Phần 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản[r]
(1)LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC A Cung liên kết
1/ Cung đối nhau: -
sin (- ) = - sin cos(- ) = cos tan(- ) = - tan cot(- ) = - cot
2/ Cung bù nhau: ( - )
sin ( - ) = sin cos( - ) = - cos tan( - ) = - tan cot ( - ) = - cot
3/ Cung π: ( + )
sin ( + ) = - sin cos( + ) = - cos tan ( + ) = tan cot( + ) = cot CHÚ Ý :
sin( + k) = (-1)k sin
cos( + k) = (-1)k.cos
tan( + k) = tan cot( + k) = cot
4/ Cung phụ nhau:
2
sin
2 = cos
cos
2 = sin
tan
2 = cot
cot
2 = tan
5/ Cung
:
2
sin
2 = cos
cos
2 = - sin
tan
2 = - cot
cot
2 = - tan
B Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt
Cung
GTLG 0
4
3
2
sinx 0 12
2
3
2 1
cosx 1
2
2
1
2 0
tanx 0
3 1
3 ||
cotx || 1
(2)C Các công thức lượng giác
1 Hệ thức LG bản
2
2
sin cos
sin tan
cos
1
1 tan
cos
k k
2
tan cot
2 cos
cot
sin
1 cot sin
k
k k
2 Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:
sin sinacosb cos sin
cos cos a cos b sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b a b
a b
a b
a
a b
Công thức nhân:
2 2
3
3
sin 2sin cos
cos cos sin 2cos 1 2sin
cos3 cos 3cos
sin 3sin 4sin
3tan tan
tan =
1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a
a
Công thức hạ bậc:
cos2a =1
2(1 + cos2a) sin2a =1
2(1 cos2a);
1 os2
tan
1 os2
c a
a
c a
Tích thành tổng: cosa.cosb =1
2[cos(a b) + cos(a + b)] sina.sinb =1
2[cos(a b) cos(a + b)] sina.cosb =1
2[sin(a b) + sin(a + b)] Tổng thành tích:
cos cos 2cos cos
2
a b a b
a b
cos cos 2sin sin
2
a b a b
a b
sin sin 2sin cos
2
a b a b
a b
sin sin 2cos sin
2
a b a b
a b
sin( )
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
os
cot
sin sin
c b a
a b
a b
Biểu diễn hàm số LG theo tan
a
t Ta có:
2
2 2
2 1-
sin ; cos ; tan
1 1
t t t
a a a
t t t
Chú ý:
sinx cos sin x cos
4
sinx cos sin os
4
x x
x x c x
1 sinx
1 cos
t anx ;
cot ;
x
x
(3)Phần 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Phương trình lượng giác bản
1 sinx sin
2
x k
x k
tan x tan x k
2 cos os
2
x k
x c
x k
cotxcot x k Trường hợp đặc biệt:
sinx
sinx
2
sinx
2
x k
x k
x k
cos
2
cos
cos
x x k
x x k
x x k
t anx t anx
4
t anx
4
x k
x k
x k
VD: Giải phương trình: a) sin( )
3
x ; b) tan (x+ )1
2 ; c)
1 sinx
3
; d) sin sin
4 12
x x
e) sin cos3
x x
; f)
5
sin cos
6
x x
; g)
0
cos cos 30
2
x
x
h) tan(2 3) cot2
x ; i) sin(3x 15 ) cos1500 0; k) sin(3x 2)1
u) cos 2xcosx; v) sin sin
4
x x
; t) cos 2x
2 Phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác
a) Phương trình bậc hàm số lượng giác
0 ( 0)
at b a ; (t hàm số lượng giác)
Cách giải: Đưa PTLG bản VD: Giải phương trình:
a) 2sinx + = 0; b) n x 0ta ; c) 2cos( ) 3
x
d) sin
3
x
; e)
5
2 cos
6
x
; f) cot 2x
g)
3 tan(x 60 ) 0 ; h) cot(x45 )0 0 ; i) sin 3
12
x
b) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác
2 0 ( 0)
at bt c a ; (t hàm số lượng giác).
Cách giải: Đặt ẩn phụ VD: Giải phương trình: a)
2sin x 3sinx 0 ; b) tan x (12 2) tan x - = 0; c) 2sin2x5sinx 0
d)2cos 2x2cosx 0 ; e) 3sin22x + 7cos2x - 3= 0; f) 4tan2x + 12tanx =
g) cos2x - 5sinx - = 0; h) cos2x + cosx + 1= 0; i) cot2 x 5cotx 6 0
k) 4sin4x 12cos2x 7
(4)3 Phương trình bậc sinx cosx a sinx b cosx c (1)
Cách 1: Biến đổi biểu thức a sinx b cosx thành dạng Csin(x) dạng Ccos(x) ( , ,C số).
Ta có: 2
2 2
a sinx bcosx a b a sinx+ b cosx
a b a b
Do
2 2
a
a b
+
2 2
b
a b
=1 Nên có số để cos 2a 2
a b
; 2
sin b
a b
(1)
2
sin(x ) c
a b
Cách 2: Đặt tan
2
x t
VD: Giải phương trình:
a) 2sin 2x cos 2x 2; b) s inx cos x1 c) 4sinx - 3cosx =
d) 2cos2x + 3sin2x = 3; e) 5sin 2x 6 cos2x 13
; f) 2sin 2x3cos 2x 13 sin14x
g) 3cos sin
2
x x ; h) sinx 2 sin 5x cosx; i) sinx cosxsin 2x cos 2x
4 Phương trình bậc hai sinx cosx
2 2 2
a sin x b sin cosx x c cos x e a ( b c 0) (1)
Cách giải:
Kiểm tra xem sinx = cosx = có nghiệm (1) khơng?
Chia hai vế cho cos x2 (với điều kiện cosx 0) để đưa PT tan x, hoặc
chia hai vế cho sin x2 (với điều kiện sinx 0) để đưa PT cot x.
VD: Giải phương trình:
a) 4sin2 x 5sin cosx x 6cos2x 0.
ĐS arctan ; arctan
4
S k k
b) 2sin2x 5sin cosx x cos2x 2
ĐS arctan3 17 ;arctan3 17
4
S k k
c) sin2x - 2sinxcosx - 3cos2x = ĐS ;arctan
S k k
d) 6sin2x + sinxcosx - cos2x = ĐS ;arctan3
4
S k k
e) cos2 x 3 sin 2x 1 sin2x
ĐS ;
4
S k k
f) cos3x sin3x s inx cosx
ĐS
4
S k
g) cos3x s inx 3sin2xcosx 0
ĐS ;arctan(1 2)
4
S k k
h) 2sin3x sin2 xcosx 2sin x cos2 x cos3x 0
ĐS arctan1
2
S k
(5)5 Phương trình giải nhờ công thức nhân đôi, nhân ba hạ bậc, biến đổi tổng thành tích tích thành tổng
VD: Giải phương trình:
a) sin2 os 22 sin 32
2
x c x x ĐS ;
8
k
S k
b) cos 32 cos 42 cos 52
2
x x x ĐS ;
16
k
S k
c) sin2 x sin 22 x sin 32 x sin 42 x 2
ĐS ; ;
10 2
k k
S k
d) sin2 x sin 22 x sin 32 x 3/ 2
ĐS ;
8
k
S k
e) cos2x cos 22 x cos 32 x cos 42 x 2
ĐS ;
10
k
S k
f) sin4x + cos4x = cos4x ĐS S k / 2 g) sinxsin7x = sin3xsin5x ĐS ;
2
k k
S
h) cosxcos3x - sin2xsin6x - sin4xsin6x = ĐS ;
18
k
S k
i) cosx + cos3x + 2cos2x = ĐS ;
4
k
S k
k) cos22x + 3cos18x + 3cos14x + cos10x = ĐS ;
32 16
k k
S
l) 2
3 cos x2sin cosx x sin x1 0 ĐS arctan1 3;
4
S k
v)
2
cos 2sin 2cos
1 sin
x x x
x
ĐS
4
S k
u) cos cos os3 sin x sin sin3
2 2 2
x x x x
x c ĐS ; ;
6
k
S k k
t) sinx sin 2 xsin 3xsin 4xsin 5xsin 6x0. ĐS ; ; 2
7 3
k k
S k
o) 2
2cos os4 4cos
4 x c x x
ĐS 12 ;36
k S k
x) 2sin (1x cos2 ) sin 2x x 1 2cos x ĐS 2 ;
3
S k k
y) sin x sin 2x sin 3x 6cos3x
ĐS Sarctan 2k; / 3k
z) os6 sin6 13 os 22
c x x c x ĐS ;
4
S k k
w) 2 os2 8cos
cos
c x x
x
ĐS ;
Sk k
(6)p) 1 2sin sinx sin
2sin x cos
x x
x
ĐS
2 ;
4
S k k
6 Phương trình có chứa s inx cos x cos s inxx
Cách giải: Nếu phương trình có chứa số hạng dạng a(sinx cos ) x và
sin cos
b x x ln ln đặt us inx cos x(đk u 2) làm ẩn phụ.
VD: Giải phương trình:
a) 2(sinxcos ) sin cosx x x1 b) s inx cos x 4sin 2x1.
2
k S
c) 1 sin 23 os 23 3sin 4
2
x c x x
;
4
S k k
d) 5sin 2xsinxcosx 6 0. S
e) cos sinx 10
cos sinx
x
x
;3
4
S k k
f) sin 2 sin
x x
S k2 ;2 k2 ; k2
g) sin3 x cos3x cos2 x
; ;3
4
S k k k
h) 1 t anx 2 s inx. ; ;11
4 12 12
S k k k
i) sinx sin 1sin
2 x x
S k2 ; k2
7 Phương trình giải nhờ đánh giá vế
Dạng 1: Đánh giá
Trường hợp 1: Nếu VT avà VP a PT tương đương với hệ VT a
VP a
Trường hợp 2: Nếu 2
0
A B tương đương với
0
A B
Trường hợp 3: cos cos cos
cosB=1
A
A B
cos
cos B= -
A
VD1: Giải phương trình:
a) sin (cosx x 2sin )x cos3 (1 s inx - 2cos3 ) 0x x S
b) cos2x c os4x c os6xcos cos os3x xc x2 Sk
c)
( os4c x c os2 )x 5 sin 3x
6
k S
d) cos2x sin 2x s inx cos x 4
3
S k
e) 2(sinx cos ) t anx cotx
4
x S k
; f)
200 200
sin os
2
k
x c x S
(7)Dạng 2: Sử dụng tính chất hàm số VD2: Giải phương trình: 1 cos
2
x
x
ĐS: S 0
8 Phương trình có điều kiện
Đối với số phương trình, từ đầu trình giải ta cần tiến hành đặt điều kiện cần thiết tới lấy nghiệm ta phải lưu ý tới điều kiện này để loại nghiệm ngoại lai có.
VD: Giải phương trình:
a) (1 tan x)cos3x (1 cot )sinx 3x 2sin 2x
4
S m
b) 1
cosxsin 2x sin 4x
5
2 ;
6
S k k
c) cos cos os2 1sin
x x c x x
4
S k
d) sin4 x cos4xsinx cosx (2 1)
2
S n
e) tanx tan 3x2sin 2x ; ;
4
k k
Sk
f) tan4 x 1 cos 4x
8
k S
; g)
2cos
cot t anx
sin
x
x S m
x
h) 3tan cot 2 tan sin
x x x
x
1arc cos( 1)
2
S k