DeDA Thi HK1Toan12rat hay

Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón n.. b..[r]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LÔMÔNÔXÔP

Năm học 2010-2011

ĐỀ THI HỌC KỲ I MƠN TỐN-LỚP 12

Thời gian 90 phút

ĐỀ sè

Bài 1: Cho hàm số 2 1 2 x y

x

 

 (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(1; -1).

c Tìm m để đường thẳng y = (2m+1)x+3 cắt (C) hai điểm thuộc hai nhánh (C).

Bài 2:

a Giải phương trình sau:

27

log 3.log log 3x x  x

b Giải hệ phương trình sau:

1

4

4 3.4 2

3 2 log 3

x y y

x y

  

 

 

  



Bài 3: Cho hình nón n đỉnh O có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a.

a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón n .

b Tính diện tích thiết diện hình nón n cắt mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón tạo với đáy hình nón góc 600.

c Gọi (S) là hình cầu ngoại tiếp hình nón n Tính tỉ số thể tích khối nón n

thể tích khối cầu (S) .

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhỏ :

2 2

x y

P

y x

 

 

Trên miền D{(x;y) / x,y 0;x+y =2}

*********

(Thang điểm: Bài 1: điểm, bài2: điểm, 3: điểm, 4:1điểm)

TRƯỜNG THPT LÔMÔNÔXÔP

Năm học 2010-2011

MƠN TỐN-LỚP 12

Thời gian 90 phút

ĐỀ sè 2 Bài 1: Cho hàm số 3 1

2x 2 x y  

 (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm 1;1 2 A 

 .

c Tìm m để đường thẳng y = mx+2m+2 cắt (C) hai điểm thuộc hai nhánh của (C).

Bài 2:

a Giải phương trình sau:

8

log x 2log 3x

x  

b Giải hệ phương trình sau:

1

3

3 2.3 2

3 log 2 0

y x x

x y

   

 

 

   



Bài 3: Cho hình nón n đỉnh I, góc đỉnh 1200, bán kính đáy a. a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón n .

b Tính diện tích thiết diện hình nón n cắt mặt phẳng (Q) qua đỉnh hình nón tạo với đáy hình nón góc 600.

c Gọi (S) là hình cầu ngoại tiếp hình nón n Tính tỉ số thể tích khối nón n

và thể tích khối cầu (S)

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhỏ : 2 2

1 1

x y

P

y x

 

 

 

Trên miền D{(x;y) / x,y 0;x+y = 1}

*********

(Thang điểm: Bài 1: điểm, bài2: điểm, 3: điểm, 4:1điểm)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 12 - 2010 ĐỀ 1

1 Tập xác định D \ 2  Sự biến thiên:

a Giới hạn tiệm cận:  Ta có xlim2 y



 và

2

lim

x y





Nên đường thẳng x2là tiệm cận đứng đồ thị (C)

 xlim y xlimy

       đường thẳng y2là tiệm cận ngang

của đồ thị (C) b Bảng biến thiên:

Ta có:

3

'

( 2) y

x 

 

  x D

Nên hàm số nghịch biến khoảng  ;2 và 2;

x   

'

y  

y 

  2

3 Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt Oxtại điểm 1;0

 

 

 

Đồ thị hàm số cắt Oy điểm 0;1

 

 

 

Bảng giá trị:

x 1

2 y

1

2 1

-5 -4 -3 -2 -1

-4 -2

x y

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;2)của đường tiệm cận làm tâm đối xứng

0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

0,25

0,5

1.b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(1; -1) 1đ

Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yf x( )tại M x y0( ; )0 0 có

dạng: yf x x x'( )(  0)y0

Ta có: 2

3

'( ) '(1)

( 2) (1 2)

f x f

x

 

   

 

 Phương trình tiếp tuyến (C) A(1; 1) là:

3( 1) 3x

y x   y  0,5

1.c Tìm m để đường y = (2m+1)x+3 cắt (C) hai điểm thuộc hai nhánh (C) 1đ Hoành độ giao điểm (C) đường thẳng y(2m1)x3là nghiệm

phương trình: (2 1)

x

m x

x 

  

 (1)

Đăt t x 2 x t 2 Phương trình trở thành:

2( 2)

(2 1)( 2) t

m t

t

 

   

2

(2m 1)t (4m 3)t

      (2)

(C) (d) cắt điểm thuộc nhánh (C)  phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn: x1 2 x2  phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn:

1

1 (2 1)1

2

t  t  m   m 

0,25

0,25 0,25 0,25 2.a Giải phương trình:

27

3 log

x x x

log log  (1) 1đ

Điều kiện: 0; 1; 1; 27

x x

x x  

3

3 9

log

1

log log log 27 x

x x

 

3 3

1

log

log x x log x

 

 

Đặt tlog3x Phương trình trở thành:

1

3

t t t

2 5 4 0

t t

   

4 t t

 

  



+ Với t  1 log3x 1 x3(thỏa mãn)

+ Với t  4 log3x 4 x34  x81(thỏa mãn)

0,25 0,25

0,25 0,25 2.b b Giải hệ phương trình sau:

1

4

4 3.4 (1) log (2)

x y y

x y

  

 

 

  



1đ

4

(2) x3y 2 log Thế vào (1) ta được:

4

2

2 log

4 3.4 3.4

3

y

y y   y

         

Đặt t 42y1 (t 0)

  PT trở thành:  2

1

3 ( )

3t  t  t   t tm

2 4

4

1 log log

1

4 log

3 2

y y y  x 

        

Vậy hệ phương trình có nghiệm: log log 34 ;

2

 

 

 

 

0,25 0,25 0,25 0,25 3.a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón n 1đ

Gọi OABlà thiết diện qua trục hình nón, I tâm đáy  bán kính hình nón

2

AB a

r  Và đường cao hình nón 2 a

OI 

Diện tính xung quanh hình nón là: 2

2

xq

a a

S  R l a (đvdt) 0,5

Thể tính khối nón:

2

3

1 2

3 2 12

a a a

V  R h   

 

 

(đvtt)

3.b Tính diện tích thiết diện hình nón n cắt mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón tạo với đáy hình nón góc 600. 1đ

Gọi thiết diện hình nón cắt mặt phẳng(P) OMN

Lấy H trung điểm MN  OH MN IH, MN  Góc mp(P) đáy hình nón góc: OHI 60

Xét OHIvng I ta có: 

0

2

sin

sin 60 3

2

OI OI a a

OHI OH

OH

    

Xét OHMvuông H:

2

2 2

3

a a

MH  OM  OH  a  

2

3 a

MN MH

   

2

1 2

2 3

OMN

a a a

S  MN OH  

0,25 0,25

0,25 0,25

3.c Gọi (S) là hình cầu ngoại tiếp hình nón n Tính tỉ số thể tích khối nón n thể tích khối cầu (S)

1đ Mp(OAB) cắt mặt nón ( )S theo thiết diện đường trịn lớn mặt nón

( )S Đường trịn đường trịn ngoại tiếp OAB

Gọi R'là bán kính ( )S



2 '

sin 45 sin

OA a a

R

OBA

    '

2 a R

 

Gọi V'là thể tích khối cầu ( )S

3

4

'

3

a

V  R 

' V V

 

0,25 0.25 0,5

4 Tìm giá trị lớn nhỏ : 2

x y

P

y x

 

  miền {(x;y) / x,y 0;x+y =2}

D 

2 2( ) ( )2 2 2( )

2( ) 2( )

x x y y x y xy x y

P

xy x y xy x y

      

 

     

Do x y 2 nên:

8 xy P

xy  



Đặt txy Do x y, 0nên t0

Theo bất đẳng thức Cauchy: x y 2 xy  xy1

Xét hàm số ( ) 8

t P t

t  

 đoạn 0;1

2

24

'( )

( 8) P t

t 

 

 với  t 0;1 

Suy ra: Hàm số P t( )nghịch biến đoạn0;1

Nên MaxP P (0) 1 xảy ra t 0hayxy 0 x0,y2hoặcy0;x2

2 (1)

3

MinP P  xảy  t hay 1

2 xy

x y

x y  

  



 



0,25

0,25 0,25 0,25

ĐỀ 2

1 a

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: 3 1

2x 2 x y 



1đ Tập xác định D\  1

2 Sự biến thiên:

a Giới hạn tiệm cận:

 Ta có x lim( 1) yvà x lim( 1)y 

Nên đường thẳng x1là tiệm cận đứng đồ thị (C)

 lim lim

2

x yx  y  đường thẳng

3

y tiệm cận ngang đồ thị (C)

b Bảng biến thiên:

Ta có: ' (2 2)2

8 y

x

 

  x D

Nên hàm số nghịch biến khoảng   ; 1và 1;

x   -1 

'

y  

y

 3

2

2  

c Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt Oxtại điểm 3;0

 

 

 

Đồ thị hàm số cắt Oy điểm 0;

 



 

 

0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

f(x)=(3x-1)/(2x+2) f(x)=3/2

-4 -3 -2 -1

-2 -1

x y

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm ( 3; ) 2

I  đường tiệm cận làm tâm đối xứng

0,5

1.b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm (1; )1

A 1đ

Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yf x( )tại M x y0( ; )0 0 có

dạng: yf x x x'( )(  0)y0

Ta có:

1

'( ) '(1)

(2

)

f x f

x

  



 Phương trình tiếp tuyến (C) (1; )1

A là:

1 1

( 1)

2 2

y x   y x

0,25 0,25 0,5

1.c Tìm m để đường thẳng y = mx+2m+2 cắt (C) hai điểm thuộc hai nhánh (C)

Hoành độ giao điểm (C) đường thẳng y mx 2m2là nghiệm phương trình: 2

2 x

mx m

x 

  

 (1)

Đăt 2 2 t

t x  x  Phương trình trở thành:

2 (2 1) 8 0

mt  m t  (2)

(C) (d) cắt điểm thuộc nhánh (C)  phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn: x1  1 x2

 phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn:

1 0

t  t  m   m

0,25

0,25 0,25 0,25 2.a Giải phương trình:

8

log x x2log 3x  (1) 1đ

Điều kiện: x0;x1; 2x1;

2

2 2

2

log 3 log

3

log log log

2

og

2 l

x x

x

x x x



     



Đặt tlog2x Phương trình trở thành:

1

3 2

2

0 1

t

t t

t t

t t

  

      

 



 

0,25

+ Với t  1 log2x 1 x2(thỏa mãn)

+ Với

1 2

1 1

log

2 2

t   x  x   x (thỏa mãn) 0,25 0,25 2.b Giải hệ phương trình sau:

1

3

3 2.3 (1) log 2 (2)

y x x

x y

     

 

   



1đ

3

(2) y3x 2 log Thế vào (1) ta được:

3

2

2 log 2

3 2.3 2.3

2

x

x   x   x

    

Đặt t32x1 (t0) PT trở thành: 2  22 0 2 ( )

2 t

t t tm

t

      

2 3

3

log log 2 log

2

x x x  y 

        

Vậy hệ phương trình có nghiệm: log log 13 ;

2

 

 

 

 

0,25 0,25 0,25 0,25 3.a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón n 1đ

Gọi IABlà thiết diện qua trục hình nón, O tâm đáy bán kính hình nón làR a Và đường cao hình nón

3 a

OI  , đường sinh a IA Diện tính xung quanh hình nón là:

2

2

3

xq

a a

S  R l a   (đvdt) Thể tính khối nón:

3

2

1

3 3 3

a a

V  R h a  (đvtt)

0,5 0,25 0,25 3.b Tính diện tích thiết diện hình nón n cắt mặt phẳng (P) qua đỉnh

hình nón tạo với đáy hình nón góc 600. 1đ

Gọi thiết diện hình nón cắt mặt phẳng (Q) IMN

Lấy H trung điểm MN  IH MN OH, MN  Góc mp(P) đáy hình nón góc: OHI 60

Xét OHIvng I ta có: 

0

2 sin

sin 60

3

OI a a

IHO I IH

H O I

    

Xét OHMvuông H:

2

2 4a2 2

3

a a

MH  IM  IH   

4 2

3 a

MN MH

   

2

1 2

2 3

IMN

a a a

S  MN IH  

3.c Gọi (S) là hình cầu ngoại tiếp hình nón n Tính tỉ số thể tích khối nón n thể tích khối cầu (S)

1đ Mp(IAB) cắt mặt nón ( )S theo thiết diện đường tròn lớn mặt nón

( )S Đường trịn đường tròn ngoại tiếp IAB

Gọi R'là bán kính ( )S



2

2 '

sin120

s ni

AB a a

R

AIB

   

3 ' a R

 

Gọi V'là thể tích khối cầu ( )S

3

4 32

'

3

a

V  R  

32 ' V V

 

0,25 0,25

0,5

4 Tìm giá trị lớn nhỏ :

2

1

x y

P

y x

 

 

 

Trên miền D{(x;y) / x,y 0;x+y = 1}

1đ

2 3( ) 4 ( )2 2 3( ) 4

1

x y x y x y xy x y

P

xy x y xy x y

        

 

     

Do x y 1 nên:

2 xy P

xy  



Đặt txy Do x y, 0nên t0

Theo bất đẳng thức Cauchy:

x y  xy xy

Xét hàm số ( ) 2

t P t

t  

 đoạn 0;

4

 

 

 

2

12

'( )

( 2) P t

t 

 

 với

1 0;

t  

   

 

Suy ra: Hàm số P t( )nghịch biến đoạn 0;1

 

 

 

Nên MaxP P (0) 4 xảy ra t0hayxy 0 x0,y1hoặcy0;x1

1 10 MinP P  

  xảy

1 t

  hay

1

1

2

xy

x y

x y 

 

  



   

0,25