C¬ së lý thuyÕt: NhËn xÐt vÒ lòy thõa.[r]
(1)Phần I: Phơng pháp tìm chữ số tËn cïng hc mét sè ci cïng cđa mét sè tự nhiên
Phơng pháp 1: Dùng cấu tạo số: I Cơ sở lý thuyết:
Xem số tự nhiên: A = nk víi n, k N.
1 Muèn tìm chữ số tận A cần biểu diƠn A díi d¹ng:
A = 10a + b = ab b chữ số cuối A Ta viÕt:
A = nk = (10q + r)k = 10t + rk víi rN; 0r9
Ch÷ số cuối A chữ số cuối cïng cña sè rk
- NÕu A = 100a + bc = abc bclà hai chữ số cuối cïng cña A - NÕu A = 1000a + bcd = abcd bcd ba chữ số cuối cña A
………
- NÕu A = 10m.a
m + am1 a0= am a1a0 th× am1 a0 m chữ số cuối A
2 Vận dụng nghị thức Newtơn:
(a + b)n = c a
n0 + c1n.an1b+….cnn1.a.bn1 cnn.bn
II Bµi tập áp dụng:
Bài 1: Tìm chữ số cuối cïng cđa sè: A = 999
Gi¶i:
Xem sè M = 9k; k N
- NÕu k ch½n k = 2m ta cã: M = 92m = 81m = (80 + 1)m
=(10q + 1)m = 10 t + (víi m, q, t N)
Vậy: M có chữ số cuối k chẵn - Nếu k lẻ k = 2m + ta cã:
M = 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9
= 10q + (víi m, t, q N)
(2)Do đó: A = 999
cã ch÷ sè cuối
Bài 2: Tìm chữ số ci cïng cđa sè: B = 234
Gi¶i:
B = 234
= 81 = (25)16.2 = 3216.2
= (30 + 2)16 = 10q + 217
= 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22
= 10t + 25 = 10t + 2
VËy B cã ch÷ số cuối
Bài 3: Tìm hai ch÷ sè ci cïng cđa sè: C = 2999
Gi¶i:
Ta cã : 210 + = 1024 + = 1025 : 25 suy 210 – 25
Ta l¹i cã 21000 – = ( 220)50 – 220 – suy 21000 - 125
Do 21000 chữ số tận 26 ; 51 ; 76 nhng 21000 4
suy 21000 tËn cïng lµ 76 2999 tËn cïng lµ 38 88 2999 4
2999 tận cïng lµ 88
VËy C = 2999 cã hai chữ số tận 88.
Bài4: Tìm hai chữ số tận số: D=3999
Giải
Ta cã: 92m tËn cïng lµ ; 92m + 1 tËn cïng lµ 9
Ta h·y t×m sè d cđa phÐp chia 95 + cho 100
Ta cã : 95 + = 10( 94 – 93 + 92 – +1 )
Sè : 94 + 92 +1 tËn cïng lµ 3
93 + tËn cïng lµ 8
suy ( 94 – 93 + 92 – +1) tËn cïng lµ 94 – 93 + 92 – +1 =
10q +
95 + =100q + 50 910 – = ( 95 +1 )( 95 – ) = 100t
Ta l¹i cã :31000 – = 9500 – = (910)50 – suy 31000 – 100
31000 tận 01 Mặt khác 31000
(3) 31000 chữ số tận 201
Do ú 3999 tn cựng l 67.
Bài : Tìm hai ch÷ sè tËn cïng cđa sè A = 999
Gi¶i
A = 999 = ( 10 – 1)99 cã d¹ng: ( 10 – 1)n víi n = 99 ta l¹i cã
A = C0
n 10n - C
1
n.10n-1 + ……+ C
1
n
n 10 - C n n
Suy A cã hai ch÷ sè ci cïng Víi a = Cn1
n 10 - C n
n = 10n – Sè n = 99 tËn cïng lµ
Suy 10n tËn cïng lµ 90 a = 10n – tËn cïng lµ 89 VËy sè A = 999 có hai chữ số cuối 89.
Bài 6: Tìm hai chữ số tận sè: B = 9999
Gi¶i
B = 9999 = (10-1) víi m = 999
= m
m m
m m
m m
m c c c
c0.10 1.10 1 1.10
B cã hai ch÷ sè ci cïng víi sè: B = c 1.10 cm 10m
n m
m
Sè m = 999 tËn cïng lµ 9
Suy ra: Sè b tËn cïng lµ 89
VËy: Sè B = 9999 cã chữ số tận 89. Phơng pháp 2: Nhận xÐt vỊ lịy thõa. I C¬ së lý thut: NhËn xÐt vỊ lịy thõa - an lµ mét lịy thõa
Các trờng hợp đặc biệt:
1 C¸c sè cã d¹ng: + (a0)n tËn cïng b»ng
+(a1)n; (a5)n; (a6)n tận lần lợt 1; 5;
(4)+ (a2)4; (a4)4; (a8)4 tËn cïng b»ng
2 C¸c sè 320, 815, 74, 512, 992 tËn cïng 01 264, 65, 184, 242, 684, 742 có chữ số tận 76.
125n, 25n, 52 tận 25. 3 Các số có dạng:
(a01)n; (a25)n, (a76)n có chữ số tận lần lợt là: 01, 25, 76
II Bài tập:
Bài 1: Tìm chữ số cuối cïng cđa sè: A = 999
Gi¶i
Ta cã: 92m tËn cïng lµ 1
92m+1 tËn cïng lµ 9
Suy ra: 99 tËn 9, (9 số lẻ.)
Vậy A = 999
tËn cïng lµ
Bµi 2: Tìm chữ số tận của: C = 62002, D = 22001.
Gi¶i:
Ta cã: 61 tËn cïng lµ 6
62 tËn cïng lµ 6
63 tËn cïng lµ 6
VËy 6n tËn cïng lµ suy 62002 tËn cïng lµ 6
Ta cã 24 = 16 tËn cïng lµ 6
Suy 22002 = (24)500.22 = (a6).4 = k4 víi a,k N 22002 tËn cïng lµ 4 Bµi 3: Tìm chữ số cuối số: M = 71999; G = 18177
Gi¶i
*Ta cã 74 = 2401 tËn cïng lµ 1
M = 71999 = (74) = (n1).343
= c3 tËn cïng lµ VËy M = 71999 tËn cïng lµ 3
*Ta cã 184=n6 tËn cïng lµ 6
(5)VËy G = 18177 tËn cïng lµ 8.
Bài 4: Tìm hai chữ số tận cđa sè: C = 2999, D = 3999
Gi¶i:
* Ta cã: 220 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 76.
Suy ra: C = 2999 = (220)49 .219 = ( y76).n88 = q88 (víi y,n,q N)
VËy C = 2999 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 88
* Ta cã: 3D = 31000 = (320)50 = (k01)50 = z01.
Nªn 3D tËn 01 , mà 3.3999 Chữ số hàng trăm 31000
2
31000 tËn cïng lµ 201
VËy 3999 cã hai chữ số tận 67
Bài : Tìm hai chữ số tận số
a, M = 78966
b, N = 247561
c,
Gi¶i
a, Ta cã 74 cã hai chữ số tận 01
Suy M = 78966 = (74)2241.72 = (a01)2241.49 = c01.49 = n49
(víi a,c,n N)
Suy M = 78966 có hai chữ số tận 49
b,Ta cã 242 tËn cïng lµ 76
Suy N = 247561 = (242)3765.24 = (m76)3765.24 = k76.24 = n24
(víi m,k,n N)
VËy N = 247561 có hai chữ số tận 24.
c, ta cã 815 cã hai ch÷ sè tËn cïng 01
Nên Q = 816251 = (815)1250.81 = (k01 )1250.81 = t01.81 = m81
(víi k, t, m N )
(6)a, Z = 26854 b, C = 68194 Gi¶i
a, Ta có 264 có hai chữ số tận 76
Z = 26854 = (264)213.262 = (n76)213.676 = k76.676 = c76
( Víi n, k, c N )
VËy Z = 26854 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76
b, Ta cã 684 có hai chữ số tận 76
Suy C = 68194 = (684)48.682 = (n76)48.4624 = k76.4624 = t24
( Víi n, k, t N )
VËy C = 68194 cã hai ch÷ số tận 24.
Bài 7: Tìm ba ch÷ sè tËn cïng cđa sè T = 5946
Giải
Ta có 53 có ba chữ số tận cïng lµ 125
Suy T = 5946 = (53)315 = (n125 )315.5 = m125.5 = t625
( Víi n, m, t N )
VËy T = 5946 cã ba ch÷ sè tËn cïng 125.
Bài 8: Tìm chữ số tận cïng cđa sè: P = 51994
Gi¶i
Ta cã: 54 = 0625 tËn cïng lµ 0625
55 tËn cïng lµ 3125
56 tËn cïng lµ 5625
57 tËn cïng 8125
58 tËn cïng lµ 0625
59 tËn cïng lµ 3125
510 tËn cïng lµ 5625
511 tËn cïng lµ 8125
512 tận 0625
Chu kỳ lặp lµ
(7)54m+1 tËn cïng lµ 3125
54m+2 tËn cïng lµ 5625
54m+3 tËn cïng lµ 8125
Mà 1994 có dạng 4m+2 Do M = 51994 có chữ số tận
5625
Phơng pháp 3: Dùng đồng d I Cơ sở lý thuyết:
1 Định nghĩa: Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a b chia cho m có số d ta nói a đồng d với theo mô đun m viết a b (mod m)
2 Định lý: Ba mệnh đề sau tơng đơng với nhau: a a đồng d với b theo mô đun m
b a – b chia hÕt cho m
c cã mét sè nguyªn t cho a = b+m.t
3 TÝnh chÊt:
1 a a (mod m)
2 a b (mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m)
3 (mod )
) (mod m b a m d c
suy ra:
) mod (, ) (mod m d b a m bd ac
HƯ qu¶: a+c b (mod m) ab c(mod m)
ab (mod m) am bn
(mod m)
4 NÕu a b (mod m); k ƯC (a,b), (k,m) = (modm)
k b k a
5 (mod )
0 , m b a k Z k
suy ka kb (mod m)
6 d ƯC (a,b,m) thì: ab (mod m) suy
d b d a
(mod
d m
) NÕu ab (mod m1) vµ a b (mod m2) suy a b (mod m)
m = BCNN (m1, m2)
Hệ quả: (m1, m2, …, mn) =1 ng tố đôi
Suy ra: ab (mod m1), a b (mod m2) …… a b (mod mn)
(8)1 Bài 1: Tìm chữ số tận 6195 21000
Giải:
Tỡm ch s tn số tự nhiên N có nghĩa phải tìm số d phép chia số N cho 10, tức tìm số tự nhiên nhỏ 10 đồng d với N theo mod 10
* Ta cã: 62 = 36 mod 10 suy 6n 6 mod 10
Víi N lµ sè tù nhiên khác o
Suy ra: 6195+ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận 6195 6.
* Ta cã: 21000 = 24 250 = (2n)250
V× 2n 16 6 (mod 10)
Suy ra: (2n)250 16250 6250 (mod 10)
Do đó: 21000 6250 (mod 10)
Nghĩa chữ số tận 21000 6.
Vậy ta vận dụng đồng d vào tìm chữ số tận có nghĩa tìm chữ số tận số N với:
Mét ch÷ sè tËn cïng lµ N a (mod 10) suy tận a < 10 Hai chữ số tận cïng lµ N b (mod 100) suy tËn b:b <100
Ba chữ số tận lµ N c (mod 1000) suy tËn cïng c:c <1000
m chữ sè tËn cïng lµ N K (mod 10…0) suy tận K:K <100
Bài 2: Tìm hai ch÷ sè tËn cïng cđa
a D = 2999
b G = 3999 Gi¶i:
a Ta cã: 2999 = 21000 : 2
Ta cã: 220 = 1048576 (mod 25)
Suy ra: (220)50 150 (mod 25)
(9)21000 chia cho 25 d 1
21000 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 1; 26; 51; 76 nhng 21000 4
suy hai ch÷ sè tËn cïng cđa nã lµ 88
b Ta cã: 34 19 (mod 100) suy 38 192 (mod 100)
310 61.9 49 (mod 100) suy 3100 492 (mod 100)
Suy ra: 31000 01 (mod 100)
NghÜa lµ hai chữ số tận 31000 01
Số 31000 nên chữ số hàng trăm nã chia cho ph¶i d (chia
tiÕp th× sè 201 : nÕu sè d 0,1 001; 101 không chia hết cho 3) VËy 3999 = 31000 3 cã hai ch÷ sè tËn 76.
Bài 3: Tìm hai chữ số tËn cïng cđa sè: D = 999
Gi¶i
Ta cã: 92 = 81 (mod 10) suy 98 (92)n (mod 10)
Suy 99 1.9 (mod 10) suy 99 10k + (kN)
94 = 6561 61 (mod 100)
98 612 21 (mod 100)
9100 2k81 01 (mod 100)
910k (mod 100)
Suy ra: 999 = 910k+9 = (910)k.99 99 (mod 100)
Ta l¹i cã: 93 = 729 29 (mod 100)
99 = 293 89 (mod 100)
VËy 999 có hai chữ số cuối 89
Bài 4: Tìm chữ số tận số 19911997; 19971996
Gi¶i
a Ta cã: 1991 (mod 10) suy 19911997 (mod 10)
Vậy 19911997 có chữ số tận 1
b Ta cã: 1997 (mod 10) suy 19972 49 (mod 10)
(10)suy 19971996 (mod 10)
VËy 19971996 có chữ số tận 1
Bài 5: Tìm ba chữ số tận 213
Gi¶i:
Ta cã 210 = 1024; 210 = 24 (mod 1000)
Cã 23 (mod 1000); 213 192 (mod 100)
VËy ba ch÷ sè cuèi 213 192.
Phần II: Các toán liên quan
Cú th dựng bi toỏn tỡm chữ số tận để chứng minh chia hết, nhận xét số có phải số phơng hay khơng, tìm số d phép chia
Bµi 1: Chøng minh r»ng tån tµi n N / 3n tËn cïng 000001
Gi¶i
Ta chứng minh tồn n N để 3n – 106
XÐt d·y gåm 1000000 sè h¹ng 3; 32; 33; …; 3106 (*)
Chia số hạng dÃy (*) cho 106 số d phép chia 1; 2; 3; …;
99999 cã 1000000 phÐp chia nªn Ýt nhÊt cã sè cïng sè d cho 106
Gọi số 3i 3j với i, j N, 1 i < j 106
suy ra: 3j – 3i 106
3i(3j-i – 1) 106 mµ (3i,10) =1
(3i: 106) = 3j-i – 106
VËy tån t¹i n N cho 3n tËn cïng b»ng 000001.
Bài 2: Chứng minh tồn m N / 3m tËn cïng víi 001
Gi¶i
Chøng minh tơng tự
Bài 3: Chứng minh n5 n có chữ số tận giống
(11)Để chứng minh n5 n có chữ số tận chứng minh n5 –
n 10
Ta cã: A = n5 – n = n(n4-1) = n(n2 -1).(n2+1)
= (n-1).n(n+1).(n2+1)
Ta cã 10 =2.5 vµ (2.5)=1
(n-1), n, n+1 số tự nhiên liên tiếp Suy A
Chøng minh A nÕu n th× A
NÕu n d suy n-1 A
n: d suy n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+1 A 5
n: d suy n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+1 5 A 5
n: d suy n+1 A
VËy A vµ A 10
VËy n5 n có chữ số tận cùng.
Bµi 4: Chøng minh r»ng 19911997-19971996
10
Giải
Là chứng minh số có chữ số tận cùng: Theo phơng pháp ta có 19911997 19971996 cso chữ số tận lµ 1
Suy 19911997-19971996 : 10
Bµi 5: Tích 1125! tận chữ số 0 Giải
Ta thấy 2.5 =10 tận ch÷ sè Suy cã thõa sè tËn cïng lµ sè
Víi 51 suy 1 1125 cã
5 1125
+1 = 225 (ch÷ sè 5) Víi 52 suy
25 25 1125
+1 =45 (sè) Víi 53 suy
125 125 1125
+1=9 (sè) Víi 54 cã 625 cã (sè)
(12)