Tai lieu on thi toan 11 HKI

a) Lấy lần lượt không hoàn lại. Ba người cùng bắn vào bia. Một người gọi điện thoại lại quên 3 chữ số cuối cùng mà chỉ nhớ rằng 3 chữ số đó khác nhau và tạo thành một số chia hết cho 5. [r]

(1)

Va Va

VaVấááánnnn đđđđeeeềààà 2222 :::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP TTTTỊỊỊỊNHNHNHNH TIETIETIETIẾÁÁÁNNNN A.

A.A KIEA.KIEKIEKIẾÁÁÁNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCƠƠƠƠ BABABABẢÛÛÛNNNN

′ ′ =

��

� �

1 ĐN : Phép tịnh tiến theo vectơ u phép dời hình biến điểm M thành điểm M cho MM u

′ ′

= ⇔ =

��

� �

i

Kí hiệu : T hay T Khi : T (M) Mu u MM u

Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định biết vectơ tịnh tiến Nếu T (M) M , M T phép đồng nha át o o

2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) v phép tịnh tiến Tu

= ∀

� �

i

� �

′ ⎧

′ ′ ′

⎯⎯→ = ⎨ ′

⎩

� x = x + a

M(x;y) M =T (M) (x ; y ) u

y = y + b

I

i i

3 Tính chất :

ĐL : Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm HQ :

Bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến tia thành tia

Bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho

⎯⎯→ ⎯⎯→

Bieán

7 tam giác thành tam giác (Trực tâm I trực tâm , trọng tâm I trọng tâm ) ′ ′

⎯⎯→ Đường trịn thành đường trịn (Tâm biến thành tâm : II I , R = R )

� �

��PHPHPHPHƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG PHAPHAPHAPHÁÙÙÙPPPP TTTTÌÌÌÌMMMM AẢÛÛÛNHAANHNHNH CUCUCUCỦÛÛÛAAAA MOMỘÄÄÄTMOMOTTT ĐĐĐĐIEIEIEIỂÅÅÅMMMM ′

⎧

′ ′ ′

⎯⎯→ = ⎨ ′

⎩

� x = x + a

M(x;y) M =T (M) (x ; y ) u

y = y + b

I �

��PHPHPHPHƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG PHAPHÁÙÙÙPPHAPHAPPP TTTTÌÌÌÌMMMM AAAẢÛÛÛNHNHNHNH CUCUCUCỦÛÛÛAAAA MOMỘÄÄÄTMOMOTTT HHHHÌÌÌÌNHNHNHNH (H)(H)(H)(H)

′ ′

∈ ⎯⎯→ ∈

′

≡ ⎯⎯→ ≡

i i

Cách : Dùng tính chất (cùng phương đthẳng , bán kính đường trịn : khơng đổi ) Lấy M (H) M (H )

(H) đường thẳng (H ) đường thẳng phương

I

′

⎧+ ⎧+

′ ′ ′

≡ ⎨ ⎯⎯→ ≡ ⎨

′

⎩ ⎩

′ ′

Taâm I Taâm I

(H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) + bk : R + bk : R = R

Cách : Dùng biểu thức tọa độ

Tìm x theo x , tìm y theo y thay vào biểu thức tọa độ Cách

II

′ ′ ′

∈ ⎯⎯→ ∈

: Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) I M , N (H ) B,

(2)

′ −

′ ′

⎧ − = ⎧ =

′ ⇔ ′= ⇔ ′− ′+ = ⇔⎨ ⇔⎨

′+ = ′= −

⎩ ⎩

� ��

�

1 Trong mpOxy Tìm ảnh M điểm M(3; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;1) Giaûi

x x

Theo định nghóa ta có : M = T (M)u MM u (x 3;y 2) (2;1)

y y

′

⇒ −

−

� �

M(5; 1) Tìm ảnh điểm qua phép tịnh tiến theo vectô u :

a) A( 1;1) , u = (3;1) ⇒ ′ −

� A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2) ⇒ ′ −

′

− � − ⇒

B ( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)

′ ′ ′ ′

′ = ′ =

� ��

� �

3 Trong mpOxy Tìm ảnh A ,B điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (3;1) Tính độ dài AB , A B

Giải

Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B)u u = ′ ′ ′ ′ =

= = =

= ⇔ = = ⇔ =

��

� � � � � �

��

� �

1

(4;2) , AB = |AB| , A B = |A B | Cho vectơ u ; u Gỉa sử M1 2 1 T (M),Mu 2 Tu (M ) Tìm v để M1 2 T (M) v Giải

Theo đề : M1 T (M)u MM1 u , M1 2 Tu (M )1 M M1 2

= ⇔ = ⇒ = = + = =

�

��

u 2

Neáu : M2 T (M)v MM2 v v MM2 MM1 M M1 2 u + u .Vaäy : v u + u1 2 1 2 ′

∆ − ∆

∆ � −

5 Đường thẳng cắt Ox A( 1;0) , cắt Oy B(0;2) Hãy viết phương trình đường thẳng ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; 1)

′= = − ′= =

′

⎧ − ⎧ = +

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⎨ ⇒ ∆ ⎨

= − +

′ ′ ⎩

⎩

� �

i

� ��

i Giải Vì : A T (A) (1; 1) , Bu T (B) (2;1) u

qua A (1; 1) x t

Mặt khác : T ( )u qua A ,B Do : ptts :

y 2t VTCP : A B = (1;2)

′

∆ ∆

∆ − −

′ = = −

� �

6 Đường thẳng cắt Ox A(1;0) , cắt Oy B(0;3) Hãy viết phương trình đường thẳng ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 1; 2)

Giaûi

Vì : A T (A)u (0; 2) , ′ = = −

′

⎧ − ⎧ = −

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⎨ ⇒ ∆ ⎨

= − +

′ ′ − ⎩

⎩

∆ − −

�

i

� ��

i �

B T (B)u ( 1;1)

qua A (0; 2) x t

Mặt khác : T ( )u qua A ,B Do : ptts :

y 3t VTCP : A B = ( 1;3)

7 Tương tự : a) : x 2y = , u = (0 ; 3) ⇒ ∆′ − + = ′

∆ + − � − − ⇒ ∆ + + =

: x 2y b) : 3x y = , u = ( ; 2) : 3x y

8 Tìm aûnh c + − = −

′ ′

⎧ ⎧ −

⇔

⎨ ′ ⎨ ′

−

⎩ ⎩

∈

�

2

ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1; 3) Giải

x = x + x = x Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến T : u

y = y y = y +

Vì : M(x;y) ( + − = ⇔ ′ + ′+ = ⇔ ′ ′ ′ ∈ ′ + + =

′ + + =

2 2 2

C) : (x + 1) (y 2) x (y 1) M (x ;y ) (C ) : x (y 1)

2

(3)

⎯⎯→ + −

∆ − +

9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1; y 2) a) CMR f phép dời hình

b) Tìm ảnh đường thẳng ( ) : x 2y

I

−

− − + −

2

2 2

=

c) Tìm ảnh đường trịn (C) : (x + 3) + (y 1) = d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x

ÑS : b) x 2y = c) (x + 2) + (y 1) = d) (y + 2) = 4(x ′

⎯⎯→ −

1)

10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ; y) Khẳng định sau sai ?

A f phép dời hình B

I

∈

Neáu A(0 ; a) f(A) = A

C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)] đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua trục tung →C sai

− + + = −

′ ′

⎧ − ⎧

⇔

⎨ ′ ⎨ ′

+ −

⎩ ⎩

� �

2

9 Tìm ảnh đường trịn (C) : (x 3) (y 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4) x = x x = x +

Giải : Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến T : u

y = y y = y

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

∈ − + + = ⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =

′ − + − =

2 2 2

Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) (x 1) (y 2) M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2)

2

(4)

′

− + + = ⇒ − + − =

′

+ − + − = −

� �

2 2

BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 2

b) (C) : x y 2x 4y 0, u = ( 2;3) (C ) + + − − =

− −

i

2

: x y 2x 2y 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác định toạ độ đỉnh C D hình bình hành ABCD biết đỉnh A( 2;0), đỉnh B( 1;0) giao điểm đường chéo I(1;2)

Giaûi

= − − = = −

⎧ − = ⎧ =

⇔ = ⇔⎨ ⇔⎨ ⇒

− = =

⎩ ⎩

��

i

��

i

Gọi C(x;y) Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1) Vì I trung điểm AC neân :

x x

C = T (I) IC AI C(4;4)

AI y 2 y 4

Vì I trung điểm AC nên :

D = ⇔ = ⇔⎧⎪⎨ − = ⇔⎧⎪⎨ = ⇒

− = =

⎪ ⎪

⎩ ⎩

− ⇒ −

′ ��

�� xD xD

T (I) ID BI D(3;4)

BI yD 2 2 yD 4

Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) 11 Cho đường thẳng song song d d Hãy

′

′ ′

∈ ∈

′ ′

∈ ⇔ =

��

phép tịnh tiến biến d thành d Hỏi có phép tịnh tiến ?

Giải : Chọn điểm cố định A d , A d

Lấy điểm tuỳ ý M d Gỉa sử : M = T (M) MM AB AB

′ ′ ′ ′ ′

⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒

′ ′ ′

��

MA M B M B / /MA M d d = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d

12 Cho đường tròn (I,R) (I ,R ) Hãy phép tịnh tiến biến (I,R) ′ ′

′ ⇔ ′= ′

′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

⇒ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒

′

��

thành (I ,R ) Giải : Lấy điểm M tuỳ ý (I,R) Gỉa sử : M = T (M) MM II

II

IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)] II

13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố định , tâm I thay đổi di động đường trịn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC

Giaûi

Gọi J trung điểm cạnh AB Khi d = ��

��

ễ thấy J cố định IM JB Vậy M ảnh I qua phép tịnh tiến T Suy : Quỹ tích M

JB

(5)

Tu+ v� �

′

14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax Gọi T phép tịnh tiến theo vectơ u = (m,n) (P ) ảnh (P) qua phép tịnh tiến Hãy viết phương trình ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

⎯⎯⎯→ − −

′ ′

⎧ − ⎧ −

′ ⇔⎨ ⇔⎨

′− ′−

⎩ ⎩

′ ′ ′

∈ = ⇔ − − ⇔

� ��

i

�� u

(P ) Giaûi :

T

M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y) x x = m x = x m

Vì MM = u

y y = n y = y n

2

Maø : M(x; y) (P) : y ax y n = a(x m) y = I

′− + ⇔ ′ ′ ′ ∈ ′ − +

′ − + ⇔ − + +

∆ − ≠ ∆ ∆

� �

2

a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n

2 2

Vậy : Ảnh (P) qua phép tịnh tiến T (P ) : y = a(x m)u n y = ax 2amx am n 15 Cho đt : 6x + 2y 1= Tìm vectơ u để = T ( ) u

Gi ∆ − ∆ ∆ ⇔ − = −

⇒ −

− −

� � � � �

�

ải : VTCP a = (2; 6) Để : = T ( )u u phương a Khi : a = (2; 6) 2(1; 3) chọn u = (1; 3)

16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm A( 5;2) , C( 1;0) Biết : B = T (A) , C = T (B) Tìm u v�u �v � � để thực phép biến đổi A thành C ?

Giaûi

− ⎯⎯⎯Tu�→ ⎯⎯⎯Tv�→ −

(6)

− − − ⎯⎯⎯�→ ⎯ �→

� �

u v

17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) Tìm ảnh K,M,N qua phép tịnh tiến T T u v

T T

HD : Gỉa sử : A(x;y)I BI ⎯⎯ ′ ′ = = ⇒ = + = + =

′ ′

⎧ − = ⎧ =

′ + ⇔ ′= ⇔⎨ ⇔⎨ ⇒ ′

′− = ′=

⎩ ⎩

′ ′

��

� �

C(x ;y ) Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)

x 1 x

Do : K =Tu v(K) KK (1;5) K (2;7)

y y

Tương tự : M (4;4) , N (3;2)

18 Trong hệ trụ ∆ − − ∆

′ ≠

′ ′ ′ ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→

� �

�

� �

u u

c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) G trọng tâm ABC phép tịnh tiến theo vectơ u biến A thành G Tìm G = T (G) u

Giaûi

T T

A(3;0)I G( 1;3)I G (x ;y

′ ′

⎧ + = − ⎧ = −

′ ′

= − = = ⇔⎨ ⇔⎨ ⇒ −

′− = ′=

⎩ ⎩

′

− + + = + − + + =

�� ) x 1 4 x 5

Vì AG ( 4;3) u Theo đề : GG u G ( 5;6)

y 3 y

2 2

19 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ) : x y 10x 4y 25

Có hay không phe ′

′ ′ ′

− −

′

�

� ùp tịnh tiến vectơ u biến (C) thành (C )

HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = Ta thấy : R = R = nên có phép tịnh tiến theo vectơ u ′

− ∈ ∆ − −

= �� i

= (4;1) biến (C) thành (C )

20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) B :2x y = Tìm tập hợp đỉnh C ?

Giải

Vì OABC hình bình hành nên : BC = − ⇒ = −

′ ′

⎧ − = ⎧ = −

′ ′

⎯⎯⎯→ = ⇔⎨ ⇔⎨

′− = − = ′+

⎩ ⎩

′ ′ ′ ′ ′

∈ ∆ ⇔ − − ⇔ − − ⇔ ∈ ∆ − −

∆ �

��

� ��

i i

u

AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)u

T x x 2 x x 2

B(x;y) C(x ;y ) Do : BC u

y y y y

B(x;y) 2x y = 2x y 10 = C(x ;y ) : 2x y 10 = 21 Cho ABC Goïi A ,B ,C 1 1

I

lần lượt trung điểm cạnh BC,CA,AB Gọi O ,O ,O I ,I ,I1 2 3 1 3 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp ba tam giác AB C ,1 1

BC A1 ∆ = ∆

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

⇒ ∆ ⎯⎯⎯⎯→ ∆ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

⇒

��

1 1

AB AB AB

2 2

, CA B Chứng minh : O O O I I I

1 1 3

HD :

Xeùt pheùp tịnh tiến : T1 biến A C,C1 B,B1 A 1 AB

2

T T T

AB C1 1 C BA ;O1 1 1 O ;I2 1 I 2

I I I

�

= ⇒ =

= = ⇒ = = ⇒ ∆ = ∆

��

O O1 2 I I1 2 O O1 2 I I 1 2

Lý luận tương tự : Xét phép tịnh tiến T1 ,T1 suy : BC CA

2

O O2 3 I I vaø O O2 3 3 1 I I3 1 O O2 3 I I ,O O2 3 3 1 I I3 1 O O O1 3 I I I (1 3 �

c.c.c)

� � �

�

= = = =

��

� � �

�� BC

22 Trong tứ giác ABCD có AB = 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 D 90 Tính độ dài cạnh BC DA

HD :

T

(7)

= − + + = ⇒ = ∆

= + − = + − =

⇒

⇒ ∆ �

Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 Định lý hàm cos MCD :

3

2 2 2

MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12 36 MD = 6cm

1

Ta có : MD = CD MC = MD MDC tam giác

� �

� � �

⇒ ∆ ⇒ = =

= = = ⇒ ∆

� �

�

MCD nửa tam giác DMC 90 MDA 30 Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD tam giác cân M

⊥ ⇒ ⇒ � =6 ⇒ =

Dựng MK AD K trung điểm AD KD=MDcos30 cm AD 3cm

Toùm laïi : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 3cm

Va

VaVaVấááánnnn đđđđeeeềààà 3333:::: PHEPHÉÙÙÙPPHEPHEPPP ĐĐĐĐOỐÁÁÁIIII XOO XXXỨỨỨỨNGNGNGNG TRUTRUTRUTRỤÏÏÏCCCC A

A

AA ,,,, KIEKIEKIEKIẾÁÁÁNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCƠƠƠƠ BABABABẢÛÛÛNNNN ′

′

1 ĐN1: Điểm M gọi đối xứng với điểm M qua đường thẳng a a đ ường trung trực đoạn MM

Phép đối xứng qua đường thẳ ng gọi phép đối xứn

′

g trục Đường thẳng a gọi trụ c đối xứng ĐN2 : Phép đối xứng qua đường tha úng a phép biến hình biến ểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường tha

′ ′

= ⇔ = −

��

a o o o

úng a

Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M hình chiếu M đường thẳng a Khi :

∈ =

i Nếu M a Đ (M) M : xem M đối xứng với qua a ( M gọi điểm bất động ) a

′ ′

∉ = ⇔

iM a Đ (M) Ma a đường trung trực củ a MM

a a

Ñ (M) M Ñ (M ) M= ′ ′ = i

a a

Ñ (H) H Đ (H ) H , H ảnh hình H = ′ ′ = ′ i

⇔ =

i

i d

ĐN : d trục đối xứng hình H Đ (H) H

Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định biết trục đối xứng

Chú ý : Một hình khơng có trục đối xứng ,có thể có hay nhiều trục đối xứng

′ ′ ′

⎯⎯→ = =

′ ′

⎧ ⎧ −

≡ ⎨ ≡ ⎨

′ − ′

⎩ ⎩

d

2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y )

x = x x = x

ª d Ox : ª d Oy :

y = y y = y

I

i

3 ĐL : Phép đối xứng trục phép dời hình

1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứ

HQ :

⎯⎯→ ng

Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia

Đoạn thẳng thành đoạn thẳng

Tam giác thành tam giác (Trực tâmI trực tâm , trọn ⎯⎯→ ′ ′ ⎯⎯→

g tâm trọng tâm ) Đường trịn thành đường trịn (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )

(8)

a

PP : Tìm ảnh M = Ñ (M) (d) M , d a

H = d a

H trung điểm MM M ? ′

•

∋ ⊥

∩

′→ ′ ′

∆ ∆

∆

∈ ∆ ≠

′

′ ′ ′ ′

∆ ∋ ∆ → ∆

a

ª PP : Tìm ảnh đường thẳng : = Đ ( ) TH1: ( ) // (a)

Laáy A,B ( ) : A B Tìm ảnh A = Ñ (A) A , // (a)

�

∆

∆ ∩ ∈ ∆ ≠ ′

∆ ≡

a

TH2 : // a Tìm K = a

Lấy P : P K Tìm Q = Đ (P) (KQ)

�

ª PPPPPPPP::::Tìm M ( ) : (MA + MB)∈ ∆ min ∈ ∆

∆

′ ∆

′ ′

∀ ∈ ∆ = ≥

′ ⇔ ′ ∩ ∆

min

min Tìm M ( ) : (MA+ MB)

Loại : A, B nằm phía ( ) : 1) gọi A đối xứng A qua ( )

2) M ( ), MA + MB MA + MB A B Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( ) �

∆

∀ ∈ ∆ ≥

⇔ ∩ ∆

min

Loại : A, B nằm khác phía ( ) : M ( ), MA + MB AB

Ta coù: (MA+MB) = AB M = (AB) ( ) �

B

BBB BABABABÀØØØIIII TATATATẬÄÄÄPPPP

′ ′′

⎯⎯⎯→ĐOx − ⎯⎯⎯→ĐOy − −

1 Trong mpOxy Tìm ảnh M(2;1) đối xứng qua Ox , đối xứng qua Oy HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)

2 Trong mpOxy Tìm ảnh M(a;b) đối xứng qua Oy , đối xứ

I I

′ ′′

⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − −

′ ′′

− − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

′ ′′

− ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

ÑOy Ñ

Ox

Ña Ñb

ng qua Ox HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)

3 Cho đường thẳng (a) : x = , (b) : y + = điểm M( 1;2) Tìm : M M M HD : M( 1;2) M (5;2)

I I

I I −

−

′′ ⎯⎯⎯→ ′ ′ ′ ⎯⎯⎯→ ′′ ′′ ′′ ′

⎧ = −

′ ⎯⎯⎯⎯→ ⎨

′ = ⎩

Ña Ñb

Đa Đb

tđ(m;y) tđ(

M (5; 4) [ vẽ hình ] Cho đường thẳng (a) : x m = (m > 0) , (b) : y + n = (n > 0) Tìm M : M(x;y) M (x ; y ) M (x ; y )

x 2m x HD : M(x;y) M

y y

I I⎯⎯⎯⎯⎯⎯− − → ′′⎧⎨ ′′= −

′′ = − − ⎩

−

′ ′

− ∩ → − → − −

−

2m x; n)

x 2m x M

y 2n y Cho điểm M( 1;2) đường thẳng (a) : x + 2y + =

HD : (d) : 2x y + = , H = d a H( 2;0) , H trung điểm MM M ( 3; 2)

6 Cho điểm M( 4; ⇒ ′ = −

′

∆ − − ∆ ∆

− ≠ i

a a

1) đường thẳng (a) : x + y = M = Đ (M) ( 1; 4) Cho đường thẳng ( ) : 4x y + = , (a) : x y + = Tìm ảnh = Đ ( )

HD :

4

Vì

(9)

∩ −

′

≡ ∈ − −

′

≡ +

i i i

a

a a

HD : a Ox = K( 3;0)

3 M O(0;0) Ox : M = Ñ (M) = ( ; )

5 b KM : 3x + 4y =

9 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y = − ∩

≡ ∈

⎧

∆⎨ → ∆ − =

⊥ ⎩

∩ ∆ → →

≡ −

i i i i i

HD : a Ox = K(3;0) P O(0;0) Ox + Qua O(0;0)

: 3x y + a

3 9

E = a E( ; ) trung điểm OQ Q( ; )

10 10 5

b KQ : 3x + 4y =

1 −

∩ →

∈ ⇒ −

i i

Ox

0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y = Giải :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay) Cách : K= a Ox K(3;0)

P(0;1) a Q = Ñ (P) = (0; ) i b KQ : x 3y = ≡ − −

′

∆ − − − ∆ ∆

∆

′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ → ∈ ∆ ⇒ ∆ ≡

′ ′ ′ ′ ′

∈ ∆ → ∈ ∆ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∋

a

11 Cho đường thẳng ( ) : x 2y + = , (a) : x 2y = Tìm ảnh = Đ ( ) PP : / /a

Cách : Tìm A,B A ,B A B Cách : Tìm A A / / , A

′

∈ ∆ → = = −

′ ′ ′ ′

∆ ∋ ∆ ∆ ⇒ ∆ − − =

′

+ − = −

′ − + =

i i

a

2

a

2

Giải : A(0;1) A Đ (A) (2; 3) A , / / : x 2y

12 Cho đường tròn (C) : (x+3) (y 2) , đường thẳng (a) : 3x y + 1= Tìm (C ) = Đ [(C)] HD : (C ) : (x 3) y

∆ −

∆ ∆

∆ = Ox ∆

13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) C(1;6) Khẳng định sau sai ? A ABC cân B B ABC có trục đối xứng

C ABC Ñ ( ABC) D Trọng tâm : G = ĐOy(G) HD : Choïn D

− ∆ − + + =

∆ −

′

2

14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) Tìm ảnh M, ( ) (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + =

Giaûi : Goïi M , ∆′ ′ ∆

⎧ −

′ ⎨

⊥ ⎩

⊥ → + ∋ − ⇒ ⇒ +

i i

( ) (C ) ảnh M, ( ) (C) qua phép đối xứng trục a Qua M( 3;2)

a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) : a

(10)

′ ′ ′ ′ ′ ′ ⎧ = + ⎪ ′ ∩ ⇒ − ⇒ ⇔ ⎨ ⎪ = + ⎩ ⎧ − = − + ⎪ ⎧ = − ′ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ − − = − ⎩ ⎪ = + ⎩ ′ ∆ ≠ ⇒ ∆ − i

H M M

M M

1

x (x x )

2 + H = (d ) (a ) H ( 2;0 ) H la ø tru n g ñ ie åm c u ûa M ,M H

1

y (y y )

2

2 ( x ) x 1

2

M ( 1; )

1 y

0 (2 y )

2 b ) T ìm a ûn h ( ) :

1

V ì ( ) c a ét (a

1 ⇒ ∆ ∩

⎧ −

⇒ ⎨ ⇔

− ⎩ ) K = ( ) (a )

x + y =

T o a ï ñ o ä c u ûa K la ø n g h ie äm c u ûa h eä : K (2; ) x y + =

≠ ⇒ − − ⎧ − ⎨ ⊥ ⎩ i i i a

Lấy P K Q = Đ [P( 1;3)] = (1; 1) ( Làm tương tự câu a) ) Qua P( 1;3)

Gọi đường thẳng (b) :

a ⊥ → + ∋ − ⇒ − ⇒ + − ∩ ⇒ ⇒ ⇔ ⎧ ⎧ = + = − + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔ ⎪ = + ⎪ = + ⎪ ⎪ ⎩ ⎩

E P Q Q

+ (b) (a) (b) : 2x y + m = Vì (b) P( 1;3) m = (b) : 2x y = + E = (b) (a) E(0;1) E trung điểm P,Q

1

x (x x ) ( x ) x

2

E

1

y (y y ) (3 y )

2 ⎧ = ⎪ ⇒ − ⎨ = − ⎪ ⎩ ⎧ − − ′ ′ ∆ ≡ ⎨ ⇒ ∆ = ⇔ − − = = − − = − ⎩ i �� i Q Q Q(1; 1) y

Qua K(2;2) x y

+ ( ) (KQ) : ( ) : 3x y

1

VTCP : KQ ( 1; 3) (1;3)

{ { − ′ ′ ′ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ′ = = = − + i i i i

Đa Đa

c) + Tìm ảnh tâm I( 3;2) câu a)

Tâm I Tâm I

+ Vì phép đối xứng trục phép dời hình nên (C): (C ) : Tìm I I

R R R

+ Tâm I( 3;2) Vậy : (C)

BK : I I { ⎯⎯⎯→ ′ ⎧⎪ ′ − − = − ⎨ ⎪+ ′ ⎩ ′ → + + − = Ña a 2 2 + Tâm I = Đ [ I( 3; 2)] ( ; )

(C ) 5 5

R =

BK : R = R =

2

(C ) : (x ) (y )

5 I − ∆ − + − = ∆ − − 2

15 Trong mpOxy cho điểm M(3; 5), đường thẳng ( ) : 3x + 2y = 0, đường trịn (C) : (x+1) (y 2) Tìm ảnh M, ( ) (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x y + =

HD :

a) M(3; 5) I⎯⎯⎯→ ′ − − + + = − − ∆ ∩ → ′ ∈ ∆ ≠ − ⇒ ∆ ≡ − + = − Ña a

33 13

M ( ; ),(d) : x 2y 0,tđiểm H( ; )

5 5

4 15 b) + K= (a) K( ; )

7

+ P ( ) : P(2;0) K , Q = Ñ [P(2;0)] = ( 2;2) ( ) (KQ) : x 18y 38 c) + I(1; 2) ⎯⎯⎯Ña→I (′ −9 8; ) , R = R = ′ ⇒(C ) : (x + )′ 2+(y−8)2 =9

5 5

(11)

− ∆ − + − + + = ∆

′ ⎧ = ′

⎯⎯⎯→ ⎨

′ = − ⎩ ÑOx

16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y Tìm ảnh M, ( ) (C) qua phé p đối xứng qua Ox

x x HD : Ta coù : M(x;y) M (

y y

′ ⎧ = ⇒ ⎨

′ = − ⎩ ′

− ⎯⎯⎯→

i ÑOx

x x

1) (2)

y y

Thay vaøo (2) : M(2; 3) M (2;3)

′ ′ ′ ′ ′ ′

∈ ∆ ⇔ − − ⇔ ∈ ∆ − −

′ ′ ′ ′

∈ + − + + = ⇔ + − − + =

′ ′ ′ ′ ′ ′

⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =

i

i 2 2

2 2

M(x;y) ( ) 2x y = M (x ;y ) ( ) : 2x y = M(x;y) (C) : x y 2x 4y x y 2x 4y

(x 1) (y 2) M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) −

′ ′

⎧ = ⎧ =

′

⎯⎯⎯→ ⎨ ⇒⎨

′= − = − ′

⎩ ⎩

′ ′ ′ ′ ′

∈ − ⇔ − − ⇔ + ⇔

Ox ÑOx

17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = Tìm ảnh a qua Đ

x x x x

Giải : Ta có : M(x;y) M

y y y y

Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 2(x ) ( y )+3 = 2x y +3 = M (

I

′ ′ ∈ ′ + ′

⎯⎯⎯→ÑOy +

x ; y ) (a ) : 2x y + = Vaäy : (a)I (a ) : 2x y + =

+ − −

′ ′

⎧ = − ⎧ = − ′

⎯⎯⎯→ ⎨ ⇒⎨

′= = ′

⎩ ⎩

′ ′ ′ ′ ′

∈ + − − ⇔ − + − − ⇔ +

2

Oy ÑOy

2 2 2

18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x y 4y = Tìm ảnh a qua Đ

x x x x

Giải : Ta có : M(x;y) M

y y y y

Vì M(x;y) (C) : x y 4y = ( x ) y 4(y ) = x

I

− −

′ ′ ′ ′

⇔ ∈ + − −

′

⎯⎯⎯→ + − −

2 2

ÑOy 2

y 4y = M (x ; y ) (C ) : x y 4y =

(12)

− − ∆ − + + − − + −

2 a

a

19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y = , ( ) : x 3y 11 = , (C) : x y 10x 4y 27 = a) Viết biểu thức giải tích phép đối xứng trục Đ

b) Tìm ảnh điểm M(4; 1) qua Đ

′ ′

∆ ∆ =

+ ≠

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

⎯⎯⎯→ = − − ⇒ =

′ ⇒

��

a a

2 Ña

c) Tìm ảnh : ( ) = Đ ( ),(C ) Đ (C) Giải

a) Tổng quaùt (a) : Ax + By + C=0 , A B

Goïi M(x;y) M (x ; y ) , ta có : MM (x x; y y) phương VTPT n = (A;B) MM tn x

I

′ ′

′ + +

⎧ − = ⎧ = +

′

⇒ ∀ ∈ ∈

⎨ ′ ⎨ ′

− = = +

⎩ ⎩

′ ′

+ + + + + +

⇔ + + = ⇔ + + =

−

⇔ + = − ⇔ =

ℝ

2

x x y y x At x x At

( t ) Gọi I trung điểm MM neân I( ; ) (a)

y y Bt y y Bt 2

x x y y x x At y y Bt

A( ) B( ) C A( ) B( ) C

2 2

2(Ax + By + C) (A B )t 2(Ax + By + C) t

A + ⎧

⎪

′ ′

⇒⎨ = − = −

⎪

⎩ + +

⎧ − − ⎧

′= − ′= − + +

⎪ ⎪

⇔

⎨ ⎨

− −

⎪ ′= + ⎪ ′= + −

⎪ ⎪

⎩ ⎩

′

− ⎯⎯⎯→ −

2

2 2

Ña

B 2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)

x x ; y y

A B A B

4(2x y 3) 12

x x x x y

5 5

Áp dụng kết ta coù :

2(2x y 3)

y y y y y

5 5

4 b) M(4; 1) M ( ;

5

I

′

∆ ⎯⎯⎯→ ∆ + − = ′

⎯⎯⎯→ − + − =

Ña

Ña 2 2

) c) : 3x y 17

d) (C) (C ) : (x 1) (y 4)

I I

20 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : x 5y = ( ) : 5x y 13 = Tìm phép đối xứng qua trục biến ( ) thành ( )

′

∆ − + ∆ − −

′

∆ ∆

Giải

Vì ( ) ( ) cắt Do trục đối xứng (a) phép đối xứng biến ( ) thành ( )

5

đường phân giác góc tạo ( ) ( ) −

′ ′

≠ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆

−

′

(13)

1

Từ suy (a) :

x y (a ) 25 25 +

Vậy có phép đối xứng qua trục ( ) : x y , ( ) : x y

= ⇔ ⎢

− − =

+ ⎣

∆ + − = ∆ − − =

∈ a 21 Qua phép đối xứng trục Đ :

Những tam giác biến thành ? Những đường trịn biến thành ? HD :

Tam giác có đỉnh trục a , hai đỉnh lại đ ∈

− + − =

′

→ + + −

2

ối xứng qua trục a Đường trịn có tâm a

22 Tìm ảnh đường tròn (C) : (x 1) (y 2) qua phép đối xứng trục Oy PP : Dùng biểu thức toạ độ ĐS : (C ) : (x 1) (y =

′ ′ ′

∆ ∆

′ ′ ′

− −

2 )

23 Hai ABC A B C nằm mặt phẳng toạ độ đối xứng qua trục Oy Biết A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) Hãy tìm toạ độ đỉnh A , B C

′ ′ −

ĐS : A (1;5), B (4;6) C( 3;1)

24 Xét hình vng , ngũ giác lục giác Cho biết số trục đối xứng tương ứng loại đa giác cách vẽ trục đối xứng

i i ĐS :

Hình vng có trục đối xứng , đường thẳng qua đỉnh đối diện đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối diện

Ngũ giác co i

ù trục đối xứng ,đó đường thẳng qua đỉnh đối diện tâm ngũ giác Lục giác có trục đối xứng , đường thẳng qua đỉnh đối diện đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối diện

′ ∆

′

d

25 Gọi d phân giác A ABC , B ảnh B qua phép đ ối xứng trục Đ Khẳng định sau sai ?

A Nếu AB < AC B cạnh AC ′

′ ≡ ′

′ d ′ ∈

B B trung điểm cạnh AC

C Nếu AB = AC B C D Nếu B trung điểm cạnh AC AC = 2AB ĐS : Nếu B = Đ (B) B AC

′ ′ ⇒ ′

′ ′ ⇒ ′≡

i i i

A Vì AB < AC mà AB = AB nên A B < AC B cạnh AC

B sai Vì giả thiết tốn khơ ng đủ khẳng định AB = AC C Vì AB = AB mà AB = AC nên A B = AC B C

′ ′ ′

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ i

a b

Ña Ñb

D Vì Nếu B trung điểm cạ nh AC AC=2AB mà AB =AB nên AC=2AB 26 Cho đường thẳng a b cắt O Xét phép đối xứng trục Đ Đ : AI BI C

∈ ∆ ∆

Khẳng định sau khơng sai ? A A,B,C đường trịn (O, R = OC)

B Tứ giác OABC nội tiếp

C ABC cân B D ABC vuông B

⇒

⇒ ⇒ ⇒ ∈

i i

1

(14)

∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

27 Cho ABC có hai trục đối xứng Khẳng định sau ?

A ABC vuông B ABC vuông cân C ABC D ABC cân ∆

⎧

⇒⎨ ⇒ = = ⇒ ∆

⎩

HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng AC BC AB = AC

AB AB BC ABC BC = BA

� � �

� � � � � � � �

∆ = ∆

= = = =

o

o o o o o o o

28 Cho ABC có A 110 Tính B C để ABC có trục đối xứng

A B = 50 vaø C 20 B B = 45 vaø C 25 C B = 40 vaø C 30 D B = C 35 �

� � �

o o

o o o

o

HD : Chọn D Vì : ABC có trục đối xứng ABC cân Vì A 110 90 ABC cân A , :

180 A 180 110

B C 35

2

∆ ∆

= > ⇒ ∆

− −

= = = =

29 Trong hình sau , hình có nhiều trục đối xứng ?

A Hình chữ nhật B Hình vng C Hình thoi D Hình thang cân ĐS : Chọn B Vì : Hình vng có trục đối xứng

30 Trong hình sau , hình có trục đối xứng ?

A Hình chữ nhật B Hình vng C Hình thoi D Hình thang cân ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có trục đối xứng

∆ ∆

31 Trong hình sau , hình có trục đối xứng ?

A Hình thoi B Hình vuông C D vuông cân ∆

ĐS : Chọn C Vì : có trục đối xứng

32 Trong hình sau , hình có nhiều trục đối xứng ?

A Hình vng B Hình thoi C Hình trịn D Hình thang cân ĐS : Chọn C Vì : Hình trịn có vơ số trục đối xứng

33 Trong hình sau , hình khơng có trục đối xứng ?

A Hình bình hành B C cân D Hình thoi ∆ ∆ ĐS : Chọn A Vì : Hình bình hành khơng có trục đối xứng

34 Cho hai hình vuô ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′

∩

ng ABCD AB C D có cạnh a có đỉnh A chung

Chứng minh : Có thể thực phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thànhø AB C D HD : Gỉa sử : BC B C = E

� � ′ = ′=

′ ⎧

′ ′

⇒ ∆ ∆ ⇒⎨ ⇒ ⎯⎯⎯→

′ ⎩

�

ĐAE Ta có : AB = AB , B B 90 ,AE chung

EB = EB

ABE = AB F B B

bieát AB = AB I

� � �

′ ⎧

′

⇒ ⎯⎯⎯→

⎨

′ ⎩

′

′ ′ = = −

′ ′ ′ ′

⇒ ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯→

� ÑAE

ÑA ÑAE

EC = EC

Mặt khác : C C

AC = AC = a

BAB Ngoài : AD = AD D AE DAE 90

2

D D ABCD AB C D

I

(15)

35 Gọi H trực tâm ABC CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có đường trịn ngoại tiếp

∆

� � �

� � ⊥ ⇒� �

⇒ ∆ ⇒

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

1

1 1

ÑBC ÑBC

HD :

Ta coù : A = C (cùng chắn cung BK )

A = C (góc có cạnh tương ứng ) C = C CHK cân K đối xứng với H qua BC Xét phép đối xứng trục BC

Ta coù : K I H ; B I B ; ⎯⎯⎯→

∆ ⎯⎯⎯→ ∆

ÑBC ÑBC

C C

Vậy : Đường tròn ngoại tiếp KBC Đường tròn ngoại tiếp HBC

I I

∆ ∆

′ ∆

a

36 Cho ABC đường thẳng a qua đỉnh A không qua B,C a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đ

b) Gọi G trọng tâm ABC , Xác định G ảnh G qua phép đối xứng Đa a

a a

a Giải

a) Vì a trục phép đối xứng Đ nên : A a A Đ (A)

B,C a nên Đ : B B ,C C cho a trung trực BB ,CC b) Vì G a nên Đ : G G cho a trung trực

∈ ⇒ =

′ ′ ′ ′

∉ ⎯⎯→ ⎯⎯→

′

∉ ⎯⎯→

i

i I I

I cuûa GG ′

′ ⎯⎯→ ′

∀ ∈

37 Cho đường thẳng a hai điểm A,B nằm phía a Tìm đường thẳng a điểm M cho MA+MB ngắn

Giải : Xét phép đối xứng Đ : Aa A M a MA = MA Ta c

I

′ ≥ ′

′

ó : MA + MB = MA + MB A B Để MA + MB ngắn chọn M,A,B thẳng hàng

Vậy : M giao điểm a A B

∆

38 (SGK-P13)) Cho góc nhọn xOy M điểm bên góc Hãy tìm điểm A Ox điểm B Oy cho MBA có chu vi nhỏ Giải

Gọi N = ĐOx(M) P = ĐOx(M) Khi ≥ ≥

: AM=AN , BM=BP Từ : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP

( đường gấp khúc đường thẳng )

(16)

∆

39 Cho ABC cân A với đường cao AH Biết A H cố định Tìm tập hợp điểm C trường hợp sau :

a) B di động đường thẳng b) B di động đường trò

′ ′

∈ ∆ ∈ ∆ ∆ ∆

′ ∆ n tâm I, bán kính R Giải

a) Vì : C = ĐAH(B) , mà B nên C với = ĐAH( ) Vậy : Tập hợp điểm C đường thẳng

b) Tương tự : Tập hợp điểm C đường tròn tâm J , bán kính R ảnh đường trịn (I) qua ĐAH

Va Va Va

Vấááánnnn đđđđeeeềààà 4444:::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP ĐĐĐĐOOỐÁÁÁIIII XO XXXỨỨỨỨNGNGNGNG TATATATÂÂÂÂMMMM

′

1 ĐN : Phép đối xứng tâm I phép dời hình biến điểm M thàn h điểm M đối xứng với M qua I Phép đối xứng qua điểm g ọi phép đối tâm

Điểm I gọi tâm của phép đối xứng hay đơn gi ản tâm đối xứng Kí hiệu : Đ (M) MI = ′⇔IM��′= −IM ��

′

≡ ≡

′ ′

≠ = ⇔

⇔ =

i i i

Nếu M I M I

Nếu M I M Đ (M)I I trung trực MM ĐN :Điểm I tâm đối xứng hình H Đ (H) H.I Chú ý : Một hình khơng có tâm đối xứng

′ ′ ′

⎯⎯⎯→ = =

′

⎧ −

⎪ ⎨

′ = − ⎪

⎩

I

Ñ

2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ; y ) phép đối xứng tâm I : M(x;y)o o M Đ (M) (x ;y ) I x = 2xo x

y 2yo y Tính chaát :

Phép đối xứng tâm bảo tồn khoảng cách giư

I

õa hai điểm Biến tia thành tia

Bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến góc thành góc có

→ →

số đo

Biến tam giác thành tam giác ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) ′ ′

⎯⎯→

Đường tròn thành đường trịn ( Tâm biến thành tâm : II I , R = R ) B

BBB BABABABÀØØØIIII TATATATẬÄÄÄPPPP

′

− ⇒

1 Tìm ảnh điểm sau qua phép đối xứng tâm I :

1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1) ′

− ⇒ −

2) B(3;1) , I( 1;2) B ( 5;3) 3) C(2;4) , I(3;1) ⇒ C (4; 2) ′ −

{ {

Giaûi :

x x

a) Gỉa sử : A Đ (A)I IA IA (x 1; y 2) ( 3;1) A (4;1)

y y

Cách : Dùng biểu thức toạ độ

′− = ′=

′= ⇔ = − ⇔ ′− ′− = − − ⇔ ⇔ ⇒ ′

′− = − ′= ≠

(17)

′

∆ + + = − ⇒ ∆ + − =

∆

1) ( ) : x 2y 0,I(2; 1) ( ) : x 2y

2) ( ) − − = ⇒ ∆′ − + =

∆ + − = −

: x 2y 0,I(1; 0) ( ) : x 2y 3) ( ) : 3x 2y 0,I(2; 3) ⇒ ∆( ) : 3x 2y 0′ + + =

′ ′ ′

∆ ∆ ∆ ∆ → ∆

′ ′ ′ ′

∈ ∆ ∈ ∆ ⇒

Giaûi

PP : Có cách

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

Cách : Xác định dạng // , dùng cơng thức tính khoảng cách d( ; ) Cách : Lấy A,B , tìm ảnh A ,B ∆ ≡ ′ ′

′ ′

⎧ = − ⎧ = −

′

⎯⎯⎯→ ⎨ ⇒⎨

′= − − = − − ′

⎩ ⎩

I

A B

Ñ x 4 x x 4 x

1) Cách 1: Ta có : M(x;y) M

y y y y

I

′ ′ ′ ′

∈ ∆ ⇔ + + = ⇔ − + − − + = ⇔ + − =

′ ′ ′ ′

⇔ ∈ ∆ + − =

′

∆ ⎯⎯⎯→ ∆ + − =

′ ′

∆ ∆ ⇒ ∆ ∆

I

Vì M(x;y) x 2y (4 x ) 2( y ) x 2y M (x ;y ) : x 2y

Đ

Vậy : ( ) ( ) : x 2y Cách : Gọi = Đ ( )I song song

I

′

⇒ ∆ ≠

⎡ = ′

∆ ∆ ⇔ = ⇔ = − ⇔ ⎢

= − ⎣

+ +

: x + 2y + m = (m 5)

|5| | m | m (loại)

Theo đề : d(I; ) = d(I; ) | m |

m

2 2

1 2

→ ∆′ + − =

′ ′ ′ ′ ′

− − − ∈ ∆ ⇒ − ⇒ ∆ ≡ + − =

( ) : x 2y Cách : Lấy : A( 5;0),B( 1; 2) A (9; 2),B (5;0) A B : x 2y

′

+ − = ⇒ − + =

3 Tìm ảnh đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I :

2 2

1) (C) : x (y 2) 1,E(2;1) (C ) : (x 4) y

2) (C) : x + + + = ⇒ ′ + − − + =

− + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

2 2

y 4x 2y 0,F(1; 0) (C ) : x y 8x 2y 12 đ / nghiã hay biểu thức toạ độ

2

3) (P) : y = 2x x , taâm O(0;0) ′ − − −

′ ′ ⎯⎯⎯E→ = =

2

(P ) : y = 2x x HD : a) Co ù2 cách giải :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ Đ

Cách : Tìm tâm I I ,R R (đa õcho) b) Tương tự

4 Cho hai điểm A B Cho biết phép biến đổi M thàn

I

′ ′

h M cho AMBM hình bình hành

⎧ ′

⎪ =

′ ⇔ ⎨

′ = ⎪ ⎩

′= + ′= +

= − ′

⇒ =

��

HD :

MA BM Neáu AMBM hình bình hành

MB AM Vì : MM MA AM MA MB (1)

Gọi I trung điểm AB Ta có : IA IB Từ (1) MM MI+ + + ⇒ ′=

′ ′

⇔ = ⇔ =

�� IA MI IB MM 2MI MI IM M Ñ (M) I

5 Cho ba đường tròn (I ; R),(I ; R),(I ; R) đôi tiếp1 2 3 xúc A,B,C Gỉa sử M điểm

⎯⎯⎯A→ ⎯⎯⎯B→ ⎯⎯⎯C→ ⎯⎯⎯I1→

(I ; R) , : 1 Đ

Ñ

Ñ Ñ

(18)

•

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯→ ⇔ = −

��

A A A

HD :

Do (I ; R) tiếp xúc với (I ; R) A , nên : 1 2

Ñ Ñ Ñ

MI N ; I1I I 2 MI1I NI2 MI1 NI (1)2 •

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯→ ⇔ = −

•

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯ →

��

B B B

C C C

Do (I ; R) tiếp xúc với (I ; R) B , nên : 2 3

Ñ Ñ Ñ

N P ; I2 I 3 NI2 PI3 NI2 PI (2)3 Do (I ; R) tiếp xúc với (I ; R) C , nên : 3 1

Ñ Ñ Ñ

P Q ; I3 I 1 PI3

I I I

I I I ⎯⎯ ⇔ = −

= − ⇔ =

∆

��

1

QI1 PI3 QI (3)1 Từ (1),(2),(3) suy : MI1 QI1 M Đ (Q) I

5 Cho ABC tam giác vuông A Kẻ đường cao AH Vẽ phía

{ }

ngồi tam giác hai hình vng ABDE ACFG

a) Chứng minh tập hợp điểm B,C,F,G,E,D co ùmột trục đối xứng b) Gọi K trung điểm EG Ch ứng minh K đường thẳn

∩

⊥ ⊥

g AH c) Gọi P = DE FG Chứng minh P đường thẳng AH

d) Chứng minh : CD BP, BF CP e) Chứng minh : AH,CD,BF đồng qui

�= �=

• ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→

� �

DF DF DF DF

DF HD :

a) Do : BAD 45 CAF 45 nên ba điểm D,A,F thẳng hàng

Đ Đ Đ Đ

Ta coù : A A ; D D ; F F ; C G ;

Ñ

B E (Tính chất hình vuông ) Vaäy : Taäp

l l l l

l

{ }

� �

∆ ∆ =

= ∆

hợp điểm B,C,F,G,E,D co ù trục đối xứng đường thẳng DAF b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ABC = AEG nên BAC AEG

Nhưng : BCA AGE ( đối xứng = )

AGE�= �A (do KAG cân K) Suy : A2 ∆ �1=A �2 ⇒K,A,H thẳng hàng ⇒K AH c) Tứ giác AFPG hình chữ nhật nên : A,K,P thẳng hàng (Hơn K trung điểm AP )

� �

• ∆ ∆

⎧ ⎪

• ⎨ ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ =

⎪ ⎩

⊥ ⇒

Vậy : P PH

d) Do EDC = DBP neân DC = BP DC = BP

Ta coù : DB = AB BDC ABP CD BP BCD APB hai góc có cặp BC = AP

cạnh : BC AP cặp cạnh coø ⊥ ⊥

∆ ∆

n lại : DC BP Lý luận tương tự , ta có : BF CP

(19)

= ��

� 2AB

A B

a) CMR : ĐB ĐA T b) Xác định ĐA Đ B

HD : a) Gọi M điểm , ta có : M

�

′ ′

⎯⎯⎯→ =

′⎯⎯⎯→ ′′ = ′′ ′′ ∀

��

� A

B Ñ

M : MA AM Ñ

M M : MB BM Nghóa : M = ĐB Đ (M), M ( 1)A

I I

′′ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ′′= ′+ ′ ′′

′= ′ ′′= ′

′′= + ′ = + ′ +

=

� ��

��

B A Ñ Ñ

Ta chứng minh : M M : Biết : MM MM M M

Maø : MM 2MA vaø M M 2M B

Vaäy : MM 2MA 2M B 2MA 2M A 2AB Vì : MA

I

�

′ + ′ = ′′= ⇔ ′′= �� ∀

��

2AB

AM neân MA M A Suy : MM 2AB M T (M), M (2) =

= ��

��

� 2AB

2 BA Từ (1) (2) , suy : ĐB ĐA T b) Chứng minh tương tự : ĐA ĐB T

7 Chứng minh hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với (H) có tâm đối xứng

HD : Dùng hình thoi

Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với

� �

= =

∈

∩ =

Lấy điểm M thuộc (H) M1 Đ (M) , Ma 2 Đ (M ) Khi , theob 1 định nghĩa M ,M1 2 (H)

Goïi O = a b , ta coù : OM = OM vaø MOM1 1 AOM 1 OM = OM vaø M1 2 � �

� � � �

�

=

+ =

= × =

= ∀ ∈ ∈ ⇔

� �

OM 2M OB

1

Suy : OM = OM vaø MOM2 1 M OM1 2 2(AOM +M OB)1 1 hay MOM1 90 180

Vậy : O trung điểm M M 2

Do : M2 Đ (M), M (H),MO 2 (H) O tâm đối xứng (H)

8 Cho � �

� � � �

∆ = ∆

= = = =

⎯⎯⎯→ ⇒

�

� �

N

ABC có AM CN trung tuyến CMR : Nếu BAM BCN = 30 ABC HD :

Tứ giác ACMN có NAM NCM 30 nên nội tiếp đtrịn tâm O, bkính R=AC MON 2NAM 60 Đ

Xeùt : AI B (O)I

�

⎯⎯⎯→ ∈ ∈

⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯→ ∈ ∈

⎧ = =

⎪

⇒ ∆ ⎨

= ⎪

⎩

+ = + = =

� N

M M

Ñ

(O ) B (O ) A (O) 1 1

Ñ Ñ

C B (O) (O ) B (O ) C (O) 2 2 OO1 OO2 2R

Khi , ta có : OO O tam giác đề u 1 2 MON 60

Vì O B O B R R1 2 2R O O nên B trung điể1 2

I I

∆ ∆ ∆

∆ ∆

≃

(20)

Va Va

VaVaáááánnnn đđđđeeeềààà 5555:::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP QUAYQUAYQUAYQUAY A.

A.

A.A KIEKIEKIEKIẾÁÁÁNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCCCC CCCCƠƠƠƠ BABABABẢÛÛÛNNNN

ϕ

′ ′ ′ ϕ

1 ĐN : Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng giác Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho OM = OM ( OM;OM ) = gọi phép quay tâm O với

ϕ

ϕ i

i

Phép quay hoàn toàn xác định biết tâm góc quay Kí hiệu : Q .O

goùc quay

≡

π ≡ ∀ ∈

i ℤ

i

Chú ý : Chiều dương phép quay chiều dương đường tròn lựơng gi ác 2k

Q phép đồng , k (2k+1)

Q phép đối xứng tâm I , k Tính chất :

ĐL : Phép quay i

phép dời hình HQ :

1.Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng

Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia

Đoạn thẳng thành đoạn thẳng

ϕ

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

′ ′ ⎯⎯⎯⎯⎯(O ; )→

Q Q

5 Tam giác thành tam giác (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) Q

6 Đường tròn thành đường trịn ( Tâm biến thành tâm : I I , R

I I

I = R )

7 Góc thành góc B.

B.B.B BABABABÀØØØIIII TATATATẬÄÄÄPPPP

ϕ

⎧ α

α ⎨

α ⎩

′ ′ ⎯⎯⎯⎯⎯(O ; )→

/

1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) Tìm M = Q(O ; )(M) HD :

x = rcos Gọi M(x;y) Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = M

y = rsin

Q / /

Vì : MI M Gọi M (x ;y ) đo α ϕ

′ α ϕ α ϕ − α ϕ = ϕ − ϕ

′ α ϕ α ϕ + α ϕ = ϕ + ϕ

′ ϕ − ϕ

′ ϕ + ϕ

/ /

ä daøi OM = r vaø (Ox;OM ) = + Ta coù :

x = rcos( + ) = acos cos asin sin x cos y sin y = rsin( + ) = asin cos a cos sin x sin y cos

x = x cos y sin /

Vaäy : M

y = x sin y cos ⎧

⎨ ⎩

−ϕ

ϕ

−ϕ

′′

⎧ ϕ + ϕ

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎨

′′ − ϕ + ϕ

⎩ ′

⎧ − − ϕ − − ϕ

⎪

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎨

′ − − ϕ + − ϕ

⎪ ⎩

⎯⎯ →

(O ; )

(I ; ) o o (I ; )

o o Đặc biệt :

Q / / x = x cos y sin

M M

y = x sin y cos

Q / x x = (x x ) coso o (y y )sin o

M M

y y = (x x )sin (y y ) cos

I(x ;y ) o o o

Q M

I(x ;y )

I I I

� �

� ⎯⎯⎯ ⎧⎪⎨ ′′− − ϕ − − ϕ

′′ − − − ϕ + − ϕ

⎪ ⎩

x x = (x x ) cos (y y )sin

/ / o o o

M

(21)

− ⎯⎯⎯⎯⎯→

�

� (O ; 45 )

(O;45 )

2 a) Điểm M(2;2) b) Đường tròn (C) : (x 1) + y =

Q

/ / /

Giải Gọi : M(x;y) I M (x ;y ) Ta coù : OM = 2, (Ox; OM) α ⎧ ′

⎪ α = α − α = −

⎨ ′

⎪ α = α + α = +

⎩

� � � � �

= x = rcos( +45 ) r cos cos 45 r sin sin 45 x.cos 45 y.sin 45 /

Thì M

y = rsin( +45 ) r sin cos 45 r cos sin 45 y.cos 45 x.sin 45 ⎧

′ −

⎪ ⎪

⇒ ⎨

⎪ ′ +

⎪ ⎩

2

x = x y

/ 2

M

2

y = x y

2

⎯⎯⎯⎯⎯→

⎧ ⎪ ⎧

′ ⎯⎯⎯⎯⎯→

⎨ ⎨

′

⎩ ⎪⎩

′

⎯⎯⎯⎯⎯→ − −

�

i i

(O ; 45 )

(O ; 45 ) Q

/

a) A(2;2) A (0 ;2 2) Q

/ Taâm I(1;0) Tâm I ?

b) Vì (C) : (C ) :

Bk : R = Bk : R = R = 2 Q

2 2

/ 2

I(1;0) I ( ; ) Vaäy : (C ) : (x ) + (y ) =

2 2

I

⎧

′ −

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ′ +

⎪ ⎩

1

x = x y

2

3 Trong mpOxy cho pheùp biến hình f : Hỏi f phép ?

3

y = x y

2

⎧ π π

′ −

⎪ ⎪ ′ ′ ′

⎯⎯→ ⎨ ⇒ π

π π

⎪ ′ +

⎪ ⎩ Giaûi

x = x cos y sin

3

Ta có f : M (x; y) M (x ;y ) với f phép quay Q (O; )

y = x sin y cos 3

3

(22)

4 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x y+1= Tìm ảnh đường thẳng qua : a) Phép đối xứng tâm I(1; 2) b) Phép quay Q

(O;90 ) Giải

a) Ta có : M (x ;y ) = Đ (M) biểu thức I

∆ −

− ′ ′ ′

�

x x x x

tọa độ M

y y y y

Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 2(2 x ) ( y) 2x y M (x ;y ) ( ) : 2x y

′ ′ ⎧ = − ⎧ = − ′⎨ ⇔⎨ ′= − − = − − ′ ⎩ ⎩ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ − ⇔ − − − − + = ⇔ − + + = ′ ′ ′ ′ ⇔ ∈ ∆ − − = I (O;90 ) Đ

Vậy : ( ) ( ) : 2x y Q

b) Cách : Gọi M(x;y) M (x ;y ) Đặt (Ox ; OM) = , OM = r , Ta coù (Ox ; OM ) = + 90 ,OM r

x = rcos Khi : M

y ′ ∆ ⎯⎯⎯→ ∆ − − = ′ ′ ′ ⎯⎯⎯⎯⎯→ α ′ α ′= α � � I I (O;90 ) ( Q

x r cos( 90 ) r sin y x y M

= rsin y r sin( 90 ) rcos x y x

Vì M(x;y) ( ) : 2(y ) ( x ) + = x 2y + = M (x ;y ) ( ) : x 2y Q

Vaäy : ( )

⎧ ′ ′ ⎪ ⎧ = α + = − α = − ⎧ = ′ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⇒ ⎨ ⎨ ⎨ ′ α = − ⎩ ⎪⎩ ′ = α + = α = ⎩ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ − − ⇔ + ⇔ ∈ ∆ + + = ∆ � � � I

I⎯⎯⎯⎯⎯O;90 )→ ∆( ) : x 2y 0′ + + = � ′ ′ • ∈ ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ − ∈ ∆ − ′ ′ • − ∈ ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ∈ ∆ ′ ′ ′ • ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ∆ ≡ + + = � � � (O;90 ) (O;90 ) (O;90 ) Q

Cách : Lấy : M(0;1) ( ) M ( 1; 0) ( ) Q

1

N( ;0) ( ) N (0; ) ( )

2

Q

( ) ( ) M N : x 2y

I I I ′ ′ • ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ∆ ⇒ ∆ ⊥ ∆ ∆ = ⇒ ∆′ = − ′ ′ • ∈ ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ∈ ∆ ′ ⎧ ⎪ ′ ′ • ∆ ⎨ ⇒ ∆ − ⎪ ⎩ � � i i (O;90 ) (O;90 ) Q Cách : Vì ( ) ( ) ( ) ( ) mà hệ số goùc : k k

2 Q

M(0;1) ( ) M (1; 0) ( ) Qua M (1; 0)

( ) : ( ) hsg ; k =

2

I I

+ + = : x 2y

′

5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) Hãy tìm toạ độ điểm A ảnh o

A qua phép quay tâm O góc 90 HD :

Gọi B(3;0),C(0;4) hình chiếu A lên trục Ox,

′ ′ ′

′ ′ − ′ −

Oy Pheùp o

quay tâm O góc 90 biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OC A B Khi : C (0;3),B ( 4;0) Suy : A ( 4;3)

− ⎧ ⎪ = = = − = ⇒ ⎨ = ⇒ ⊥ ⎪ ⎩ ⇒ ��

6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Tìm phép quay Q biến điểm A( 1;5) thành điểm B(5;1)

OA OB 26 HD : Ta coù : OA ( 1;5) vaø OB (5;1)

OA.OB OA OB B = Q

(23)

⇒ = ⇒ ⇔ ⇔ −

= ⇒ + = + =

�

��

(O ; 90 ) HD :

Vì N = Q (M) (OM;ON) 90 OM.ON = 4x+y = y= 4x (1) (O ; 90 )

2

Do : OM ON x y 16 17 (2)

Giải (1) − −

= � −

(2) , ta coù : N(1; 4) hay N( 1; 4)

Thử lại : Điều kiện (OM;ON) 90 ta thấy N( 1; 4) thoả mãn �

−

∈ ∈ =

− ⎧ = >

+ = ⇒

⎨

= =

⎩

� �

8 a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) Tìm B = Q (A) (O ; 45 ) HD : Phép quay Q biến điểm A Oy thành điểm B đt : y x,ta có :

(O ; 45 )

xB yB 2 2

Maø OB = xB yB x

OA OB = ⇒

− +

⎯⎯→ o

3 3

B( ; ) B

2 2

4 3 b) Cho A(4;3) Tìm B = Q (A) B ( ; )

(O;60 ) 2

′

− + − =

′ ′

= − ⇒ + + − =

′

− + − =

� �

2

9 Cho đường tròn (C) : (x 3) (y 2) Tìm (C ) = Q (C) (O ; 90 )

2

HD : Tìm ảnh tâm I : Q (I) I ( 2;3) (C ) : (x 2) (y 3) (O ; 90 )

2

10 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 3) Tìm (C ) =

′ ′

= − ⇒ + + − =

� �

Q (C)

(O ; 60 )

2

HD : Tìm ảnh tâm I : Q (I) I ( 2;2 3) (C ) : (x 2) (y 3) (O ; 60 )

′

− + − =

′ ′

= − + ⇒ − + + − − =

� �

2

11 Cho đường trịn (C) : (x 2) (y 2) Tìm (C ) = Q (C) (O ; 45 )

2

HD : Tìm ảnh taâm I : Q (I) I (1 2;1 2) (C ) : (x 2) (y 2) (O ; 45 )

−

∈

�

12 [CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) đường thẳng (d) : x + y = Tìm ảnh A (d) qua phép quay Q

(O ; 90 ) HD :

Ta coù : A(2;0) Ox Goïi B = Q ( (O ; 90 )

� ∈

− ∈

−

⇒ + = ⇔ +

−

� �

�

A) B Oy OA = OB Vì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y = nên A,B (d)

Do B = Q (A) tương tự Q (A) = C( 2;0) (O ; 90 ) (O ; 90 )

x y x y

neân Q (d) = BC (BC) :

(O ; 90 ) xC yC 2

�

= ⇔1 x y 2− + =0

− − ∆ ⇒ ∆ + − =

+ − ∆

′ ′

∩ ∩ ⎯⎯⎯→ −

⇒ ∆ −

� �

13 Cho (d) : x 3y = Tìm = Q (d) ( ) : 3x y (O ; 90 )

14 Cho (d) : 2x y = Tìm = Q (d) (O ; 60 )

1 aûnh

HD : d Ox = A(1;0) , d Oy = B(0;2) A ( ; ),B ( 3;1) 2

(24)

∆

�

15 Cho tam giác ABC có tâm O phép quay Q (O; 120 ) a) Xác định ảnh đỉnh A,B,C

b) Tìm ảnh ABC qua phép quay Q

(O;120 )

� =�=� = ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

∆ ⎯⎯→ ∆

� �

� Giải

a) Vì OA = OB = OC vaø AOC BOC COA 120 neân Q : A B,B C,C A (O;120 )

b) Q : ABC ABC

(O; 120 )

I I I

16 [CB-P19] Cho hình vuông ABCD tâm O a) Tìm ảnh điểm C qua pheùp quay Q

(A ; 90 ) b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay Q

(O ; 90 ) HD : a) Goïi E = Q (C) AE=AC va

(A ; 90 )

�

� ø CAE 90 nên AEC� vng cân đỉnh A , có đường cao AD Do : D trung điểm EC b) Ta có : Q (B) C Q (B) C Q (BC) CD

(O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 )

= ∆

= = ⇒ =

� � �

�

∆

′

= =

�

� �

17 Cho hình vuông ABCD tâm O M trung điểm AB , N trung điểm OA Tìm ảnh AMN qua phép quay Q

(O;90 )

HD : Q (A) D , Q (M) M trung điểm A (O;90 ) (O;90 )

�

′ ′ ′

= ∆ = ∆

� �

D

Q (N) N trung điểm OD Do : Q ( AMN) DM N

(O;90 ) (O;90 )

∆

18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác ABCDEF , O tâm đường trịn ngoại tiếp Tìm ảnh OAB qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O

= = =

��

�

� � �

��

�

� OE

OE (O;60 )

(O;60 ) (O;60 ) (O;60 )

OE OE OE

, góc 60 phép tịnh tiến T

HD :

Gọi F = T Q Xét :

Q (O) O,Q (A) B,Q (B) C T (O) E,T (B) O,T (C) D

Vaäy : F(O) = E , F(A) = O , �

�

� F(B) = D ⇒F( OAB) = EOD∆ ∆

∆ �

19 Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương , O tâm đường trịn ngoại tiếp I trung điểm AB

a) Tìm ảnh AIF qua phép quay Q (O ; 120 ) b) Tìm ả ∆

∆ = ∆

�

� �

nh cuûa AOF qua pheùp quay Q (E ; 60 ) HD :

a) Q biến F,A,B thành B,C,D , trung điểm I (O ; 120 )

thành trung điểm J CD nên Q ( AIF) CJB (O ; 120 )

b) Q bieán �

(25)

BCF Gọi M N tương ứng hai trung điểm AF CE Chứng minh : BMN tam giác HD :

Xét phép quay Q Ta có : Q (A) E , Q (F) C (B; 60 ) (B; 60 ) (B; 60 )

Q (AF) EC (B; 60 )

Do M trung điểm AF , N trung điểm EC , nên :

Q (M) N BM

(B; 60 )

= =

− − −

⇒ =

−

= ⇒

−

� � �

�

� = BN MBN 60�= �⇒ ∆BMN tam giác

∆

21 [ CB-1.17 ] Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Điểm A chạy nửa đường trịn Dựng phía ngồi ABC hình vuo âng ABEF Chứng minh : E chạy

nửa đ

′ �

� ường cố định

HD : Gọi E = Q (A) Khi A chạy nửa đường tròn (O) , (B;90 )

E chạy nửa đường tròn (O ) = Q [(O)] (B;90 ) ∆

∆

′ ∆

�

22 Cho đường (O;R) đường thẳng không cắt đường tròn Hãy dựng ảnh ( ) qua phép quay Q

(O ; 30 ) Giải

Từ O hạ đường vng góc OH với Dựng điểm H cho

(OH ′ ′ ′

′ ∆

�

;OH ) = 30 OH = OH Dựng đường tròn qua điểm O,H,H ; đường tròn cắt điểm L Khi LH đường thẳng phải dựng

�

∆

∆ ⇒ = = �

23 Cho đường thẳng d điểm O cố định không thuộc d , M điểm di động d Hãy tìm tập hợp điểm N cho OMN Giải : OMN OM ON NOM 60 Vì M chạ

′ ′′

− �

� i

i

y d : N chạy d ảnh d qua phép quay Q

(O;60 ) N chạy d ảnh d qua phép quay Q

(O; 60 ) ′

′ ′ ′ ′

24 Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt A B Từ điểm I cố định kẻ cát tuyến di động IMN với (O) , MB NB cắt (O ) M N Chứng minh đường thẳng ′

′ ϕ ′

′ ′ ′ ′ ′

M N luoân qua điểm cố định

Giải

Xét phép quay tâm A , góc quay (AO; AO ) = biến (O) thành (O ) Vì MM NN qua B nên (AO;AO ) = (AM;AM ) = (AN;AN ) Qua pheùp quay Q : MI

ϕ

′ ′

⎯⎯→ ⎯⎯→

′ ′ ⎯⎯⎯⎯→

′ ′

′ ϕ

(A; )

M , N N Q

MN M N

Đường thẳng MN qua điểm cố định I nên đường thẳng M N qua điểm cố định I ảnh I qua Q(A; )

(26)

∆

− ∆

=

� 25 Cho hai hình vuông ABCD BEFG

a) Tìm ảnh ABG phép quay Q (B; 90 ) b) Gọi M,N trung điểm AG CE Chứng minh BMN vng cân

Giải

BA BC a) Vì

(BA;

⎧ ⎧ =

⎪ ⎪

⎨ ⎨

= − = −

⎪ ⎪

⎩ ⎩

⇒ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⇒ ∆ ⎯⎯→ ∆

− −

⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→ ⇒ = −

− −

⇒ ∆

� �

� BG BE

vaø

BC) 90 (BG; BE) 90

Q : A C,G E Q : ABG CBE

(B; 90 ) (B; 90 )

b) Q : AG CE Q : M N BM BN vaø (BM;BN) = 90

(B; 90 ) (B; 90 )

BMN vuông cân B

I I

I

∆

∩ ∆

26 Cho ABC Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE ACF Gọi M trung điểm BC giả sử AM FE = H Chứng minh : AH đường cao AEF

⇒

�

� � HD :

Xét phép quay Q : Kéo dài FA đoạn AD = AF (A;90 )

Vì AF = AC AC = AD nên suy : Q biến B , C thành E , D (A;90 )

Đ/ nghó nên gọi trung điểm K DE K= Q (M)

(A;90 ) ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⊥ ∆

⊥ ⇒ ∆

a

MA AK (1) Trong DEF , AK đường trung bình nên AK // FE (2)

Từ (1),(2) suy : AM FE AH đường cao AEF

��

27 Cho hình vng ABCD có cạnh có đỉnh vẽ theo chiều dương Các đường chéo cắt I Trên cạnh BC lấy BJ = Xác định phép biến đổi AI thành BJ

HD = = ⇒ = � =

⇒ ∩

⇒ �

�

� �

��

AB

: Ta có : AI= AI BJ Lại có : (AI,BJ) 45

2

BJ = Q (AI) Tâm O = ttrực AB cung chứa góc 45 (O;45 )

qua A,B BJ = Q (AI) (O;45 ) ∆

28 [CB-1.18] Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vuông BCIJ,ACMN,ABEF gọi O,P,Q tâm đối xứng chúng

a) Goïi D trung điểm AB Chư ∆ ⊥

⇒ ⊥

�

ùng minh : DOP vuông cân D b) Chứng minh : AO PQ AO = PQ

HD :

a) Vì : AI = Q (MB) MB = AI vaø MB AI (C;90 )

�

Mặt khác : DP 1BM , DO

2 AI

⇒DP = ⊥DO ⇒ ∆DOP vuông cân taïi D

� �

(D;90 ) (D;90 ) b) Từ câu a) suy :

(27)

về phía ngồi tam giác hình vuông ABDE BCKF Gọi P trung điểm AC , H điểm đối xứng D qua B , M tr

⊥ ⎧

⎨

� ��

� ung điểm đoạn FH

a) Xác định ảnh hai vectơ BA BP phép quay Q (B;90 ) b) Chứng minh : DF BP DF = 2BP

HD :

BA = BH (cùng BD) a) Ta có :

(BA;BH) = 90 ⎪

⎪ ⎩

⇒ = ⇒ =

= = ⇒ =

= =

� �

� � �

� �

��

90 90

H QB (A) BH QB (BA)

90 90 90

Vì : QB (A) H,QB (C) F QB (AC) HF

90 90

Mà : F trung điểm AC , QB (F) M trung điểm HF Do : QB (BP) BM

= ⇒ = ⊥

∆ ⊥

�

��

90

b) Vì : QB (BP) BM BP BM,BP BM

1

Mà : BM = DF BM // DF (Đường trung bình HDF ) Do : BP = DF , DF BP

2

30 Cho tứ giác lồi ABCD Về phía ng oài tứ giác dựng tam giác ABM , CDP Về phía tứ giác, dựng hai tam giác BCN ADK Chứng minh : MNPK hình bình hành

H ⎯⎯→ ⎯⎯→

⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⇒ = ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⇒ =

� �

� � (B;90 )

(D;90 ) 60

D : Xeùt pheùp quay Q : MB A , N C Q

MN AC MN AC (1) 60

Xeùt pheùp quay Q : PD C , K A Q

PK CA PK CA (2) Từ (1) , (2) suy : MN = PK

Lí luận , tươ

I I

I

I I

I

⇒

ng tự : MK = PN MKNP hình bình hành ∆

∩ = ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→

⇒

� �

(B;60 ) (B;60 ) 31 Cho ABC Về phía ngồi tam giác , dựng ba tam giác BCA ,ACB ,ABC Chứng minh : AA ,BB ,CC đồng quy 1 1 1 1 1 1 HD :

Q Q

Gỉa sử AA1 CC1 I Xét : A1 C,A C1 A A1

I I

I � �

�

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⇒ = ⇒ =

= ⇒ ∆

� � �

� (B;60 )

Q

CC1 (A A;CC ) 601 1 AJC1 60 (1) Lấy CC điểm E cho : IE = IA Vì EIA1 60 EIA

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→

⇒

� � �

(A;60 ) (A;60 ) (A;60 )

Q Q Q

Xeùt : B C ,I1 E , B1 C

Vì : C ,B,C thẳng hàng nên B,I,B thẳng hàng 1 1 AA ,BB ,CC đồng quy 1 1 1

(28)

32 Chứng minh đoạn thẳng nối tâm hình vng dựng cạnh hình bình hành phía ngồi , hợp thành hình vng

HD : Gọi I ,I ,I ,I tâm của1 4

� �

⎯⎯→ ∆ = ∆

⇒ = = = ⇒ ⊥

⎯⎯⎯⎯⎯� → ⇒ = ⊥

�

� (I;90 )

hình vuông cạnh AB,BC,CD,DA Dùng phép quay Q(I;90 ) : B C Vì I BA1 I CD3

CI3 BI vaø DCI1 3 ABI1 45 Maø DC // AB CI3 BI1 Q

Vậy : I3 I1 I I2 1 I I I I2 3 2 1 I I 2 3 Lyù luận tương t

I

ự , ta có : I I I I hình vuông 1 4

Va

VaVaVấááánnnn đđđđeeeềààà 7777:::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP VVVVỊỊỊỊ TTTTỰỰỰỰ ≠

′ ′ =

�� ĐN : Cho điểm I cố đinh số k Phép vị tự tâm I tỉ số k

k

Kí hiệu : V , phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho IMI k IM

′

⎧ −

⎪

′ ′ ′

⎯⎯⎯→ = = ⎨

′ −

⎪ ⎩ k

I

k Biểu thức tọa độ : Cho I(x ; y ) phép vị tự V o o I

x = kx+ (1 k)x

V k o

M(x;y) M V (M) (x ; y ) I

y = ky+ (1 k)yo

I

′= ′= ′ ′ ′ ′

�� Tính chất :

k k

1 M V (M), NI V (N) M N = kMN , M N = |k|.MNI

2 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tia thành tia

5 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên |k| Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với

7 Đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = |k|.R ′ Biến góc thành góc

B B

BB BABABABÀØØØIIII TATATATẬÄÄÄPPPP

≠ −

1 Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm I , tỉ số k :

a) A(1;2) , I(3; 1) , k = → ′ − ′

− − − = − → −

A ( 1;5) b) B(2; 3),I( 1; 2), k B ( 10;1)

1

c) C(8;3), I(2;1) , k =

2 → ′

′ ′

− − ≡ − → − − −

C (5;2)

2 1

d) P( 3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I O,k = 1/ P (1; ),Q ( ; )

3 3 ′ −

′

⎧ − = −

′ ′ ′ ′ ′ ′

⎯⎯⎯⎯→ ⇔ = ⇔ − + = − ⇔ ⎨

′ + = ⎩ ′

⎧ = −

′

⇔⎨ ⇒ −

′ = ⎩

�� (I;2)

2 ,R ( ; )

3

V x 3 4

HD : a) Goïi : A(1;2) A (x ; y ) IA 2IA (x 3; y 1) 2( 2;3)

y

x

A ( 1;5) y

(29)

B thaønh C ?

HD : Gỉa sử tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B ⎧− =

⎯⎯⎯⎯→ ⇔ = ⇔⎨ ⇔ = −

= − ⎩

⎯⎯→ −

−

�� (A;k)

nh C

V 1 k(2) 1

Khi : B C AC kAB k

2 k( 4)

Vậy : Tồn phép vị tự V 1 : B C (A; )

2

3 Cho ba điểm A( 1;2),B(3;1),C(4;3) Tồn hay không tồn ta

I

⎯⎯⎯⎯→ ⇔ =

�� (A;k)

ïi phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ?

HD : Gỉa sử tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C V

Khi : BI C AC kAB (1) ∆

− ′

⎯⎯→ ⎯⎯→

4 Cho OMN Dựng ảnh M,N qua phép vị tự tâm O , tỉ số k t rường hợp sau :

1

a) k = b) k = c) k =

2

Giaûi

3

a) Phép vị tự V : MO I M , NI ′ ′= ′=

⎯⎯→ ⎯⎯→ ∆

− ⎯⎯→ ⎯⎯→ = −

��

�� N ta có OM 3OM,ON 3ON 1/2

b) Phép vị tự VO : M H , N K HK đường trung bình OMN

3/

c) Phép vị tự VO : M P , N Q ta có OP OM,OQ

I I

I I = −

��

ON Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O Dựng : a) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O , tỉ số k = b) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị t −

′ ′

⎯⎯→ =

′ ′

⎯⎯→ =

′ ′

⎯⎯→ =

′ ⎯⎯→

��

1 ự tâm O , tỉ số k =

2 Giaûi

2

a) Gọi V : AO A OA 2OA B B OB 2OB C C OC 2OC D D O

I I I

I ′ =

′ ′ ′ ′

⇒ ⎯⎯→

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− ⎯⎯→ = −

⎯⎯→ = −

��

▱ ▱

�� D 2OC

V : ABCDMO A B C D

Ta veõ : AB// A B ,BC // B C ,CD // C D ,DA // D A

1/2

b) Goïi VO : A P OP OA B Q OQ OB

2

I I I

⎯⎯→ = −

−

⇒ ⎯⎯→

��

▱ ▱

1 C R OR OC

2 D S OS OD

2 1/2

VO : ABCDM PQRS Ta veõ : AB// PQ,BC // QR,CD // RS,DA // SP

(30)

�

∆ ∆ ∈

6 Cho ABC có AB = 4, AC = , AD phân giác A ABC (D BC) Với giá trị k phép vị tự tâm D , tỉ số k biến B thành C

HD :

Theo tính chất phân gi �

−

= − = − = − ⇒ = − ⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

��

( D; 3/2 ) ác A , ta coù :

V

DB AB

DC DB B C

AC

DC

Do DB DC ngược hướng

I

′ ′

∆

′ ′ ′ ′ ′ ′=

7 Cho ABC vuông A AB = 6, AC = Phép vị tự V 3 biến B thành B ,C thành C (A; )

2 Khẳng định sau sai ?

9

A) BB C C hình thang B) B C = 12 C) SAB C SABC D) Chu v

4 ∆ ∆ ′ ′

′ ′ ⎯⎯⎯⎯⎯→

′ ′ = + =

(A;3/2)

2

i ( ABC) = Chu vi( AB C )

HD :

V

A) B C BC

3 2 2

B) sai : B C = BC AB AC 15

2

� �

′ ′

′ ′ = = =

′ ′ =

1 3

.AB AC AB .AC

SAB C 2 2 2

C) :

1

SABC AB.AC

.AB.AC

Chu vi AB C D) :

Chu vi ABC �

�

∆

8 Cho ABC có hai đỉnh B C cố định , đỉnh A di động đường trịn (O) cho trước Tìm tập hợp trọng tâm ABC

∆ =

�� 1�� HD : Gọi I trung điểm BC Ta có I cố định Nếu G trọng tâm ABC IG IA

3 1/3

Vậy G ảnh A qua phép vị tự VI

Tập hợp điểm A đường tròn (O) nên tập hợp G đường tròn (O ) , ảnh đường trịn 1/3

(O) qua phép vị tự VI

9 Trong mpOxy , cho điểm A( 1;2) đường thẳng d

′

− qua A có hệ số góc Gọi B đường thẳng di động d Gọi C điểm cho tứ giác OABC hình bình hành Tìm phương trình tập hợp :

(31)

a)

Qua A( 1;2)

(AB): (AB) : y 1(x 1) y x Hsg : k =

1

Vậy B chạy d I chạy d // d qua trung điểm M( ;1) củ a đoạn OA

3 Vaäy d : x y =

2 b) Ta

⎧ −

→ − = + ⇔ = +

⎨ ⎩

′ −

′ − + i

i �

�

� coù : OG 2OB G VO2/3(B) Vậy G chạy đt d // d qua điểm N( 4; ) VO2/3(A)

3 3

d : x y =

10 Tìm ảnh đường thẳng d qu a phép vị tự tâm I , t ′′

= ⇒ = − ==

′′

⇒ − +

��

æ soá k :

a) d : 3x y = ,V(O; ) d : 9x 3y 10

b) d : 2x y = ,V(O;3)

′

− − − → − + =

+ − d : 2x y 12 c) d : 2x y = ,V(I; 2) với I( 1;2) d : 2x y d)

′

→ + − =

′

+ − − − → + + =

d : x 2y = ,V(I;2) với I(2; 1) + − − →d : x 2y 0′ + − = 11 Tìm ảnh đường trịn (C) q ua phép vị tự tâm I , tỉ số k : (Có cách giải )

2

a) (C) : (x 1)− +(y 2) = ,V(O; 2) + − →(C) : (x 2)+ (y 4) = 202

2 2

b) (C) : (x 1) (y 1) = ,V(O; 2) (C) : (x 2) (y 2) = 16

2

c) (C) : (x 3) (y 1) = ,V(I; 2) với I(1;2)

+ −

− + − → − + −

− + + − (C) : (x 3)2 (y 8) = 202 12 Tìm phép vị tự biến d thành d :

x y

a) d : 1,d : 2x y 0,V(O; k)

→ + + −

′ ′

− = − − = k =

3 HD : d : 2x y // d : 2x y Laáy A(2;0) d,B(3;0) d

3 Vì : phép vị tự V(O;k) : A B OB kOA Vì : OA= (2;0),OB (3;0) OB OA

2

→

′ ′

− − = − − = ∈ ∈

⎯⎯→ ⇔ = = ⇒ =

��

I

3

V(O; ) V(O; )

2

Vaäy : A B d d

Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng nằm đườn g thẳng Để đơn giản ta chọn chúng nằm Ox Oy

′

⎯⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯⎯→

I I

+ + = − + − = − −

− = =

⎯⎯⎯⎯→

2 2

b) (C ) : (x 4)1 y ; (C ) : (x 2)2 (y 3) V(I; 2),I( 2;1) HD :

(C ) có tâm I ( 4; 0),R1 1 1 , (C ) có tâm I (2;3),R2 2 2 2 V(I;k)

Gỉa sử :(C )1 I �

� (C ) :2

= ⇔ = = ⇔ = ±

=

− − − = − − − − ⇒ −

− − = − − − ⇒ − −

i

�� i

R2

R2 | k | R1 | k | k R1

II2 kII 1

k = Goïi I(x ; y ) (2 x ;3 y )o o o o 2( x ; y )o o I( 2;1) k = Gọi I(x ; y ) (2 x ;3 y ) 2( x ; y )o o o o o o I( 10; 3)

� �

⎯⎯→ − − − −

(32)

− 2+ − − 2+ − 13 Trong mpOxy , cho đường tròn (C ) :(x 1)1 (y 3) = (C ) : (x 4)2 (y 3) = a) Xác định toạ độ tâm vị tự hai đường trịn

b) Viết phương trình tieáp tuyeán c

= =

= ��

hung ngồi hai đường trịn HD : (C ) có tâm I (1;3) , bk : R1 1 1 ; (C ) có tâm I (4;3) , bk : R2 2 2

a) Gọi I tâm vị tự (C ) (C ) , ta có : II1 2 2 kII với1 k = R2 =2 =2⇒I( 2;3)− R1

∆ ⇒ ∆ − ⇔ − + + =

∆

∆ ⇔ ∆ = ⇔ = ± ⇒

b) Tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp tuyến từ I đến (C ).1

Gọi đt qua I có hệ số góc k :y = k(x+2) ky y 2k

tieáp xuùc (C )1 d(I ; ) R1 1 k

2

⎡ − + + =

⎢

∆ + − + =

⎢⎣

: 2.x 4y 12

: 2.x 4y 12 2

� � ′

=

14 Cho đường trịn (O,R) đường kính AB Một đường tròn (O ) tiếp xúc với (O,R) đoạn AB C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) I Chứng minh : AI BI

HD :

C tâm v

� ′

′

∈ ∈

′ ′

′

⎯⎯→ ⎯⎯→

′

⇒ ⇒ ⊥

ị tự đường tròn (O) (O ) D (O ), I (O) ba điểm C,D,I thẳng hàng Gọi R bán kính đường trịn (O ) , :

R R

VC : O O ,I D OI // O D OI AB (V

I I

�

� � �

′ ⊥

⇒ ⇒ =

ì O D AB) I trung điểm AB AI BI

′ ′ ′

′ ′

15 Cho hai đường tròn (O,R) (O , R ) tiếp xúc A (R > R ) Đường kính qua A cắt (O,R) B cắt (O , R ) C Một đường

thẳng di động qua A cắt (O, R) M ca ′ ′ ∩

∆ ∼∆ =

ét (O , R ) taïi N Tìm quỹ tích I = BN CM HD :

IC CN Ta có : BM // CN Hai BMI NCI Do :

IM BM

∆ ∆ =

′ ′ ′

⇒ = = = ⇒ =

′

+ +

′ =

′ ′ + ′

⇒ = ⇒ = ⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

′ ′

+ +

ω ∼

�� AC CN Hai ACN ABM Do :

AB BM

IC AC 2R R IC R

IM AB 2R R IM IC R R

R V(C;k )

CI R R R R

CI CM M : I

CM R R R R

Vậy : Tập hợp điểm I đường tròn ( ) vị tự đường

I

′ =

′ + R tròn (O,R) phép vị tự V(C ; k )

R R ∆

′ ′ ′

∆

16 Cho ABC Gọi I , J M theo thứ tự trung điểm AB, AC IJ Đường tròn ngoại tiếp tâm O AIJ , cắt AO A Gọi M chân đường vng góc hạ từ A xuống BC

′

(33)

= =

∆ ⎯⎯⎯⎯→ ∆

′ ′

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

′ ′

≡ ⇒

Gọi M trung điểm BC Ta có : AB 2AI AC 2AJ1 V(A;2)

Từ : AIJ ABC Khi :

V(A;2): O A ,M M 1 OM IJ A M1 BC Như : M1 M A,M,M thẳng hàng ( A,M

I I

,M thẳng hàng )1 ∆

∆

17 Cho ABC Gọi A ,B ,C tương ứng trung điểm BC,CA,1 1 AB Kẻ A x,B y,C z song song với đường phân giác trong1 1 1 góc A,B,C ABC Chứng minh : A x,B y,C z1 1 1 đồng quy.

− ∆

∆

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

⎯⎯→ = − ⇒

HD :

1

Xét phép vị tự tâm G , tỉ số G l trọng tâm ABC ,

I tâm đường trịn nợi tiếp ABC

Ta coù : AJ A x , BI1 B y , CI1 C z ,1 GI

I J ( ) A x, B y,C z đồng quy tạ1 1 1 GJ

I I I

I i J

≠

18 Cho hai đường tròn (O ,R ) (O ,R ) nhau1 1 2 2 R1 R Một đường trịn (O) thay đổi tiếp xúc ngồi 2 với (O ) A tiếp xúc với (O ) B Chứng1 2 minh : Đường thẳng AB luôn qua điểm cố định

��

HD :

A tâm vị tự biến (O ) thành (O) : AO AO ngược hướng 1 1 B tâm vị tự biến (O) thành (O ) : AO AO ngược hướng 2 1 Kéo dài AB cắt (O ) C : AO và�� 2 CO ngược hướng ��2

(34)

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ ∆

′ ′⊥ ′ ′⊥ ′ ′⊥

19 Cho ABC Người ta muốn định ba điểm A ,B ,C cạnh BC,CA,AB cho A B C A B CA , B C AB C A BC

1 Gọi E,F,K chân đường cao

′ ′ ′

′ ′ ′ =

′ ′ ′ ∆

��

phát xuất từ A,B,C

2/3 2/3 2/3

Đặt : C = VB (A),A = VB (E),B = VB (F) 2/3

a) Nghiệm lại : A = VB (E) B C CK b) Suy : A B C

2 Chứng minh trực ∆ ∆ ′ ′ ′

∆ ∆

′

tâm H ABC trọng tâm cuûa A B C HD :

a

Trong ABC đướng cao : AE = BF = CK = .(a cạnh ABC)

E,F,K trung điểm cạnh

1 a) Vì A = V ⇔ ′= ⇔ + ′= ⇔ ′= ′

′ ⇔ ′= ⇔ + ′= ⇔ ′= − = ⇔ ′

��

2 2

2/3(E) BA BE BC CA ( BC) CA CB Vaäy : A = V2/3(E)

B 3 3 2 3 B

2 2

2/3 2/3

Vì C = VB (A) BC BA BA AC BA AC BA AK B = VA (C)

3 3

′ ′ ′ ′

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⇒ =

��

2/3 2/3

A A

V V

Vaäy : C B , K C B C CK

I I

′ ′

⎧ ⊥

⎪ ′ ′ = ⇒ ⎨

′ ′ ⎪ ⎩ i ��

i

B C // CK cuøng AB

b) Ta coù : B C CK 2 a 3 B C = CK =

3

′ ′= ′ ′=

�� 2�� 2 Tương tự : C A AE A B BF

3

′ ′⊥ ′ ′⊥ ′ ′⊥ ′ ′ ′ ′ ′ ′ a ⇒ ∆ ′ ′ ′ Vậy : B C AB,C A BC,A B AC B C = C A = A B = A B C

3 ∆

′ ′ ′

= = ⇒ − = − ⇔ =

′ ′

�� Trực tâm H ABC trọng tâm tam giác , nên :

2 2

BH BF Maø : BC BA BH BC (BF BA) C H AF

3 3

Vaäy : C H // AF Suy : C ⊥ ′ ′ ′ ⊥ ′ ′

H A B Lý luận tương tự : A H B C

Va Va Va

Vấááánnnn đđđđeeeềààà 8888:::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP ĐĐĐOOỒÀÀÀNGNGNGNG DADADADẠÏÏÏNGNGNGNG A.

A.

(35)

′ ′ ′

N laø ảnh chúng , ta có M N = k.MN

2 ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) hợp thành phép vị tự tỉ số k phép dời hình D

3 Hệ : (Tính chất ) Phép đồng dạng :

1 Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) Biến đường thẳng thành đường thẳng

3 Biến tia thành tia

4 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên k ( k tỉ số đồn ′

g dạng ) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với ( tỉ số k)

6 Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = k.R Biến góc thành góc

4

⇔ ∃ ⎯⎯→

Hai hình đồng dạng :

ĐN : Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng biến hình thành hình F

H đồng dạng G F đồng dạng : H I G

∉ Cho điểm M

a) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép đối xứng trục Đ phép vị tự V tâm O ,a với O a , tỉ số k =

b) Dựng ảnh phép đồng dạng F − ϕ

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

∈ ≡

∉

�

a O

hợp thành phép vị tự V tâm O , tỉ số k = phép quay tâm I với góc quay = 90

Giải

Đ V

a) Gọi : M M1 M2

M (a) M1 M M trung điểm OM2 M (a) v

I I

�

� ≠

∉ ≡

i i i i

à O M :1 a trung trực đoạn MM1 M trung điểm đoạn OM 1 2 M (a) O M :1

a trung trực đoạn MM1 M trung điểm đoạn OM 1 2 b) Gọ

�

−

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

= − =

�

��

3 90

O I

V Q

i M M1 M Khi : 2 OM1 3OM , IM = IM (IM ; IM) 901 1

(36)

∆

∆ ∆

2 Cho ABC có đường cao AH H đoạn BC Biết AH = , HB = , HC = Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC F hợp thành hai phép biến hình ?

A) P

��

1 hép đối xứng tâm H phép vị tự tâm H tỉ số k =

2 B) Phép tịnh tiến theo BA phép vị tự tâm H tỉ số k = C) Phép vị tự tâm H tỉ số k = phép quay tâm H , góc (H

ϕ ϕ ⎯⎯→ ⎯⎯→

∆

B;HA) D) Phép vị tự tâm H tỉ số k = phép đối xứng trục

HD :

Phép V Q(H; ) với = (HB;HA) : BH A , A C Vậy : F phép đồng dạng hợp thành V Q biến HB

I I

∆ A thaønh HAC

+ =

∆ ∆ ∆

��

3 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Trên cạnh AB lấy điểm I cho IA 2IB gọi G trọng tâm ABD F phép đồng dạng biến AGI thành COD F hợp thành

− ��

hai phép biến hình sau ?

A) Phép tịnh tiến theo GO phép vị tự V(B; 1) B) Phép đối xứng tâm G phép vị tự V(B; )

2

C) Phép vị tự V(A; ) phép đối xứng

2 taâm O

2

D) Phép vị tự V(A; ) phép đối xứng tâm G

∆ =

=

⎯⎯⎯→ ⎯

�� i

i i

2/3

O A

HD :

3 Vì G trọng tâm ABD nên AO AG

2

Theo giả thiết , ta có : AB AJ

Phép đối xứng tâm O , biến A thành C B thành D ( O bất biến ) Đ

V

AI AI ⎯⎯→ i ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ i ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

2/3 2/3

O O

A Ñ A Ñ

V V

C GI O I O II BI D

⇒ ∆ ⎯⎯⎯⎯→ ∆ ⎯⎯⎯O→ ∆

3

V(A; ) Ñ

2

AGI AOB COD

Phép đồng dạng F

(37)

QUAN

QUANQUANQUAN HHHHỆỆỆỆ SONGSONGSONGSONG SONGSONGSONGSONG N

N N

NỘỘỘỘIIII DUNGDUNGDUNGDUNG

- Hai đường thẳng song song

- Đường thẳng song song với mặt phẳng - Hai mặt phẳng song song

I) I)

I)I) TTTTóóóómmmm ttttắắắắtttt llllýýýý thuythuythuythuyếếếếtttt vvvvềềềề haihaihaihai đườđườđườđườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng songsongsongsong songsongsongsong

1)))) NhNhNhNhậậậậnnnn xxxxéééétttt

Cho hai đường thẳng phân biệt a b khơng gian, có hai khả xảy ra: a) Khơng có mặt phẳng chứa a b Ta nói: a b chéo nhau.

b) Có mặt phẳng chứa a b Ta nói a b dồng phẳng Lúc ta có các trường hợp sau xảy :

i) a�b

ii) a b cắt nhau

2)))) ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh nghnghnghnghĩĩĩĩaaaa

+ Hai đường thẳng gọi chéo chúng không nằm một mặt phẳng.

+ Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung Kí hiệu: a║b.

3) HaiHaiHaiHai đườđườđườđườngngngng ththẳththẳẳẳngngngng songsongsongsong songsongsongsong

+TTTTíííínhnhnhnh chchấchchấấấtttt 1111: Trong khơng gian, qua điểm ngồi đường thẳng có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

+TTTTíííínhnhnhnh chchấchchấấấtttt 2222: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với nhau.

+ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh llllíííí: Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song.

+HHHHệệệệ ququququảảảả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng ( có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng đó.

CH CH CH

CHỦỦỦỦ ĐỀĐỀĐỀĐỀ 1111

- Xác định giao tuyến hai mặt phằng( có yếu tố song song)

- Chứng minh hai đường thẳng song song

• XXXXáááácccc địđịđịđịnhnhnhnh giaogiaogiao tuygiaotuytuytuyếếếếnnnn haihai mhaihaimmmặặặặtttt phphphphẳẳẳẳngngngng (P)(P)(P) vvvvà(P) ààà (Q)(Q)(Q)(Q) tata thtatathththựựựựcccc hihihihiệệệệnnnn: + Tìm A∈(P)∩(Q)

+ Xác định phương giao tuyến dựa vào hệ (trong phần tóm tắt lí thuyết).

(38)

* Phối hợp hai cách trên.

VD VD VD

VD: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N,P trung điểm cạnh AB,BC CD. a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) (ABD).

b) Xác định giao điểm Q đường thẳng AD mặt phẳng (MNP) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành.

Giải

B

BBB DDDD

C CCC

A A A A

d ddd M

M M M

N N N

N PPPP

a) Ta có : M∈(MNP)∩(ABD)

Và NP║BD (tính chất đường trung bình)

NP⊂(MNP)

BD⊂(ABD)

⇒(MNP) ∩(ABD) = d

Với d║ BD║ NP d qua M.

b) Trong mp(ABD), ta có : d ∩ AD = Q

⇒

; ( )

Q AD

Q d d MNP

∈ ⎧ ⎨

∈ ⊂

⎩

( )

Q AD

Q MNP

∈ ⎧ ⇒ ⎨

∈ ⎩

( )

Q AD MNP

⇒ = ∩

Ta có : MQ║BD BD

(39)

NP║BD và

2 NP=

Vậy có : MQ║ NP MQ = NP ⇒ MNPQ hình bình hành.

B B B

BÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP RRRRÈÈÈÈNNNN LUYLUYLUYLUYỆỆỆỆNNNN B

BBBààààiiii ttttậậậậpppp 1111:

Cho tứ diện ABCD; P, Q trung điểm AB CD; điểm R nằm trên cạnh BC cho BR = 2RC Gọi S giao điểm mp(PQR) cạnh AD Chứng minh : AS =2SD.

B

BBBààààiiii ttttậậậậpppp 2222 :

Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD.

a) Chứng minh đường thẳng qua G đỉnh tứ diện đi qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh ấy.

b) Gọi A’là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh : GA = 3A’G. B

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD cắt BC Hãy tìm điểm M nằm trên cạnh SD điểm N nằm cạnh SC cho AM║BM.

B

Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm BC BD; E là điểm thuộc cạnh AD khác với A D.

a) Xác định thiết diện hình tứ điện cắt mp(IJE).

b) Tìm vị trí E AD cho thiết diện hình bình hành.

c) Tìm điều kiện tứ diện vị trí điểm E cạnh AD để thiết diện là một hình thoi.

B

BBBààààiiii ttttậậậậpppp 5555 :

Cho hình chóp S.ABCD, đáy tứ giác lồi Gọi M N là trọng tâm hai tam giác SAB SAD E trung điểm CB.

a) Chứng minh : MN║BD.

b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp (MNE). c) Gọi H L giao điểm mp(MNE) với cạnh SB và

SD Chứng minh : LH║BD.

II) II) II)

II) TTTTÓÓÓÓMMMM TTTTẮẮẮẮTTTT LLLLÍÍÍÍ THUYTHUYTHUYTHUYẾẾẾẾTTTT VVVVỀỀỀỀ ĐƯỜĐƯỜĐƯỜĐƯỜNGNGNGNG THTHTHTHẲẲẲNGẲNGNGNG SONGSONGSONGSONG SONGSONGSONGSONG VVVVỚỚỚỚIIII M

M M

MẶẶẶẶTTTT PHPHPHPHẲẲẲẲNGNGNGNG

1)

1)1)1) VVVVịịịị trtrtrtríííí ttttươươươươngngngng đốđốđốđốiiii gigigigiữữữữaaaa đườđườđườđườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng vvvvàà màà mmmặặặặtttt phphphphẳẳẳẳngngngng

Cho đường thẳng a mp (P) Ta có :

+ a⊂(P) (a (P) có hai điểm chung phân biệt)

+ a (P) cắt ( a (P) có điểm chung nhất) + a║mp (P) (a (P) khơng có điểm chung)

Vậy : a║mp (P) ⇔a∩mp P( )= ∅

(40)

• ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh llllíííí 1111: Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) khơng chứa a a song song với mặt phẳng (P).

Vậy : a không nằm (P) a�b với b ⊂mp (P) ⇒ a�mp (P)

• ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh llllíííí 2222: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng.

H H H

Hệệệệ ququququảảảả aaaa: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) cắt (P) theo giao tuyến song song với a. Vậy :

( )

( ) ( )

a P

a Q a b

P Q b

⎫ ⎪

⊂ ⎬⇒

⎪

∩ = ⎭

�

H H H

Hệệệệ ququququảảảả bbbb: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng đó.

Vậy : ( ) ( )

( ) ( )

P Q b

a b

a P v a Q

∩ = ⎫

⇒ ⎬ ⎭

�

� �

CH CH CH

CHỦỦỦỦ ĐỀĐỀĐỀĐỀ 2222 :ChChChChứứứứngngngng minhminhminhminh đườđườđườđườngngngng ththẳththẳẳẳngngngng songsongsongsong songsongsongsong vvvvớớớớiiii mmmmộộộộtttt mmmmặặặặtttt

ph ph ph phẳẳẳẳngngngng

Ta dùng định lí :

A khơng nằm mp (P) a�b với b⊂mp (p)

⇒a�mp (p)

B B B

Bààààiiii 1111: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB CD.

a) Chứng minh : MN�mp (SBC).

b) Gọi P trung điểm SA Chứng minh : SC �mp (MNP).

Gi GiGiGiảảảảiiii

A

AAA DDDD

C C CC B

BBB

S SSS

M M M M

N N NN P

(41)

b) Gọi O = MN ∩ AC

⇒ O trung điểm AC

Mà P trung điểm SA

⇒OP đường trung bình tam giác SAC

⇒OP�SC

Mà OP⊂(MNP)

⇒SC � mp (MNP).

Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K trung điểm AC, CD, DB.

a) Xác định giao điểm E BI mp (AKJ)

b) Chứng minh : AB�mp (CDE).

c) Gọi G giao điểm KE mp (ACD) Chứng minh G là trọng tâm tam giác ACD.

CH CH CH

CHỦỦỦỦ ĐỀĐỀĐỀĐỀ 3333: ThiThiThiThiếếếếtttt didididiệệệệnnnn ccccủủủủaaaa hhhhììììnhnhnh chnhchchchóóóópppp vvvvàààà mmmmặặặặtttt phphẳphphẳẳẳngngngng (((( ccccóóóó yyyyếếếếuu ttttốuu ốốố đườđườđườđườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng songsongsongsong song

song song

song vvvvớớớớiiii mmmmặặtttt phặặ phphphẳẳẳẳng)ng)ng)ng)

Thông thường ta dùng hệ a). a�(P)

a⊂(Q)

(P)∩(Q) = b ⇒ a�b.

VD

VDVDVD: Cho hình chóp tam giác ABCD; M điểm A C Mặt phẳng (P) qua M mp (P) song song với AB CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mp (P) Thiết diện hình gì?

Giải

Ta có :

( ) ( )

à AB (ABC)

AB (P)

M P ABC

m

∈ ∩ ⎫

⎪

⊂ ⎬

⎪ ⎭ �

⇒(P) ∩(Q) = Mt với Mt �AB

Gọi N = Mt ∩BC

Vậy : MN�AB (a)

Ta có : N∈(P) ∩(BCD)

CD⊂(BCD)

CD�(P)

⇒(P)∩(BCD) = Nx với Nx �CD

Gọi Nx ∩ BD = P

Vậy : NP�CD (b)

Ta có :

( ) ( )

( )

p P ABD

AB ABD

∈ ∩

(42)

⇒ (P)∩(BCD) = Py với Py �AB

Gọi Py∩AD = Q

Vậy : PQ�AB (c)

Ta có :

( ) ( )

( )

QM P ACD

CD ACD QM CD

CD P

= ∩ ⎫

⎪

⊂ ⎬⇒

⎪ ⎭

� �

(d)

Vậy thiết diện hình chóp tam giác ABCD cắt mp (P) tứ giác MNPQ. Từ (a) (c) cho : MN�PQ

Từ (b) (d) cho : NP�MQ

Suy tứ giác MNPQ hình bình hành.

B B B

Bààààiiii TTTTậậậậpppp: Cho tứ diện ABCD có AB =AC=CD=a, M điểm cạnh AC cho AM = x (với < x < a) Mặt phẳng (P) qua M song song với AB CD; (P) cắt cạnh BC, BD, AD N, P, Q.

a) Tứ giác MNPQ hình ?

b) Giả sử MN vng góc với NP Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a x. Tìm giá trị x để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất.

B B B

BÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP RRÈRRÈÈÈNNNN LUYLUYLUYLUYỆỆỆỆNNNN B

BBBààààiiii 1111 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N trọng tâm tam giác SCD SAB.

a) Chứng minh đường thẳng MN song song với mp (ABCD).

b) Mặt phẳng (MAB) cắt SD, SC tai I, J Chứng minh In song song với mp (ABCD).

c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp (IJN).

B

BBBààààiiii 2222 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SAB tam giác đều Lấy điểm M cạnh BC điểm K cạnh SA cho BM = AK.

a) Chứng minh MK song song với mp (SCD)

b) Mặt phẳng (P) qua điểm M song song AB, SB (P) cắt SC, SD và AD theo thứ tự N, P, Q Chứng minh tứ giác MNPQ hình thang.

B

BBBààààiiii 3333 : Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác ABD, I điểm nằm trên cạnh BC cho BI= 2IC Chứng minh IG song song với mặt phẳng (ACD).

B

BBBààààiiii 4444 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SC; mp (P) qua đường thẳng A song song với BD.

(43)

Chứng minh ba điểm K, A, J thuộc đường thẳng song song với EF tỉ số EF

LJ .

III) III) III)

III) TTTTĨĨĨĨMMMM TTTTẮẮẮẮTT LTTLLLÍÍÍÍ THUYTHUYTHUYTHUYẾẾẾẾTTTT VVVVỀỀỀỀ HAIHAIHAIHAI MMMMẶẶẶẶTTTT PHPHPHPHẲẲẲẲNGNGNGNG SONGSONGSONGSONG SONGSONGSONGSONG 1)

1)1)1) VVVVịịịị trtrtrtríííí ttttươươươươngngngng đốđốđốđốiiii ccccủủủủaaaa haihaihaihai mmặmmặặặtttt phphphphẳẳẳẳngngngng phphphphâââânnnn bibibibiệệệệtttt

(P) ∩(Q) = a ( (P) cắt (Q) theo giao tuyến a)

(p) �(Q) ((P) (Q) song song với nhau) Vậy : (P) �(Q) ⇔(P) ∩(Q) = ∅

2)

2)2)2) ĐĐĐĐiiiiềềềềuuuu kikiệệệệnkiki nnn đểđểđểđể haihaihaihai mmmmặặặặtttt phphphphẳẳẳngẳngngng songsongsongsong songsongsongsong

Đị

ĐịĐịĐịnhnhnhnh llllíííí 1111: Nếu mặt (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q).

Vậy : a∩b = I

a⊂(P), b ⊂(P)

a�(Q), b�(Q)

⇒ (P) �(Q). 3) TTTTíííínhnhnhnh chchchchấấấấtttt:

• TTTTíííínhnhnhnh chchchchấấấấtttt 1111: Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Hệ :

- Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) qua a có chỉ một mặt phẳng (p) song song với (Q).

- Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song nhau.

• TTTTíííínhnhnhnh chchchchấấấấtttt 2222: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) đã cắt (P) cắt (Q) giao tuyến chúng song song với nhau. Vậy : (P) �(Q)

(R) ∩(P) = a

( )R ( )Q b và a b

⇒ ∩ = �

4)

4)4)4) ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh llllíííí Ta-lTa-lTa-lTa-léééétttt trongtrongtrongtrong khkhkhkhơơơơngngngng giangiangiangian

Định lí ( Định lí Ta-lét)

Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Định lí (Định lí Ta-lét đảo)

Giả sử hai đường thẳng chéo a a’lần lượt lấy điểm A, B, C và

A’, B’, C’sao cho :

' ' ' ' ' '

AB BC CA

A B = B C =C A

Khi ba đường thẳng AA’, BB’, CC’lần lượt nằm ba mặt phẳng song

(44)

CH CH CH

CHỦỦỦỦ ĐỀĐỀĐỀĐỀ 4:4:4:4: CHCHCHỨCHỨỨỨNGNGNGNG MINHMINHMINHMINH HAIHAIHAIHAI MMMẶMẶẶẶTTTT PHPHPHPHẲẲNGẲẲNGNGNG SONGSONGSONGSONG SONGSONGSONGSONG Để

Để Để

Để chchchchứứứứngngngng minhminhminhminh haihaihaihai mmmmặặặặtttt phphphphẳẳẳẳngngngng songsongsongsong song,song,song,song, tatatata chchchứchứứứngngngng minhminhminhminh trtrtrtrêêêênnnn mmmmặặtttt phặặ phphphẳẳẳẳngngngng nnnnààààyyyy ccccóóóó haihaihaihai đườ

đườ đườ

đườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng ccccắắắắtttt nhaunhaunhaunhau ccccùùùùngngngng songsongsongsong songsongsongsong vvvvớớớớiiii mmmmặặặặtttt phphphphẳẳẳẳngngngng ccccòòòònnnn llllạạạại.i.i.i. Vd:

Vd:Vd:Vd: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O Gọi M,N trung điểm SA SD

a) Chứng minh mp (OMN) � (SBC).

b) Gọi H trung điểm OM Chứng minh : HN� (SBC). Giải

a) Ta có MN� AD (do MN đtb tam giác SAD)

Mà AD �BC

⇒MN � BC

Mà BC ⊂(SBC)

⇒MN � (SBC).

Mặt khác : ON � SB

SB ⊂ (SBC)

⇒ON � (SBC).

Vậy có : MN �(SBC)

ON �(SBC)

MN ∩ ON = N

MN,ON ⊂ OMN)

Do : (OMN) � (SBC) (đpcm).

b) Ta có: (OMN) � (SBC)

mà HN ⊂ (OMN)

⇒ HN �(SBC) (đpcm).

B B B

BÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP RRRÈRÈÈÈNNNN LUYLUYLUYLUYỆỆỆỆNNNN

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi Bx, Cy, Dz ba nửa đường thẳng song song nhau đôi nằm phía mp(ABCD) Gọi M, N hai điểm di động trên Bx, Dz cho BM =DN = x ( với x > 0) Cy cắt mp (AMN) P

a) Tứ giác AMPN hình gì?

b) Chứng x thay đổi (AMN) ln qua qua đường thẳng cố định.

c) Gọi K trung điểm CP Chứng minh : (KMN) // (ABCD).

Bài 2: Cho tứ diện ABCD M N hai điểm di động hai cạnh AD BC sao cho AM = BN Chứng minh MN song song với mặt phẳng cố định.

CH CH CH

CHỦỦỦỦ ĐỀĐỀĐỀĐỀ 5:5:5:5: HHÌÌÌÌNHHH NHNHNH LLLLĂĂĂĂNGNGNGNG TRTRTRTRỤỤỤỤ HHHHÌÌÌÌNHNHNHNH HHHHỘỘỘỘPPPP

Ch

(45)

● Hình hợp có :

+ Có tắt mặt hình bình hành

+ có đường chéo đồng quy trung điểm I đường I gọi là tâm hình hộp.

B B B

Bààààiiii 1111: Cho hình lăng trụ tam giác tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm cạnh A’B’.

a) Chứng minh CB’ song song với mp (AHC’).

b) Xác định giao tuyến d hai mặt phẳng (AB’C’) (A’BC) Chứng minh d song song mp (BB’C’C).

B B B

Bààààiiii 2222:Cho hình hợpABCD.A’B’C’D’.

a) Xác định giao điểm G AC’ với mp (B’CD’) Chứng minh G trọng tâm ΔB’CD’.

b) Chứng minh : (A’BD)//(B’CD’).

CH CH CH

CHỦỦỦỦ ĐỀĐỀĐỀĐỀ 6:6:6:6: PHPHPHPHÉÉÉÉPPPP CHICHICHICHIẾẾẾẾUUUU SONGSONGSONGSONG SONGSONGSONGSONG 1.

1.1.1. KhKhKhKhááááiiii ninininiệệệệmmmm phphphphéééépppp chichichichiếếếếuuuu songsongsongsong songsongsongsong

* Cho mp (P) đường lcắt mp (P).

Phép chiếu song song lên mp(P) theo phương chiếu l phép đặt tương ứng mổi điểm M với điểm M’ giao điểm mp(P) với đường thẳng qua M và song song với đường thẳng l.

* Hình biểu diển hình H khơng gian hình chiếu H’ Của H qua phép chiếu song song ( hình đồng dạng Với H’)

Ta cịn nói : H’ ảnh H qua phép chiếu song song đó.

2.

2.2.2. TTTTíííínhnhnhnh chchchchấấấấtttt

Chỉ xét hình chiếu song song cvua3 đoạn thẳng, đường thẳng không song song trùng vời phương chiếu l.

� Hình chiếu song song với đường thẳng đường thẳng.

� Hình chiếu song song đoạn thẳng đoạn thẳng, tia là một tia.

� Hình chiếu song song hai đường song song hai đoạn thẳng song song hoặc trùng nhau.

� Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số hai đoạn thẳng song song hoặc trùng nhau.

3.

3.3.3. HHHHììììnhnhnhnh bibibibiểểểểuu diuudididiểểểểnnnn songsongsongsong songsongsongsong ccccủủaủủaaa mmmmộộộộtttt hhhhììììnhnhnh trongnhtrongtrongtrong khkhkhkhơơơơngngngng giangiangiangian

� Một hình tam giác ABC có hình chiếu song song xem hình biểu diển bất kì tam giác nào( tam giác thường, tam giác vuông, tam giác

(46)

� Một hình bình hành ABCD xem hình biểu diễn hình bình hành nào, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng.

� Hình biểu diển đường trịn đường elip đường tròn hoặc đặc biệt đoạn thẳng.

B B B

Bààààiiii 1111: Cho tam giác ABC có hình chiếu song song tam giác A’B’C’ Chứng minh rằng trọng tâm G tam giác ABC có hình chiếu song song trọng ttâm G’ tam giác A’B’C’.

B B B

Bààààiiii 2222: Cho tam giác ABC Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) phương chiếu l để hình chiếu tam giác ABC mp (P)

a) tam giác cân b) tam giác đều c) tam giác vuông

B B B

BÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP TTTTỔỔỔỔNGNGNGNG HHHHỢỢỢỢPPPP VVVVỀỀỀỀQUANQUANQUAN HQUANHHHỆỆỆỆ SONGSONGSONGSONG SONGSONGSONGSONG B

B B

Bààààiiii 1111 Cho tứ diện ABCD cạnh a Lấy M cạnh AB, N cạnh CD cho AM = DP = a/3 Mặt phẳng (p) qua MP song song với AC cắt BC N AD Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

B B B

Bààààiiii 2222 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I, J, K trọng tâm tam giác ABC, ACC’và A’B’C’.

a) Chứng minh IJ song song mp (ABC’) a) Chứng minh JK song song mp (BB’C’C) a) Chứng minh (IJK)//(BB’C’c).

B B B

Bààààiiii 3333: Cho hình chóp S.ABC điểm M nằm bên tam giác ABC đường thẳng qua M song song với đường thẳng SA, SB, SC cắt mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) A’, B’, C’.

1 Gọi N giao điểm SA’ với BC Chứng minh A, M ,N thẳng hàng. 2 Chứng minh : SΔMBC⁄SΔABC = MA⁄ SA

3 Chứng minh : MA’⁄ SA + MB’⁄ SB + MC’⁄SC = 1.

B B B

Bààààiiii 4444: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành Một mp (P) lần lược cắt các cạnh SA, SB, SC A’, B’, C’.

1 Tìm giao điểm D’ SD mp (P).

2 Gọi O giao điểm AC BD, I giao điểm A’C’ SO Chứng minh : SA⁄ SA’ + SC⁄SC’ = 2SO⁄ SI.

(47)

I-I- PhPhPhPhươươươươngng trngngtrtrtrììììnhnhnhnh llllượượượượngngngng gigigigiáááácccc ccccơơơ bơbbbảảảản:n:n:n:

�� SinxSinxSinxSinx =a=a=a=a (((( cosxcosx =cosxcosx=== aaaa ))))

NNNNếếếếuuuu a >1 ththththìììì phphphphươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh đãđãđãđã chochochocho vvơvvơơơ nghinghinghinghiệệệệm.m.m.m. -N

-N-N-Nếếếếuuuu a ≤1 ththththìììì

* sin sin arcsin sin arcsin x k

x k Z

x k

x a k

x a

x a k

α π α π α π π π π = + ⎡ = ⇔⎢ ∈ = − + ⎣ = + ⎡ = ⇔ ⎢ = − + ⎣ sin sin

u v k

u v k Z

u v k

π π π = + ⎡ = ⇔⎢ ∈ = − + ⎣ * cos cos cos cos cos x k

x k Z

x k

x arc a k

x a

x arc a k

α π α α π π π = + ⎡ = ⇔ ⎢ ∈ = − + ⎣ = + ⎡ = ⇔ ⎢ = − + ⎣ cos cos

u v k

u v k Z

u v k

π π = + ⎡ = ⇔⎢ ∈ = − + ⎣ Đặ ĐặĐặĐặcccc bibibibiệệệệtttt

sin

2

x= ⇔ x=π +k π

sin

2

x= − ⇔ x= −π +k π

os

c x= ⇔ x=k π

os

2

c x= ⇔x=π +kπ

os

c x= − ⇔x=π+k π sinx= ⇔0 x=kπ

� Tan x = a ( cot x = a )

*tanx=tan x= +k

tanx a x arctana k

α α π

π

⇔

= ⇔ = + tanu=tanv⇔u= +v kπ

* t t

cot cot

co x co x k x a x arc a k

α α π

π

= ⇔ = +

= ⇔ = + co ut =co vt ⇔u= +v kπ

Đặ Đặ Đặ

Đặcccc bibibibiệệệệtttt tan

4

x= ⇔ x=π +kπ cot

4

x= ⇔x=π +kπ

tan

4

x= − ⇔x= −π +kπ cot

4

x= − ⇔ x= −π +kπ

tanx=0⇔x=kπ cot

2

x= ⇔x=π +kπ

Ch Ch Ch Chúúúú ýýýý::::

1 ) cos cos os a x

x c π

= ⇔ = 1 ) cos cos os a x

x c π π

− = ⎛ ⎞ ⇔ = ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ sin x= sin sin x π ⇔ = sin

x= −

sin sin

x ⎛−π ⎞

⇔ = ⎜ ⎟

(48)

2 ) cos cos os b x

x c π

= ⇔ = ) cos cos os b x

x c π π

x= −

sin sin

x ⎛−π ⎞

⇔ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ) cos cos os c x

x c π

= ⇔ = ) cos cos os c x

x c π π

x=−

sin sin

x ⎛−π ⎞

⇔ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ) tan tan tan g x x π = ⇔ = ) tan tan tan g x x π − = − ⎛ ⎞ ⇔ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

) tan

tan tan h x x π = ⇔ =

1) tan

tan tan h x x π = − − ⎛ ⎞ ⇔ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ) cot cot cot i x x π = ⇔ = ) cot cot cot i x x π − = − ⎛ ⎞ ⇔ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

) cot

cot cot k x x π = ⇔ =

1) cot

cot cot k x x π = − − ⎛ ⎞ ⇔ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ B

BBBààààiiii ttttậậậậpppp ứứứứngngngng ddddụụụụng:ng:ng:ng: B

BBBààààiiii 1:1:1:1: GiGiGiGiảảảảiiii ccccáááácccc phphphphươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh sau:sau:sau:sau: 1)

1)1)1)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ + = + = ⇔ = Z k k x k x x π π π π π 2 3 sin sin 2) 2)2)2)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = + + = + ⇔ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + π π π π π π π π π 3 3 sin sin k x k x x ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = = ⇔ π π π k x k x 3) 3)3)3)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = + = ⇔ = π π π arcsin arcsin sin k x k x x 4) 4)

4)4) sin (x-150)====

5 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − + = − ⇔ 0 0 360 arcsin 180 15 360 arcsin 15 k x k x 5) 5)

5)5) x= x⇔ x=± k∈Z

(49)

7) 7) 7)

7) 2π arccos

cosx= ⇔ x=± +k

8)

8)8)8) 3 tanx – = 0 ⇔tanx=

3 tan

tan = π

⇔ x ⇔x=π +kπ

3

9) 3cot2x + 3 = 0

3

cot =−

⇔ x ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⇔ cot

cot x π

π π

k x=− + ⇔ 2 π π k x=− + ⇔

B B

BBààààiiii ttttậậậậpppp ttttựựựự luyluyluyluyệệệện:n:n:n: B

BBBààààiiii 1:1:1:1: GiGiảGiGiảảảiiii ccccáááácccc phphươphphươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh sau:sau:sau:sau:

1) 2 cosx + sin2x = 0 2) cos(x-2) = - cos(5x+2) 3) tanx = cot(x+60o), x∈(0o; 270o) 4) tan 2x = 3

6) tan (2x π

− ) = 1 7) cot ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+200

x

=−

B

BBBààààiiii 2:2:2:2: GiGiảGiGiảảảiiii ccccáááácccc phphươphphươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh sau:sau:sau:sau:

2

1 sin sin sin cos

4

2 sin(2 ) cos( ) cos cos

3

2

3 sin( ) sin( ) 10 sin( ) cos( )

3

4 cos( ) sin(3 ) 11 cos( ) cos( )

2 3

2

5 sin (5 ) cos (

5

x x x x

x

x x x

x x π π π π π π π π π π π

> + = > + − =

> + + + = > + + =

> − + − = > + + + =

> + + + = > + + + + =

> + −

2

) 12 tan tan

4

6 cot(3 ) tan( ) 13 tan tan(2 )

3

7 tan tan

x x

x x x x

x x

π

π π π

+ = > =

> + − = > − + =

> =

B

BBàBàààiiii 3:3:3:3: TTTTììììmm ttttậmm ậậậpppp xxxxáááácccc địđịđịđịnhnhnhnh ccccáááácccc hhàhhàààmmmm ssssốốốố sau:sau:sau:sau:

1 cos 1)

2sin 1 sin( 2) 2)

cos 3 cos 2

x y x x y x x − = + − = − 3tan 3) 1 1 4)

3 cot 2 1

x y tanx y x = + = + B

(50)

3

4

6

2 1)sin cos sin cos

8 2) tan s cos 1

3

3)sin(2 ) cot cos(2 )

6 6 6

1 4) cos sin

2 7 5) cos sin

8 13 6) cos sin

8

7) tan tan( ) tan( ) 1

4 4

x x x x

inx x

x x

x x x

π

π π π

π π

− =

+ =

− + −

− = + = + =

− + =

9)sin cos cos cos 4 4 3 10)1 cos 2 sin 2 0

11)1 cos8 2sin cos 4 0 12)1-cos2x+2sinx =0

13)sinx+sin9x+sin3x+sin7x=0 14)cosx+cos9x+cos3x+cos7x=0 15)sinx+sin5x+sin3x=0

16) cos cos 2 cos 3 0 17)cosx+cos3x+2cos2

x x x x x x

x x x

= − + + =

− + =

+ + =

x=0 18)1+ cos 4 2sin cos 0 19) cos 3 cos 2 cos 1 0

x x x x x x

+ =

+ − − =

8)2sin x−sinx=0

II-M II-M

II-MII-Mộộộộtttt ssssốốốố phphphphươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh llllượượượượngngngng gigigigiáááácccc ththththườườngườườngngng ggggặặặặp:p:p:p:

�PhPhPhPhươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh bbbbậậậậcccc haihaihaihai theotheotheotheo mmmộmộộộtttt hhhhààààmmmm ssssốố llllượốố ượượượngngngng gigigigiáááácccc

asin2x+bsinx +c = 0

acos2x+bcosx +c = 0

atan2x+btanx +c = 0 acot2x+bcotx +c = 0

đặ

đặđặđặtttt tttt ==== sinxsinxsinxsinx (((( cosx,tanx,cosx,tanx,cosx,tanx,cosx,tanx, cotx)cotx)cotx)cotx) Ri

RiRiRiêêêêngngngng phphphphươươươngươngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh sinx,cosxsinx,cosx ccccósinx,cosxsinx,cosx óóó đđđđiiiiềềềềuu kiuukikikiệệệệnnnn t ≤1 Bài tập ứng dụng Giải phương trình sau:

1)3cos2x-5cosx+2=0 ⇔ 3t2– 5t +2 = với t =cosx và t ≤1

⇔

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= = ⇔

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= =

5 cos

1 cos

5

x x t

t

hs giải tiếp tục

2) 2sin2x-sinx-1=0 ⇔ 2t2– t -1 = với t =sinx và t ≤1

⇔

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− = = ⇔

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− = =

2 sin

1 sin

2 1

x x t

t

hs giải tiếp tục

3) 3tan2x-2 tanx+3 = 0 ⇔3t2-2 t+3 = với t = tanx phương trình

này vơ nghiệm nên pt cho vô nghiệm.

B

BBBààààiiii ttttậậậậpppp ttttựựựự luyluyluyluyệệệệnnnn

(51)

7) 4sin4x + 12cos2x = 7 8)2cos2(x/2)+3cos(x/2)+1=0

9) cos4 sin2 1 4

x= x− 10) 2tanx + 3cotx = 4 11) 9sin2x-5cos2x-5sinx+4=0 12) tanx – 2cotx = 3

13) tan2x-tanx-2=0 14)

cot x−(1− 3) cotx+ 3=0

15)

3 cot x−4 cotx+ 3=0 16)

2

4 tan cos x− x− =

17) sin2(2x+π /4)-3sin(2x+π /4)+2=0 18) 2tanx – cotx – = 0

�Phương trình asinasinasinasin2222x+bsinxcosx+bsinxcosx+bsinxcosx+bsinxcos xxxx +c+c+c+c coscoscoscos2222xxxx ==== 0000

-xét xem cosx = có phải nghiệm phương trình hay khơng?

-Chia phương trình cho cos2x ta phương trình atanatanatanatan2222x+btanxx+btanxx+btanxx+btanx +c+c+c+c ==== 0000

�Phương trình asinasinasinasin2222x+bsinxcosx+bsinxcosx+bsinxcosx+bsinxcos xxxx +c+c+c+c coscoscoscos2222xxxx ==== dddd

⇔ asin2x+bsinxcos x +c cos2x = d(sin2x+cos2x)

Biến đổi đưa dạng học

Bài tập ứng dụng: Giải phương trình sau:

1) sin2x – sin2x +cos2x = 0⇔ sin2x – 2sinxcosx +cos2x = 0

vì cosx = khơng phải nghiệm phương trình

nên chia phương trình cho cos2x ta phương trình:

tan2x-2tanx+1 = hs giải tiếp tục

2) sin2x + 5sinxcosx -2cos2x =2

⇔ sin2x + 5sinxcosx -2cos2x =2 (sin2x+cos2x)

⇔sin2x-5sinxcosx+4cos2x = biết cách giải.

B

2 2

1 sin (1 3) sin cos (1 3) cos 3cos sin cos 5sin sin sin cos cos cos sin cos 3 sin sin cos cos sin 3 sin 2 cos sin 3cos 5sin cos sin

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

> + − + − = > + + =

> + − − = > + = +

> + − + = > + − =

> + = > −

( )

2

2 2

2

8sin cos cos

9 sin sin cos cos 10 sin sin cos cos

11 3sin cos cos sin

12 sin sin cos 2(1 3) cos 30

x x x

x x x x x x x x

x x x x

+ =

> + − = > − + + =

> + − − =

> + + + = +

�PhPhPhươPhươươươngngngng trtrììììnhtrtr nhnhnh asinx+bcosxasinx+bcosxasinx+bcosxasinx+bcosx ==== cccc C

C

CCááááchchchch gigiảgigiảảải:i:i:i:

-chia phương trình cho 2

b a +

(52)

phương trình có nghiệm khi 2

c b

a + ≥

1) 3sinx+cosx=3

2 cos sin = +

⇔ x x

2

sin ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⇔ x π >1>1>1>1 ptvnptvnptvnptvn

2) 2) 2)2) cos 2 sin 2 cos sin

2 x− x= ⇔ x− x=

6 sin

sin π ⎟= π

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

⇔ x hs tự giải tiếp

B

BBBààààiiii ttttậậậậpp ttttựpp ựựự luyluyluyluyệệệệnnnn

Giải phương trình :

1/ sin cos 2 / cos sin

3 / sin cos / cos sin

5 / cos 12 sin 13 / sin cos / 3sin cos

x x x x

x x

− = + =

+ = + =

− = − =

+ =

�PhPhPhPhươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh a(sinx±cosx)+bsinxcossx+c=0

C C

CCááááchchchch gigiảgigiảảải:i:i:i: Đặ

Đặ

ĐặĐặtttt tttt ==== ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ± = ± sin cos

sinx x x π vvvvớớớớiiii t ≤ SuySuySuySuy rararara sinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosx theotheotheotheo tttt

1) (2+ 2)(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 1 Đặt t = sinx + cosx = );

4 sin(

2 x+π t ≤

Suy ra sinxcosx =

1

−

t

khi phương trình cho có dạng:

(2 2) 2 = + + − t t ( )⇔ ⎢ ⎣ ⎡ = = n t l t ) ( 2 ) sin(

2 x+π =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇔

sin x π =1 hs tự giải tiếp

2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6

Đặt t = sinx - cosx = );

sin(

2 x−π t ≤

Suy ra sinxcosx = 1−t2

khi phương trình cho có dạng: 6t

-2 1−t2

= 6 ⇔t2+ 12t – 13 = 0 ⎢ ⎣ ⎡ − = = ⇔ ) ( 13 ) ( l t n t

⇔ )

4 sin(

2 x−π = hs tự giải tiếp

B

BBBààààiiii ttttậậậậpp ttttựpp ựựự luyluyluyluyệệệệnnnn

(53)

5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 6) sin 2 2 sin( ) 1 4

x+ x− = . 7) (1+ 2)(sinx−cos )x +2sin cosx x= +1 2.

8) sinx−cosx +4sin 2x=1. 9) + tgx = 2 2sinx.

10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2. 11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0.

12) cos 1 sin 1 10

cos sin 3

x x

+ + + = . 13) sin3x + cos3x =

2

. 14) sinx – cosx + 7sin2x = 1.

L L

LLƯƯƯƯUUUU ÝÝÝÝ: giải phương trình lượng giác cần tiến hành theo bước:

-Xét xem góc lượng giác có góc chưa? Nêu chưa đưa góc được. -Cố gắng đưa phương trình cho dạng học.

(54)

T T T

TỔỔỔỔ HHHHỢỢỢỢPPPP

�

�� HaiHaiHaiHai quyquyquyquy ttttắắắắcccc đếđếmđếđếmmm ccccơơơơ bbảbbảảảnnnn

�

�� HoHoHoHoáááánn vnn vvvịịịị ChChChChỉỉỉỉnhnhnhnh hhợhhợợợpppp –––– TTổTTổổổ hhhhợợợợpppp

�

�� NhNhNhNhịịịị ththththứứcccc Niu-tứứ Niu-tNiu-tNiu-tơơơơnnnn §

§ §

§1111 HAIHAIHAIHAI QUYQUYQUYQUY TTTTẮẮẮẮCC CCC CCCƠƠƠƠ BBBBẢẢẢẢNNNN

I. I.

I.I. QuiQuiQuiQui ttttắắắắcccc ccccộộộộngngngng 1.

1.

1.1 ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh nghnghnghnghĩĩĩĩaaaa

Một cơng việc hồn thành bbbbởởởởiiii mmmmộộộộtttt trongtrongtrongtrong haihaihaihai hhhhàààànhnh độnhnh độđộđộngngngng Nếu hành động này có n cách thực hành động có m cách thực hiện khkhkhkhôôôôngngngng trtrtrtrùùùùngngngng vvvvớớớớiiii bbbbấấấấtttt kkkkỳỳỳỳ ccccááááchchchch nnnnààààoooo ccccủủủủaaaa hhàhhààànhnhnhnh độđộđộngđộngngng ththththứứ nhứứnhnhnhấấấấtttt Khi cơng việc hoàn thành bởin + m cách.

Quy tắc cộng mở rộng cho nhiều hành động. 2.

2.

2.2 ChChChChúúúú ýýýý

Nếu ký hiệu n(A) hoặc A là số phần tử tập hợp hữu hạn A thì quy tắc cộng có thể phát biểu sau:

• NếuAvàBlà hai tập hợp hữu hạn khơng giao thì

( ) ( ) ( )

n AÈB =n A +n B . • NếuAvàBlà hai tập hợp hữu hạn thì

( ) ( ) ( ) ( )

n AÈB =n A +n B -n AÇB .

• NếuX là tập hữu hạn tùy ý vàAlà tập củaX thì

( \ ) ( ) ( )

n X A =n X +n A .

• Nếu A A A1, 2, 3, Am là tập hợp hữu hạn đôi không giao thì

( m) ( 1) ( 2) ( m)

n A ÈA ÈA È ÈA =n A +n A + +n A .

II. II.

II.II. QuyQuyQuyQuy ttttắắắắcccc nhnhânhnhââânnnn Đị

ĐịĐịĐịnhnhnhnh nghnghnghnghĩĩĩĩaaaa

Một cơng việc hồn thành bởi haihaihai hhai hhhàànhàànhnhnh độđộđộđộngngngng lilililiêêêênnnn titititiếếếếpppp Có m cách thực hành động thứ ứng với cách có ncách thực hành động thứ hai, có m.ncách hồn thành cơng việc.

Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp. GI

GI GI

GIẢẢẢẢIIII TOTOTOTOÁÁÁÁNNNN V

V

VVấấấấnnnn đềđềđềđề 1.1 Quy1.1.QuyQuyQuy ttttắắắắcccc ccccộộộộngngngng 1.

1.

1.1. Cho AAAA={1;2;3;4;5;6;7;8;9} ; BBBB={2;4;6;8;10}

a) Tính n A n B n An A n B n An A n B n An A n B n A( ), ( ), ( ∪B n AB n AB n AB n A), ( ∩BBBB).

b) Kiểm chứng công thức n A( ÈB)=n A( )+n B( )-n A( ÇB). H

HHHướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii a) AAAA={1;2;3;4;5;6;7;8;9} ⇒n An An An A( ) 9=

{2;4;6;8;10} ( )

B n B

BBB= ⇒n Bn Bn B =

{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} ( ) 10

A B n A B

AAA∪BBB= ⇒n An An A∪BBB =

{2;4;6; 8} ; ( )

A B n A B

AAA∩BBB= n An An A∩BBB =

b) n An An An A( ∪BBBB) 10= ; n An An An A( )+n Bn Bn Bn B( )−n An An An A( ∩BBBB) 10= + − =

Vậy n A( ÈB)=n A( )+n B( )-n A( ÇB)

2. 2.

(55)

Theo quy tắc cộng có 10 + = 15 cách chọn cầu ấy. 3.

3.

3.3. Một lớp có 50 học sinh dự trại hè chơi hai môn thể thao: cầu lơng và bóng bàn Có 30 học sinh đăng kí chơi cầu lơng, 28 bạn đăng kí chơi bóng bàn 10 bạn khơng đăng kí chơi mơn Hỏi có bạn:

a) Đăng kí chơi hai mơn? b) Chỉ đăng kí chơi mơn?

H

HHHướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii

Kí hiệu Xlà tập hợp học sinh lớp.A, Blần lượt tập hợp học sinh đăng kí chơi cầu lơng chơi bóng bàn.

Như vậy, tập hợp học sinh đăng kí chơi hai mơn là: AAAA∩BBBB và tập hợp học sinh đăng kí chơi mơn là: AAAA∪BBBB

suy ra n An An An A( ∪BBBB) 50 10= − =40

a) Ta có: n A( ÈB)=n A( )+n B( )-n A( ÇB)

suy ra n A( ÇB)=n A( )+n B( )-n A( ÈB)=30+28-40=18

vậy có 18 học sinh đăng kí chơi hai mơn. b) Số học sinh đăng kí chơi môn là:

( ) ( ) 40 18 22

n AÈB -n AÇB = - = . V

V

VVấấấấnnnn đềđềđềđề 2.2.2.2 QuyQuy ttttắQuyQuy ắắắcccc nhnhnhnhâââânnnn 4.

4.

4.4. Từ chữ số 1, 5, 6, lập số tự nhiên: a) Có chữ số.

b) Có chữ số khác nhau. H

HHHướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii Kí hiệu số cần tìm là nnnn=abcdabcdabcdabcd.

a) Có cách chọn choa. 4 cách chọn chob 4 cách chọn choc 4 cách chọn chod

Vậy theo quy tắc nhân có 4.4.4.4 = 256 số thỏa yêu cầu tốn. b) Có cách chọn choa.

3 cách chọn chob. 2 cách chọn choc. 1 cách chọn chod.

Vậy theo quy tắc nhân có 4.3.2.1 = 24 số thỏa yêu cầu toán. 5.

5.

5.5. Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thề lập số có: a) chữ số khác chia hết cho 2.

b) chữ số khác chia hết cho 5. c) chữ số khác chia hết cho 10.

H

HHHướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii Kí hiệu số cần tìm là nnnn=abcdabcdabcdabcd.

a) nnnn=abcdabcdabcdabcd chia hết cho suy ra dddd∈{0;2;4;6} Trường hợpd = 0

Có cách chọn choa.

(56)

Trường hợp dddd ≠0

Có cách chọn chod.

5 cách chọn choa. 5 cách chọn chob. 4 cách chọn choc.

Theo quy tắc nhân có 3.5.5.4 = 300 số thỏa u cầu tốn. Vậy có 120 + 300 = 420 số thỏa yêu cầu toán.

b) nnnn=abcdabcdabcdabcd chia hết cho suy ra dddd∈{0;5} Trường hợpd = 0

Có cách chọn choa.

5 cách chọn cho b. 4 cách chọn cho c.

Theo quy tắc nhân có 6.5.4 = 120 số thỏa yêu cầu toán. Trường hợp dddd =5

Có cách chọn choa. 5 cách chọn chob. 4 cách chọn choc.

Theo quy tắc nhân có 5.5.4 = 100 số thỏa yêu cầu toán. Vậy có 120 + 100 = 240 số thỏa yêu cầu toán.

c) nnnn=abcdabcdabcdabcd chia hết cho 10 suy ra dddd=0 và cccc∈{2;4;6} d = 0có cách chọn chod.

{2;4;6}

cccc∈ có cách chọn choc. 5 cách chọn choa.

4 cách chọn chob.

Theo quy tắc nhân có 3.5.4 = 60 số thỏa yêu cầu toán. 6.

6.

6.6. Trong đội văn nghệ có nam nữ Hỏi có cách chọn một đơi song ca nam – nữ?

H H H

Hướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii

Có cách chọn cho nam, ứng với cách chọn bạn nam có cách chọn bạn nữ.

Vậy theo quy tắc nhân có: 8.6 = 64 cách chọn đội song ca. B

B B

Bààààiiii ttttậậậậpp ttttựpp ựựự luyluyluyluyệệệệnnnn

1. Trong hộp có 10 cầu trắng cầu đen Có cách chọn một trong cầu ấy?

2. Từ số tự nhiên 1, 5, 6, lập sơ tự nhiên a) Có bốn chữ số?

b) Có bốn chữ số khác đôi một?

3. Từ số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác nhau?

4. Có số tự nhiên n có bốn chữ số đôi khác biết a) n chẵn?; b) n lẻ ? c) n chia hết cho 2? d) n chia hết cho 5? e) n chia hết cho 10? f) n chia hết cho 20?

5. Từ số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5, lập sơ tự nhiên có ba chữ số đôi khác nhỏ 345?

(57)

số chữ số lẻ?

8. Có số tự nhiên chẵn gồm sáu chữ số khác đơi có đúng ba chữ số chẵn ba chữ số lẻ?

9. Cho cá chữ số 0, 2, 4, 5, 6, 8, Hỏi lập số có bốn chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số 5?

10 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hãy tìm số có ba chữ số khác đơi một sao cho số vừa tìm lớn 300 nhỏ 600?

11 Hỏi lập số tư nhiên gồm sáu chữ số khác nhau, cho các chữ số có mặt chữ số 1?

12 Có cách xếp bạn nam bạn nữ vào 10 ghế xếp thành hành ngang, cho:

a) Nam nữ ngồi xen kẻ nhau? b) Các bạn nam ngồi liền nhau?

13 Có cách xếp chổ ngồi cho 10 bạn có An, Bình vào 10 ghế xếp thành hàng ngang, nếu:

a) Hai bạn An, Bình ngồi cạnh nhau? b) Hai bạn An, Bình ngồi cách nhau?

14 Bốn người đan ông, hai người đàn bà đứa trẻ xếp ngồi vào bảy ghế đặt thành hàng ngang Hỏi có cách xếp cho:

a) Đứa trẻ ngồi hai người đàn bà? b) Đứa trẻ ngồi hai người đàn ông?

15 Có cách xếp chổ cho bạn nữ bạn nam ngồi vào 10 ghế mà khơng có hai bạn nữ ngồi cạnh nhau, nếu

a) Ghế xếp thành hàng ngang? b) Ghế xếp thành vịng trịn?

16 Có sách tốn, sách lý sách hóa Hỏi có bao nhiêu cách xếp chúng vào kệ sách cho:

a) Chúng nằm tùy ý.

b) Những sách thuộc loại chung.

17 Lớp 11A có 40 học sinh, có 18 nam 22 nữ Chọn đội gồm 7 người tham gia mùa hè xanh Hỏi có cách chọn cho:

a) Chọn tùy ý 40 học sinh.

b) Trong học sinh chọn có nam.

18 Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng bi vàng Người ta chọn 4 viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn số bi lấy khơng có đủ ba màu?

19 Một người muốn chọn hoa từ bó hoa để cấm vào bình hoa Bó thứ nhất có 10 bơng hồng, bó thứ hai có bơng lan bó thứ ba có bơng cúc.

a) Hỏi người có cách chọn?

b) Nếu người muốn chọn mổi loại hoa bơng Hỏi có cách chọn?

20 Một có 52 quân có quân át.

a) Có cách rút ba quân 52 quân?

b) Có cách rút ba quân có quân át?

21 Một có 52 quân Hỏi có cách rút từ 10 quân gồm có 3 quân “cơ”, qn “rơ” qn “bích”?

(58)

b) Có cách xếp để phiếu đánh số chẵn, lẻ riêng biệt?

23 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác Hỏi trong tất số thiết lập có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau?

24 Có cách xếp bạnA, B, C, D, Evào ghế dài cho: a) Bạn C ngồi giữa.

b) Hai bạnAvàEngồi hai đầu ghế?

25 Từ số 1, 2, 3, 4, Hỏi lập số có chữ số đó chữ số xuất lần?

26 Có thể lập số có tám chữ số từ số 1, 2, 3, 4, 5, đó chữ số có mặt hai lần, cịn chữ số khác có mặt lần ?

§

§§§2222 HOHOHOHỐÁÁÁNNNN VVVVỊỊỊỊ TTTTỔỔỔỔ HHHHỢỢỢỢPPPP –––– CHCHỈỈỈỈNHCHCH NHNHNH HHHHỢỢỢỢPPPP Ho

HoHoHoáááánnnn vvvvịịịị 1.

1.

Cho tập A có n (n³1) phần tử Khi ssssắắắắpppp xxxxếếếếpppp nnnn phphphphầầầnầnnn ttttửửửử nnnnààààyyyy theotheotheotheo mmộmmộộộtttt ththththứứứứ ttttựựựự, ta được một hohohohoáááánnnn vvvvịịịịcác phần tử tậpA(gọi tắc hoán vị tậpA)

2. 2.

2.2 SSSSốốốố ccccáááácccc hohoáhohoááánnnn vvvvịịịị

Số hoán vị củanphần tử ký hiệu là Pn và tính theo cơng thức:

! ( 1)( 2) 2.1

n

P =n =n n- n

-Trong đó:

• n! đọc làngiai thừa. • 0!=1

I. I.

I.I. ChChChChỉỉỉỉnhnhnhnh hhhhợợợợpppp 1.

1.

Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với 1£ £k n Khi llllấấấấyyyy rara krara kkk phphphphầầầầnnnn ttttửửửử ccccủủủủaaaa ttttậậậậpppp AA vvvvàAA ààà ssssắắắắpppp xxxxếếếếpppp theotheotheotheo mmmmộộộộtttt ththứththứứứ ttttựựựự, ta chỉnh hợp chập k của n phần tử của tậpA(gọi tắc chỉnh hợp chậpk củaA).

2. 2.

2.2 SSSSốốốố chchchchỉỉỉỉnhnhnhnh hhhhợợợợpppp

Số chỉnh hợp chậpk của nphần tử ký hiệu là k n

A và tính theo cơng thức:

( ) ( )

! !

k n

n

A k n

n k

= £ £

-Ch Ch ChChúúúú ýýýý::::

Từ định nghĩa suy hoán vị của nphần tử, chỉnh hợp chập n củanphần tử ngược lại Vì vậy: Pn = Ann

Công thức khin = 0 II.

II.

II.II. TTTTổổổổ hhợhhợợợpppp 1. 1.

1.1. ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh nghnghnghnghĩĩĩĩaaaa

Cho tập hợp Agồm nphần tử số nguyên k với 1£ £k n. MMMMỗỗỗỗiiii ttttậậậậpppp conconconcon ccccủủủủaaaa AAAA ccccóóóó k

k

kk phphphphầầầầnnnn ttttửửửửđược gọi tổ hợp chập kcủa nphần tử tậpA(gọi tắc tổ hợp chập kcủa A).

(59)

( )

!

! !

k n

n C

k n k

=

-3. 3.

3.3. CCCCáááácccc ttttíííínhnhnhnh chchchchấấấấtttt ccccủủaủủaaa ttttổổổổ hhhhợợợợpppp

• o n

n n

C =C

• Cnk =Cnn k- (0£ £k n)

• ( )

1 1

k k k

n n n

C =C-- +C - £ £k n

• Cnk nCnn k1 (0 k n) k

-= £ £

• 1 ( )

1

k k

n n

n k

C C k n

k

+

= £ £

Gi Gi

GiGiảảảảiiii totototoáááánnnn

1. Từ chữ số 1, 2, 3, lập số có chữ số khác nhau. H

HHHướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii Kí hiệu số cần tìm là abcdabcdabcdabcd

Mội hốn vị chữ số 1, 2, 3, cho ta số cần tìm. Vậy có PPPP4 =4! 4.3.2.1 24= = số thỏa yêu cầu toán.

2. Có tem thư khác bìa thư khác Người ta muốn chọn từ 3 tem thư, bì thư dán ba tem thư lên ba thư Một bì thư dán tem thư. Hỏi có cách làm vậy.

H H H

Hướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii Chọn tem thư có CCCC53 =10 cách chọn. Chọn bì thư có CCCC63 =20 cách chọn. Dán tem lên bì có PPPP3 =3! 6= cách dán.

Theo quy tắc nhân ta có 10.20.6 = 1.200 cách làm theo yêu cầu tốn.

3. Một bó hồng gồm 10 bơng hồng bạch 10 hồng nhung Bạn Nhung muốn chọn bơng để cấm vào bình, thiết phải có hai bơng hồng bạch và hai bơng hồng nhung Hỏi có cách chọn.

H H H

Hướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii Có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Chọn hai bạch ba bơng nhung Chọn hai bơng bạch có: CCCC102 cách

Chọn bơng hồng nhung có CCCC103

Trường hợp có C CC CC CC C102 63 =5400 cách.

Trường hợp 2: Chọn ba bạch hai bơng nhung Chọn ba bơng bạch có: CCCC103 cách

Chọn bơng hồng nhung có CCCC102

Trường hợp có C CC CC CC C102 63 =5400 cách.

Như theo quy tắc cộng có: 5400 + 5400 = 10.800 cách chọn theo yêu cầu. 4. Dùng chữ số 1, 2, 3, 4, 5, để viết số tự nhiên gồm chữ số khác nhau. Hỏi

(60)

Kí hiệu số cần tìm là nnnn=abcdabcdabcdabcd

a) nnnn là số tùy ý: Mỗi số phải tìm chỉnh hợp chập chữ số cho. Vậy có AAAA64 =360 số thỏa yêu cầu.

b) nnnn chẵn suy ra dddd∈{2;4;6} Có cách chọn chod.

Mỗi số abcabcabcabc là chỉnh hợp chập chữa số (AAAA53). Theo quy tắc nhân có 3. AAAA53 = 180 số thỏa yêu cầu. 5. Tính: a) 17

15 P P PP A A AA P PPP

= ; b) 12!

3!.10!

B B B

B= ; c)

10 17 17

8 17

A A

AAA AAA C C C C A A AA + = H H H

Hướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii a) 17 15 17! 17.16.15! 17.16 272 15! 15! P P P P A A A A P P PP = = = = = .

b) 12! 12.11.10! 12.11 22 3!.10! 3!.10! 1.2.3

B

BBB= = = = .

c)

10 17 17

8 17

17! 17! 1 8.9

7! 8! 7! 8! 9! 9! 8.9 81

17! 1

9! 9! 9!

A A A A A A A A C C C C A AAA

+ + +

+

= = = = = + =

6. Giải phương trình CCCC23nnnn =20CCCCnnnn2 (*) H H H

Hướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii Điều kiện

*

2

n N nnn NNN n nnn

⎧ ∈ ⎨

≥ ⎩

Khi (*)

( )

2 ! !

20

3! ! 2!.( 2)!

(2 2)(2 1)2 ( 1)

20

6

2 15

n

nnn nnnn

n n

nnn nnn

n n n n n

n n n n n n n n ⇔ = − − − − − ⇔ = ⇔ − = ⇔ = . B B B

Bààààiiii ttttậậậậpp ttttựpp ựựự luyluyluyluyệệệệnnnn

1. Dùng Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp giải tập mục hai quy tắc bản. 2. Rút gọn biểu thức

3

k k k k

n n n n

B=C + C - + C - +C - với 3£ £k n.

3. Giải phương trình.

a) C23n =20Cn2 ; b) 72A1x-A3x+1=72; c) Cx1+6Cx2+6Cx3=9x2-14x; d)

5

5 14

x x x

C -C = C . 4. Tìmnnguyên dương thỏa mãn đẳng thức:

1

5

0

n n n

C - -C - - A- = .

5. Giải bất phương trình. a) ( ) 4 42 ! x x A x P + £

+ ; b)

4

1

5

0

x x x

(61)

6. Giải hệ phương trình

1 1

1

m n m n m n

C C C

+ + -+

= ïï

ïï íï

ïï =

ïïïỵ

§ §

§§3333 NHNHNHNHỊỊỊỊ THTHTHTHỨỨCỨỨCCC NIU-TNIU-TNIU-TNIU-TƠƠƠƠNNNN I.

I.

I.I. CCCCôôôôngng thngngthththứứứứcccc nhnhnhnhịịịị ththththứứứứcccc NuitNuitNuitNuitơơơơn.n.n.n.

( ) 1

0

n

n n n k n k k n n k n k k

n n n n n

k

a b C a C a -b C a - b C b C a - b

=

+ = + + + + + =å

Cộng thức gọi công thức nhị thức Niu-tơn (gọi tắc nhị thức Niu-tơn)

� �

�� HHHHệệệệ ququququảảảả

Với a= =b 1, ta có

2n=Cn +Cn+Cn + + Cnn

Với a=1, b= -1, ta có ( ) ( )

0=Cn -Cn+Cn - + - kCnk + + - nCnn

� � �

�ChChChChúúúú ýýýý Trong khai triển ( )

0

n

n k n k k

n k

a b C a - b

=

+ =å

Số số hạng làn+ 1.

Các số hạng có số mũagiảm dần từnđến 0, số mũ củabtăng dần từ đếnn. Các hệ số số hạng cách số hạng đầu cuối nhau

0

k n k

n n

C =C - £ £k n.

Nếu n là số nguyên lẻ số hạng thứ

2

n+

và 1

n+

+ là số hạng giữa trong khai triển.

Nếu n là số nguyên chẵn số hạng thứ

n+

là số hạng trong khai triển.

II. II.

II.II TamTamTamTam gigigigiáááácccc Pascal.Pascal.Pascal.Pascal.

Trong công thức nhị thức Niu-tơn, cho nnnn=0, 1, 2, 3, và xếp hệ số thành dòng, ta nhận tam giác gọi tam giác Pascal.

Ngồi tam giác pascal cịn phát biểu đơn giản sau:

Trong tam giác ta từ số Mỗi số tam giác số bên cộng số bên trái.

Gi Gi

GiGiảảảảiiii totototoáááánnnn 1. Khai triển

(62)

a) (1 )7 70 71 72 73 74 7kkkk kkkk 77

x C C x C x C x C x C x C x

x C C x C x C x C x C x − C x

+ = + + + + + + + +

b)

( )4 2 3 4

4 4 4

2

2 2 ( ) ( ) ( ) (3 )

16 96 216 216 81

x C C x C x C x C x

xxx CCC CCC xxx CCC xxx CCC xxx CCC xxx

x x x x

− = + − + − + − +

= − + − +

2. Tìm hệ số số hạng chứa xxxx3 trong khai triển (3xxxx−4)5 . H

H H

Hướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii

Khai triển ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5

5 5 5

5

0

3 kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk kkkk

k k

x C x C x

x C x − − C x −

= =

− =∑ − =∑ −

Chọn 5−kkkk= ⇒3 kkkk=2

Do hệ số số hạng chứa xxxx3 trong khai triển là

( )5 ( ) ( ) (3 )2

5

3 kkkk kkkk kkkk 4320

C C

−

− = − =

3. Tính tổng 22 23 2nnnn nnnn

n n n n n nnn nnn nnn nnn nnn

T C C C C C

TT =CC + CC + CC + CC + + CC

H H H

Hướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii Ta có ( ) 2 3

1 nnnn nnnn nnnn

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

x C C x C x C x C x

+ = + + + + + (*)

Trong khai triển (*) thay xxxx=2 ta được

( ) 2 3

1 nnnn 2 nnnn2 nnnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

C C C C C

CCC CCC CCC CCC CCC

+ = + + + + +

Vậy 3nnnn

T T T T = .

B

BBBààààiiii ttttậậậậpppp 1 Khai triển : (x-2)6; (2x+3)5 ; (x+2y)7 2 Tìm hệ số số hạng chứa

x trong khai triển (2x-1)10. 3 Tìmx sao cho số hạng thứ ba khai triển (x+3)6 là 540. 5 Tìm hệ số số hạng khơng chứax trong khai triển

15

x x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ .

6 Tỡm h s ca s hạng chứa 12 13

x y trong khai triển (x+y)25. 7 Tìm số hạng khai triển

16

1

x x

ỉ ư÷

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ .

8 Biết tổng hệ số khai triển ( 2)

1+x n là 1024 Tìm hệ số số hạng chứa

12

x .

9 Cho biết khai triển

n

x x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ Tng cỏc số hạng thứ nhất, hai, ba 46 Tìm

hệ số số hạng không chứa x.

10 Tìm số ngun dươngnsao cho khai triển (x+1)n có hai hệ số liên tiếp có tỉ lệ 7/15.

11 Cho biết tổng tất hệ số khai triển

3

1 n

x x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ l 64 Tỡm h s số

hạng không chứa x.

(63)

� �

�� BiBiBiBiếếếếnnnn ccccốốố vốvvvàààà xxxxáácccc suáá sususuấấấấtttt ccccủủủủaa biaabibibiếếếếnnnn ccccốốốố

� �

�� CCCCáááácccc quyquyquyquy ttttắắắắcccc ttttíííínhnhnhnh xxxxáááácccc susususuấấấấtttt

§ § §

§1111 BIBIBIBIẾẾẾNẾNNN CCCCỐỐ VỐỐVVVÀÀÀÀ XXXXÁÁÁÁCCC SUCSUSUSUẤẤẤẤTT CTTCCCỦỦỦỦAAAA BIBIBIBIẾẾẾẾNNNN CCCCỐỐỐỐ I.

I.

I.I BiBiBiBiếếếếnnnn ccccốốốố 1.

1.

1.1. PhPhPhPhéééépppp ththththửửử ngửngngngẫẫẫẫuuuu nhinhinhinhiêêêênnnn vvvvàààà khkhkhkhôôôôngngngng giangiangiangian mmmmẫẫẫẫu.u.u.u.

Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, mặc dù biết tập tất kết có phép thử đó.

Để đơn giản, phép thử ngẫu nhiên gọi tắc phép thử.

Tập hợp kết phép thử gọi không gian mẫu phép thử và kí hiệu là Ω.

2. 2.

2.2 BiBiBiBiếếếếnnnn ccccốốốố

Biến cố tập không gian mẫu. Ch

Ch ChChúúúú ýýýý::::

• Người ta thường kí hiệu biến cố chữ in hoaA, B, C,…

• Khi nói biến cốA, B, C,…mà khơng nói thêm ta hiểu chúng liên quan đến phép thử.

• Tập ∅ được gọi biến cố khơng thể(gọi tắc biến cố khơng), cịn tập Ω gọi là biến cố chắt chắn.

• Ta nói rằngAxảy kết phép thử phần tử của A. • Các phần tử củaAgọi kết thuận lợi choA.

II. II.

II.II XXXXáááácccc susususuấấấấtttt ccccủủủủaaaa bibibibiếếếếnnnn ccccốốốố

Giả sửAlà biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết quả đồng khả xuất Ta gọi tỉ số ( )

( )

n A n A n An A n n n

n Ω là xác suất biến cốA.

Kí hiệu ( ) ( ) ( )

n A n A n An A P A

P AP AP A n n n n

= Ω

Đị Đị

ĐịĐịnhnhnhnh llllýýýý::::

( ) ; ( )

P P

P ∅ = P Ω =

Với biến cốA, ta có: 0≤ P AP AP AP A( ) 1≤

B B

BBààààiiii totototoáááánnnn

1 Gieo đồng tiến ba lần GọiAlà biến cố “mặt ngữa xuất lần”. a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cốA. c) Tính xác suất biến cốA.

H

a) Không gian mẫu Ω ={SSS SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNNSSS SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNNSSS SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNNSSS SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNN; ; ; ; ; ; ; }. b) Biến cốA: AAAA={SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNNSSN SNS NSS SNN NSN NNS NNNSSN SNS NSS SNN NSN NNS NNNSSN SNS NSS SNN NSN NNS NNN; ; ; ; ; ; }.

c) Ta có nnnn( ) ; ( ) 7Ω = n An An An A =

Vậy xác suất biến cố Alà ( ) ( ) ( )

n A n An An A P A

P A P A P A

n n nn

= =

Ω

2 Có miếng bìa ghi số từ đến Lấy ngẫu nhiên hai miếng bìa xếp theo thứ tự từ trái sang phải Tính xác suất biến cố sau:

(64)

H

Mỗi kết phép thử tổ hợp chập phần tử Vậy không gian mẫu gồm nnnn( )Ω =AAAA92 =72

a) Kí hiệu số tạo thành là nnnn=abababab n A

n A n A

n∈A nên bbbb∈{2;4;6;8} Có cách chọn cho bvà cách chọn cho a Theo quy tắc nhân ta cón(A) = 8.4 = 32

Vậy ( ) ( ) 32 ( ) 72

n A n An An A P A

P A P AP A

n nnn

= = =

Ω

b) nnnn∈BBBB nên bbbb=5, có cách chọn chobvà cách chọn choa. Theo quy tắc nhân cón(B) = 8.1 = 8

Vậy ( ) ( ) ( ) 72

n B n Bn Bn B P B

P B P BP B

n nnn

= = =

Ω

3 Từ hộp chứa viên bi màu trắng viên bi màu đỏ lấy ngẫu nhiên đồng thời viên bi Tìm xác suất đề lấy ba viên bi màu trắng viên bi màu đỏ.

H

HHHướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii Hộp bi có chứa 12 viên bi.

Chọn ngậu nhiên 12 viên bi có CCCC125 =729 cách Vậy khơng gian mẫu Ω có 792 phần tử.

Chọn viên bi trắng có CCCC53 =10 cách. Chọn viên bi đỏ có CCCC72 =21 cách.

Vậy biến cố A: “lấy viên bi trắng viên bi đỏ” có: 10.21 = 210 phần tử Như xác suất cần tìm là ( ) ( ) 210

( ) 792

n A n An An A P A

P A P AP A

n nnn

= =

Ω

B

1 Ba bà mẹ, người sinh đứa Tính xác suất để đứa bé sinh ra. a) Chỉ có nữ.

b) Nhiều nữ.

2 Gieo súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố sau. A: “Xuất mặt chẵn”.

B: “Xuất mặt có số chấm chia hết cho 3”. C: “Xuất mặt có số chấm không nhỏ 3”. 3 Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất.

a) Hãy mô tả khơng gian mẫu.

b) Tính xác suất biến cố A: “Tổng số chấm mặt xuất hai xúc sắc nhỏ ”.

4 Có chín miếng bìa ghi từ đến Lấy ngẫu nhiên hai miếng bìa và xếp theo thứ tự từ trái sang phải Tính xác suất biến cố sau:

a) A: “Số tao thành có chữ số hành chục lớn hàng đơn vị”.

b) C: “Số tạo thành có chữ số hàng chục nhỏ chữ số hàng đơn vị”.

5 Một bình đựng viên bi khác màu, xanh, vàng, đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để được.

a viên bi xanh. b viên bi khác màu.

(65)

thời viên bi Tìm xác suất để lấy viên bi màu trắng viên bi màu đỏ. §

§§2§222 CCCCÁÁÁÁCC QUYCCQUYQUYQUY TTTTÁÁÁÁCCCC TTTTÍÍÍÍNHNHNHNH XXXXÁÁCÁÁCCC SUSUSUSUẤẤẤẤTTTT I.

I.

I.I QuyQuyQuyQuy ttttắắắắcccc ccccộộộộngngngng xxxxáááácccc susususuấấấất.t.t.t. 1.

1.

1.1.BiBiBiBiếếếếnnnn ccccốốố hốhhhợợợợp.p.p.p.

Cho hai biến AvàB biến cố “AhoặcBxảy ra”, kí hiệu là AAAA∪BBBB được gọi hợp của hai biến cố AvàB.

Nếu ΩAAAA và ΩBBBB lần lượt tập hợp kết thuận lợi cho A và B thì hợp các kết thuận lợi cho AAAA∪BBBB là Ω ∪ ΩAAAA BBBB.

Một cách tổng quát: Chok biến cố A A AA A AA A AA A A1, 2, 3, ,AAAAkkkk Biến cố “có trong các biến cố A A AA A AA A AA A A1, 2, 3, ,AAAAkkkk xảy ra”, kí hiện AAAA1∪AAAA2∪AAAA3∪ ∪AAAAkkkk được gọi hợp của các biên cố đó.

2. 2.

2.2.BiBiBiBiếếếếnnnn ccccốốốố xungxungxungxung khkhkhkhắắắắc.c.c.c.

Cho hai biến cố A và B Hai biến cố A và B được gọi xung khắc biến cố này xảy biến cố không xảy ra.

Như hai biến cốAvàB xung khắc khi Ω ∩ Ω = ∅AAAA BBBB . Trong đó ΩAAAA, ΩBBBB lần lượt kết thuận lợi choA vàB. 3.

3.

3.3 QuyQuyQuyQuy ttttắắắắcccc ccccộộộộngngngng xxxxáááácccc susususuấấấất.t.t.t.

Nếu hai biến cố AvàBxung khắc, xác suất đểAhoặcBxảy là

( ) ( ) ( )

P A B P A P B P A B P A P B P A B P A P B P A∪B =P A +P B

Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố phát biểu sau: Cho k biến cố A A AA A AA A AA A A1, 2, 3, ,AAAAkkkk đôi xung khắc Khi đó:

1 3

( kkkk) ( ) ( ) ( ) ( kkkk)

P A A A A P A P A P A P A

P AP A ∪ AA ∪AA ∪ ∪AA = P AP A +P AP A +P AP A + +P AP A 4.

4.

4.4 BiBiBiBiếếếếnnnn ccccốốốố đốđốđốđối.i.i.i.

Cho A là biến cố đối Khi biến cố “Khơng xảy ra A”, kí hiệu là A, được gọi làbibibibiếếếếnnnn ccccốốốố đốđốđốđốiiiicủaA.

Ch Ch ChChúúúú ýýýý::::

• Hai biến cố đối hai biến cố xung khắc.

• Hai biến cố xung khắc chưa hai biến cố đối nhau. • Ta có kết sau: P A( )= −1 P A( )

II. II.

II.II QuyQuyQuyQuy ttttắắắắcccc nhnhnhnhâââânn xnnxxxáááácccc susususuấấấấtttt 1.

1.

1.1 BiBiBiBiếếếếnnnn ccccốốốố giaogiaogiaogiao

Cho hai biến cốA và B Biến cố “Cả A và Bcùng xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi làgiaogiaogiaogiao ccccủủủủaaaa haihai bihaihaibibibiếếếếnnnn ccccốốốốAvàB.

Tổng quát: Cho k biến cố A A AA A AA A AA A A1, 2, 3, ,AAAAkkkk Biến cố “tất biến cố

1, 2, 3, , kkkk

A A A A

A A AA A AA A A AAA xảy ra”, kí hiện A A AA A AA A AA A A1 2 3 AAAAkkkk được gọi giao củakbiên cố đó. 2.

2.

2.2 BiBiBiBiếếếếnnnn ccccốốố độốđộđộđộcccc llllậậậậpppp

Hai biến cố A và B được gọi là độđộđộđộcccc llllậậậậpppp với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố kia.

3. 3.

3.3 QuyQuyQuyQuy ttttắắắắcccc nhnhnhnhâââânn xnnxxxáááácccc susususuấấấấtttt

Nếu hai biến cố AvàBđộc lập với thì:

( ) ( ) ( )

P AB =P A P B B

B

(66)

1 Một hộp có thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên thẻ nhân hai số thẻ lại với Tính xác suất để kết nhận số chẵn.

H

HHHướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnn ginngigigiảảảảiiii totototoáááánnnn

Kết nhận số chẵn hai thẻ rút có nhất một thẻ ghi số chẵn.

Gọi Alà biến cố “rút thẻ chẵn thẻ lẻ” Blà biến cố “cả hai thẻ rút thẻ chẵn”

Khi biến cố “tích hai số hai số ghi hai thẻ số chẵn” là AAAA∪BBBB. Rõ ràngAvàB là xung khắc nên P AP AP AP A( ∪BBBB)=P AP AP AP A( )+P BP BP BP B( )

Mỗi lần rút đồng thời hai thẻ cho ta tổ hợp chập phần tử Do đó, số khơng gian mẫu là nnnn( )Ω =CCCC92.

Trong thẻ có thẻ chẳn thẻ lẻ: Suy ra n An An An A( )=C CC CC CC C41 15 và n Bn Bn Bn B( )=CCCC42

Do đó

1

20 ( )

36

C C C CC CC C P A

P A P A P A

C C C C

= = ;

2

6

( )

36

C C CC P B P BP BP B

C C CC

= = =

Vậy ( ) ( ) ( ) 20 13 36 18

P A B P A P B P A B P A P B

P AP A∪BB =P AP A +P BP B = + = .

2. Một máy có động I II hoạt động độc lập với Xác suất để động cơ I động II chạy tốt tương ứng 0,8 0,7 Hãy tính xác suất để:

a) Cả hai động chạy tốt.

b) Cả hai động không chạy tốt. c) Có động chạy tốt.

H H H

Hướướướướngngngng ddddẫẫẫẫnnnn gigigigiảảảảiiii a) GọiAlà biến cố: “Động I chạy tốt”,

Blà biến cố: “Động II chạy tốt”,

Clà biến cố: “Cả hai động chạy tốt”. Rõ ràngAvàB là hai biến cố độc lập vàC = AB Do đóP(C) = P(AB) = P(A)P(B) = 0,8.0,7 = 0,56

b) GọiDlà biến cố: “cả hai động chạy khơng tốt” Rõ ràng DDDD= ABABABAB

Do đó: P DP DP DP D( )=P ABP ABP ABP AB( )= P A P BP A P BP A P BP A P B( ) ( ) (1= −P AP AP AP A( ))(1−P BP BP BP B( )) 0,2.0,3 0,06= =

c) GọiElà biến cố “Có động chạy tốt”. Suy ra EEEE=DDDD

Do đó: P EP EP EP E( )=P DP DP DP D( ) 1= −P DP DP DP D( ) 0,06= − =0,94. To

ToToToáááánnnn ttttựựựự luyluyluyluyệệệệnnnn

1 Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi Tính xác suất để chọn hai viên bi

a) Cùng màu. b) Khác màu.

2 Bạn thứ có đồng tiền, bạn thứ hai có súc sắc Xét phép thử: bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau bạn thứ hai gieo súc sắc.

a) Mô tả không gian mẫu.

(67)

d) Biến cốA, C có phải hai biến cố độc lập không? Chứng minh. 3 ChoP(A) = 1/3; P(B) = mvà P A( ÈB)=1/ 2 Tìmm để:

a) AvàBđộc lập. b) AvàBxung khắc.

4 Cho P(A) =0.6; P(B) =0.4 Tính P A( ÈB), biếtAvàBxung khắc.

5 Có ba bình A, B ,C mội bình chứa ba cầu trắng, ba cầu xanh ba quả cầu đỏ Từ bình lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để

a) Ba cầu có màu đơi khác nhau.

b) Hai cầu có màu cịn khác màu.

6 Một bình chứa 16 viên bi, với viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ. a) Lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất để:

i) Lấy ba viên bi đỏ.

ii) Lấy ba viên bi không đỏ. iii) Lấy ba viên bi có màu khác nhau. b) Lấy ngẫu nhiên bốn viên bi Tính xác suất để:

i) Lấy viên bi trắng. ii) Lấy hai viên bi trắng.

c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất lấy viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ.

7 Kết (b, c) việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, đó blà số chấm xuất lần gieo đầu, c là số chấm xuất lần gieo thứ 2, được thay vào phương trình bậc hai

0

x +bx+ =c Tính xác suất để: a) Phương trình vơ nghiệm.

b) Phương trình có nghiệm kép. c) Phương trình có nghiệm.

8 Từ hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ đến 10, 20 cầu xanh được đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho cầu chọn:

a) Ghi số chẵn. b) Màu đỏ.

c) Màu đỏ ghi số chẵn. d) Màu xanh ghi số lẻ.

9 Có nam nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn trịn Tính xác suất cho. Nam, nữ ngồi xen kẽ.

10 Từ cổ 52 quân, lấy ngẫu nhiên quân Tính xác suất cho con thứ Át, nếu

a) Lấy khơng hồn lại. b) Lấy có hồn lại.

11. Ba người bắn vào bia Gọi Ak là biến cố “người thứk bắn trúng”,

1, 2,3

k= .

Hãy biểu diễn biến cố sau qua biến cố A A A1, 2, 3: A: “Có người bắn trúng”.

B: “Cả ba bắn trúng”. Tính P(A), P(B).

(68)

13 Trong tú lơ khơ có 52 Rút ngẫu nhiên lúc Tính xác suất để có:

a) 2 Át. b) Ít Át.

14 Xác suất bắn trúng đích người bắn súng 0,6 Tính xác suất để ba lần bắn độc lập người bắn:

a) Trúng đích lần. b) Khơng lần trúng đích. c) Trúng đích lần.

15 Có ba xạ thủ bắn vào bia Xác suất trúng đích 0,7 ; 0,8 ; 0,9 Tính xác suất để:

a) Có người bắn trúng bia. b) Có hai người bắn trúng bia.

16 Bắn ba viên đạn cách độc lập vào mục tiêu Xác suất trúng mục tiêu của từng viên đạn tương ứng 0,3 ; 0,4 ; 0,5 Nếu có viên đạn trúng mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0,6 Nếu có từ hai viên đạn trúng trở lên mục tiêu chắn bị phá hủy Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy bắn ba viên đạn trên.

17 Có ba bóng đèn mạch điện chúng bị hỏng cách độc lập trong khoảng thời gian 100 sáng liên tục với xác suất tương ứng 0,1 ; 0,25 ; 0,4 Tính xác suất để:

a) Mạch điện khơng sáng bóng thời gian 100 mắc ba bóng song song.

b) Cũng câu hỏi mắc nối tiếp.

18 Một cửa hàng bán sản phẩm gạch men 40% xưởng sản xuất, lại xưởng hai sản xuất Tỉ lệ sản phẩm loại A do xưởng I sản xuất 0,8, do xưởng II 0,9.

a) Mua ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để mua sản phẩm loại A. b) Mua sản phẩm từ cửa hàng thấy khơng phải sản phẩm loại A Hỏi sản phẩm có khả phân xưởng sản suất nhiều hơn.

19 Có ba súc sắc I, II, III Xác suất xuất mặt mặt chấm súc sắc I 1/6, súc sắc II 2/9 súc sắc III 3/17 Gieo ba súc sắc I, II, III Tính xác suất để:

a) Có súc sắc xuất mặt chấm. b) Có súc sắc xuất mặt chấm.

c) Trong trường hợp có súc sắc xuất mặt chấm Tính xác suất để đó súc sắc II.

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	1,28 MB