Đang tải... (xem toàn văn)
Bình ph ươ ng hai v.[r]
(1)PH N I: Đ BÀI Ầ Ề 1 Ch ng minh ứ 7 s vô t ố ỉ
2 a) Ch ng minh : (ac + bd)ứ 2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Ch ng minh b t d ng th c Bunhiacôpxki : (ac + bd)ứ ấ ẳ ứ 2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3 Cho x + y = Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : S = xị ỏ ấ ủ ể ứ 2 + y2.
4 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy : ứ ấ ẳ ứ a b ab
+ ≥
b) Cho a, b, c > Ch ng minh r ng : ứ ằ bc ca ab a b c
a + b + c ≥ + +
c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá tr l n nh t c a tích P = ab.ị ấ ủ 5 Cho a + b = Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : M = aị ỏ ấ ủ ể ứ 3 + b3.
6 Cho a3 + b3 = Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : N = a + b.ị ớ ấ ủ ể ứ
7 Cho a, b, c s dố ương Ch ng minh : aứ 3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8 Tìm liên h gi a s a b bi t r ng : ệ ữ ố ế ằ a b+ > −a b 9 a) Ch ng minh b t đ ng th c (a + 1)ứ ấ ẳ ứ 2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > abc = Ch ng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8ứ 10 Ch ng minh b t đ ng th c :ứ ấ ẳ ứ
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11 Tìm giá tr c a x cho :ị ủ
a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
12 Tìm s a, b, c, d bi t r ng : aố ế ằ 2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13 Cho bi u th c M = aể ứ 2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 V i giá tr c a a b M đ t giá tr nh nh t ?ớ ị ủ ạ ị ỏ ấ
Tìm giá tr nh nh t đó.ị ỏ ấ
14 Cho bi u th c P = xể ứ 2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá tr nh nh t c a P b ng 0.ị ỏ ấ ủ ằ
15 Ch ng minh r ng khơng có giá tr c a x, y, z th a mãn đ ng th c sau :ứ ằ ị ủ ỏ ẳ ứ x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
16 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ị ấ ủ ể ứ A 2 x 4x
=
− +
17 So sánh s th c sau (khơng dùng máy tính) :ố ự
a) 7+ 15 b) 17+ 45+
c) 23 19 27
− d)
3
18 Hãy vi t m t s h u t m t s vô t l n h n ế ộ ố ữ ỉ ộ ố ỉ 2 nh ng nh h n ỏ 3 19 Gi i phả ương trình : 3x2+6x 7+ + 5x2+10x 21 2x x+ = − − 2.
20 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = xị ấ ủ ể ứ 2y v i u ki n x, y > 2x + xy = 4.ớ ề ệ
21 Cho S 1
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998
= + + + + +
− + −
Hãy so sánh S 2.1998 1999
22 Ch ng minh r ng : N u s t nhiên a khơng ph i s phứ ằ ế ố ự ả ố ương a s vơ t ố ỉ 23 Cho s x y d u Ch ng minh r ng :ố ấ ứ ằ
a) x y
y+ ≥x
b)
2
2
x y x y
0
y x y x
+ − + ≥
c)
4 2
4 2
x y x y x y
2
y x y x y x
+ − + + + ≥
(2)24 Ch ng minh r ng s sau s vô t : ứ ằ ố ố ỉ a) 1+ 2
b) m n
+ v i m, n s h u t , n ≠ 0.ớ ố ữ ỉ
25 Có hai s vơ t dố ỉ ương mà t ng s h u t không ?ổ ố ữ ỉ 26 Cho s x y khác Ch ng minh r ng : ố ứ ằ
2
2
x y x y
4
y x y x
+ + ≥ +
27 Cho s x, y, z dố ương Ch ng minh r ng : ứ ằ
2 2
2 2
x y z x y z
y + z +x ≥ + +y z x
28 Ch ng minh r ng t ng c a m t s h u t v i m t s vô t m t s vô t ứ ằ ổ ủ ộ ố ữ ỉ ộ ố ỉ ộ ố ỉ 29 Ch ng minh b t đ ng th c : ứ ấ ẳ ứ
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)
30 Cho a3 + b3 = Ch ng minh r ng a + b ≤ 2.ứ ằ
31 Ch ng minh r ng : ứ ằ [ ] [ ] [x + y ≤ +x y]
32 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ị ấ ủ ể ứ A 2 x 6x 17
=
− +
33 Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ A x y z
y z x
= + + v i x, y, z > 0.ớ 34 Tìm giá tr nh nh t c a : A = xị ỏ ấ ủ 2 + y2 bi t x + y = 4.ế
35 Tìm giá tr l n nh t c a : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) v i x, y, z ≥ ; x + y + z = 1.ị ấ ủ 36 Xét xem s a b có th s vô t không n u : ố ể ố ỉ ế
a) ab a
b s vô t ố ỉ
b) a + b a
b s h u t (a + b ≠ 0)ố ữ ỉ
c) a + b, a2 b2 s h u t (a + b ≠ 0)ố ữ ỉ
37 Cho a, b, c > Ch ng minh : aứ 3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
38 Cho a, b, c, d > Ch ng minh : ứ a b c d b c c d d a+ + + + + +a b+ ≥
39 Ch ng minh r ng ứ ằ [ ]2x b ng ằ x[ ] ho c ặ x[ ]+1
40 Cho s nguyên dố ương a Xét s có d ng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Ch ng minhố ứ r ng s đó, t n t i hai s mà hai ch s đ u tiên 96.ằ ố ố ữ ố ầ
41 Tìm giá tr c a x đ bi u th c sau có nghĩa :ị ủ ể ể ứ
2
1 1
A= x B C D E x 2x
x
x 4x x 2x 1 x
− = = = = + + −
+ − − − − −
2
G= 3x 1− − 5x 3− + x + +x
42 a) Ch ng minh r ng : | A + B | ≤ | A | + | B | D u ứ ằ ấ “ = ” x y ?ả b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau : ị ỏ ấ ủ ể ứ M = x2+4x 4+ + x2−6x 9+ . c) Gi i phả ương trình : 2
4x +20x 25+ + x −8x 16+ = x +18x 81+
43 Gi i phả ương trình : 2x2−8x x− 2−4x 12− = . 44 Tìm giá tr c a x đ bi u th c sau có nghĩa :ị ủ ể ể ứ
2
2
1
A x x B C 9x D
1 3x x 5x
= + + = = − − =
(3)2 2
1 x
E G x H x 2x 3 x
x 2x x
= = + − = − − + −
− + +
45 Gi i phả ương trình : x 3x
0 x
− =
−
46 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ị ỏ ấ ủ ể ứ A= x x+ 47 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ị ấ ủ ể ứ B= x x− +
48 So sánh : a) a b=
+
= + b) 5− 13 và+ 3 1− c) n 2+ − n và+ n+1− n (n s nguyên dố ương)
49 V i giá tr c a x, bi u th c sau đ t giá tr nh nh t : ớ ị ủ ể ứ ị ỏ ấ A 1= − 1 6x 9x− + +(3x 1)− 2. 50 Tính : a) 4 3− b) 11 2+ c) 27 10 2−
2
d) A= m +8m 16+ + m −8m 16+ e) B= n n 1+ − + n n 1− − (n ≥ 1) 51 Rút g n bi u th c : ọ ể ứ M 41
45 41 45 41
=
+ + −
52 Tìm s x, y, z th a mãn đ ng th c : ố ỏ ẳ ứ 2 (2x y)− + −(y 2) + (x y z)+ + =0
53 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ị ỏ ấ ủ ể ứ P= 25x2−20x 4+ + 25x2−30x 9+ . 54 Gi i phả ương trình sau :
2 2 2
a) x − − −x x 0− = b) x − + =1 x c) x − +x x + − =x
4 2
d) x− x −2x + =1 e) x +4x 4+ + − =x g) x 2− + x 3− = −5
2 2
h) x −2x 1+ + x −6x 1+ = i) x 5+ + x− =x −25
k) x x 1+ − − + x x 1+ − − = l) 8x 1+ + 3x 5− = 7x 4+ + 2x 2−
55 Cho hai s th c x y th a mãn u ki n : xy = x > y CMR: ố ự ỏ ề ệ
2
x y
2 x y
+ ≥
−
56 Rút g n bi u th c :ọ ể ứ
a) 13 30 b) m m m m
c) 2 2 2 d) 227 30 123 22
+ + + + − + − −
+ + + + + + − + + − + +
5
7 Ch ng minh r ng ứ ằ
2
+ = +
58 Rút g n bi u th c :ọ ể ứ
( ) ( )
6 6 9 2 6
a) C b) D
2
+ + + − − − + − −
= =
59 So sánh :
a) 6+ 20 1+ b) 17 12 1+ + c) 28 16 2− −
60 Cho bi u th c : ể ứ A= x− x2−4x 4+ a) Tìm t p xác đ nh c a bi u th c A.ậ ị ủ ể ứ b) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ
(4)3 11 6 c)
2 10
+ + − +
+ + − +
62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Ch ng minh đ ng th c : ứ ẳ ứ 12 12 12 1
a +b +c = + +a b c
63 Gi i b t phả ấ ương trình : x2−16x 60 x 6+ < − . 64 Tìm x cho : 2
x − + ≤3 x
65 Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = xị ỏ ấ ị ấ ủ 2 + y2 , bi t r ng :ế ằ
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1)
66 Tìm x đ bi u th c có nghĩa: ể ể ứ
2
2
1 16 x
a) A b) B x 8x
2x x 2x
−
= = + − +
+
− −
67 Cho bi u th c : ể ứ
2
2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x
+ − − −
= −
− − + −
a) Tìm giá tr c a x đ bi u th c A có nghĩa.ị ủ ể ể ứ
b) Rút g n bi u th c A c) Tìm giá tr c a x đ A < 2.ọ ể ứ ị ủ ể
68 Tìm 20 ch s th p phân đ u tiên c a s : ữ ố ậ ầ ủ ố 0,9999 (20 ch s 9)ữ ố
69 Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a : A = ị ỏ ấ ị ấ ủ | x - 2| + | y – | v i | x | + | y | = 5 70 Tìm giá tr nh nh t c a A = xị ỏ ấ ủ 4 + y4 + z4 bi t r ng xy + yz + zx = 1ế ằ
71 Trong hai s : ố n+ n n+1+ (n s nguyên dố ương), s l n h n ?ố 72 Cho bi u th c ể ứ A= 7 3+ + 7 3− Tính giá tr c a A theo hai cách.ị ủ 73 Tính : ( 2+ 3+ 5)( 2+ 3− 5)( 2− 3+ 5)(− 2+ 3+ 5)
74 Ch ng minh s sau s vô t : ứ ố ố ỉ 3+ ; 3− ; 2 3+
75 Hãy so sánh hai s : ố a 3 b=2 1= − − ;
+ +
76 So sánh 4+ 7 − 4− 7 − 2 s 0.ố 77 Rút g n bi u th c : ọ ể ứ Q
2
+ + + +
=
+ +
78 Cho P= 14+ 40+ 56+ 140 Hãy bi u di n P dể ễ ướ ại d ng t ng c a th c b c haiổ ủ ứ ậ 79 Tính giá tr c a bi u th c xị ủ ể ứ 2 + y2 bi t r ng : ế ằ x y− +y x− =1.
80 Tìm giá tr nh nh t l n nh t c a : ị ỏ ấ ấ ủ A = x− + x+
81 Tìm giá tr l n nh t c a : ị ấ ủ M=( a + b)2 v i a, b > a + b ≤ 1.ớ
82 CMR s ố 2b c ad ; 2c d ab ; 2d a bc ; 2a b cd+ − + − + − + − có nh tấ hai s dố ương (a, b, c, d > 0)
83 Rút g n bi u th c : ọ ể ứ N= 4 18+ + +
84 Cho x y z+ + = xy+ yz+ zx, x, y, z > Ch ng minh x = y = z.ứ 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Ch ng minh: (1 + aứ 1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n
86 Ch ng minh : ứ ( a + b)2 ≥2 2(a b) ab+ (a, b ≥ 0)
(5)88 Rút g n : ọ a)
2
ab b a
A
b b
−
= − b)
2 (x 2) 8x B
2 x
x
+ −
=
−
89 Ch ng minh r ng v i m i s th c a, ta đ u có : ứ ằ ọ ố ự ề
2 a
2
a+ ≥+1 Khi có đ ng th c ?ẳ ứ
90 Tính : A= 3+ 5 + 3− 5 b ng hai cách.ằ
91 So sánh : a) 3 6,9 b) 13 12
+ − −
92 Tính : P 3
2 2
+ −
= +
+ + − −
93 Gi i phả ương trình : x 2x 5+ + − + x 2− − 2x 5− =2 2 94 Ch ng minh r ng ta ln có : ứ ằ n
1.3.5 (2n 1) P
2.4.6 2n 2n
−
= <
+ ; ∀n ∈ Z+
95 Ch ng minh r ng n u a, b > ứ ằ ế
2
a b
a b
b a
+ ≤ +
96 Rút g n bi u th c : ọ ể ứ A =
2
x 4(x 1) x 4(x 1)
x x 4(x 1)
− − + + −
−
−
− −
97 Ch ng minh đ ng th c sau : ứ ẳ ứ a) a b b a : a b
ab a b
+ = −
− (a, b > ; a ≠ b)
14 15 a a a a
b) : c) 1 a
1 a a
− − + −
+ = − + − = −
− − − + −
(a > 0)
98 Tính : a) 5− 3− 29 20− ; b) 3+ 5− 13+ 48
c) 7+ 48 − 28 16 − 7+ 48
99 So sánh : a) 3+ 15 b) 2+ 15 12+ 16
c) 18 19 d) 25
+
100 Cho h ng đ ng th c : ằ ẳ ứ
a b a a2 b a a2 b
2
+ − − −
± = ± (a, b > a2 – b > 0).
Áp d ng k t qu đ rút g n : ụ ế ả ể ọ a) 3 ; b) 2 2
2 2 17 12 17 12
+ + − − − +
+ + − − − +
2 10 30 2
c) :
2 10 2
+ − −
− −
101 Xác đ nh giá tr bi u th c sau :ị ị ể ứ
2
2
xy x y a) A
xy x y
− − −
=
+ − − v i
1 1
x a , y b
2 a b
= + = +
(6)a bx a bx b) B
a bx a bx
+ + −
=
+ − − v i ( 2)
2am
x , m
b m
= <
+
102 Cho bi u th c ể ứ 2
2x x
P(x)
3x 4x
− −
=
− +
a) Tìm t t c giá tr c a x đ P(x) xác đ nh Rút g n P(x).ấ ả ị ủ ể ị ọ b) Ch ng minh r ng n u x > P(x).P(- x) < 0.ứ ằ ế
103 Cho bi u th c ể ứ
2
x x x x A
4
x x
+ − − + + + −
=
− +
a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ b) Tìm s nguyên x đ bi u th c A m t s nguyên.ố ể ể ứ ộ ố 104 Tìm giá tr l n nh t (n u có) ho c giá tr nh nh t (n u có) c a bi u th c sau:ị ấ ế ặ ị ỏ ấ ế ủ ể ứ
2
a) x− b) x x (x 0)− > c) 1+ x− d) x 4− −
2
e) 3x g) 2x 2x h) x 2x i)
2x x
− − − + − − + +
− +
105 Rút g n bi u th c : ọ ể ứ A= x+ 2x 1− − x− 2x 1− , b ng ba cách ?ằ 106 Rút g n bi u th c sau : ọ ể ứ a) 5 48 10 3+ − +
b) 4+ 10 5+ + 4− 10 5+ c) 94 42 5− − 94 42 5+
107 Ch ng minh h ng đ ng th c v i b ≥ ; a ≥ ứ ằ ẳ ứ b
a) a+ b ± a− b = 2 a( ± a2−b) b) a a2 b a a2 b
a b
2
+ − − −
± = ±
108 Rút g n bi u th c : ọ ể ứ A= x 2x 4+ − + x 2x 4− − 109 Tìm x y cho : x y 2+ − = x+ y−
110 Ch ng minh b t đ ng th c : ứ ấ ẳ ứ 2 2 ( ) (2 )2 a +b + c +d ≥ a c+ + +b d 111 Cho a, b, c > Ch ng minh : ứ
2 2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Ch ng minh :ứ
a) a 1+ + b 1+ + c 3,5+ < b) a b+ + b c+ + c a+ ≤
113 CM : (a2+c2) (b2+c2) (+ a2+d2) (b2 +d2) ≥ +(a b)(c d)+ v i a, b, c, d > 0.ớ 114 Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ A x= + x
115 Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ A (x a)(x b) x
+ +
=
116 Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = 2x + 3y bi t 2xị ỏ ấ ị ấ ủ ế 2 + 3y2 ≤ 5.
117 Tìm giá tr l n nh t c a A = x + ị ấ ủ x−
118 Gi i phả ương trình : x 1− − 5x 1− = 3x 2−
119 Gi i phả ương trình : x x 1+ − + x x 2− − = 120 Gi i phả ương trình : 3x2+21x 18 x+ + 2+7x 7+ =2
121 Gi i phả ương trình : 3x2+6x 7+ + 5x2+10x 14 2x x+ = − − 122 Ch ng minh s sau s vô t : ứ ố ố ỉ 3− ; 2+
(7)124 Ch ng minh b t đ ng th c sau b ng phứ ấ ẳ ứ ằ ương pháp hình h c :ọ
2 2
a +b b +c ≥b(a c)+ v i a, b, c > 0.ớ 125 Ch ng minh ứ (a b)(c d)+ + ≥ ac+ bd v i a, b, c, d > 0.ớ
126 Ch ng minh r ng n u đo n th ng có đ dài a, b, c l p đứ ằ ế ẳ ộ ậ ược thành m t tam giác đo n th ngộ ẳ có đ dài ộ a , b , c l p đậ ược thành m t tam giác.ộ
127 Ch ng minh ứ
2
(a b) a b
a b b a
2
+ + + ≥ +
v i a, b ≥ 0.ớ 128 Ch ng minh ứ a b c
b c+ + a c+ + a b+ > v i a, b, c > 0.ớ
129 Cho x y− +y x− =1 Ch ng minh r ng xứ ằ 2 + y2 = 1.
130 Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ A= x x 1− − + x x 1+ − 131 Tìm GTNN, GTLN c a ủ A= x− + x+
132 Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ 2
A= x + +1 x −2x 5+
133 Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ A= − +x2 4x 12+ − − +x2 2x 3+ .
134 Tìm GTNN, GTLN c a : ủ a) A 2x= + x− b) A x 99= ( + 101 x− 2)
135 Tìm GTNN c a A = x + y bi t x, y > th a mãn ủ ế ỏ a b
x + =y (a b h ng s dằ ố ương)
136 Tìm GTNN c a A = (x + y)(x + z) v i x, y, z > , xyz(x + y + z) = 1.ủ 137 Tìm GTNN c a ủ A xy yz zx
z x y
= + + v i x, y, z > , x + y + z = 1.ớ
138 Tìm GTNN c a ủ
2 2
x y z
A
x y y z z x
= + +
+ + + bi t x, y, z > , ế xy+ yz+ zx 1=
139 Tìm giá tr l n nh t c a : a) ị ấ ủ A=( a+ b)2 v i a, b > , a + b ≤ 1ớ
b) B=( a+ b) (4+ a+ c) (4+ a+ d) (4+ b+ c) (4+ b+ d) (4+ c+ d)4
v i a, b, c, d > a + b + c + d = 1.ớ
140 Tìm giá tr nh nh t c a A = 3ị ỏ ấ ủ x + 3y v i x + y = 4.ớ
141 Tìm GTNN c a ủ A b c c d a b
= +
+ + v i b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ 0.ớ
142 Gi i phả ương trình sau :
2
a) x −5x 3x 12 0− + = b) x −4x x 1= − c) 4x 1+ − 3x 1+ =
d) x 1− − x 2+ = e) x x 1− − − x 1− = g) x+ 2x 1− + x− 2x 1− = h) x x 2+ − − + x x 1+ − − = i) x + x+ x− =1
2 2
k) 1− x − =x x 1− l) 2x +8x 6+ + x − =1 2x 2+
2
m) x + = −6 x x −1 n) x 1+ + x 10+ = x 2+ + x 5+
( )( )
o) x 1− + x x x+ + − −3x 5+ = −4 2x p) 2x 3+ + x 2+ + 2x 2+ − x 2 x 2+ = + +
2
q) 2x −9x 2x 1+ + − = 2x +21x 11−
(8)144 Ch ng minh r ng, ứ ằ ∀n ∈ Z+ , ta ln có : ( )
1 1
1 n 1
2 n
+ + + + > + −
145 Tr c th c m u : ụ ứ ẫ a) b)
1+ 2+ x + x 1+
146 Tính : a) 5− 3− 29 20 b) 5− + − 13+ 48 c) 5− 3− 29 12 5− 147 Cho a= 3− 3( + 5)( 10− 2) Ch ng minh r ng a s t nhiên.ứ ằ ố ự
148 Cho b 2 2 17 12 17 12
− +
= −
− + b có ph i s t nhiên khơng ?ả ố ự
149 Gi i phả ương trình sau :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a) x x b) x x 3
5 x x x x
c) d) x x 5
5 x x
− − + − = − = + −
− − + − −
= + − =
− + −
150 Tính giá tr c a bi u th c : ị ủ ể ứ M= 12 29− + 25 21+ − 12 29+ − 25 21−
151 Rút g n : ọ A 1
1 2 3 n n
= + + + +
+ + + − +
152 Cho bi u th c : ể ứ P 1
2 3 4 2n 2n
= − + − +
− − − − +
a) Rút g n P.ọ b) P có ph i s h u t khơng ?ả ố ữ ỉ
153 Tính : A 1
2 1 2 3 100 99 99 100
= + + + +
+ + + +
154 Ch ng minh : ứ 1 n
2 n
+ + + + >
155 Cho a= 17 1− Hãy tính giá tr c a bi u th c: A = (aị ủ ể ứ 5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.
156 Ch ng minh : ứ a − a 1− < a 2− − a 3− (a ≥ 3) 157 Ch ng minh : ứ x2 x 0
2
− + > (x ≥ 0)
158 Tìm giá tr l n nh t c a ị ấ ủ S= x 1− + y 2− , bi t x + y = 4.ế
159 Tính giá tr c a bi u th c sau v i ị ủ ể ứ a : A 2a 2a
4 1 2a 1 2a
+ −
= = +
+ + − −
160 Ch ng minh đ ng th c sau :ứ ẳ ứ
( )( ) ( )
a) 4+ 15 10− 4− 15 =2 b) 2 6+ = 1+
( )( ) 2( )
c) 5 10 d) 48 e) 17 5
2
− + − = + = + − + = − 161
Ch ng minh b t đ ng th c sau :ứ ấ ẳ ứ
5 5
a) 27 48 b) 10
5 5
+ −
+ > + − <
− +
5 1
c) 0, 1,01
3
1 3
+ −
+ − + − >
+ + + −
(9)2 3 3
d)
2 6 6
+ − + − + − + − >
+ − +
e) 2+ 1− + 2− 1,9− > g) 17 12 2+ − > 1−
( ) ( ) 2 2
h) 7 i) 0,8
4
+ + −
+ + − + + < <
162 Ch ng minh r ng : ứ ằ n n n n n
+ − < < − − T suy ra:ừ
1 1
2004 2005
2 1006009
< + + + + <
163 Tr c th c m u : ụ ứ ẫ a) b) 3 3
2 2
+ +
+ + + + + +
164 Cho x y=
3
+ −
=
− + Tính A = 5x
2 + 6xy + 5y2.
165 Ch ng minh b t đ ng th c sau : ứ ấ ẳ ứ 2002 2003 2002 2003 2003+ 2002 > +
166 Tính giá tr c a bi u th c : ị ủ ể ứ
2
x 3xy y A
x y
− +
=
+ + v i x 3= + y 3= −
167 Gi i phả ương trình : 6x 3 x x2
x x
− = + −
− −
168 Gi i b t pt : a) ả ấ 3 5x 72 b) 10x 14 c) 2 2x 4
+ ≥ − ≥ + + ≥
169 Rút g n bi u th c sau :ọ ể ứ
a
a) A 29 12 b) B a a(a 1) a
a
−
= − − − = − + − +
2 2
2 2
x x x 5x x x
c) C d) D
2x x 3x x (x 2) x
+ + − + + + −
= =
− + − − + + −
1 1
E
1 2 3 24 25
= − + − −
− − − −
170 Tìm GTNN GTLN c a bi u th c ủ ể ứ A 2
2 x
=
− −
171 Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ A 1 x x
= +
− v i < x < 1.ớ
172 Tìm GTLN c a : ủ a) A= x 1− + y 2− bi t x + y = ; b) ế B x y
x y
− −
= +
173 Cho a= 1997− 1996 ; b= 1998− 1997 So sánh a v i b, s l n h n ?ớ ố 174 Tìm GTNN, GTLN c a : ủ a) A 2 b) B x2 2x
5 x
= = − + +
+ −
175 Tìm giá tr l n nh t c a ị ấ ủ A x x= −
176 Tìm giá tr l n nh t c a A = | x – y | bi t xị ấ ủ ế 2 + 4y2 = 1.
177 Tìm GTNN, GTLN c a A = xủ 3 + y3 bi t x, y ≥ ; xế 2 + y2 = 1.
(10)179 Gi i phả ương trình : x
1 x x 3x (x 2)
x
−
− + − + + − =
−
180 Gi i phả ương trình : x2+2x 9− = 6 4x 2x+ + . 181 CMR, ∀n ∈ Z+ , ta có :
1 1
2 3+ + + +(n 1) n+ <
182 Cho A 1
1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
= + + + + Hãy so sánh A 1,999
183 Cho s x, y ố x+ y s h u t Ch ng minh r ng m i s ố ữ ỉ ứ ằ ỗ ố x ; y đ u s h u tề ố ữ ỉ 184 Cho a 2 ; b 2
3
+
= − = + + −
− CMR : a, b s h u t ố ữ ỉ
185 Rút g n bi u th c : ọ ể ứ P a a a a a a
a
a a a
+ − + − −
= −
−
+ +
(a > ; a ≠ 1)
186 Ch ng minh : ứ a a a a 4a
a a a
+ −
− + − =
− +
(a > ; a ≠ 1)
187 Rút g n : ọ ( ) x 8x
2 x
x
+ −
− (0 < x < 2)
188 Rút g n : ọ a b ab : a b a b
a b ab b ab a ab
− +
+ + −
+ + −
189 Gi i b t phả ấ ương trình : ( )
2
2
2
5a
2 x x a
x a
+ + ≤
+ (a ≠ 0)
190 Cho A (1 a :2) a a a a a a
1 a a
− +
= − − + + − +
a) Rút g n bi u th c A ọ ể ứ b) Tính giá tr c a A v i a = 9.ị ủ c) V i giá tr c a a | A | = A.ớ ị ủ
191 Cho bi u th c : ể ứ B a b a b b b
a ab ab a ab a ab
+ − −
= + +
+ − +
a) Rút g n bi u th c B.ọ ể ứ b) Tính giá tr c a B n u ị ủ ế a 5= + c) So sánh B v i -1.ớ
192 Cho A 1 : a b
a a b a a b a b
+
= + +
− − + + −
a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ b) Tìm b bi t | A | = -A.ế c) Tính giá tr c a A ị ủ a ; b 2= + = +
193 Cho bi u th c ể ứ A a a a a
a a a
+ −
= − + −
− +
a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ
b) Tìm giá tr c a A n u ị ủ ế a
2
=
(11)194 Cho bi u th c ể ứ A a a a a a
2 a a a
− +
= − −
+ −
a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ b) Tìm giá tr c a A đ A = - 4ị ủ ể 195 Th c hi n phép tính : ự ệ A a a : a a
1 a a a a
+ − + −
= + −
− + − +
196 Th c hi n phép tính : ự ệ B 3
2 2
+ −
= +
+ + − −
197 Rút g n bi u th c sau :ọ ể ứ
( )3
x y 1 1
a) A :
x y
xy xy x y xy x y x y
−
= + + +
+ +
+
v i x 2= − ; y 2= + b)
2 2
x x y x x y
B
2(x y)
+ − − − −
=
− v i x > y > 0ớ
c)
2 2a x C
1 x x
+ =
+ − v i
1 a a
x
2 a a
−
= −
−
; < a <
d) ( ) ( )
2
2
a b D (a b)
c
+ +
= + −
+ v i a, b, c > ab + bc + ca = 1ớ
e) E x x x x 2x
x 2x x 2x
+ − + − −
= −
+ − + − −
198 Ch ng minh : ứ x x2 x x2 2x
x x x
− − +
+ + − = v i x ≥ 2.ớ
199 Cho a , b
2
− + − −
= = Tính a7 + b7.
200 Cho a= 1−
a) Vi t aế 2 ; a3 dướ ại d ng m− m 1− , m s t nhiên.ố ự
b) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dứ ằ ọ ố ương n, s aố n vi t đế ược dướ ại d ng trên.
201 Cho bi t x = ế m t nghi m c a phộ ệ ủ ương trình x3 + ax2 + bx + c = v i h s h u t Tìm cácớ ệ ố ữ ỉ
nghi m l i.ệ
202 Ch ng minh ứ n 1 n
2 n
− < + + + < − v i ∈ N ; n ≥
203 Tìm ph n nguyên c a s ầ ủ ố 6+ 6 + + 6+ 6 (có 100 d u căn).ấ 204 Cho a 2= + Tính a) a2 b) a3
205 Cho s x, y, ố x + y s h u t Ch ng minh r ng m i s ố ữ ỉ ứ ằ ỗ ố x , y đ u s h u tề ố ữ ỉ 206 CMR, ∀n ≥ , n ∈ N : 1
2 3+ + + +(n 1) n+ <
207 Cho 25 s t nhiên aố ự , a2 , a3 , … a25 th a đk : ỏ
1 25
1 1
a + a + a + + a = Ch ng minh r ngứ ằ
(12)208 Gi i phả ương trình x x
2 x 2 x
+ + − =
+ + − −
209 Gi i bi n lu n v i tham s a ả ệ ậ ố x x a x x
+ + − =
+ − −
210 Gi i h phả ệ ương trình
( )
( )
( )
x y 2y y z 2z z x 2x
+ =
+ =
+ =
211 Ch ng minh r ng :ứ ằ
a) S ố (8 7+ )7 có ch s li n sau d u ph y.ữ ố ề ấ ẩ b) S ố (7 3+ )10 có mười ch s li n sau d u ph y.ữ ố ề ấ ẩ 212 Kí hi u aệ n s nguyên g n ố ầ n nh t (n ấ ∈ N*), ví d : ụ
1
1 1= ⇒ =a ; 1,4≈ ⇒a =1 ; 1,7≈ ⇒a =2 ; 2= ⇒a =2
Tính :
1 1980
1 1
a +a +a + +a
213 Tìm ph n ngun c a s (có n d u căn) : a) ầ ủ ố ấ n
a = 2+ + + 2+ b)
n
a = 4+ + + 4+ c) n
a = 1996+ 1996 + + 1996+ 1996
214 Tìm ph n nguyên c a A v i n ầ ủ ∈ N : A= 4n2+ 16n2+8n 3+
215 Ch ng minh r ng vi t s x = ứ ằ ế ố ( 3+ 2)200 dướ ại d ng th p phân, ta đậ ược ch s li n trữ ố ề ước d uấ ph y 1, ch s li n sau d u ph y 9.ẩ ữ ố ề ấ ẩ
216 Tìm ch s t n c a ph n nguyên c a ữ ố ậ ủ ầ ủ ( 3+ 2)250 217 Tính t ng ổ A= 1 + 2 + + + 24
218 Tìm giá tr l n nh t c a A = xị ấ ủ 2(3 – x) v i x ≥ 0.ớ
219 Gi i phả ương trình : a) 3x 1+ + 37 x− =2 b) 3 x 2− + x 3+ = .
220 Có t n t i s h u t dồ ố ữ ỉ ương a, b không n u : ế a) a+ b = 2 b) a+ b = 2. 221 Ch ng minh s sau s vô t : a) ứ ố ố ỉ 35 b) 2+ 34
222 Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy v i s không âm : ứ ấ ẳ ứ ố a b c 3abc
+ + ≥
223 Cho a, b, c, d > Bi t ế a b c d
1 a b c d+ + + + + + + ≤ Ch ng minh r ng : ứ ằ
1 abcd
81
≤
224 Ch ng minh b t đ ng th c : ứ ấ ẳ ứ
2 2
2 2
x y z x y z
y + z +x ≥ + +y z x v i x, y, z > 0ớ
225 Cho a= 33+33 +33−33 ; b 3= Ch ng minh r ng : a < b.ứ ằ 226 a) Ch ng minh v i m i s nguyên dứ ọ ố ương n, ta có :
n
1
n
+ <
b) Ch ng minh r ng s có d ng ứ ằ ố n n (n s t nhiên), s ố ự ố 33 có giá tr l n nh tị ớ ấ 227 Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ 2
(13)228 Tìm giá tr nh nh t c a A = xị ỏ ấ ủ 2(2 – x) bi t x ≤ 4.ế
229 Tìm giá tr l n nh t c a ị ấ ủ A x= 9 x− .
230 Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x(xị ỏ ấ ị ấ ủ 2 – 6) bi t ≤ x ≤ 3.ế
231 M t mi ng bìa hình vng có c nh dm m i góc c a hình vuông l n, ngộ ế Ở ỗ ủ ười ta c t m t hìnhắ ộ vng nh r i g p bìa đ đỏ ấ ể ược m t h p hình h p ch nh t khơng n p Tính c nh hình vuông nh độ ộ ộ ữ ậ ắ ỏ ể th tích c a h p l n nh t.ể ủ ộ ấ
232 Gi i phả ương trình sau :
3
3
a) 1+ x 16− = x 3+ b) x− + x 1− =
3
3 3
c) x 1+ + x 1− = 5x d) 2x x− = +1
( )
3 2 3 3
3
3
x 3x x x 7 x x 5
e) g) x
2 x x
− − − − − − −
= − = −
− + −
3
2 2 3
3
h) (x 1)+ + (x 1)− + x − =1 i) x 1+ + x 2+ + x 0+ =
2
4 4 4
k) x− + x+ + x− =3 l) a x− + b x− = a b 2x+ − (a, b tham s )ố 233 Rút g n ọ
4 2
3 3
2
3 3
a a b b
A
a ab b
+ +
=
+ +
234 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ị ỏ ấ ủ ể ứ A= x2− + +x 1 x2+ +x 1
235 Xác đ nh s nguyên a, b cho m t nghi m c a phị ố ộ ệ ủ ương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 =
1+
236 Ch ng minh ứ 33 s vô t ố ỉ
237 Làm phép tính : a) 13 + 2 26 − b) 69 2+ − 5. 238 Tính : 3
a= 20 14 2+ + 20 14 2− 239 Ch ng minh : ứ 37 2+ +37 5− =2.
240 Tính : A=(4 7+ 48−4 28 16 7− ) + 48
241 Hãy l p phậ ương trình f(x) = v i h s nguyên có m t nghi m : ệ ố ộ ệ x= 33+39. 242 Tính giá tr c a bi u th c : M = xị ủ ể ứ 3 + 3x – 14 v i ớ
3 x
7
= + −
+
243 Gi i phả ương trình : a) 3x 2+ + 325 x− =3.
2
3
b) x (x 3)− = − +6 c) x +32 x− +32 3=
244 Tìm GTNN c a bi u th c : ủ ể ứ A= x3+2 1( + x3+ +1) x3+2 1( − x3+1) . 245 Cho s dố ương a, b, c, d Ch ng minh : a + b + c + d ≥ ứ 4 abcd4 .
246 Rút g n : ọ
3 3
3
3 3
8 x x x x
P : x
2 x x x x 2 x
− −
= + + +
− + − + ; x > , x ≠
247 CMR : 3
x= 5− 17 + 5+ 17 nghi m c a phệ ủ ương trình x3 – 6x – 10 = 0.
248 Cho x 3 15
4 15
= + −
− Tính giá tr bi u th c y = xị ể ứ
3 – 3x + 1987.
249 Ch ng minh đ ng th c : ứ ẳ ứ
3
3
a
a
2 a a
+ + − = − −
(14)250 Ch ng minh b t đ ng th c : ứ ấ ẳ ứ 3 5+ + 32+ 2,1 0− − <
251 Rút g n bi u th c sau :ọ ể ứ
a)
( )
3
4 2
3 3
3
2
3 3 3
3 1
a a b b b 4b b 24
A b)
1
b b
a ab b b 2 1 2.
b
+
+ +
= − −
+ +
+ + + −
c)
2 2
3 3
3
3
2
3 3
a a 2a b a b a b ab
C
a b
a ab a
− + −
= +
− −
252 Cho M = x2−4a 9+ + x2−4x 8+ Tính giá tr c a bi u th c M bi t r ng:ị ủ ể ứ ế ằ
2
x −4x 9+ − x −4x 2+ =
253 Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ P= x2−2ax a+ + x2−2bx b+ (a < b) 254 Ch ng minh r ng, n u a, b, c đ dài c nh c a m t tam giác :ứ ằ ế ộ ủ ộ
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) 255 Tìm giá tr c a bi u th c | x – y | bi t x + y = xy = -1ị ủ ể ứ ế 256 Bi t a – b = ế 2 + , b – c = 2 - 1, tìm giá tr c a bi u th c :ị ủ ể ứ
A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca.
257 Tìm x, y, z bi t r ng : ế ằ x y z x y z 5+ + + = − + − + −
258 Cho y= x x 1+ − + x x 1− − CMR, n u ≤ x ≤ giá tr c a y m t h ng s ế ị ủ ộ ằ ố 259 Phân tích thành nhân t : ử
M x 1= − − x −x + −x (x ≥ 1)
260 Trong t t c hình ch nh t có đấ ả ữ ậ ường chéo b ng 8ằ 2, tìm hình ch nh t có di n tích l n nh t.ữ ậ ệ ấ 261 Cho tam giác vng ABC có c nh góc vng a, b c nh huy n c Ch ng minh r ng ta ln cóạ ề ứ ằ : c a b
2
+
≥
262 Cho s dố ương a, b, c, a’, b’, c’ Ch ng minh r ng : ứ ằ
N u ế aa' bb ' cc' (a b c)(a ' b' c ') a b c a' b ' c'
+ + = + + + + = =
263 Gi i phả ương trình : | x2 – | + | x2 – | = 3.
264 Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th c C không ph thu c vào x, y :ứ ằ ị ủ ể ứ ụ ộ
( )4
x y
1 x y
C
4xy x y
x y x y
x y x y
+ +
= − −
+ − +
+ +
v i x > ; y > 0.ớ
265 Ch ng minh giá tr bi u th c D không ph thu c vào a:ứ ị ể ứ ụ ộ
2 a a a a a a
D
a
a a a
+ − + − −
= −
−
+ +
v i a > ; a ≠
266 Cho bi u th c ể ứ
c ac
B a
a c a c
a c
ac c ac a ac
−
= + − +
+
+ −
+ −
a) Rút g n bi u th c B.ọ ể ứ
b) Tính giá tr c a bi u th c B c = 54 ; a = 24ị ủ ể ứ c) V i giá tr c a a c đ B > ; B < ớ ị ủ ể
267 Cho bi u th c : ể ứ 2
2mn 2mn
A= m+ m
1+n n n
+ − +
+
(15)a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ b) Tìm giá tr c a A v i ị ủ m= 56 24 5+ c) Tìm giá tr nh nh t c a A.ị ỏ ấ ủ
268 Rút g n ọ 2 2
1 x x 1 x x
D
x x
1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x
+ − −
= − − −
+ − − − − + − + −
269 Cho P x : x
x x x x x x
= − −
+
− + − −
v i x ≥ ; x ≠ 1.ớ
a) Rút g n bi u th c P.ọ ể ứ b) Tìm x cho P < 0. 270 Xét bi u th c ể ứ
2
x x 2x x
y
x x x
+ +
= + −
− +
a) Rút g n y Tìm x đ y = 2.ọ ể b) Gi s x > Ch ng minh r ng : y - | y | = 0ả ứ ằ c) Tìm giá tr nh nh t c a y ?ị ỏ ấ ủ
PH N II: HẦ ƯỚNG D N GI IẪ Ả 1 Gi s ả s h u t ố ữ ỉ⇒ m
n
= (t i gi n) Suy ố ả
2
2
2 m
7 hay 7n m
n
= = (1) Đ ng th c ch ngẳ ứ ứ t ỏ m 72M mà s nguyên t nên m ố ố M Đ t m = 7k (k ặ ∈ Z), ta có m2 = 49k2 (2) T (1) (2) suy 7nừ 2 =
49k2 nên n2 = 7k2 (3) T (3) ta l i có nừ ạ 2M s nguyên t nên n ố ố M m n chia h t cho nênế
phân s ố m
n không t i gi n, trái gi thi t V y ố ả ả ế ậ không ph i s h u t ; ả ố ữ ỉ s vô t ố ỉ
2 Khai tri n v trái đ t nhân t chung, ta để ế ặ ược v ph i T a) ế ả ⇒ b) (ad – bc)2 ≥ 0.
3 Cách : T x + y = ta có y = – x Do : S = xừ 2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ 2.
V y S = ậ ⇔ x = y =
Cách : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki v i a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :ụ ấ ẳ ứ
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ ≤ 2(x2 + y2) = 2S ⇔ S ≥ ⇒ mim S = x = y = 1
4 b) Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho c p s dụ ấ ẳ ứ ặ ố ương bc ca bc; ab ca; ab
a b a c b c , ta l n lầ ượ t
có: bc ca bc ca 2c; bc ab bc ab 2b a + b ≥ a b = a + c ≥ a c = ;
ca ab ca ab
2 2a
b + c ≥ b c = c ng t ng v ta độ ế ượ c
b t đ ng th c c n ch ng minh D u b ng x y a = b = c.ấ ẳ ứ ầ ứ ấ ằ ả
c) V i s dớ ố ương 3a 5b , theo b t đ ng th c Cauchy ta có : ấ ẳ ứ 3a 5b 3a.5b
+ ≥
⇔ (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ⇔ 122 ≥ 60P ⇔ P ≤ 12
5 ⇒ max P = 12
5
D u b ng x y 3a = 5b = 12 : ấ ằ ả ⇔ a = ; b = 6/5
5 Ta có b = – a, M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ D u “=” x y a = ½ ấ ả
V y M = ¼ ậ ⇔ a = b = ½
6 Đ t a = + x ặ ⇒ b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy : b ≤ – x Ta l i có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x = 2.ạ V i a = 1, b = aớ 3 + b3 = a + b = V y max N = a = b = 1.ậ
7 Hi u c a v trái v ph i b ng (a – b)ệ ủ ế ế ả ằ 2(a + b).
8 Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b | ⇔ a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
⇔ 4ab > ⇔ ab > V y a b hai s d u.ậ ố ấ
9 a) Xét hi u : (a + 1)ệ 2 – 4a = a2 + 2a + – 4a = a2 – 2a + = (a – 1)2 ≥ 0.
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c b t đ ng th c có hai v đ u dấ ẳ ứ ế ề ương, nên : [(a
(16)10 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai tri n rút g n, ta để ọ ược :
3(a2 + b2 + c2) V y : (a + b + c)ậ 2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
11 a)
4
2x x 3x x
2x x
2x x x x 2
− = − = =
− = − ⇔ ⇔ ⇔
− = − =
=
b) x2 – 4x ≤ ⇔ (x – 2)2 ≤ 33 ⇔ | x – | ≤ ⇔ -3 ≤ x – ≤ ⇔ -1 ≤ x ≤ 5.
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – ⇔ (2x – 1)2 ≤ Nh ng (2x – 1)ư 2 ≥ 0, nên ch có th : 2x – = 0ỉ ể
V y : x = ½ ậ
12 Vi t đ ng th c cho dế ẳ ứ ướ ại d ng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai v c a (1) v i r iế ủ ớ ồ
đ a v d ng : aư ề 2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = 13 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998.
D u “ = “ x y có đ ng th i : ấ ả
a b a b
+ − =
− = − =
V y M = 1998 ậ ⇔ a = b = 14 Gi i tả ương t 13.ự
15 Đ a đ ng th c cho v d ng : (x – 1)ư ẳ ứ ề 2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + = 0.
16 ( )2
1 1
A max A= x
x 4x x 2 5 5
= = ≤ ⇔ =
− + − +
17 a) 7+ 15< 9+ 16 7= + = V y ậ 7+ 15 < b) 17+ 5 1+ > 16+ 4 7+ = + + = = 49> 45 c) 23 19 23 16 23 2.4 25 27
3 3
− < − = − = = < .
d) Gi s ả ( ) ( )
2
3 > ⇔ > ⇔ 2 3> ⇔ 18> 12 ⇔18 12> B t đ ng th c cu i đúng, nên : ấ ẳ ứ ố 3 2 > 2 3
18 Các s có th 1,42 ố ể
2
+
19 Vi t l i phế ương trình dướ ại d ng : 3(x 1)+ 2+ +4 5(x 1)+ 2+16 (x 1)= − + 2.
V trái c a phế ủ ương trình khơng nh h n 6, cịn v ph i không l n h n V y đ ng th c ch x y cỏ ế ả ậ ẳ ứ ỉ ả ả hai v đ u b ng 6, suy x = -1.ế ề ằ
20 B t đ ng th c Cauchy ấ ẳ ứ ab a b
+
≤ vi t l i dế ướ ại d ng
2 a b ab
2
+
≤ (*) (a, b ≥ 0) Áp d ng b t d ng th c Cauchy dụ ấ ẳ ứ ướ ại d ng (*) v i hai s dớ ố ương 2x xy ta :
2 2x xy
2x.xy
2
+
≤ =
D u “ = “ x y : 2x = xy = : t c x = 1, y = ấ ả ứ ⇒ max A = ⇔ x = 2, y = 21 B t đ ng th c Cauchy vi t l i dấ ẳ ứ ế ướ ại d ng :
a b
ab > + Áp d ng ta có S > ụ
1998
1999
22 Ch ng minh nh 1.ứ 23 a)
2 2
x y x y 2xy (x y)
2
y x xy xy
+ − −
+ − = = ≥ V y ậ x y
y+ ≥x
b) Ta có :
2 2
2 2
x y x y x y x y x y
A
y x y x y x y x y x
= + − + = + − + + +
(17)2
2
2
x y x y x y
A 2 1
y x y x y x
≥ + − + + = − + − ≥
c) T câu b suy : ừ
4 2
4 2
x y x y
0
y x y x
+ − + ≥
Vì
x y
y+ ≥x (câu a) Do :
4 2
4 2
x y x y x y
2
y x y x y x
+ − + + + ≥
24 a) Gi s ả 1+ 2 = m (m : s h u t ) ố ữ ỉ ⇒ = m2 – ⇒ 2 s h u t (vơ lí)ố ữ ỉ
b) Gi s m + ả
n = a (a : s h u t ) ố ữ ỉ ⇒
n = a – m ⇒ = n(a – m) ⇒ s h u t , vơ lí.ố ữ ỉ
25 Có, ch ng h n ẳ (5+ − 2) 5=
26 Đ t ặ
2
2
2
x y x y
a a
y+ = ⇒x y +x + = D dàng ch ng minh ễ ứ
2
2
x y
2 y +x ≥ nên a
2 ≥ 4,
| a | ≥ (1) B t đ ng th c ph i ch ng minh tấ ẳ ứ ả ứ ương đương v i : aớ 2 – + ≥ 3a
⇔ a2 – 3a + ≥ ⇔ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)
T (1) suy a ≥ ho c a ≤ -2 N u a ≥ (2) N u a ≤ -2 (2) Bài tốn đừ ặ ế ế ượ c ch ng minh.ứ
27 B t đ ng th c ph i ch ng minh tấ ẳ ứ ả ứ ương đương v i :ớ
( )
4 4 2 2
2 2
x z y x z x x z y x z y xyz x y z
+ + − + +
≥
C n ch ng minh t không âm, t c : xầ ứ ứ 3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ (1)
Bi u th c khơng đ i hốn v vịng x ể ứ ổ ị y z x nên có th gi s x s l n nh t Xét hai trể ả ố ấ ườ ng h p :ợ
a) x ≥ y ≥ z > Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) tở ương đương v i :ớ x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0
⇔ z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0
D th y x – y ≥ , xễ ấ 3 – y2z ≥ , y – z ≥ , yx2 – z3 ≥ nên b t đ ng th c đúng.ấ ẳ ứ
b) x ≥ z ≥ y > Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) tở ương đương v i :ớ x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0
⇔ z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0
D th y b t đ ng th c dúng.ễ ấ ấ ẳ ứ
Cách khác : Bi n đ i b t đ ng th c ph i ch ng minh tế ổ ấ ẳ ứ ả ứ ương đương v i :ớ
2 2
x y z x y z
1 1
y z x y z x
− + − + − + + + ≥
28 Ch ng minh b ng ph n ch ng Gi s t ng c a s h u t a v i s vô t b s h u t c Ta có : b = c –ứ ằ ả ứ ả ổ ủ ố ữ ỉ ố ỉ ố ữ ỉ a Ta th y, hi u c a hai s h u t c a s h u t , nên b s h u t , trái v i gi thi t V y c ph i s vôấ ệ ủ ố ữ ỉ ố ữ ỉ ố ữ ỉ ả ế ậ ả ố t ỉ
29 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) ⇒ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai tri n rút g n ta để ọ ược :
3(a2 + b2 + c2) V y : (a + b + c)ậ 2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) Tương t nh câu bự
30 Gi s a + b > ả ⇒ (a + b)3 > ⇔ a3 + b3 + 3ab(a + b) > ⇔ + 3ab(a + b) > 8
⇒ ab(a + b) > ⇒ ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai v cho s dế ố ương a + b : ab > a2 – ab + b2
⇒ (a – b)2 < 0, vơ lí V y a + b ≤ 2.ậ
(18)Cách : Theo đ nh nghĩa ph n nguyên : ≤ x - ị ầ [ ]x < ; ≤ y - [ ]y < Suy : ≤ (x + y) – ([ ]x + [ ]y ) < Xét hai trường h p :ợ
- N u ≤ (x + y) – (ế [ ]x + [ ]y ) < [x y+ ] = [ ]x + [ ]y (1)
- N u ≤ (x + y) – (ế [ ]x + [ ]y ) < ≤ (x + y) – ([ ]x + [ ]y + 1) < nên
[x y+ ] = [ ]x + [ ]y + (2) Trong c hai trả ường h p ta đ u có : ợ ề [ ]x + [ ]y ≤ [x y+ ]
32 Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ nên t m u c a A s dử ẫ ủ ố ương , suy A > : A l nớ
nh t ấ ⇔
A nh nh t ỏ ấ ⇔ x
2 – 6x + 17 nh nh t.ỏ ấ
V y max A = ậ
8 ⇔ x =
33 Không được dùng phép hốn v vịng quanh x ị y z x gi s x ≥ y ≥ z.ả
Cách : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho s dụ ấ ẳ ứ ố ương x, y, z :
3
x y z x y z
A
y z x y z x
= + + ≥ =
Do x y z x y z x y z
y z x y z x
+ + = ⇔ = = ⇔ = =
Cách : Ta có : x y z x y y z y
y z x y x z x x
+ + = + + + −
Ta có
x y
y+ ≥x (do x, y > 0) nên đ ch ng minhể ứ x y z
3
y+ + ≥z x ta ch c n ch ng minh : ỉ ầ ứ
y z y z + − ≥x x (1)
(1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai v v i s dế ố ương xz)
⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ ⇔ (x – z)(y – z) ≥ (2)
(2) v i gi thi t r ng z s nh nh t s x, y, z, (1) T tìm đớ ả ế ằ ố ỏ ấ ố ược giá tr nhị ỏ nh t c a ấ ủ x y z
y+ +z x
34 Ta có x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16 Ta l i có (x – y)ạ 2 ≥ ⇒ x2 – 2xy + y2 ≥ T suy 2(xừ 2 + y2) ≥
16 ⇒ x2 + y2 ≥ A = ch x = y = 2.ỉ
35 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s không âm : ụ ấ ẳ ứ ố
1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(x y)(y z)(z x)+ + + (2) Nhân t ng v c a (1) v i (2) (do hai v đ u không âm) : ≥ 9.ừ ế ủ ế ề A ⇒ A ≤
3
max A =
ch x = y = z = ỉ
1
36 a) Có th b, c) Khơng th ể ể
37 Hi u c a v trái v ph i b ng (a – b)ệ ủ ế ế ả ằ 2(a + b).
38 Áp d ng b t đ ng th c ụ ấ ẳ ứ
1
xy ≥(x y)+ v i x, y > :ớ
2 2
2 a c a ad bc c 4(a ad bc c ) b c d a (b c)(a d) (a b c d)
+ + + + + +
+ = ≥
+ + + + + + + (1)
Tương t ự
2
2 b d 4(b ab cd d ) c d a b (a b c d)
+ + +
+ ≥
(19)C ng (1) v i (2) ộ
2 2
2
a b c d 4(a b c d ad bc ab cd)
b c c d d a a b (a b c d)
+ + + + + + +
+ + + ≥
+ + + + + + + = 4B
C n ch ng minh B ≥ ầ ứ
2, b t đ ng th c tấ ẳ ứ ương đương v i :ớ
2B ≥ ⇔ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2
⇔ a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ ⇔ (a – c)2 + (b – d)2 ≥ : đúng.
39 - N u ≤ x - ế [ ]x < ½ ≤ 2x - 2[ ]x < nên [ ]2x = 2[ ]x
- N u ½ ≤ x - ế [ ]x < ≤ 2x - 2[ ]x < ⇒ ≤ 2x – (2[ ]x + 1) < ⇒[ ]2x = 2[ ]x + 40 Ta s ch ng minh t n t i s t nhiên m, p cho : ẽ ứ ố ự
14 43 mchữsố0
96000 00 ≤ a + 15p < 14 43 mchữsố0 97000 00
T c 96 ≤ ứ am +15pm
10 10 < 97 (1) G i a + 15 s có k ch s : 10ọ ố ữ ố
k – 1 ≤ a + 15 < 10k
⇒ ≤ ak + 15k <1
10 10 10 (2) Đ t ặ n= k + k a 15p x
10 10 Theo (2) ta có x1 < k 15 10 <
Cho n nh n l n lậ ầ ượt giá tr 2, 3, 4, …, giá tr c a xị ị ủ n tăng d n, m i l n tăng không đ n v , khiầ ỗ ầ ị
đó [ ]xn s tr i qua giá tr 1, 2, 3, … Đ n m t lúc ta có ẽ ả ị ế ộ xp = 96 Khi 96 ≤ xp < 97 t c 96 ≤ứ +
k k
a 15p
10 10 < 97 B t đ ng th c (1) đấ ẳ ứ ược ch ng minh.ứ
42 a) Do hai v c a b t đ ng th c không âm nên ta có :ế ủ ấ ẳ ứ | A + B | ≤ | A | + | B | ⇔ | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2
⇔ A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | ⇔ AB ≤ | AB | (b t đ ng th c đúng)ấ ẳ ứ
D u “ = “ x y AB ≥ 0.ấ ả
b) Ta có : M = | x + | + | x – | = | x + | + | – x | ≥ | x + + – x | = 5.
D u “ = “ x y ch (x + 2)(3 – x) ≥ ấ ả ỉ ⇔ -2 ≤ x ≤ (l p b ng xét d u)ậ ả ấ V y M = ậ ⇔ -2 ≤ x ≤
c) Phương trình cho ⇔ | 2x + | + | x – | = | x + | = | 2x + + – x |
⇔ (2x + 5)(4 – x) ≥ ⇔ -5/2 ≤ x ≤
43 Đi u ki n t n t i c a phề ệ ủ ương trình : x2 – 4x – ≥ ⇔ x
x
≤ − ≥
Đ t n ph ặ ẩ ụ x2−4x 5− = ≥y 0, ta được : 2y2 – 3y – = ⇔ (y – 2)(2y + 1) = 0.
45 Vô nghi mệ
46 Đi u ki n t n t i c a ề ệ ủ x x ≥ Do : A = x + x ≥ ⇒ A = ⇔ x = 47 Đi u ki n : x ≤ Đ t ề ệ ặ x− = y ≥ 0, ta có : y2 = – x ⇒ x = – y2.
B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + 13
4 ≤ 13
4 max B = 13
4 ⇔ y = ½ ⇔ x = 11
4
48 a) Xét a2 b2 T suy a = b.ừ
b) 5− 13 3+ = 5 (2 1)− + = 4 3− = 3 1− V y hai s b ng nhau.ậ ố ằ c) Ta có : ( n 2+ − n 1+ )( n 2+ + n 1+ =) ( n+1− n)( n 1+ + n) =1
Mà n 2+ + n 1+ > n 1+ + n nên n+2− n 1+ < n 1+ − n
49 A = - | – 3x | + | 3x – |2 = ( | 3x 1| - ẵ )2 + ắ ắ
T suy : A = ¾ ⇔ x = ½ ho c x = 1/6ặ 51 M = 4
(20)53 P = | 5x – | + | – 5x | ≥ | 5x – + – 5x | = P = ⇔ x 5≤ ≤
54 C n nh cách gi i m t s phầ ả ộ ố ương trình d ng sau : B
A (B 0) A
a) A B b) A B c) A B
A B A B B
≥
≥ ≥ =
= ⇔ = ⇔ + = ⇔
= = =
B
A
d) A B A B e) A B
B
A B
≥
=
= ⇔ = + = ⇔ =
= −
a) Đ a phư ương trình v d ng : ề A = B b) Đ a phư ương trình v d ng : ề A =B c) Phương trình có d ng : A+ B 0= d) Đ a phư ương trình v d ng : ề A =B e) Đ a phư ương trình v d ng : | A | + | B | = 0ề g, h, i) Phương trình vơ nghi m.ệ
k) Đ t ặ x 1− = y ≥ 0, đ a phư ương trình v d ng : | y – | + | y – | = Xét d u v trái.ề ấ ế l) Đ t : ặ 8x u ; 3x v ; 7x z ; 2x 2+ = ≥ − = ≥ + = ≥ − = ≥t
Ta h : ệ u v z t2 2 2 2
u v z t
+ = +
− = −
T suy : u = z t c : ứ 8x 1+ = 7x 4+ ⇔ =x
55 Cách : Xét x2+y2−2 2(x y) x− = 2+y2−2 2(x y) 2xy (x y− + − = − − 2)2 ≥0.
Cách : Bi n đ i tế ổ ương đương ( )
( )
2
2
2
2 x y x y
2
x y x y
+
+ ≥ ⇔ ≥
− − ⇔ (x
2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0
⇔ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ ⇔ (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ ⇔ (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0.
Cách : S d ng b t đ ng th c Cauchy : ử ụ ấ ẳ ứ
2 2 2
x y x y 2xy 2xy (x y) 2.1
(x y) (x y)
x y x y x y x y x y
+ = + − + = − + = − + ≥ −
− − − − − (x > y)
D u đ ng th c x y ấ ẳ ứ ả x ; y
2
+ −
= = ho c ặ x ; y
2
− + − −
= =
62
2
2 2 2
1 1 1 2 1 1 1 2(c b a
a b c a b c ab bc ca a b c abc
+ +
+ + = + + + + + = + + +
=
= 12 12 12
a +b + c Suy u ph i ch ng minh.ề ả ứ
63 Đi u ki n : ề ệ
2 (x 6)(x 10) 0 x
x 16x 60
x 10 x 10
x x
x
≤
− − ≥
− + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≥
≥
− ≥ ≥
≥
Bình phương hai v : xế 2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 ⇔ x > 6.
Nghi m c a b t phệ ủ ấ ương trình cho : x ≥ 10
64 Đi u ki n xề ệ 2 ≥ Chuy n v : ể ế x2−3 ≤ x2 – (1)
Đ t th a chung : ặ x2−3.(1 - x2−3) ≤ ⇔
2
x
x
x
1 x x 2
= ±
− =
⇔ ≥
− − ≤
≤ −
(21)V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình : x = ± ; x ≥ ; x ≤ -2
65 Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = ⇔ (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + = - x2 ≤ 0.
Do : A2 – 4A + ≤ ⇔ (A – 1)(A – 3) ≤ ⇔ ≤ A ≤ 3.
min A = ⇔ x = 0, y = ± max A = ⇔ x = 0, y = ± 66 a) ½ ≤ x ≠ 1.
b) B có nghĩa ⇔
2
2
4 x 4 x
16 x
x 2
2x (x 4) x 2
2 x 2
1
x 8x x
1
2 x
2
− ≤ ≤
− ≤ ≤
− ≥
≤ −
+ > ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ − < ≤ −
≥ +
− + ≥
> −
> −
67 a) A có nghĩa ⇔
2
2
x 2x x(x 2) x
x
x x 2x
x x 2x
− ≥ − ≥ ≥
⇔ ⇔
≠ − <
≠ ± −
b) A = 2 x2−2x v i u ki n trên.ớ ề ệ
c) A < ⇔ x2−2x < ⇔ x2 – 2x < ⇔ (x – 1)2 < ⇔ - 2 < x – < 2⇒ kq
68 Đ t ặ
20chữsố9
0,999 9914 43 = a Ta s ch ng minh 20 ch s th p phân đ u tiên c a ẽ ứ ữ ố ậ ầ ủ a ch s Mu nữ ố ố
v y ch c n ch ng minh a < ậ ỉ ầ ứ a < Th t v y ta có : < a < ậ ậ ⇒ a(a – 1) < ⇒ a2 – a < ⇒ a2 < a Từ
a2 < a < suy a < a < 1.
V y ậ
20chữsố9 20chữsố9 0,999 99 0,999 9914 43 = 14 43 .
69 a) Tìm giá tr l n nh t Áp d ng | a + b | ≥ | a | + | b |.ị ấ ụ
A ≤ | x | + 2 + | y | + = + 2 ⇒ max A = + 2 (khi ch ng h n x = - 2, y = - 3)ẳ b) Tìm giá tr nh nh t Áp d ng | a – b | ≥ | a | - | b ị ỏ ấ ụ
A ≥ | x | - 2 | y | - = - 2 ⇒ A = - 2 (khi ch ng h n x = 2, y = 3)ẳ 70 Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 Suy :
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)
M t khác, d dàng ch ng minh đặ ễ ứ ược : N u a + b + c = aế 2 + b2 + c2 ≥ 1
3
Do t gi thi t suy : xừ ả ế 2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ 1
3 (2)
T (1) , (2) : A =
3 ⇔ x = y = z = 3
±
71 Làm nh 8c (§ 2) Thay so sánh ư n+ n n+1+ ta so sánh n 2+ − n 1+
n 1+ − n Ta có : n 2+ − n 1+ < n 1+ − n ⇒ n + n 2 n 1+ < +
72 Cách : Vi t bi u th c dế ể ứ ướ ấi d u thành bình phương c a m t t ng ho c m t hi u.ủ ộ ổ ặ ộ ệ
Cách : Tính A2 r i suy A.ồ
73 Áp d ng : (a + b)(a – b) = aụ 2 – b2.
74 Ta ch ng minh b ng ph n ch ng.ứ ằ ả ứ
a) Gi s t n t i s h u t ả ố ữ ỉ r mà 3+ = r ⇒ + 15 + = r2 ⇒
2 r 15
2
−
= V trái s vô t ,ế ố ỉ v ph i s h u t , vơ lí V y ế ả ố ữ ỉ ậ 3+ s vô t ố ỉ
b), c) Gi i tả ương t ự
(22)⇔ ( ) (3 > 2 2+ )2 ⇔ 27 8 2> + + ⇔15 2> ⇔ 225 128> V y a > b đúng.ậ b) Bình phương hai v lên r i so sánh.ế
76 Cách : Đ t A = ặ 4+ 7 − 4− 7 , rõ ràng A > A2 = ⇒ A = 2
Cách : Đ t B = ặ 4+ 7 − 4− 7 − 2 ⇒ 2.B= 8 7+ − 8 0− − = ⇒ B =
0
77 Q 2.3 2.4 ( 4) 2( 4) 1 2
2 4
+ + + + +
+ + + +
= = = +
+ + + +
78 Vi t ế 40 2.5 ; 56 2.7 ; 140 5.7= = = V y P = ậ 2+ 5+ 79 T gi thi t ta có : ừ ả ế 2
x y− = −1 y x− Bình phương hai v c a đ ng th c ta đế ủ ẳ ứ ượ c :
y= x− T : xừ 2 + y2 = 1.
80 Xét A2 đ suy : ≤ Aể 2 ≤ V y : A = ậ 2 ⇔ x = ± ; max A = ⇔ x = 0.
81 Ta có : M =( a + b) (2 ≤ a+ b) (2+ a− b)2 =2a 2b 2+ ≤
1
a b
max M a b
2 a b
=
= ⇔ ⇔ = =
+ =
82 Xét t ng c a hai s : ổ ủ ố (2a b cd+ − ) (+ 2c d ab+ − ) (= + −a b ab) (+ + −c d cd)+ +a c = = (a c+ +) ( a− b) (2+ c− d)2≥ + >a c
83 N= 4 18+ + + = 12 4 2+ + + + + = = (2 2+ )2+2 2 2( + + =) 2 (2 2+ + 2)2 =2 3+ 2 2+
84 T ừ x y z+ + = xy+ yz+ zx ⇒ ( x− y) (2+ y− z) (2+ z− x)2 =0 V y x = y = z.ậ
85 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho aụ ấ ẳ ứ i ( i = 1, 2, 3, … n )
86 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i hai s a + b ≥ 2ụ ấ ẳ ứ ố ab ≥ 0, ta có : ( )2
a b ab 2(a b) ab hay+ + ≥ + a + b ≥2 2(a b) ab+ D u “ = “ x y a = b.ấ ả
87 Gi s a ≥ b ≥ c > Ta có b + c > a nên b + c + 2ả bc > a hay ( b+ c) ( )2 > a
Do : b+ c> a V y ba đo n th ng ậ ẳ a , b , c l p đậ ược thành m t tam giác.ộ 88 a) Đi u ki n : ab ≥ ; b ≠ Xét hai trề ệ ường h p :ợ
* Trường h p : a ≥ ; b > : ợ A b.( a b) a a b a
b b
b b b
− −
= − = − = −
* Trường h p : a ≤ ; b < : ợ
2
ab b a a a a
A 1
b b b b
b
−
= − = − + − = −
−
b) Đi u ki n : ề ệ
2
(x 2) 8x
x x
x 2
x
x
+ − ≥
>
> ⇔
≠
− ≠
(23)2 x x (x 2) 8x (x 2) x
B
2 x x
x x − + − − = = = − − −
• N u < x < | x – | = -(x – 2) B = - ế x
• N u x > | x – | = x – B = ế x
89 Ta có : ( ) 2
2
2 2
a 1
a
a
a a a
+ +
+ = = + +
+ + +
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy:ụ ấ ẳ ứ
2
2
1
a a
a a
+ + ≥ + =
+ + V y ậ
2 a
2
a+ ≥+1 Đ ng th c x y :ẳ ứ ả
2
a a
a
+ = ⇔ =
+
93 Nhân v c a pt v i ế ủ 2, ta : 2x 3− + + 2x 4− − = ⇔ 5/2 ≤ x ≤ 94 Ta ch ng minh b ng qui n p toán h c : ứ ằ ọ
a) V i n = ta có :
1
P
2
= < (*)
b) Gi s : ả k
1 1.3.5 (2k 1) P
2.4.6 2k
2k 2k
−
< ⇔ <
+ + (1)
c) Ta ch ng minh r ng (*) n = k + , t c : ứ ằ ứ k
1 1.3.5 (2k 1) P
2.4.6 (2k 2)
2k 2k
+
+
< ⇔ <
+
+ + (2)
V i m i s nguyên dớ ọ ố ương k ta có : 2k 2k
2k 2k
+ < +
+ + (3)
Nhân theo t ng v b t đ ng th c (1) (3) ta đừ ế ấ ẳ ứ ược b t đ ng th c (2) V y ấ ẳ ứ ậ ∀ n ∈ Z+ ta có
n
1.3.5 (2n 1) P
2.4.6 2n 2n
−
= <
+
95 Bi n đ i tế ổ ương đương :
2 3
a b a b
a b a b
b a ab
+
+ ≤ + ⇔ + ≤
( )2 ( a b)(a ab b)
a b ab a ab b a b
ab
+ − +
⇔ + ≤ ⇔ ≤ − + ⇔ − ≥ (đúng)
96 Đi u ki n : ề ệ
x 4(x 1)
1 x x 4(x 1)
x x 4(x 1)
x
− − ≥
< <
+ − ≥ ⇔
>
− − >
− ≠
Xét hai kho ng < x < x > K t qu : ả ế ả A A=
1 x x-1
= −
105 Cách : Tính A 2 Cách : Tính A2
Cách : Đ t ặ 2x 1− = y ≥ 0, ta có : 2x – = y2.
2 y 1
y 2y y 2y
2x 2x 2x 2x y
A
2 2 2
−
+ + + −
+ − − − +
(24)V i y ≥ (t c x ≥ 1), ứ A (y y 1)
2
= + − + =
V i ≤ y < (t c ứ
2 ≤ x < 1),
1 2y
A (y y 1) y 4x
2
= + + − = = = −
108 N u ≤ x ≤ A = 2ế N u x ≥ A = 2ế x 2−
109 Bi n đ i : ế ổ x y 2+ − + 2= x+ y Bình phương hai v r i rút g n, ta đế ọ ược :
2(x y 2)+ − = xy L i bình phạ ương hai v r i rút g n : (2 – y)(x – 2) = 0.ế ọ Đáp : x = , y ≥ , x ≥ , y =
110 Bi n đ i tế ổ ương đương :
(1) ⇔ a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (a2+b2) (c2+d2) ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd
⇔ (a2+b2) (c2+d2) ≥ ac + bd (2) * N u ac + bd < 0, (2) đế ược ch ng minh.ứ * N u ac + bd ≥ 0, (2) tế ương đương v i :ớ
(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ⇔ a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd
⇔ (ad – bc)2 ≥ (3) B t đ ng th c (3) đúng, v y b t đ ng th c (1) đấ ẳ ứ ậ ấ ẳ ứ ược ch ng minh.ứ
111 Cách : Theo b t đ ng th c Cauchy :ấ ẳ ứ
2 2
a b c 2 a .b c 2.a a a a b c
b c b c b c
+ + +
+ ≥ = = ⇒ ≥ −
+ + +
Tương t : ự
2
b b a c ; c c a b
a c a b
+ +
≥ − ≥ −
+ +
C ng t ng v b t đ ng th c : ộ ế ấ ẳ ứ ( )
2 2
a b c a b c a b c a b c
b c c a a b 2
+ + + +
+ + ≥ + + − =
+ + +
Cách : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2 Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
a b c
X b c c a a b
b c c a a b
+ + + + + + +
+ + +
≥
≥
2
a b c
b c c a a b
b c c a a b
+ + + + +
+ + +
⇒ [ ]
2 2 2
2
a b c 2(a b c) (a b c) a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + +
+ + + + + +
112 a) Ta nhìn t ng a + dổ ướ ại d ng m t tích 1.(a + 1) áp d ng bđt Cauchy : ộ ụ xy x y
+ ≤
(a 1) a
a 1.(a 1)
2
+ +
+ = + ≤ = +
Tương t : ự b b ; c c
2
+ = + + = +
C ng t ng v b t đ ng th c : ộ ế ấ ẳ ứ a b c a b c 3,5
+ +
+ + + + + ≤ + =
D u “ = ” x y ấ ả ⇔ a + = b + = c + ⇔ a = b = c = 0, trái v i gi thi t a + b + c = 1.ớ ả ế V y : ậ a 1+ + b 1+ + c 3,5+ <
(25)( )2 ( ) (2 ) (2 )2 a b b c c a+ + + + + ≤ + +(1 1)X a b+ + b c+ + c a+
⇒
( )2
a b+ + b c+ + c a+ ≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6⇒ a b+ + b c+ + c a+ ≤
113 Xét t giác ABCD có AC ứ ⊥ BD, O giao m hai để ường chéo OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d v i a, b, c, d > Ta có :ớ
2 2 2 2
AB= a +c ; BC= b +c ; AD= a +d ; CD= b +d
AC = a + b ; BD = c + d C n ch ng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD.ầ ứ Th t v y ta có : AB.BC ≥ 2Sậ ậ ABC ; AD.CD ≥ 2SADC Suy :
Suy : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD
V y : ậ (a2+c2) (b2+c2) (+ a2+d2) (b2+d2) ≥ +(a b)(c d)+ Chú ý : Gi i b ng cách áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ả ằ ụ ấ ẳ ứ
(m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 v i m = a , n = c , x = c , y = b ta có :ớ
(a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 ⇒ (a2+c2) (c2+b2) ≥ ac + cb (1)
Tương t : ự (a2+d2) (d2+b2) ≥ ad + bd (2) C ng (1) (2) suy đpcm.ộ 114 L i gi i saiờ ả :
2
1 1
A x x x Vaäy minA
2 4
= + = + − ≥ − = −
Phân tích sai l mầ : Sau ch ng minh f(x) ≥ - ứ
4 , ch a ch trư ỉ ường h p x y f(x) = - ợ ả
X y d u đ ng th c ch ả ấ ẳ ứ ỉ x
= − Vơ lí
L i gi i đúngờ ả : Đ t n t i ể x ph i có x ≥ Do A = x + ả x ≥ A = ⇔ x =
115 Ta có
2
(x a)(x b) x ax+bx+ab ab
A x (a b)
x x x
+ + +
= = = + + +
Theo b t đ ng th c Cauchy : ấ ẳ ứ x ab ab x
+ ≥ nên A ≥ ab + a + b = ( a+ b)2 A = ( a+ b)2 chi
ab x
x ab x
x
=
⇔ =
>
116 Ta xét bi u th c ph : Aể ứ ụ 2 = (2x + 3y)2 Nh l i b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ớ ấ ẳ ứ
(am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1)
N u áp d ng (1) v i a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :ế ụ
A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2).
Vói cách ta không ch đỉ ược h ng s α mà Aằ ố 2 ≤ α Bây gi , ta vi t Aờ ế 2 dướ ại d ng :
A2 = ( 2 2x+ 3 3y)2 r i áp d ng (1) ta có :ồ ụ
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2
A = + x + y = +(2 3)(2x +3y ) 5.5 25≤ =
Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ A = -5 ⇔ x y x y
2x 3y
=
⇔ = = −
+ =
max A = ⇔ x y x y
2x 3y
=
⇔ = =
+ =
117 Đi u ki n x ≤ Đ t ề ệ ặ x− = y ≥ 0, ta có : y2 = – x.
a d
b c
O D
C B
(26)2
2 9
a y y y maxA = y x
2 4 4
= − + = − − + ≤ ⇒ ⇔ = ⇔ =
118 Đi u ki n x ≥ ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 ề ệ ⇔ x ≥
Chuy n v , r i bình phể ế ương hai v : x – = 5x – + 3x – + ế 2 15x2−13x 2+ (3) Rút g n : – 7x = ọ 2 15x2−13x 2+ C n có thêm u ki n x ≤ 2/7.ầ ề ệ
Bình phương hai v : – 28x + 49xế 2 = 4(15x2 – 13x + 2) ⇔ 11x2 – 24x + = 0
(11x – 2)(x – 2) = ⇔ x1 = 2/11 ; x2 =
C hai nghi m đ u không th a mãn u ki n V y phả ệ ề ỏ ề ệ ậ ương trình cho vơ nghi m.ệ 119 Đi u ki n x ≥ Phề ệ ương trình bi n đ i thành :ế ổ
x 1− + + x 1 2− − = ⇔ x 1− + x 1 1− − =
* N u x > : ế x 1− + x 1 1− − = ⇔ x 1x 2− = = , không thu c kho ng xét.ộ ả * N u ≤ x ≤ : ế x 1− + − x 1 2− + = Vô s nghi m ≤ x ≤ 2ố ệ
K t lu n : ≤ x ≤ 2.ế ậ
120 Đi u ki n : xề ệ 2 + 7x + ≥ Đ t ặ x2+7x 7+ = y ≥ ⇒ x2 + 7x + = y2.
Phương trình cho tr thành : 3yở 2 – + 2y = ⇔ 3y2 + 2y – = ⇔ (y – 1)(3y + 5) = 0
⇔ y = - 5/3 (lo i) ; y = V i y = ta có x2+7x 7+ = ⇒ x2 + 7x + = ⇔
⇔ (x + 1)(x + 6) = Các giá tr x = - 1, x = - th a mãn xị ỏ 2 + 7x + ≥ nghi m c a (1).ệ ủ
121 V trái : ế 3(x 1)+ 2+ +4 5(x 1)+ 2+ ≥9 4+ 9 5= .
V ph i : – 2x – xế ả 2 = – (x + 1)2 ≤ V y hai v đ u b ng 5, x = - V i giá tr c hai b tậ ế ề ằ ớ ị ả ấ
đ ng th c đ u tr thành đ ng th c K t lu n : x = - 1ẳ ứ ề ẳ ứ ế ậ 122 a) Gi s ả 3− 2 = a (a : h u t ) ữ ỉ ⇒ - 6 = a2 ⇒
2 a
2
−
= V ph i s h u t , v trái làế ả ố ữ ỉ ế s vơ t Vơ lí V y ố ỉ ậ 3− s vô t ố ỉ
b) Gi i tả ương t câu a.ự
123 Đ t ặ x 2− = a, x− = b, ta có a2 + b = S ch ng minh a + b ≤ C ng t ng v b t đ ng th c :ẽ ứ ộ ừ ế ấ ẳ ứ
2
a b
a ; b
2
+ +
≤ ≤
124 Đ t đo n th ng BH = a, HC = c m t đặ ẳ ộ ường th ng ẳ K HA ẻ ⊥ BC v i AH = b D th y AB.AC ≥ 2Sớ ễ ấ ABC = BC.AH
125 Bình phương hai v r i rút g n, ta đế ọ ược b t đ ng th c tấ ẳ ứ ương
đương : (ad – bc)2 ≥ Chú ý : Cũng có th ch ng minh b ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki.ể ứ ằ ấ ẳ ứ
126 Gi s a ≥ b ≥ c > Theo đ : b + c > a Suy : b + c + 2ả ề bc > a ⇒
⇒ ( b+ c) ( )2> a ⇒ b+ c> a V y ba đo n th ng có đ dài ậ ẳ ộ b , c , a l p đậ ược thành m t tam giác.ộ 127 Ta có a, b ≥ Theo b t đ ng th c Cauchy :ấ ẳ ứ
2
(a b) a b a b 1
a b ab a b
2 2
+ + + = + + + ≥ + +
C n ch ng minh : ầ ứ ab a b
2
+ +
≥ a b b a+ Xét hi u hai v :ệ ế
1 ab a b
2
+ +
- ab a( + b) =
1
ab a b a b
2
+ + − −
= =
2
1
ab a b
2
− + −
≥
X y d u đ ng th c : a = b = ả ấ ẳ ứ
4 ho c a = b = 0.ặ
c a
b
C B
(27)128 Theo b t đ ng th c Cauchy : ấ ẳ ứ b c.1 b c :2 b c a
a a 2a
+ ≤ + + = + +
Do : a 2a
b c a b c+ ≥ + + Tương t : ự
b 2b ; c 2c
a c a b c+ ≥ + + a b a b c+ ≥ + +
C ng t ng v : ộ ế a b c 2(a b c)
b c c a a b a b c
+ +
+ + ≥ =
+ + + + +
X y d u đ ng th c : ả ấ ẳ ứ
a b c
b c a a b c c a b
= +
= + ⇒ + + =
= +
, trái v i gi thi t a, b, c > 0.ớ ả ế V y d u đ ng th c không x y ra.ậ ấ ẳ ứ ả
129 Cách : Dùng b t đ ng th c Bunhiacơpxki Ta có :ấ ẳ ứ
( )2 ( ) ( )
2 2 2
x y− +y x− ≤ x −y y− + −1 x Đ t xặ 2 + y2 = m, ta được : 12 ≤ m(2 - m) ⇒ (m – 1)2 ≤ ⇒ m = (đpcm).
Cách : T gi thi t : ừ ả ế x y− = −1 y x− 2 Bình phương hai v :ế
x2(1 – y2) = – 2y 1 x− 2 + y2(1 – x2) ⇒ x2 = – 2y 1 x− + y2
0 = (y - 1 x− 2)2 ⇒ y = 1 x− 2 ⇒ x2 + y2 =
130 Áp d ng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ụ ⇔ ≤ x ≤
131 Xét A2 = + 2 1 x− 2 Do ≤ 1 x− 2 ≤ ⇒ ≤ + 2 1 x− 2 ≤ 4
⇒ ≤ A2 ≤ A = 2 v i x = ± , max A = v i x = 0.ớ ớ
132 Áp d ng b t đ ng th c : ụ ấ ẳ ứ a2+b2+ c2+d2 ≥ (a c)+ 2+ +(b d)2 (bài 23)
2 2 2
A = x + +1 (1 x)− +2 ≥ (x x)+ − + +(1 2) = 10
1 x
minA 10 x
x
−
= ⇔ = ⇔ =
133 T p xác đ nh : ậ ị 2
x 4x 12 (x 2)(6 x)
1 x (x 1)(3 x)
x 2x
− + + ≥ + − ≥
⇔ ⇔ − ≤ ≤
+ − ≥
− + + ≥
(1)
Xét hi u : (- xệ 2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > 0.
Xét : A2=( (x 2)(6 x)+ − − (x 1)(3 x)+ − )2 Hi n nhiên Aể 2 ≥ nh ng d u “ = ” không x y (vì A > 0).ư ấ ả
Ta bi n đ i Aế ổ 2 dướ ại d ng khác :
A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)+ − + − =
= (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)+ − + −
= (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)+ − + − + = ( (x 1)(6 x)+ − − (x 2)(3 x)+ − )2+3
A2 ≥ Do A > nên A = 3 v i x = 0.ớ
134 a) Đi u ki n : xề ệ 2 ≤ 5.
* Tìm giá tr l n nh t ị ấ : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ụ ấ ẳ ứ
A2 = (2x + 1. 5 x− )2 ≤ (22 + 11)(x2 + – x2) = 25 ⇒ A2 ≤ 25.
2
2 2
2 2
x
x 5 x
A 25 x 4(5 x ) x
x x 5
≥
= −
= ⇔ ⇔ = − ⇔ =
≤ ≤
(28)
* Tìm giá tr nh nh tị ỏ ấ : Chú ý r ng t Aằ 2 ≤ 25, ta có – ≤ x ≤ 5, nh ng không x y ư ả
A2 = - Do t p xác đ nh c a A, ta có xậ ị ủ 2 ≤ ⇒ - 5 ≤ x ≤ 5 Do : 2x ≥ - 2 5 và
2
5 x− ≥ Suy :A = 2x + 5 x− ≥ - 2 5 Min A = - 2 5 v i x = -ớ 5 b) Xét bi u th c ph | A | áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki Cauchy :ể ứ ụ ụ ấ ẳ ứ
( 2) 2
2
A x 99 99 101 x x (99 1)(99 101 x ) x 10 200 x x 200 x
10 1000
2
= + − ≤ + + − = − <
+ −
< =
2
2
2
x 101
99 99
A 1000 x 10
1 101 x
x 200 x
≤
= ⇔ = ⇔ = ±
−
= −
Do : - 1000 < A < 1000
min A = - 1000 v i x = - 10 ; max A = 1000 v i x = 10.ớ 135 Cách : A = x + y = 1.(x + y) = a b (x y) a ay bx b
x y x y
+ + = + + +
Theo b t đ ng th c Cauchy v i s dấ ẳ ứ ố ương : ay bx ay bx ab x + y ≥ x y =
Do A a b ab≥ + + =( a + b)2 ( )2 A= a + b v i
ay bx
x y
x a ab a b
1
x y y b ab
x, y
=
= +
+ = ⇔
= +
>
Cách : Dùng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ấ ẳ ứ
( )
2
a b a b
A (x y).1 (x y) x y a b
x y x y
= + = + + ≥ + = +
T tìm đừ ược giá tr nh nh t c a A.ị ỏ ấ ủ
136 A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz ≥2 xyz(x y z) 2+ + =
min A = ch ng h n y = z = , x = ẳ - 137 Theo b t đ ng th c Cauchy : ấ ẳ ứ xy yz xy yz 2y
z + x ≥ z x =
Tương t : ự yz zx 2z ; zx xy 2x
x + y ≥ y + z ≥ Suy 2A ≥ 2(x + y + z) =
min A = v i x = y = z =
3
138 Theo t p 24 : ậ
2 2
x y z x y z
x y y z z x
+ +
+ + ≥
+ + + Theo b t đ ng th c Cauchy :ấ ẳ ứ
xy yz zx
x y y z z x x+y+z
xy ; yz ; zx nên
2 2 2
+ +
+ ≥ + ≥ + ≥ ≥ = .
min A =
2
1 x y z
3
(29)139 a) A=( a + b) (2 ≤ a + b) (2+ a − b)2 =2a 2b 2+ ≤
1
a b
max A a b
2 a b
=
= ⇔ ⇔ = =
+ =
b) Ta có : ( a + b) (4 ≤ a+ b) (4+ a − b)4 =2(a2+b2+6ab) Tương t : ự
( ) ( )
( ) ( )
( )
4
2 2
4
2 2
4
2
a c 2(a c 6ac) ; a d 2(a d 6ad)
b c 2(b c 6bc) ; b d 2(b d 6bd)
c d 2(c d 6cd)
+ ≤ + + + ≤ + +
+ ≤ + + + ≤ + +
+ ≤ + +
Suy : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ 6
1
a b c d
max B a b c d
4 a b c d
= = =
= ⇔ ⇔ = = = =
+ + + =
140 A 3= + ≥x 3y 2 3x y =2 3x y+ =2 34 =18 A = 18 v i x = y = 2.ớ 141 Khơng m t tính t ng qt, gi s a + b ≥ c + d T gi thi t suy :ấ ổ ả ả ế
a b c d b c
2
+ + +
+ ≥
b c b c c c a b c d c d c d
A
c d a b c d c d a b 2(c d) c d a b
+ + + + + +
= + = − − ≥ − −
+ + + + + + + +
Đ t a + b = x ; c + d = y v i x ≥ y > 0, ta có :ặ
x y y y x y x y x y 1
A
2y y x 2y x 2y x 2y x 2
+
≥ − + = + − + = + − ≥ − = −
1
min A d , x y , b c a d
= − ⇔ = = + ≥ + ; ch ng h n khiẳ
a= 1, b+ = 1,c 2,d 0− = =
142 a) (x 3)− 2+( x − 3)2 =0 Đáp s : x = 3.ố
b) Bình phương hai v , đ a v : (xế ề 2 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp s : x = + 2ố 2.
c) Đáp s : x = 20.ố
d) x 2− = + x 1+ V ph i l n h n v trái Vô nghi m.ế ả ế ệ
e) Chuy n v : ể ế x x 1− − = + x 1− Bình phương hai v Đáp s : x = 1.ế ố g) Bình phương hai v Đáp s : ế ố
2 ≤ x ≤
h) Đ t ặ x 2− = y Đ a v d ng ề y 2− + −y = Chú ý đ n b t đ ng th c :ế ấ ẳ ứ
y 2− + − ≥ − + − =3 y y y Tìm ≤ y ≤ Đáp s : ≤ x ≤ 11.ố i) Chuy n v :ể ế x+ 1 x− = −1 x , r i bình phồ ương hai v Đáp : x = (chú ý lo i x = ế 16
25)
k) Đáp s : ố 16
25
l) Đi u ki n : x ≥ ho c x = - Bình phề ệ ặ ương hai v r i rút g n :ế ọ
2
2 2(x 1) (x 3)(x 1)+ + − =x −1
Bình phương hai v : 8(x + 1)ế 2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 ⇔ (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = 0
25 x
7
(30)m) V trái l n h n x, v ph i không l n h n x Phế ế ả ương trình vơ nghi m.ệ
n) Đi u ki n : x ≥ - Bình phề ệ ương hai v , xu t hi n u ki n x ≤ - Nghi m : x = - 1.ế ấ ệ ề ệ ệ
o) Do x ≥ nên v trái l n h n ho c b ng 2, v ph i nh h n ho c b ng Suy hai v b ng 2, xế ặ ằ ế ả ỏ ặ ằ ế ằ = 1, th a mãn phỏ ương trình
p) Đ t ặ 2x 3+ + x 2+ =y ; 2x 2+ − x 2+ =z (1) Ta có :
2
y − = +z x ; y z x 2+ + = + + Suy y – z = T z= x 2+ (2) T (1) (2) tính đừ ược x Đáp s : x = (chú ý lo i x = - 1).ố
q) Đ t 2xặ 2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b ≥ Phương trình : a b+ = a 15b+ Bình phương hai vế
r i rút g n ta đồ ọ ược : b = ho c b = a Đáp s : ặ ố ;
144 Ta có : ( )
( k 1)( k ) ( )
1 2
2 k k
k k k k k k k k
+ −
= > = = + −
+ + + + + −
V y : ậ 1 2( 1) 2( 2) 2( 3) 2( n n )
2 n
+ + + + > − + − + − + + + − =
= 2( n 1)+ − (đpcm)
150 Đ a bi u th c dư ể ứ ướ ấi d u v d ng bình phề ương M = -2 151 Tr c th c m u t ng h ng t K t qu : A = ụ ứ ẫ ế ả n -
152 Ta có : ( a a 1) P ( 2n 1)
a− a 1+ = − + + ⇒ = − + +
P không ph i s h u t (ch ng minh b ng ph n ch ng).ả ố ữ ỉ ứ ằ ả ứ 153 Ta ch ng minh : ứ 1 A
10 (n 1) n n n 1+ + + = n − n 1+ ⇒ =
154 1 1 1 n n
2 n n
+ + + + + > =
155 Ta có a + = 17 Bi n đ i đa th c ngo c thành t ng lũy th a c s a + 1ế ổ ứ ặ ổ ố A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000
= (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 1.
156 Bi n đ i : ế ổ a a 1 ; a a
a a a a
− − = − − − =
+ − − + −
157
2
2 1 1
x x x x x x x x
2 4 2
− + = − + + − + = − + − ≥
D u “ = “ khơng x y khơng th có đ ng th i : ấ ả ể x x
2
= =
168 Trước h t ta ch ng minh : ế ứ a b+ ≤ 2(a2+b )2 (*) (a + b ≥ 0) Áp d ng (*) ta có : ụ S= x 1− + y 2− ≤ 2(x y 2)− + − =
3 x
x y 2
max S
x y
y
= − = −
= ⇔ + = ⇔
=
* Có th tính Sể 2 r i áp d ng b t đ ng th c Cauchy.ồ ụ ấ ẳ ứ
180 Ta ph i có ả | A | ≤ D th y A > Ta xét bi u th c : ễ ấ ể ứ B x2 A
= = − − Ta có :
2 2
(31)2
min B 2= − ⇔ 3= x− ⇔ =x Khi max A
2
= = +
− ⇔
⇔ max B 2= ⇔ 3 x− = ⇔ = ±0 x 3 Khi A = 1
181 Đ áp d ng b t đ ng th c Cauchy, ta xét bi u th c : ể ụ ấ ẳ ứ ể ứ B 2x x
1 x x
−
= +
− Khi :
2x x (1) 2x x
B 2 B 2 x x
1 x x 0 x (2)
−
=
−
≥ − = = ⇔ −
< <
Gi i (1) : 2xả 2 = (1 – x)2 ⇔ | x 2 | = | – x | Do < x < nên x 2 = – x ⇔
⇔ x =
2 1+ = −
Nh v y B = 2ư ậ ⇔ x = 2 -
Bây gi ta xét hi u : ệ A B 2x x 2x 1 x
1 x x x x x x
− − − +
− = + − + = + = + =
− − −
Do A = 2 + ch x = ỉ -
182 a) Đi u ki n : x ≥ , y ≥ B t đ ng th c Cauchy cho phép làm gi m m t t ng : ề ệ ấ ẳ ứ ả ộ ổ
a b
ab
+ ≥ ta mu n làm tăng m t t ng Ta dùng b t đ ng th c : Ở ố ộ ổ ấ ẳ ứ a b+ ≤ 2(a2+b )2 A= x 1− + y 2− ≤ 2(x y 3)− + − =
x y x 1,5 max A
x y y 2,5
− = − =
= ⇔ ⇔
+ = =
Cách khác : Xét A2 r i dùng b t đ ng th c Cauchy.ồ ấ ẳ ứ
b) Đi u ki n : x ≥ , y ≥ B t đ ng th c Cauchy cho phép làm tr i m t tích : ề ệ ấ ẳ ứ ộ ộ ab a b
+ ≤
Ta xem bi u th c ể ứ x , y 2− − tích : x 1.(x 1) , y 2(y 2)
−
− = − − =
Theo b t đ ng th c Cauchy : ấ ẳ ứ x 1.(x 1) x 1
x x 2x
− = − ≤ + − =
y 2.(y 2) y 2
y y 2y 2
− = − ≤ + − = =
x 1 x
1 2
max B
y 2 y
2 4
− = =
+
= + = ⇔ ⇔
− = =
183 a , b
1997 1996 1998 1997
= =
+ + Ta th y ấ 1997+ 1996 < 1998+ 1997
Nên a < b
184 a) A = - 2 6 v i x = max A =
5 v i x = ±
b) B = v i x = ± ớ max B = v i x = 1ớ 185 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤
2
2 x (1 x )
A x (1 x )
2
+ −
= − ≤ =
2
x x
1
max A x
2 x
= −
= ⇔ ⇔ =
(32)186 A = | x – y | ≥ 0, A l n nh t chi Aớ ấ 2 l n nh t Theo bđt Bunhiacôpxki :ớ ấ
2
2 1 2
A (x y) 1.x 2y (x 4y )
2 4
= − = − ≤ + + =
2
2
2y x
5
max A = x
2 5
x 4y y
10 = − = − ⇔ ⇔ + = =
ho c ặ
2 x 5 y 10 = = −
187 a) Tìm giá tr l n nh tị ớ ấ : T gi thi t : ừ ả ế
3
3 2
3
0 x x x
x y x y
0 y y y
≤ ≤ ≤ ⇔ ⇔ + ≤ + = ≤ ≤ ≤ 3 x x
max A x 0, y V x 1, y
y y = = ⇔ ⇔ = = = = =
b) Tìm giá tr nh nh tị ỏ ấ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = ⇒ x + y ≤ x y
2
+
⇒ ≤ Do :
( 3)( )
3 x y x y
x y
2
+ +
+ ≥ Theo b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ấ ẳ ứ
( ) ( )2 ( ) ( )2 ( )2
3 3 3
(x +y )(x y)+ = x + y x + y ≥ x x + y y
= (x
2 + y2) = 1
1
min A x y
2
= ⇔ = =
188 Đ t ặ x =a ; y =b, ta có a, b ≥ 0, a + b =
A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab.
Do ab ≥ nên A ≤ max A = ⇔ a = ho c b = ặ ⇔ x = ho c x = 1, y = 0.ặ Ta có
2
(a b) 1 1
ab ab 3ab A x y
4 4 4
+
≤ = ⇒ ≤ ⇒ − ≥ = ⇔ = =
189 Đi u ki n : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có :ề ệ
x
1 x (x 1)(x 2) x
x
−
− + − − − − =
−
⇔ x− + (x 1)(x 2)− − − (x 1)(x 2) 3− − = ⇔ x− = ⇔ = −3 x
190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > v i m i x V y phớ ọ ậ ương trình xác đ nh v iị ớ
m i giá tr c a x Đ t ọ ị ủ ặ x2+2x 3+ = y ≥ 0, phương trình có d ng : ạ
y2 - y 2 - 12 = ⇔ (y - 3 2)(y + 2 2) = ⇔ y
y 2 (loai y
=
= − ≥
Do x2+2x 3+ = 3 2 ⇔ x2 + 2x + = 18 ⇔ (x – 3)(x + 5) = ⇔ x = ; x = -5
191 Ta có : k k 1 k 1 1
(k 1)k k k
(k 1) k k k k k
= = − = + −
+ +
+ + +
= k 1
k k k
+ −
+ +
Do :
1 1
2
(k 1) k k k
< −
+ +
V y : ậ 1 1 1 1
2 (n 1) n 2 n n
+ + + + < − + − + + −
(33)= 1
n
− <
+
(đpcm)
192 Dùng b t đ ng th c Cauchy ấ ẳ ứ
a b
ab > + (a, b > ; a ≠ 0)
193 Đ t x – y = a , ặ x + y = b (1) a, b ∈ Q a) N u b = x = y = 0, ế x , y ∈ Q b) N u b ≠ ế x y a x y a
b b
x y
− = ⇒ − = ∈
+ Q (2).
T (1) (2) : x b a Q ; y b a Q
2 b b
= + ∈ = − ∈
199 Nh n xét : ậ ( x2+a2 +x)( x2+a2 −x) =a2 Do :
( ) ( ) ( 2 )( 2 )
2 2
2 2
5 x a x x a x
5a
2 x x a (1) x x a
x a x a
+ + + −
+ + ≤ ⇔ + + ≤
+ +
Do a ≠ nên : 2
x +a + >x x + = + ≥x x x Suy : x2+a2 + >x 0 , ∀x.
Vì v y : (1) ậ ⇔ 2 ( 2 ) 2
2 2
x x
2 x a x a x 5x x a
25x 9x 9a
≤ >
+ ≤ + − ⇔ ≤ + ⇔
≤ +
x
3
x a
3 4
0 x a
4
≤
⇔ ⇔ ≤
< ≤
207 c) Trước h t tính x theo a đế ược x 2a
2 a(1 a)
− =
− Sau tính x+
1 a(1 a)−
Đáp s : B = 1.ố d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương t :ự
b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp s : M = 0.ố
208 G i v trái A > Ta có ọ ế A2 2x x
+
= Suy u ph i ch ng minh.ề ả ứ
209 Ta có : a + b = - , ab = - 1
4 nên : a
2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + 1
2 =
a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = 9 17
4 9− = ; a
3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - 3
4 = −4
Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = 17 ( )1 239
4 64 64
− − − − = −
210 a) a2 =( 1)− = −3 2= 9− 8.
3
a =( 1)− =2 7− + − = − = 50− 49 b) Theo khai tri n Newtonể : (1 - 2)n = A - B 2 ; (1 + 2)n = A + B 2 v i A, B ớ ∈ N
Suy : A2 – 2B2 = (A + B 2)(A - B 2) = [(1 + 2)(1 - 2)]n = (- 1)n.
N u n ch n Aế ẵ 2 – 2b2 = (1) N u n l Aế ẻ 2 – 2B2 = - (2).
Bây gi ta xét aờ n Có hai trường h p :ợ
* N u n ch n thìế ẵ : an = ( 2 - 1)n = (1 - 2)n = A - B 2 = 2
(34)* N u n l thìế ẻ : an = ( 2 - 1)n = - (1 - 2)n = B 2 - A = 2
2B − A Đi u ki nề ệ 2B2 – A2 = được th a mãn (2).ỏ
211 Thay a = vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c =
⇔ 2(b + 2) = -(2a + c)
Do a, b, c h u t nên ph i có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phữ ỉ ả ương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = ⇔ x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ⇔ (x2 – 2)(x + a) = 0.
Các nghi m phệ ương trình cho là: ± - a 212 Đ t ặ A 1
2 n
= + + +
a) Ch ng minh ứ A n 3> − : Làm gi m m i s h ng c a Aả ỗ ố ạ ủ :
( )
1 2
2 k k
k = k + k > k 1+ + k = + −
Do A 2> (− 2+ 3) (+ − 3+ 4)+ + − ( n + n 1+ )=
( )
2 n 2 n 2 n n
= + − = + − > + − > −
b) Ch ng minhứ A n 2< − : Làm tr i m i s h ng c a A :ộ ỗ ố ạ ủ
( )
1 2
2 k k
k = k+ k < k + k 1− = − −
Do : A 2< ( n− n 1− + +) ( 3− 2) (+ 2− 1) =2 n 2− 213 Kí hi u ệ
n
a = 6+ + + 6+ có n d u Ta có : ấ
1 100 99
a = ; a< = a+ < 3 ; a+ = = a+ < 3 a+ = = a+ < 3+ = Hi nể nhiên a100 > > Nh v y < aư ậ 100 < 3, [ a100 ] =
214 a) Cách (tính tr c ti p) : aự ế 2 = (2 + 3)2 = + 4 3.
Ta có 4 3 = 48 nên < 3 < ⇒ 13 < a2 < 14 V y [ aậ 2 ] = 13.
Cách (tính gián ti p) : Đ t x = (2 + ế ặ 3)2 x = + 4 3
Xét bi u th c y = (2 - ể ứ 3)2 y = - 4 3 Suy x + y = 14.
D th y < - ễ ấ < nên < (2- 3)2 < 1, t c < y < Do 13 < x < 14 ứ
V y [ x ] = 13 t c [ aậ ứ 2 ] = 13.
b) Đáp s : [ aố 3 ] = 51.
215 Đ t x – y = a ; ặ x+ y=b (1) a b s h u t Xét hai trố ữ ỉ ường h p :ợ a) N u b ≠ ế x y a x y a
b b
x y
− = ⇒ − =
+ s h u t (2) T (1) (2) ta có :ố ữ ỉ
1 a
x b
2 b
= +
s h u t ; ố ữ ỉ
1 a
y b
2 b
= −
s h u t ố ữ ỉ
b) N u b = x = y = 0, hi n nhiên ế ể x , y s h u t ố ữ ỉ
216 Ta có n n 1 n 1 1
n(n 1) n n
(n 1) n n n n n
= = − = + − =
+ +
+ + +
n 1 1
1
n n n n n
= + − < −
+ + +
T ta gi i đừ ả ược tốn
(35)a25 ≥ 25 Th : ế
1 25
1 1 1
a + a + + a ≤ 1+ + + 25 (1) Ta l i có :ạ
1 1 2
25 + 24 + + + 1= 25+ 25 + 24 + 24 + + 2+ + <
( )
2 2
25 24 24 23 1
24 24 23 23 2
< + + + + = − + − + + − + =
+ + +
( )
2 25 1
= − + = (2) T (1) (2) suy :
1 25
1 1
a + a + + a < , trái v i gi thi t V y t n t i hai s b ng 25ớ ả ế ậ ố ằ
s aố , a2 , … , a25
218 Đi u ki n : ≤ x ≤ Đ t ề ệ ặ 2+ x = ≥a ; 2− x = ≥b 0 Ta có : ab = x− , a2 + b2 = Phương trình :
2
a b
2 a+ + b− =
⇒ a2 2 - a2b + b2 2 + ab2 = 2(2 - b 2 + a 2 - ab)
⇒ 2(a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b)
⇒ 2(2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4)
⇒ a – b = (do ab + ≠ 0)
Bình phương : a2 + b2 – 2ab = ⇒ 2ab = ⇒ ab = ⇒ 4 x− = Tìm được x =
219 Đi u ki n : < x ≤ , a ≥ Bình phề ệ ương hai v r i thu g n : ế ọ x2 a a
−
− =
+
V i a ≥ 1, bình phớ ương hai v , cu i đế ố ược : x = a
a 1+
Đi u ki n x ≤ th a mãn (theo b t đ ng th c Cauchy).ề ệ ỏ ấ ẳ ứ
K t lu n : Nghi m x = ế ậ ệ a
a 1+ V i a ≥ 1.ớ
220 N u x = y = 0, z = Tế ương t đ i v i y z N u xyz ≠ 0, hi n nhiên x, y, z > 0ự ố ế ể T h phừ ệ ương trình cho ta có : x 2y 2y y
1 y y
= ≤ =
+
Tương t ự y ≤ z ; z ≤ x Suy x = y = z X y d u “ = ” b t đ ng th c v i x = y = zả ấ ấ ẳ ứ = K t lu n : Hai nghi m (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1).ế ậ ệ
221 a) Đ t A = (8 + 3ặ 7)7 Đ ch ng minh tốn, ch c n tìm s B cho < B < ể ứ ỉ ầ ố
7
10 A + B
s t nhiên.ố ự
Ch n B = (8 - 3ọ 7)7 D th y B > > 3ễ ấ 7 Ta có + 3 7 > 10 suy :
( ) ( )
7
7 7
1 1
8
10 10
8 7+ < ⇒ − <
Theo khai tri n Newton ta l i có : A = (8 + 3ể 7)7 = a + b 7 v i a, b ớ ∈ N.
B = (8 - 7)7 = a - b 7 Suy A + B = 2a s t nhiên.ố ự
Do B 17 10
< < A + B s t nhiên nên A có b y ch s li n sau d u ph y.ố ự ả ữ ố ề ấ ẩ
Chú ý : 10- 7 = 0,0000001.
(36)222 Ta th y v i n s phấ ố ương n s t nhiên, n u n khác s phố ự ế ố ương n s vơố t , nên ỉ n khơng có d ng ,5 Do ng v i m i s n ứ ỗ ố ∈ N* có nh t m t s nguyên aấ ộ ố
n g n ầ n nh t.ấ
Ta th y r ng, v i n b ng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … aấ ằ ằ n b ng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta s ch ng minh r ng aằ ẽ ứ ằ n l nầ
lượt nh n giá tr : hai s 1, b n s 2, sáu s 3… Nói cách khác ta s ch ng minh b t phậ ị ố ố ố ố ẽ ứ ấ ương trình :
1
1 x
2
− < < + có hai nghi m t nhiên.ệ ự
1
2 x
2
− < < + có b n nghi m t nhiên.ố ệ ự
1
3 x
2
− < < + có sáu nghi m t nhiên.ệ ự T ng quát : ổ k x k
2
− < < + có 2k nghi m t nhiên Th t v y, b t đ ng th c tệ ự ậ ậ ấ ẳ ứ ương đương v i : kớ 2 –
k +
4 < x < k
2 + k + 1
4 Rõ ràng b t phấ ương trình có 2k nghi m t nhiên : kệ ự
2 – k + ; k2 – k + ;
… ; k2 + k Do :
{
+ + + = + + + + + + + + + + = =
1 44 43 1 44 4 43
1 1980
2 soá soá 88 soá
1 1 1 1 1 2.44 88
a a a 1 2 2 44 44 44
223 Gi i tả ương t 24.ự
a) < an < V y [ aậ n ] = b) ≤ an ≤ V y [ aậ n ] =
c) Ta th y : 44ấ 2 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116.
a1 = 1996 = 44 < a1 < 45
Hãy ch ng t v i n ≥ 45 < aứ ỏ n < 46
Nh v y v i n = [ aư ậ n ] = 44, v i n ≥ [ aớ n ] = 45
224 C n tìm s t nhiên B cho B ≤ A < B + Làm gi m làm tr i A đ đầ ố ự ả ộ ể ược hai s t nhiên liênố ự ti p.ế
Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ⇒ 4n + < 16n2+8n 3+ < 4n + 2
⇒ 4n2 + 4n + < 4n2 + 16n2+8n 3+ < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + 4
⇒ (2n + 1)2 < 4n2 + 16n2+8n 3+ < (2n + 2)2.
L y b c hai : 2n + < A < 2n + V y [ A ] = 2n + 1.ấ ậ ậ 225 Đ ch ng minh toán, ta ch s y th a mãn hai u ki n : < y < 0,1 ể ứ ỉ ố ỏ ề ệ (1).
x + y m t s t nhiên có t n b ng ộ ố ự ậ ằ (2).
Ta ch n y = ọ ( 3− 2)200 Ta có < 3− 2 < 0,3 nên < y < 0,1 Đi u ki n (1) đề ệ ược ch ng minh.ứ Bây gi ta ch ng minh x + y m t s t nhiên có t n b ng Ta có :ờ ứ ộ ố ự ậ ằ
( ) (200 ) (200 ) (100 )100 x y+ = 3+ + 3− = +5 + −5 Xét bi u th c t ng quát Sể ứ ổ n = an + bn v i a = + 2ớ , b = -
Sn = (5 + 6)n = (5 - 6)n
A b có t ng b ng 10, tích b ng nên chúng nghi m c a phổ ằ ằ ệ ủ ương trình X2 -10X + = 0, t c : aứ 2 = 10a
– (3) ; b2 = 10b – (4).
Nhân (3) v i aớ n , nhân (4) v i bớ n : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn.
Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn),
t c Sứ n+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 ≡- Sn+1 (mod 10)
Do Sn+4 ≡ - Sn+2 ≡ Sn (mod 10) (5)
(37)T cơng th c (5) ta có Sừ ứ , S3 , … , Sn s t nhiên, Số ự , S4 , S8 , … , S100 có t n b ng 2, t c t ng xậ ằ ứ ổ
+ y m t s t nhiên có t n b ng Đi u ki n (2) độ ố ự ậ ằ ề ệ ược ch ng minh T (1) (2) suy u ph iứ ề ả ch ng minh.ứ
226 Bi n đ i ế ổ ( 3+ 2) (250= +5 6)125 Ph n nguyên c a có ch s t n b ng 9.ầ ủ ữ ố ậ ằ (Gi i tả ương t 36)ự
227 Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
A = 1 + + 3 + 4+ + 8 + 9+ + 15 + 16+ + 24
Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm có s , nhóm có s , nhóm có s , nhóm có s Các sư ố ố ố ố ố thu c nhóm b ng 1, s thu c nhóm b ng 2, s thu c nhóm b ng 3, s thu c nhóm b ngộ ằ ố ộ ằ ố ộ ằ ố ộ ằ
V y A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70ậ 228 a) Xét ≤ x ≤ Vi t A dế ướ ại d ng : A = 4.x
2 x
2.(3 – x) Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho sụ ấ ẳ ứ ố
không âm x
2, x
2, (3 – x) ta : x
x
2.(3 – x) ≤
3 x x 3 x
2 1
3
+ + −
=
Do A ≤ (1)
b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đ n k t lu n ế ế ậ
x
3 x
maxA x
x
= −
= ⇔ ⇔ =
≥
229 a) L p phậ ương hai v , áp d ng h ng đ ng th c (a + b)ế ụ ằ ẳ ứ 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta được :
3
x x (x 1)(7 x).2 8+ + − + + − = ⇔ (x 1)(7 x) 0+ − = ⇔ x = - ; x = (th a)ỏ b) Đi u ki n : x ≥ - (1) Đ t ề ệ ặ 3x y ; x z− = + = Khi x – = y2 ; x + = z2
nên z2 – y3 = Phương trình cho được đ a v h :ư ề ệ
y z (2) z y (3) z (4)
+ =
− =
≥
Rút z t (2) : z = – y Thay vào (3) : yừ 3 – y2 + 6y – = ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = ⇔ y = 1
Suy z = 2, th a mãn (4) T x = 3, th a mãn (1) K t lu n : x = 3.ỏ ỏ ế ậ 230 a) Có, ch ng h n : ẳ 1
2+ =
b) Không Gi s t n t i s h u t dả ố ữ ỉ ương a, b mà a+ b= 42 Bình phương hai v :ế a b ab+ + = ⇒ ab= (a b)− +
Bình phương v : 4ab = + (a + b)ế 2 – 2(a + b) 2 ⇒ 2(a + b) 2 = + (a + b)2 – 4ab
V ph i s h u t , v trái s vơ t (vì a + b ≠ 0), mâu thu n ế ả ố ữ ỉ ế ố ỉ ẩ 231 a) Gi s ả 35 s h u t ố ữ ỉ m
n (phân s t i gi n) Suy = ố ố ả 3 m
n Hãy ch ng minh r ng c m l n nứ ằ ả ẫ
đ u chia h t cho 5, trái gi thi t ề ế ả ế m
n phân s t i gi n.ố ố ả
b) Gi s ả 32+34 s h u t ố ữ ỉ m
n (phân s t i gi n) Suy :ố ố ả ( )
3 3
3 3
3 3
3
m 2 4 6 8.m 6 6m m 6n 6mn (1) m 2 m 2
(38)Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia h t cho ế ⇒ n3 chia
h t cho ế ⇒ n chia h t cho Nh v y m n chia h t cho 2, trái v i gi thi t ế ậ ế ả ế m
n phân s t i gi n.ố ố ả
232 Cách : Đ t a = xặ 3 , b = y3 , c = z3 B t đ ng th c c n ch ng minh ấ ẳ ứ ầ ứ a b c 3abc
3
+ + ≥ tương đươ ng
v i
3 3
x y z xyz hay
+ + ≥
x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có h ng đ ng th c :ằ ẳ ứ
x3 + y3 + z3 – 3xyz = 1
2(x + y + z)[(x – y)
2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài t p sbt)ậ
Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Nh v y : ư ậ a b c 3abc
+ + ≥
X y d u đ ng th c ch a = b = c.ả ấ ẳ ứ ỉ
Cách : Trước h t ta ch ng minh b t đ ng th c Cauchy cho b n s khơng âm Ta có :ế ứ ấ ẳ ứ ố ố
( )
a b c d a b c d ab cd ab cd abcd
4 2 2
+ + + = + + + ≥ + ≥ =
Trong b t đ ng th c ấ ẳ ứ
4
a b c d abcd
+ + +
≥
, đ t ặ
a b c d
3
+ +
= ta :
4 a b c
a b c a b c a b c a b c
3 abc. abc.
4 3
+ +
+ + +
≥ + + ⇒ + + ≥ + +
Chia hai v cho s dế ố ương a b c
3
+ +
(trường h p m t s a, b, c b ng 0, toán đợ ộ ố ằ ược ch ng minh)ứ :
3
3
a b c abc a b c abc
3
+ + + +
≥ ⇔ ≥
X y đ ng th c : a = b = c = ả ẳ ứ a b c
3
+ +
⇔ a = b = c = 233 T gi thi t suy : ừ ả ế b c d a
b c d 1+ + + + + ≤ −a a 1+ = + Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho sụ ấ ẳ ứ ố
dương : b c d 3.3 bcd
a b c d 1+ ≥ + + + + + ≥ (b 1)(c 1)(d 1)+ + + Tương t :ự
3
3
3
1 3. acd
b (a 1)(c 1)(d 1)
1 3. abd
c (a 1)(b 1)(d 1)
1 3. abc
d (a 1)(b 1)(c 1)
≥
+ + + +
≥
+ + + +
≥
+ + + +
Nhân t b n b t đ ng th c : ố ấ ẳ ứ 81abcd abcd 81
≥ ⇒ ≤
234 G i ọ
2 2
2 2
x y z
A
y z x
= + + Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :ụ ấ ẳ ứ
2 2
2 2
x y z x y z
3A (1 1)
y z x y z x
= + + + + ≥ + +
(39)Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i ba s không âm : ụ ấ ẳ ứ ố x y z 3.3 x y z y z x+ + ≥ y z x = (2)
Nhân t ng v (1) v i (2) : ế
2
x y z x y z x y z
3A A
y z x y z x y z x
+ + ≥ + + ⇒ ≥ + +
235 Đ t ặ x= 33+33 ; y= 33−33 x3 + y3 = (1) Xét hi u bệ 3 – a3 , ta được :
b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y)
Do (1), ta thay 24 b i 4(xở 3 + b3), ta có :
b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) =
= 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0).
V y bậ 3 > a3 , b > a.
236 a) B t đ ng th c v i n = V i n ≥ 2, theo khai tri n Newton, ta có :ấ ẳ ứ ớ ể n
2 n
1 n(n 1) n(n 1)(n 2) n(n 1) 2.1
1 n
n n 2! n 3! n n! n
− − − −
+ = + + + + +
< 1 1
2! 3! n!
+ + + + +
D dàng ch ng minh : ễ ứ 1 1
2! 3!+ + +n! 1.2 2.3≤ + + +(n 1)n− =
= 1 1 1 1
2 n n n
− + − + + − = − <
− Do
n (1 )
n
+ <
b) V i n = 2, ta ch ng minh ớ ứ 33> 2 (1) Th t v y, (1) ậ ậ ⇔ ( ) ( )33 > 2 ⇔ 32 > 22.
V i n ≥ 3, ta ch ng minh ứ nn>n 1+ n 1+ (2) Th t v y :ậ ậ
( )n(n 1) ( )n(n 1) n n
n n
n n
n
(n 1)
(2) n n (n 1) n n n
n n
+ + +
+ +
⇔ + < ⇔ + < ⇔ < ⇔ + <
(3)
Theo câu a ta có
n
1
n
+ <
, mà ≤ n nên (3) ch ng minh.ứ
Do (2) ch ng minh.ứ
237 Cách : A2=2 x( 2+ +1 x4+x2+ ≥1) A = v i x = 0.ớ Cách : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy :ụ ấ ẳ ứ
2 4
4
A ≥ (x + +x 1)(x − +x 1) = x +x + ≥1
min A = v i x = 0.ớ
238 V i x < A ≥ (1) V i ≤ x ≤ 4, xét - A = xớ 2(x – 2) Áp d ng b t đ ng th c Cauchy choụ ấ ẳ ứ
ba s không âm :ố
3
3 x x x 2
A x x .(x 2) 2 2 2x 8
4 2 3
+ + −
−
− = − ≤ = ≤
- A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32 A = - 32 v i x = 4.ớ 239 Đi u ki n : xề ệ 2 ≤ 9.
3
2
2 2
2 2
x x 9 x
x x 2 2
A x (9 x ) (9 x ) 4.27
2
+ + −
= − = − ≤ =
(40)240 a) Tìm giá tr l n nh t :ị ấ
Cách : V i ≤ x < ớ 6 A = x(x2 – 6) ≤ 0.
V i x ≥ Ta có ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 – ≤ 3.
Suy x(x2 – 6) ≤ max A = v i x = 3.ớ
Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ 9.
max A = v i x = 3ớ b) Tìm giá tr nh nh t :ị ỏ ấ
Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 2)3 – 6x – (2 2)3 == (x + 2 2)(x2 - 2 2x + 8) – 6x - 16 2
= (x + 2)(x2 - 2 2x + 2) + (x + 2 2).6 – 6x - 16 2= (x + 2 2)(x - 2)2 - 4 2 ≥ - 4 2.
min A = - 2 v i x = 2
Cách : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i s không âm :ụ ấ ẳ ứ ố
x3 + 2 2 + 2 2 ≥ 3.3x 2.2 23 = 6x. Suy x3 – 6x ≥ - 4 2 A = - 4 2 v i x = ớ 2.
241 G i x c nh c a hình vng nh , V th tích c a hình h p.ọ ủ ỏ ể ủ ộ C n tìm giá tr l n nh t c a V = x(3 – 2x)ầ ị ấ ủ 2.
Theo b t đ ng th c Cauchy v i ba s dấ ẳ ứ ố ương : 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤
3 4x 2x 2x
3
+ − + −
= max V = ⇔ 4x = – 2x ⇔ x =
1
Th tích l n nh t c a hình h p dmể ấ ủ ộ 3 c nh hình vng nh b ng ạ ỏ ằ
2 dm
242 a) Đáp s : 24 ; - 11.ố b) Đ t ặ 32 x a; x b− = − = Đáp s : ; ; 10.ố c) L p phậ ương hai v Đáp s : ; ± ế ố
2
d) Đ t ặ 32x 1− = y Gi i h : xả ệ 3 + = 2y , y3 + = 2x, được (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0
⇔ x = y Đáp s : ; ố
2
− ±
e) Rút g n v trái đọ ế ược : 1(x x2 4)
2 − − Đáp s : x = 4.ố
g) Đ t ặ 37 x a; x b− = − = Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, v ph i c a phế ả ủ ương trình đã
cho
3
a b
−
Phương trình cho tr thành : a b
a b
−
+ =
3
a b
−
Do a3 + b3 = nên
3
3
a b a b
a b a b
− = −
+ + ⇒ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3)
Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2).
T a = b ta đừ ược x = T ab = ta đừ ược x = ; x =
h) Đ t ặ 3x a; x b+ = − = Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2).
T (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta đừ ược a = Đáp s : x = 0.ố
i) Cách : x = - nghi m phệ ương trình V i x + ≠ 0, chia hai v cho ế 3x 2+ . Đ t ặ x a; x b
x x
+ = + =
+ + Gi i h aả ệ
3 + b3 = 2, a + b = - H vô nghi m.ệ ệ
Cách : Đ t ặ 3x 2+ = y Chuy n v : ể ế 3y 13− +3y 13+ = −y L p phậ ương hai v ta đế ược :
y3 – + y3 + + 3.3y 16− .(- y) = - y3 ⇔ y3 = y 3y6−1. V i y = 0, có nghi m x = - V i y ≠ 0, có yớ ệ 2 = 3y6−1 L p phậ ương : y6 = y6 – Vô n
0
3-2x 3-2x x
x x
x x x x
(41)Cách : Ta th y x = - nghi m phấ ệ ương trình V i x < - 2, x > - 2, phớ ương trình vơ nghi m, xemệ b ng dả ưới :
x 3x 1+ 3x 2+ 3x 3+ V tráiế x < -
x > - x
< - > -
< >
< >
< > k) Đ t + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), ặ 4ab+ 4a+4b = (2) Theo b t đ ng th c Cauchy ấ ẳ ứ mn m n
2
+
≤ , ta có
a b a b
3 a b a b
2 2
+ + +
= + + ≤ + + =
1 a b a b
a b 1
2 2
+ + +
= + + ≤ + + = + =
Ph i x y d u đ ng th c, t c : a = b = Do x = 0.ả ả ấ ẳ ứ ứ l) Đ t ặ 4a x m 0; b x n 0− = ≥ − = ≥ m4 + n4 = a + b – 2x
Phương trình cho tr thành : m + n = 4m4+n4 Nâng lên lũy th a b c b n hai v r i thu g n : 2mn(2mừ ậ ố ế ồ ọ
+ 3mn + 2n2) = 0.
Suy m = ho c n = 0, cịn n u m, n > 2mặ ế 2 + 3mn + 2n2 > 0.
Do x = a , x = b Ta ph i có x ≤ a , x ≤ b đ th c có nghĩa.ả ể ứ Gi s a ≤ b nghi m c a phả ệ ủ ương trình cho x = a
243 Đi u ki n đ bi u th c có nghĩa : aề ệ ể ể ứ 2 + b2 ≠ (a b không đ ng th i b ng 0).ồ ờ ằ
Đ t ặ 3a =x ; b3 =y, ta có :
4 2 4 2 2
2 2
x x y y x 2x y y 2x y A
x xy y x xy y
+ + + + −
= =
+ + + + =
( 2 2)2 2 ( 2 2 ) ( 2 2 )
2
2 2
x y (xy) x y xy x y xy
x y xy
x xy y x y xy
+ − + + + −
= = = + −
+ + + +
V y : ậ A= 3a2 +3 b2 −3ab (v i aớ 2 + b2 ≠ 0).
244 Do A t ng c a hai bi u th c dổ ủ ể ứ ương nên ta có th áp d ng b t đ ng th c Cauchy :ể ụ ấ ẳ ứ
2 2 2
A= x − + +x x + + ≥x x − +x x + + =x (x − +x 1)(x + +x 1) =
= 4
2 x +x + ≥2 Đ ng th c x y : ẳ ứ ả
2
4
x x x x
x
x x 1
+ + = − +
⇔ =
+ + =
Ta có A ≥ 2, đ ng th c x y x = V y : A = ẳ ứ ả ậ ⇔ x =
245 Vì + 3 nghi m c a phệ ủ ương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có :
3(1 + 3)3 + a(1 + 3)2 + b(1 + 3) + 12 = 0.
Sau th c hi n phép bi n đ i, ta đự ệ ế ổ ược bi u th c thu g n :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) ể ứ ọ 3 = Vì a, b∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18∈ Z.Ta ph i tìm s nguyên a, b cho p + qả ố 3=
N u q ≠ ế = - p
q, vơ lí Do q = t p + qừ = ta suy p =
V y + ậ m t nghi m c a phộ ệ ủ ương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = ch :ỉ
4a b 42 2a b 18
+ + =
+ + =
(42)246 Gi s ả 33 s h u t ố ữ ỉ p q (
p
q phân s t i gi n ) Suy : = ố ố ả 3 p
q Hãy ch ng minh c p q cùngứ ả
chia h t cho 3, trái v i gi thi t ế ả ế p
q phân s t i gi n.ố ố ả
247 a) Ta có : 31+ 2 =6 (1+ 2)2 =61 2 2+ + = 63 2+ . Do : 31+ 2 26 − = 63 2 2+ − = 632−( )2 2 =1. b) 69 2+ − 5 = −1.
248 Áp d ng h ng đ ng th c (a + b)ụ ằ ẳ ứ 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có :
3 3 2
a =20 14 20 14 (20 14 2)(20 14 2).a+ + − + + − ⇔ =a 40 20+ −(14 2) a
⇔ a3 – 6a – 40 = ⇔ (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ⇒ a = 4.
249 Gi i tả ương t 21.ự 250 A = + 3− 2
251 Áp d ng : (a + b)ụ 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
T x = 33+39 Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = 0.
252 S d ng h ng đ ng th c (A – B)ử ụ ằ ẳ ứ 3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 K t qu M = 0ế ả
253 a) x1 = - ; x2 = 25
b) Đ t ặ u= x , v- = -x 3 , ta được :
3 u v v u
= +
= +
⇔ u = v = - ⇒ x =
c) Đ t : ặ x2+32 = >y 0 K t qu x = ± 7.ế ả
254 Đ a bi u th c v d ng : ư ể ứ ề A= x3+ + +1 x3+ −1 Áp d ng | A | + | B | ≥ | A + B |ụ A = ⇔ -1 ≤ x ≤
255 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy hai l n.ụ ấ ẳ ứ ầ 256 Đ t ặ x =y x3 =y2 ⇒ =P x 23 +
258 Ta có : P= (x a− )2 + (x b− )2 = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) D u đ ng th c x y (x – a)(x – b) ≥ ấ ẳ ứ ả ⇔ a ≤ x ≤ b V y P = b – a ậ ⇔ a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho t ng c p s dụ ấ ẳ ặ ố ương
(a b c) (b c a) (b c a) (c a b)
(a b c)(b c a) b (b c a)(c a b) c
2
(c a b) (a b c)
(c a b)(a b c) a
2
+ − + + − + − + + −
+ − + − ≤ = + − + − ≤ =
+ − + + −
+ − + − ≤ =
Các v c a b t d ng th c đ u dế ủ ấ ẳ ứ ề ương Nhân b t đ ng th c theo t ng v ta đấ ẳ ế ược b t đ ng th cấ ẳ ứ c n ch ng minh Đ ng th c x y ch :ầ ứ ẳ ứ ả ỉ
a + b – c = b + c – a = c + a – b ⇔ a = b = c (tam giác đ u).ề
260 2
x y− = (x y)− = (x y)+ −4xy = 4 2+ = 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2.
Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( 2+ 1)2 + ( 2 - 1)2 + (-2 2)2 = 14 Suy A = 7.
262 Đ a pt v d ng : ư ề ( x 1− − ) (2+ y 2− − ) (2+ z 3− − )2 =0 263 N u ≤ x ≤ y = 2.ế
(43)265 G i kích thọ ướ ủc c a hình ch nh t x, y V i m i x, y ta có : xữ ậ ọ 2 + y2 ≥ 2xy Nh ng xư 2 + y2 = (8
2)2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = 8.
266 V i m i a, b ta ln có : aớ ọ 2 + b2 ≥ 2ab Nh ng aư 2 + b2 = c2 (đ nh lí Pytago) nên : ị
c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c 2 ≥ a + b ⇔ c ≥ a b
2
+
D u đ ng th c x y ch a = b.ấ ẳ ứ ả ỉ
267 Bi n đ i ta đế ổ ược : ( a 'b− ab ') (2+ a 'c− ac') (2+ b 'c − bc')2 =0
268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ 2.