Luyen thi

Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè a , ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt.[r]

Phần I : Đại số

Cỏc chuyên đề biến đổi biểu thức

Biến đổi biểu thức nguên

A Một số đẳng thức bản

 (a + b)2 =a2 + 2ab + b2

 (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

 (a1 + a2 + + an )2 = a12 + a22 + + an2 +

+ 2( a1a2 + + a1an + a2a3 + + a2an + + an-1an )

= a12 + a22 + + an2 +  

   1 2n i n i j j ia a

 xn - yn = (x - y)(xn-1 + xn-2y + + xyn-2 + yn-1 ) ; n nguyên dơng  x2k - y2k = (x + y)(x2k-1 - x2k-2y + x2k-3y2 - - y2k-1 ) ; k nguyªn d¬ng  x2k + 1 - y2k + 1 = (x + y)(x2k - x2k-1y + x2k-2y2 - + y2k ) ; k nguyên dơng ( x + y )3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

 ( x - y )3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

B B¶ng c¸c hƯ sè triĨn khai (x + y )n - Tam giác Pascan

Đỉnh

Dòng ( n = ) 1

Dßng ( n = )

Dßng ( n = ) 3

Dßng ( n = )

Dßng ( n =5 ) 10 10

I. VÝ dô

 VÝ dô 1 Chøng minh r»ng :

a b c a b c a b c b a c c a b abc

a) 3 3 2

                        ) ( ) 2 2 3 3 bcd acd abd abc c b a d d b a c d c a b d c b a d c b a d c b a b                                    c b a c b a a )3 b3 c3 abc

c

Gi¶i

a) Biến đổi vế trái ta có :

          

 

     

a b c b a c c a b abc c b a abc c c b a c b c a ab b a b c c b a c b a b a c b a c b a 3 3 a 3 2 3 3 2 2 3 2 3                                

VËy : a b c3 a3 b3 c3 3a2b c b2a c c2a b 6abc

            (đpcm) b) Chứng minh tơng tự câu a

c) Ta cã :

1

 

        

 

   2  2  2 2 2 3 3 ) ( c b a c b a ) ( 3 c a c b b a c b a bc ac ab c b a c b a ab c c b a b a abc b a ab c b a abc c b a                                   

Vậy điều kiện cần đủ để : a3b3c3 3abc - Hoặc a + b + c =

- Hc (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 =  a = b = c  Ví dụ 2 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)

b) a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b)

c) x3 - 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) : Gi¶i

             

    

   

 b ca c c b b a b a c b b a b a b a c c b b a b c b a b a c a c b c b a a                           b -a c -b ) ( c -b ) 2 2 2 2 2                               

 b ca ca b c c a b c a c a c b bc c b ab b a b a c b b a b a b a c c b b a b c b a b a c a c b c b a b                                     b -a b -a c -b ) ( c -b ) 2 2 3 3 3 3 3

c) Đặt S = a + b vµ P =

ab

Ta cã : a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = S2 - 2P ;

a3 + b3 =(a + b)3 -3ab(a + b) = S3 - 3SP

V× vËy

x3 - 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) = x3 - 3(S2 - 2P)x + 2(S3 -3SP)

= (x3 -3S2x + 2S3) + 6P(x -S)

=(x - S)(x2 + Sx - 2S2) + 6P(x -S)

=(x - S)( x2 + Sx - 2S2 +6P)

=(x - a - b)x2 + (a + b)x - 2(a2 + b2 - ab) II Bài tập

1 Phân tích đa thức thành nhân tử :

a x3 + 4x2 - 29x + 24

b x4 + 6x3 + 7x2 - 6x +

c 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x +1

d x8 + x4 +1

e x10 + x5 +

f x12 +

g x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x +

h (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3

i (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3

j (x2 - x + 2)2 + (x - 2)2

k (x + y + z )5 - x5 - y5 - z5

2 Đơn giản biểu thức

a (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (y + z - x)3 - (z + x - y)3

b ( + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)

3 Ba sè a , b , c thoả mÃn điều kiện

    14 0 2

2 b c

TÝnh A = a4 + b4 + c4

4 Hai sè a , b lần lợt thoả mÃn hệ thức sau

a3 -3a2 + 5a -17 = vµ b3 - 3b2 + 5b +11 =

H·y tÝnh a + b

5 Cho a3 - 3ab2 = 19 ; b3 -3a2b = 98 TÝnh P = a2 + b2

6 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = TÝnh a2 + b9 + c1945

7 Cho x + y + z = Chøng minh r»ng :

a 2(x5 + y5 + z5 ) = 5xyz(x2 + y2 + z5)

b x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2y2 )

c 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z5) (x5 + y5 + z5 )

8 Cho số a , b, c , d thoả mÃn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2

Chøng minh r»ng a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4

9 Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè a , b , c , d tho¶ m·n

a2 + b2 + (a - b)2 = c2 + d2 + (c - d)2

Th× a4 + b4 + (a - b)4 = c4 + d4 + (c - d)4

Biến đổi phân thức hữu tỷ

I.

VÝ dô :

 VÝ dô 1 : ba sè thùc khác không a , b , c thoả mÃn điều kiện a + b + c c

b a c b

a    

1

1

Chứng minh ba số a , b , c có hai số đối Từ suy số nguyên lẻ ,thì

n n n n n

n b c a b c

a      1

1

Gi¶i

Tacã:

2

1 1 1 1

( )

( )( ) ( ) ( )( )

a b a b

a b c a b c a b a b c c ab c a b c

a b ac bc c a b ab a b ac bc c ab

 

        

     

           

a -b (a b)(a c)(b c) b -c c -a

          



Vậy n lẻ

    

 

 

 

n n

n n

n n

a c

c b

b a

n n n n n

n b c a b c

a      1

1  VÝ dô 2 : Rót gän biĨu thøc :

     

 

    

 

 

    

 

 



b a b a b a b a b a b a

A 1

) (

6

1 ) (

3

1 ) (

1

5

2

3

Giải :

Đặt S = a + b P = ab

 a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = S2 - 2P

a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) = S3 - 3SP

VËy :

3

1 a b S

a b ab P



  

2 2

2 2 2

1 a b S 2P

a b a b P

     3 3 3 ) ( 1 P P S S b a b a b a     

  3 3

5 2 3 5 2 3 1 S ) ( ) ( S ) ( b a P P S SP P S SP P S S P P S S P P S S P P S S S A                 

 VÝ dô 3 Cho ba sè a , b , c phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x :

) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( c b a b c x a x c a b a c x b x b c a c b x a x x S            Giải :

Đặt P(x) = S(x) - đa thức có bậc không vợt mặt khác ta thấy : P(a) = P(b) = P(c) =

Tøc lµ a , b , c ba nghiệm phân biệt P(x) điều xảy khi đa thức P(x) đa thức không , tức P(x) = víi mäi x suy S(x) = VËy giá trị biểu thức S(x) không phụ thuộc vào giá trị x

II

Bµi tËp:

1 Rót gän biĨu thøc

                                                               1999 1000 1000 1000 1 1000 1000 1999 1999 1999 1 1999 A                                  2 ) ( 25 1 n

B , víi n ³

z xy x y z xy x y xy x y

C 2       2

Trong x >

5 25 15 25 z ; 25 10 25 2          x x x x x x x x y ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )(

( c a c b x c

c b x c b a b b a x c a b a a D k k k            

ứng với k = , , , a , b , c đôi khác

) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )(

( d a d b d c

d d c b c a c c d b c b a b b d a c a b a a E k k k k                

ứng với k = , , , a , b , c , d đôi khác

) ( ) ( a I 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 3 3 3 3 3 2 3 4                                               b a b a b b a a b a b a b a b a b a b a b a F

2 Cho ph©n thøc

1 2 2 3       n n n n n P

a H·y rót gän ph©n thøc trªn

b Chứng minh n số nguyên giá trị phân thức tìm đợc câu a n phân số tối giản

2 Cho số khác không a , b , c thoả mÃn điều kiện : a + b + c = Chøng minh r»ng :

2 2 1 1 1            c b a c b a

3 Cho ba sè thùc a , b , c tho¶ m·n

           2001 1 1 1 1 2001 c b a c b a

Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét ba sè a , b , c b»ng 2001 Cho a , b , c Ỵ R chøng minh r»ng

                  2 3 5

5 b c c a a b b c c a a b b c c a

b

a     

       

5 Cho số nguyên không âm k1 , k2 , ,kn (n số nguyên dơng ) thoả mÃn điều kiện : k1 +

k2 + + kn số lẻ Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè a1 , a2 , ,an thoả mẵn :

n n k a a k a a k a a 2         

th× a1 = a2 = = an

6 Cho ba sè kh¸c a , b , c

a Chứng minh k = , , ta có đẳng thức

) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )(

( k k k

k x b c b c a x b x a c a a b c x a x a c a b a c x b x a               

b Hằng đẳng thức cịn khơng thay k = ?

7 Cho ba sè a , b , c ba số khác

 

 a b

c a c b c b a Chøng minh r»ng

 2  2  2 0

   

 a b

c a c b c b a

8 Ba sè a , b , c khác khác thoả mÃn ®iỊu kiƯn a + b + c = Chøng minh r»ng

9                        a c b c b a b a c b a c a c b c b a Cho a ¹

a

a1 số nguyên Chứng minh với số nguyên n n n

a a  lµ mét sè nguyªn

10.a Cho a > b > , n ẻ N* So sánh hai số A vµ B :

n n n n b b a a a a a a A                                 2 2 b b b b B ; 1

b So s¸nh hai số C D ( có 10 chữ số sau dấu phẩy ) :

2 0000000000 , ) 0000000000 , ( 0000000000 , D ; 0000000000 , ) 0000000000 , ( 0000000000 , 2

2   



C

11 a Cho số a , b , c đôi phân biệt đặt :

Ỵ        

 ,k

) )( ( ) )( ( ) )(

( c a c b

c c b a b b c a b a a S k k k

k N

TÝnh S0 , S1 , S2 ,S3

b Cho ba số a , b , c đôi khác đặt :

) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( b c a c b c a c c c b a b c b a b b c a b a c a b a a

T k k k

TÝnh T0 , T1 , T2

12.Cho số khác không a , b , c Tính giá trị biểu thức

2003 2003

2003 y z

x

T   

BiÕt x , y , z tho¶ mÃn điều kiện

2 2 2 2 2

2 2

c z b y a x c b a

z y x

    

 

13.Cho c¸c sè a , b , c , x , y , z tho¶ m·n :     

 

 

 

by ax z

ax cz y

cz by x

BiÕt r»ng a , b , c kh¸c -1 TÝnh giá trị biểu thức sau : c

b a M

     

1 1

1

1

14.Cho x > thoả mÃn điều kiện 12

 

x

x Tính giá trị biểu thức :

5

x x

N  

Biến đổi biểu thức có chứa thức

I Một số kiến thức bản

1 Căn bậc hai

 Mỗi số dương a > có hai bậc hai hai số đối : a > gọi bậc

hai sè học hay bậc hai dơng a - a < bậc hai âm a

Số có bậc hai Số âm bậc hai

Quy ớc : sau , không nói thêm ta hiểu bậc hai số a > bậc hai dơng a

2 Căn bậc n ( n ẻ N , n )

a Định nghĩa : Căn bậc n ( n Ỵ N , n³ ) cđa mét sè a lµ mét sè thùc b (nÕu cã) cho bn = a

b Chó ý :

 Đối với bậc lẻ (n = 2k + 1): số có bậc hai lẻ có bậc hai lẻ Căn bậc hai lẻ số dơng số dơng , số số , số âm số âm Ký hiệu k 1a

 Đối với bậc hai chẵn (n = 2k) : số âm khơng có bậc hai chẵn số có bậc hai chẵn Số dơng có hai bậc hai chẵn hai số đối ký hiệu

k a

2 -2k a (trong 2k a ³ 0)

6

3 Một số phép biến đổi thức bản a Biến đổi thức bậc lẻ

2

2 2

k k

k k k

A A

AB A B

       2 2 2

, B

k k

k

k k k

A A

B B

A B A B

       ¹ 

b Biến đổi thức bậc chẵn

0 AB , 2 2 ³    k k k k k B A B A A A B , B 0, AB , 2 2 2 ³   ¹ ³  k k k k k k B A B A B A B A

Đẳng thức sau thờng đợc sử dụng phép biến đổi thức

0 A

, ³

mn

m n A A

c Chú ý : Trong biến đổi vừa nêu k , m , n số nguyên dơng

II Mét sè vÝ dô

 VÝ dô 1 Chøng minh r»ng

3 3 3 9 1

2   

Gi¶i :

Đặt 2a a3 = đẳng thức cần chứng minh

3

9

1 a a

a   

Ta cã = + = a3 + = (a + 1)(a2 - a + 1)

1 = - = a2 - = (a - 1)(a2 + a + 1)

Biến đổi vế trái ta có :

3 3 3 3 3 1 ) ( 3 3 ) ( 3 ) ( 9                     a a a a a a a a a a a a a VËy : 3

1 a a

a   

tøc lµ 3 3

9 9 1

2    (®pcm)

 VÝ dơ 2 Cho hai số dơng a b Chứng minh Giải 2 2

2 )( )

(

2 a b  a a b  b ab a b

Ta cã : 2( a 2 b2 -a)( a 2 b2 -b) = 2a2 + b2 - (a + b) a 2 b2 + ab

=(a2 + 2ab + b2 ) - 2(a + b) a 2 b2 + (a2 + b2)

=(a + b)2 -2(a + b) a 2 b2 + (a2 + b2)

=(a + b - a 2 b2 )2

Vì a , b dương nên (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 > a2 + b2

 a + b > a 2 b2

VËy: 2( a2 b2 a)( a2 b2 b) a b a2 b2

 VÝ dô 3 Chøng minh nÕu x ³y th×

2 2

2 y x x y

x x y x y

x        

Giải : Đặt Axy x y A vµ

) 2(x ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 y x y y x y x y x y x y x y x y x A                  

Tõ gi¶ thiÕt ta cã x2 ³ y2 nªn x2 y2 x2 y2

 

 VËy

A2 = 2(x2 + y2) + 2(x2 - y2) = 4x2

 A = 2x (1)

Như vËy víi mäi sè y mà x2 y2 số A không phụ thuéc vµo y vµ A = 2 x

Đặt z x2 y2

x2 ³ z2 vËy :

2 2

2 y x x y

x

x     = x (2)

Từ (1) , (2) cách đặt A suy :

2 2

2 y x x y

x x y x y

x        

 Ví dụ 4 Với k nguyên dương đặt :

  k k k

S  21  21

Chứng minh với số nguyên dơng m , n ( m > n) th× Sm + n + Sm - n =SmSn

Giải Đặt         1 2 1 2 x x

th× x1x2 =

Vậy với số nguyên dơng m , n ( m > n ) th× Sm + n + Sm - n = x1m + n + x2m + n + x1m - n + x2m - n

= x1m + n + x2m + n + x1nx2n(x1m - n + x2m - n )

= x1m + n + x2m + n + x1mx2n + x1nx2m

= (x1m + x2m)(x1n + x2n) = Sm Sn

VËy : Sm + n + Sm - n =SmSn (đpcm)

III Bài tập

1.Rót gän biĨu thøc :

2 30 13 90 53 160 13         B A 10 10

8    

 C 2 4 2 2 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 15 10 961 25 , 2 175 b a b a b a b a M a a a a a a a a F E D                          

2 Tính giá trị biểu thức sau:

3 6

6

6     



 a a a a

A víi a ³

2 2 2 2 2 2 100 99 1 1 1 99 , 99                 C B n n   

 

1 2

 

 x x

D Víi 

         

 3 1

4 513 23 513 23 x

3 a Cho  3 3

   

 x y y

x TÝnh E = x + y

b Cho 3

1 1    

x TÝnh F = x3 + 3x +

c TÝnh tæng N = a1 + a2 + + a99 Víi :

,99 1, n , ) (         n n n n

an

4 a Cho

1 2       x x x A

a.1) Tìm điều kiện x để A có nghĩa a.2) Rút gọn A

b Cho

x x B

  2 :

x x x x x   1

b.1) Tìm điều kiện x để B có nghĩa b.2) Rút gọn B

c Cho c¸c biĨu thøc

2     x x x

C vµ

2 2      x x x x

D

c.1) Rót gän C vµ D

c.2) Tìm giá trị x để C = D

d

2 1 2 9a 3a E            a a a a a

Cho Tìm a để E 1

5.Chứng minh đẳng thức :

a

2 1 3 1        

b 2 22  12

1

1      

     a a a a a a a a a

a víi a ³

c abc2 acbc  abc acbc        ³   c b a nÕu c b a nÕu c b a

Với a ,b , c ba số dơng

d 

           a -a 2 a 2 nÕu nÕu a a a a

e

27 847 27 847

3    

6 Chøng minh r»ng 41

2 2 2 2 2 2                 

( vế trái tử có n dấu , mẫu có n -1 dấu

7 a Cho a , b , c , d , A , B , C , D số dơng vµ Aa Bb Cc Dd Chøng minh

r»ng

) )(

(a b c d A B C D dD

cC bB

aA         

b Cho x2 3 x4y2  y23 x2y4 a, :3 x2 3 y2 3 a2

minh

Chøng

c Cho 2 3

3 3

:

1 1 1

1 ax by cz a b c

z y x

cz by ax

     

   

  

 

r»ng minh

Chøng

d Chøng minh r»ng nÕu a3 b3c 3 abc với số nguyên dơng lẻ n , ta

đều có : nanbn cn abc

8 a Chøng minh r»ng víi

8

a số sau sè nguyªn :

3

3

1

1

1  

   



 a a a a a a

x

b Chøng minh r»ng 3

27 125 27

125

3     



x , lµ mét số nguyên

c Cho A tập tập số thực R thoả mÃn : A É Z ,

A y , x ,

2 ẻA ẻ x + y xy ẻ A Chứng minh : 3ẻA

9 a Chứng minh phơng tr×nh x5 + x +1 = cã nghiƯm nhÊt lµ :

    

 

 

 



 3

2 621 25

2 621 25

1

x

b Chøng minh r»ng x0 = 2 2 3 nghiệm phơng tr×nh :

x4 - 16x2 + 32 =

c Chøng minh r»ng x3 94 5 3 9 4 5 là nghiệm phơng trình x3 - 3x -18 =

0 Từ tỡm x

10.a Chứng minh số hạng cña d·y sè a1 , a2 , , ak , víi

   

3

3

2 n n

n

a     số nguyên Tìm tất giá trị n để an chia

hÕt cho

b Chøng minh số hạng dÃy số d1 , d2 , , dk , víi

2

5

5

     

         

    

n n

n

d số tự nhiên Tìm tất giá trị n để dn số

chÝnh ph¬ng

Cỏc chuyờn v phng trỡnh

Phơng trình đa thức ẩn-Định lý viét

A Ph ơng trình đa thức ẩn

I. Kiến thức bản

1. ơng trình bậc ẩn :Ph

10

a Định nghĩa

Phơng trình Ax + B =

Trong x ẩn , A B số thực biểu thức có chứa tham số , đợc gọi ph-ương trình bậc n x

b Cách giải :

Nếu A phơng trình có nghiệm nhÊt lµ

A B

x

Nếu A = B = tập nghiệm phơng trình R Nếu a = B phơng trình v« nghiƯm

Chú ý : Nếu A B biểu thức cồng kềnh chứa nhiều tham số phải tinh ý xem phương trình cho có phải dạng bậc ẩn hay không

c VÝ dô :

Ví dụ 1 Giải phơng trình

55 56 57 58      

 x x x

x

(1)

1

: (1) 1 1

58 57 56 55

59 59 59 59

58 57 56 55

x x x x

x x x x

                                       Gi¶i   -59 x 59 x 55 56 57 58 59                x

Vậy phơng trình có nghiệm nhÊt lµ x = - 59

 VÝ dụ 2 Giải phơng trình

  ¹   ¹             1 a c b a ; o c , b , a : (2) c b a c b c b a x b x a c a x c b c x b a vµ Víi c b a x c b a b x c b a a x c b a c x c b a c b a x b x a c a x c b c x b a                                                     ) ( 4 1 ) ( : i Gi¶ c b a x x c b a c b a c b a x c b a                          0 1 ) (

Vậy phơng trình (2) có nghiệm x = abc

Ví dụ 3 Giải phơng trình :

0 1 c , b , a 1

2  ¹   ¹

             bc ac ab c b a ab c x ac b x bc a x vµ

víi (3)

1 1 1 a

: (3)

bc a bc

1 1 1 1 1

bc b c a

b c x

ac ab b c ac ab

a b c

x

ac ab c bc a ca b ab

 

1 1

bc

1 1 1

( )

bc ab

1 1

( ) ab

a b c a b c a b c x

ac ab bc ac ab

x a b c

ac ab ac bc

x a b c

ac bc x a b c

                                                      

 VÝ dô 4 Giải phơng trình :

0 1 i ¹                 a c c b b a c b a a c ca x c b bc x b a ab x

ví (4)

      ca bc ab ca bc ab x a c c b b a a c c b b a ca bc ab x a c c b b a a c ca bc ab c b ca bc ab b a ca bc ab x a c c b b a b a ab c a c ca b c b bc a x a c c b b a a c ca c b bc b a ab c b a x a c c b b a                                                                                                                                   x 1 1 1 1 1 1 1 (4) : i Gi¶

2 Ph ơng trình

bậc hai

a.Định nghĩa : Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng

ax2 + bx + c = ( a ¹ 0) (1)

Trong a , b , c số thực cho , x ẩn số b Công thức nghiệm phơng trình (1)

Biểu thức D = b2 - 4ac đợc gọi biệt thức phương trình (1)

Ta xét trờng hợp :

D < phơng trình (1) vô nghiệm

D = phơng trình (1) có nghiệm kép : x1 = x2 =

a b

2

D > phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt :

a b x a b x ; 2 D    D   

3 Mét số phơng trình quy phơng trình bậc hai

a .Ph ơng trình dạng : af2 (x) + bf(x) + c = , f(x) hàm số với biến số x

Đặc biệt f(x) = x2 phương trình ax4 + bx2 + c = đợc gọi phương trình trựng

phơng

a.1 Cách giải : Đặt t = f(x) chuyển phơng trình dạng

at2 + bt + c = Sau tìm đợc t , tìm x theo t

a.2VÝ dơ :

 VÝ dô 5 : Giải phơng trình :

x4 + 24x - 112 = (5)

Giải : Đặt t = x2 ³ , ta cã

(5)  t2 + 24t -112 =  t = -28 (loại) t =

Vi t = x = ± Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = -2 x =

b Ph ¬ng trình dạng: (x + a)4 +(x + b)4 = c

b.1 Cách giải : Đặt t =

2

b a

x  , đa dạng phơng trình trùng phơng ẩn t

b.2 VÝ dô :

 VÝ dô 6 : Giải phơng trình :

(x + 1)4 +(x + 5)4 = 40 (6)

Gi¶i : Đặt t = x + , ta có :

(6)  (t - 2)4 + (t + 2)4 = 40  t4 + 24t2 -4 = 0

 t =± 148  12

VËy x = ± 148  12 -

c

.Phơng trình có dạng :(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (*), víi a + b =c + d

c.1 Cách giải : Đặt t = x2 + (a + b)x + e , e số thực đợc chọn thích hợp

c.2 VÝ dụ :

Ví dụ : Giải phơng tr×nh :

(x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) = 112 (7)

Gi¶i:

  

    

 4 10 112 (7) 112 ) (

2     

       x x x x x x x x 11 121 x t 2 ±           t a x t 112 3) 3)(t -(t (7) : có t ặt Đ

+)NÕu t = -11 th× x2 +3x -7 = -11 x2 +3x + = ,v« nghiƯm

+) NÕu t = 11 th× x2 +3x -7 = 11 x2 +3x -18 =

x=-6 x=3 Vậy phơưng trình cho có hai nghiệm x = -6 x =

c.3 Chú ý : Một số phơng trình dạng tơng tự phơng trình (*) giải đợc

theo cách

Ví dụ 8 : Giải phơng trình

(4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = (8)

                                       t 2) 1)(t -(t (8) : ta 11 12 t : 11 12 11 12 4 1 12 ) ( : 2 2 t t t x x x x x x x x x x có ặt Đ i Giả

+) Với t = -3 th× 12x2 + 11x + = , phơng trình vô nghiệm.

+) Với t = th× 12x2 + 11x - =

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 =

24 217 11 

 vµ x

2 =

24 217 11

d Ph ơng trình có d¹ng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = , víi

2

d b a e

* Đặc biệt

  

±  

' d

b a e

Ta cã phư¬ng tr×nh :

ax4 + bx3 + cx2 ± bx + d + a = ,

Phương trình thờng đợc gọi phươngtrình bậc bốn có h s i xng

d.1 Cách giải : Thư trùc tiÕp víi x = , nÕu x chia hai vế phơng trình cho x2

và đặt

bx d x

t , đa phơng trình bậc hai Èn t

d.2 VÝ dô :

Ví dụ : Giải phơng trình :

2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50x = (9)

Gi¶i :

Với x = khơng phải nghiệm phương trình cho Chia hai vế ph-ương trình (9) cho x2 ta có :

2

2

2

2

2

1 (9) 21 74 105 50

25

21 74

5 25

t 10

9 10) 21 74 21 54

x x

x x

x x

x x

x a x

x x

t

t t t

t

     

   

       

   

     

         

Đặt t

2

t cã VËy

(9) 2(t

+) Víi

2 

t th×

   

    

2 2 5 2 9 5

x x x x

+) Víi t = th× 

 

    

5 1 6 5

x x x x

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm : x =1 ; x = 2; x = ;

2

x 4 Ph ơng trình bậc ba

a. Ph ơng trình bậc ba phơng trình dạng : ax3 + bx2 + cx + d = (a ¹ 0) (1)

Trong a , b , c số thực cho , x ẩn số

b. Cách giải : phương trình bậc ba tổng qt đợc nhà tốn học Cácđanơ tìm , nhiên cơng thức nghiệm q phức tạp nên khơng trình bày Trong chương trình THCS , phơng trình (1) thờng đợc giải dựa vào nhẩm đốn nghiệm phơng trình Ta ý a + b + c + d = x = nghiệm phơng trình (1) , cịn a - b + c - d = x = -1 nghiệm phơng trình (1) từ suy nghiệm cịn lại

c. VÝ dơ

 VÝ dơ 10 : Gi¶i phơng trình 2x3 + 5x2 + 2x - = (10)

Giải : Vì + + - = nªn x0 = nghiệm phơng trình (10) Ta

phõn tích vế trái (10) thành tích nhân tử , có nhân tử x -1 , ta có :

(10)  (2x3 - 2x2) + (7x2 -7x) + (9x - 9) = 0

 2x2(x - 1) +7x(x - 1) + 9(x - 1) = 0

 (x - 1)(2x2 + 7x + 9) =

       nghiƯm V« , 2 x x x

Vậy nghiệm phơng trình (10) cã nghiÖm nhÊt x =

II Bài tập

1 Giải phơng trình : a 2001 2002 2003 2004      

 x x x

x b ) ( 2    x x

x

c ) ( 1 2    x

x

d

) ( ) ( ) ( ) ( 2 2          x x x x x x e 2 12                     x x x x x x .

f

1 ) ( 3       x x x x

x

g 84 126 36 36 126 84 9 84 126 36 36 126 84 8 8                     a a a a a a a a x x x x x x x x x a

2 Gi¶i phơng trình :

a x4 - 4x3 + 3x2 + 8x -10 = 0.

b 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = 0.

c x4 - 2x3 - 6x2 +16x - = 0.

d x4 + x2 + 4x - =

e x4 - 3x2 - 10x - =

f x3 + 7x2 + 7x + =

g x3 + x2 + x = 

h (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = i (1 + x)2 +(x + 2)3 + (x + 3)4 =

j (1 + x)4 = 2(1 + x4)

k (x + 3)4 + (x + 5)4 =

l (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x +

m x4 + (x - 1)(x2 - 2x + 2) =

n 2000(2001 - 2000x2)2 = 2001 - x.

3 a Tìm a cho phơng trình sau có nghiệm nghiệm dơng

2

2

   



a a a x

ax

b Tìm m để phơng trình (3m -1)x + m = 2x + có nghiệm với giá trị m c Tìm m để phơng trình

1

1 

   

x x x

m x

cã nghiÖm nhÊt

b Tìm m để phơng trình (m2 - m)x = m - có nghiệm

c Tìm a để phơng trình sau có nghiệm :

0 14

5

3 ) (

2

2

 



    

x x

a a x a

x

d Tìm tất số nguyên dơng p > cho phơng trình sau cã nghiÖm nhÊt :

0 1 1

2

     

 

   

 x

p p px

x

4 Giải phơng trình :

x

x

n



       

  

 

  

 



1

1

1

1

b Định lý Viét

I Kiến thức bản

1. nh lý viột i vi ph ng trỡnh bc hai

a Định nghĩa thuận : Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c =0 (a ¹ 0) cã hai

nghiƯm x1 , x2 th×

a c x a

b x

x1 2  vµ x1 2 

b Định lý đả o :Cho hai số a , b Khi chúng nghiệm phơng trình x2 +

Sx + P = , S = a + b ; P = a b

c ý nghĩa định lý Viéet

+ Cho phép nhẩm nghiệm trờng hợp đơn giản

+ Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm dấu nghiệm mà không cần giải phơng trình

d VÝ dơ

 VÝ dơ : Cho phơng trình x2 + px + = vµ x2 + qx + = có nghiệm

lần lợt a , b vµ c , d Chøng minh r»ng : (b - a)(b - c) = pq -

Gi¶i :

Theo hƯ thøc ViÐt ta cã :

  

  

 

 

2bc -qcb 1 và

ab pb a

Nên (b - a)(b - c) = b2 - (a + c)b + ac = b2 + (a +c)b + ac -2(a +c)b

= (b + a)(b + c) - 2(ab + bc) = (-p)(-q) - 2( 1+ 2) = pq - VËy (b - a)(b - c) = pq -

 VÝ dô : Cho m phơng trình mx2 + px + q = (1) cã hai nghiÖn d¬ng x

1 ,

x2 Chøng minh :

a Phơng trình qx2+ px + m = (2) cịng cã hai nghiƯm d¬ng x 3,x4

b x1 + x2 + x3 + x4 ³ Giải :

a Phơng trình (1) có hai nghiệm dơng x1 , x2 nên

      

  

    

³   D

    

 

   ³ D

0 0 0 4

0 0 0

21

2 1

2

21

2 1

m q xx P

m p xx S

mp p

xx P

xx S tứclà

Để ý phơng tr×nh (2) cã D2 = p2 - 4mp = D1 nên phơng trình (2) có

hai nghiệm x3 , x4

Mặt khác 2 q m

P nên x3 và x4 dÊu , v× 2    0 q m m

p q

p

S nên x3 và x4

cùng dấu dơng

b Ta cã : x1 + x2 + x3 + x4 q

p m

p   



áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dơng mpqp , ta có

mq p mq

pm m

p mq

pm m

p q

p m

p

                 ³       

2

2

Mặt khác

1   ³

D p mp nªn p2 ³ 4mq 4 0

q m

q , suy ra

mq p

 ³

V× thÕ   ³2 ³4 ,hay x1x2x3 x4 ³4

mq p q

p m

p

Đẳng thức xảy              m p qm mq p q p m p 2 4 2

2 Định lý Vié t ph ơng trình bậc cao

a Định lý thuận : Nếu phơng trình bậc n :

anxn + an-1xn-1 + +a1x + a0 = , (an ¹ 0)

Cã n nghiƯm x1 , x2 , , xn (c¸c nghiệm không thiết phân biệt ) ta có hÖ

thøc ViÐt sau :

1

1

2 2 1 2                                            n

k an

k n a k ) ( k i i i i i

i x x x

a a x x x x x x x x x x a a x x x n n n n n n n n ) ( a a x x x n

n  

                                   

b Định lý đảo : Cho n số thực tuỳ ý a1 , a2 , , an , đặt

1 2 1

1

n n k n n n S i i i S S S n

k i i ik

a a a a a a a a a a a a a                                                  

Th× a1 , a2 , , an nghiệm phơng trình :

xn - S

1xn-1+S2xn-2 - + (-1)kSkxn - k + + (-1)Sn =

Chẳng hạn định lý Viét cho phơng trình bậc ba phát biểu nh sau : Nếu : x1 , x2 , x3 nghiệm phơng trình bậc ba :

ax3 + bx2 + cx + d =

Th× : 1 3 2 a d x x x a c x x x x x x a b x x x         

c VÝ dô

 VÝ dơ : Gäi x1 , x2 , x3 lµ ba nghiệm phơng trình :

x3 + px + q = p , q Ỵ R

Chøng minh r»ng x13 + x23 + x33 = 3x1x2x3 Gi¶i :

Theo hƯ thức Viét cho phơng trình bậc ba ta có x1 + x2 + x3 =

V× x13 + x23 + x33 - 3x1x2x3

= (x1 + x2 + x3)( x12 + x22 + x32 - x1x2 - x2x3 -x3x1)

Nªn x13 + x23 + x33 - 3x1x2x3 =

Suy x13 + x23 + x33 = 3x1x2x3

 VÝ dụ : Giải phơng trình x3 + px2 + qx + r = , biết nghiƯm x

1 ,

x2 , x3 cđa phơng trình có mối liên hệ x1 = x2 + x3 Giải : Theo hệ thức Viét cho phơng trình bËc ba th×

(3)

(2)

(1)

3

1 3 2

3

r x x x

q x x x x x x

p x

x x

 

 



   

V× x1 = x2 + x3 nªn tõ (1) suy x1 =

p

 nh vËy th×

2

3

p x

x  

Theo (2) th×

4 )

( 2 3

1

2

p q x x x q x

x      V× vËy x2 , x3 hai nghiệm phơng

trình :

0

2

    pX q p

X

Chó ý r»ng phơng trình có nghiệm :

2

2

16

4 4

4 q q p

p p

q p

  ³      

 

D

Chẳng hạn p = , q = th× x2 , x3 lµ hai nghiƯm cđa pt :

X2 + 2X - =

Nªn

  

  

 

 

1 3 3 1

3 2 3 2

x x x x

hc , suy x1 = x2 + x3 = -2

II Bài tập

1.Giả sử x1 , x2 nghiệm phơng trình x2 + px - = víi p lµ sè nguyên lẻ Chứng minh

rằng : với số tự nhiên n tuỳ ý , số Sn= x1n + x2n Sn+1= x1n+1 + x2n+1 số nguyên

số nguyên tố

2 Tìm tất số tự nhiên m , n cho nghiệm phơng trình x2 - m(n + 1)x + m + n + = số tự nhiên

3 Cho x1 , x2 nghiệm phơng trình x2 - 6x + = Chøng minh r»ng : víi sè tù nhiªn n

t ý sè Sn= x1n + x2n số nguyên không béi cña

4 Chøng minh r»ng nÕu a1a2 ³ 2(b1 + b2) th× Ýt nhÊt mét hai phơng trình sau có nghiệm : x2

+ a1x + b1 = (1) vµ x2 + a2x + b2 = (2)

5 Chøng minh ba phơng trình sau có phơng trình có nghiệm :

x2 + 2ax + bc = 0 (1)

x2 + 2bx + ca = 0 (2)

x2 + 2cx + ab = 0 (3)

6 Cho x1 , x2 lµ hai nghiệm phơng trình x2 - ax + =

a H·y tÝnh S7 = x17 + x27 theo a

b Tìm đa thức bậc có hệ số nguyên nhận 7

2 5

 

a lµ nghiƯm

7 Ch a , b hai số dơng Biết phơng trình x3 - x2 + 3ax - b = cã ba nghiệm (không nhất

thiết phân biệt ) Chøng minh r»ng 3 27 28

3

³

 b

b a

8 Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác , a > b ³ c Xác định tất giá trị x > cho a + x , b + x , c + x , độ dài ba cạnh tam giác vuông

9 Chứng minh : phơng trình x2 + px + q = cã mét nghiƯm gÊp k lÇn nghiệm của

phơng trình x2 + mx + n = hệ số m , n , p , q tho¶ m·n hƯ thøc (q - k2n)2 - k(p - km)

(knp - qm) =

10 Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình ax2 + bx + c = (ac 0) có hai nghiệm

trong có nghiệm gấp k lần nghiệm (k 1) kb2= (k + 1)2ac.

11 Trong cặp nghiệm phơng trình x2 - yx2 - y + 8x + = , h·y t×m cặp nghiệm (x , y)

mà y có giá trị lớn

12 Với giá trị nguyên a , b phơng trình x2 + ax - b = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x , x2

tho¶ m·n -2 < x1 < -1 vµ < x2 <

13 Chøng minh r»ng nÕu a , b , c số nguyên lẻ phơng trình ax2 +bx +c=0 không có

nghiệm hữu tỷ

14 Cho p abc số nguyên tố có ba chữ số Chứng minh phơng trình

ax2 + bx + c = nghiệm hữu tỷ

15 Cho phơng trình ax2 - bx + b = (ab > 0) cã c¸c nghiƯm lµ x

1 , x2 Chøng minh r»ng tồn

các số a1 , a2 ẻ { -1 , } cho :

0

2 2

 



a b x

x x

x

a

a

16 Cho phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = (a 0) có ba nghiệm dơng x

1 , x2 , x3 Chøng minh

r»ng : x17 + x27 + x37 5

2

81a

c b

³

17 Chøng minh với số thực a , phơng trình bËc ba x3 - x2 + 18ax - 2a = có

ba nghiệm dơng phân biệt

18 Giải phơng trình bậc ba x3 + px2 + qx + r = biÕt r»ng nghiệm x

1 , x2 ,x3 nã cã

mèi liªn hƯ x12 = x2x3

Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

I Kiến thức bản

1 Dạng bản

20

-G(x) F(x) hc hc         ³     ³   )( )( )( F(x) )( )( 0 )( )( )( 0 )( )( )( xG xF x G x G xF xG x G xF xG x G xF

Chú ý : giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối , ngời ta hay sử dụng phơng pháp

chia khoảng phơng pháp hàm số

2 Mét sè vÝ dô :

 VÝ dô : Giải phơng trình 2x 2x1 4 (1) Gi¶i :

 NÕu

2 ³

x th× 2x-1 2x 1; 2x1 2x1

(1)  2x - + 2x + =  4x =  x = , thoả mÃn đk Nếu 2 

 x th× 2x-1 1 2x; 2x1 2x1

(1)  - 2x + 2x + =  0x = , v«nghiƯm  NÕu

2  

x th× 2x-11 2x; 2x12x

(1)  - 2x - 2x - =  -4x =  x= -1, thoả mãn đk Vậy phơng trình cho có hai nghiệm x = -1 x =

 VÝ dô : Giải phơng trình :

  

x x x

x (1)

Gi¶i : (1)

             ) (1" 1 7 5 ) (1' 1 7 5 2 2 x x x x x x x x                  13 13 4x ) (1' x x x                 2 2 x ) (1" x x x

Vậy phơng trình (1) có bốn nghiÖm :

4 13 ; 22 ; 13 ; 22 4           

 x x x

x

Ví dụ : Giải phơng trình 5 2 10 11 (3)

    

 x x x

x

Gi¶i : (3) 5 2( 5)       

x x x x

Đặt t = x2 - 5x + ta cã : (3) t 2t 1.

Vì vế trái không âm nên vế phải không âm , tức -2t - hay

1

t t

t   

VËy (3)  -t = -2t -1  t= -1 , tho¶ m·n ®iỊu kiƯn

2  

t

Do 

             5 2 x x x x x x

Vậy phơng trình có hai nghiƯm x = vµ x =

II Bài tập :

3. Giải phơng trình :

3 2 -x d -x c 1 -x x b 4               x x x x x x a x -1 l 1 x k x g 2 2x -3 f -x e 2 2 x x x x x x x x x x                   

4. Giải phơng trình :

1 x d 3 x c 3x -2 b -3x 2              x x x x a ) ( 1 x g x f 2x -7 2             x x x x x x x e

5. Víi gi¸ trị tham số a , phơng trình sau cã nghiÖm nhÊt

1 -x b a x x a x a       

6. BiÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm phơng trình x1 x2 m

Phơng trình vô tỷ

I Kiến thức bản

1 Ph ơng trình vô tỷ bản

     ³   k k xg xf xg xg xf 2 )( )( 0) ( )( )(      ³ ³   )( )( )0 )( (0 )( )( )( 2 xg xf xg xf xg xf k k hc 22

 2 1  2 ) ( ) ( ) ( ) ( 

    k

k f x g x f x g x

(Trong c¸c biểu thức , k số nguyên dơng )

Chú ý : Nếu gặp dạng không , phải đặt điều kiện cho thức bậc chẵn có

nghĩa , biến đổi để đa dạng

2 Mét sè vÝ dụ

Ví dụ 1: Giải phơng trình : 2x1 x 34 (1)

Giải : Điều kiện để thức có nghĩa x ³ (*) (1)  2x1x 32 (2x1)(x 3) 16 (2x1)(x 3) 3(x 6)

Vế phải không âm vế trái khơng âm x  (**) a  x2 - 88x + 336 =

      (**) (*) 84 x (**) (*) mÃn thoả không mÃn thoả x

Vậy phơng trình có nghiệm lµ x =

Chú ý: Nếu phơng trình có chứa thức bậc chẵn ta đợc nâng lên luỹ thừa

bËc ch½n hai vế phơng trình hai phơng trình không âm Ví dụ : Giải phơng trình 2x2 8x6 x2 12x2 (2)

Giải :

Điều kiện để thức phơng trình (2) có nghĩa x ³ -1 (*) (2)  2(x1)(x3) (x1)x1) 2(x1) (2’)

 x = -1 nghiệm phơng trình (2) Nếu x -1 tức x + > :

(2’)  2(x3)  x 12 x1 (2")

Điều kiện để thức phơng trình (2”) có nghĩa x ³ (**)

) ' (2" ) )( ( 2 ) ( ) )( ( 2 ) ( ) " (               x x x x x x x x

 x = lµ nghiƯm phơng trình (2) Nếu x tức x > :

1 x 25 -x 25 7x ) ( ) ( 2 ) ' " (               do x x x x nghiƯm v«

Vậy phơng trình cho có hai nghiệm x = -1 x =

Chú ý : Nhiều phơng trình vơ tỷ giải ngắn gọn phơng pháp ỏnh giỏ

Ví dụ 3 : Giải phơng tr×nh 3 3

    

 x x

x

Gi¶i :

 Ta cã x = -2 nghiệm phơng trình

Nếu x < -2 th×

             1 3 0 2 1 1 3 x x x

nªn 3 3

    

 x x

x

 NÕu x > -2 th×              1 3 0 2 1 1 3 x x x

nªn 3 3

    

 x x

x

Vậy phơng trình cho có nghiệm x = -2

Chó ý : Nhiều phơng pháp nhân liên hợp tỏ hiệu giải phơng

trình vô tû

 Ví dụ 4 : Giải phơng trình : 4x1 3x 2x53 (4) Giải : Điều kiện để thức phơng trình (4) có nghĩa x ³

3 ) (4' 3 3 ) ( ) ( ) (                      x x x x x x x x x x x

Khi x ³ 32 hàm số f(x) = 4x1 3x đồng biến f(2) =5 nên phơng trình (4’) có nghiệm x = , nghiệm phơng trình cho

Chú ý : giải phơng trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ chuyển phơng

trình đại số hệ phơng trình đại số đơn giản dễ giải hn

Ví dụ : Giải phơng tr×nh : 97 15

  

 x x (5)

Gi¶i :

Đặt u4 97 x, v4 x15 th× u ³ , v ³ , u4 + v4 = 82

         ³  (2) 82 (1) 4 0 , )5( 4 v u v u v u

Tõ (1) v = - u,thay v = - u vµo (2) ta có : u4+(4 - u)4=82 (2)

Đặt t = u - ta cã :

(2’)  (t + 2)4 + (t - 2)4 = 82

 t4 + 24t2 - 25 =  t2 =

                            16 96 1 3 1 3 1 1 x x v u t v u t

II Bµi tËp

1 Với giá trị x đẳng thức sau :

2 -2x x 1 -2x x 2 -2x x                x x c x x b x x a

2 Giải phơng trình sau :

2

1

2 x

8 a x x b x    

x 4

x(x 1) ( 2) (

c x x x

d x x x x

         x k x x x g x x f x e n                                  

 x x x 3x

x 4 40 x 4 21 11 2x x 3 2

3 Giải phơng trình sau :

2 5

x x-1 x x-1 x x-1 x x-1 ( x ) ( x ) 123

x-1 ( 1)( 3) x

a x

b

c x x

d x x x x

e x x x

                              

3

4

2x 3 2 16

x

1- x

1

x-2 2003 2004 ( )

2

f x x x x

g x x x

h x x

k y z x y z

       

     

  

      

  x x

q x x x x p x x x n z y m x x x l                                    2 1 -x ) ( ) ( x 3x 3x x -3 3x -x z y x 9027 190 96 94 -x 2 2 2

4 Giải biện luận phơng trình :

vµ p sè tham lµ p x

f

sè tham lµ c , b , a

e

sè tham lµ a

4 a vµ sè tham lµ a x

c

sè tham lµ a (x

b

sè tham lµ a

2 n

2

 

  

 

   

    

  

     

  



 

,

2

, ,

3 x x d

,

16 16

1

, )

6

, x a -a

2

2

2 2

p px p

p px

c x b x

x a a

x a

a x

x a a ax

a ax x

x

x a

n n

Hệ Phơng trình

Hệ Phơng trình hữu tỷ

III Kiến thức bản

7. Hệ ph ơng trình đối xứng loại một

a Định nghĩa : Một hệ phơng trình hai ẩn x , y đợc gọi hệ phơng trình đối xứng loại phơng trình hệ cho đối xứng với hai ẩn x , y (nghĩa phơng trình hệ khơng thay đổi ta đổi vai trò x , y cho )

b TÝnh chÊt : NÕu (x0 , y0) nghiệm hệ (y0 , x0) nghiệm

hệ

c Cách giải th ờng dùng : Đặt S = x+y , P = xy , víi S2 ³ 4P

d Ví dụ : Giải hệ phơng trình :

  

   

  

28 ) (3

11

2

2 y x y

x

xy y x

(I)

Giải : Đặt

  

  

xy P

y x S

ta cã :

56

                            -10S 5 11 050 5 11 283) 11(2 11 283 2 11 )( 2 2 2 hc S SP SS SP SS S SP SP S PS I

 NÕu S = th× P = nên x , y cá nghiệm phơng tr×nh :

               2) ; 3( ) ; ( )3 ; 2( ) ; ( y x y x t t t t

 NÕu S = -10 P = 21 nên x , y cá nghiệm phơng trình :

               7) - ; ( ) , ( )3 - ; ( ) , ( 21 10 y x y x t t t t

Vậy hệ phơng trình cã nghiƯm :

(x ; y) Ỵ {(2 ; 3) ; (3 ; 2) ; (-7 ; -3) ; (-3 ; -7)}

8. Hệ ph ơng trình đối xứng loại hai

a Định nghĩa : Một hệ phơng trình hai ẩn x , y đợc gọi hệ phơng trình đối xứng loại hai hệ phơng trình ta đổi vai trị x y cho phơng trình trở thành phơng trình

b TÝnh ChÊt : NÕu (x0 , y0) nghiệm hệ (y0 , x0) cịng lµ nghiƯm cđa

hƯ

c Cách giải thờng dùng : trừ vế tơng ứng hai phơng trình nhận đợc phơng trình tích dạng :

(x - y)f(x , y) = hc f(x , y) = d Ví dụ : giải hệ phơng trình

       (2) 2 1 (1) 2 1 3 x y y x (II) Gi¶i :

Trõ vế phơng trình (1) cho phơng trình (2) ta cã : x3 - y3 = 2(y - x)  (x - y)(x2 + xy + y2 + 2) =

 x - y =  x = y

( v× x2 + xy + y2 + = 2 0

4 2         

 y y

x víi giá trị x , y )

Thay y = x vào phơng trình (1) ta cã :

x3 - 2x + =  (x - 1)(x2 + x - 1) = 

                5 1 x x x

Vậy hệ phơng trình cho có ba nghiệm : (x ; y)  

                                Î ; ; ; ; ;

9. Hệ ph ơng trình đẳng cấp :

Đa thức hai biến x , y có dạng :

P(x , y) = anxn + an-1xn-1y + an-2xn-2y2 + + a2x2yn-2 + a1xyn-1 +a0yn-1 , nlà số tự

nhiên , a0 , a1 , , an số thực không đồng thời không , đợc gọi đa thức

đẳng cấp bậc n

a Định nghĩa : Hệ phơng trình đẳng cấp hệ có dạng

     ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 y x f y x g y x g y x f

Trong f1(x , y) f2(x , y) hai đa thức đẳng cấp bậc ; g1(x,y) g2(x , y) hai đa

thức đẳng cấp bậc

Ta thờng gặp hệ phơng trình vế trái đẳng cấp bậc hai dạng :

          2 2 2 1 d y c xy b x a d y c xy b x a

và hệ phơng trình vế trái đẳng cấp bậc ba dạng :

            2 2 2 2 e y d xy c y x b x a e y d xy c y x b x a

10. Cách giải th ờng gặp :

 Trêng hỵp y = ta xÐt trùc tiÕp

 Nếu y ta đặt ẩn phụ t yx ta nhận đợc hệ phơng trình (ẩn t

và y ) tơng đối đơn giản dễ giải

 Ta khử y giải phơng trình ẩn t , tìm y x theo t biết

Chú ý : Có thể xét trực tiếp x = , x đặt t = x y

giải tơng tự cách

b Ví dụ 3 Giải hệ phơng trình :

Nếu y = th× tõ (1) suy x2 = , cßn tõ (2) suy x2 = ,

tr-ờng hợp vô nghiệm

 Nếu y đặt x = ty , thay vào phơng trình (2) ta có : y2(2t2 - 13t + 15) =  2t2 - 13t + 15 =

       t t

o Nếu t = x = 5y thay vào phơng trình (1) ta có :

2 2 2            y y

y

         2 2 x x

o NÕu t = 23 th× x =

2

y , thay vào phơng trình (1) ta cã : 2         y y

y 

     3 x x Vậy hệ phơng trình cho có bốn nghiệm :

(x ; y)    

                             

Ỵ ; 3;2; 3;

2 ; 2 ; 2 ; 2

11. Mét sè hÖ ph ơng trình dạng khác

a Ví dụ : Giải hệ phơng trình theo tham số a , b , c , d :

                   d z y x c u y x b u z x a u z y

Gi¶i : Céng vÕ theo vÕ cđa c¶ bốn phơng trình ta có : x + y + z + u =

3

(a + b + c + d)

Lấy phơng trình trừ vế theo vế cho phơng trình thứ x =

3

(-2a + b + c + d) Tơng tự ta tính đợc

y =

3

(a -2 b + c + d) z =

3

(a + b - 2c + d) u =

3

(a + b + c - 2d) b Ví dụ : Giải hệ phơng tr×nh

                    c b a bz ay cx c b a az cy bx c b a cz by ax

Với a , b , c không đồng thời không a + b + c

Giải : Đặt X = x - , Y = y - , Z = z - hệ cho trở thành :

              0 0 0 bZ aY cX aZ cY bX cZ bY aX

Cộng vế theo vế ba phơng trình , chia cho a + b + c ¹ ta cã : X + Y + Z =

Thay Z = -(X + Y) vào hai phơng trình đầu hệ ta có :

          0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( Y a c X a b Y c b X c a

Nhân hai vế phơng trình đầu với (a - c) hai vế phơng trình thø hai víi (b - c) , råi céng vÕ theo vÕ ta cã :

( a - c)2 + (b - a)(b - c) X = (1).

Mµ : ( a - c)2 + (b - a)(b - c) = a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc

=       

2

1 2

    

 b b c c a

a

Nªn (1)  X =

Tính tốn tơng tự Y = , suy Z = Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm : x = y = z =

IV Bài tập

12. Giải hệ phơng trình sau :

                  3 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2a c)x (b -b)z (a a)y (c ) c z b a y a c x c b b y a c x c b z b a a

biÕt a + b ¹ , b + c ¹ , c + a ¹               b-a cz -y) b)(x (a a-c by -x) a)(z (c c-b ax -z) c)(y (b ) b

biÕt a + b + c ¹

13. Cho (x , y) nghiệm hệ phơng trình :

        3 2 1 2 2

2 y a a

x

a y x

Xác định a để tích xy đạt giá trị nhỏ , tìm giá trị nhỏ

14. Cho hƯ ph¬ng tr×nh :

         m xy y x m xy y x 2 1

a) Gi¶i hƯ víi m = -2

b) Tìm tất giá trị m để hệ có nghiệm (x , y) với x < y <

15. Gi¶i hƯ : xi2 = 2002xi+1 + , víi mäi i = , , , 2002(Qui íc x2003=x1)

16. Tìm bốn số thực x1 , x2 , x3 , x4 cho số cộng với tích số cịn lại u

bằng

17. Giải hệ phơng trình sau :

2 3 2 2 2

2 2

2 x ) )

2 x 3

xy x y 19 10

) d)

4 x 84

x 65

) )

x xy y ( 1)( 1) 18 x

)

x

x y y y

a b

y x

y

x y

c

x y y xy

xy y x y

f g

x y

y x h

y x y

                                                              3

2 2

2 2

x )

7 3x 11 2y(x )

) )

x 17 ( ) 10

x y

i

y y x

xy y y x

k l

xy y x x y y

                            

18. Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác Giải hệ phơng trình ẩn x y , z sau :                  ) ( 2 x ) ( 2 z ) ( 2 y 3 3 3 zx yz xy c y zx yz xy b x zx yz xy a z

19. Cho hệ phơng trình Èn x1 , x2 , , xn

                       2 2 2 x c bx ax x c bx ax x c bx ax x c bx ax n n n n n

a) HƯ kh«ng cã nghiƯm thùc nÕu (b - 1)2 - 4ac <

b) HÖ cã mét nghiÖm nhÊt nÕu (b - 1)2 - 4ac =

c) HƯ cã h¬n mét nghiƯm thùc nÕu (b - 1)2 - 4ac >

20.

a Cho hệ phơng trình :

             35 15 3 4 3 z y x z y x z y x

Cã mét nghiÖm (x , y , z) thoả mÃn điều kiên x2 + y2 + z2 < 10 H·y tÝnh

: S = x5 + y5 + z5

b Cho ba số a , b , c đôi khác , (x , y , z) nghiệm hệ phơng trình :

                 d c z c y c x d b z b y b x d a z a y a x ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( (

H·y tÝnh : P = x3 + y3 + z3

21. Giải hệ phơng trình sau :

  2 3 2 2 2 2

x 4

x

) )

( )

1 (x y)

xy

x

) )

3 13

1 y x-3y x ) ) xy y y m n

xy x y y xy

xy y

p q

x xy y

x y x y r s x y x y                                                               

3 3

3 3

1 2x y 2y x

x 5x

) )

3 8

x y

x y y xy

t v

y y x x y xy

                               4 ) )( ( 4 ) )( ( 4xy z) y)(y (x ) 2               y zx y x x z x yz x z z y z g                                1 1 1 1 3 2 1 4 2 1 4 3 1 4 3 2 x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a 4 3 2 1 a a a a a a a a l)

( a1 , a2 , a3 , a4 bốn số khác

nhau cho trớc )

22. Giải hệ phơng trình sau :

2 2

1

2

n

3 3 3

3 2

3 2

3 2 ) 2

2x 2x )

2x

x ( ) 14

) ( ) 21

z ( )

x ( 3) ) y ( 3)

z (

x x y

y y z

a

z z t

t t x

x x

x x

b

x x

y x y z xyz

c y z y z x xyz

x z x y xyz

y y y

d z z z

x                                                          3x 3) 3x2        2

1 2 3 2001 2002 2002 2002 1 2x ) 1 2x 2x ) 2x 2x y x y k z y y z x

z z z

3 3

x 27 27 ) y 27 27

z 27 27

y y

e z z

x x                 

x(x y z) a-yz

) y(x y z) b-zx ,(a , b , c z(x y z) c-xy

m                       ³                          0 4 4 9 )2 )( 2( x) -(3 2 y ) 0 3 3 2 2x 0 3 3 2 2z 0 3 3 2 2y ) 2 3 3 z x z x y y y z g z z y y x x f                           2003 2003 2003 2002 2003 2002 3 2 2003 x 2003 x 2003 x 2003 x n) x x x x x x x x x x x x x x x x                 ³          xyz z y i z x x x z y y z y h 4 2 x 1 z y x ) 0 16 5 )3 )( 2( 8 4 2 3 3) (x )                   1 z y 1 x z 1 y x ) x y z l

Hệ Phơng trình vô tỷ

V Kiến thức bản

23. Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình:

            4 7 1 4 7 1 x y y x

Giải: Điều kiện -1 x  , -1  y  Tõ hệ phơng trình suy

64

(1) 7 7

1 y y x x x y y

x               Ta cã hµm sè f(x) =

x

x1 7 đồng biến đoạn -1 ; 7

Nªn tõ (1) suy x = y Vậy hệ phơng trình trở thành :

x x1 7 =

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức bunhiacơpxki ta có : (1 x11 7 x)2  (12 + 12)(x + + - x) = 16

 x1 7 x

Dấu xảy chØ x + = - x  x =

Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm ( x ; y) = (3 ; 3)

24. VÝ dô : Giải hệ phơng trình :

      1 1 1 1 4 x y y x

Gi¶i : Để thức có nghĩa x vµ y ³

Khi x4 y1 ³ 1, dấu xảy x = y = thử lại ta có x = y =

là nghiệm hệ cho Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (1 ; 1)

25. Ví dụ 3 : cho hệ phơng trình

           m x y m y x 2 1 2 1

a) Tìm tất giá trị m để hệ có nghiệm b) Giải hệ phương trình m =

Gi¶i :

§iỊu kiƯn      ³ ³ ³ 0 2 2 m y x

a) Từ hệ cho ta có :

    y x x y y x x y y x x y y x                            -2y -x xy -2x -y xy ) )( ( ) )( ( 2 2

1 2

Hệ phương trình cho trở thành :

m x

x1   (1)

Vì hàm số f(x) = x1 x đồng biến 2 ; +Ơ) nên giá trị nhỏ hàm

số f(2) = 3 Vì phơng trình (1) có nghiệm m ³

3 hay m ³

b) m = th× f(3) = = nên với m = yhì hệ có nghiệm nhÊt lµ (x ; y)

= (3 ; 3)

26 VÝ dơ : Gi¶i hƯ phơng trình :

Giải : Đặt u3 x,v3 y

hệ cho trở thành

 

  

   

 

   

  

  

  

 

  

 

  

   

 

  

8 6 9)3 36(6

6

93 )() (

6 9)

)(( 6

9 6 )( 3) (2

6

2 2

2

33 33

uv vu uvuv

vu

uvuv vuv u

vu uvv uvu vu vu

uvv u

vu vuuv vu vu

VËy u , v hai nghiệm phơng trình : X2 - 6X + = Suy (u ; v) = (2 ; 4)

hoặc (u ; v) = (4 ; 2) Vì (x ; y) = (8 ;64) (x ; y) = (64 ; 8) Hệ phương trình cho có hai nghiệm :

(x ; y) = (8 ;64) vµ (x ; y) = (64 ; 8)

VI Bµi TËp :

27. Giải hệ phơng trình :

a)

   

  

  

1 1

1 1

y x

y x

b)    

   

   

1 2

x y x y

y x y x

28. Giải hệ phơng trình :

                                         1 1 1 y -x b, a, 1 1 ) 1-4y x z 1-4x z y 1-4z y x ) 2 2 2 2 x z z y b y x y xx y a y x y xy x b a c) sè tham lµ                                                        2 1 1 x 18 1 1 x ) 1 3 x y 3 y x ) 2 1 2 y 1 2 1 2 x 1 ) 2 2 y x y y x y x y x y y x y x f xyz z y y x x z z y e x y d

29. Tìm m để hệ phơng trình

          m x y m y x 1 2 1 2

cã nghiÖm

Bất Phơng trình - Hệ bất phơng trình

I.VÝ dơ

VÝ dơ

Gi¶i bất phơng trình:

1 1 x x Giải :

Điều kiện x ¹

Bất phơng trình cho tơng đơng với hệ bất phơng trình sau:

            (2) 2 1 1 (1) 1 1 1 x x x x

Ta cã :

67

1 0 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 2 01 1 1

)1(   

                           x x x x x x x x x        ³             3 1 1 0 1 1 3 0 1 1 3 0 2 1 1 )2 ( x x x x x x x x

Vậy mghiệm bất phơng trình cho :

3 0x

VÝ dô 2:

Giải bất phơng trình : (x2 + 4x + 10)2 - 7(x2 + 4x + 11) + < Giải :

Đặt y = x2 + 4x + 10 , ta có bất phơng trình :

y2 - 7(y+1) <  y(y - 7) < 0

 < y <  < x2 + 4x +10 < (1)

V× x2 + 4x +10 = (x + 2)2 + với giá trị x nên :

(1)  x2 + 4x +10 <  x2 + 4x +3 <  -3 < x < -1

VËy nghiƯm cđa bÊt phư¬ng trình : -3 < x < -1

VÝ dô :

Với giá trị thực x bất phương trình sau nghiệm ) 1 ( 2   

 x x

x

G

i¶i :

Điều kiện để bất phương trình có nghĩa :

2 1 0 21 1 0 21 ³ ¹     ¹ ³  x x x (1)

Ta cã : (1 )

) ( ) 1 ( 2 1 x x x x x x           

Nªn : x x x

x x 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2         

  

          

45

49 ) ( 2 2 2

x

x x

x x x

Kết hợp với (1) ta có nghiệm bất phương trình cho :

    

¹   

0 8 45 2

1

x x

VÝ dơ :

Gi¶i hƯ bÊt phơng trình :

 

 

0 2 3

0 2

2

x x

x x

(I)

Gi¶i :

21 21 20 0)2)(1 (

0)2(

)( 

  

     

 



 x

x x xx xx

I

VËy nghiƯm cđa hƯ bất phơng trình : 1x2

Ví dụ :

Giải hệ bất phơng trình :

  

   

  

(2) 0 10 9 3

(1) 0 4 5

2

x x x

x x

Gi¶i :

Ta cã : (1)  -4 < x < -1

Mặt khác : x3 + 3x2 - 9x -10 = (x2 +5x + 4)(x - 2) - 3(x + 1) +

Với x ẻ (-4 ; -1) (x2 +5x + 4)(x - 2) - 3(x + 1) + > , tøc lµ víi mäi x

ẻ (-4 ; -1) thoả mãn bất phơng trình (2)

Vậy nghiệm hệ bất phương trình cho : -4 < x < -1

II Bài tập :

1 Giải bất phơng tr×nh sau :

2 10 x ) x ) 4 x ) x x -2 ) 1 x ) 6 11x ) 2 2 3 2                            x x g x x f x x e x x x x d x x x x b x x x x a 1 x -3 ) 1 x -x ) 1 x ) ) ( 2x ) x 4x -1 -1 ) x ) 2 2                     x n x x x x m x l x x k i x x x h

2 Giải hệ bất phơng trình :

     3 1 5 4 x x x

3 Xác định tất số thực x thoả mãn bất phương trình 3 x x121

4 Gọi u nghiệm dơng bất phơng trình x2 - 2px - q2 > gọi v nghiệm của

bất phơng tr×nh x2 - 2px - q2 < Chøng minh r»ng :

u + v > p + q

Bất đẳng thức

Mét sè ph¬ng ph¸p

chứng minh bất đẳng thức

I Ph ơng pháp dựa vào định nghĩa

1.kiÕn thøc

A B A - B ³ Chú ý đẳng thức :

 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ³

 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 ³

2.VÝ dô :

VÝ dơ 1 : Chøng minh r»ng víi mäi x , y ta lu«n cã :

y x xy y c y x xy y b xy y a 3 4 2 2 x ) x ) x )  ³    ³   ³  Gi¶i : 70

a) XÐt hiÖu 2  4 4

x2 2 2

³      

 y xy x y xy x y

VËy  y ³xy

4 x

2

2 , dÊu “ = “ x¶y vµ chØ 2x = y

 

     

 1 

2 2 2 2x ) ( x b) 2 2 2 ³                  x y y x y x xy y y x xy y

VËy x2y21³xyxy

0 y) -(x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x ) 2 2 2 3 3 3 4 ³                             y y x y xy x y x y x y y x x y x xy y c

VËy x4 y4 xy3 x3y  ³



VÝ dô 2 : Cho a < b < c < d , h·y xếp thứ tự tăng dần số sau x =(a + b)(c + d) ; y = (a + c)(b + d) ; z = (a + d)(b + c)

Gi¶i :

XÐt hiƯu : y - x = (a + c)(b + d) - (a + b)(c + d)

= ab + bc + ad + cd - ac - bc - ad - bd = b(a - d) - c(a - d)

= (a - d)(b - c) > (v× a < b < c < d) Suy : y > x

T¬ng tù xÐt hiƯu : z - y = (a + d)(b + c) - (a + c)(b + d) = (a - b)(c - d) >

Suy : z > y VËy x < y < z

VÝ dơ 3 : Cho abc = vµ a3 > 36 Chøng minh r»ng :

ca bc ab c b a      2

2

3

Gi¶i :

 36 12 12 12 3 2 2 2 2 2 2                                       a a c b a bc a bc ac ab c b a ca bc ab c b a a ca bc ab c b a

(Vì abc = a3 > 36 nªn a > 0)

VËy : a b2c2 abbcca

3

II.

Ph ơng pháp sử dụng tính bắc Cầu :

1.kiến thức bản

A C

  x   x2  x ( v× x -x2 = x(1 - x) ³ 0)

2.VÝ dơ :

Ví dụ : Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi

Chøng minh r»ng a2 + b2 + c2 + 2abc < Gi¶i :

NÕu a ³ th× b + c > a ³  a + b + c > , v« lý ! VËy < a <

T¬ng tù < b < ; < c <

Ta cã :(1 - a)(1 - b)(1 - c) = 1- a - b - c + ab + ac + bc -abc >  abc < ab + ac + bc - (v× a + b + c = ) (1) Mµ = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc

 ab + ac + bc = -

2

( a2 + b2 + c2) (2)

Tõ (1) vµ (2) suy : abc < -

2

( a2 + b2 + c2)  a2 + b2 + c2 + 2abc <

VÝ dô : Cho < a , b , c , d < chøng minh r»ng :

(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d

Gi¶i :

Ta cã (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab > - a - b (1) V× - c > nªn :

(1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (2) (1 - a - b)(1 - c) = - a - b - c + c(a + b) > - a - b - c (3) Tõ (2) vµ (3) suy : (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c Suy : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)

>1 - a - b - c - d + d(a + b + c) > - a - b - c - d ( v× d(a + b + c) > 0)

VËy : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d

VÝ dô : Cho  a , b , c  tho¶ m·n a + b + c = 3.Chøng minh : a2 + b2 + c2 

5

Giải :

Vì a + b + c = nªn Ýt nhÊt mét ba sè a , b , c không nhỏ , giả sư a ³

V× 1 a  nªn (a - 1)(a - 2) = a2 - 3a +   a(3 -a) ³2

Suy : ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(3 - a) + bc ³ VËy a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ac) (1)

= - 2(ab + bc + ac)  ( theo (1)) VËy : a2 + b2 + c2 

III.

Ph ơng pháp biến đổi tơng đơng

1.kiÕn thức bản

Ta bin i bt ng thc cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh

2.VÝ dơ :

VÝ dơ : a) Víi a , b , c > , chøng minh : 

  

 

  ³  

c b a ab

c ca

b bc

a 1

2

Gi¶i :   ( ) 2 0) abc ( ) ( 1 ) 2 2 2 úng Đ n nhiê hiển c b a ba ac bc c b a ba ac bc c b a c b a ab c ca b bc a a             ³            ³   VËy         ³   c b a ab c ca b bc

a 1

2

 

( )( ) 0(hiểnnhiênĐúng) ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ³     ³                         c b c a c c b c a c b c a c c ab c b c a c c b c c a c ab c b c c a c ab c b c c a c b

VËy c(a c) c(b c)  ab

Chú ý : Nếu ta biến đổi từ bất đẳng thức bất đẳng thức cần chứng minh

thì cần sử dụng phép biến đổi hệ

VÝ dô : Cho a , b , c ba số tuỳ ý thuộc đoạn ; 1 Chøng minh r»ng :

a(1 - b) + b(1 - c) + c(1 - a) 

Gi¶i :

Ta cã  (1 - a)(1- b)(1 - c) = - a - b - c + ab + bc + ca - abc  ³ a + b + c - ab - bc - ca + abc ³ a + b + c - ab - bc - ca Mµ a + b + c - ab - bc - ca = a(1 - b) + b(1 - c) + c(1 - b) VËy a(1 - b) + b(1 - c) + c(1 - a) 

IV.

Ph ơng pháp đánh giá đại diện

1.kiến thức bản

Nu mt bt ng thức có chứa biểu thức có dạng tương tự ta chứng minh bất đẳng thức cách đánh giá biểu thức đại diện

2.VÝ dô

VÝ dô : Chøng minh r»ng víi ba sè dư¬ng a , b , c bÊt kú ta lu«n cã :

3 2 2 2

3 a b c

a ca c c c bc b b b ab a

a  

³         Gi¶i :

Các số hạng vế trái tương tự nên ta nghĩ đến phương pháp đánh giá đại diện số hạng Ta cần chứng minh :

(1) 2

3 a b

b ab a a  ³  

Ta cã (1)  3a3 ³ (2a - b)(a2 +ab + b2)

 a3 + b3 -a2b -ab2 ³ 0

 (a + b)(a2 - ab + b2) - ab(a + b) ³ 0

 (a + b)(a2 - 2ab + b2) ³ 0

 (a + b)(a - b)2 ³

Bất đẳng thức cuối với a , b dương nên bất đẳng thức (1) , dấu “ =” xảy a = b

Tư¬ng tù ta cịng cã :

(2) 2

3 b c

c bc b b  ³   (3) 2

3 c a

a ca c c  ³  

Céng (1) , (2) , (3) theo tõng vÕ ta cã : 2 2 2

3 a b c

a ca c c c bc b b b ab a

a  

³        

DÊu b»ng x¶y vµ chØ a = b = c

V.

Phơng pháp sử dụng bt ng thc ph

1.kiến thức

  ) , ( x y x x 2   ³   ³   ³   y x y x y xy xy y ) , ( ) ( xy , x x x 2   ³   ³   ³   y x y x x xy y víi 2.VÝ dơ

VÝ dô : a) Cho a , b , c ³ vµ a + b + c = Chøng minh r»ng ;

a + 2b + c ³ 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)

b) Cho x , y > vµ x + y - z = Chøng minh r»ng : x + y ³ 16xyz

c) Cho a , b , c > Chøng minh r»ng :

2 1 1 1 1

1 a b c

a c c b b a        

d) Hai sè dư¬ng a , b tho¶ m·n ab > a + b Chøng minh r»ng : a + b >

e) Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2p Chứng minh :         ³    

 a p b p c a b c

p 1 1

f) Cho sè d¬ng a , b , c , d Chøng minh r»ng :

2 ³      

 a b

d d a c d c b c b a

g) Cho hai số dơng a , b a + b = Chøng minh r»ng : 1 2 ³   b a ab Gi¶i :

a) áp dụng bất đẳng thức 4xy  (x + y)2 ta có :

4(1 - a)(1 - b)(1 - c) = 4(b + c)(1 - c)(1 - b)

 (1 + b)2 (1 - b)  (1 + b)(1 - b)2  + b = a + b + c

VËy a + 2b + c ³ 4(1 - a)(1 - b)(1 - c) DÊu “ = “ x¶y vµ chØ

2 , ,  

 b c

a

b) áp dụng bất đẳng thức 4xy  (x + y)2 ta có :

16xyz  4z(y + x)2

Mặt khác (2z + 1)2 4z2 + 4z + 1³  4z(z + 1)  1

 4z(x + y)  1 4z(x + y)2  x +y

VËy x + y ³ 16xyz

c) Ta cã :

  ( ) (1)

4 1 1 ) ( 4 b a b a b a b a ab ab b

a  

      ³ 

T¬ng tù :

(2) ) ( 1

1 b c

c b    (3) ) ( 1 1 a c a c   

Céng vÕ theo vÕ (1) , (2) ,(3) ta cã :

2 1 1 1 1

1 a b c

a c c b b a        

d) Tõ 

                 a b b a b a b a a b a ab a b b vµ

Mµ  ³2  ab4

a b b a

e) áp dụng bất đẳng thức 1 ( , 0)

 ³

 x y

y x y

x ta cã :

; 4 1 c b a p b p a

p   ³   

; 4 1 a c b p c p b

p   ³   

; 4 1 b a c p a p c

p   ³   

         ³               ³            1 1 1 1 : c b a c p b p a p c b a c p b p a p VËy

f) áp dụng bất đẳng thức xy1 ³(x4y)2 (x,y0) ta có :

(2) ) ( ) )( ( ) ( ) ( (1) ) ( ) )( ( ) ( ) ( 2 2 2 d c b a cd ab d b b a d c d c d b a b b a d d c b d c b a bc ad c a a d c b c b c a d a a d c c b a        ³                 ³         

LÊy (1) céng (2) vÕ theo vÕ ta cã :

2 2 2 ) ( d c b a cd ab bc ad d c b a b a d d a c d c b c b a            ³

Mặt khác ta cã :

(a - c)2 + (b - d)2 ³  a2 + b2 + c2 + d2 - 2ac - 2bd ³ 0

 4(a2 + b2 + c2 + d2 + ad +bc+ab+cd)³(a + b + c + d)2

  

) ( 2 2 ³           d c b a cd ab bc ad d c b a

VËy : ³2

     

 a b

g) áp dụng bất đẳng thức 4ab  (a + b)2 ta có : 4 ³   ab ab

áp dụng bất đẳng thức 1 ( , 0) 

³

 x y

y x y

x ta cã :

6 ) ( 2 1 2 2    ³             b a b a ab ab b a ab VËy : 21 2 ³6

 

b a

ab

VI.

Ph ơng pháp phản chứng

1.kiến thức

Gi sử cần chứng minh khẳng định “ A “ Ta giả sử ngợc lại khẳng định “A” không dùng phép suy luận lôgic để suy điều vơ lý Thế khẳng định “A”

2.VÝ dơ

Ví dụ 10 : Cho < a , b , c < Chứng minh có bất đẳng

thøc sau lµ sai :

       ) ( ; ) ( ; )

( b b c c a

a

Gi¶i :

Giả sử ba đẳng thức , nhân vế tơng ứng ba bất đẳng thức ta có : abc(1 - a )(1 - b)(1 - c) >

64 (1) Nhng : 4 ) ( 2            

 a a a

a

a

4 ) ( 2            

 b b b

b

b

4 ) ( 2            

 c c c

c

c

Nªn :   

64 ) ( ) ( )

(  a b  b c  c 

a

VËy : abc(1 - a )(1 - b)(1 - c) =    

64 ) ( ) ( )

(  a b  b c  c 

a

Điều mâu thuẩn với (1) , mâu thuẩn chứng tỏ có ba bất đẳng thức cho sai

VÝ dô 11 : Cho tam thøc bËc hai f(x) = x2 + bx + c Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cđa

a , b ba sè |f(0)| , |f(1)| , |f(-1)| cã Ýt nhÊt mét sè lín h¬n hay b»ng

2

Gi¶i :

Giả sử ba số |f(0)| , |f(1)| , |f(-1)| nhỏ

2

, tøc lµ

(1) ) (   

 f b

(3) 1 ) ( (2) 1 ) (              b a f b a f

Cộng vế tơng ứng (2) vµ (3) ta cã :

2

1

1b  b

M©u thn víi (1) , mâu thuẩn chứng tỏ ba số |f(0)| , |f(1)| , |f(-1)| cã Ýt nhÊt mét sè lín h¬n hay b»ng

2

VII. Ph ơng pháp làm trội

30. kiến thức

c b c a b a     b a b a

, vµ thi

31. VÝ dơ

VÝ du 12 : a) Cho sè dư¬ng a , b , c Chøng minh r»ng :

2        a c c c b b b a a

b) Cho sè dư¬ng a , b , c , d Chøng minh r»ng : b a d a d a d c d c d c b c b c b a b a             

, không số nguyên

Gi¶i :

a) Ta cã

c b a c a b a a c b a a b a a          



Tư¬ng tù :

c b a a b c b b c b a b         c b a b c a c c c b a c        

Cộng vế bất đẳng thức ta có :

2        a c c c b b b a a (®pcm)

b) Ta cã

d c b a d b a c b a b a d c b a b a c b a b a                   

Tư¬ng tù :

d c b a d c b d c b c b d c b a c b               d c b a b d c a d c d c d c b a d c               d c b a c a d b a d a d d c b a a d              

Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có :

3                  b a d a d a d c d c d c b c b c b a b a VËy b a d a d a d c d c d c b c b c b a b a               

VÝ dô 13 : a) Với số n nguyên dơng lớn Chøng minh r»ng : a.1 n n 2 1 2

2    

a.2 1 2

2  n 

b) Cho d·y sè

n a

a

a n

2 1 , , , 2

1       Chøng minh r»ng

2 1 2 2        n na a

a víi mäi n >

c) Cho d·y sè

1 1 , , , 2               n a a

a n Chøng minh r»ng :

2 ) ( 1 2 2         n a n a

a

Gi¶i :

a) a.1 Víi k > ta cã :

k k k k k 1 ) ( 1

2      :

n n n n 1 2 1 1 1 2

2  

                                  VËy : n n 2 1 2

2    

a.2 Víi k > ta cã :

) )( ( 4 4 2       k k k k

k

          1 2

2 k k

k Suy :

3 1 1 2 5 1 1 2                                                   n n n n VËy : 1 2

2  n 

b) Víi k ³ ta cã :

k k k ka a

ka

1



 (v× ak > ak - 1)

k k

k a a

ka

1 1

1  





(V×

k a

ak  k1 1 )

Do :

2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2                                                               n n n n n a a a a a a a a a a na a a

VËy :

2 1 2 2        n na a

a víi mäi n >

c) Ta cã : ;

1 1      

 k k k

k a a

k a

a

k k k k k k k k

k a a a a

a a a a k a k 1 ) ( ) ( 1 1

2  

         Do :

2 1 1 1 1 ) ( 1 3 2 2                                                          n n n n n a a a a a a a a a a n a a

VËy :

) ( 1 2 2         n a n a

a

VIII. Ph ơng pháp qui nạp

32. kiến thức bản

Ni dung phng phỏp qui np để chứng minh bất đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên n ³ n0 nh sau :

 Với số tự nhiên n = n0 bất đẳng thức

 Mỗi bất đẳng với số tự nhiên n = k ³ n0 ta chứng minh

đợc với n = k +

Khi bất đẳng thức cho với số tự nhiên n ³ n0

33. VÝ dô

VÝ dô 14 : Cho a ³ Chøng minh với số nguyên dơng n

1 1       

 a a a

a

n   

    dấu (1) Giải :

Đặt

căn dấu

n

n a a a

x   , n nguyên dơng

n n a x

x 1  

 Víi n = th×

2 4    

 a a a

x , bất đẳng thức với n

=

 Gi¶ sư

2

1 

 a

xn , n số nguyên dương ta cần chứng

minh 1     a

xn

ThËt vËy 1 1 4 1 ) ( 4 2                               a a a a a a a a x a

xn n

VËy

2

1 

     

 a a a

a n  dấu

, với số nguyên dơng n

Ví dơ 15 : Cho a , b lµ hai sè tuỳ ý thoả mÃn điều kiện a + b Chøng minh r»ng

víi mäi sè nguyªn dơng n 2 2

Giải :

 Víi n = th×

2 1 b a b a          , 2 n n n b a b a           Giả sử n = k ³ bất đẳng thức (1) tức :

2 k k k b a b a         

Ta chứng minh bất đẳng thức (1) với n = k +1 , tức phải chứng minh :

2

1

1  

       

ab k ak bk

V× a + b ³ nªn

2 2 2 b a b a b a b a b

a k k k k

                   

Do cần chứng minh

) )( ( 2 1 k k k k k k b a b a b a b a b a          (2)

Vì a , b có vai trị nh nên giả thiết a ³ b , mặt khác từ a + b ³  a ³ -b  a ³ | b | ak - bk ³

Vậy bất đẳng thức (2) đợc chứng minh Vậy : 2 n n n b a b a       

  với số nguyờn dng n

IX. Ph ơng pháp sư dơng ®iỊu kiƯn vỊ nghiƯm cđa tam thøc bËc hai

34. kiến thức

Cho tam thøc bËc hai :

f(x) = ax2 + bx + c , a ¹

 f(x) cã nghiƯm vµ chØ D = b2 - 4ac ³

 NÕu D = b2 - 4ac < th× a.f(x) > víi giá trị x

Nếu D = b2 - 4ac  th× a.f(x) ³ với giá trị x

35. Ví dô :

VÝ dô 16 Cho (x ; y ; z) nghiệm hệ phơng trình

          4 8 2 zx yz xy z y x

Chøng minh r»ng :    

3 ; ;

8 x y z

Gi¶i :

Ta cã : 

         (2) ) ( 4 (1) 8 2 y x z xy z y x

Tõ (1) vµ (2) suy :

8 - z2 = (x + y)2 - 2xy = (x + y)2 - + 2z(x + y)

 (x + y)2 + 2z(x + y) + z2 = 16

 x + y + z2 = 42

 x + y + z = ±

 NÕu x + y + z = - th× x + y = - z - , tõ (2) suy xy = + z(4 + z) = ( z + 2)2

X2 + (4 + z) X + (z + 2)2 =

Ta ph¶i cã D = (4 + z)2 - 4(z + 2) = -z(3z + 8) ³ (3)

0

8   

 z

 NÕu x + y + z = th× x + y = - z , tõ (2) suy xy = - z(4 - z) = ( z - 2)2

Vậy x , y nghiệm phơng trình X2 - (4 - z) x + (z - 2)2 =

Ta ph¶i cã D = (4 - z)2 - 4(z - 2) = z(8 - 3z) ³ (4)

3 0 

 z

Tõ (3) , (4) ta cã :

3

8  

z

Vì vai trò x , y , z nªn ta cã  38x;y;z 38.

VÝ dơ 17 : Chøng minh r»ng víi mäi giá trị x , y

(x + y)2 - xy + ³(x y) 3

Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

0 )

3 (

3 2

2

³    

  

³ 

xy y x y x y x y y

x

Vế trái bất đẳng thức tam thức bậc hai x có hệ số x2

b»ng vµ

y   y  y   y   yỴR



D 3 12 0,

VËy x2(y 3)xy2  y 31³0,x;yỴR

Tøc lµ : (x + y)2 - xy + ³(x y) 3

Bµi tËp

1 Cho ba sè thùc x , y , z bÊt kú H·y chøng minh :

x2 + y2 + z2 ³ | xy + yz + zx|

2 Cho ba sè dư¬ng a , b , c kh¸c Chøng minh r»ng :

a c c b b a a c c b b a

  ³ 

 2

2 2 2

3 Cho ba số a , b , c hai số khác Đẳng thức

sau hay sai :

a2 + b2 + c2 = | ab + bc + ca | ?.

4 Cho ba số a , b , c Chứng minh ba bất đẳng

thøc :

     

2 ;

2 ;

2

2

2 2

2 2

2 b b c b c c a c a a b

a  ³   ³   ³  có bất đẳng thức

5 Chøng minh r»ng víi n số nguyên dơng

A = 1,65

3

1

1

2

2

2   n 

6 Chứng minh a , b , c độ dài ba cạnh tam giác

th× biĨu thøc

P = a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 - 2abc lu«n số dơng

7 Vi ba s dơng a , b , c , chứng minh bất đẳng

thøc sau :

2 a c) c ab b) c ab ) 3 3 3 c b a ca a c bc c b ab b c b a b ca a bc b a bc a   ³        ³   ³ 

8 Chøng minh r»ng nÕu x , y , z ³ th× :

x(x - y)(x - z) + y(y - x)(y - z) + z(z - x)(z - y) ³

9 Cho a , b , c Ỵ 0 ; 2 cã tæng a + b + c = Chøng minh r»ng :

a2 + b2 + c2 

10 Cho a , b , c > vµ abc = Chøng minh r»ng :

1 5 5 5        

 a c ac

ac bc c b bc ab b a ab

11 Cho a , b , c > Chøng minh r»ng

c b a a ca c a c bc b c b ab a b            3 3 3 5

12 Cho a , b , c tho¶ m·n :

            0 0 0 abc ca bc ab c b a

Chøng minh r»ng ba sè a ,

b , c d¬ng

13 Chøng minh r»ng nÕu x , y nguyên dơng hai bất

ng thức sau sai :

       ³ 12 12

5 1

y x

xy vµ   

      ³

 2

1 ) ( y x x y x

x

14.Chøng minh với số nguyên dơng n : 1 3       n

n

15.Chứng minh phơng trình 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c cã nghiƯm th× : 4c2 ³ 3(a2 + b2)

- ab

16.Cho x , y lµ hai sè thùc víi x , y > Chøng minh r»ng :

x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 > x2 + y2

17 Chøng minh r»ng : 4a8 - 2a7 + a6 - 3a4 + a2 - a + > , víi mäi a Ỵ R

18 Cho ba sè thùc a , b , c , d tho¶ m·n  a , b , c , d  Chøng minh r»ng :

3 1

1

1      

 abc d dab c cda b bcd a

19.Cho k > vµ ba sè thùc x , y , z cho :

         ) ( z y x k zx yz xy k xyz Chứng minh ba số x , y , z có số lớn k

20.Cho ba số a , b , c  Chứng minh bất đẳng thức sau a) a(ab + c) 

b) (2 - a)(2 - a)b + 1  21.cho ba sè a , b , c dơng

a) Nu a + b + c ³ có bất đẳng thức sau không : 1113

c b

a

b) Nếu a + b + c  có bất đẳng thức sau khơng : 111³3

c b

a

22

a) Cho a2001 + b2001 > a2000 + b2000 Chøng minh r»ng : a2002 + b2002 ³ a2001 + b2001

b) Cho a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn ; c1 , c2, , cn số dơng

                    C c c c B b b b A a a a n n n 2

Chøng minh r»ng : { 1 1, 2 1, , } 3

n ABC c b a c b a c b

a  n n n 

23.Chøng minh r»ng với số nguyên dơng n :

2 ) (         n

n

24.Chøng minh r»ng víi mäi a , b , c , d d¬ng ta cã :

a) 2

      b a c a c b c b a

b) 2

            b a d d a d c c d c b b c b a a

c) 3

                b a d a d a d c d c d c b c b c b a b a

25.Chøng minh r»ng víi số tự nhiên n , n :

)! ( ) ( 2        

 n n n

26.Cho ba sè dơng a , b , c thoả mÃn abc = Chøng minh r»ng :

1 1 1 1        

a b b c c a

27.Cho a , b , c lµ ba sè dơng thoả mÃn :        9 6 ca bc ab c b a c b a

Chøng minh: a <1< b <3 < c <4

28.Cho a,b,c, d dơng Chứng minh đồng thời xảy ba bất đẳng thức :  a + b < c + d

 (a + b)(c + d) < ab + cd  (a + b)cd < (c + d)ab 29 Cho ba sè thùc bÊt kú x , y , z Chøng minh r»ng :

a) (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2  3(x2 + y2 + z2)

b) NÕu m lµ sè nhá nhÊt ba sè (x - y)2 , (y - z)2 , (z - x)2 th×

2

2

2 y z

x

m  

30 Cho x , y , z số thực lớn -1 thoả mãn :

x3+ y3+ z3 ³ x2+ y2+ z2 Chøng minh r»ng : x5 + y5 + z5 ³ x2 + y2 + z2

31.Cho c¸c sè thùc x , y , z tho¶ m·n : x  y  z Chøng minh r»ng xy4 + yz4 + zx4 ³ yx4 + zy4 + xz4

32 Cho a , b , c Ỵ 0 ; 1 Chøng minh r»ng : a + b2 + c3 - ab - bc - ca 

33 Cho x , y , z Ỵ 0 ; 2 Chøng minh r»ng : 2(x + y + z) - (xy + yz + zx) 

34.Cho a , b , c > tho¶ m·n a + b + c = Chøng minh r»ng : 6(ab + bc + ca) + a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 

35.Cho x + y + z = x , y , z ẻ -1 ; 1 Chøng minh r»ng : x2 + y4 + z6 

0 7 

n m

Th× :

mn n

m

7 

Bất đẳng thức cauchy ,

bất đẳng thức bunhiacôpxki

i Bất đẳng thức Cauchy

1.Bt ng thc Cauchy

Cho n số không âm a1 , a2 , , an Ta cã : n n aa an n a a a    ³       2

1

Dấu “ = “ xảy a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Cauchy

còn đợc gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

2.VÝ dô :

VÝ dô 1 : Cho x , y z > Chøng minh r»ng :

z y x y x c) y x y x ) y x )   ³    ³  ³  z b x y a

Dấu xảy

Gi¶i :

a) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dơng yx x y ta có 2 y x  ³  x y y x x y

, dÊu “ = xảy xy y x

hay x = y b) áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

(2) (1) 1 1 xy y x xy y x y x ³    ³ 

Nhân vế tơng ứng (1) (2) đợc :

  2 (3) 1   ³         xy xy y x y x

Vì x + y > nên (3) tơng đơng :

y x y x  ³

 , dÊu “ = “ x¶y vµ chØ x = y

c) áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

(5) (4) 1 1 3 xyz z y x xyz z y x z y x ³      ³  

Nhân vế tơng ứng (4) (5) đợc :

84

  3 (6)

1

1 3

3  

³           xyz xyz z y x z y x

Vì x + y + z > nên (6) tơng đơng :

z y x y x   ³  

z , dấu = xảy chØ z=y=z

VÝ dô : Cho x , y , z ³ vµ x + y + z  Chøng minh r»ng :

z y x z z y y x x             1 1 1 1

1 2

Gi¶i :

a) Ta cã 2x  + x2

2 1 1 1 2 2          x x x x x

x

DÊu “ = “ x¶y vµ chØ x2 + = 2x  x =1

T¬ng tù ta cã : 21

1 

y y

;

2

1 

z

z

Do :

2

1

1 2 

     z z y y x x

Dấu = xảy chØ x = y = z = b) áp dụng kết ví dụ 1c) ta có :

1 1 

1 1 1 ³               

x y z x y z

DÊu = xảy +x = +y = +z  x =y=z

V× vËy : x y z x y z

   ³      1 1 1 Mµ + x + y + z  nªn :

2 1 1 1 9 ³        ³  

x y z x y z

DÊu “ = xảy x = y = z vµ x + y + z = tøc lµ x = y = z =

VÝ dô : Chøng minh r»ng nÕu số dơng a , b , c thoả mÃn ®iỊu kiƯn

2 1 1 1 ³    

a b c , abc

1 Giải : Từ c c b b c b a c b

a    ³   ³         

 1

1 1 1 1 1 1 1 áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

) )( (

1 b c

bc c c b b   ³  

 , dÊu “ = “ x¶y vµ chØ :

c b c c b b      1 VËy : ) )( ( 1 c b bc

a ³  

 (1)

Chøng minh t¬ng tù ta cã :

) )( ( 1 c a ac

b ³  

 (2)

) )( ( 1 b a ab

c ³  

 (3)

) )( )( ( ) )( )( ( c b a abc c b

a   ³    



V× a , b , c dơng nên suy abc

8

 , dÊu “ = “ x¶y vµ chØ a = b = c =

1

II. Bất đẳng thức Bunhiacơpxki

1 Bất đẳng thức Bunhiacơpxki

Víi hai bé n sè (a1 , a2 , , an) vµ (b1 , b2 , , bn) bÊt kú , ta

lu«n cã

(a1b1 + a2b2 + + anbn)2  (a12 + a22 + +an2) (b12 + b22 + +bn2)

Dấu = xảy tån t¹i k cho = kbi (*) víi mäi i = , , , n

(nếu bi với i (*) đợc viết thành

n n b a b a b a       2 1 ) Bất đẳng thức đợc gọi bất đẳng thức Schwarz , hay bất đẳng thức Cauchy - Schwrt

2.VÝ dô :

VÝ dô 1 : Cho a , b , c ba số khác Chứng minh :

   ³   a c c b b a a c c b b a 2 2 2 Gi¶i :

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpki ta có :

                           ³         

 1 1 1 (1)

2 2 2 2 2 2 a c c b b a a c c b b a a c c b b a

Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta nhận đợc :

(2)

33   

³   a c c b b a a c c b b a

Tõ (1) vµ (2) suy :

           ³           ³       

 (1)

3 2 2 2 a c c b b a a c c b b a a c c b b a

Hay :   2 ³

2 2 2 a c c b b a a c c b b a   a c c b b a   ³

DÊu “ = “ x¶y vµ chØ a = b = c

Ví dụ : Chứng minh a , b , c độ dài cạnh tam giỏc cú p

là nửa chu vi : p  p a p b p c 3p

Gi¶i :

 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpki cho hai số (1 , , 1)

 p a, p b, p c ta cã :

1 p a1 p b1 p c2 121212p ap bp c3phay :

p c p b p a

p      (1)

 p  p a p b p c (2)

) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( c p b p c p a p b p a p c p b p a p p                

hay: 02 (p a)(p b)2 (p a)(p c)2 (p b)(p c)

Bất đẳng thức luôn nên bất đẳng thức (2) Kết hợp với (1) ta có : p  p a p b p c 3p

VÝ dơ : C¸c số không âm x y thoả mÃn điều kiện x3 + y3 =

Chøng minh r»ng : x2 + y2  Gi¶i :

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpki cho hai số ( x; y) ( x3; y3) ta có : x2 y22  x x3 y y32 (x y)(x3 y3) 2(x y)

      

 (1)

Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki lần ta có : (x + y)2  (12 + 12)(x2 + y2) = 2(x2 + y2) (2)

Tõ (1) vµ (2) suy : (x2 + y2)4  4(x + y)2  8(x2 + y2)

Hay : (x2 + y2)3  tøc lµ x2 + y2 

DÊu “ = “ x¶y vµ chØ :

1 1 3 3                 y x y x y x y x y x Bµi tËp

1 Chøng minh r»ng nÕu a , b , c ba cạnh tam giác ABC với p nửa chu vi :

        ³    

 a p b p c a b c

p 1 1 Chøng minh r»ng nÕu x , y , z số dơng

2

2

2 x y z

y x z z x y z y

x  

³     

3 Chøng minh r»ng víi mäi sè d¬ng a , b , c , d > th×

0 ³            d a a c a c c b c b b d b d d a

4 Cho x , y ³ vµ x2 + y2 = Chøng minh

2

1 3

 

x y

5 Hai sè d¬ng a , b cã tæng b»ng Chøng minh

 ³    ³ 

 3 14

ab 2 b) 6 1 ab 1

) 2 2 2 2

b a b

a a

6 Ba số không âm a, b, c có tæng b»ng 1.Chøng minh r»ng : a +2b +c ³ 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)

7 Chøng minh r»ng víi mäi sè d¬ng a , b , c th×

8 Cho a , b > Chøng minh   ³1  

3

3 b b

a a b b a a

9 Chøng minh r»ng nÕu x , y , z > th×   2 ³   

3 3 z y x x z z y y x

10.Cho a , b , c số đo ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng : ( a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) abc

11.Cho số dơng a , b , c , d Chøng minh r»ng :

    ³  

 5 3 3 3 3

2 5

2 1 1

b 1 d c a a d d c c b b a

12.Tổng số không âm đơn vị Chứng minh xếp chúng đờng trịn cho tổng tất tích cặp số đứng cạnh không lớn

5

13.Cho ba sè d¬ng a , b , c tho¶ m·n a + b + c = Chøng minh r»ng :      

 1 1 6

1 a b c

14.Cho n sè thùc a1 , , an tho¶ m·n a12 + a22 + + an2 = Chøng minh r»ng :

         2 n a a a n

15.Cho a > b ³ Chøng minh r»ng ³ 

   ) )( ( b b a a

16.Chøng minh r»ng nÕu a , b d¬ng a + b =

2 25

1 2

³                a b b

a

17.Chøng minh r»ng víi mäi a , b , c d¬ng th×

                  ³   b a c a c b c b a c b

a

1 3 1 1

18.Chứng minh số dơng a , b , c tho¶ m·n a + b + c  th×

 ³    

 2 9

1 2 1 2 1 2

2 bc b ac c ab

a

19.Cho ba số dơng thoả mÃn a + b + c  Chøng minh r»ng

2 1 1 1 ³    

ab bc ca

20.Cho ba sè thùc a , b , c nằm Chứng minh :

            

 1 (1 )(1 )(1 )

1 a b a b c

c c a b c b a

21.Cho nsè d¬ng bÊt kú a1 , a2 , , an > Chøng minh r»ng :

     ³     

 n n

n

n aa a

a a

a1)(1 2) (1 ) 1 1 2 1

(

22.Cho a , b , c > vµ abc = Chøng minh r»ng :     ³      c b a c b a b a c a c b

23.Cho a , b , c , d > vµ c2 + d2 = (a2 + b2)3 Chøng minh r»ng

24.Chứng minh bất đẳng thức sau với a , b , c , d dơng tuỳ ý

         ³  

qa pc

q p qc pb

q p qb pa

q p c b a

1 1

ứng dụng bất đẳng thức

áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất

Kiến thức bản

Giả sử f(x) k ( k lµ h»ng sè ) vµ dÊu " = " xảy x = a giá trị lớn f(x)là k x = a Ký hiÖu Maxf(x) = k x = a  Gi¶ sư f(x) ³ k ( k số ) dấu " = " xảy x = a giá

trị nhỏ nhÊt cđa f(x) lµ k x = a Ký hiÖu Minf(x) = k x = a

Các toán

Bài :

a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 - 6x +

Tổng quát tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P = ax2 + bx + c (a > )

b) T×m giá trị nhỏ B = x - x

c) Tìm giá trị nhỏ C = 9x2 - 6x - 43x 1 +

Gi¶i a) Ta cã A = 2( x2 - 3x ) + = 2

2

2 3 9 1 2 7

4 2 2

x x x

   

       ³

   

   

VËy minA =

 x 

2

2

2

2 2 2

4

b 4

= a x+

2a 4

b b b b

P a x x c a x x c

a a a a

b ac b ac

a a

 

 

         

   

 

 

 ³

   

VËy :

2

4

ac b MinP

a



 x=

2

b a

 b) Điều kiện: x³0đặt t= x ³0

2

2 1

2 4

B t  tt   ³

 

VËy : 1

4

MinB khi x  hay x=1 c) Đặt t |3x-1| 9x2 6x t2 1

   tacã :

2 4 5 ( 2)2 1 1

C t  t  t  ³

89

VËy : Min C =1 t = |3x-1| =  x1 x=

3 Bài 2:

a) Cho a < b,tìm giá trị nhỏ A = |x-a| + |x-b|

b) Cho a < b < c, tìm giá trị nhỏ B= |x-a| + |x-b| + |x-c| Gi¶i

a ) áp dụng bất đẳng thức : |x+y| | | | |x  y dấu xảy xy³0ta có :

A = |x-a| + |x-b| = |x-a| + |b-x| ³ |x a b x  | b a

VËy : MinA = b-a x a b x     ³ o a x c 

b) Ta cã |x-a| + |x-c| c a,dấu xảy a x c |x-b|o dấu xảy vµ chØ khÜ x=b

Do :B = |x-a| + |x-b| + |x-c| ³ c a dấu xảy chi x=b MinB = c-a

khi x = b

Bµi Tìm giá trị nhỏ , lớn y=42

x x

 

Gi¶i C¸ch ta cã

2

2

4

1

x ax x a

a

x x

    

 

 

Ta tìm a để ax2 4x 3 a

 bình phơng nhị thức ta ph¶i cã : D  , a(3 a) 0  a = -1 hc a =

Víi a = -1, ta cã :y=

2

2 2

4 4 ( 2)

1 1

1 1

x x x x

x x x

   

    ³

  

Suy : Min y = -1 x= -2 Víi a = 4, ta cã y = +

2

2

4 (2 1)

4

1

x x x

x x

   

  

 

Suy : Max y = x = 

C¸ch 2: Ta cã y = 42

1

x

yx x y x



    

 (1)

 y = o: (1) cã nghiªm x= 

y ạ0 : (1) có nghiệm

, 4 y y( 3) 0 (y 1)(y 4) 0 1 y 4

D    ³        

VËy : Min y = -1 , Max y = Bài

a) Tìm giá trị nhỏ y = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) b) Tìm giá trị nhỏ cña S = x6 y6

 biÕt x2y2 1 Gi¶i

a) Ta cã : y =(x2 5x 6)(x2 5x 6) (x2 5 )x 36 36

       ³

VËy Min y = -36 x = hc x = -5

   

 

6 2 4 2

2 2 2

:

= x 3

S x y x y x y x y

y x y x y

     

    

b) Ta cã

VËy : MaxS = x = , y ±1 hc x ±1 , y = Bài

Tìm giá trị nhá nhÊt cña A=(x a x b)( )

x

 

víi x > Gi¶i Ta cã : A=

2 ( )

x a b x ab ab

x a b

x x

  

   

áp dụng bất đẳng thức cô si, ta có : x +ab ab

x ³ đó:

A a b 2 ab ( a b)2

³    

VËy minA=( a b khix)2 ab

 

Bµi

Cho biÓu thøc M =x2 y2 2z2 t2

 với x,y,z,tẻN HÃy tìm giá trị nhỏ Mvà giá

trị x,y,z,t biết :

2 2

2 2

=21 (1)

x 101 (2)

x y t

y z

  

 

  

 

Gi¶i

Lấy (1) cộng (2) ta đợc : 2(x2 + y2 + 2z2 + t2 ) - t2 = 122 Do :

M = 61 +

2

61

t

³  MinM = 61 t =

Víi t = , tõ (1) suy : x2 - y2 = 21  (x - y)(x + y) = 21.

i) 11

21 10

x y x

x y y

  

 



 

 

(loại không thoả m·n (2))

ii)

7

x y x

x y y

  

 



 

  

 

Thay vµo (2) ta cã z = VËy : MinM = 61 x = , y = , z = , t = Bài7

a) Tìm giá trị nhỏ A= x1 y biết x+y=4

b) Tìm giá trị lín nhÊt cđa B= x y

x y

c) Tìm giá trị lớn C=x+ 2 x Giải a) Điều kiÖn :x³1,y³2,ta cã :

2 3 ( 1)( 2)

A   x y  x y , áp dụng bất dẳng thúc cô si tacó :

(x1)(y 2)   x y

Do : A2 2 A 2

  

VËy : MaxA = 2

3 x-1 = y-2 2 x+y =

x y

  

 



 

  

 

b) áp dụng bất đẳng thức si ta có: ( 1)

( 1)1

2

x x

x     , ( 2)2 ( 2)

2

y y

y    

Suy : B 1 max 1 2,

2 2 y 2 khi x y

      

C=y+2- ( 1)2

4

y   y   MaxC

4 khi y x

   

bµi :

Tìm số có hai chữ số cho tỉ số số tổng chữ số có giá trị a) nhỏ :

b) lín nhÊt:

Gi¶i :

Giả sử có hai chữ số ab(1 a 9,o b 9, ,a b NỴ ),ta cã :

10 9

1

ab a b a b a

b

a b a b a b

a

  

   

   

a ) tØ sè ab

a b nhá nhÊt

b

a lín nhÊt , tøc lµ b = a =

vậy số cần tìm 19 b) tỉ số ab

a b lín nhÊt

b

a nhá nhÊt , tức b = số cần tìm 10,20 , , 90

Bµi

a) chøng minh r»ng :

i)nếu hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn khivà hai số

ii) hai số dơng có tích khơng đổi tổng chúng nho hai số nhau:

áp dụng:

i) tìm giá trị lớn cđa A=x3(16 x3)

 víi 0<x 3 16 ii) tìm giá trị nhỏ B=(x a)2

x

 víi a,x >0

gi¶i a)

i) giả sử x,y >0 ta có x+y=k (khơng đổi) áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số x,y ta có: x+y

2

2

4

k

xy xy

³   ,DÊu "="x¶y vµ chØ x=y=

2

k

Do max(xy)=

4

k k

khix y

ii) Giả sử x , y > 0và k = xy (không đổi) , ta có :

2 xy   x y x y ³2 k  Min x y(  ) 2 k x = y

b, ¸p dơng :

i) ta cã x3 (16 x3) 16

   (khơng đổi) nên tích x3(16 x3) lớn

3 16 2

x   x  x

VËy maxA=16 x=2 ii) ta cã :

2 2 2

2

x ax a a

B x a

x x

 

    x vµ

2

a

x hai số dơng có tích

2

a

x a

x  không đổi nên

tæng x+a2

x đạt giá tri nhỏ x=

2

a

x a

x  

VËy B = 4a x = a Bµi 10

b) Tìm giá trị nhỏ 1

y x x

 

 víi x>1

c) Tìm giá trị lớn A=(3-x)(4-y)(2x+3y) với x 3,0 y Gi¶i

a) ta cã : y = 1(2 )(2 1)

2  x x víi ®iỊu kiƯn

1

2x hai số - 2x , 2x - hai số dơng có tổng : (2 -2x)+(2x- 1) =1 (khơng đổi) nên tích (2-2x)(2x-1) lớn - 2x = 2x - hay x =

4

VËy : Maxy= 3 1

4 8khix

   

   

   

   

b) ta cã 1

1

y x x

   

 víi x>1 th× hai số dơng x-1

1

x cã tÝch b»ng nªn tỉng

1

1

x x

   nhá nhÊt x-1 =

1

x  hay  

2

1

x   hay x = (v× >1) VËy : Min y=3 x=2

c) Ta cã : A = 1(6 )(12 )(2 )

6  x  y x y với  x 3, 0 y ba số khơng âm -2x , 12 - 3y 2x + 3y có tổng 18 (khơng đổi) nên tích chúng lớn - 2x =12 - 3y =

2x + 3y =6 12 3

3

x y x y

    

(tØ lÖ thøc ) hay

6 - 2x = 12 - 3y = 2x + 3y = tøc lµ x = , y = VËy MaxA = x = , y =

Bài11

a) tìm giá trị lớn S = xyz x y y z x z(  )(  )(  ) víi x,y,z > vµ x+y+z = b) cho xy + yz + zx =1 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña x4 y4 z4.

 

Giải a) áp dụng bất đẳng thức si ta có

1 = x+y+z 33

27

xyz xyz

³   (1)

dÊu "=" x¶y vµ chØ x = y = z =

2 = (x + y) + (y + z) + (x + z) ³3 (3 x y y z x z )(  )(  )

8

( )( )( )

27

x y y z z x

     (2)

Tõ (1) vµ (2) suy 729

S  Do max S =

729khix  y z b) áp dụng bất đẳng thức bunhiacơpski, ta có :

1 = (xy + yz + xz)2 (x2 y2 z2)(x2 y2 z2) (x2 y2 z2 2)

        (1)

lại áp dụng bất đẳng thức bunhiacơpski, ta có :

2 2 2 2 4 4 4

(x y z ) (1 1 1 )(x y z ) 3( x y z ) (2) Tõ (1) vµ (2) suy : 4

3

x y z ³

VËy Min( 4

)

3

x y z  khix  y z ±

Bµi 12

2 2

7 13

x a b c

x a b c

    



    

Víi a,b,c lµ tham sè

Giải áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpski , ta có :

a b c2 12 12 12 a2 b2 c2 (a b c)2 3(a2 b2 c2)

            

(có thể chứng minh cơng thức phép biến đổi tơng đơng ) Từ giả thiết ,ta có :a + b + c = - x a2 b2 c2 13 x2

   

 2 2

7 3(13 ) 14 19

2

x x x x x

         

Vậy : x đạt giá trị nhỏ là1 a = b = c = x đạt giá trị lớn

2 a = b = c = Ba× 13

a) Tìm giá trị lớn P x2 y2 xy 2x 2y

    

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

M = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2  24x3y218y36

Gi¶i a) Ta cã

2

2P2x  2y 2xy4y4y

= ( x2 2xy y2) (x2 4x 4) (y2 4y 4) 8

         

=  2 2

8 x y  (x 2)  (y 2) 8

Suy : P 4 dấu "=" xảy x = y = VËy : MaxP = vµ chØ x = y =

b) Ta cã : M = x x(  2) (y y6) 12 (x2 2 ) 3(x y2 6 ) 36y

   

= x x( 2) ( y y 6) 12 3(y2 6y 12)

     

= (x2 2x 3)(y2 6y 12)

   

Mµ :x2 2x 3 x 12 2 2

     ³

2 6 12 ( 3)2 3 3

y  y  y  ³

6

M

 ³ DÊu "=" x¶y vµ chØ x = 1, y = -3

VËy : M = vµ chØ x = 1, y = -3 Bµi 14

Hãy phân chia số : ,3, 4, 5, 6, 8, 9,10 thành hai nhóm tuỳ ý lấy tích cuả số nhóm gọi A tổng hai tích Tìm giá trị nhỏ Avà cách chia để số A nhỏ

Gi¶i

Gọi tích số mổi nhóm cách phân chia x , y A = x + y

với cách phân chia ta cã :

8

2.3.4.5.6.8.9.10

xy   ( không đổi)

Theo bất đẳng thức cô si : A = x + y 4

2 xy 2 5

³   giá trị nhỏ Alà

4

2 1440 x=y để có phân chia cho A nhỏ , ta thấy nhóm phải chứa thừa số

4

2 ,3 ,5.ta có cách phân chia nh sau

C¸ch Nhãm Nhãm

1

2 , 3, ,6 , , , , 10

3 , , , , , , 10 Bài 15

cho x,y,z,t 0thoả mản : ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

4 4

x x y y z z t t Tìm giá trị lớn cđa tỉng S = x + y + z + t

Gi¶i

Tõ gi¶ thiÕt suy : 2 2 1( ) 1(1)

4

x y z t  x y z t    áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpski , ta có :

x y z t2 12 12 12 12 x2 y2 z2 t2

          Hay :

 2 2 2

1

(2) x y z t   x y z t

Tõ (1) vµ (2) suy :1 2 1 

4 x y z t    x y z t   2 Hay :

2 2 0 1 2

S  S     S

VËy : MaxS=2 x = y = z = Bài 16

cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S O điểm nằm tứ giác cho

2 2 2

OA OB OC OD  S chøng minh r»ng ABCD hình vuông có tâm O

Giải

Gọi BH đờng cao tam giác ABC , ta có : 2SABC=OA.BH nhng BH BO nên :

2

2

2

AOB

OA OB

OA OB

S    (BĐT si) Do 1( 2),

4

AOB OA OB

S   dÊu xảy

khi OA OB OA=OB

T¬ng tù : 1( 2);

4

BOC OB OC

S  

2

1

( )

4

COD OC OD

S   ;

2

1

( )

4

AOD OA OD

S  

VËy 2 2

2

ABCD AOB BOC COD DOA

OA OB OC OD

S S S S S

  



Hay : 2 OA2 OB2 OC2 OD2,

   

S

dÊu b»ng x¶y vµ vµ chØ

OA=OB=OC=OD vµ AOB BOC COD DOA   9O0

    Tức ABCD hình vuông O tâm

của hình vng Bài 17

Cho trớc a , b > x , y> thay đổi cho a b 1,

xy  tìm x , y để x + y đat giá tr nh nht

Giải

áp dụng bất đăng thức bunhiacôpski ta có :

95

D C

O

H A

x + y =  

2

2

2 a b a b

x y x y

x y x y

   

   

 

      ³          

 

Hay :

( ) ,

x y ³ a b dÊu "=" x¶y

,

y

x x y x y

a b

a b a b a b

x y



     



tøc lµ x a a b y,  b( a b)

VËy min(x y ) a b2 khix a a b y, b b( a)

Bài tập t ơng tự

1 Tìm giá trị lớn :

2

y ax bx c ( a < ) Tìm giá tri nhỏ của:

| | | | | | | |

y x a  x b  x c  x d víi a < b < c < d Tìm giá trị nhỏ :

100 10 10 10.

y x  x 

4.T×m giá trị nhỏ , lớn :

2

1

x x

y

x x

  

 

Hớng dẩn giải đáp số 1:

2

4

max

4

ac b y

a

 

2: min y c d a b    3: miny 1

4 : 1, max 3

y y

bất phơng trình

A Kiến thức bản

A B B A B

A B A B

A B

    

  

2

0 0

B A A B

B A B

   

³    

 ³     

A B 0 A B2

   

B Các toán

Bài Giải bất phơng tr×nh a ) x2 2x 3 0

   b ) 2x  5 c ) 2x1x d ) 1

1

x  x

Gi¶i

a ) x2 2x 3 0 1 x 3

      

b ) 2x 5   5 2x 5    1 x

c ) ®iỊu kiƯn : 1:

x ³

 2

2

2x1x 2x1x  x 0 x¹1

VËy 1,

2

x³ x¹

d ) 1 ( 1)

1 ( 1) x x x

x x x x



       

Bài Giải bất phơng trình

a ) x2 2x 72 7x2 2x 8 7 0

      

b ) x x 2 2 x45

c )

1

x x

x x



 



Giải

a ) Đặt t x2 2x 7

   ta cã :

2

2

2

7( 1) ( 7) 0

2 7

x x

t t t t t

x x

   



           

  

 

 

 

2

1

2

x

x

x x

    

       

 

b) Ta cã :x x( 2) (2 x4) 5  x24x x 22 5

đặt tx22 ( t³0 ), ta có :

t 4t 5 t2 4t 5 0 t 1 t 5 0 t 5

            (v× t +1> )

x 22 x 5 x

       

c ) Đặt ,

1

x t

x



 ta cã :

2 1

1

2

0

t

t t

t

t

t t

   

       

 t =1 1

1

x x

   

 , v« lÝ

 t < 0

1

x

x x

     



Bài xác định m để bất phơng trình x m 2 x2 có nghiêm

Gi¶i

đặt t x 2 0 x t2 2

  ³    ta cã

 2

2 2 2 1 3

t   m t t m

bất phơng trình có nghiệm m ³ 3 m³3 víi m ³3:

(1)  t1 m  3 m   3 t m3 cã nghiÖm t ³0

VËy m ³3

Bài xác định m lớn để x(x+1)(x+2)(x+3)³m thoả với x

Gi¶i

Ta cã x(x+1)(x+2)(x+3)³m

x2 3x2 2x2 3x m

   ³  x23x12 ³ m

NÕu (1) tho¶ m¶n víi moi

2

x ± ta cã m 1 suy m lớn m = -1 Ngợc lại , víi m=-1 th× x2 3x 12 0

  với x

Bài Giải hệ bất phơng trình

4

1 (1) (2)

x y x y

  

 

 ³

 

Gi¶i

Tõ (1) suy

4

1 1

1

1

x x

y y

    





 

   

 



nhân (2) với -1 cộng với (1) ta đợc :

x4 x5  y2 y3 0 x41 x y21 y 0

        

4

1 (1 )

0 (1 )

1

x y

x x

x

y y

y

   

   

 

  

     

  

Vậy bất phơng trình cã nghiƯm ( , ) vµ ( , 1)

C Bài tập phơng trình

1 Giải bất phơng trình sau : a ) 4x2 2 2 x 1 3 0

    b ) x  x1 5

c ) x3 2x2 x 2 0

    d ) 2x5  4 x Giải biện luận phơng trình : mx - > m - x Giải bất phơng tr×nh : x4 8x2 16 2 x

  ³ 

4 Xác định m để hệ phuơng trình sau có nghiệm (x ; y) với x + y lớn :

2

x m y m m x y m

  

 

 





5 Định m để hệ sau có nghiệm :

1

x m m

x m m

   



   



D Hớng dẫn giải đáp số

1 a) 4 2 12

2

x  x   x   x

b) Xét trờng hợp : x0;0 x 1;x1 c) x3 2x2 x 2 x21x 

d) A  B  A2 B2 0

2 (m + 1)(x + 1) >  m > - 1; x > -1  m < - ; x < -  m = - ; V« nghiƯm

3    

   

2

2

2

4

4

1

4

x x

x x x

x x

x

x x

x x

   ³

  ³   

 ³       

³   

  

  

 

Giả sử hệ có nghiệm (x0 ; y0) Cộng lại ta đợc : 0

2

1

m x y

m

  

Suy x0 + y0 lín nhÊt b»ng m =

5 Điều kiện m ³ Hệ đợc viết lại :

2

m x m m x m

m x m m m x m

     

 



 

        

 

HÖ cã nghiÖm nhÊt vµ chØ :

0

m m

m m

  

    

