = 300K

1) Tìm thể tích khí trạng thái 4

2) Hãy nói rõ chu trình gồm đẳng q

trình Vẽ lại chu trình giản đồ P-V giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị số

và chiều biến đổi chu trình)

3) Tính cơng mà khí thực giai

đoạn chu trình

Câu 2:

Hai vật có khối lượng m nối lò xo đặt mặt bàn nằm ngang Hệ số ma sát vật với mặt bàn μ Ban đầu lị xo khơng biến dạng Vật nằm sát tường

1) Tác dụng lực không đổi F hướng theo phương ngang đặt vào vật hướng dọc theo trục lò xo xa tường (hình 2a) Sử

dụng định luật bảo tồn năntg lượng, tìm điều kiện độ lớn lực F để vật di chuyển

được?

2) Không tác dụng lực mà truyền cho vật vận tốc v0 hướng phía tường (hình 2b) Độ cứng lị xo k

a) Tìm độ nén cực đại x1 lò xo

b) Sau đạt độ nén cực đại, vật chuyển động ngược lại làm lò xo bị giãn Biết vật không chuyển động Tính độ giãn cực đại x2

lị xo

c) Hỏi phải truyền cho vật vận tốc v0 tối thiểu để vật bị lò xo kéo

ra khỏi tường?

Câu 3:

Một đồng chất có khối lượng m quay tự xung quanh trục nằm ngang qua đầu Nâng để có phương thẳng đứng thả

1 k

v0

Hình 2b

1 k

F

Hình 2a P

T

0 T0

2P0 1

3 4

2T0

P0

117

nhẹ đổ xuống quay quanh trục Cho momen qn tính đồng chất có khối lượng m, chiều dài L trục qua đầu vng góc với I = mL2/3 Tại thời điểm có phương ngang, tìm:

1) Tốc độ góc gia tốc góc

2) Các thành phần lực theo phương ngang theo phương thẳng đứng mà trục quay tác dụng lên

Câu 4:

Một xylanh đặt thẳng đứng, bịt kín hai đầu, chia làm hai phần pittông nặng cách nhiệt Cả hai bên pittông chứa lượng khí lý tưởng Ban đầu nhiệt độ khí hai phần thể tích phần khí pittơng gấp n = lần thể tích khí phần pittơng Hỏi nhiệt độ khí phần pittơng

được giữ khơng đổi cần phải tăng nhiệt độ khí phần pittơng lên lần để thể tích khí phần pittông gấp n = lần thể tích khí phần pittơng ? Bỏ qua ma sát pittông xylanh

118 ĐÁP ÁN

Câu 1:

a) Quá trình – có P tỷ lệ thuận với T nên q trình đẳng tích, thể tích

trạng thái nhau: V1 = V4 Sử dụng phương trình C-M trạng thái

1 ta có:

1 1

m

P V = RT

μ , suy ra:

1

1

RT m V

P

= μ

Thay số: m = 1g; μ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K P1 = 2.105 Pa ta được:

3

1

1 8,31.300

3,12.10

4 2.10

V = = − m

b) Từ hình vẽ ta xác định chu trình gồm đẳng trình sau: – đẳng áp; – đẳng nhiệt;

3 – đẳng áp; – đẳng tích

Vì vẽ lại chu trình giản đồ P-V (hình a) giản đồ V-T (hình b) sau:

c) Để tính cơng, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính thể

tích: V2 = 2V1 = 6,24.10 – m3; V3 = 2V2 = 12,48.10 – m3

Cơng mà khí thực giai đoạn:

5 3

12 1( 1) 2.10 (6, 24.10 3,12.10 ) 6, 24.10

A = p V −V = − − − = J

5

3 23 2

2

lnV 2.10 6, 24.10 ln 8, 65.10

A p V J

V

−

= = =

5 3

34 3( 3) 10 (3,12.10 12, 48.10 ) 9,36.10

A = p V −V = − − − = − J

41

A = trình đẳng áp

P(105Pa)

Hình a

V(l) 3,12

2 1

3 4

12,48

6,24

V(l)

Hình b

T(K)

3,12

1

2 3

4 12,48

6,24

300 600

119 Câu 2:

1 Để vật dịch chuyển lị xo cần giãn đoạn là: x mg k

μ

=

Lực F nhỏ cần tìm ứng với trường hợp lò xo giãn đoạn x vận tốc vật giảm Cơng lực F q trình viết tổng công ma sát lò xo:

2

2

kx

F x = + μmg x

Vậy:

2

F= μmg

2 Truyền cho vật vận tốc v0 phía tường

a, Bảo tồn năng:

1

2

0 mgx

2 kx

mv

μ +

=

v

k m x k

mg

x 02

2

1 − =

μ + ↔

Nghiệm dương phương trình là:

2 2

0

mv

mg mg

x

k k k

μ ⎛μ ⎞

= − + ⎜ ⎟ +

⎝ ⎠

b, Gọi x2 độ giãn cực đại lò xo:

2 kx ) x x ( mg

kx 22

2

1 =μ + +

2 2

0

2

2 mg mg mv mg

x x

k k k k

μ ⎛μ ⎞ μ

= − = ⎜ ⎟ + −

⎝ ⎠

c, Để vật bị kéo khỏi tường lị xo phải giãn đoạn x3 cho:

kx3 =μmg (1)

Vận tốc v0 nhỏ ứng với trường hợp lò xo bị giãn x3 vật dừng

lại Phương trình bảo tồn lượng: - Cho q trình lị xo bị nén x1:

1

2

0 mgx

2 kx

mv

μ +

= (2)

- Cho q trình lị xo chuyển từ nén x1 sang giãn x3:

2 kx ) x x ( mg

kx 32

3

1 =μ + + (3)

Từ (3) →

k mg x

120

Kết hợp với (1), ta được:

k mg x1

μ

= Thay vào (2), ta được: v0 g 15m

k

= μ

Câu 3:

1) Theo định luật bảo toàn năng:

2

2 Iω

L

mg = Thay

3

mL

I = ta thu tốc độ góc thanh:

L g

3

=

ω

Các lực tác dụng lên gồm trọng lực P lực N mà lực mà trục quay tác dụng lên Mômen lực N trục quay

nên định luật II Niutơn cho chuyển động quay quanh trục O có dạng:

γ

I

MP = Thay

3

mL I =

2 L mg

MP = ta gia

tốc góc thanh:

L g = γ

2) Theo định II Niutơn cho chuyển động tịnh tiến:

a m N

Pρ+ ρ= ρ (1)

Chiếu phương trình (1) lên phương ngang:

2 L m ma ma

Nx = x = n = ω

Thay giá trị tốc độ góc tìm phần vào ta tìm thành phần nằm ngang lực mà trục quay tác dụng lên thanh:

3 /

x

N = mg

Chiếu phương trình (1) lên phương thẳng đứng:

2 L m ma ma N

P− y = y = t = γ

Thay giá trị gia tốc góc tìm phần vào ta tìm thành phần thẳng

đứng lực mà trục quay tác dụng lên thanh: /

y

N =mg

Câu 4:

Lượng khí phần xylanh nên: ' ' ' ' 1 2 1 T V P T V P T V P T V P R

m = = = =

μ

Vì V1 =nV2 nên P2 =nP1

Theo giả thiết: ' ' 2/

V =V n, suy ra:

P N

Nx

Ny

O

V1’, P1’

V2’, P2’ V1, P1

121

'

2

'

1

T P

n

T = P (1)

Để tính

' '

2

P P

ta dựa vào nhận xét sau:

1 Hiệu áp lực hai phần khí lên pittơng trọng lượng Mg pittông:

(P P )S Mg (P2 P1)S

' '

2 − = = −

' '

2 ( 1)

P −P =P − =P n− P

' '

2 ( 1)

P =P + −n P (2)

2 Từ phương trình trạng thái khí lí tưởng phần pittông: P1V1 = P1’V1’

1 ' ' 1

V V P

P =

→

Thay vào (2), ta suy ra:

' '

2

'

1

1 ( 1)

P V

n

P = + − V (3)

3 Để tìm

1 '

V V

ta ý tổng thể tích phần khí khơng đổi: V1+V2 = V1’+V2’

' '

1

1 1

V

V V nV

n

+ = + ⇒ 1'

1

1

V V = n

Thay vào (3) ta được: ' '

1

1 ( 1)

P n

n

P n n

−

= + − =

Thay vào (1) ta có kết quả:

'

2

'

1

2

T P

n n

T = P = − =