Bài Giảng điện tử Phân tích và thiết kế giải thuật. Tiến sĩ Dương Tuấn Anh. Chương 6: Những bài toán NP đầy đủ. Đối với nhiều bài toán chúng ta có những giải thuật hữu hiệu để giải. Tuy nhiên, có rất nhiều bài toán khác không có giải thuật hữu hiệu để giải.
Ch ng Nh ng b i t#an NP- y Gi i thu t th i gian a th c t t t t nh V n NP- nh v kh#ng y nh l& Cook M t s b i to)n NP- y T n t i hay kh&ng t n t i gi i thu t h u hi u v i nhi u b i to)n ch*ng ta c, nh ng gi i thu t h u hi u gi i Tuy nhi-n, c, r t nhi u b i to)n kh)c kh#ng c, gi i thu t h u hi u gi i V i v i m t l p kh) l n c a nh ng b i to)n nh v y, ch*ng ta kh#ng th n,i c, t n t i gi i thu t h u hi u gi i n, hay kh#ng Nh ng b i to(n kh# v nh ng b i to(n d / , ng c ch ph1n lo i nh ng b i to)n m i l 2kh, b ng3 m t s b i to)n c / bi t Tuy nhi-n, #i ranh gi i gi a nh ng b i to)n 2kh,3 v nh ng b i to)n 2d l kh) t nh Th4 d : D : C, t n t i m t l i i t x n y m s nh h n M? KH : C, t n t i m t l i i t x n y m tr ng s M? B i to)n - BFS th i gian n t4nh B i to)n th i gian h m m Gi i thu t th i gian a th c t t t t nh nh v kh&ng P: p h p t t c nh ng b i to)n c, th gi i c b ng nh ng gi i thu t t t nh th i gian a th c )T t nh* (Deterministic : gi i thu t ang l m g6, c th c hi n k c ng ch c, m t vi c nh t c, th ti p (whatever the algorithm is doing, there is only one thing it could next) Th4 d : X p th t b ng ph ng ph)p ch7n thu c l p P v6 c, ph c t p a th c O(N2 ) T nh kh&ng t t nh c)ch m r ng quy n n ng c a m)y t4nh l cho n, c, n ng l c l m vi c kh#ng t t nh (non-determinism) Kh ng t nh m t gi i thu t g p m t s l a ch n gi a nhi u kh n ng, n, c, quy n n ng 2ti-n ,an3 bi t ch n m t kh n ng th4ch )ng Gi i thu t kh#ng t t nh (nondeterministic algorithm) Th4 d : Cho A l m t m ng s nguy-n M t gi i thu t kh#ng t t nh NSORT(A, n) s p th t c)c s theo th t t ng v xu t ch*ng theo th t n y Th+ d v m t gi i thu t kh&ng t t nh // An array B is used as temporary array procedure NSORT(A // sort n positive integers // begin for i:= to n B[i]:= choice(1:n) , for i:= to n ) nh m t v tr4 begin *ng t m tr t j := choice(1: ; if B[j] < then failure n else B[j]:= A[i] end for i:= to n-1 if B[i] > B[i-1] then failure; prin success end; n Th+ d v m t gi i thu t kh&ng t t nh (tt m t gi i thu t kh#ng t t nh c, th c th c hi n b ng m t s song song h,a kh#ng h n ch (unbounded parallelism) M i l n c, b c l a ch n ph i th c hi n, gi i thu t t o nhi u b n c a ch4nh n, (copies of itself) M i b n c th c hi n cho kh n ng l a ch n Nh v y nhi u c th c hi n c8ng m t l*c kh n ng - B n u ti-n k t th*c th nh c#ng th6 l m k t th*c t t c c)c qu) tr6nh t4nh t,an kh)c - N u m t b n k t th*c th t b i th6 ch b n y k t th*c m th#i Gi i thu t kh&ng t t nh (tt ra, m t m)y t4nh kh#ng t t nh kh#ng t o nh ng b n c a gi i thu t m t ph i th c hi n m t l a ch n M , n, c, quy n n ng ch n m t y u t *ng3 t m t t p nh ng kh n ng l a ch n m i ph i th c hi n m t l a ch n c nh ngh a nh l m t chu i ng n M t y u t *ng3 nh t c a nh ng l a ch n (shortest sequence of choices) m d n n s k t th*c th nh c#ng Trong tr ng h p kh#ng t n t i m t chu i nh ng l a ch n nh r ng gi i m d n n s k t th*c th nh c#ng ta gi thu t d ng v in th#ng b)o #t nh to n kh'ng th)nh c'ng+ Gi i thu t kh&ng t t nh (tt Ghi ch!: C) # ) success failure t ng ng v i ph)t bi u stop m t gi i thu t t t nh ph c t p t4nh to)n c a NSORT l O(n) NP: t p h p t t c nh ng b i to)n m c, th c gi i b ng gi i thu t kh#ng t t nh th i gian a th c nh x n Th4 d : B i to)n c, t n t i l i i d i nh t t nh y l thu c l p NP B i to(n th a m,n m ch logic (circuit satisfiability proble Cho m t c#ng th c logic c, d ng (x1 + x3 + x5)*(x1+ ~x2 + x4)*(~x3 + x4 +x5)* (x2 + ~x3 + x5) v i c)c bi n xi l c)c bi n logic (true or false), 2+3 di n t OR, 2*3 di n t AND, v ~ di n t NOT B i to)n CSP l x)c nh xem c, t n t i m t ph9p g)n c)c tr logic v o c)c bi n logic cho to n c#ng th c tr th nh true CSP c ng l m t b i to)n NP Ghi ch*: L p P l m t t p c a l p NP 10 V n NP- y C, ) ng b i to)n m / bi t l thu c v l p NP nh ng kh#ng r c, th thu c v l p P hay kh#ng ) % ' (T c l) ta gi i , $ , ) ' ) % ) Nh ng b i to)n NP n y l i c, th-m m t t4nh ch t n a l : 2N u b t k m t nh ng b i to)n n y c, th gi i c th i gian a th c th6 t t c nh ng b i to)n c gi i th i gian a th c thu c l p NP c ng s tr-n m t m)y t t nh.3 11 ng b i to)n nh v y c g i l nh ng b i to)n NP- y (NP-complete) H6nh 6.1 NP-complete NP P 12 T+nh kh thu gi m a th c (Polynomial reducibilit p NP- y l l p c a nh ng b i to)n kh, nh t l p NP C#ng c ch4nh ch ng minh m t b i to)n thu c lo i NPy l & t ng v t4nh kh thu gi m a th c (polynomial reducibility) B t c gi i thu t n o gi i c b i to)n m i thu c lo i NP c d8ng gi i m t b i to)n NP- y n o , c, th / bi t b ng c)ch sau: bi t bi n th m t th hi n b t k c a b)i to%n NP- y th)nh m t th hi n c a b)i to%n m i, gi i b)i to%n n)y b ng t0m m t l i gi i, r i bi n th l i gi i gi i thu t c n)y tr v th)nh m t l i gi i c a b)i to%n NP- y bi t 13 T+nh kh thu gi m a th c (tt h m t b i to)n thu c lo i NP l NP- y , ta / bi t n o ch c n ch ng t r ng m t b i to)n NP- y , th6 kh thu gi m a th c v b i to)n m i y nh ngh a: (Thu gi ) Ta b o b i to)n L1 ( ) b i to)n L2, k& hi u l L1 L2 n u b t k gi i c L2 th6 c ng c, th c d8ng gi i thu t n o gi i L1 14 T+nh kh thu gi m a th c (tt m t b i to)n m i L l NP- y , ch*ng ta c n ch ng minh: B i to)n L thu c l p NP / bi t thu gi m v L M t b i to)n NP- y Th4 d : Cho hai b i to)n B i to)n ng i th ng gia du h nh (TSP): cho m t t p c)c th nh ph v kho ng c)ch gi a m i c p th nh ph , t6m m t l tr6nh i qua t t c m i th nh ph cho t ng kho ng c)ch c a l tr6nh nh h n M B i to)n chu tr6nh Hamilton (HCP): Cho m t th , t6m m t chu tr6nh n m i qua t t c m i nh 15 T+nh kh thu gi m a th c (tt bi t HCP l NP- y v mu n x)c nh xem TSP c ng l NP- y hay kh#ng B t k gi i thu t n o c d8ng gi i b i to)n TSP c ng c, th c c, th gi i b i to)n HCP, th#ng qua s thu gi m sau: d8ng Cho m t th hi n c a b i to)n HCP (m t th ), h/y t o m t th hi n c a b i to)n TSP t ng ng nh sau: t o c)c th nh ph c a b i to)n TSP b ng c)ch d8ng th ; t p nh v kho ng c)ch gi a hai c p th nh ph ta g)n gi) tr n u c, t n t i m t c nh gi a hai nh t ng ng th v gi) tr n u kh#ng c, c nh R i th6 d8ng gi i thu t gi i TSP t6m m t l tr6nh N (N l s nh th ) 16 T+nh kh thu gi m a th c (tt thu gi , nh v y t4nh ch t NP- y c a HCP h m & t4nh ch t t4nh ch t NP- y c a TSP S thu gi m HCP v TSP l nh ng n9t t ng t n gi n v6 hai b i to)n c, S thu gi m th i gian a th c c, th s r t ph c t p ch*ng ta li-n k t nh ng b i to)n m t ng i kh)c Th4 d : C, th thu gi m b i to)n tho m/n m ch logic (CSP) v b i to)n HCP 17 nh l Cook ) o l b i to)n NP- y u ti-n? c m t ch ng minh tr c ti p S.A Cook (1971) / xu t u ti-n r ng b i to)n th a m/n m ch logic (CSP) l b i to)n NP- y ) % 2N ) % c.+ Ch ng minh c a Cook r t ph c t p nh ng ch y u d a v o m)y Turing (Turing machine) t ng qu)t 18 M t s b i to(n NP- y 6n b i to)n kh)c c bi t l NP- y Danh s)ch n y b t u b ng b i to)n tho m/n m ch logic, b i to)n ng i th ng gia du h nh (TSP) v b i to)n chu tr6nh Hamilton M t v i b i to)n kh)c nh sau: Cho m t t p nh ng s nguy-n, - B)i to%n c, th ph1n ho ch ch*ng th nh hai t p m c, t ng tr s b ng nhau? ) % : Cho m t b i to)n qui ho ch n t4nh, li u c, t n t i m t l i gi i to n s nguy-n? 19 -X ' g) Cho m t k h n (deadline) v m t t p c)c c c#ng t)c c, chi u d i th i gian kh)c ph i th c thi tr-n hai b x l& V n l c, th s p x p th c thi t t c nh ng c#ng t)c , cho th a m/n k h n kh#ng? C : Cho m t th - B)i to% v m t s nguy-n N, c, th ki m c m t t p nh h n N nh m ch m h t m i c nh th ? ( ING): cho n m,n m - B)i to%n ph i t v o c)c th8ng c, s c ch a b ng L i ;i h i li n v s c ch a c a th8ng M c 4ch M,n l x)c nh s th8ng 4t nh t c n ch a t t c n m,n , 20 P NP ? )n n-u tr-n v nhi u b i to)n li-n quan c, nh ng ng d ng th c t quan tr ng c t6m th y cho S ki n kh#ng c, nh ng gi i thu t t t b t k b i to)n n o s nh ng b i to)n n-u tr-n l m t b ng ch ng m nh m r ng P NP D8 cho P c, kh)c NP hay kh#ng, m t s ki n th c t l ch ng ta kh'ng c nh ng gi i thu t m b o c th gi i b t k m t b)i to%n NP- y n)o m t c%ch h u hi u 21 M t s k thu t to(n NP- y i ph v i nh ng b i x p x 2(approximation algorithm) t6m l i gi i x p x t i u (near-optimal) ph)t D a v o hi u n ng c a tr ng h p trung b6nh tri n m t gi i thu t m t6m l i gi i m t s tr ng c m i tr ng h p n o ,, m c d8 kh#ng l m vi c h p S d ng nh ng gi i thu t c, ph c t p h m m nh ng h u hi u, v4 d nh gi i thu t quay lui a heuristic v o gi i thu t gi i thu t t ng th-m hi u qu c a S d ng metaheuristic 22 Heuristic v meta heuristic Heuristic l tri th c v b i to)n c th c s d ng d n d t qu) tr6nh t6m l i gi i c a gi i thu t Nh s th-m v o c)c heuristic m gi i thu t tr n-n h u hi u h n Meta heuristic l lo i heuristic t ng qu)t c, th )p d ng cho nhi u l p b i t,an G n 1y meta heuristic l m t l/nh v c nghi-n c u ph)t tri n m nh m , v i s i c a nhi u meta heuristic nh : - gi i thu t di truy n (genetic algorithm) - gi i thu t m# ph ng luy n kim (simulated annealing) - t6m ki m tabu (Tabu search) v.v< 23 ng g p c a v n NP- y C, hi u b i to)n NP- y c)c l/nh v c gi i t4ch s (numerical analysis), s p th t v t6m ki m, x l& d;ng k& t (string processing), M# h6nh h,a h6nh h c (geometry modeling) x l& th (graph processing) S ,ng g,p quan tr ng nh t c a l& thuy t v NPl : n cung ) % % ) # + ay #kh + y 24 B n l p b i to(n ph0n theo kh# Nh ng b)i to%n b t kh quy t (Undecidable problems): nh ng b i to)n ch a h c, gi i thu t Th4 d : B i to)n quy t nh xem m t ch tr-n m t m)y Turing gi i ng tr6nh c, d ng Nh ng b)i to%n kh gi i (intractable) : 1y l nh to)n m kh#ng t n t i gi i thu t th i gian a th ch*ng Ch t n t i gi i thu t th i gian h m m ch*ng Nh ng b)i to%n NP- y Nh ng b i to)n NP- y l m t l p c bi b i to)n NP Nh ng b)i to%n P ng b i c gi i gi i tc al p 25 ... y c g i l nh ng b i to)n NP- y (NP- complete) H6nh 6. 1 NP- complete NP P 12 T+nh kh thu gi m a th c (Polynomial reducibilit p NP- y l l p c a nh ng b i to)n kh, nh t l p NP C#ng c ch4nh ch ng minh... kh#ng c, c nh R i th6 d8ng gi i thu t gi i TSP t6m m t l tr6nh N (N l s nh th ) 16 T+nh kh thu gi m a th c (tt thu gi , nh v y t4nh ch t NP- y c a HCP h m & t4nh ch t t4nh ch t NP- y c a TSP S thu... heuristic nh : - gi i thu t di truy n (genetic algorithm) - gi i thu t m# ph ng luy n kim (simulated annealing) - t6m ki m tabu (Tabu search) v.v< 23 ng g p c a v n NP- y C, hi u b i to)n NP- y c)c