Bài giảng Công nghệ đồ họa và hiện thực ảo - Bài 8: Đường cong cung cấp cho người học các kiến thức: Các khái niệm, phân loại, đường cong đa thức bậc 3, đường cong Spline. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Bài ĐƯỜNG CONG Trịnh Thành Trung trungtt@soict.hust.edu.vn NỘI DUNG Các khái niệm Phân loại Đường cong đa thức bậc Đường cong Spline - KHÁI NIỆM - Đường cong • Đường cong – Curve: – Quỹ đạo chuyển động điểm khơng gian Điểm biểu diễn đường cong • Điểm biểu diễn đường cong - curve represents points: – Là phương pháp sử dụng khoa học vật lý kỹ nghệ nói chung – Các điểm liệu đo xác thực thể đối tượng sở Đường cong qua điểm liệu hiển thị hỗ trợ cho việc nhận xu hướng ý nghĩa điểm liệu – Các kỹ thuật phức tạp (VD: bình phương sai số) dùng đưa đường cong hợp với dạng toán học Điểm biểu diễn đường cong Biểu diễn điểm kiểm soát đường cong • Biểu diễn điểm kiểm soát đường cong Points represent and control curve – Đường cong đối tượng thường kết tiến trình thiết kế điểm đóng vai trị cơng cụ để kiểm sốt và mơ hình hố đường cong – Là sở lĩnh vực Computer Aided Geometric Design (CAGD) Biểu diễn điểm kiểm soát đường cong PHÂN LOẠI - Nội suy • Nội suy- Interpolation: đường cong qua điểm, ứng dụng khoa học yêu cầu ràng buộc sử dụng đa thức hay hàm bậc cao nhiên kết thường có hiệu ứng phụ sai số phóng đại hay độ nhấp nhơ đường cong đa thức bậc cao tạo nên 10 Ưu điểm • Dễ dàng kiểm sốt hình dạng đường cong vector tiếp tuyến p0’ p1’ Hermite • Nằm đa giác kiểm sốt với số điểm trung gian tuỳ ý (số bậc tuỳ ý) • Đi qua điểm đầu điểm cuối đa giác kiểm soát, tiếp xúc với cặp hai vector đầu cuối 25 Biểu thức Bezier-Bernstain • Tổng qt hố với n +1 điểm kiểm soát n p(u ) Bi ,n (u ) pi i 0 n p(u ) n Bi ,n 1 (u )( pi 1 Pi ) i 0 Bi ,n (u) C(n, i )u (1 u) i n i n! C(n, i ) i! (n i )! • p0 pn : vector vị trí đa giác n+1 đỉnh 26 Tính chất • P0 Pn nằm đường cong • Đường cong liên tục có đạo hàm liên tục tất bậc • Tiếp tuyến đường cong điểm P0 đường P0P1 Pn đường Pn-1Pn • Đường cong nằm đường bao lồi convex hull điểm kiểm sốt • P1, P2,… ,Pn-1 nằm đường cong đường cong đoạn thẳng 27 ĐƯỜNG CONG SPLINE - Đường bậc ba Spline • Spline qua n điểm cho trước mà đoạn đường bậc ba độc lập có độ dốc độ cong liên tục điểm kiểm soát hay điểm nút • Với n điểm:n-1 đoạn với đoạn vector hệ số 4(n-1) cho n-1 đoạn, 2(n-1) điều kiện biên n2 điều kiện độ dốc n-2 độ cong • Spline dùng để phương pháp biểu diễn đường cong mềm thông qua đoạn cong tham biến bậc ba với điều kiện liên tục điểm đầu nút 29 Đường bậc ba Spline • u0 = với : (u0 un-1) uj+1 > uj • ui+1 = ui + di+1 • C0 để khơng có gián đoạn hai đoạn cong • C1 tính liên tục bậc hay đạo hàm bậc điểm nối • C2 đạo hàm bậc hai liên tục đường cong điểm nối 30 Pn-1’ y Pn-1 Po’ x 1 0 p = [ u u2 u ] 2 z P1 Po p0 p1 p '0 1 p '1 0 • Tính liên tục đạo hàm bậc hai điểm nối dễ dàng đạt cách đặt P’’i-1(ui-1=1) đạo hàm bậc hai điểm cuối đoạn (i-1) với P’’i(ui=0) đạo hàm bậc hai điểm đầu đoạn thứ i • P’’i-1(1)= P’’i(0) 31 Đường cong B-spline • Đường cong B-spline đường cong sinh từ đa giác kiểm sốt mà bậc khơng phụ thuộc vào số đỉnh đa giác kiểm soát 32 B-spline • • • • • Ni,k(u) đa thức B-Spline Với n+1 số điểm kiểm soát Pi điểm kiểm soát thứ i k bậc đường cong 1