UBND huyện Châu Thành CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn thi : Toán Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian phát đề ) (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi) ĐỀ Bài 1: (2 điểm) Cho đa thức f(x) = 3 2 ax 2ax ax 4+ − − a) Xác đònh a để f(x) chia hết cho x – 1 b) Với a tìm được chứng minh f(x) chia hết cho 8, với mọi x nguyên lẻ Bài 2: (1 điểm) Chứng minh rằng : yxyx + ≥+ 411 với yx, ∀ >0 Bài 3: (3 điểm) = − + − − + − + − = − + 2 2 a) Tìm GTLN của 7 9 b) Tìm GTNN của = 16 66 c) Giải phương trình 7 9 16 66 A x x B x x x x x x Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A. Từ trung điểm K của cạnh BC kẻ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt tia AB tại D, cắt tia AC tại E. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng ED. a) Chứng minh rằng AI ⊥ BC. b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không? Tại sao? Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lần lượt lấy 2 điểm E và F. Sao cho AE CF BE DF = . Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC chia diện tích tứ giác ABCD thành hai phần bằng nhau. -----HẾT----- ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 Môn thi : Toán Bài 1: (2 điểm) a/ Vì f(x) chia hết cho x – 1 nên f(1) = 0. Do đó: 3 a.1 2a.1 a.1 4 0+ − − = Suy ra: a = 2. Vậy: f(x) = 3 2 2x 4x 2x 4+ − − b/ Ta có: f(x) = 3 2 2x 4x 2x 4+ − − = ( ) 3 2 2 x 2x x 2+ − − = ( ) ( ) 2 2 x x 2 x 2 + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 x 1+ − = + + − Vì x lẻ nên x -1 và x + 1 là 2 số chẵn liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8 Vậy: f(x) chia hết cho 8. Bài 2: (1 điểm) Xét hiệu : yxxy yx yxyx + − + = + − + 4411 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OyxO yxxy yx yxxy yxyx yxxy xyyx >∀≥ + − = + +− = + −+ , 24 2 22 2 Dấu = xảy ra x = y Bài 3: (3 điểm) ( ) ( ) ) Tìm giá trò lớn nhất của 7 9 2 2 2 ( 7)(9 ) 2 7 9 4 2 4 2 2 7 9 8 2 ) Tìm giá trò nhỏ nhất của 16 66 a A x x A x x x x A A Max A x x x b B x x B x = − + − = + − − ≤ + − + − = ≤ ⇒ ≤ ⇒ = ⇔ − = − ⇔ = = − + = − ( ) 2 8 2 2 2 8 0 8Min B x x + ≥ ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ( ) 2 ) Giải phương trình: -7 9 10 66 Ta có: vế trái 7 9 2 điều kiện: 7 x 9 2 vế phải 8 2 2 Theo đề bài nên 2 . Do đó 8 Vậy 8 thỏa mãn phương trình đ c x x x x A x x B x A B A B x x + − = − + = − + − ≤ ≤ ≤ = − + ≥ = = = = = ã cho. Bài 4 : (2đ) a/ Do ABC vuông ở A, K là trung điểm của BC nên suy ra : KB = KC = KA KAC cân ở K nên ˆ ˆ KAC KCA= (1) Mặt khác ADE vuông ở A, I là trung điểm của DE nên: ID = IE = IA; IAE cân nên ˆ ˆ IAE IEA= (2) Vì AK ⊥ DE nên 0 ˆ ˆ 90IEA KAE+ = (3) Từ (1), (2), và (3) 0 ˆ ˆ 90KCA IAE⇒ + = Do đó 0 ˆ 90AHC = hay AH ⊥ BC E H I K D B C A b/ Do AI ≥ AK hay 2 2 DE BC ≥ nên DE ≥ BC Vậy DE không thể nhỏ hơn BC . (ABC vuông cân thì DE = BC ) Bài 5: (2 điểm) Gọi D 1 , B 1 , E 1 , và F 1 lần lượt là hình chiếu của D, B, E, F trên AC. Xét : EE 1 I và FF I I. Ta có: EE 1 I = FF I I (c. huyền, góc nhọn) EE 1 = FF 1 (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 // (2) // (3) ⇒ = ⇒ = EE AE EE BB BB AB FF CF FF DD DD CD Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó từ (2) và (3) mà (theo (1)) 1 2 ABC ADC ABCD AE CF AE CF BE DF AE BE CF DF AE CF AB CD EE FF EE FF BB DD BB DD S S S ∆ ∆ = ⇒ = + + ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = . minh f(x) chia hết cho 8, với mọi x nguyên lẻ Bài 2: (1 điểm) Chứng minh rằng : yxyx + ≥+ 411 với yx, ∀ >0 Bài 3: (3 điểm) = − + − − + − + − = − + 2 2. 2 Theo đề bài nên 2 . Do đó 8 Vậy 8 thỏa mãn phương trình đ c x x x x A x x B x A B A B x x + − = − + = − + − ≤ ≤ ≤ = − + ≥ = = = = = ã cho. Bài 4 : (2đ)