Bất đẳng thức hermite hadamard và áp dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHAN THỊ TUYẾT NGÂN BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE - HADAMARD VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHAN THỊ TUYẾT NGÂN BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE - HADAMARD VÀ ÁP DỤNG Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng - Năm 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 05 năm 2020 Tác giả Phan Thị Tuyết Ngân LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn em suốt trình thực để em hồn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo Khoa Tốn học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp PPTSCK36 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp qua trình hồn thành luận văn Phan Thị Tuyết Ngân MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng hình học hàm lồi 1.2 Hàm lồi khả vi 1.3 Hàm lồi không khả vi 11 Chương Bất đẳng thức Hermite - Hadamard số dạng mở rộng 14 2.1 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard 14 2.2 Một số mở rộng bất đẳng thức Hermite- Hadamard 17 2.3 Bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc 21 Chương Một số áp dụng bất đẳng thức Hermite Hadamard 27 3.1 Áp dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard để chứng minh số bất đẳng thức 27 3.2 Áp dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard vào giá trị trung bình 31 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày 22 tháng 11 năm 1881 đánh dấu khởi đầu sau Hermite (1822 - 1901) gửi cho tờ báo Mathesis thư sau bất đẳng thức f a+b a−b b f (t)dt a f (a) + f (b) , (1) công bố năm 1883 Theo Beckenbach, chuyên gia hàng đầu lịch sử lý thuyết hàm phức, viết bất đẳng thức (1) Hadamard chứng minh vào năm 1893 dường kết Hermite Bên cạnh đó, Fejér (1880-1959), nghiên cứu đa thức lượng giác (1906), thu bất đẳng thức khái quát hóa kết Hermite Trên thực tế, thuật ngữ “lồi” bắt nguồn từ ghi kết mà Hermite đưa vào năm 1881 xuất vào năm 1883 kể Sau này, có kết có tầm quan trọng thấp nhận nhiều ý lĩnh vực bất đẳng thức, kết Hermite trích dẫn thường xun mà khơng có xác định xác tác giả ban đầu Hơn hai mươi năm sau cơng trình Hermite xuất bản, Jensen (1905 - 1906) đưa định nghĩa hàm lồi chứng minh Bất đẳng thức Jensen Do bất đẳng thức (1) gọi bất đẳng thức Hadamard Nhưng tầm quan trọng kết mà Hermite đưa rõ ràng nên ngày ta gọi (1) bất đẳng thức Hermite-Hadamard, bất đẳng thức H - H cho đơn giản Đây bất đẳng thức có vai trị quan trọng việc đánh giá chuỗi lũy thừa đặc biệt đánh giá hàm trung bình (nhân, cộng, lơgarit ) Sau nhiều nhà nghiên cứu tốn học có hướng phát triển nghiên cứu khác bất đẳng thức Hermite - Hadamard Các bất đẳng thức dạng Hermite - Hadamard có nhiều ứng dụng thực tế thí dụ tốn: đặc trưng hàm lồi, quan hệ đại lượng trung bình, lý thuyết xấp xỉ Do đó, hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn chọn nghiên cứu đề tài: “Bất đẳng thức Hermite - Hadamard áp dụng” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kết ứng dụng bất đẳng thức Hermite Hadamard Trên sở tiềm hiểu số mở rộng bất đẳng thức này, áp dụng vào chứng minh số bất đẳng thức toán giá trị trung bình Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu là: Bất đẳng thức Hermite - Hadamard; Một số mở rộng bất đẳng thức Hermite - Hadamard - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu Bất đẳng thức Hermite - Hadamard hàm lồi số mở rộng dựa sở mở rộng hàm lồi; áp dụng để chứng minh bất đẳng thức dạng toán liên quan giá trị trung bình Phương pháp nghiên cứu Dựa kết có Bất đẳng thức Hermite - Hadamard để nghiên cứu kết tương tự cho bất đẳng thức mở rộng Phân tích, tổng hợp kết thu nhận từ vấn đề có liên quan đến đề tài cách hệ thống khoa học Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết đề tài có ý nghĩa lý thuyết ứng dụng Luận văn sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành tốn học u thích tốn bất đẳng thức tích phân Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn trình bày ba chương Chương1, trình bày số đặc trưng hình học hàm lồi; đặc trưng hàm lồi khả vi hàm lồi khơng khả vi Chương 2, trình bày bất đẳng thức Hermite - Hadamard cách chứng minh bất đẳng thức Ngồi ra, tơi cịn chứng minh số định lý mở rộng bất đẳng thức Hermite - Hadamard bất đẳng thức Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc Chương 3, trình bày số áp dụng bất đẳng thức Hermite - Hadamard chứng minh đại lượng trung bình bất đẳng thức toán sơ cấp 35 ≤ Lpp − I p ≤ p Lpp − ILp−1 p−1 , ≤ Lpp − Gp ≤ p Lpp − GLp−1 p−1 Áp dụng công thức (2.6), ta có khẳng định sau đây: Mệnh đề 3.2.4 Nếu < a < b bất đẳng thức t − L t2 − G2 ≤ L G2 với t ∈ [a, b] Đặc biệt, ta có: Lp − L L2p − G2 ≤ (p ≥ 1), 0≤ L G2 A − L A2 − G2 0≤ , ≤ L G2 I − L I − G2 0≤ ≤ L G2 G2 − H L−H 0≤ ≤ G2 L Từ bất đẳng thức (2.6) ta có: Mệnh đề 3.2.5 Nếu < a < b bất đẳng thức L−t ≤ ln I − ln t L với t ∈ [a, b] Các trường hợp riêng: 0≤ L−G ≤ ln I − ln G, L 0≤ L−H ≤ ln I − ln H, L 36 A−L ≥ ln A − ln I ≥ L Một ứng dụng tự nhiên bất đẳng thức (2.9) trình bày Nhận xét 3.2.4 sau Nhận xét 3.2.4 Giả sử r ∈ (−∞, 0)∪[1, ∞)\{−1} [a, b] ⊂ (0, ∞) Với xi ∈ [a, b], pi ≥ 0, i = 1, , n n Pn := pi > 0, i=1 ta có bất đẳng thức Lrr (a, b) − Mn[r] (x, p) r ≤ r(Lr (a, b))r − An (x, p) (Lr−1 (a, b))r−1 ≤ 2A(br , ar ) − (Lr (a, b))r − [Mn[r] (x; p)]r , An (x, p) := Pn n p i xi , i=1 trung bình cộng có trọng (weighted arithmetic mean) Mn[r] (x; p) := Pn r n pi xri , i=1 trung bình lũy thừa cấp r (r-power mean) Trường hợp riêng Nếu bất đẳng thức chọn xi = t ∈ [a, b], i = 1, , n ta có r r r r Lrr − tr ≤ r[Lrr − tLr−1 r−1 ] ≤ 2A(b , a ) − Lr − t Bất đẳng thức thứ hai bất đẳng thức cho trường hợp riêng sau đây: r r r r ≤ r[Lrr − ALr−1 r−1 ] ≤ 2A(b , a ) − Lr − A r r r r ≤ r[Lrr − LLr−1 r−1 ] ≤ 2A(b , a ) − Lr − L 37 r r r r ≤ r[Lrr − ILr−1 r−1 ] ≤ 2A(b , a ) − Lr − I r r r r ≤ r[Lrr − GLr−1 r−1 ] ≤ 2A(b , a ) − Lr − G Mệnh đề 3.2.6 Giả sử ≤ a < b, xi ∈ [a, b], pi > 0, i = 1, ,n Khi ta có bất đẳng thức sau: Hn (p, x) − L(a, b) An (p, x)Hn (p, x) − G2 (a, b) ≤ L(a, b) G2 (a, b) A(a, b)Hn (p, x) − G2 (a, b) , ≤ G2 (a, b) (3.5) đó, Hn (p, x) trung bình điều hịa có trọng (weighted harmonic mean) Pn [−1] Hn (p, x) = Mn−1 (x, p) = n pi x i=1 i Chứng minh Nếu ta chọn Định lý 2.2.3, f (x) = , x ∈ [a, b], ta x có: b−a b a dx 1 ≤ x Pn ≤ b n i=1 b a 1 pi b − a b − a + − An (x, p) xi b − a b−a a − Do đó, 1 An (p, x) A(a, b) ≤ + ≤ L(a, b) Hn (p, x) G (a, b) G (a, b) Từ ta có: 1 An (x, p) − ≤ − L(a, b) Hn (p, x) G2 (a, b) Hn (p, x) A(a, b) ≤ − G (a, b) Hn (p, x) 38 Khi đó, Hn (p, x) − L(a, b) An (x, p)Hn (p, x) − G2 (a, b) ≤ L(a, b)Hn (p, x) G2 (a, b)Hn (p, x) A(a, b)Hn (p, x) − G2 (a, b) ≤ G2 (a, b)Hn (p, x) Do ta thu bất đẳng thức (3.5) Trường hợp riêng, bất đẳng thức chọn xi = t ∈ [a, b], i = 1, , n ta có t − L t2 − G2 tA − G2 ≤ ≤ L G2 G2 Bất đẳng thức thứ hai bất đẳng thức (3.5) cho trường hợp riêng sau đây: IA − G2 I − G2 ≤ , 0≤ G2 G2 L2 − G2 LA − G2 ≤ 0≤ G2 G2 Mệnh đề 3.2.7 Giả sử ≤ a < b, xi ∈ [a, b], pi ≥ 0, i = 1, ,n Pn > Khi ta có bất đẳng thức: ln I(a, b) − ln G(p, x) ≥ L(a, b) − An (x, p) L(a, b) ≥ ln G2 (a, b) − ln I(a, b) − ln Gn (p, x), (3.6) đó, Gn (p, x) trung bình nhân có trọng (weighted geometric mean), Pn n xpi i Gn (p, x) := i=1 Chứng minh Trong định lý 2.2.3, chọn f (x) = − ln x, x ∈ [a, b], ta thu 39 được: b−a b (− ln x)dx a −1 ≤ Pn ≤− n pi ln xi + i=1 b ln b − a ln a ln b − ln a − An (x, p) b−a b−a ln b + ln a Do đó, b−a b ln xdx ≥ a An (x, p) ln Gn (p, x) + ln[e · I(a, b)] − L(a, b) ≥ ln G(a, b) Hoặc ln I(a, b) ≥ 1 An (x, p) ln Gn (p, x) + + ln I(a, b) − 2 2L(a, b) ≥ ln G(a, b) Khi đó, ta có An (p, x) ln I(a, b) ≥ ln Gn (p, x) + − L(a, b) ≥ ln G(a, b) − ln I(a, b) Hơn nữa, L(a, b) − An (p, x) [ln I(a, b) − ln Gn (p, x)] ≥ 2 L(a, b) 1 ≥ ln G(a, b) − ln I(a, b) − ln Gn (p, x) 2 Và đó, ta thu Bất đẳng thức (3.6) Trưởng hợp riêng, bất đẳng thức chọn xi = t ∈ [a, b], i=1, , n ta có ln I − ln t ≥ L−t ≥ ln G2 − ln I − ln t L 40 Bất đẳng thức thứ hai bất đẳng thức cho trường hợp riêng sau đây: 0≤ A−L ≤ − ln G2 + ln I + ln A, L I −L 0≤ ≤ − ln G2 + ln I L Nghĩa là, A−L IA ≤ ln , L G I I −L ≤ ln 0≤ L G 0≤ Mũ hóa theo số e hai vế bất đẳng thức ta có A IA − ≤ 2, L G I I2 ≤ exp − ≤ L G ≤ exp 41 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu Bất đẳng thức Hermite - Hadamard, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: - Trình bày cụ thể, rõ ràng Bất đẳng thức Hermite - Hadamard số mở rộng bất đẳng thức - Trình bày Bất đẳng thức Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc - Áp dụng Bất đẳng thức Hermie - Hadamard cho toán chứng minh sơ cấp tốn chứng minh đại lượng trung bình Từ giúp dạng tốn chứng minh phổ thơng có thêm nhiều phương pháp giải Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực cịn nhiều hạn chế sai sót Rất mong góp ý xây dựng q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, NXB Giáo dục Tiếng Anh [2] Sever S Dragomir, Charles E M Peacre (2000), Selected Topics on Hermite - Hadamard Inequalities and Applications , GRMIA Monographs, Victoria University [3] Pietro Cerone, Sever S Dragomir (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, GRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [4] Daniel Alexandru Ion (2007), “Some estimates on the HermiteHadamard inequality through quasi-convex functions”, Annals of University of Craiova, Math Comp Sci Ser., Vol 34, pp 82–87 [5] Imdat Iscan (2016), “Hermite-hadamard type inequalities for pconvex functions”, International Journal of Analysis and Applications, Vol 11, No 2, pp 137-145 D~I HOC DA NANG TRUONG DAI HOC CONG HoA XA HOI cau str PHAM S6: W"1b/QD-DHSP NGHiA VIET NAM DQc I~p - T" - H~Dh phuc fJa Nfmg, OZI- thang Ji ndm JOL~ QUYETDJNH V~ vi~c giao d~ tai va trach nhiem huong d~D lu~n van thac si HI¥U TRUONG TRUONG D~ HQC S{) P~M Can CITNghi dinh s6 32/CP 04/4/1994 cua Chinh phu v~ viec l~p D~i hoc Da N~ng; Can eIT Thong tu s6 OS/2014/TT-BGDDT 20/3/2014 cua BQ Giao due va Dao tao v~ viec ban hanh Quy eh~ t6 clurc va hoat dong cua dai h9C vung va cac co so giao due dai hoc vien; Can CU Quyet dinh s6 69S0IQD-DHDN 01112/2014 cua Giarn d6c Dai h9C Da N~ng ban hanh Quy dinh nhiem V\}, quyen han cua Dai hoc Ba Nang, cac co so giao due dai hoc vien va cac dan vi tl1JCthuoc; Can cir Thong tu s6 IS/2014/TT-BGDBT 15/5/2014 ella BQ Giao due va Dao tao v~ vi~c ban hfmh Quy ch~ Bao t~o trinh dQth~c Sl; Can Cll' Quy~t dinh 1060IQB-BHSP 01111/2016 clla Hi~u tnrong Truong B~i hc Su ph~m - DHDN v~ vi~c ban hanh Quy dinh dao t~o trinh dQth~c SI; Xet d~ nghi Clla Ban ehll nhi~m Khoa Toan v~ vi~c Quy~t dinh giao d~ titi va trach nhi~m huang d~n lu~n van th~c SI; Xet d~ nghi clla ong Truong Phong Dao t~o, QUYETDJNH: Di~u 1: Giao eho h9C vien Phan Thi Tuy~t Ngan, nganh PhuO'ng pbap toaD SO'c&p d~t t~i dan vi ph6i hqp dao t~o Truong B~i hcQuang Binh, khoa 36, th1!c hi~n d~ tai lu~n van Bit ding thfrc Hermite-Hadamard va ap dl}Dg, duai S\l huang d~n ella TS Pban Duc Tu§n, TruO'ng D~i hQc Su pb~m - f)~i hQc Dil Ning Di~u 2: H9C vien cao hc va nguoi huang d~n co ten Bi~u duqc huong cac quy~n lqi va th\fC hi~n nhi~m Vl,l dung thea Quy ch~ dao t~o trinh de) th~c S1 Be) Giao dvc va Dao t~o ban hanh va Quy dinh v~ dao t~o trinh dQth~c S1 CllaTruong D~i h9C Su ph~m f)~i hc Ba N~ng Di~u 3: Cac ong (ba) Truong Phong T6 chuc - Hfmh chinh, Bao t~o, K~ ho~ch Tai chinh, Khoa Toan, nguoi huang d~n lu~n van va hc vien co ten tren can cu Quy~t dinh thi hanh1v _ ~IItUTRUONG Nai nh~n: _ Nhu £)i~L1 3; - LUll: VT, £)ilO ~ ~ c lt~~"" ~ i1'o\ t;;lo PGS.TS LUU TRANG ... đề tài: ? ?Bất đẳng thức Hermite - Hadamard áp dụng? ?? Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kết ứng dụng bất đẳng thức Hermite Hadamard Trên sở tiềm hiểu số mở rộng bất đẳng thức này, áp dụng vào chứng... cụ thể, rõ ràng Bất đẳng thức Hermite - Hadamard số mở rộng bất đẳng thức - Trình bày Bất đẳng thức Hermite - Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc - Áp dụng Bất đẳng thức Hermie - Hadamard cho toán... 2, trình bày bất đẳng thức Hermite - Hadamard cách chứng minh bất đẳng thức Ngồi ra, tơi cịn chứng minh số định lý mở rộng bất đẳng thức Hermite - Hadamard bất đẳng thức Hermite - Hadamard cho