PT Luong Giac

Phần 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản[r]

LƯỢNG GIÁC

Phần 1: CÔNG THỨC

A Cung liên kết

1/ Cung đối nhau:



-



sin (- ) = - sin

cos(- ) = cos

tan(- ) = - tan

cot(- ) = - cot

2/ Cung bù nhau:



(



-



)

sin ( - ) = sin

cos( - ) = - cos

tan( - ) = - tan

cot ( - ) = - cot

3/ Cung π:



(



+



)

sin ( + ) = - sin

cos( + ) = - cos

tan ( + ) = tan

cot( + ) = cot

CHÚ Ý :

sin( + k) = (-1)

k

sin

cos( + k) = (-1)

k

.cos

tan( + k) = tan

cot( + k) = cot

4/ Cung phụ nhau:



   

 

  

2

sin



  

 

  

2

= cos

cos



  

 

  

2

= sin

tan



  

 

 

2

= cot

cot



  

 

 

2

= tan

5/ Cung



:



2 

 

sin



  

 

 

2

= cos

cos



    

 

2

= - sin

tan



  

 

 

2

= - cot

cot



    

 

2

= - tan

B Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt

Cung

GTLG

0



4 

3 

2 

sinx

0

12

2

3

2

1

cosx

1

2

2

1

2

0

tanx

0

3

1

3

||

cotx

||

1

C Các công thức lượng giác

1 Hệ thức LG bản

2

2

sin cos

sin tan

cos

1

1 tan

cos

k k

 

 

  





  



  

 

     

 

 

      

 









2

tan cot

2 cos

cot

sin

1 cot sin

k

k k



  



  



  



 

    

 

  

   

2 Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:













sin sinacosb cos sin

cos cos a cos b sinasinb

tan tan

tan b

1 tan tan

a b a b

a b

a b

a

a b

  

 



 





Công thức nhân:

2 2

3

3

sin 2sin cos

cos cos sin 2cos 1 2sin

cos3 cos 3cos

sin 3sin 4sin

3tan tan

tan =

1 3tan

a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a

a

a



     

 

 

 

Công thức hạ bậc:

cos2a =1

2(1 + cos2a) sin2a =1

2(1  cos2a);

1 os2

tan

1 os2

c a

a

c a

 



Tích thành tổng:

cosa.cosb =1

2[cos(a  b) + cos(a + b)] sina.sinb =1

2[cos(a  b)  cos(a + b)] sina.cosb =1

2[sin(a  b) + sin(a + b)]

Tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

2

a b a b

a b  

cos cos 2sin sin

2

a b a b

a b  

sin sin 2sin cos

2

a b a b

a b  

sin sin 2cos sin

2

a b a b

a b  

sin( )

tan tan

cos cos

a b

a b

a b



 





os





cot

sin sin

c b a

a b

a b



 

Biểu diễn hàm số LG theo tan

a

t  Ta có:

2

2 2

2 1-

sin ; cos ; tan

1 1

t t t

a a a

t t t

  

  

Chú ý:

sinx cos sin x cos

4

sinx cos sin os

4

x x

x x c x

 

 

   

       

   

   

       

   









1 sinx

1 cos

t anx ;

cot ;

x

x

   

   

   

Phần 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác bản

1

sinx sin

2

x k

x k

 



  

  

  

  



tan x tan   x  k

2

cos os

2

x k

x c

x k

 



 

  

  

 



cotxcot  x  k

Trường hợp đặc biệt:

sinx

sinx

2

sinx

2

x k

x k

x k

 

 



   

   

   

cos

2

cos

cos

x x k

x x k

x x k

  

 

    

  

   

t anx t anx

4

t anx

4

x k

x k

x k

 

 



   

   

   

VD: Giải phương trình:

a)

sin( )

3

x 

; b)

tan (x+ )1

2 

; c)

1 sinx

3



; d)

sin sin

4 12

x  x 

   

   

   

   

e)

sin cos3

x  x

 

 

 

 

; f)

5

sin cos

6

x  x 

   

   

   

   

; g)





0

cos cos 30

2

x

x

 

h)

tan(2 3) cot2

x  

; i)

sin(3x 15 ) cos1500  0

; k)

sin(3x  2)1

u)

cos 2xcosx

; v)

sin sin

4

x  x 

   

  

   

   

; t)

cos 2x 

 

 

 

 

2 Phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác

a) Phương trình bậc hàm số lượng giác

0 ( 0)

at b  a

; (t hàm số lượng giác)

Cách giải: Đưa PTLG bản

VD: Giải phương trình:

a) 2sinx + = 0; b) n x 0ta  

;

c) 2cos( ) 3

x   

d) sin

3

x 

 

  

 

 

;

e)

5

2 cos

6

x 

 

   

 

;

f) cot 2x 

 

  

 

 

g)

3 tan(x 60 ) 0 

; h)

 cot(x45 )0  0

; i)

sin 3

12

x 

 

 

 

 

b) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác

2 0 ( 0)

at bt c  a

; (t hàm số lượng giác).

Cách giải: Đặt ẩn phụ

VD: Giải phương trình:

a)

2sin x 3sinx 0

; b)

tan x (12   2) tan x - = 0

; c)

2sin2x5sinx 0

d)

2cos 2x2cosx 0

; e)

3sin22x + 7cos2x - 3= 0;

f)

4tan2x + 12tanx =

g)

cos2x - 5sinx - = 0

; h)

cos2x + cosx + 1= 0;

i)

cot2 x 5cotx 6 0

  

k)

4sin4x 12cos2x 7

3 Phương trình bậc sinx cosx

a sinx b cosx c

(1)

Cách 1: Biến đổi biểu thức

a sinx b cosx

thành dạng

Csin(x)

dạng

Ccos(x) ( , ,C  

số).

Ta có:

2

2 2

a sinx bcosx a b a sinx+ b cosx

a b a b

 

    

 

 

Do

2 2

a

a b

 

 



 

+

2 2

b

a b

 

 



 

=1 Nên có số



để

cos 2a 2

a b

 



;

2

sin b

a b

  

(1)



2

sin(x ) c

a b



 



Cách 2: Đặt

tan

2

x t 

VD: Giải phương trình:

a)

2sin 2x cos 2x 2

; b)

s inx cos x1

c)

4sinx - 3cosx =

d)

2cos2x + 3sin2x = 3;

e)

5sin 2x 6 cos2x 13

  ;

f)

2sin 2x3cos 2x 13 sin14x

g)

3cos sin

2

x x

; h)

sinx 2 sin 5x cosx

; i)

sinx cosxsin 2x cos 2x

4 Phương trình bậc hai sinx cosx

2 2 2

a sin x b sin cosx x c cos x e a ( b c 0)

(1)

Cách giải:



Kiểm tra xem sinx = cosx = có nghiệm (1) khơng?



Chia hai vế cho

cos x2

(với điều kiện

cosx 0

) để đưa PT

tan x

, hoặc

chia hai vế cho

sin x2

(với điều kiện

sinx 0

) để đưa PT

cot x

.

VD: Giải phương trình:

a)

4sin2 x 5sin cosx x 6cos2x 0.

  

ĐS

arctan ; arctan

4

S k  k

 

 

b)

2sin2x 5sin cosx x cos2x 2

  

ĐS

arctan3 17 ;arctan3 17

4

S   k  k

 

 

c)

sin2x - 2sinxcosx - 3cos2x =

ĐS

;arctan

S   k k

 

d)

6sin2x + sinxcosx - cos2x

= ĐS

;arctan3

4

S    k k

 

e)

cos2 x 3 sin 2x 1 sin2x

  

ĐS

;

4

S  k  k

 

f)

cos3x sin3x s inx cosx

  

ĐS

4

S k

 

g)

cos3x s inx 3sin2xcosx 0

  

ĐS

;arctan(1 2)

4

S k  k

 

h)

2sin3x sin2 xcosx 2sin x cos2 x cos3x 0

   

ĐS

arctan1

2

S k

5 Phương trình giải nhờ công thức nhân đôi, nhân ba hạ bậc, biến đổi tổng

thành tích tích thành tổng

VD: Giải phương trình:

a)

sin2 os 22 sin 32

2

x c x x

ĐS

;

8

k

S     k

 

b)

cos 32 cos 42 cos 52

2

x x x

ĐS

;

16

k

S      k

 

c)

sin2 x sin 22 x sin 32 x sin 42 x 2

   

ĐS

; ;

10 2

k k

S       k

 

d)

sin2 x sin 22 x sin 32 x 3/ 2

   ĐS ;

8

k

S      k

 

e)

cos2x cos 22 x cos 32 x cos 42 x 2

    ĐS ;

10

k

S      k

 

f)

sin4x + cos4x = cos4x

ĐS

S 



k / 2



g)

sinxsin7x = sin3xsin5x

ĐS

;

2

k k

S  

 

h)

cosxcos3x - sin2xsin6x - sin4xsin6x = ĐS ;

18

k

S      k

 

i)

cosx + cos3x + 2cos2x =

ĐS

;

4

k

S     k 

 

k)

cos22x + 3cos18x + 3cos14x + cos10x =

ĐS

;

32 16

k k

S      

 

l) 2

3 cos x2sin cosx x sin x1 0

ĐS

arctan1 3;

4

S    k



 

 

v)





2

cos 2sin 2cos

1 sin

x x x

x

  

 

ĐS

4

S  k 

 

u) cos cos os3 sin x sin sin3

2 2 2

x x x x

x c  

ĐS

; ;

6

k

S      k   k

 

t) sinx sin 2 xsin 3xsin 4xsin 5xsin 6x0.

ĐS

; ; 2

7 3

k k

S        k 

 

o)

2

2cos os4 4cos

4 x c x x



 

   

 

 

ĐS

12 ;36

k S k   

 

x)

2sin (1x cos2 ) sin 2x  x 1 2cos x

ĐS

2 ;

3

S   k   k

 

y)

sin x sin 2x sin 3x 6cos3x

 

ĐS

S



arctan 2k; / 3k



z)

os6 sin6 13 os 22

c x x c x

ĐS

;

4

S k   k

 

w)

2 os2 8cos

cos

c x x

x

  

ĐS

;

Sk    k 

p)

1 2sin sinx sin

2sin x cos

x x

x

  





ĐS

2 ;

4

S k  k 

 

6 Phương trình có chứa

s inx cos x

cos s inxx

Cách giải: Nếu phương trình có chứa số hạng dạng

a(sinx cos ) x

và

sin cos

b x x

ln ln đặt

us inx cos x

(đk

u  2

) làm ẩn phụ.

VD: Giải phương trình:

a)

2(sinxcos ) sin cosx  x x1 b) s inx cos x 4sin 2x1

.

2

k S  

 

c)

1 sin 23 os 23 3sin 4

2

x c x x

  

;

4

S   k  k

 

d)

5sin 2xsinxcosx 6 0.

S  

 

e)

cos sinx 10

cos sinx

x

x

   

;3

4

S   k    k 

 

f)

sin 2 sin

x x 

 

S k2 ;2 k2 ; k2

 

   

 

    

 

g)

sin3 x cos3x cos2 x

 

; ;3

4

S   k  k   k 

 

h)

1 t anx 2 s inx. 

; ;11

4 12 12

S  k    k   k 

 

i)

sinx sin 1sin

2 x x



 

    

 

S k2 ; k2 

  

 

   

 

7 Phương trình giải nhờ đánh giá vế

Dạng 1: Đánh giá

Trường hợp 1: Nếu

VT a

và

VP a

PT tương đương với hệ

VT a

VP a

  

 

Trường hợp 2: Nếu

2

0

A B 

tương đương với

0

A B

  

 

Trường hợp 3:

cos cos cos

cosB=1

A

A B   



cos

cos B= -

A 

  

VD1: Giải phương trình:

a)

sin (cosx x 2sin )x cos3 (1 s inx - 2cos3 ) 0x  x 

S  

 

b)

cos2x c os4x c os6xcos cos os3x xc x2

S



k



c)

( os4c x c os2 )x  5 sin 3x

6

k S    

 

d)

cos2x sin 2x s inx cos x 4

3

S  k 

 

e)

2(sinx cos ) t anx cotx

4

x S  k 

     

 

; f)

200 200

sin os

2

k

x c x S  

Dạng 2: Sử dụng tính chất hàm số

VD2: Giải phương trình:

1 cos

2

x

x

 

ĐS:

S 

 

0

8 Phương trình có điều kiện

Đối với số phương trình, từ đầu trình giải ta cần tiến

hành đặt điều kiện cần thiết tới lấy nghiệm ta phải lưu ý tới điều kiện này

để loại nghiệm ngoại lai có.

VD: Giải phương trình:

a)

(1 tan x)cos3x (1 cot )sinx 3x 2sin 2x

   

4

S   m

 

b)

1

cosxsin 2x sin 4x

5

2 ;

6

S k   k 

 

c)



cos cos



os2 1sin

x x c x x

  

4

S    k 

 

d)

sin4 x cos4xsinx cosx (2 1)

2

S  n 

 

e)

tanx tan 3x2sin 2x

; ;

4

k k

Sk      

 

f)

tan4 x 1 cos 4x

 

8

k S   

 

; g)

2cos

cot t anx

sin

x

x S m

x

 

 

     

 

h)

3tan cot 2 tan sin

x x x

x

  

1arc cos( 1)

2

S    k

 