Đề thi và đáp án khảo sát học sinh giỏi lần 1 trường THCS Phạm Công Bình môn: Toán 8

Rồi sau đó vào cùng một lúc, chúng lại đậu xuống các đỉnh của lục giác ( các con chim không nhất thiết đậu xuống vị trí cũ của mình ).. Chứng minh rằng tồn tại 3 con chim, sao cho tam g[r]

UBND HUYỆN YÊN LẠC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 2MƠN: TỐN 8 NĂM HỌC 2020 – 2021

(Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu (2,5 điểm) Cho biểu thức

2

2 2

2 2

2 8

x x x x

A

x x x x x x

    

     

     

 

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun c) Tìm m để 2x.A < mx – m thoả mãn với x > Câu (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2x2 12 6x3 3x

  

b) Đa thức f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, cịn chia cho (x + 1)(x + 2) thương 5x2 dư

Hỏi chia đa thức f(x) cho x – dư bao nhiêu? Câu (2,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên : y x 2 x2 3

  

b) Cho a b c b a c

b c a   a c b Tính giá trị biểu thức:    

2018 ( )( ) S a b b c c a a b c    

Câu (2,5 điểm)

1. Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, cắt tia BM H, cắt tia BA O

a) Chứng minh góc OHA khơng đổi

b) Chứng minh BM.BH + CM.CA không đổi

2. Cho tam giác ABC vuông cân B, L trung điểm cạnh BC P điểm cạnh CA cho BP vng góc với AL Biết CP= 2cm Tính độ dài cạnh AB

Câu (1,0 điểm)

Cho lục giác Tại đỉnh lục giác có chim đậu Vào lúc, tất chim bay lên khỏi vị trí Rồi sau vào lúc, chúng lại đậu xuống đỉnh lục giác ( các chim không thiết đậu xuống vị trí cũ của mình) Chứng minh tồn chim, cho tam giác tạo đỉnh mà chúng đậu trước bay lên tam giác tạo đỉnh mà chúng đậu xuống

-Hết -(Cán coi thi khơng giải thích thêm)

UBND HUYỆN YÊN LẠC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020 – 2021

(Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Lưu ý: Sau gợi ý cách giải dự kiến cho điểm tương ứng, thí sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa Câu học sinh không vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) khơng cho điểm Điểm tồn khơng làm trịn

Câu Nội dung cần đạt Điểm

1(2,5 điểm)

Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức

2

2 2

2 2

2 8

x x x x

A

x x x x x x

    

     

     

 

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên c) Tìm m để 2x.A < mx – m thoả mãn với x >2 a) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ Với điều kiện đó, ta có:

     

 

    

 

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2 8

1

2 2

2

2

2

2

2 4

x x x x

A

x x x x x x

x x

x x x

A

x x x x x

x

x x

x x x

A

x

x x x

                                                                                                

2 2 2

2

2

2

2

2 2

2 2 2 2

2 4 2

2 2

2

2

1

2 4

2

( 4)

2

( 4)

2

1

x x x x x x

A

x

x x x x

x x x x x x

A

x

x x

x x

x x x x x

A

x

x x

x x x x

A

x x x

x x x x

A

x x x

x A x                                                  

Vậy

2 x A

x



 với x ≠ 0, x ≠

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Để A có giá trị ngun x x



có giá trị nguyên 1 x

nguyên x

 có giá trị nguyên x  1;1 , (Thoả mãn ĐKXĐ)

Thử lại, Với x = -1 A = (thoả mãn) Với x = A = (thoả mãn) Vậy để A có giá trị ngun x  1;1

0,25

0,25

c) 2x.A < mx – m (1) Với x ≠ 0, x ≠

2 x A

x



 , khi (1) trở thành

2x x

x



< mx – m

 (m – )x > m + (2)

Để với x > thoả mãn (1) với x > thoả mãn (2) Xét m = (2) có dạng: 0.x > 2, vơ nghiệm (loại)

Xét m < (2) có nghiệm 1 m x

m  



TH không thoả mãn với x>2 (loại) Xét m > (2) có nghiệm

1

m x

m

 



Để (2) thoả mãn với x > ta phải có

 

2

1

2

2 1

0

1

1 2

3

0

3 m

m m m

m m

m m

m m

m m m

m m

  



  



 

  

 

  

 

 

 

  

  



(Hoặc : Với x > (1)

1

x m

x

 



Vì xx11 1 x213, x

  nên để

1

x m

x

 

 với x>2 mm3)

Vậy với m3 2x.A < mx – m thoả mãn với x >2

0,25

0,25

0,25

2(2,0 điểm)

Câu 2(2,0 điểm):

a) Giải phương trình: 2x2 12 6x3 3x

  

b) Đa thức f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thương 5x2 cịn dư Hỏi chia đa thức f(x) cho x – dư bao nhiêu?

 

   

   

   

   

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 ( 1)

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

  

    

    

    

    

Vì 2x2 +1 > với x nên  

1

( 1) 1

2

2

x x

x x

x x

   

 

     



  





Vậy tập nghiệm phương trình cho 1;1 S  

 

0,25

0,25

0,25

0,25 b) Vì (x + 1)(x + 2) đa thức bậc hai nên dư phép chia f(x) cho

(x + 1)(x + 2) có dạng ax+b

Ta có f(x)= (x +1)(x +2).5x2 + ax+b

Vì f(x) : (x+1) dư nên f(-1)=4 suy –a+b = (1) Vì f(x) : (x+2) dư nên f(-2)=1 suy –2a+b = (2) Từ (1)và (2) suy a=3 , b=7

Vậy

f(x) = (x + 1)(x + 2).5x2 + 3x+7 = 5x4+15x3+10x2+3x+7 Ta có f(1)= +15+10+3+7 = 40 Vậy f(x): (x-1) dư 40

0,25

0,25

0,25

0,25 3(2,0

điểm)

Câu 3(2,0 điểm):

a) Giải phương trình nghiệm nguyên : y x 2 x2 3

   (1)

b) Cho a b c b a c

b c a   a c b Tính giá trị biểu thức:

   ( )( )2018

S a b c b a c a b c    

a) Xét x = 2, pt(1) trở thành y.0 = 7, vô nghiệm Xét x≠2, từ (1) suy

2

x

y x

x x



   

 

Vì x, y số nguyên nên x – ước nguyên

 

 

2 7; 1;1;7

5;1;3;9

x x

    

  

Với x= - y = - Với x = y = -4 Với x =3 y = 12 Với x=9 y = 12

Vậy phương trình cho có nghiệm (x,y)=(- 5, - 4); (1, - 4); (3, 12); (9, 12)

0,25

0,25

0,25

0,25 b)Từ giả thiết suy ra:

     

 

2 2 2

2 2 2

2

a c ab bc b c a b ac

a c a b ac ab bc b c

( ) ( )( ( )

( )( )

( )( )

a c b a c b c b bc c b

c b a ac ab bc

c b a b a c

    

      

       

     

    

Do S a b c b a c a b c  ( )( )2018

      =0

0,25 0,25 0,25

4(2,5 điểm)

Câu 4(2,5 điểm):

1 Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, cắt tia BM H, cắt tia BA O

a) Chứng minh góc OHA khơng đổi

b) Chứng minh BM.BH + CM.CA không đổi

2 Cho tam giác ABC vuông cân B, L trung điểm cạnh BC P điểm cạnh CA cho BP vng góc với AL Biết CP=

cm Tính độ dài cạnh AB

a) Ta có BOHCOA(g.g) OH OA

OB OC

 

Suy OBC OHA (c.g.c)  OHA OBC (Không đổi)

0,5 0,5 b) Kẻ MK vng góc với BC K

Ta có BKMBHC (g.g) BM BK BM BH BC BK (1)

BC BH

   

CKMCAB (g.g) CM CK CM CA BC CK (2)

BC CA

   

Từ (1) (2) suy BM.BH + CM CA =BC(BK + CK) =BC2 , không đổi

0,25 0,25 0,25

Dựng hình vng ABCD Gọi M giao điểm BP CD O giao điểm AC BD

Chứng minh LAB=MBC (g.c.g)

Suy M trung điểm CD

Tam giác BCD có hai đường trung tuyến CO BM cắt P nên P trọng tâm BCD

Suy CP =2PO

Ta có AC =2(CP + PO) =3CP =3 2cm Theo định lí Py-ta-go ta có: AB2 +BC2 =AC2 Mà AB =BC nên 2AB2 =AC2

Suy AB=AC : 2=3 2: 2=3cm

Vậy AB =3cm

0,25

0,25

0,25

5(1,0 điểm)

Câu 5(1,0 điểm): Cho lục giác Tại đỉnh lục giác có chim đậu Vào lúc, tất chim bay lên khỏi vị trí Rồi sau vào lúc, chúng lại đậu xuống đỉnh lục giác ( chim không thiết đậu xuống vị trí cũ mình) Chứng minh tồn chim, cho tam giác tạo đỉnh mà chúng đậu trước bay lên tam giác tạo đỉnh mà chúng đậu xuống

- Gọi O tâm hình lục giác cho

- Dễ thấy tam giác mà tam giác có đỉnh đối xứng với qua O tam giác (1)

- Xét chim mà trước bay lên chúng đậu đỉnh gọi A B đối xứng với qua tâm O Xảy trường hợp sau:

 TH1: chim đậu xuống đỉnh đối xứng với qua tâm

O Ta chọn chim mà trước bay lên đậu đỉnh C (C khác A, C khác B) Theo (1), chim thoả mãn yêu cầu đề

 TH2: chim đậu đỉnh gọi A’ B’ không đối xứng

với qua O Lúc ta chọn chim thứ chim mà sau đậu xuống đậu đỉnh C’ đối xứng với A’(hoặc B’) qua tâm O Theo (1), chim thoả mãn yêu cầu đề

- Vậy tồn chim, cho tam giác tạo đỉnh mà chúng đậu trước bay lên tam giác tạo đỉnh mà chúng đậu xuống

0,25

0,25

0,25