Cap so cong cap so nhan

Bài 43 : Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành [r]

CẤP SỐ CỘNG

1 Định nghĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai)

2 Số hạng tổng quát: un u1(n1)d với n 

3 Tính chất số hạng: 1

2

k k

k

u u

u     với k 

4 Tổng n số hạng đầu tiên:

1 ( ) n n n

n u u

S u u  u   = ( 1)

2

n u  n d

Vấn đề : Chứng minh dãy số cấp số cộng :

Bài : Tìm cấp số cộng dãy số, xác định công sai : a) -5, -2, 1, 4, 7, 10 b)

1

1

( ) : ,

3

n

n n

a

a n

a  a

       

c)

1

3

( n) : ,

n n

a

a n n

a  a

       

d) (an) :an12an, n

Bài : Xét dãy số 1

( ) : ,

5

n

n n

a b

a n

a  a

       

trong b số thực Tìm b để (an) cấp số cộng

Vấn đề : Xác định cấp số cộng :

Bài : Cho cấp số cộng có số hạng Số hạng thứ 3, số hạng thứ tư Tìm số hạng lại

Bài : Một cấp số cộng có số hạng mà tổng số hạng thứ ba số hạng thứ năm 28, tổng số hạng thứ năm số hạng cuối 140 Tìm cấp số cộng

Bài : Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng, biết: a)

1

10 17

u u u

u u     

  

b)

4

10 26

u u u

u u     

  

c) 14 15 18 u u       d)

2 75 u u u u      

e) 72 152

4 12 60 1170 u u u u         

f)

12

u u u

u u u      

 

g)     

   



1

2

0 20

u u u u

u u u u h)

      75 u u

S i)

      10 12 15 18 S S

Bài :

a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng

Dãy số u u u1, 2, 3, ,un,

1 Dãy số có số hạng cho dạng liệt kê ta chứng minh : u2u1u3u2

2 Dãy số có nhiều số hạng, cho công thức ta chứng minh : un1un d: số

Bài : Cho cấp số cộng có số hạng với công sai dương số hạng thứ tư 11 Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số cộng

Bài : Cấp số cộng (un) có u17u209; u172u202153 Hãy tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng

Bài : Cấp số cộng (un) có cơng sai dương, u31u34 11; u312u342 101.Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số cộng

Vấn đề : Bài tốn liên quan tổng cấp số cộng :

Bài 10 : Cho cấp số cộng (un) với un 9 5n Tính tổng 100 số hạng đầu

Bài 11 : Tính tổng sau :

a) Tổng cấp số cộng biết số hạng đầu 102, số hạng thứ hai 105 số hạng cuối 999

b) Tổng cấp số cộng biết số hạng đầu

3, số hạng thứ hai -1

3 số hạng cuối -2207

Bài 12 : Cho cấp số cộng (un) có u5u19 90.Tính tổng 23 số hạng (un)

Bài 13 : Tìm x cấp số cộng 1,6,11, 1,4,7, v biết : a) 11 16     x970

b )x1  x4 x28155 Bài 14 : Tìm x từ phương trình :

a) 27 12   x245,biết 2, 7, 12,… cấp số cộng

b) 2x1  2x6  2x11  2x961010, biết 1, 6, 11,… cấp số cộng

Bài 15 : Tính tổng : 2 2 2 2

1 99 100

S        

Bài 16 : Tính số số hạng cấp số cộng (an) :

2

2

126 42

n n

a a a

a a

   

 

 



Vấn đề : Tìm số liên tiếp lập thành cấp số cộng :

Bài 17 : Tìm số tạo thành cấp số cộng biết tổng số -3, tổng bình phương chúng 35

Bài 18 : Tìm số tạo thành cấp số cộng biết tổng chúng tổng bình phương chúng 95

Bài 19 :

a) Ba góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Tìm số đo góc Ba số : Gọi x số hạng đứng giữa, công sai d : x-d; x; x+d

Năm số : Gọi x số hạng đứng giữa, công sai d : x-2d; x-d; x; x+d; x+2d

c) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc

Bài 20 : Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, … Hỏi có hàng?

CẤP SỐ NHÂN

1 Định nghĩa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội)

2 Số hạng tổng quát: un u q1 n1 với n 

3 Tính chất số hạng: uk2 uk1.uk1 với k 

4 Tổng n số hạng đầu tiên:

1

1

(1 )

1

n

n n

S nu với q

u q

S với q

q

  





  

 



Vấn đề : Chứng minh dãy số cấp số nhân :

Bài 22 : Cho số theo thứ tự : 2, 6, 34 chứng minh chúng lập thành cấp số nhân Bài 23 : Các dãy số sau dãy cấp số nhân :

a)un  5 2n 

  b)   1 3n n

n

u   

c) 2

1

u

n n

u  u

  

 

Vấn đề : Xác định cấp số nhân :

Bài 24 : Tìm số hạng cấp số nhân (un) biết :

a)q2,un 96,Sn 189 b)

1 31

2, ,

8

n n

u  u  S 

Bài 25 : Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết: a)

5

72 144

u u u u    

  

b)

1

65 325

u u u

u u     

  

c)

2

90 240

u u u u    

  

Dãy số u u u1, 2, 3, ,un,

1 Dãy số có số hạng cho dạng liệt kê ta chứng minh :

u u

u u 

2 Dãy số có nhiều số hạng, cho cơng thức ta chứng minh : n1

n

u q u

  : số Nếu a, b, c lập thành cấp số cộng :

d) 3

14

64

u u u

u u u    

 



e)

1

1

21

1 1

12

u u u

u u u

    

   

 

f) 12 22 32 42

1

30 340

u u u u

u u u u

     



   

 

Bài 26 : Cho cấp số nhân có số hạng với công bội dương Biết số hạng thứ hai số hạng thứ tư Xác định số hạng lại

Bài 27 : Một cấp số nhân có số hạng với số hạng đầu công bội số âm Biết tích số hạng thứ năm số hạng thứ ba 5184, tích số hạng thứ năm số hạng cuối 746497 Tìm cấp số nhân

Bài 28 : Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai Tìm số hạng lại

Bài 29 : Cho cấp số nhân có (un) có u208u v u17 3u5272.Tìm số hạng dầu cơng bội cấp số nhân

Bài 30 :

a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b)Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân

Vấn đề : Bài toán liên quan tổng cấp số nhân :

Bài 31 : Tính tổng 

50

9 99 999 99

so

S     

Bài 32 : Cho 0, 0,

a b

  



 Tính

2 2

n n

n n

a b a b a b

S

ab a b a b

  

   

Bài 33 : Cho a0, 1 Tính

 2  

1 1

1

1 1 n

S

a a a

    

  

Từ suy tổng :

1

2

1 1

1

2 2

1 1

1

3 3

n

n

S S

         

Bài 34 : Cho cấp số nhân với cơng bội q0,1 Tính tổng 25 số hạng dầu tiên cấp số

nhân biết 2

1 3;

u u  u u 

Vấn đề : Các số hạng liên tiếp cấp số nhân Cấp số nhân cấp số cộng :

Bài 35 : Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Bài 36 : Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số

hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 Ba số phân biệt lập thành cấp số nhân số : x, ,x xq

q  

2

, ,

x xq xq q

thứ số hạng thứ đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ta cấp số nhân

Bài 38 : Bốn số lập thành cấp số cộng Lần lượt trừ số cho 2, 6, 7, ta cấp số nhân Tìm số

Bài 39 : Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác Đồng thời số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với cơng sai khác Tìm q

Bài 40 : Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời chúng theo thứ tự số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba số hạng thứ chín cấp số cộng Tìm số biết tổng chúng 13

Bài 41: Ba số khác có tổng 114 coi ba số hạng liên tiếp cấp số nhân coi số hạng thứ nhất, thứ tư thứ 25 cấp số cộng Tìm ba số Bài 42 : Tìm số tạo thành cấp số cộng biết cộng thêm -2 vào số hạng thứ ta

cấp số nhân cộng thêm vào số hạng thứ ta cấp số nhân khác

Bài 43 : Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, cịn sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân