De thi Hoc ki 1 Toan 12 De so 2

Xác định tâm I và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC.. Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC.[r]

Đề số 2

ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Mơn TỐN Lớp 12 Nâng cao

Thời gian làm 90 phút Bài (3 điểm)

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y f x( ) 1x3 2x2 3x ( ) C

     (2 điểm)

b) Tìm m để đường thẳng ( ) :d y mx 1 cắt ( )C điểm phân biệt? (1 điểm) Bài (3 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: f x( ) 1cos2x 2sinx

3

   , với x 0;

2      

  (1 điểm)

b) Giải phương trình: x

x

2 42

log  5log 13log 0 (1 điểm)

c) Giải hệ phương trình

y x xy

1

16 

   

   



(1 điểm) Bài (1 điểm)

Cho hàm số y x m x m m C m x

2 2( 1)

2

   



 ,

m tham số.

Tìm m để hàm số Cm có cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm cực đại, cực tiểu

bằng 5? (1 điểm)

Bài (3 điểm)

Cho hình chóp S ABC có SA(ABC), đáy ABC vuông C Biết SA a 3, AB2 ,a AC a

a) Tính thể tích khối chóp S ABC (1,5 điểm)

b) Gọi H K, hình chiếu vng góc A xuống SC SB, Xác định tâm I tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC Suy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC (1 điểm)

Đề số 2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Mơn TỐN Lớp 12 Nâng cao

Thời gian làm 90 phút Bài (3 điểm)

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y f x( ) 1x3 2x2 3x 1 (C)

    

 Tập xác định D R (0,25 điểm)

 Giới hạn xlim y ; xlim y

    

   (0,25 điểm)

 y x x y x x xx y

y

2 1

' 3; ' 3

3 1

    

           

 

 



(0,25 điểm)

 Bảng biến thiên (0,5 điểm)

Hàm số đồng biến (1;3), nghịch biến ( ;1)  (3;)

Điểm cực đại I1(3;1), điểm cực tiểu I21; 13

 

 Ta có y''2x4; '' 0 y   2x 4  x2 Điểm uốn I2;13

  ( 0,25 điểm)

 Điểm đặc biệt: A0;1, B 4;

 



 

 

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I2;13

  làm tâm đối xứng (0,5 điểm)

1 3



1

- 0

1

  3

0 

 

-+

x

  '

f x

 

f x

0 -2

A

2 -1

x y

I

-2

3

. . .

. .

. . . .

.

. .

.

b) Tìm m để đường thẳng ( ) :d y mx 1 cắt ( )C điểm phân biệt? Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) là:

x

x x x = mx x x x m

x x m

3 2

2

1 2 3 1 1 2 3 0

1 2 3 0

3

3  

  

           

    

 



(0,5 điểm)

Đặt g x( ) 1x2 2x m 3

   

Để PT cho có nghiệm phân biệt PT g x( ) 0 có nghiệm phân biệt khác

g  m  mm

m

' 1 3 0 0

3

0 3

 

       

     

  

  

(0,5 điểm)

Bài ( điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: f x( ) 1cos2x 2sinx

3

   , với x 0;2  

 Ta có f x( ) 11 2sin2x 2sinx 2sin2x 2sinx 1, x 0;

3 3

  

         

  (0,25 điểm)

Đặt t sin , 0x t g t( ) 2t2 1,t t 0;1

3  

          (0,25 điểm)

g t'( ) 4t 2, '( ) 0, g t t 0;1

3

     (0,25 điểm)

Giá trị lớn nhất: 0;1 g t g t 0; f x x

max ( ) (0) max ( )

      

     

Giá trị nhỏ là: 0;1 g t g t 0; f x x

1

min ( ) (1) ( )

3 



     

     

Vậy 0; f x x

max ( )

      

 

, f x x 0;

2

1 ( )

3





     

 

(0,25 điểm)

b) PT x

x

2 42

log  5log 13log 0  log22x10 log2x16 0 (0,5 điểm)

Đặt tlog2x, ta có phương trình: (0,25 điểm)

x x

t x

t t t x

x x

2

2

8

1

log

2 4

10 16 8 log 8 1

2

256

 

   

 

  

         

  

     



c) Giải hệ phương trình

y x

xy

1

2 (1)

16  (2)

   

   

 y

x (1)

2

  , thay vào phương trình (2) ta được:

y y

y y

y

t t

t

2 4

16 4 4 0

4

   

        

   



(0,5 điểm)

Phương trình t t t tt

t

4 3 0 3 0

4           



 (0,25 điểm)

Kết hợp điều kiện, ta chọn t 4 4y  4 y 1 x2 (0,25 điểm) Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;1)

Bài (1 điểm)

 Tập xác định D R \ 2  ( 0,25 điểm)

 y  x m  x x m x m m x x m m

x x

2 2

2

2 2( 1) ( 2) 2( 1) 4

'

( 2) ( 2)

 

             

 

 

Đặt g x  x24x m 23m4 Để hàm số cho có cực trị y' 0 có hai nghiệm phân

biệt khác 2 y' đổi dấu qua hai nghiệm phân biệt  g x( ) 0 có hai nghiệm

phân biệt khác 2 Ta có hệ:

  m m m m

g m m

2

' 3 0

0

2 3 0

 

    

    

   

  



 

(0,25 điểm)

Vậy m   ;0  3; hàm số cho có cực trị

Với m   ;0  3; , gọi hai điểm cực trị I x x1 1; 12m2 ; I x x2 2; 22m2

     

   

I I I I x x x x x x

x x x x

2 2

2

1 2 2

2

2 1

5 2 5

4 *

          

   

Áp dụng hệ thức Viet, ta có x x

x x11 2 m2 m

3

   



   



(0,25 điểm)

Thay vào (*) ta phương trình

m

m m

m

3 10

2

4 12

3 10

2

 

  

   

 

 

(0,25 điểm)

Bài (3 điểm)

Vẽ hình ( 0,5 điểm)

a) Do SA(ABC) nên SA đường cao hình chóp S ABC .

Thể tích khối chóp là: V SA S ABC

3 

Mà ABC vuông C nên:

ABC a

S 1AC BC 1a a 3

2 2

    (0,25 điểm)

Suy V 1a 3.a2 a3

3 2

  (0,5 điểm)

b) Ta có: BC(SAC) ( BC AC BC SA ;  )

Suy BC AH

Mặt khác, SC AH

Từ đó, AH(SBC) AH HB AHB

 vng H

Gọi I trung điểm AB, ta có IA IB IH   (1)

ACB

 vng C, ta có IA IB IC   (2)

Từ (1), (2) suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC

Bán kính R IA AB a

   (0,5 điểm)

Diện tích mặt cầu là: S4R2 4a2 Thể tích khối cầu là: V R3 a3

3 3

  (0,5 điểm)

c) Tỉ số thể tích khối chóp A BHK A BCH

Ta có VA BCH. VB AHC. 1BC S ACH 1BC AH HC.1 1a .a2 a3

3 3 8

     (0,25 điểm)

 

H ABK B AHK a

V . V . 1BK dt AHK 1BK AH HK.1 3

3  14

   

Suy A BHK A BCH

a V

V a

3

3

3

12 14

1

8

  (0,25 điểm)

=================================

B S

A

C I