luan van tot nghiep

§Þnh lÝ sau ®©y sÏ cho ta mét sè tÝnh chÊt quan träng cña ®¹o hµm suy réng theo ph¬ng..[r]

Chơng 1: CáC KIếN THứC CƠ Sở. 1.1 Hàm Lipschitz.

Giả sử X không gian Banach, f : X R Định nghĩa 1.1.

a Hàm f đợc gọi Lipschitz địa phơnng x X , hay Lipschitz gần x, tồn lân cận U x, số K > cho:

( x, x U) f (x) f (x )  K x x  (1.1)

Hàm f đợc gọi Lipschitz địa phơng tập YX, f Lipschitz địa phơng x Y

b Hàm đợc gọi Lipschitz địa phơng với số Lipschitz K tập YX, (1.1) ỳng vi mi x, xY

Định lí 1.1.

Giả sử f hàm Lipschitz tập lồi UX Khi đó, với x, xU, hàm số (t) : f (x t(x   x)) (0 t 1)  có đạo hàm hầu khắp nơi.

Chøng minh

Bởi f Lipschitz U, có tån t¹i sè K > cho:( x, x U) f (x) f (x )  K x x  (1.2)

Ta có hàm (t) : f (x t(x   x)) (0 t 1)  tuyệt đối liên tục

ThËt vËy, ta lÊy khoảng rời (a ,b ), ,(a , b )1 k k [0,1] Khi dã, tõ (1.2) ta cã:

 

 

 

 

k i

i i k

i

i

i a K b a x x

b

1

' ) (

) ( )

( 



Víi  0 cho tríc, ta chän

K x x   

 Khi đó:

k k

i i i i

i i

(b a ) (b ) (a )

 

        

 

Do đó, (t) tuyệt đối liên tục   có đạo hàm hầu khắp nơi Hệ 1.1.1.

Giả sử f : X R hàm Lipschitz tập lồi UX Khi đó, với x, xU:

trong (t) : f (x t(x   x)) (0 t 1) 

Chøng minh

Theo định lí 1.1, (t) tuyệt đối liên tục đoạn [0,1] Ta biết lý thuyết độ đo tích phân: hàm  tuyệt đối liên tục, đạo hàm  khả tích

(t) (0) (s)ds

  

Lấy t 1 , ta nhận đợc (1.3)

1.2 Các ánh xạ khả vi Lipschitz địa phơng: 1.2.1 Các đạo hàm cổ điển :

Giả sử F ánh xạ X Y, X Y không gian Banach Ký hiệu L(X, Y) không gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vo Y

Định nghĩa 1.2:

o hm ca F theo phơng v x đợc xác định bởi:

t

F(x tv) F(x) F (x; v) : lim

t 

 

,

nếu giới hạn tồn

Định nghĩa 1.3:

ỏnh x F đợc gọi khả vi Gâteaux x, tồn  L(X, Y) cho với v X ,

F(x tv) F(x) t v     (t) (1.4) Khi đó, ta gọi  đạo hàm Gâteaux F x

Nhận xét 1.1:

Nếu ánh xạ F kả vi Gâteaux x, ( ) ( ) v

t x F tv x

F (1.5)

Sự hội tụ đồng theo v tập hữu hn

Định nghĩa 1.4:

ỏnh x F c gọi khả vi Hadamard x, tồn  L(X, Y) cho với v X (1.4) đúng, (1.5) hội tụ đồng theo v cỏc compc

Định nghĩa 1.5:

trong r(v) Y.v X1  vX 

NhËn xÐt 1.2;

a ánh xạ F khả vi Fréchet x  L(X,Y) cho (1.4) (1.5) hội tụ đồng theo v tập bị chặn

b NÕu X Rn

khái niệm khả vi theo Hadamard vµ FrÐchet trïng VÝ dơ 1.1:

X R2,

2

1, x y , y f (x, y)

0,

  

 

Khi đó, f khả vi Gâteaux (0,0), nhng f không liên tục không khả vi Fréchet (0, 0)

Định nghĩa 1.6:

ỏnh x F đợc gọi Lipschitz địa phơng x, tồn số  0 số K 0 cho:

X

Y K x x

x F

x

F ( ')  ( ")   '

( x , x    x B), (1.6)

trong B hình cầu đơn vị mở Nhận xét 1.3:

Định nghĩa tính Lipschitz địa phơng theo lân cận hay hình cầu đơn vị mở (trong không gian Banach) tơng đơng

Mệnh đề 1.1:

Nếu ánh xạ F Lipschitz đại phơng x kái niệm khả vi theo Hadamard Gâteaux F trùng

Chøng minh:

Do F Lipschitz địa phơng x, có tồn số  0 số K cho (1.6) ỳng

Hiển nhiên F khả vi Hadamard F khả vi Gâteaux

 i i 

V : v  B : v V,i 1, , n ,

2(K )

  

  ,  cã (1.4) ta cã: ( i)(  i 0) ( t (0, ))  i ,

i

i F(x tv ) F(x)

v

t

  

   (i 1, ,n) (1.7)

Lấy  min1 i n  i; v V Khi v v i0  B (i{1, , n}) Ta chọn  đủ nhỏ để F Lipschitz tập x (vi  B) Do t (0, )  ,

i i

F(x tv) F(x tv )

(v v ) (K )

t





   

        (1.8)

Tõ (1.7), (1.8) suy ra: v V ,  t (0, ) , F(x tv) F(x) v

t

 

  

Điều chứng tỏ F x tv( ) F x( ) v

t

 

   đồng theo v tập compăc Do đó, F khả vi Hadamard ti x

1.2.2 Tính khả vi chặt: Định nghĩa 1.7:

ánh xạ F đợc gọi có đạo hàm chặt Hadamard x: D F(x) L(X, Y)S  , với v giới hạn sau tồn tại:

D F x v t

x F tv x F

S t

x

x ( )

) ( ) ( lim

0

; 

 



 ,

trong hội tụ ng u theo v trờn cỏc compc

Định lÝ 1.2:

Giả sử F ánh xạ từ lân cận x vào Y;  L(X,Y) Khi đó,các khẳng định sau tơng đơng:

a F khả vi chặt Hadamard x D F(x) S ;

b F Lipschitz địa phơng x, với  v X,

v

t

x F tv x F

t x

x 

 

 

) ( ) ( lim

0

; (1.9)

Chøng minh:

Phản chứng: F không Lipschitz địa phơng x Khi tồn dãy  xi

và  x i hội tụ đến x cho i i i

x , x x B vµ

i i i i X y

F(x ) F(x )  i x x (1.10)

Ta xác định t , vi i thỏa mãn:

12

i i i i i x x t v , v i

   

Khi ti 

Gi¶ sư V  vi i 1  0 

  Ta có V compăc Theo định nghĩa D F(x)S :  0, n : i n , v V,      

i i i S

i y

F(x t v) F(x )

D F(x)v t

 

  

Nhng điều khơng thể xảy với v v i, theo (1.10) ta có:

1

1

2

i i i

i i i i i i i

i y i i i

F(x t v) F(x ) i i i

(x t v ) x t v t i i

t t t t



 

     

b Giả sử b) Lấy tập compăc V X; số  0 Do F Lipschitz địa phơng x, có tồn số  0 số K 0 cho (1.6)

Với hình cầu đơn vị mở B, có tồn phủ mở hữu hạn

 i i 

V : v  B : v V,i 1, , n ,

2(K )

  

  Từ đó, ( v )( i  i 0) : x x   iB, t i (0, )i ,

2 )

( )

( 

 

 



Y i

i v

t

x F tv x F

(i 1, ,n) (1.11)

Lấy  min1 i n  i ; v V Khi v v i0  B (i{1, , n}) Do đó, với x x  B, t (0, )  ,

i i

Y F(x tv) F(x tv )

(v v ) (K )

t





   

        (1.12)

Tõ (1.11), (1.12) suy ra:    x x B, t (0, ), v V,     (  ) ( )  2

Y v t

Điều chứng tỏ (  ) ( ) v

t x F tv x F

 đồng theo v tập compăc Vì  đạo hàm chặt Hadamard F

Định nghĩa 1.8:

ỏnh x F c gi l khả vi liên tục theo Gâteaux x, tồn đạo hàm Gâteaux DF lân cận x DF(.) : X L(X,Y) liên tục x (theo tơpơ chuẩn tốn tử)

HƯ qu¶ 1.2.1:

Giả sử ánh xạ F khả vi liên tục theo Gâteaux x Khi đó, F khả vi chặt Hadamard x, f Lipschitz địa phơng x

Chøng minh:

Lấy dãy      x , v , ti i i (ti 0) hội tụ lần lợt đến x, v,0 Ta cần rằng:

* y

i i i i

i

i 1

i

F(x t v ) F(x )

lim sup , DF(x)v

t    

 

    (1.13)

Theo định lí giá trị trung bình, có tồn x*ix , xi i t vi i cho với Y *

  ta cã:

i i i i i

i

F(x t v ) F(x )

, DF(x)v

t

 

   

 ,DF(x )v*i i  DF(x)vi  *

i i

, DF(x ) DF(x) v 

     

đồng theo , i   (do DF(.) liên tc ti x) T ú suy (1.13)

Định lÝ 1.3:

Giả sử f : X R khả vi Fréchet có đạo hàm bị chặn tập lồi U, tức là :

f (x)  ( x U)  . Khi đó, f hàm Lipschitz U.

Chøng minh:

Víi x, xU, ta cã:

0

f (x) f (x ) sup f (x (x x) x x 

   

     

 f (x) f (x )   x x 

Giả sử U tập lồi më kh«ng gian Banach X

Nhắc lại: Hàm f : U R đợc gọi lồi U, với u, uU,

0,1

  :

f ( u (1   )u ) f (u) (1  )f (u )

Ký hiệu B hình cầu đơn vị mở v B l hỡnh cu n v úng

Định lÝ 1.4:

Giả sử f hàm lồi tập lồi mở U; bị chặn lân cận của một điểm thuộc U Khi đó, f Lipschitz địa phơng U.

Chøng minh:

LÊy x U , ta ph¶i chøng minh f Lipschitz mét l©n cËn cđa x

Tríc hÕt ta f bị chặn moọt lân cận x Không tính chất tổng quát, giả sử f bị chặn số M tập  B U

Chọn  1 để cho: y x U Nếu  1

, tập hợp: V :v : v (1 )x y, x B

là lân cận điểm xy với bán kính (1 ) Víi mäi v V , ta cã:

f (v) (1  )f (x )  f (y) M  f (y); (1.14) Nh vËy f bị chặn lân cận V x

LÊy z V ( x (1  ) B), tồn điểm zV cho: x 1(z z )

2 

 

Khi đó,

f (x) 1f (z) 1f (z )

2 

 

f (z) 2f (x) f (z ) 2f (x) M f (y)

     (do(1.14))

f

bị chặn dới V f bị chặn V

Giả sử N đánh giá f tập x B  ( 0) Lấy

x , x   x B, x1 x2 Đặt:

x3 x2 (x2  x )1

 , ( x2 x )1 (1.15) Ta cã x3  x B, bëi v× x2  x B,

2 (x x )

B x x

 

 

Tõ (1.15) suy ra:

x2   x1  x3      

 f (x )2   f (x )1   f (x )3      

 f (x ) f (x )2  1   f (x ) f (x )3  1    

f (x ) f (x )3  1 



Bëi v× f N, x2  x1 , cho nªn: f (x ) f (x )2  1 2N x2  x1



Thay đổi vai trò x , x1 ta có: f (x ) f (x )1  2 2N x2  x1



 f (x ) f (x )2  1 2N x2 x1

 ( x , x 2  x B) HƯ qu¶ 1.3.1:

Giả sử f hàm lồi f N tập lồi mở U, U chứa   lân cận tập V Khi f thỏa mãn điều kiện Lipschitz V, với hàng số Lipschitz 2N

1.4 Đạo hàm suy réng theo ph¬ng:

Giả sử f hàm Lipschitz địa phơng x X Định nghĩa 1.9:

Đạo hàm suy rộng hàm f theo phơng v( X) x, ký hiệu f (x; v) , đợc xác định nh sau:

x x;t

f (x tv) f (x) f (x; v) limsup

t  

 

  (1.16)

trong x X, t 0 

Đây khái niệm đạo hàm suy rộng theo phơng F H Clarke

Định lí 1.5:

Gi s f Lipschitz địa phơng với số Lipschitz K x Khi đó: (i) Hàm v f (x; v) hữu hạn, dơng, dới cộng tính X và f (x; v) K v ;

(ii) f (x;v) nưa liªn tơc trªn theo (x, v); f (x;.) Lipschitz (theo v) víi h»ng sè K trªn X;

(iii) f (x; v) ( f ) (x; v)     .

Chøng minh:

(i) Do f Lipschitz địa phơng x với số Lipschitz K, tồn lân cận U x cho với y, z U :

f (y) f (z) K y z Do đó, từ (1.16) ta có:

y x;t K tv

f (x; v) limsup K v t

 

   ,

bởi với t đủ nhỏ, y U y tv U  Từ suy tính chất hữu hạn hàm f (x;.)

Víi  0, ta cã:

y x;t y x;t

f (y t v) f (y) f (y t v) f (y)

f (x; v) limsup limsup f (x; v)

t t

   

     

     

hàm f (x;.) dơng

Bây giê kiĨm tra tÝnh díi céng tÝnh:

y x;t

f (y tv tw) f (y) f (x; v w) limsup

t  

  

  

y x;t y x;t

f (y tv tw) f (y tv) f (y tv) f (y)

limsup limsup

t t

   

     

 

 f (x; w) f (x; v)  , bëi v× y tv  x y x vµ t 0 .

(ii) Lấy dãy  xi  vi hội tụ đến x v tơng ứng Theo định nghĩa limsup, với   i, yi X, t i cho:

yi xi ti i

i i i i i i i

1 f (y t v ) f (y ) f (x , v )

i t

 

   

i i i i i i i i

i i

f (y t v) f (y ) f (y t v ) f (y t v)

t t

    

  (1.17)

§Ĩ ý r»ng:

i i i i i i i

f (y t v ) f (y t v)

K v v t

  

 

với i đủ lớn Khi từ (1.17) ta có: limi sup f0(xi;vi)f0(x;v)





Do f (.;.) nửa liên tục

Ta chøng minh f (x,.) Lipschitz trªn X Víi u, w X , ta cã:

f (y tv) f (y) f (y tw) f (y) K v w t       , (víi y gÇn x, t dơng gần 0)

f (y tv) f (y) f (y tw) f (y) K v w

t t

   

   

 f (x; v) f (x; w) K v w    (1.18) Đổi vai trò v w ta nhận đợc:

f (x, w) f (x; v) K v w     (1.19) Tõ (1.18) vµ (1.19) suy ra:

f (x; v) f (x;w)   K v w

Nh vËy lµ f (x;.) Lipschitz víi h»ng sè K trªn X (iii) Chøng minh f (x; v) ( f ) (x; v)     :

x x;t

f (x tv) f (x ) f (x; v) limsup

t  

  

   

u x;t o

( f )(u tv) ( f )(u) limsup

t  

(Đặt u x tv)

CHƯƠNG 2: ĐIềU KIệN CầN CHO CáC BàI TOáN TốI ƯU VớI HàM LIPSCHITZ

2.1 BàI TOáN QUI HOạCH TOáN HọC ĐƠN MụC TIÊU

Giả sử X không gian Banach, f : X R, gi : X  R (i =1, ,n),

j

h : X R (j=1,…,m) CX

Xét toán:

f  x ,

(P1) gi 0 (i=1,…,n), hj=0 (j=1,…,m),

xC.

Ký hiÖu g:=(g1,…,gn),h :=(h1,…,hm): L(x,,r,s,k):

R R R R

X n m

  

 R hàm Lagrange toán (P1):

) ( , , )

( , )

( , ) , , , ,

(x r s k r g x s h x k r s d x

L      C ,trong dC(.)là hàm

khoảng cách đến tập C.

NhËn xÐt 2.1

NÕu C = X th× hàm Lagrange có dạng: ) ( , )

( , ) ( ) , , ,

(x r s  f x r g x s h x 

L   Tríc chøng minh quy tắc nhân

tử Lagrange, ta nhắc lại sè kiÕn thøc cđa gi¶i tÝch Lipschitz

Định nghĩa 2.1 Hàm f: XY đợc gọi lipschitz địa phơng x, tồn số  0và số K > cho:

) '' ( ) '

(x f x

f   K x ' x '' (x’,x’’  x+ B), B hình cầu đơn vị

më X.

Giả sử f hàm Lipschitz địa phơng x X.

Định nghĩa 2.2 Đạo hàm suy rộng Clarke f theo phơng v x, ký hiệu f 0(

x;v),đợc xác định nh sau:

t x f tv x f v

x f

t x

x

) ( ) ( sup lim ) ; (

0

0  







NhËn xÐt 2.2

Giả sử f hàm Lipschitz địa phơng x Khi ú, f 0(

x;.)hữu hạn, nhất dơng, dới cộng tính Lipschitz X (xem 1)

Định nghĩa 2.3 Gradient suy rộng Clarke f x, ký hiệu f(x),là

tập hợp sau X*:

 X f x u u u X

x

f      

 ( ):  *: 0( ; ) , , }

Gradient suy réng Clarke cã c¸c tÝnh chÊt sau:

Mệnh đề 2.1 ( 1) Giả sử f hàm Lipschitz địa phơng với số K x Khi đó,

1) f(x) låi, compăc *yếu X*

*K (f(x))

Trong .* chuẩn X*;

2) f 0(

x;v)=max {< ,v>:  f(x)} (v X );

4) NÕu dim X < +, f nửa liên tục x; 5) NÕu dim X < +, th×

f

 (x)=co limf(xi):xi  x,xiS,xi f  Trong S tập hợp tuỳ ý có

độ đo Lebesgue 0,  flà tập điểm không khả vi f ( f có độ đo 0);

6) Giả s fi hàm Lipschitz địa phơng x,i R (i=1,…,n) Khi đó,

   

 

 

 n i i i

f

1

 (x) fi x

n i i





1

Định lý 2.1 (nguyên lý biÕn ph©n Ekeland  1 )

Giả sử X không gian metric đầy đủ với metric d, f :X  R;f hàm nửa liên tục dới bị chặn dới; điểm u X số > thoả mãn:





 f

u

f( ) inf .

Khi : 0,v X cho

(i) f(v)f(u),

(ii) d(u,v),

(iii) wX,wv, ta cã

) ( ) , ( )

(w d w v f v

f  

 

Cho họ hàm ft :X  RtT tôpô Giả thiết hàm ft (.) Lipschitz địa ph-ơng x Ký hiệu:

 *: ( ), , , ,

: ) (

]

[T ft x co X ifti xi xi  x ti t tiT

giới hạn *yếu



i  , co ký hiệu bao lồi đóng *yếu

Định nghĩa 2.4 Ta nói ánh xạ đa trị ( ,x) f(x)là đóng *yếu

), ,

( t x nÕu  T ft(x)ft(x)

Gi¶ thiÕt r»ng:

a) T không gian compăc;

b) Tồn lân cận U x cho : ánh xạ t ft(x)nửa liên tục với x U ;

c) ft hàm Lipschitz với số K U(tT)và ft x :tT tập bị

chặn

Hàm f :X  R đợc xác định nh sau:

 f x t T

x

f( )max t( ): 

Từ giả thiết a) -c) suy hàm f xác định hữu hạn U, đồng thời f luôn đạt cực đại T hàm f Lipschitz với số K U.

Ký hiệu M(x):tT : ft x f x Rõ ràng M(x) đóng (x U )

Với tập hợp Q T, ta kí hiệu P Q tập hợp độ đo Radon xác sut trung trờn Q.

Định lý 2.2 ( 1)

Giả sử giả thiết a ) -c) Hơn nữa, hai điều kiện sau đúng:

d) X không gian tách;

Khi đó:

 ( ) ( ): [ ( )] 

)

(x [ ]f[] x d t P M x f

TT t 



   

B©y ta phát biểu điều kiện cần cho toán (P1)

Định lý 2.3 (Quy tắc nhân tử Lagrange cña F H Clarke)

Giả sử x nghiệm tốn (P1); tập C đóng hàm f, gi, hi (i = 1, …,n; j = 1,…,m) Lipschitz địa phơng x C Khi đó, với số k đủ lớn,

tån t¹i R r Rn s Rm

 

 , ,

 không đồng thời 0,0 ,r 0sao cho:

, (

0xL x ,r,s,k), (2.1)

  0,

, 

r g x (2.2)

Trong xLlà gradient suy rộng Clarke hàm L theo biến x

Véc tơ (,r,s) thỏa mãn (2.1), (2.2) đợc gọi nhân tử Lagrange

to¸n (P1)

NhËn xÐt 2.3

Khẳng định định lý 2.3 cho trờng hợp x cực tiểu yếu địa phơng

Thật vậy, x cực tiểu địa phơng,  0sao cho:

 x f x

f  (xC{x B})

Trong B hình cầu đơn vị đóng X.

Thay C tập {C x +B} ta nhận đợc (2.1), (2.2). Nhận xét 2.4

Khẳng định định lý 2.3 đúng, ta lấy (,r,s)

Thật vậy, (,r,s) nhân tử Lagrange, tøc lµ tháa m·n (2.1) (2.2) (víi

số k đó), với t 0, véc tơ (t,tr,ts)cũng nhân tử Lagrang Lấy t (,r,s) 1, ta nhận đợc (t,tr,ts) 1

Chứng minh định lý 2.3

Đặt:

T:= ( , , ) : 0, 0, ( , , ) 1  

 

 r s   r r s

t n m

 

 .

Với số  0, ta xác định hàm F: X  R F(x) :=(max,r,s)T(,r.s).(f(x) f(x) ,g(x),h(x))

   

Chú ý F hàm Lipschitz địa phơng x F(x)

Ta cã F(x)>0 (x C) ThËt vËy, nÕu yC:F(y)0 th×

) , , , , , ( , )

(y h i n j m

gi  j    tức y điểm chấp nhận đợc bài tốn (P.1)

f(y)f(x) , m©u thn víi tÝnh cùc tiĨu cđa x (!) V× vËy

 

 F

x F

C

inf )

(

Theo nguyên lý biến phân Ekeland, tån t¹i u x + B cho :x C )

( )

(x x u F u

F    

NÕu 

k lµ h»ng sè Lipschitz cđa hµm (f,g,h) lân cận x, với >

0 đủ nhỏ, k > 

k cịng lµ h»ng sè Lipschitz cđa hµm F(x)  x  u

Do đó, u đạt cực tiểu lân cận (của u) hàm số sau ( 1 , mệnh đề 2.4.3):



x F(x)  x  u +kdc (x) =

L x r s k f x  x u G x x u

T ( ,, , , )  ( )     ( )  

max

Trong G(x):maxL(x,,r,s,k) f(x) 

T

Vì vậy, với  0 đủ nhỏ, ta có:



   ( )

0 G u B. (2.3)

Ta chøng minh ánh xạ:

(t,x) xL(x,t,k) (2.4) L úng theo định nghĩa 2.4

LÊy t1,t2T xÐt hµm sè:

x L(x,t1,k) L(x,t2,k)(t1  t2).(f,g,h)(x)

Hàm số Lipschitz địa phơng x với số k t1 t2

Vì vậy, theo mệnh đề 2.1, ta có:

B t t k k t x L k

t x

L x

x ( , 1, ) ( , 2, ) 



Từ suy ánh xạ (2.4) đóng

Do F(u)> 0, tồn vec tơ đơn vị tuT đạt cực đại

F(u) = maxt.(f(u) f(x),g(u),h(u)) (có nghĩa tu đạt cực đại G(u))

áp dụng định lý 2.2, từ (2.3) ta nhận đợc:

0 xL(u,tu,k) B (2.5)

Chó ý: nÕu gi(u) 0,th× tu ta cã ri =0

NÕu ta làm cho dÃy i 0, có dÃy tơng ứng ui x, còn dÃy

 tui hội tụ đến phần tử T.

Từ (2.5) tính đóng ánh xạ (2.4), ta suy kết luận định lý

Hệ 2.3.1 giả sử x nghiệm toán (P.1); giả thiết định lý 2.3 thỏa mãn Khi đó, với số k đủ lớn, tồn R r Rn s Rm

 

 , ,

 kh«ng

đồng thời 0, 0 ,r 0sao cho:

 

 

 

 

   

n i

C m

j

j j i

i g x s h x k r s d x

r x

f

1

) ( ) , , ( ) ( )

( )

(

0  

r,g x 0,

Hệ 2.3.2 Giả sử x nghiệm toán (P.1); giả thiết định lý 2.3 thỏa mãn Khi đó, tồn R r Rn s Rm

 

 , ,

 khơng đồng thơì 0,

0 ,   r

 cho:

 

 

 

 

  

n i

m j

C j

j i

i g x s h x N x

r x

f

1

, ) ( ) ( )

( )

( 

r,g x 0,

Trong Nc (x) nón pháp tuyến Clarle C x

Chøng minh

Bëi v×:

 ( ) 

) (

0 d x

cl x

NC   C







trong cl ký hiệu bao đóng *yếu, áp dụng định lý 2.3 ta nhận đựợc hệ qủa 2.3.2

2.2 §IỊU KIƯN KHÔNG SUY BIếN CủA RàNG BUộC

Cỏc iu kin nhận đợc mục 2.1 suy biến  0 Khi đó, hàm mục tiêu khơng có điều kiện cần Ta tìm số điều kiện khơng suy biến cho tóan (P.1)

Giả sử x điểm chấp nhận đợc tóan (P.1),  0,k 0 Đặt :

( , ) :0 ( , , , , ), 0, , ( ) 0

, )

(x  r s R R  L x r s k r r g x 

M n m x

k   .

NhËn xÐt 2.5

(r,s)Mk(x),0 (r, s) M1k(x) 



  Do đó, ta xem nh có hai

tr-êng hỵp khác nhau: 0và

Nhận xét 2.6:

Từ định lý 2.3 suy : x nghiệm tốn (P1), với k đủ lớn, Mkl(x)Mk0(x)/ 0

Chó ý: ta lu«n cã 0 M0(x)

k



Ta xét vài điều kiện không suy biến, tức điều kiên đảm bảo 1

Cụ thể ta xét điều kiện đảm bảo 0( ) {0} 

x

Mk Khi đó, theo nhận xét 2.6:

1 



Giả sử x điểm chấp nhận đợc toán (P.1)

Mệnh đề 2.2 Giả sử điều kiện Mangasarian - Fromowitz tức mỗi gi, hj khả vi liên tục x với đạo hàm gi(x),hj(x),C X , vectơ

) (x

hj

 (j=1,…,m) độc lập tuyến tính tồn v0 cho:

0 ),

( 0  

 hj x v (j=1,…,m), (2.6)

0 ),

( 0  

 gi x v , nÕu gi(x)0 (i=1, ,n) (2.7)

Khi 0( ) {0} 

x

Mk

Chøng minh

Ph¶n chøng: 0( ) 0 



 x

Mk ( chó ý :0 ( )

0

x

Mk

 ) Khi tồn )

0 , ( ) , ( ), ( )

,

(r s M0k x r s  cho: 



 

 

 

m j

j j i

n i

i g x s h x

r

1

0 ) ( )

( (2.8)

Bởi hj(x) (j=1,…,m) độc lập tuyến tính, ri 0 Do

0 ) ( ,

0  

 rg x

r g(x)0 (x-chấp nhn c) ta suy ra:ri 0,gi(x)0 (i

với i mµ ri 0).Tõ (2.8) suy ra:

0 ),

( ),

( 0   0 



 

r g x v s hj x v

j j i

i

i (2.9)

Do(2.6), (2.7), vế trái (2.9) âm Vô lý (!). Vì 0( ) {0}

x

Mk

Giả sử toán (P.1) khơng có ràng buộc đẳng thức (m = 0) Mỗi hàm gi lồi;

tập C lồi; x điểm chấp nhận đợc

) , , ( ) (

,g x i n

C

x i  



 

Khi 0( ) {0}



x Mk

Chøng minh

Ph¶n chøng Mo(x)

k chứa phần tử r0 Khi đó,

 , ( ) ( ) 

0 r g x  k r dC x

Bởi hàm x r,g(x)k r dC(x) lồi, đạt cực tiểu x Do x chấp nhận đợc <r,g(x) >=0, ta suy giá trị cực tiu ca hm bng 0.

Mặt khác

x chấp nhận đợc

0 ) x ( d r k ) x ( g

,r  C

Điều m©u thÉn víi tÝnh cùc tiĨu cđa x (!)

2.3 QUi HOạCH ĐA MụC TIÊU

Kết mơc 2.3 lµ cđa B D Craven (1989) Gi¶ sư F: Rn Rp g Rn Rm h Rn Rr

 

 , : , : là hàm Lipschitz địa phơng

t¹i x Rn Q Rp



 ; ,

n

m T R

R

S ,  nón lồi đóng với intQ  intS  Xét toán tối

-u vÐc t¬:

W M I N F (x),

(P2) - g(x)  S

- h(x)  T,

Trong WMIN ký hiệu cực tiểu yếu địa phơng mà ta định nghĩa dới

Ký hiệu  tập chấp nhận đợc toán (P2):  :={x  Rn : - g(x) S, - h(x)  T } Định nghĩa 2.5

(i) Điểm x   đợc gọi nghiệm Pareto địa phơng (local Pareto solution)

hay nghiệm hữu hiệu địa phơng (local efficient solution) toán (P2),

nÕu tån t¹i sè  0 cho :xB(x,),

}, { \ )

( )

(x F x Q

F   (2.10)

Trong B(x,) hình cầu mở tâm x, bán kính  ;

(ii) Điểm x   đợc gọi cực tiểu yếu địa phơng (local weak minimum) hay nghiệm hữu hiệu yếu địa phơng (local weakly-efficient solution) của toán (P2), tồn số  > cho,

Q x

F x

F( ) ( )int (xB(x,)); (2.11)

(iii) Điểm x   đợc gọi cực tiểu mạnh địa phơng (local strong minimum) toán (P2), tồn  0 cho:

F(x) F(x)Q (xB(x,)), (2.12)

Hay F(x)QF(x) (xB(x,)),

Trong y1 Qy2  y1  y2Q. Nhận xét 2.7

x

 lµ cùc tiĨu yếu

Với tập E ( Rm)và điểm c E.

 Ta định nghĩa:

} E x , : ) c x ( { :

Ec     

Trở lại với tốn (P2) Nón Q có intQ Khi nón liên hợp Q* có một sở lồi compăc B Nh vậy,



 b b B

Q* : 0,  vµ 0B

Cho x   cực tiểu yếu toán (P2)

Ký hiệu A sở lồi compăc (S-g(x)*; sở tồn

intS  vµ Sg(x) S

Mệnh đề 2.4 giả sử Q lồi đóng, intQ ; B c s li

compăc nón Q*; điểm u  X tho¶ m·n:

, 

 u ( B).

Khi đó, u  - intQ. Chứng minh

Theo gi¶ thiÕt

0 , 

 u (B)

 , u ( Q*)  

* *

Q u 

 

Mặt khác, Q nón lồi đóng, nên Q** coQQ

V× vËy, -u Q

Giả sử -u bdQ (biên Q) Theo định lý tách, tồn 0 0( 0 Rm)   



cho: 0  u0

,

0 

 v (v Q)

* 0Q

: Mâu thuẫn với giả thiÕt (!).

VËy, u intQ

Víi T Rr ký hiệu L(T) không gian tuyến tính sinh bëi T.

Mệnh đề 2.5 Giả sử T Rr nón lối đóng có intT= . Khi đó, Rn L T C



 ( ) ( tổng trực tiếp khơng gian con), T

có phần khác  L(T) Do đó, ràng buộc - h (x)  T tơng đơng

với cặp ràng b1uộc nón, nón có điểm ( khơng gian chiều với L(T)), cịn nón { }.

Chøng minh

Giả sử x1,x2, ,xj véctơ độc lập tuyến tính T, L(x1,x2, ,xj)là khơng gian tuyến tính sinh . x1,x2, ,xj

Nếu T L(x1, ,xj) xj1T \L(x1, ,xj) đó, ta thêm xj+1 vào

j

x x

x1, 2, , xuÊt ph¸t tõ x1T \{0}

, ta xây dựng đợc sở x1,x2, ,xk cho

L(T) NÕu L(T) Rr

 , sở đợc mở rộng thành sở x1,x2, ,xk, ,xr của Rr

Ký hiệu E đơn hình có đỉnh 0, x1,x2, ,xk đó, int E 

L(T), E T, intT L(T)

) ( ) ( )

(x T Vh x V T

h    



] ) ( ), ( ) (

[ 1  2 

 Vh x V T V h x ,

Trong V1h gồm k thành phần đầu Vh, V2h gm cỏc thnh phn cũn

lại, intV(T) kh«ng gian V(L(T)).

Mệnh đề 2.6. ([2])

Giả sử X,Y không gian định chuẩn; tập X khỏc ; D Y

compăc, 0D;P{d: 0,dD};

f:  Y  R liªn tơc, f (.,v) lồi (v Y), f(u.,) lõm dơng ( 



u ) Khi , có hệ sau tơng thích: (i) (u )(vP\  :)0f vu),( ;0

(ii) (vP\ (0u ): f(u,v)0

NhËn xÐt 2.8

Ta phủ nhận (i) nhận đợc: (iii) ((u )(vP\  :)0f ,(vu 0) Khi đó, (iii) (ii).

Mệnh đề 2.7 Giả sử Q nón lồi; B tập compăc, B,Q* = }

, :

{b   bB Giả thiết tồn phơng d0 cho với B,đạo hàm

suy réng Clarke:

0 ) ; ( )

( 0



d x F



Khi đó, tồn phơng d (B)0 cho:

 0 )( ' (0, ( )) [ ( ) ) ( )] 0

\ *

( Q     B r F x d  F x 

,

Trong , '

 có nghĩa là: với tất  trừ tập có độ đo Lebesgue Chứng minh

Gi¶ sư ( \{0})( ):( )0( ; 0) 0( )

0

n

R X d

x F B X

d     

   Theo [1], hµm ( F ()0 x



;.) Lipschitz, nên liên tục X Vì với d  d0 đủ nhỏ, (

) ; ( ) ( : ) )(

(

 

 

d X  B F x d

Theo định lý Fubini, phơng d nh chọn để cho với

0 ) (

1  

 đó, F’ (xd) tồn với [0, ( )]

1 





 trừ mt vi o

Đặt ():F(xd) Bởi (F)(x)F(x),

(dX)( B)(MF(x))Md

Vì f(x) gồm tất tổ hợp lồi giới hạn gradient F điểm ,

x

x  cho nªn [0, ( )]: '( ) 0,

'

 

     02()1() Vì vậy,

)]) ( , [ )(

( ' 2

  

  

 B :

 



   

 

0 ( )

) ( )

( d

Định lý 2.4 Giả sử F:R n Rp hàm Lipschitz địa phơng x;x cực tiểu yếu địa phơng không ràng buộc F(x) Khi đó, tồn  B cho :

) )( (

0F x

Chøng minh

Gi¶ sư ( )( ):( )0( ; 0)

0    

d X  B F x d Từ mệnh đề 2.7, tồn phơng dX cho với dãy i    B,

0 )] ( ) (

[F xid  F x 

 Theo mệnh đề 2.4,

, ) , ( int ) ( )

(x d  F x  Q i

F i ,

mâu thuẫn với x cực tiểu yếu địa phơng không ràng buộc F(x) Do đó, ( )( *\0 ( )0( ; )

 

 

d X  Q F x d

Các giả thiết mệnh đề 2.6 với u=d,v , f(u,v) (vF)0(x;u)

,

hàm f lồi theo u, lõm dơng theo v:

t w F tu w F v v u f t x w )) ( ) ( ( sup lim : ) ; (     

(supremum hàm tuyến tính theo v) Do đó,



0 )( )( ) ( ; )

\ * (    

 Q d X F x d

) )( ( 0F x

 với  Q*\0  với B

Định lý 2.5 Giả sử x cực địa phơng toán (P2); F,g h các hàm Lipschitz địa phơng x Khi đó, tồn nhân tử Lagrange

* *,

*, S T

Q  

  

 không đồng thời thỏa mãn:

) )( (

0Fgh x ,

0 ) x ( h , ) x (

g   

 .

Chøng minh

Từ mệnh đề 2.5 ràng buộc tóan (P2) thay ràng buộc tơng đơng với intS  T = { }.

Đặt J : = (F,g,h), V: = Q ( ){0}

g x

S . Gi¶ sư ) ; ( ) ( : }) { \ )(

( * 0

0   

d X  V  x d

(2.13)

Theo mệnh đề 2.7, thay  cho  , J cho F, có tồn d  X cho:

0 )] ( ) ( [ ))), ( , ( })( { \ ( * '     

 V V  p  J x d J x

a) Khi cố định  B,A đặt  (,,) với > ta nhận đợc:

0 ) ( )

(  1  

h x d , (2.14)

Bởi F, g Lipschitz địa phơng x, () '()không phụ thuộc

C



 C compăc, O1() đại lợng bậc với 

Giả sử H orthant (góc phần t ) bất kú Rr, eintH Víi ), , ( ,    C H e

 1()2()e Vì vậy, từ (2.14) ta nhận đ-ợc:

[h(xd O2()e]0

* *

* *

2( ) ( ) {0)

)

(x d O e C H C H H

h        



    .

) ( } { ) ( : ))) ( , (

( ' ' 3

  

 

  h x d   O

 .

) (x d h 



 =o4( ),

Trong o4( ) vơ bé 

Nếu h(x)có dạng cực đại: định lý hàm ẩn Clarke ([1], hệ 7.1.1)

chØ r»ng: NÕu

h(xd)= với  đủ nhỏ,

h(x) = với xxd()nào

Với  =o4(), ta nhận đợc

h(xdw())0,trong w())()

b) Nếu ta lấy  (,,) với B  C cố định,  A thì

0 ) ( ) ( [ )) ( , ( ' '    

    g x d g x ,

trong ()khơng phụ thuộc vào  tập compăc A. Từ mệnh đề 2.4 suy ra:

int ) ( )

(x d g x S

g   

, int ) ( ) ( )] ( ) ( [ )] ( )) ( ( [ )) ( ( ( S S S o x g x g d x g d x g w d x g w d x g                        

Với  đủ nhỏ, trừ tập có độ đo

Vì vậy, xxdw() điểm chấp nhận đợc

c) Ta lấy  (,,), lý luận tơng tự, ta nhận đợc:

Q x

F d x

F(  ) ( ) int

Q x F w d x

F(   ( )) ( )int

   (  0)

Điều mâu thuẫn với (x) cực tiểu yếu địa phơng(!) Có mâu thuẫn giả sử có (2.13) Vì (2.13) không tức là:

0 ) ; ( ) }( { \ )(

( *

0    

d X  V J x d

áp dụng mệnh đề 2.6, tồn V* \{0} 

 cho:

( )( )0( ; )  

d X J x d

 0(J)(x)

Trờng hợp h(x) khơng có dạng cực đại: Khi tồn M h(x) có hàng

phụ thuộc tuyến tính Do tồn  0 cho M=0 Vì vậy,

0(J)(x) ,víi  0, 0, 0

Định lý đợc chứng minh cho trờng hợp T={0} Khi T{0} ràng buộc

của (P2) tơng đơng với: -g(x)S, V1h(x)V(T1),V2h(x)=0,

Trong int, intV(T1) V(L(T)).

Vì với ,,,'' thích hợp khơng đồng thời ta có: 0(Fg'V1h'V2h)(x),

ở ('V1,'V1)T*, ('V1,'V2)h(x)=0

nh lý c chng minh

2.4 ĐIềU KIệN KHÔNG SUY BIếN CHO BàI TOáN (P2) Mệnh đề 2.8 Giả sử điều kiện Slater đúng, tức (,)(0,0)

T u S u R u x h x g n           

 ( ))(  ( ))( ): int ,

(

Chøng minh.

Phản chứng: Giả sử  =0 Khi đó,  0 (theo giả thiết)  =0, với 

nào thuộc g(x)  thuộc h(x)

Khi u0 u0 (S,T*) Do ()u0: Mâu thuẫn (!) ( =0) Vì  0

Mệnh đề 2.9 Giả sử điều kiện ổn định Robinson cho toán: (P3) WMIN{F(x):-h(x)T}, tức là:

] ) ( ) ( int[ : )) (

(M h x  h x M X T (2.15)

Khi  0 Chứng minh

Theo định lý 2.5, tồn Q*,T*,(,)(0,0) cho:

0 ) ( ), )( (

0Fh x h x 

Giả sử  0 Khi đó, 0 Mg(x) cho 0M, Từ điều kiện 2.5 suy tồn lân cận N cho:

0 ) ( ) ( ) ( )

( )

(N h x M X  T  T

Điều mâu thuẫn (T )R (N)(,)

(vi > no ú) Vỡ vy

CHƯƠNG 3: ĐIềU KIệN Đủ TốI ƯU 3.1 BàI TOáN LồI

Giả sử X không gian tôpô tuyến tính, f: X R, tập QX Xét toán tối

-u:

min{f(x):xQ}.

Định nghĩa 3.1 Điểm x đợc gọi cực tiểu toàn cục hàm f Q

f(x)f(x) (xQ).

Định lý 3.1 Giả sử f hàm lồi, Q tập lồi Khi điểm cực tiểu địa ph-ơng f Q cực tiểu toàn cục.

Chøng minh

Giả sử x cực tiểu địa phơng hàm f tập Q Khi tồn lân cận

U cña x cho:

f(x)f(x) (xQU ).

Lấy xQ Bởi U tËp hót, cho nªn (0,1) cho: 

 

x (x x)

x  U.

Do Q låi, nªn x Q Nh vËy , x QU vµ

) ( ) (x f x

f (3.1)

Bởi f hàm låi, cho nªn

)] ( ) ( ) ( [ )] ( ) ( ) ( [ ) (

) ( ) ( ) ( ) (

x f x

f x

f x

f x

f

x f x

f x f

 

 

 

 

  

  



  

(do(3.1)

=f(x).

Định nghĩa 3.2 Bài toán tối u đợc gọi lồi, hàm mục tiêu f tập

NhËn xÐt 3.2

Đối với tốn lồi, cực tiểu địa phơng cực tiểu tồn cc l trựng

Định lý 3.2 Giả sử f hàm lồi liên tục; Q1, ,Qn1 tËp låi; tån t¹i 1 ^ ) (int   

 i n

n

i Q Q

x  Gi¶ sư 0

1 ;

: Q K

Q

x n i

i  



 nón phơng

gim ca f ti x;K , ,1 Kn nón phơng chấp nhận đợc n

Q

Q , ,1 (tơng ứng) x;Kn1 nón phơng tiếp xúc Qn1 x Khi đó, để x cực tiểu hàm f Q, điều kiện cần đủ tồn tại

*

i iK

 (i=0,1,…,n+1) không đồng thời cho:

1

0   n

 =0 (3.2)

Chøng minh

a) Điều kiện cần Giả sử x cực tiểu f Q Nếu K0  , kết suy từ định lý 3.1 Dubovit-sky-Milyutin, nón K , ,0 Kn lồi, mở

NÕu K0  , ta chän

*

i iK

 (i=0,1,…,n+1) khác , đặt 

    1 n i i

,vì K0 nên

* *

0 X

K  , đó, 0 K0* (3.2)

b) iu kin

Phản chứng: x không cực tiểu hàm f Q, tức tồn tại:x1Q

Sao cho: f(x1) f(x) (3.3)

Đặt : (1 ) (0 1)

1 ^       

 x x

x Do xQi x1Qi

^

, (i=1,…,n+1), cho nªn

i

Q

x int (i=1,…,n+1) Do f liên tục, với > đủ nhỏ, từ (3.3) suy ra:

) ( ) (x f x

f   (3.4)

Ký hiÖu u:=x  x Do f låi ,víi < <1, ta cã:

0 ) ( ) ( ) ( ) ( [ lim ) ( ) ( lim ) ; ( ' ) ( ) ( ) ( ) (

0   

          

 f x f x

x f x f x f u x f u x f x f x f u x f             (do(3.4)) K u

Hơn nữa, u Ki (i=1,,n), v× xuintQi(0 < <1); uKn1 Bëi v× xuintQn1 (0< <1)

Mặt khác ,K , ,0 Kn nón lồi mở, (3.2)

     i n i K

 : M©u thuẫn (!).Vì vậy, x cực tiểu hàm f trªn Q.

(P4)

      



  

 

C x

n k

j x f

k i

x f

x f

j i

) , , 1 (

0 ) (

) , , 1 ( 0 ) (

) (

min 0

Gi¶ thiÕt r»ng :

(i) fi :X R(i0, ,k) hàm lồi khả vi; (ii) fj(x)j,xj,jX*,j R,

j=k+1,…,n;

(iii) C låi vµ intC

Định lý 3.3 Giả sử điều kiện (i)-(iii) thoả mÃn Giả thiết điều kiện

Slater ỳng:

(x^intC)f 0,f (x^)0 i

i

(i=1,…,k; j=k+1,…,n)

Khi để x nghiệm tốn (P4), điều kiện cần đủ tồn số 1, ,n cho: i 0,ifi(x)0 (i=1,…,k)





 

n i

i if x

x f

1

0( ) ' ( )

' 



là phiếm hàm tựa C x, tức là:

) (

,

,x x xC

  (3.5)

Chøng minh

a) Điều kiện cần: Giả sử x nghiệm toán (P4) Khi đó, tồn n



1, , cho 0 0,i 0,ifi(x)0 (i=1,…,k) vµ

) ( ' )

( '

1

0f x f x

n i

i i







 



là phiếm hàm tựa C x

Bởi x^ x phơng chấp nhận đợc, cho nên:

0

0 

 vµ ta cã thÓ lÊy 0 1

b) Điều kiện đủ: Lấy x chấp nhận đợc, tức là:

xC, f xi( ) 0, ( ) 0 f xj 

(i=1,,k; j=k+1,,n)

Vì f0, ,fk hàm lồi, ta cã:

( ) ( ) ' ( ),

i i i

f x f x   f x x x  (i=0,…,k) (3.6)

Tõ ®iỊu kiƯn (ii) ta cã; f xj( )f xi( )  f ' ( ),i x x x  (j=k+1,…,n) (3.7) NhËn xÐt (3.6) víi i 0 (i=1,…,k), nh©n (3.7) víi j(j=k+1,…,n) vµ céng

lại, ta nhận đợc: 0

1

( ) ( ) ( ) ( ) ,

n n

i i i i

i i

f x  f x f x  f x  x x

 

       (3.8)

V× vËy, tõ (3.8) suy ; 0

( ) ( ) n i i( ) ( ) ,

i

f x f x  f x f x  x x



       

Do đó, từ (3.5) ta nhận đợc 0( ) 0( )

f x f x (với x chấp nhận đợc)

NhËn xÐt 3.3

a) Trờng hợp k=n hay C ®a diƯn th× ®iỊu kiƯn: x ^ intC cã thĨ thay

b»ng x ^ C.

b) Điều kiện Slater dùng để chứng minh 0=1 điều kiện cn ca nh lý 3.3

3.2 BàI TOáN TRƠN Có RàNG BUộC ĐẳNG THứC

Các kết mơc 3.2 lµ cđa A D Ioffe vµ V M.Tikhomirov (1974, [5])

Giả sử X, Y không gian banach, f; X  R, F: X  Y, CX.

Xét toán: (P5)

C

x x f )( min

Định nghĩa 3.3 Hàm :X R đợc gọi K-hàm địa phng ca bi toỏn

(P5), tồn lân cËn U cña x cho: a) f x( )( )x ,

b) ( )x ( )x ( x C U )

c) f(x) (x)0(xU)

Mệnh đề 3.1 Giả sử xây dựng đợc K-hàm địa phơng  toán

(P5) x Khi x cực tiểu địa phơng tốn (P5) Chứng minh

Với x C U  ,ta có : f x( ) f x( )( )x  ( ) 0x  Vì vậy, x cực tiểu địa phơng toán (P5)

XÐt toán: (P6)

0 ) (

) ( min

x F

x f

Ký hiệu hàm Lagrange toán (P6) lµ:

0

( , *, ) ( ) *, )

L x y   f x y Fx Định lý 3.4 (Ljusternik, [5])

Giả s X, Y không gian Banach, U lân cận x X, ánh xạ F: U  Y khả vi liên tục theo nghĩa Fréchet; đạo hàm F’(x) ánh xạ lên:

ImF’(x)=Y. Khi đó, khơng gian tiêp xúc với tập:

M:={x U:F(x)= F’(x)} T¹i x trïng víi Ker F’(x):

( )

M

§ång thêi tồn lân cận U x: UU, số K > ánh xạ x() từ U vµo X cho:

( ( )) ( ), ( ) ( ) ( )

F x  F x x  K F   F x (  U’)

Mệnh đề 3.2 ([5])

Giả sử hàm f ánh xạ F khả vi Frechet x, F(x)=0 F’(x)X đóng Khi đó, x cực tiểu địa phơng tốn (P6), tồn 0R, y*Y* không đồng thời cho:

0

' ( , *, )x '( ) '*( ) *

L x y   f x F x y 

Nếu F khả vi liên tục x,và F’(x) ánh xạ lên,thì 0 0 xem nh 0 1 F'*( )x ánh xạ liên hợp ánh xạ F’(x)

Định lý 3.5 (định lý giá trị trung bình)

Gi¶ s X, Y không gian tôpô tuyến tính, U tập më X, F: U Y

khả vi Gâteaux điểm đoạn [x,x+u] U Khi đó,

a) Nếu ánh xạ z F' ( )G z u liên tục từ [x,x+u] vào Y thì:

F(x+u)-F(x)=

0F' (G x tu udt )

 ,

Trong F' ( )G z kí hiệu đạo hàm Gâteaux F z. b) Hơn nữa, X, Y không gian Banach thì:

0

( ) ( ) sup ' (G )

t

F x u F x F x tu u

 

    ,

Víi bÊt k× toán tử tuyến tính liên tục : X Y,

0

( ) ( ) sup ' (G ) _

t

F x u F x u F x tu u

 

       

Nãi riªng víi z [x,x+u],

0

( ) ( ) ' ( )G sup ' (G ) ' ( ) G t

F x u F x F z u F x tu F z u

 

    

Chứng minh

Đặt (t)=F(x+tu) Ta có:

( )

' (G )

d t

F x tu u

dt 

  ( t [0,1])

Khẳng định a) suy từ công thức Newton-Leibnitz cổ điển Khẳng định b) hệ trực tiếp câu a)

1

0F' (G x tu udt ) sup0 t 1 F' (G x tu ) u



Định lý 3.6 Giả sử hàm f ánh xạ F khả vi Fréchet lân cận x, đạo hàm f’(.) F’(.) liên tục x; F’(x) ánh xạ lên:

Im F’(x)=Y

Khi để x cực tiểu địa phơng toán (P6) điều kiện cần đủ

0 *,

*  

y Y  , hàm số sau K-hàm địa phơng toán (P6):

) ( ) ( )

( *, )

(x   y F x  F x  f x



NhËn xÐt 3.4

) ( ) ( ) *, , ( ) ( ) ( *, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f x F y x L x F x F y x f x f x x f x                

đạt cực tiểu x hình cầu đóng B(x,):

) ( )

(x   x 

 

 (x: x x )

Chứng minh định lý 3.6.

a) Điều kiện đủ: suy từ mệnh đề 3.1.

b) Điều kiện cần: Giả sử x cực tiểu địa phơng toán (P6) Theo mệnh đề 3.2, tồn y * Y* cho:

f(x)+F*(x)y*=0; (3.9) Đặt g(x)=f(x)-f(x)+<y*,F(x)> Từ (4.9) suy

g(x)=g’(x)=0

áp dụng định lý 3.4, tồn lân cận V x, số k > 0, ánh xạ xz(x) từ V

vµo X cho:

F(x+z(x))=F(x)=0, (3.10)

) ( )

(x k F x

z  (3.11)

Có tồn > x x  , thì:

( ) xV;

() f(x)-f(x)0, F(x)=0 (do x cực tiểu địa phơng);

() '( ) 1

 k

x

g (do tính liên tục g(x) x) Cã tån t¹i )

2 ,

( 

  , x x  , thì:

) ( )

(x  K 

F 

Từ (3.11) ta nhận đợc:

          ) ( ) ( , ) ( ) ( x z x x x x z x x F k x z (3.12) Tõ (),(3.10),(3.12) suy ra:

g(x+z(x))=f(x+z(x))-f(x)+<y*,F(x+z(x))> 0.

Vì vậy, (3.11), () định lý giá trị trung bình ta có:

  ) ( ) ( ) ( )] ( , [ : ) ( ' sup )) ( ( ) ( ) (

1k F x F x

k x z x z x x g x z x g x g x g                

Đặt (x)g(x) F(x) Khi (x) đạt cực tiểu B(x,) Từ nhận xét 3.4, định lý đợc chứng minh

3.3 ĐIềU KIệN CầN Và Đủ CấP CủA IOFFE -TIKHOMIROV Định nghĩa 3.4 Giả sử ánh xạ F khả vi kiên tục Fréchet lân cận

F(x+v)=F(x)+F’(x)v+

2

B(v,v)+r(v), Trong ( ) / v 

X Y

v

r 

X

v

Dạng toàn phơng B(v,v) đợc gọi đạo hàm Fréchet cấp F x, ký hiệu F”( x)(v,v).

Nếu F khả vi Fréchet cấp lân cận x ánh xạ xF”(x) liên tục x, F đợc gọi khả vi kiên tục Fréchet cấp 2tại x, hay F ỏnh x lp C2

Định lý 3.7 ( điều kiƯn cÇn cÊp 2)

Giả sử x cực tiểu địa phơng toán (P6); Các điều kiện cần định lý 3.6 thoả mãn Hơn giả thiết hàm f ánh xạ F thuộc lớp C2,

khi đó, tồn y * Y* cho:

0 ) , )( *, , (

" x y   

L xx (kerF'(x)) Chứng minh

Hàm Lagrange toán (P6) :

L(x,y*,1)=f(x)+<y*,F(x)>,

Nhõn t Lagrange y* nhận đợc từ định lý 3.6

Ph¶n chøng: Gi¶ sö kerF'(x),  1 cho:

0 ) *, , (

" x y  

L xx

Ta chän > cho:

6 ) , )( (

"   

 F x 

Chän  > cho x  th×:

6 ) , )( *, , ( " ), *, , ( ' ) , , ( ) *, , ( , ) , )( ( " ) ( ' ) ( ) ( x x x y x L x y x L y x L y x x L x x x x F x x F x F x x F xx              

Do kerF'(x) với hàm (x) xác định nhận xét 3.4 ta có:

0 6 6 ) , )( ( " ) , )( *, , ( " ) ( ) ( ) *, , ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2                     t t t t t x F t t y x L t x f t x F y t x L t x t x f t x xx                    

Nh (x) khơng đạt cực tiểu hình cầu B(x,) Theo nhận xét 3.4,

x không cực tiểu địa phơng tốn (P20) Điều trái với giả thiết (!)

Định lý 3.8 (Điều kiện đủ cấp 2)

* * Y

y  vµ sè  > cho:

, ) *, , (

' x y 

Lx (3.13)

2

) , )( *, , (

" x y    

L xx (kerF'(x)) (3.14)

Khi đó, x cực tiểu địa phơng toán (P6)

NhËn xÐt 3.5

Đặt H:=kerF’(x) Khi L1 khơng gian X Ta có H đồng phôi với không gian Hilbert

Thật , với 1,2H, ta xác định tích vơ hớng:

) , )( *, , ( " :

, 2 1 2

1   

 L xx x y



Khi đó, 1,2  dạng song tuyến tính đối xứng Từ (3.14) suy tính khơng suy biến tích vô hớng :



1,2 >  0, đồng thời :

2

"

, 

 

  L xx

Do H đồng phơi với không gian Hilbert.

Chứng minh định lý3.8

áp dụng định lý Ljusternik (định lý 3.4), tồn ánh xa z(x) từ lân cận V x vào X , số k > cho:

F(x+z(x))=F(x)=0, z(x) k F(x)

Do x-chấp nhận đợc, tức F(x)=0, z(x)=0 Để chứng minh định lý, ta cần chứng minh hàm số sau K-hàm địa phơng bài toán (P6):

) ( ) ( *, )

( )

(x f x   y F x  z x



a) Vì x điểm chấp nhận đợc nên

) ( ) (x f x



b) Lấy x điểm chấp nhận đợc

) ( ) ( )

(x f x  x

  

c) Ta chøng minh tån t¹i  0 cho x x  , th×

0 ) ( )

(x  x 

f 

Đặt g(x)L(x,y*,1) f(x) Khi đó:

g(x)=0;

g’(x)=0 (do (3.13)); g”( x)=L"xx(x,y*,1);

) ( ) ( ) ( )

(x x g x z x

f    

Bổ đề 3.1  0,1 0 cho   x 1,F()0, X thoả mãn:     x và  xKerF' x( )

Chøng minh

Theo định lý Banach ánh xạ mở, tồn r > cho:

) , ( )

1 , ( ) (

' x B B r

F X  Y , (3.15)

chọn 1 0 để cho   x 1

x r x x F x F

F() ( ) '( )(  )   

Nh vËy nÕu F()0, th× F'(x)((  x)  x 11) r

Do (3.15), tồn ~ cho ~

1 '

~

) )(

)( ( )

( 

 

   

 F x x x

x

F (3.16)

Đặt :   x~ Khi đó, x   



Tõ (3.16) suy

) )( ( )

( '

' x F x x

F    

Tøc lµ x KerF'(x) 



 

 .

Chứng minh tiếp định lý 3.8

Chän sè  > tháa m·n:

0 )

1 ( )

( 2

    

     

 C C (3.17)

Trong C := g''(x)

, sè  cã (3.14)

Bởi hàm f ánh xạ F thc líp C2, tån t¹i 1 0

Thoả mãn đề 3.1 BX(x,1), g'() 1 (3.18)

) , )( ( ),

( )

( )

( g x g' x x g'' x x x

g          

2

2  x

  (3.19)

Chän  0 cho x Bx(x,)

Ký hiệu :x z(x).từ (3.13), (3.17), (3.19) định lý 3.5 giá trị trung bình, ta nhận đợc:

) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(x x g x z x g x g x z x g z x

f          

 



 sup{g'() : BX(x,1)}z(x)

  



g x g x x

x

z( ) ( ) '( ),

+ ''

2 ) , ( ) (

x x

x x

g          ''

2 ) , ( ) (

x x

x x

g        

Theo đề 3.1 tồn X sao cho:

 

 

 x KerF’(x) vµ   x

 (1 ) x   x (1)  x

Đặt B(x,y):=g”( x)(x,y) Khi đó,

) , ( ) , ( ) , ( ) ,

(x1 x2 x1 x2 B x1 x1 B x1 x2 B x2 x2



 (1 ) (1 ) 

2 ) , )( ( " 2 ) , )( ( " 2 2 2                       x C C x x x x g x x x x g                   

3.4 §IỊU KIƯN Đủ CấP TổNG QUáT CủA MAURER-ZOWE

Kết mơc nµy lµ cđa H.maurer vµ J.zowe(1979)

Giả sử X, Y không gian Banach, f: X R, g:X  Y, K nón lồi đóng

trong Y.

Xét toán qui hoạch toán học sau: (P7)    K x g x f ) ( ) ( min

Kí hiệu M tập chấp nhận đợc toán (P7):

M:= {xX: g(x) K};

  ( )  n ) ( ' : : ) ( ; , , x lim v : X v : ) ( x g M n n n M K v x g X v x L t M x t x x T             Trong đó, 

 g x R

K

Kg(x) :   ( ):

M

T (x) đợc gọi nón tiếp tuyến dãy (sequential tangelcone) M x

) (x

LM lµ nãn tuyÕn tÝnh hoá (lineariz-ing cone) M x

Nhận xét 3.6

Nếu Kg( x) đóng, TM(x)LM(x)

Giả thiết tồn đạo hàm Fréchet cấp cấp f g x: f’(x ), g’(x), f”( x), g”( x)

Định nghĩa 3.5 Điểm chấp nhận đợc x đợc gọi qui nếu:

0int(g(x)+g’(x)X-K) (3.20)

Mệnh đề 3.3 ([6]) Giả sử T ánh xạ tuyến tính liên tục X Y.nếu: TX-K=Y,

Th×  0 cho:

) , ( ) , ( ( ) ,

( X Y

Y TB K B

B   

Định nghĩa 3.6 Tập chấp nhận đợc M đợc gọi xấp xỉ đợc xM bởi )

(x

LM , tồn ánh xạ h: M LM(x) cho: h(x) (x x) ( x x ) )

(x M (3.21)

Mệnh đề 3.4 Nếu x qui M xấp xỉ đợc xM LM(x)

Chøng minh

Trong r(x,x)( x x ).Từ (4.20) suy ra:0int(g'(x)X  Kg( x)) 

) (

) (

' x X Kg x

g  =Y (3.23)

Vì ánh xạ g’(x) thoả mãn điều kiện mệnh đề 3.3 Khi đó, X

B x x r x

z( ) ( , )

 vµ k(x)Kg(x) cho:r(x,x)g'(x)z(x) k(x) (3.24)

Đặt h(x):=x-x+z(x) h(x) (x x) ( x x ),

g’(x)h(x)=g’(x)(x-x)+r(x, x)+k(x)=g(x)-g(x)+k(x)Kg( x)

tøc lµ h(x)LM(x)

chú ý:mệnh đề 3.4 mở rộng định lý 3.4 Ljusternik.

Mệnh đề 3.5.Giả sử h: M LM(x) ánh xạ thoả mãn (3.21) đó: ,

0 ,

0   

 

) ( )

( )

(x x x h x

h    (xM B(x,))

(3.25)

Chøng minh

lÊy (0,1) Chän  ()> cho: (xM B(x,)), ta cã

x x x

x x

h( ) (  )   

x x x

x x h x x x

h( )    ( ) (  ) (1 )   h(x)0,

nÕu xB(x,),xx



     

    

1 ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

x h

x x x

x x x x h x

h x x x h

(xM \{x}B(x,))

(3.26) Víi >1 ta chän (0,1) cho

  

1 < () nh Khi từ

(3.26) ta nhận đợc (3.25)

KÝ hiƯu L(x,y*,) lµ hµm Lagrange toán (P7).

Đặt: K :~ K{y:<y*,y>=0}, M~ g1(K~)

Định lý 3.9 (điều kiện cÇn cÊp [6])

Giả sử x cực tiểu địa phơng toán (P7), vày*Y* cho: )

1 *, , ( ' x y

Lx =0,<y*,g(x)>=0.

Khi đó,

0 )

, )(

1 *, ,

(

" x y v v 

L xx

( v T~ (x)

M



 ).

Hơn nữa, nếu:0int(g(x)g'(x)X K~)

0 )

, )(

1 *, ,

(

" x y v v 

L xx

( v L~ (x)

M



 )

Bổ đề 3.2 Giả sử B dạng song tuyến tính đối xứng liên tục X X, H

là tập X số  > thoả mãn: B(v,v) v 2 (vH) đó, tồn tại 

1

 vµ>0 cho: B(v+u,v+u)v u 2 (3.27)

(vH,uX, u v ) Chứng minh: Đặt b:= B .

Ta cã: B(x,z)b x z (x,zX)

chọn > đủ nhỏ cho: :   

   b  b >0 Khi đó, với vH, uX

víi u v , ta cã: B(v+u,v+u) v  2bv u  bu 0 v bëi v× v

u v u

v   (1) , cho nªn B(v+u,v+u) 2

)

( v u

v 

 

Đặt 2

)

( 

 



 ta nhận đợc (3.27)

Điều kiện đủ cấp H Maurer J Zowe đợc phát biểu nh sau:

Định lý 3.10 (điều kiện đủ cấp 2)

Gi¶ sư x M tho¶ m·n:

(!) M xấp xỉ đợc xM LM(x);

(!!)y*Y* cho: L'x(x,y*,1)=0,<y*,g(x)>=0; (3.28) (!!!) 0, 0 cho:L"xx(x,y*,1)(v,v) v (3.29)

(vLM(x)v: y*,g'(x)v v)

Khi đó,  0, 0 cho: f(x)f(x)+ x  x 2(xM B(x,)). Chứng minh

Bởi (3.21) đúng, với xM ta viết:

x-x=h(x)+z(x),h(x) LM(x), )

( )

(x x x

z   (3.30) Ta sÏ chøng minh r»ng tån t¹i i 0,i 0 (i=1, 2) cho:

f(x) f(x)1 x x (3.31)

(xxh(x)z(x)M, x x 1, y*,g'(x)h(x) h(x) )

vµ f(x)f(x)2 x x (3.32)

(xxh(x)z(x)M, x x 2, y*,g'(x)h(x) h(x) )

a) Chøng minh(3.31)

Theo định nghĩa đạo hàm Fréchet cấp 2, với xM, ta có:

) , ( ) , )( *, , ( " ) (

) , ( ) , )( *, , ( " ),

1 *, , ( ' ) *, , ( ) *, , (

) ( *, )

( ) (

x x r x x x x y x L x f

x x r x x x x y x L x

x y x L y

x L y

x L

x g y x f x f

xx

xx x

   



   

  

 



 

 

Trong r(x,x) ( x x 2)

Đặt B:=L"xx(x,y*,1),H:=LM(x)v: y*,g'(x)v v

Theo bổ đề 3.2,1 ,0 cho: ) , )( *, , (

" x y x x x x x x

L xx    

(x=x+h(x)+z(x)M thoả mãn <y*,g'(x)h(x) h(x) z(x) h(x) ) Theo mệnh đề 3.5, với 1> đủ nhỏ, ta có: z(x)  h(x) (3.34)

(x=x+h(x)+z(x) M, x x 1)

 L"xx (x,y*,1)(x x,x x)1 x x (3.35)

(x=x+h(x)+z(x) M thoả mãn x x 1  y*,g'(x)h(x) h(x) ) chọn 1> đủ nhỏ cho r(x, x) (3.33) thoả mãn:

) , ( ( ) ,

(x x 1 x x x B x 1

r     (3.36)

Tõ (3.33), (3.35), (3.36) ta suy ra:

2 2 ) ( ) ( ) , ( ) *, , ( " ) ( ) ( x x x f x x x x x f x x r y x L x f x f xx              

(x=x+h(x)+z(x) M thoả mãn x x 1  y*,g'(x)h(x) h(x) ) Nh ta nhận đợc (3.31) với

4

1



 

b) Chøng minh (3.32)

XÐt trêng hỵp x=x+h(x)+z(x) , x x 1,nhng  y*,g'(x)h(x) h(x) Tõ (3.28) suy ra: f'(x)g'*(x)y* (3.37)

Trong g’*(x) toán tử liên hợp g’(x) Từ (3.30),(3.37) suy ra:

) , ( ) ( ) , ( ) ( ), ( ' ) ( ), ( ' ) , ( ), ( ' ) ( ) (

1 x x

r x h x x r x z x f x h x f x x r x x x f x f x f               (3.38)

Trong r1(x,x)f'(x),z(x)r(x,x),r(x,x) ( x x),r1(x,x) ( x x)

Tõ (3.34) suy ra:

) ( ) ( ) ( )

(x z x h x

h x

x     (x B(x,1))

Do đó, từ (3.38) ta nhận đợc:

Từ ta nhận đợc (3.32) với 2 (0,1  đủ nhỏ

Từ (3.31), (3.32) ta suy kết luận định lý

NhËn xÐt 3.7

) , ( ) ( )

(x f x x x r1 x x

f   

 

Định lý 3.10 bao hàm điều kiện đủ A D Ioffe V M Tikhomirov (định lý 3.8) nh trờng hợp đặc biệt

ThËt vËy, víi K={0} thì LM(x)=Kerg(x); mà Kerg(x)v: y*,g'(x)v v

Do đó,

v y g x v v 

x