Toan nang cao so hoc 6

[r]

(1)

Chuyên đề 1: dãy số nguyên – phân số viết theo quy luật = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = =

(1). D·y 1: Sư dơng c«ng thøc tỉng qu¸t

n a

1 a 1 n) a.(a

n

   

Chøng minh

-n a a n a a

a n

a a

n a n

a a

a n a n a a

n

        

   

1 ) ( ) ( ) (

) ( ) ( 

 Bµi 1.1: TÝnh a)

2009 2006

3

14 11

3 11

3

  

 

A b)

406 402

1

18 14

1 14 10

1 10

1

  

 

B c)

507 502

10

22 17

10 17 12

10 12

10

  

 

C d)

258 253

4

23 18

4 18 13

4 13

4

  

 

D



Bµi 1.2: TÝnh: a)

509 252

1

19

1

  

 

A b)

405 802

1

17 26

1 13 18

1 10

1

  

 

B c)

405 401

3 304

301

2

13

3 10

2

3

2

 

 

  

C



Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả m·n: a)

8 120

1 21

1 15

1 10

1

2008     

x

b)

45 29 45 41

4 17 13

4 13

4

 

 

x c)

93 15 ) )( (

1

9

1

  

   

x x



Bài 1.4: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta có: a)

4 ) )( (

1

11

1

   

  



n n n

n b)

3

5 ) )( (

5

15 11

5 11

5

   

  



n n n

n



Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi nN;n2 ta cã:

15 ) )( (

3

24 19

3 19 14

3 14

3

  

  



n n



Bµi 1.6: Cho

403 399

4

23 19

4 19 15

4

  



A chøng minh:

80 16 81

16

 A



Bµi 1.7: Cho d·y sè : ;

25 18

2 ; 18 11

2 ; 11

2

a) Tìm số hạng tổng quát cđa d·y

b) Gäi S lµ tỉng cđa 100 số hạng dÃy Tính S.

Bµi 1.8: Cho 2 2 2 2

9

1

    

A Chøng minh

9

2

 A



Bµi 1.9: Cho 2 2 2 2

2007

2

    

A Chøng minh:

2008 1003



A



Bµi 1.10: Cho 2 2 2 2

2006

1

    

B Chøng minh:

2007 334



B



Bµi 1.11: Cho 2 2 2

409

1

   

S Chøng minh:

12



S

1

(2)



Bµi 1.12: Cho 2 2 2 2

305 17

9 11

9

    

A Chøng minh:

4



A



Bµi 1.13: Cho 2

201 202 200 49 48 25 24

    

B Chøng minh: B 99,75



Bµi 1.14: Cho

1764 1766

25 27 16 18 11

    

A Chøng minh:

21 20 40 43

20 40  A



Bµi 1.15: Cho

100 98

99

5

4

3

22 2 2

     

B Tìm phần nguyên B.

Bµi 1.16: Cho

2500 2499

16 15

    

C Chøng minh C > 48



Bµi 1.17: Cho

59

1

4

1

2

1

            

M Chøng minh

3 2



M



Bµi1.18: Cho

100 99

101 98

6

5

4

    

N Chøng minh 97 < N < 98.

 Më réng víi tÝch nhiỊu thõa sè:

) )( (

1 )

( )

2 )( (

2

n a n a n a a n a n a a

n

      

Chøng minh:

) )( (

1 )

( )

2 )( ( ) )( (

2 )

2 )( (

) ( ) )( (

2

n a n a n a a n a n a a

a n

a n a a

n a n

a n a a

a n a n

a n a a

n

         

 

 

    

) )( )( (

1 )

2 )( (

1 )

3 )( )( (

3

n a n a n a n a n a a n a n a n a a

n

 

      





Bµi 1.19: TÝnh

39 38 37

2

4

2

  



S



Bµi 1.20: Cho

20 19 18

1

4

1

  



A Chøng minh

4



A



Bµi 1.21: Cho

29 27 25

36

7

36

  



B Chøng minh B < 3



Bµi 1.22: Cho

308 305 302

5

14 11

5 11

5

  



C Chøng minh

48



C



Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n N; n > ta cã:

4 1

1

3

3     



n A



Bµi 1.24: TÝnh

30 29 28 27

1

5

1

  



M



Bµi 1.25: TÝnh

100 99

1

1 100

1 52

1 51

1

   

   

(3)

Bµi 1.26: TÝnh:

2007 2005

1004 1002

) )( (

5

4

3

   

 

    

n n

n n Q

Bµi 27: TÝnh:

2007 2005

2006

5

4

3

22 2

    

R

Bµi 1.28: Cho

1 2005

2 2005

2

2005 2005

2

2005

2 2

2006

1

3

2

 

  

 

 



n

S

So s¸nh S víi

1002

 Hướng dẫn:

1 k

m k

m )

1 k )( k (

m mk m mk k

m k

m

2 2       

 

      

Áp dụng vào toán với m  {2; , …., } k  { 2005, 2005 , …200522006} ta có:

1 2005

2

2005

2  

  

1 2005

2

2005 2005

2

 

 



………

(2) D·y 2: D·y luü thõa

     

n

a

1

với n tự nhiên.

Bài 2.1: Tính : 2 3 100

2

1

    

A

Bµi 2.2: TÝnh: 2 3 4 99 100

2

1

      

B

Bµi 2.3: TÝnh: 3 5 99

2

1

    

C

Bµi 2.4: TÝnh: 4 7 10 58

2

1

     

D

Bµi 2.5: Cho n

n

A

3 27 26

2 

   

 Chøng minh

2

 n

A

Bµi 2.6: Cho 98

98

3 27 28 10

4 

    

B Chøng minh B < 100.

Bµi 2.7: Cho 2 3 99

4

5

    

C Chøng minh:

3



C

(4)

Bµi 2.8: Cho 2 2 2 2 2 2 2 2

10

19

7

5

3

  

 

D Chøng minh: D < 1.

Bµi 2.9: Cho 2 3 100

3 100

3

2

    

E Chøng minh:

4



E

Bµi 2.10: Cho F nn

3 10

7

3

    

 víi n N* Chøng minh:

4 11



F

Bµi 2.11: Cho 2 3 100

3 302 11

8

    

G Chøng minh:

2

5 G

Bµi 2.12: Cho 2 3 100

3 601 19 13

    

H Chøng minh:

9 H 

Bµi 2.13: Cho 2 3 100

3 605 23 17 11

    

I Chøng minh: I < 7

Bµi 2.14: Cho 2 3 101

3 904 22 13

    

K Chøng minh:

4 17



K

Bµi 2.15: Cho 2 3 100

3 403 15 11

    

L Chøng minh: L < 4,5.

(3) D·y 3: D·y dạng tích phân số viết theo quy luật:

Bµi 3.1: TÝnh:

2500 2499 25 24 16 15



A .

Bµi 3.2: Cho d·y sè: ,

35 1 , 24

1 , 15

1 , 1 , 1

a) Tìm số hạng tổng qu¸t cđa d·y.

b) TÝnh tÝch cđa 98 sè hạng dÃy.

Bài 3.3: Tính: 

  

 

    

 

    

 

      

 

780 1 15

1 10

1 1 1

B .

Bµi 3.4: Cho

200 199



C Chøng minh:

201

2 

C

Bµi 3.5: Cho

100 99



D Chøng minh:

10 15

1

 D

Bµi 3.6: TÝnh: 

  

 

 

    

      





99 1 1 1

E

Bµi 3.7: TÝnh: 

  

 

 

    

      





100 1 1 1

F .

Bµi 3.8: TÝnh: 2 2 2 2

30 899 15

8

3



(5)

Bµi 3.9: TÝnh:

64 31 62 30 10

4



H .

Bµi 3.10: TÝnh: 101.10001.100000001 100 0001

/

   

s c

n

I





Bµi 3.11: Cho 

  

 

 

  

 

    

 

    

 





100 1

1

2

K So s¸nh K víi

2

Bài 3.12: So sánh

  

 

      

 

20 1 1 1 1

L với

21

Bài 3.13: So sánh 

  

 

    

 

      

 

100 1 16

1 1 1

M víi

19 11

Bµi 3.14: TÝnh:

51 49

50

4

3

22 2



N

Bµi 3.15: TÝnh 

  

 

      

 

7 10 7 1

P .

Bµi 3.16: TÝnh: 

  

 

      

 

2007

Q

Bµi 3.17: TÝnh: 

  

 

 

  

 

      

 

99

T

Bài 3.18: So sánh:

40 23 22 21

39



U vµ

1

20

 

V

Bµi 3.19: Cho 

  

 

 

  

 

    

 

    

 

 

101 99

1

V Chøng minh V < 2.

Bµi 3.20: Cho

199 200



S Chøng minh: 201 400  S

Bµi 3.21: Cho

210 208 12 10



A Chøng minh:

25



A

Bµi 3.22: TÝnh:

101 100

100

3

2

12 2



B

Bµi 3.23: TÝnh:

   

 

 

  

 

    

 

    

 



   

 

 

  

 

    

 

    

 

 

1999 1000

1000

2 1000

1 1000

1000 1999

1999

2 1999

1 1999

C

Bµi 3.24: TÝnh: 

  

 

     

 

      



 2

) (

1

25

4 1

n

D , víi n N, n1

Bµi 3.25: Cho 

  

 

        

 

      

 

  

n E

1

(6)

vµ

n n

F  2 víi n N* TÝnh F E

Bµi 3.26: Cho 

  

 

    

 

    

 

      



 1024

2 1 256

1 16

1 1 1

G vµ 2047

2



H

TÝnh: G + H.

Bµi 3.27: Cho n

n n

I 2

2

2 ) 1 2 )( 1 2 ( 65536

2 257 . 255 . 256

2 17 . 15 . 16

2 5 . 3 . 4

2 3 .

1       

 víi n N.

Chøng minh:

3



I

Bµi 3.28: Cho d·y sè: ;

1 ;

1 2 4 8 16

a) T×m sè hạng tổng quát dÃy.

b) Gọi A tích 11 số hạng dÃy Chứng minh

A

2

1

số tự nhiên.

c) Tìm chữ sè tËn cïng cña

A B

2

3

 

Bµi 3.29: Cho n

n n

A

2 2

6 2 3 6 97 . 6 13 . 6

5 

 vµ 2 1

6





 n

B víi n N

a) Chøng minh :

B A

M  số tự nhiên b) Tìm n để M số ngun tố.

Bµi 3.30: Cho n

n

A

2

3 1 6 3 1297 . 3 37 . 3

7 



   

 

    

 

    

 

    

 

      



 n

B

2

4

3 1

1

1 víi n N

a) Chøng minh : 5A – 2B số tự nhiên.

b) Chứng minh với số tự nhiên n khác 5A 2B chia hÕt cho 45.

Bµi 3.31: Cho n

n n

A

2 2

3 2 3 3 97 . 3 13 . 3

5 

 .( víi n N ) Chøng minh: A < 3. (4) Tính hợp lí biểu thức có nội dung phức tạp:

Bài 4.1: Tính:

99 98 3 2

) 98 ( ) ( ) (

   

           

A

Bµi 4.2: TÝnh:

99 98 3 2

1 98 96 97 98

   



(7)

Bµi 4.3: TÝnh:

400 299

1

104

1 103

1 102

1 101.400

1

302

1 301

1 300

1

  



  

 

C

Bµi 4.4: TÝnh:

100 99 3 2

100 1 100

   

   

 

     

D

Bµi 4.5: TÝnh:

100 99

1

1 100

1 53

1 52

1 51

1

   

    

E

Bµi 4.6: TÝnh

121 16 11 16 16

121 15 11 15 15 : 27

8 8

27 5

 

  

 

   

F

Bµi 4.7: TÝnh

25 32 ,

4 1 1 : , 56 43 :

2 : 15

2

    

   

  

 

    

 

 

G

Bµi 4.8: TÝnh

500 55

1 50

1 45

1 100

92 11

3 10

2 92 : 100

1

99 98 97

3 98

2 99

1

   

     

  

     

H

Bµi 4.9: TÝnh

2941 41

5 29

5

2941 41

4 29

4 : 1943

3 43

3 19

3

1943 43

2 19

2

  

   

 

   

I

Bµi 4.10: TÝnh

91 169

7 13

7

91 169

3 13

3 : 85

4 289

4 4

85 12 289

12 12 12

  

   

 

   

K

Bµi 4.11: TÝnh

20 15 16 12 12

10 2

 

    

L

Bµi 4.12: TÝnh

5 : , , 17

2 5

7 : 25

2 08 , 25

1 64 ,

25 , : ,

 

  

 

    

 

 

    

  

M

Bµi 4.13: TÝnh

43 11 : 1517

38 1591

94 11

8 

  

 

 

N

Bµi 4.14: TÝnh 

  

 

 



37 13 11

4 222222

5 111111

5 10101

P

(8)

Bµi 4.15: TÝnh

1 99

1 97

1 95

1 97

1 99

1 1

 



     

Q

Bµi 4.16: TÝnh

1 199

198 197

3 198

2 199

1 200

1

    

    