chuyen de KSHS 12 phan 7

Tìm tất cả các giá trị của tham số

(1)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

PHẦN 7: CÁC VẤN ĐỀ KHÁC VÀ 86 BÀI TẬP A Hàm bậc ba: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑+ 𝒃𝒙𝟐+ 𝒄𝒙 + 𝒅 (𝒂 ≠ 𝟎)

1 Vấn đề 1: Tìm điều kiện để hàm bậc ba có cực trị điểm cực trị thỏa tính chất Cho hàm bậc ba: 𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 ⇒ 𝑦′ = 3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐

 Đồ thị có điểm cực trị nằm hai phía 𝑂𝑥:

⇔ hàm số có giá trị cực trị trái dấu ⇔

𝑎 ≠ ∆𝑦′ >

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 <  Đồ thị có điểm cực trị nằm phía 𝑂𝑥:

⇔ hàm số có giá trị cực trị dấu ⇔

𝑎 ≠ ∆𝑦′ >

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 >

 Khoảng cách đại số: Gọi 𝑀1 𝑥1; 𝑦1 ; 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 điểm cực đại cực tiểu đồ thị Khoảng cách đại số từ 𝑀1, 𝑀2 đến ∆ : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = là: 𝑡1 = 𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶

𝐴2+𝐵2 𝑡2 =

𝐴𝑥2+𝐵𝑦2+𝐶

𝐴2+𝐵2

 Đồ thị có điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng ∆ : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 =

⇔ đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu hai phía ∆ ⇔

𝑎 ≠ ∆𝑦′ >

𝑡1 𝑡2 <

 Đồ thị có điểm cực trị nằm phía đường thẳng ∆ : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 =

⇔ đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu phía ∆ ⇔

𝑎 ≠ ∆𝑦′ >

𝑡1 𝑡2 >

 Phương tích: Gọi 𝑀1 𝑥1; 𝑦1 ; 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 điểm cực đại cực tiểu đồ thị Phương tích 𝑀1, 𝑀2 𝐶 : 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = là:

℘ 𝑀1/ 𝐶 = 𝑥12+ 𝑦12− 2𝑎𝑥1− 2𝑏𝑦1+ 𝑐 ℘ 𝑀2/ 𝐶 = 𝑥22+ 𝑦22 − 2𝑎𝑥2− 2𝑏𝑦2+ 𝑐  Đồ thị có điểm cực trị nằm khác phía 𝐶 : 𝑥2 + 𝑦2− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 =

⇔ đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu hai phía 𝐶 ⇔

𝑎 ≠ ∆𝑦′ >

℘ 𝑀1/ 𝐶 ℘ 𝑀2/ 𝐶 <  Đồ thị có điểm cực trị nằm phía 𝐶 : 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑐 = ⇔ đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu phía 𝐶 ⇔

𝑎 ≠ ∆𝑦′ >

℘ 𝑀1/ 𝐶 ℘ 𝑀2/ 𝐶 <  Hàm số 𝑓 𝑥 có cực trị mà hồnh độ thỏa hệ thức 𝐹 𝑥1; 𝑥2 =

+ Hàm số 𝑓 𝑥 có cực đại cực tiểu ⇔ ∆𝑎 ≠

𝑦′ > ⇒ điều kiện m

+ Ta có:

𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏 𝑎 𝑥1 𝑥2 = 𝑐

𝑎 𝐹 𝑥1; 𝑥2 =

⇒ giá trị m

+ so sánh giá trị m vừa tìm với đk, kết luận

(2)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

 Định m để hàm số tăng khoảng 𝜶; +∞

Hàm số đồng biến 𝛼; +∞ ⇔ 𝑦′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; +∞

 Trường hợp 1: 𝑎 = ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; +∞ nhận 𝑚  Trường hợp 2: 𝑎 >

∆ ≤ ⇒ 𝑚  Trường hợp 3: 𝑎 >

∆ > lúc 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥

2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = (1) có hai nghiệm 𝑥

1; 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1 < 𝑥2 ≤ 𝛼 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛼, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕 𝑡 = có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 𝑡1 < 𝑡2 ≤ hay

∆𝑕 > 𝑃𝑕 ≥ 𝑆𝑕 <

⇒ 𝑚  Trường hợp 4: 𝑎 < 0: Không xảy

Hợp tất trường hợp trên, ta điều kiện 𝑚  Định m để hàm số tăng khoảng −∞; 𝜶

Hàm số đồng biến −∞; 𝛼 ⇔ 𝑦′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ −∞; 𝛼

 Trường hợp 1: 𝑎 = ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ −∞; 𝛼 nhận 𝑚  Trường hợp 2: 𝑎 >

∆ ≤ ⇒ 𝑚  Trường hợp 3: 𝑎 >

∆ > lúc 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥

1; 𝑥2 thỏa mãn 𝛼 ≤ 𝑥1 < 𝑥2 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛼, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕 𝑡 = có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn ≤ 𝑡1 < 𝑡2 hay

∆𝑕 > 𝑃𝑕 ≥ 𝑆𝑕 >

⇒ 𝑚  Trường hợp 4: 𝑎 < 0: Không xảy

Hợp tất trường hợp trên, ta điều kiện 𝑚  Định m để hàm số giảm khoảng 𝜶; +∞

Hàm số nghịch biến 𝛼; +∞ ⇔ 𝑦′ ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; +∞

 Trường hợp 1: 𝑎 = ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; +∞ nhận 𝑚  Trường hợp 2: 𝑎 <

∆ ≤ ⇒ 𝑚  Trường hợp 3: 𝑎 <

∆ > lúc 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = (1) có hai nghiệm 𝑥1; 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1 < 𝑥2 ≤ 𝛼 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛼, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕 𝑡 = có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 𝑡1 < 𝑡2 ≤ hay

∆𝑕 > 𝑃𝑕 ≥ 𝑆𝑕 <

⇒ 𝑚  Trường hợp 4: 𝑎 > 0: Không xảy

Hợp tất trường hợp trên, ta điều kiện 𝑚  Định m để hàm số giảm khoảng −∞; 𝜶

Hàm số nghịch biến −∞; 𝛼 ⇔ 𝑦′ ≤ 0, ∀𝑥 ∈ −∞; 𝛼

 Trường hợp 1: 𝑎 = ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ≤ 0, ∀𝑥 ∈ −∞; 𝛼 nhận 𝑚  Trường hợp 2: 𝑎 <

(3)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

 Trường hợp 3: 𝑎 <

∆ > lúc 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥

2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = (1) có hai ng hiệm 𝑥

1; 𝑥2 thỏa mãn 𝛼 ≤ 𝑥1 < 𝑥2 Đặt 𝑡 = 𝑥 − 𝛼, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑕 𝑡 = có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn ≤ 𝑡1 < 𝑡2 hay

∆ > 𝑃 ≥ 𝑆 >

⇒ 𝑚  Trường hợp 4: 𝑎 > 0: Không xảy

Hợp tất trường hợp trên, ta điều kiện 𝑚  Định m để hàm số giảm khoảng 𝜶; 𝜷

Hàm số nghịch biến 𝛼; 𝛽 ⇔ 𝑦′ ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; 𝛽

 Trường hợp 1: 𝑎 = ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; 𝛽 nhận 𝑚  Trường hợp 2: 𝑎 <

∆ ≤ ⇒ 𝑚  Trường hợp 3: 𝑎 <

∆ > lúc 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥

1; 𝑥2 thỏa mãn 𝛽 ≤ 𝑥1 < 𝑥2

𝑥1 < 𝑥2 ≤ 𝛼 Đặt

𝑡 = 𝑥 − 𝛽

𝑡 = 𝑥 − 𝛼 , ta tìm điều kiê ̣n để tam thức

𝑕1 𝑡 =

𝑕2 𝑡 = có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2

thỏa mãn ≤ 𝑡1 < 𝑡2 𝑡1 < 𝑡2 ≤ hay

𝑃 ≥ ∆ > 𝑆 >

⇒ 𝑚 ∆ > 𝑃 ≥ 𝑆 <

⇒ 𝑚 ⇒ 𝑚

 Trường hợp 4: 𝑎 >

∆ ≤ : Không xảy  Trường hợp 5: 𝑎 >

∆ > : lúc 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥

2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐 = (1) có hai nghiệm 𝑥

1; 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1 ≤ 𝛼 < 𝛽 ≤ 𝑥2 hay 𝑥1 ≤ 𝛼 < 𝑥2

𝑥1 < 𝛽 ≤ 𝑥2 Đặt

𝑡 = 𝑥 − 𝛽

𝑡 = 𝑥 − 𝛼 , ta tìm điều kiê ̣n để

𝑕1 𝑡 =

𝑕2 𝑡 = có hai nghiê ̣m 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn

𝑡1 ≤ < 𝑡2 𝑡1 < ≤ 𝑡2 hay

𝑃1 ≤ 𝑃2 ≤ ⇒ 𝑚 Hợp tất trường hợp trên, ta điều kiện 𝑚  Định m để hàm số tăng khoảng 𝜶; 𝜷

Hàm số đồng biến 𝛼; 𝛽 ⇔ 𝑦′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; 𝛽

 Trường hợp 1: 𝑎 = ⇒ 𝑚, thay 𝑚 vào 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝛼; 𝛽 nhận 𝑚  Trường hợp 2: 𝑎 >

∆ ≤ ⇒ 𝑚  Trường hợp 3: 𝑎 >

∆ > lúc 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥

1; 𝑥2 thỏa mãn 𝛽 ≤ 𝑥1 < 𝑥2

𝑥1 < 𝑥2 ≤ 𝛼 Đặt

𝑡 = 𝑥 − 𝛽

𝑡 = 𝑥 − 𝛼 , ta tìm điều kiê ̣n để tam thức

𝑕1 𝑡 =

𝑕2 𝑡 = có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2

thỏa mãn ≤ 𝑡1 < 𝑡2 𝑡1 < 𝑡2 ≤ hay

∆ > 𝑃 ≥ 𝑆 >

⇒ 𝑚 ∆ > 𝑃 ≥ 𝑆 <

⇒ 𝑚 ⇒ 𝑚

(4)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

∆ > : lúc 𝑔 𝑥 = 3𝑎𝑥

2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐 = (1) có hai nghiệm 𝑥

1; 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1 ≤ 𝛼 < 𝛽 ≤ 𝑥2 hay 𝑥1 ≤ 𝛼 < 𝑥2

𝑥1 < 𝛽 ≤ 𝑥2 Đặt

𝑡 = 𝑥 − 𝛽

𝑡 = 𝑥 − 𝛼 , ta tìm điều kiện để tam thức

𝑕1 𝑡 = 𝑕2 𝑡 = có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 𝑡1 ≤ < 𝑡2

𝑡1 < ≤ 𝑡2 hay

𝑃1 ≤ 𝑃2 ≤ ⇒ 𝑚 Ví dụ minh họa : Cho tam thức 𝑓 𝑥 = 𝑚 −2

3 𝑥

3+ − 3𝑚 𝑥2+ 10𝑚 − 11 𝑥 định 𝑚 để 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 >

Giải: 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 6; +∞ ⇔ 𝑓′ 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 6; +∞ nên ta xét 4 trườ ng hơ ̣p sau:

 Trường hợp 1: 𝑎 = ⇔ 𝑚 − = ⇒ 𝑚 = 2, (1) trở thành 𝑓′ 𝑥 = −4𝑥 + ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 6; +∞ vâ ̣y 𝑚 = 2, không thỏa mãn

 Trường hợp 2: 𝑎 > ∆ ≤ ⇔

𝑎 = 𝑚 − >

∆ = − 3𝑚 2− 𝑚 − (10𝑚 − 11) ≤

⇔ 𝑚 >

−𝑚2+ 7𝑚 − ≤ ⇔ 𝑚 > 𝑚 ≤ ∨ 𝑚 ≥ 6⇒ 𝑚 ≥  Trường hợp 3: 𝑎 >

∆ > ⇔

𝑚 >

−𝑚2+ 7𝑚 − > ⇔ 𝑚 > 21 < 𝑚 < 6⇒ < 𝑚 < , 𝑓 ′ 𝑥 =

𝑚 − 𝑥2+ − 3𝑚 𝑥 + 10𝑚 − 11 = có hai nghiệm 𝑥

1; 𝑥2 thỏa mãn 𝑥1 < 𝑥2 ≤ Đặt 𝑡 = 𝑥 − 6, ta tìm điều kiê ̣n để tam thức 𝑔 𝑡 = có hai nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa mãn 𝑡1 < 𝑡2 ≤ hay

∆𝑔 > 𝑃𝑔 = 𝑐

𝑎 ≥ 𝑆𝑔 = −𝑏

𝑎 < ⇔

∆𝑔 = 3𝑚 − 2− 𝑚 − (10𝑚 − 35) > 0 𝑃𝑔 = 10𝑚 −35

𝑚 −2 ≥ 𝑆𝑔 = −

2(3𝑚 −8)

𝑚 −2 <

⇔

−𝑚2+ 7𝑚 − > 10𝑚 − 35 (𝑚 − 2) ≥ −2 3𝑚 − (𝑚 − 2) <

⇔

1 < 𝑚 <

𝑚 ≤ ∨ 𝑚 ≥7

2 𝑚 < ∨ 𝑚 >8

⇒ < 𝑚 < 27 2≤ 𝑚 <

so với điều kiê ̣n ta có 72 ≤ 𝑚 <

 Trường hợp 4: 𝑎 < ⇔ 𝑚 − < ⇒ 𝑚 < 2, Không xảy Từ trườ ng hơ ̣p ta có: 𝑚 ≥

2≤ 𝑚 <

⇒ 𝑚 ≥7

2

3 Vấn đề 3: Biện luận số điểm chung đồ thị hàm bậc ba với trục hoành Cho hàm bậc ba: 𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 ⇒ 𝑦′ = 3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐

 𝐶 𝑂𝑥 có điểm chung ⇔ 𝑦 khơng có cực trị hoặc 𝑦 có hai cực trị dấu ⇔

∆𝑦′≤

∆𝑦′>

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 >  𝐶 𝑂𝑥 có hai điểm chung ⇔ 𝑦 có cực trị ⇔ ∆𝑦′>

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 =  𝐶 𝑂𝑥 có ba điểm chung ⇔ 𝑦 có hai cực trị trái dấu ⇔ ∆𝑦′>

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 <

 𝐶 𝑂𝑥 tiếp xúc ⇔ hệ 𝑦 =

𝑦′ = 0 có nghiệm

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 điểm có hồnh độ dương ⇔

∆𝑦′>

(5)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 điểm có hoành độ âm ⇔

∆𝑦′>

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 < 𝑎 𝑦 > 𝑥1 < 𝑥2 <

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 điểm có hồnh độ lớn 𝛼 ⇔

∆𝑦′>

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 < 𝑎 𝑦 𝛼 < 𝛼 < 𝑥1 < 𝑥2

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 điểm có hồnh độ nhỏ 𝛼 ⇔

∆𝑦′>

𝑦𝑐𝑑 𝑦𝑐𝑡 < 𝑎 𝑦 𝛼 > 𝑥1 < 𝑥2 < 𝛼

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 điểm lập thành cấp số cộng ⇔ ∗ có nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa điều kiện 𝑡2 = 9𝑡1 ta giải hệ sau:

∆ > 𝑆 > 𝑃 >

𝑡2 = 9𝑡1 𝑡1+ 𝑡2 = −

𝑏 𝑎 𝑡1 𝑡2 =

𝑐 𝑎

từ suy 𝑚 B Hàm trùng phương: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟒+ 𝒃𝒙𝟐+ 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎)

1 Vấn đề 1: Cực trị hàm trùng phương Cho 𝑦 = 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐 ⇒ 𝑦′ = 4𝑎𝑥3+ 2𝑏𝑥 Ta có: 𝑦′ = ⇔ 𝑥 = (1)

2𝑎𝑥2 + 𝑏 = (2)

 Hàm số có cực trị ⇔ (2) có nghiệm phân biệt khác ⇔ 𝑎 𝑏 <  Hàm số có đúng cực trị ⇔ (2) vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔

𝑎 𝑏 > 𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑎 ≠ 𝑏 = 2 Vấn đề 2: Biện luận số điểm chung đồ thị hàm trùng phương với trục hoành

Cho 𝑦 = 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐, phương trình hồnh độ giao điểm 𝑎𝑥4+ 𝑏𝑥2+ 𝑐 = Đặt: 𝑡 = 𝑥2 ≥ 0, ta phương trình: 𝑎𝑡2+ 𝑏𝑡 + 𝑐 = (∗)

 𝐶 𝑂𝑥 tiếp xúc điểm phân biệt ⇔ −∆ = 0𝑏 2𝑎 >  𝐶 cắt 𝑂𝑥 điểm phân biệt ⇔ ∆ > 0𝑆 >

𝑃 >  𝐶 cắt 𝑂𝑥 điểm phân biệt ⇔ −𝑐 = 0𝑏

𝑎 >

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 điểm phân biệt ⇔ 𝑃 =𝑐

𝑎 <

 𝐶 cắt 𝑂𝑥 điểm lập thành cấp số cộng ⇔ ∗ có nghiệm 𝑡1; 𝑡2 thỏa điều kiện 𝑡2 = 9𝑡1 ta

giải hệ sau: ∆ > 𝑆 > 𝑃 >

𝑡2 = 9𝑡1 𝑡1+ 𝑡2 = −𝑏 𝑎 𝑡1 𝑡2 = 𝑐

𝑎

từ suy 𝑚

C Hàm biến: 𝒚 =𝒂𝒙+𝒃

𝒄𝒙+𝒅 (𝒄 ≠ 𝟎; 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 ≠ 𝟎)

(6)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 +𝑏

𝑐𝑥 +𝑑 (𝐶) đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑚)

- Lập phương trình hồnh độ giao điểm: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥, 𝑚 ⇔ 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥, 𝑚 = (∗) - Tính 𝑎 𝑕 𝛼 , với 𝑥 = 𝛼 tiệm cận đứng đồ thị

+ Nếu 𝑎 𝑕 𝛼 < 𝑥1 < 𝛼 < 𝑥2 Suy ra, 𝑑 cắt (𝐶) điểm thuộc hai nhánh khác 𝐶

+ Nếu 𝑎 𝑕 𝛼 > 𝛼 < 𝑥1 < 𝑥2 hoặc 𝑥1 < 𝑥2 < 𝛼 Suy ra, 𝑑 cắt (𝐶) điểm thuộc nhánh 𝐶

2 Vấn đề 2: Các vấn đề khoảng cách

 Tích khoảng cách từ điểm đồ thị đến hai đường tiệm cận khơng đổi: - Tìm phương trình tiệm cận đứng 𝑑1

- Tìm phương trình tiệm cận ngang 𝑑2

- Gọi 𝑀 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ∈ 𝐶 , tính khoảng cách từ 𝑀 đến 𝑑1 , 𝑑2 - Suy ra: 𝑑 𝑀, 𝑑1 𝑑(𝑀, 𝑑2) số

 Tổng khoảng cách từ điểm đồ thị, đến hai đường tiệm cận hay hai trục tọa độ ngắn

Ta làm tương tự trên, áp dụng thêm bất đẳng thức cauchy  Khoảng cách điểm đồ thị ngắn

- Thường dùng bất đẳng thức cauchy - Hoặc dùng đạo hàm, lập bảng biến thiên D Bài tập luyện thi:

1) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2+ 2𝑚 − 𝑥 + (1) a Định 𝑚 để hàm số (1) có cực đại cực tiểu

b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị 𝐶 hàm số 𝑚 =

c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị 𝐶 , biết tiếp tuyến song song ∆ : 9𝑥 − 𝑦 + 15 =

d Chứng minh 𝐶𝑚 đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 2𝑚𝑥 − 4𝑚 + có điểm chung cố định Tìm 𝑚 để 𝑑 cắt 𝐶𝑚 điểm phân biệt

2) Cho hàm số 𝐶 : 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥2

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị 𝐶 hàm số

b Gọi 𝐴 ∈ (𝐶) có hồnh độ nghiệm phương trình 𝑦′′ = 0, 𝐵 ∈ (𝐶) có hồnh độ 𝑥 = Viết phương trình tiếp tuyến (𝐶) 𝐴, 𝐵 Tìm tọa độ giao điểm hai tiếp tuyến

3) Cho hàm số 𝐶 : 𝑦 =2𝑥−22−𝑥

b Chứng minh rằng, ∀𝑘 ≠ 0, −1 đường thẳng 𝑦 = 𝑘𝑥 cắt 𝐶 điểm phân biệt 4) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥2+ 𝑚2− 𝑥 − 3𝑚2− (1)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị 𝐶 hàm số 𝑚 =

b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị 𝐶 , biết tiếp tuyến song song ∆ : 9𝑥 + 𝑦 + = c Dùng đồ thị 𝐶 , biện luận theo 𝑘 số nghiệm phương trình: −𝑥3+ 3𝑥2+ 𝑘 =

d Tìm 𝑚 để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu cực trị đồ thị 𝐶𝑚 cách gốc tọa độ 𝑂 5) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3− 𝑚𝑥 + 𝑚 +

b Dùng đồ thị 𝐶 , biện luận theo 𝑘 số nghiệm phương trình: 𝑥3− 3𝑥2− 𝑘 + =

(7)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

6) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 2𝑥3− 2𝑚 − 𝑥2+ 6𝑚 𝑚 − 𝑥 + (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị 𝐶 hàm số 𝑚 = b Viết phương trình tiếp tuyến 𝐶 điểm uốn

c Chứng minh rằng, ∀𝑚 hàm số (1) ln có cực đại 𝑥1, cực tiểu 𝑥2 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 7) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥 +

b Đường thẳng (𝑑) qua điểm uốn 𝐶 có hệ số góc 𝑘 Biện luận theo 𝑘 số giao điểm 𝐶 (𝑑) Tìm tọa độ giao điểm 𝐶 (𝑑) trường hợp 𝑘 =

8) Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑚 −

b Gọi 𝐴 giao điểm đồ thị 𝐶 trục tung Viết phương trình tiếp tuyến 𝐶 𝐴 c Tìm 𝑚 để 𝐶𝑚 cắt trục hồnh điểm phân biệt

9) Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2+ 𝑚2− 𝑥 − 𝑚2− a Tìm 𝑚 để hàm số khơng có cực trị

b Tìm 𝑚 để hàm số đạt cực trị 𝑥 =

c Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị 𝐶 hàm số 𝑚 = −1 10)Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 2𝑥3+ 3(𝑚 − 1)𝑥2+ 𝑚 − 𝑥 −

b Viết phương trình đường thẳng 𝑑 qua 𝑀(0; −1) tiếp xúc với đồ thị 𝐶𝑚 c Tìm 𝑚 để hàm số có cực trị

11)Cho hàm số 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3+ 𝑚𝑥2 +

b Tìm 𝑚 để 𝐶𝑚 cắt đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = −𝑥 + điểm phân biệt 𝐸 0; ; 𝐹; 𝐺 cho tiếp tuyến 𝐹 𝐺 vng góc với

c Tìm 𝑚 để hàm số có cực trị 12)Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 4𝑥2+ 4𝑥

b Tìm tọa độ giao điểm 𝐶 đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 3𝑥 − c Biện luận theo 𝑘 vị trí tương đối 𝐶 đường thẳng 𝑦 = 𝑘𝑥

d Tìm 𝑚 để phương trình 𝑥3− 4𝑥2+ 4𝑥 − 𝑚 = có nghiệm phân biệt e Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 xuất phát từ điểm 𝐵 3;

f Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 song song vơi đường thẳng 𝑦 = 7𝑥 g Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 vng góc vơi đường thẳng 𝑦 = 𝑥 13)Tìm 𝑚 để hai đồ thị tiếp xúc nhau:

a 𝐶 : 𝑦 = 𝑥3− 𝑚𝑥2+ 𝑚𝑥 − 𝑑 : 𝑦 = 𝑚𝑥 −

b 𝐶 : 𝑦 =1 3𝑥

3− 2𝑥2+ 3𝑥 𝑑 : 𝑦 = 𝑚 𝑥 −4 +

4

14)Viết phương trình tiếp tuyến 𝐶 : 𝑦 = 𝑥3− 5𝑥2+ 10𝑥 − 2, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 𝑑 : 𝑥 + 2𝑦 − = Chứng minh rằng: 𝐶 hai điểm mà tiếp tuyến hai điểm vng góc với

15)Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 3𝑥 + Xác định 𝑚 để đồ thị có điểm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 𝑦 = 𝑚𝑥

(8)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

a Ba tiếp tuyến phân biệt b Hai tiếp tuyến vng góc 17)Cho 𝐶 : 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2+

a Khảo sát vẽ đồ thị 𝐶 hàm số

b Dùng đồ thị 𝐶 biện luận theo 𝑚 số nghiệm phương trình:

i 𝑥3 − 3𝑥2+ 𝑚 =

ii 𝑥3 − 3𝑥2 = 𝑚3− 3𝑚

18)Tìm điểm cố định họ đồ thị 𝐶𝑚 sau:

a 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑚𝑥3− 2𝑚𝑥2− 𝑚 + 𝑥 + 2𝑚

b 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑥3 + 𝑚 𝑚 + 𝑥2− 2𝑚 + 𝑥 − (𝑚 − 1)2

c 𝐶𝑚 : 𝑦 = − 2𝑥

4 − 𝑚𝑥2+ 𝑚 +

d 𝐶𝑚 : 𝑦 = 𝑚𝑥 +1

𝑥+𝑚 (𝑚 ≠ 1) 19)Cho hàm số 𝐶 : 𝑦 = (4 − 𝑥) 𝑥 −

a Gọi 𝐴 giao điểm 𝐶 với trục 𝑂𝑦, 𝑑 đường thẳng qua 𝐴 có hệ số góc 𝑚 Tìm 𝑚 để 𝑑 cắt 𝐶 điểm phân biệt 𝐴, 𝐵, 𝐶

b Tìm tập hợp trung điểm 𝑀 đoạn thẳng 𝐵𝐶 𝑀 thay đổi 20)Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥3− 9𝑥2+ 12𝑥 − (𝐶)

a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số

b Tìm 𝑚 để phương trình 𝑥 3− 𝑥 2+ 12 𝑥 = 𝑚 có nghiệm phân biệt 21)Cho hàm số 𝑦 = 2𝑚𝑥3− (4𝑚2+ 1)𝑥2+ 4𝑚2 (𝐶𝑚)

a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 = b Tìm 𝑚 để đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành

22)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (𝐶) hàm số: 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥 a Từ đó suy đồ thi ̣ hàm số: 𝑦 = − 𝑥 3+ 𝑥

b Tìm tất giá trị 𝑚 để phương trình: 𝑥3− 3𝑥 = 2𝑚

𝑚2+1 có nghiệm phân biê ̣t

23)Cho hàm số 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2 (𝐶)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b Gọi (∆) đường thẳng qua 𝑂 có hệ số góc 𝑘 vớ i những giá tri ̣ nào của 𝑘, (∆) cắt (𝐶) điểm phân biê ̣t 𝐴; 𝐵; 𝑂? Tìm tập hợp trung điểm 𝐼 đoạn 𝐴𝐵 𝑘 thay đổi

24)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑚𝑥3− 𝑚 − 𝑥2− + 𝑚 𝑥 + 𝑚 − (𝐶 𝑚) a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

b Tìm đường thẳng 𝑦 = những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (𝐶) c Tìm những điểm cố định mà đồ thị (𝐶𝑚) qua vớ i mo ̣i 𝑚

25)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑚𝑥3− 3𝑚𝑥2 − 2𝑚 + 𝑥 + − 𝑚 (𝐶𝑚) a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

b Tìm tất giá trị 𝑚 cho hàm số có cực đa ̣i và cực tiểu Chứng minh rằng đó đường thẳng nối hai điểm cực đa ̣i và cực tiểu của đồ thi ̣ (𝐶𝑚) qua điểm cố định

26)Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥3+ 𝑚𝑥2 − 12𝑥 − 13

a Với giá tri ̣ nào của 𝑚 đồ thị hàm số có điểm cực đa ̣i và cực tiểu cách đều tru ̣c tung b Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

27)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2 + 𝑚 −

a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

(9)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page

28)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 𝑚𝑥 + 𝑚

b Tìm tất giá trị tham số 𝑚 để hàm số đồng biến đoạn có độ dài 29)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2 + 3(𝑚2− 1)𝑥 + 𝑚

a Với giá tri ̣ nào của 𝑚 hàm số đạt cực tiểu 𝑥 = b Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

c Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 , biết tiếp tuyến qua điểm 𝐴 0; 30)Cho hàm số: 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥 +

b Tìm trục hồnh những điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến 𝐶 31)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 𝑚 + 𝑥2+ 𝑚2+ 4𝑚 + 𝑥 − 4𝑚 𝑚 + (𝐶𝑚)

a Chứng minh rằng 𝑚 thay đổi, họ đường cong (𝐶𝑚) ln qua điểm cớ định b Tìm 𝑚 cho (𝐶𝑚) cắt 𝑂𝑥 điểm phân biệt

32)Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥3+ 𝑚 − 𝑥2+ 𝑚 − 𝑥 − (𝐶𝑚) a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

b Viết phương trình tiếp tuyến với 𝐶 , biết rằng các tiếp tuyến qua điểm 𝐴 0; −1 c Với giá tri ̣ nào của 𝑚 (𝐶𝑚) có cực đại cực tiểu thỏa: 𝑥cđ+ 𝑥𝑐𝑡 =

33)Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥3− 2𝑚 + 𝑥2+ 6𝑚 𝑚 + 𝑥 + (𝐶 𝑚)

a Với giá tri ̣ nào của 𝑚 đồ t hị (𝐶𝑚) hàm số có điểm cực tri ̣ đối xứng với qua đường thẳng 𝑦 = 𝑥 +

b (𝐶𝑜) đồ thị hàm số ứng với 𝑚 = tìm điều kiện 𝑎 𝑏 đường thẳng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 cắt (𝐶𝑜) điểm phân biệt 𝐴; 𝐵; 𝐷 cho 𝐴𝑏 = 𝐵𝐷 đó chứng minh đường thẳng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 qua điểm cố định

34)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 𝑚 + 𝑥 + 4𝑚 (𝐶 𝑚)

a Với giá tri ̣ nào của 𝑚 hàm số đã cho nghịch biến khoảng −1; b Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 = −1

35)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2− 9𝑥 + a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số

b Trong tất cả các tiếp tuyến với đờ thi ̣ 𝐶 , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 36)Cho hàm sớ: 𝑦 = 𝑥3− 6𝑥2+ 9𝑥 −

b Từ mô ̣t điểm bất kỳ đường thẳng 𝑥 = 2, ta có thể kẻ đươ ̣c tiếp tuyến tới đồ thi ̣ của hàm số

37)Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑚𝑥3− (4𝑚2+ 1)𝑥2+ 4𝑚2 (𝐶𝑚) a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

b Tìm những giá trị 𝑚 để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hồnh 38)Cho hàm sớ: 𝑦 = 𝑥3+ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (1)

a Xác định 𝑎; 𝑏; 𝑐 để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng 𝐼(0; 1) đạt cực trị 𝑥 =

b Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑎 = 0; 𝑏 = −3; 𝑐 = từ đó, biê ̣n l ̣n theo 𝑘 sớ nghiệm phương trình: 𝑥 3− 𝑥 + 𝑘 =

39)Cho hàm số: 𝑦 =1 3𝑥

3− 𝑚𝑥2+ 2𝑚 − 𝑥 − 𝑚 + (𝐶

𝑚) a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

b Qua điểm 𝐴(4 9;

4

(10)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 10

c Với giá tri ̣ nào của 𝑚 hàm số nghịch biến khoảng −2; ? 40)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2+

b Qua điểm 𝐴(1; 0) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị 𝐶 ? Viết các phương trình tiếp tuyến

c Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thi ̣ (𝐶) song song vớ i tiếp tuyến qua 𝐴(1; 0) câu

41)Cho hàm số: 𝑦 = 2𝑥3+ 3𝑚𝑥2 − 2𝑚 + (𝐶𝑚) a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

b Tìm đờ thi ̣ (𝐶) điểm mà ta ̣i đó hế số góc của tiếp tuyến đa ̣t giá tri ̣ nhỏ nhất c Với giá tri ̣ nào của 𝑚 hàm số nghịch biến khoảng 1; ?

42)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 12𝑥2+ 12 a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số

b Xác định giao điểm đồ thị với đường thẳng 𝑦 = −4

c Tìm đường thẳng 𝑦 = −4 điểm mà từ kẻ đến đồ thị hàm số tiếp tuyến phân biệt

43)Cho hàm số: 𝑦 = −𝑥3+ 3𝑥2 −

b Tìm điểm th ̣c đờ thi ̣ 𝐶 mà qua kẻ chỉ tiếp tuyến với đồ thị 𝐶 44)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 3𝑥2+ 𝑚𝑥 + (𝐶

𝑚)

b Chứng minh rằng với mo ̣i 𝑚, (𝐶𝑚) cắt đồ thị hàm số : 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2+ hai điểm 𝐴; 𝐵 phân biê ̣t Tìm quỹ tích trung điểm 𝐼 đoạn 𝐴𝐵 𝑚 thay đổi

c Xác định 𝑚 để (𝐶𝑚) cắt đ ường thẳng 𝑦 = điểm phân biệt 𝐶 0; ; 𝐷; 𝐸 cho các tiếp tuyến của (𝐶𝑚) 𝐷; 𝐸 vuông góc với

45)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 𝑚𝑥 + 𝑚 − (𝐶 𝑚) a Tìm điểm cố định (𝐶𝑚) 𝑚 thay đổi b Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

c Dùng đồ thị 𝐶 , biện luâ ̣n theo 𝑘 số nghiệm của phương trình: 𝑥3− 3𝑥 − 𝑘 + = 46)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑘𝑥2 − 6𝑘𝑥 (𝐶𝑘)

a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑘 =1

b Biê ̣n luâ ̣n theo 𝑚 số nghiệm của phươn trình: 𝑥 3− 3𝑥2− 𝑥 − 4𝑚 =

c Tìm giá trị 𝑘 cho các giao điểm của đồ thi ̣ (𝐶𝑘) vớ i tru ̣c hoành thì chỉ có mô ̣t điểm có hoành đô ̣ dương

47)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑚𝑥2 + 𝑚2+ 2𝑚 − 𝑥 + (𝐶 𝑚) a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

b Viết phương trình Parabol qua điểm cực đa ̣i và cực tiểu của (𝐶)và tiếp xúc với đường thẳng : 𝑦 = −2𝑥 +

c Trong trường hợp tổng quát , hãy xác định tất tham số 𝑚, để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đa ̣i và cực tiểu ở về hai phía tru ̣c tung

48)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3+ 𝑚𝑥2 − 𝑚 − (𝐶 𝑚)

(11)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 11

b Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 = −3

c Hãy xác định tất giá trị 𝑎, để điểm cực đại cực tiểu (𝐶) hai phía khác đường tròn (phía phía ngồi): 𝑥2 + 𝑦2− 2𝑎𝑥 − 4𝑎𝑦 + 5𝑎2− =

3−1

2 sin 𝑎 + cos 𝑎 𝑥 2+3

4 sin 2𝑎 𝑥 + a Tìm 𝑎 để hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞)

b Tìm 𝑎 để hàm số đạt cực trị hai điểm 𝑥1; 𝑥2 thỏa mãn điều kiện: 𝑥1+ 𝑥2 = 𝑥12+ 𝑥22 50)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥3− 3𝑥2− 9𝑥 + 𝑚

b Xác định 𝑚 để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt với các hoành đô ̣ lâ ̣p thành cấp số cô ̣ng

51)Cho hàm số: 𝑦 = −𝑥3+ 𝑚 − 𝑚 𝑥2+ 4𝑥 − 𝑚 − 𝑚 (𝐶 𝑚) a Tìm điểm cố định họ đường cong 𝐶𝑚

b Tìm 𝑚 cho (𝐶𝑚) tiếp xú c với tru ̣c hoành c Tìm quỹ tích điểm uốn 𝐼𝑚 (𝐶𝑚) 𝑚 thay đổi 52)Cho hàm số: 𝑦 =𝑚

3 𝑥

3− 2(𝑚 + 1)𝑥 (𝐶

𝑚)

a Khảo sát vẽ đồ thị 𝐶 hàm số 𝑚 =

b Tìm tất giá trị 𝑚 để hàm số có cực đại cực tiểu , đó giá tri ̣ cực đa ̣i và giá tri ̣ cực tiểu thỏa: 𝑦cđ− 𝑦𝑐𝑡 =

9 4𝑚 +

3

53)Cho hàm số 𝑦 = −𝑥4+ 2𝑥2 +

b Dựa vào 𝐶 , hãy xác định 𝑚 để phương trình 𝑥4− 2𝑥2+ 𝑚 = có nghiệm phân biệt 54)Tìm 𝑚 để đồ thị 𝐶 cắt 𝑑 bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

a 𝐶 : 𝑦 = −𝑥4+ 2𝑚𝑥2− 2𝑚 + 𝑑 : 𝑦 =

b 𝐶 : 𝑦 = 𝑥4− 2𝑥2+ 2𝑚 𝑑 : 𝑦 = 2𝑚𝑥 −

55)Định 𝑚 để hàm số 𝑦 = 𝑥4 + 4𝑚𝑥3+ 𝑚 + 𝑥2+ có cực trị 56)Cho hàm số 𝑦 = −𝑥4+ 2𝑚𝑥2− 2𝑚 + (𝐶

𝑚) a Biện luận theo 𝑚 số cực trị hàm số

b Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 =

c Xác định 𝑚 cho (𝐶𝑚) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Xác định cấp số cộng

57)Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥4− 4𝑥2 (𝐶) a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số

b Với giá trị 𝑚, phương trình 𝑥2 𝑥2 − = 𝑚 có đúng nghiệm thực phân biệt 58)Cho hàm số: 𝑦 = −𝑥4+ 𝑚 + 𝑥2− 2𝑚 −

a Đi ̣nh 𝑚 để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành đô ̣ lâ ̣p thành cấp số cộng

b Gọi (𝐶) đồ thị 𝑚 = tìm tất điểm thuộc trục tung cho từ kẻ tiếp tuyến với đồ thi ̣ 𝐶

4− 2𝑥2 −9

b Lâ ̣p phương trình tiếp tuyến với đồ thi ̣ hàm số ta ̣i các giao điểm của nó với tru ̣c hoành 60)Cho hàm số: 𝑦 = −𝑥4+ 𝑚 + 𝑥2− 2𝑚 − (𝐶

𝑚)

(12)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 12

b Gọi (𝐶) đồ thị 𝑚 = tìm tất điểm thuộc trục tung cho từ kẻ tiếp tuyến với đồ thi ̣ 𝐶

61)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥4+ 𝑎𝑥2 + 𝑏 (1)

a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑎 =

10; 𝑏 =

b Giả sử đồ thi ̣ của hàm số (1) cắt trục hoành ta ̣i điểm có hoành đô ̣ lâ ̣p thành cấp số cô ̣ng Chứng minh rằng đó: 9𝑎2− 100𝑏 =

62)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥4− 2𝑚𝑥2 + 2𝑚 + 𝑚4 (1)

a Tìm 𝑚 để hàm số có cực đại cực tiểu , đờng thờ i các điểm cực đa ̣i và cực tiểu lâ ̣p thành mô ̣t tam giác

b Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 = 63)Cho hàm số: 𝑦 = − 𝑚 𝑥4− 𝑚𝑥2+ 2𝑚 − (1)

a Xác định 𝑚 để đồ thị hàm số cắt trục 𝑂𝑥 điểm phân biệt b Xác định 𝑚 để hàm số có đúng cực tri ̣

64)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥4+ 𝑚𝑥2 − (𝑚 + 1) (𝐶𝑚)

a Xác định 𝑚 để (𝐶𝑚) tiếp xú c với đường thẳng 𝑦 = 2(𝑥 − 1) điểm có hồnh độ 𝑥 = Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số trườ ng hơ ̣p đó

b Chứng tỏ (𝐶𝑚) luôn qua điểm cố định 𝑚 thay đổi

c Dùng đồ thị (𝐶) trên, biện luâ ̣n theo 𝑘 số nghiệm của phương trình: 4𝑥2 − 𝑥2 = − 𝑘 65)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑥4− 3𝑥2+ 𝑚2𝑥 + 𝑚 (𝐶𝑚)

b Tìm tất giá trị tham số 𝑚 để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đa ̣i, cực tiểu của hàm số đối xứng với qua đường thẳng: 𝑦 =1

2𝑥 − 66)Cho hàm số: 𝑦 =2𝑥−1

𝑥 −1 𝐶

b 𝑀 điểm (𝐶) có hồnh độ 𝑥𝑀 = 𝑚, tiếp tuyến tại 𝑀 vớ i (𝐶) cắt tiệm câ ̣n ta ̣i 𝐴; 𝐵 gọi 𝐼 giao điểm tiệm cận Chứ ng minh rằng , 𝑀 trung điểm 𝐴𝐵 ∆𝐼𝐴𝐵 có diện tích khơng đổi

67)Cho hàm số: 𝑦 =3𝑥+2

𝑥 −1 𝐶

b Tìm những điểm nằm đồ thị có tọa độ những số nguyên

c Tìm đồ thị hàm số điểm 𝑀 cho tổng các khoảng cách từ 𝑀 đến hai tiệm cận nhỏ 68)Cho hàm số: 𝑦 =𝑚𝑥 +𝑛

𝑥−1 𝐶

a Tìm giá trị 𝑚, 𝑛 để đồ thị hàm số qua điểm 𝐴(0; 1) tiếp tuyến với đồ thị 𝐴 có hệ số góc −3

b Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số trườ ng hơ ̣p 𝑚 = 1; 𝑛 = c Viết phương trình tiếp tuyến với (𝐶) giao điểm (𝐶) vớ i tru ̣c tung 69)Cho hàm số: 𝑦 =𝑥+1

𝑥−1 𝐶

b Tìm những điểm trục tung mà từ chỉ kẻ đươ ̣c đúng mơ ̣t tiếp tún đến đồ thi ̣ (𝐶) 70)Cho hàm số: 𝑦 =2𝑚𝑥 +𝑚2+2𝑚

2(𝑥+𝑚 ) (𝐶𝑚)

(13)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 13

b Chứng minh rằng với mo ̣i giá tri ̣ của 𝑚, hàm số khơng có cực trị

c Tìm tất điểm mă ̣t phẳng to ̣a đô ̣ cho có đúng mô ̣t đường của ho ̣ (𝐶𝑚) qua 71)Cho hàm số: 𝑦 = 𝑚 +1 𝑥+𝑚

𝑥 +𝑚 (𝐶𝑚)

a Khảo sát vẽ đồ thị (𝐶) hàm số 𝑚 = tìm đồ thị (𝐶) những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiê ̣m câ ̣n nhỏ nhất

b Chứng minh rằng với mo ̣i 𝑚 ≠ 0, đồ thị (𝐶𝑚) hàm số tiếp xúc với đường thẳng cố ̣nh

72)Cho hàm số: 𝑦 =𝑥+2

𝑥−3 𝐶

b Tìm đồ thị hàm số điểm 𝑀 cho khoảng cách từ 𝑀 đến đường tiệm cận ngang khoảng cách từ 𝑀 đến đường tiệm cận đứng

73)Cho hàm số: 𝑦 =−2𝑥−4

𝑥 +1 𝐶

b Biê ̣n luâ ̣n theo 𝑚, số giao điểm củ a đồ thi ̣ và đườn g thẳng: 2𝑥 − 𝑦 + 𝑚 = trườ ng hơ ̣p có giao điểm 𝑀; 𝑁 hãy tìm quỹ tích trung điểm 𝐼 đoạn 𝑀𝑁

74)Cho hàm số: 𝑦 =𝑥+2

𝑥−2 𝐶

b Tìm đồ thị hàm số tất những điểm cách hai trục tọa độ

c Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thi ̣, biết rằng tiếp tuyến qua điểm 𝐴 −6; 75)Cho hàm số: 𝑦 =𝑥+1

𝑥−2 𝐶

b Tìm đồ thị (𝐶) điểm 𝑀 cho tổng các khoảng cách từ 𝑀 đến trục tọa độ nhỏ 76)Cho hàm số 𝑦 =𝑥+1

𝑥−1 𝐶

a Khảo sát vẽ đồ thị(𝐶) hàm số

b Chứng minh rằng đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 + 𝑚 cắt đồ thị 𝐶 hai điểm phân biệt 𝐴; 𝐵 nằm hai nhánh của 𝐶

c Xác định 𝑚 để độ dài 𝐴𝐵 đạt giá tri ̣ nhỏ nhất 77)Cho hàm số 𝑦 =𝑥+1

𝑥−1 𝐶

b Tìm những điểm trục tung mà từ mỗi điểm chỉ kẻ đúng tiếp tuyến vớ i 𝐶 78)Cho hàm số 𝑦 =3𝑥+2

𝑥−1 𝐶

a Chứng minh rằng đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 + 𝑚 cắt đồ thị 𝐶 hai điểm phân biệt 𝐴; 𝐵 tìm quỹ tích trung điểm 𝐼 đoạn thẳng 𝐴𝐵 𝑚 thay đởi

b Tính độ dài đoạn 𝐴𝐵 theo 𝑚 tìm 𝑚 để độ dài đạt giá trị nhỏ 79)Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥

𝑥−1 𝐶

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Từ đó suy đồ thi ̣ hàm số : 𝐶1 : 𝑦 =

2 𝑥

𝑥 −1 dùng đồ thị 𝐶1 để biện luận theo 𝑚 số nghiệm thuô ̣c đoa ̣n −1; phương trình: 𝑚 − 𝑥 − 𝑚 =

80)Cho hàm số 𝑦 =𝑥+1

(14)

LÊ HẢI HẠNH – 0977.111.707 – 0932.585.777 Page 14

b Gọi 𝑑 đường thẳng có phương trình: 2𝑥 − 𝑦 + 𝑚 = Chứng minh rằng, 𝑑 cắt 𝐶 hai điểm phân biệt 𝐴, 𝐵 hai nhánh 𝐶

c Định 𝑚 để độ dài đoạn 𝐴𝐵 ngắn 81)Cho hàm số 𝑦 =𝑥+1

𝑥−1 𝐶

b Tìm những điểm trục tung mà từ chỉ kẻ đúng tiếp tuyến với đồ thị (𝐶) 82)Cho hàm số 𝑦 =𝑥+1

𝑥−2 𝐶 Tìm 𝑀 ∈ (𝐶) để:

a Tổng khoảng cách từ 𝑀 đến hai tiệm cận nhỏ b Tổng khoảng cách từ 𝑀 đến hai trục tọa độ nhỏ 83)Cho hàm số 𝑦 =𝑥−1

𝑥+1 𝐶 Tìm 𝐶 những điểm 𝑀 cho tổng khoảng cách từ 𝑀 đến hai trục tọa độ nhỏ

84)Cho hàm số 𝑦 =3𝑥+2 𝑥+2 𝐶

b Tìm điểm (𝐶) có tọa độ những số ngun

c Chứng minh: khơng có tiếp tuyến với 𝐶 qua giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị 85)Cho hàm số 𝑦 =𝑥+2

𝑥−2 Chứng minh với giá trị 𝑏, đường thẳng ∆ : 𝑦 = 𝑥 + 𝑏 cắt 𝐶 hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt

86)Cho hàm số 𝐶 : 𝑦 =𝑥+2 𝑥−2

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị 𝐶 hàm số b Tìm những điểm 𝐶 có tọa độ nguyên