ài liệu " Cơ sở lý thuyết truyền tin " được chia làm 2 tập, Sau khi trình bày chung về hệ thống truyền tin và khai niệm liên quan đến nó, tài liệu sẽ trình bày theo trật tự là các vấn đề chung trước, các vấn đề cụ thể sau, nguồn tin trước, kênh tin sau, các vấn đề phối hợp giữa nguồn và kênh sẽ được xét sau khi đã có những hiểu biết về nguồn và kênh
Trang 1TRUYEN TIN ĐẶNG_VĂN CHUYẾT
Trang 3ae Muc luc
Lời nói đầu 3
9 KENH VÀ THONG LUOGNG CUA KENH 9
9-1 Mô hình kênh và thông lượng kênh 9
9-1-1 Các mô hình kênh 10
9-1-2 Thong lượng kênh 12
9-1-3 Sử dụng các tín hiệu trực giao trong truyền thông 16
9-1-4 Hàm an toàn của kênh eee 18
sa áa 19 9-2-1 Mã hóa ngẫu nhiên dựa vào tín hiệu mã nhị phân mức 19 9-2-2 Mã hóa ngẫu nhiên dựa vào tín hiệu đa biên độ M mức .- 23 9-2-3 So sanh R với thông lượng của kenh AWGN 2 ee 25 9-3 Thiết kế hệ thống truyền tin dựa vào tốc độ giới hạn uc cv vn 26
10 MÃ HÓA KENH 32
10-1 Mã khối tuyến tính Q22 Q ng Hy va 32
10-1-1 Ma trận sinh và ma trận kiểm tra parity 34
10-1-2 Một số loại mã khối tuyến tính 36
10-1-3 Mã vòng 37
10-1-4 Giải mã xác định mềm tối ưu đối với mã khối tuyến tính 48 10-1-5 Giải mã xác định cứng 52 10-1-6 So sánh về hiệu quả của hai phương pháp giải mã 57 10-1-7 Giới hạn về khoảng cách tối thiểu của mã khối tuyến tính 61 10-1-8 Mã khối không nhị phân và mã khối ghép 62 10-1-9 Ghép mã số liệu đối với kênh có nhiễu chàm 6Š 10-2 Mã chập QQQv Q2 nu nh va 65
10-2-1 Hàm truyền của mã chập 68
10-2-2 Giải mã tối ưu mã chap-Thuat toán Viterbi 71 10-2-3 Xác suất lỗi của giải mã xác định mềm 73 10-2-4 Xác suất lỗi của giải mã xác dinh cing 74 10-2-5 Các tính chất về khoảng cách của mã chập 76 10-2-6 Ma kép k không nhị phân và mã ghép 78
10-2-7 Thuật toán Fano 81
10-2-8 Một số vấn đề trong thực tế của việc áp dụng mã chập 83
Trang 4“ais
4
11 TÍN HIỆU TREN KÊNH CÓ BANG TAN HUU HAN 93
11-1 Đặc trưng của kênh có băng tần hữu hạn 93 11-2 Tín hiệu cho kênh có dải tần hữu hạn 95 11-2-1 Thiết kế tín hiệu có độ rộng phổ hữu hạn để không cóI8I 96 11-2-2 Thiết kế tín hiệu có độ rộng phổ hữu hạn để ISI điều khiển được 98 11-2-3 Xác định số liệu trong trường hợp ISI điều khiển được 102
11-2-4 Tín hiệu cho kênh có suy hao
11-3 Xác suất lỗi khi sử dụng tín hiệu PAM
11-3-1 Xác suất lỗi khi không có ISI
11-3-2 Xác suất lỗi khi sử dụng tín hiệu đáp ứng từng phần
11-3-3 Xác suất lôi trên kênh có suy hao
11-4 Mã điều chế làm nhọn phổ tín hiệu Q.2
12 TRUYỀN TIN QUA KÊNH TUYẾN TÍNH CÓ BĂNG TAN HỮU HAN 115 12-1 Bộ thu tối ưu cho kênh có ISI và nhiều AWGN 115
12-1-1 Bộ thu ML tốiưu 115
12-1-2 Mô hình rời rạc cho kênh l8 eee 117 12-1-3 Thuật tốn Viterbi cho mơ hình rời rạc tương đương có nhiễu trắng 119 12-1-4 Hiệu quả của ước lượng ML đối với kênh ISI 121 12-2 Cân bằng tuyến tính
12-2-1 Tiêu chuẩn suy hao dinh
12-2-2 Tiêu chuẩn trung bình bình phương sai số
12-2-3 Hiệu quả của bộ ước lượng MSE
12-2-4 Bộ cân bằng FS
12-3 Cân bằng hồi tiếp
12-3-1 Tối ưu hệ số
12-3-2 Hiệu quả của bộ cân băng hồi tiếp
12-3-3 Bộ cân bằng hồi tiếp dự đoán Sa 12-4 Cân bằng tuyến tính thích nghỉ
12-41 Thuật toán 2F
12-4-2 Thuat toan LMS +
12-4-3 Tính hội tụ của thuật toán MS QQ QQ QQ Q Q Q Q he
12-4-4 MSE phụ trội trong ước lượng gradient
12-4-ä Bộ cân bằng tuyến tính băng tần cơ sở và thông dải 149 12-5 Cân bằng hồi tiếp thích nghỉ
12-6 Bộ ước lượng kênh thíeh nghỉ đối với xác định ML
12-7 Thuật toán bình phương tối thiểu Qua
12-7-1 Thuật toán bình phương tối thiểu (Kalman)
12-7-2 Dự đoán tuyến tính và bộ lọc Lattice 12-8 Cân bằng tự khôi phục —— 12-8-1 Cân bằng tự khôi phục trên tiêu chuẩn ML, 134
1282 Thuật toán gradient ngẫu nhiên
12-8-3 Thuật toán tự cân bằng dựa trên thống kê bậc cao co 166
13 HỆ THỐNG TRUYỀN TIN NHIỀU KÈNH VÀ NHIỀU SÓNG MANG 169
13-1 Hệ thống truyền tin nhiều kênh trong kênh AWGN
13-1-1 Tím hiệu nhị phân
13-1-2 Tín hiệu trực giao ă mỨc cv
13-2 Hé théng truyén tin nhigu song mang 2.2.0.0 co 13-2-1 Thông lượng kênh tuyến tính không lý tưởng
Trang 5ee 14 HỆ THỐNG TRUYEN TIN DUNG TIN HIFU TRAI PHO 177 141 14-2 143 14-4 15 TRUYEN TIN QUA KENH CO FADING NHIEU DUONG 15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 + 15-6
Mô hình hệ thống truyền tin dùng tín hiệu trải phố 178 Tin hiệu trải phổ DS
14-2-1 Hiệu quả bộ giải mã
14-2-2 Một số ứng dụng của tín hiệu trải phổ D§
14-23 Ảnh hưởng loại xung trong tín hiệu trai phd DS
14-2-4 Tạo đây PN Q Q Q Q Q HH HH gà g kg ky
Tín hiệu trải phé FH
14-3-1 Hiệu quả của tín hiệu trải phổ FH trong kenh AWGN
14-3-2 Hiệu quả của tín hiệu trải phổ khi có ảnh hưởng từng phần trên kênh
Đồng bộ trong hệ thống trải phổ 0 2 2Q 2Q Sở 201
Dac trung cla kénh cé fading nhiéu dung ee ee 15-1-1 Ham tương quan của kênh và phố công suất
15-1-2 Mô hình thống kê của kênh có fading Lựa chọn mô hình kênh theo đặc điểm tín hiệu
Kénh fading cham không chọn lọc theo tần số Các kỹ thuật chống fading 1ã-4-1 Tín hiệu nhị phân 15-4-2 Tín hiệu đa pha bee 15-4-3 Tín hiệu trực giao M mức Kênh fading chậm có chọn lọc
1ã-5-1 Mô hình kênh kiểu dây trễ (Tapped-Delay-Line) 15-5-2 Bộ giải điều chế RAKE
1ỗ-õ-3 Hiệu quả bộ thu RAKE Mã hóa trong kênh có fading
1ã-6-1 Xác suất lỗi của giải mã xác định mềm cho mã khối nhị phân tuyến tính 240 1-6-2 Xác suất lỗi của giải mã xác định cứng cho mã khối nhị phân tuyến tính 241
15-6-3 Hiệu quả của ma chap cho kénh fading Raleigh
Trang 6Lới nói đầu
\
Kế từ những năm 1970, sự tham nhập lẫn nhau của hai lĩnh vực khoa học máy tinh và truyền thông đã làm thay đổi sâu sắc các lĩnh vực công nghệ và sản suất, và kết quả tất yếu là một ngành công nghiệp may tinh-truyén thong (Computer-Communication) ra đời Chính nhờ sự hòa trộn mang tính cách
mạng này, rất nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ đã có những cơ sở để phát triển mạnh mệ Trong
bối cảnh của sự phát triển bùng nổ này, những hiểu biết về lý thuyết thông tin (Information Theory),
về truyền thông ngày càng quan trọng và cần được xem xét trong hoàn cảnh mới
Qua nhiều năm làm công tác giảng dạy, với tham vọng có một tài liệu làm giáo trình cho sinh viên
chuyên ngành Điện tử-Viễn thông và Công nghệ Thông tản, tài liệu tham khảo cho các kỹ sư thuộc những chuyên ngành trên, chúng tôi cố gắng biên soạn cuốn sách này
Chúng tôi giả thiết rằng các độc giả xem cuốn sách này là những người đã có cơ sở nhất định về Giải tích, về Đại số tuyến tính và Xác suất Những cơ sở toán học theo chúng tôi là hết sức quan trọng và được dùng trong suốt cả cuốn sách hoặc từng phần sẽ được chúng tôi trình bày trong, cuốn sách này Cơ sở toán học của cuốn sách này là xác suất và quá trình ngẫu nhiên với những luật phân bố xác suất hết sức quan trọng trong việc trình bày các vấn đề của cuốn sách
Cuốn sách này được chia làm hai tập Sau khi trình bày chung về hệ thống truyền tin và các khái niệm chung liên quan, chúng tôi sẽ trình bày các vấn đề của cuốn sách theo trật tự là các vấn đề chung trước, các vấn đề cụ thể sau Khi trình bày các vấn đề chung, chúng tôi sẽ theo trật tự: nguồn tin trước, kênh tin sau Các vấn đề phối hợp giữa nguồn với kênh sẽ được xét sau khi đã có những hiểu biết về nguồn và kênh
Cấu trúc cuốn sách như sau:
Chương 1 : Những khái niệm chung Chương này giới thiệu những khái niệm cơ bản và các vấn
đề cơ bản trong lý thuyết truyền tin
Chương 2 : Xác suất và quá trình ngẫu nhiên, trong chương này ta xây dựng những cơ sở toán học cần thiết cho việc khảo sát các hệ thống truyền tin
Chương 3: Thông tỉn và lượng tin, trình bày vấn đề định lượng thông tin của các nguồn tin Chương 4: Mã hiệu Trong chương này ta tập trung vào các khái niệm và định nghĩa về mã, các điều kiện và yêu cầu đối với mã hiệu
Chương 5 : Mã hóa nguồn, nghiên cứu vấn đề mã hóa nguồn trên cơ sở mõ hình toán học của
nguồn và các khái niệm về lượng tin đã xét trong chương 3
Chương 6 : Tín hiệu và hệ thống truyền tìn Chương này trình bày các tín hiệu và hệ thống thường gặp khi truyền thông tỉn qua kênh truyền thông cùng việc biểu diễn các tín hiệu điều chế và các đặc điểm về phổ của chúng
Chương 7 : Cấu trúc thu tối wu cho kênh có nhiều cộng gaussian, nghiên cứu việc thiết kế
và đãnh giá độ hiệu quả của các bộ thu tối ưu cho các phương pháp diều chế trong kênh có nhiễu cộng
gaussian
Chương 8: Đồng bộ Chương này nghiên cứu các phương pháp đồng bộ vat mang va đồng bộ ký
hiệu ở đầu thu
Chương 9: Kênh và thông lượng của kênh, trình bày về thông lượng của một số mô hình kênh
và vấn đề mã hóa ngẫu nhiên
Chương 10: Mã hóa kênh Chương này giới thiệu về mã hóa và giải mã đối với hai loại mã là mã
Trang 78 kời nói đầu
Chương 11 : Tín hiệu trên kênh có băng tần hữu hạn Chương này tập trung vào việc thiết
kế tín hiệu cho các kênh có băng tần hữu hạn và vấn đề làm nhọn phổ tín hiệu
Chương 12 : Truyền tin qua kênh tuyến tính có băng tần hữu hạn Chương này tìm hiểu các kỹ thuật giải điều chế và xác định tín hiệu bị ảnh hưởng chéo trong quá trình truyền
Chương 13: Hệ thống truyền tin nhiều kênh và nhiều sóng mang, trình bày các kỹ thuật điều chế dùng nhiều vật mang và truyền trong nhiều kênh
Chương 14: Hệ thống truyền tin dùng tín hiệu trải phổ Chương này trình bày các vấn đề
về tín hiệu và hệ thống trải phổ và các ứng dụng thực tế
:_ Chương l : Truyền tin qua kênh có lađing nhiều đường, trình bày về truyền thông qua các
kênh có fading Việc thiết kế tín hiệu, cấu trúc thu và hiệu quả của của các bộ thu cho kênh có fading
lễ nội dung của chương này
Đo hạn chế về thời gian, lần đầu tiên biên soạn cuốn sách này, chúng tôi không trãnh khỏi các thiếu sót, rất mong các độc giả thông cảm và góp ý để cho những lần biên soạn sau sẽ tốt hơn
Cuối cùng, xin lưu ý độc giả về cách đánh số các tiêu đề dé tiện cho việc tra cứu, ví dụ 3-2 chỉ mục lớn hai trong chương 3; 3-2-4 chỉ mục bốn của mục lớn hai trong chương 3 Các công thức và hình vẽ
được đánh số bằng ba số, số đầu chỉ chưởng, số thứ hai chỉ mục lớn, số thứ ba chỉ thứ tự của công thức hay hình vẽ trong mục đó
Chúng tôi chân thành cám ơn ông Nguyễn Thúc Hải, bà Hồ Anh Túy đã dành thời gian đóng góp những ý kiến quý báu cho chúng tôi khi biên soạn cuốn sách nay
Trang 8“2, a %
Chương 9
KENH VA THÔNG LƯỢNG CUA
KENH
Trong chương 7, chúng ta đã xét tới vấn đề điều chế số bằng viéc sit dung M = 2* tin hiệu, mỗi tín hiệu mang k bit thông tin, trong đó một vài phương pháp điều chế có hiệu quả hơn một số phương pháp
khác Đặc biệt, ta đã biết rằng bằng cách sử dụng tín hiệu trực giao, ta có thể làm cho xác suất xác định
sai nhỏ tùy ý khi Ä# —> oo nếu SNR từng bịt +y > —1,6đỠ Ta có thể truyền tỉìn ở tốc độ bằng thông
lượng trên kênh có nhiễu cộng gaussian trắng với giới hạn là hệ s6 mé rong dai thing B, = W/R ¬ œ
Nhưng thơng thường người ta không muốn như vậy bởi vì Ö; tăng theo hàm mũ của k và dẫn tới sử
dung dải thông của kênh không hiệu quả
' Trong chương này và chương sau, ta xét các tín hiệu tạo ra bởi các dãy nhị phân hoặc không phải
nhị phân Kết quả là các tín hiệu tạo ra được đặc trưng bởi hệ số mở rộng dải thông tăng tuyến tính theo È Như vậy là các tín hiệu mã có dải tần hiệu quả lớn hơn các tín hiệu trực giao Ä mức Chúng
ta còn thấy rằng các tín hiệu mã không chỉ có hiệu quả hơn ở các ứng dụng công suất hữu hạn khi
R/W < 1 mà còn ở các hệ thống có dải tần hữu hạn khi R/W > 1
9-1 Mô hình kênh và thông lượng kênh
“Trong mô hình một hệ thống truyền thông, ta thấy răng bộ phat gdm khối rời rạc hóa đầu vào, khối
mã hóa đầu vào đã rời rạc và khối điều chế Chức năng của khối mã hóa kẽnh rời rạc là thêm vào đãy
thông tin nhị phân một số thông tin phụ (còn gọi là thông tin điều khiển) để phía thu sử dụng để khác phục các ảnh hưởng trên đường truyền Quá trình mã hóa lấy từng khối k bit thông tin và chuyển
thành dãy duy nhất n bịt, gọi là từ mã Lượng thông tỉn dư thừa trong quá trình mã hóa số liệu được
do bang ty số n/k và k/n gọi là tốc độ mâ
Dãy thông tin nhị phân ở đầu ra của bộ mã hóa kênh sẽ vào bộ điều chế Bộ diều chế chuyển các
bít thành một trong hai tín hiệu hay chuyển từng khối ạ bit thành mot trong M = 2? tín hiệu Ở đầu thu của hệ thống truyền thông, bộ giải điều chế xử lý các ảnh hưởng trên kênh và chuyển tín hiệu nhận được thành một số hay một vectơ Bộ xác dịnh sẽ quyết định bịt thông tin tương ứng là Ö
hay 1 Khi đó ta nói rằng bộ xác định đã thực hiện một quyết định cứng (hard decision) Nếu xét trên quan điểm lượng tử thì bộ xác định sẽ lượng tử số liệu nhận được thành Q > 2 mức ( bộ xác định @
mức) Nếu tín hiệu là M mức và Q > M, ta nói rằng bộ xác định đã thực hiện một quyết định mềm (soft decision) Đầu ra của bộ xác định đưa vào đầu vào của bộ giải mã hóa kênh, bộ này có nhiệm vụ
Trang 910 CO SO LY THUYET TRUYEN TIN
9-1-1 Các mô hình kẽnh
Phần này sẽ trình bày các mô hình kênh hay được sử dụng để thiết kế mã, Kênh đơn giản nhất là kênh
nhị phân đối xứng (Binary 8ymetric Channel-BSC), tương ứng với M = 2 và bộ xác định thực hiện
quyết định cứng
Kênh nhị phân đối xứng Xét kênh có nhiều cộng và bộ điều chế, giải điều chế, xác định là một phần của kênh Nếu bộ điều chế sử dụng các tín hiệu nhị phân và bộ xác định thực hiện quyết định
cứng thì kênh phức hợp trên hình 9-1-1 có dãy thông tin vào là nhị phân rời rạc và dãy thông tin ra cũng
la day thong tin nhị phân rời rac Kenh nhu vậy được đặc trưng bởi tập các giá trị đầu vào X = {0,1}
và tập hợp các giá trị đầu ra Y = {0,1} và tập hợp các xác suất có diều kiện liên hệ giữa các ký hiệu
trên đầu vào và đầu ra Số liệu vào Ï Mãhóa kênh Số liệu Giải điều chế] Giải mã Ta và xác định hóa kêuh Điền chế nhị phân
Hình 9-1-1: Kênh phức hợp đầu vào và đầu ra rời rạc
Nếu nhiễu trên kênh và các ảnh hưởng khác tạo ra các sai nhầm độc lập thống kê với xác suất trung
bình p thì:
PY =0|X =1) PY = 1|X =0) p (01-1) PỰ =1|X =1) P(Y =0|X =0) 1~p
Như vậy chúng ta đã chuyển một hệ thống gồm bộ điều chế nhị phân, kẽnh tín hiệu, bộ giải điều
chế và xác định tín hiệu thành một kênh rời rạc theo thời gian tương đương được biểu diễn băng sơ
đồ khối như trên hình 9-1-2 Kênh như thế gọi là kênh nhị phân đối xứng Do các bit đầu ra chỉ phụ thuộc vào các bịt đầu vào tương ứng nên kênh là không nhớ
ol
Ip
Đầu vào Đầu ra
Lp
Hình 9-1-2: Kênh nhị phân đối xứng
Các kênh rời rạc không nhớ Kênh BSC là một trường hợp đặc biệt trong số các kẽnh có đầu
vào và đầu ra rời rạc Giả thiết đầu ra của bộ mã hóa kênh là các ký hiệu g mức, tức là đầu vào của bộ điều chế là tập hợp X = {zo,z »%q~1} và ở đầu ra của bộ xác định là các ký hiệu Q mức, với Q > 3 = 2! Nếu kênh và bộ điều chế là không nhớ thì quan hệ giữa đầu ra và đầu vào của kênh phức
hợp dược biểu diễn bởi gQ xác suất có điều kiện;
PUY = yilX = 25) = P(yiley) (1-2)
4
Trang 10wee
ROS
we
KENH VA THONG LUONG CUA KENH 11
với ¡ = 0,1, ,Q — 1 và j = 0,1, ,g— 1L Kênh như vậy gọi là kênh rời rạc không nhớ (Discret
Memoryless Channel-DMC), như trên hình 9-1-3 Như vậy nếu đầu vào của kénh DMC 1a day n ky
hiệu 1\,uạ, ,ư„ thuộc X và dãy ra tương ứng 0ị,0ạ, ,0„ thuộc Ÿ thì:
Il P(Y = ux|X = ug) (9-1-3) kel P(Y, = 11, ¥2 = v2 ) ¥n = Onl|X1 = 1, Xo = tay IX} iY} *o Xo + mị Fat xơ
Hình 9-1-3: Kênh rời rạc g đầu vào, Q đầu ra
“Tổng quát, các xác suất có điều kiện {P(wi|z;)} đặc trưng cho kênh DMC tạo thành ma trận
P =lpj|] với pịi = P(u|#;) P gọi là ma trận các suất chuyến đổi của kênh
Kênh đầu vào rời rạc, đầu ra liên tục Giả thiết đầu vào của bộ điều chế là các ký hiệu trong tập hợp hữu hạn X = {Zo,Zi, ,Z¿—¡} và đầu ra của bộ xác định là không lượng tủ (Q = 00) Nhu
vậy đầu vào của bộ giải mã kênh nhận các giá trị trên trục thực (Y = {—oo,©o}) Ta định nghĩa một kênh phức hợp không nhớ rời rạc theo thời gian đặc trưng bởi đầu vào X rời rạc, đầu ra Y' liên tục và
tập hợp các hàm mật độ phân bố xác suất có điều kiện:
Pp(w|X = #k),& =0,1, ,8— 1
Kênh quan trọng nhất trong số các kênh thuộc loại này là kênh AWGN, với:
Y=x+@ (9-1-4)
Trang 11
12
Kênh tương tự Chúng ta có thể tách bị
kênh với tín biệu vào va tin hiệu ra là liên
CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRUYỀN TIN
ộ điều chế và giải diều chế khỏi kênh vật lý và xét mô hình tục Giả thiết kênh có dải thông W và đáp ứng tần số lý
tưởng C(ƒ) = 1 trong dãi thông, tín hiệu vào bị ảnh hưởng bởi nhiệu cộng gaussian trắng, Giả thiết
tín hiệu vào z(1) là tín hiệu có dải tần hữu hạn và tín hiệu ra tương ứng là g(2), thế thì: y (2) = 2(t) + n(t) (9-1-8) ˆ với n(t) la mot thể hiện cụ thể của quá trình nhiễu cộng Ta biểu diễn +(),(Ð,m() thành tổ hợp tuyến tính của một tập hợp đầy đủ các hàm trực giao như sau: 90) = Sync) a(t) = Dyaifi(t) (9-1-9) at) = Snipe) 6 day {ui}, {e;} va {ni} la tap hap các hệ số trong khai triển, có nghia la: T T7 we [ u(t) fre = [ [=Œ) +n(0)|/7 (4t = m + my (9-10) Các hàm {ƒ;(2)} thỏa mãn điều kiệ 7 “tay cá =Í 1 =3) [ 1900=={ 4 09 (1-1)
Do nhiễu trang 1a gaussian nen mọi tập hợp đầy đủ các hàm trực giao đều có thể sử dụng trong khai triển 9-1-8 Bây giờ chúng ta có thể sử dụng các hệ số trong khai triển để đặc trưng cho kênh Do vi = t+ nz với trị là biến ngẫu nhiên gaussian nên:
P(il) = —t Tm Ma TTỚi (91-12)
Do các hàm {ƒ/;(2)} trong khai triển là trực chuẩn nên {n;} là không tương quan Do chúng là các biến ngâu nhiên gaussian nên chúng độc lập thống kê Do đó
N
PO Yasue e, ,20) = TT ploilys) ma (9-1-13)
v6i moi N Nhu vay kénh tương tự đã được chuyển thành kênh rời rạc tương dương được dặc trưng bởi
xác suất có điều kiện trong 91-12
Khi nhiễu cộng là gaussian trắng có phổ mật độ công suất No, sai phuong đề = No với mọi ¡
thì e() và g(2) có thể được lấy mẫu theo
téc do Nyquist la 20 mẫu/s, như vậy z¡ #(/3W) và ¡ = 0/2W) Do nhiều là trắng nên các mẫu của nhiễu là độc lập thống kê Như vậy 9-1-12 và 9-1-13 đặc trưng thống kẽ cho các mẫu tín hiệu
Việc lựa chọn mô hình kênh phụ thuộc vào mục tiêu nghiên cứu của chúng ta Nếu chúng ta quan
lệc thiết kế là phân tích độ hiệu quả của bộ mã hóa và giải mã hóa kênh rời rạc thì ta xét mô hình kênh trong đó bộ điều chế và giải điều chế là một phần của kênh phức hợp Nếu ta muốn thiết kế và phân tích độ hiệu quả của các bộ điều chế và giải điều chế số thì ta sử dụng mô hình kênh là tương
tự
9-1-2 Thông lượng kẽnh
Gia thiết ta có kẽnh DMC với bộ kí hiện vào X = {a9,a, ›#4~¡} và bộ kí hiệu ra Ý = {go,gụ,
Trang 12ee
KENH VA THONG LUQNG CUA KENH 13
ki higu y; thi lugng tin tương hổ được tính là log[P(w:|z;)/P(w)] với: gol P(yi) = PY = ys) = > Paw) Plyilee) (9-1-14) k=0 Lượng thông tìn tương hỗ trung bình giữa đầu ra Y và đầu vào X là: SS Ptyilzs) : 1(X:Y) =3)” P(zj)P(wilz;) log Pad (9-1-15) % =0 ¡=0 *
Tinh chất của kênh xác định bởi xác suất chuyển déi P(y,|z;) nhưng xác suất các kí hiệu vào được xác dịnh bởi bộ mã hóa kênh Giá trị cực đại của ï(X; W) theo phân bố xác suất các kí hiệu đầu vào
P(Œ;) là một giá trị chỉ phụ thuộc vào tính chất của kênh DMC Tạ cũng gọi giá trị đó là thông lượng
của kênh và cũng kí hiệu là Ở Như vậy:
aS Piles)
= mi ;Ÿ)= P slay) I uti 9-1-1
ơ bon I(X;Y) Prax x 2 (xj)P(yilz;) log Ply) (81-16)
Don vi cia C là bit trên một kí hiệu đưa vào kênh (ký hiệu là bit/ki hiệu)
vào kênh trong +, giây, thì thông lượng của kênh là bit/s Nếu một kí hiệu đưa Vi dy 9-1-1 Cho một kẽnh BSC với xác suất chuyển đổi P(0|1) = P(1|0) = p, lượng tin tương hỗ trung bình cực đại khi xác suất các kí hiệu 0 và 1 là đồng đều P(0) = P(1) = 1/3 Khi đó thông lượng
của kênh BSC là:
€ =plog2p + (L— p)log2(1 — p) = 1— H(p) (9-1-17)
: Biểu điễn Ở theo p trên hình 9-1-4 Khi p = 0 thi thông lượng của kẽnh là 1 bit/ki hiệu Khi p = ị‡
lượng tin tương hỗ trung bình bằng 0 hay thông lượng của kênh bằng 0 Khi š <Pp< 1 ta có thể đảo
vị trí các ký hiệu 0 và 1 ở đầu ra của kênh, như vậy Ở là đổi xứng qua điểm p = ‡ Như ta đã biết, p
biến thiên đơn điệu theo SNR như trên hình 9-1-5(a) Khi vẽ Œ theo SNR thì C don điệu tăng theo SNR (hình 9-1-5) G19 Pp 20s 1 Eos H E04 8 £02 0 SNR 0 SNR 0Ð 02 04 06 08 10 (a) ) Xác suất lỗi p Hình 9-1-4: Thông lượng của kênh BSC — Hình 9-1-5: Biểu diễn thông lượng của theo p kénh theo SNR
Xét kenh AWGN khong nhé réi rac theo thời gian được biểu diễn bởi các hàm mật độ phân bố xác suất chuyển đổi có điều kiện như (9-1-5) Lượng tỉn tương hỗ trung bình giữa đầu vào X'
{#o,#1, ,#g—1} với đầu ra Y = {—00,00} hay thông lượng của kênh là:
~ 1 ° ,
Trang 1314 CO SO LY THUYET TRUYEN TIN với
ql
p(y) = > plylex) P(e) (9-1-19)
k=0
Vi du 9-1-2 Xét một kênh AWGN không nhớ đầu vào nhị phân với hai kí hiệu X = 4 và X = —A
Lượng tin tương hỗ trung bình được cực đại hóa khi P(X = A) = P(X = —A) = } Như vậy thông
lượng của kênh theo đơn vị bit/kí hiệu là:
C= 5 friar tog, Ody + 5 [val A}toe May (0.1-20)
Hinh 9-1-6 biểu diễn Ở theo tỷ số 4?/(2ø?) Chú ý rằng Ở tăng liên tục từ 0 tới 1 bit/ký hiệu theo
chiều tăng của tỷ số này “Thơng lượng © (bi/ký hiệu) se 2 = A BR bœ od = iS) 0 ~20 -12 +4 4 12 101og (42/202) (dB)
Hình 9-1-6: Thông lượng kenh AWGN khong nhớ đầu vào rời rạc được biểu diễn theo tỷ số 42/22?
Chú ý rằng với hai mô hình kênh xét ở trên, lượng tin tương hỗ trung bình cực đại khi xác suất các ký hiệu ở đầu vào là đồng đều và thông lượng Œ của kênh cũng vậy Điều này khơng hồn tồn đúng đối với kênh (9-1-16) và (9-1-18) Tuy nhiên đối với hai mô hình kênh đã xét ở trên, khi xác suất chuyển đổi trên kênh có dang đối xứng thì thông lượng kênh sẽ cực đại
Tổng quát, điều kiện cần và đủ để tập hợp các xác suất đầu vào {P(z;)} làm cực đại ?(X;Y) hay
thông lượng kênh DMC là:
T(x;;Y) =Ơ_ — với mợi j và P{zj) >0
Tữ;Y) SỞ — với mi j và P(œ,) =0 (1-2)
với Ở là thông lượng của kẽnh và:
Q-1
Pilz)
1;Y) = 3” P(wilzj) log C52 (a5¥) x (wiley) lose (01-22) 9-1-22
Bay giờ ta xét một kênh tương tự có dải tần hạn chế với nhiễu cộng trắng gaussian Thông lượng của kênh trong một đơn vị thời gian được Shannon định nghĩa như sau:
C= lim max BUY) Toco pz) (9-1-23)
với lượng tin tương hỗ trung bình ?(X;Y) Một cách tương đương, chúng ta có thể sử dụng các mẫu
Trang 14KENH VA THONG LUQNG CUA KENH 15 trung bình giữa xw = [Z1,#2, ,#] và YN = [Ẫ,2, UNÌ, với N = 2WT, tị = øị + nị và plyi|z;)
được xác định bởi (9-1-12) Lượng tin tương hỗ trung bình giữa xx và yx đối với kênh AWGN là: TONIYN) = Le ff fo (vlan eG log PONE -> f nlzp(=)Ios F82 quan, (91-24) với P(Mi|z: “ (9-1-25) y VaNo
Giá trị cực đại của I(X;Y) theo các hàm mật độ phân bố xác suất p(z¡) đạt được khi {z;} là các biến
ngẫu nhiên gaussian độc lập thống kế và có giá trị trung bình bằng 0: pei) = J «tu : (8-1-8) với o? 1a sai phương của z‡ Như vậy từ (9-1-24) ta có: `; = = 208 = Av tog( + _ max (Xw;Yy) zíứ) = WTiog(1 (9-1-27) Giả sử công suất trung binh cua z(t) gidi han bdi Pay thì: 1/7 ở To No =a =s =— 9-1-2 Poo =p ff Bernat = + Deed = 7 (0-1-28) Mà a= P= 2 _ TP, TPau _ Pav —P, (9-1-29) 4 “Thay vào (9-1-27) ta có: Pay Yu) = HY -1-30
max I(Xx; w) = WT log(L + WN) (9-1-30)
Như vậy, thông lượng của kênh tính theo giây là:
= 9-1-31
WNg ( )
Đó là công thức cơ bản về thông lượng của kênh đổi với kênh AWGN tương tự có dải tần hạn chế
và công suất, tín hiệu vào hạn chế
Thông lượng của kênh được chuẩn hóa theo W vẽ theo tỷ số P„u/W No trên hình 9-1-7 Thông lượng tăng liên tục theo SNR Như vậy, đối với kênh có dải tần hữu hạn, thông lượng kẽnh tăng nếu ta tăng công suất trung bình của tín hiệu Mặt khác, nếu công suất trung bình của tín hiệu cố định, thông Tượng kênh tăng nếu tăng độ rộng dải thông IÝ Khi W tiến tới vô hạn, thông lượng kẽnh tiến
tới:
Pay
Trang 1516 CƠ SỞ LÝ THUYET TRUYEN TIN Do: Pay = C& (9-1-33) với É, là năng lượng một bit nên: © <1 W 8 + Es) TE No (9-1-34) — 10 2 š 8 2 " 3.6 o £4 = 2 S 4 0 4 8 12 16:18 101og(P,,/WN,) PyytNg W(Rz) Hinh 9-1-7: Thong lugng cla kênh chuẩn Hinh 9-1-8: Thong lượng của kênh theo độ hóa được vẽ theo SNR đối với kênh có dải rộng dải thông của kênh với công suất phát tần hữu hạn trung bình cố định Như vậy: & 22/W_1 —=—_— 9-1-35 No CJW ( ) Khi C/W = 1, &/No = 1 Khi C/W — oo: & _ 2c/w Cc Cc No ™ Cw © exP „32 nay (9-1-36) Nhu vay &/No tang theo hàm mi khi C/W —+ oo Mat khae, khi Ơ/I - 0: fb „ nạ 2-1 in2 9-1-37 No cio cjw > (91:37)
chinh 1a -1,6 dB Biéu dién C/W theo &/No trén hinh 7-2-17
Thong lượng của kênh cho chúng ta giới bạn trên của tốc độ truyền để truyền thơng an tồn bảo đâm trên kênh có nhiễu,
Định lý về mã hóa trên kênh có nhiễu Tòn tại một loại mã hóa kênh và bộ giải mã tương ứng
để có thể truyền thơng an tồn bảo đảm với xác suất sai nhỏ tùy ý nếu tốc độ truyền # < Œ Nếu R > C, không tồn tại phương pháp mã hóa để xác suất sai nhầm tiến tới 0
9-1-3 Sử dụng các tín hiệu trực giao trong truyền thông
Trong phần 7-2 ta đã sử dụng giới hạn hợp để chững tổ rằng với các tín hiệu trực giao thì xác suất sai
nhầm có thể nhỏ tùy ¥ khi M > œ miễn là &/No > 2In2 Tr (7-2-21) ta có:
1~[I- 9@)}⁄~! < (M ~ 1)Q() < Me??? (9-1-38)
Trang 16KENH VA THONG LUQNG CUA KENH 17
Đấy là giới hạn hợp, nó chặt khi lớn, có nghĩa là với y > yo, yo phy thudc vao M Véi y nhé, ta có: 1-90]! <1 (9-1-39) với mọi y Nhu vay: vo co Py< zal ovr Pay 4 CC ƒ enV tg VEN 2 dy (9-1-40) —a Vầm Jụ ` vNghiệm o là: Giá trị yọ làm cực tiểu giới hạn trên tìm được bằng cách lấy đạo hàm của vế phải và dạt bằng 0 evel? = Mf (9-1-41) hay:
yo = V2InM = \/Sin2log, M = Vikin2 (9-1-42)
Đã xác định go, ta tính giới hạn trên của tích phân trong (9-1-40) Đối với tích phân thứ nhất, ta có: —(V—ua)/V5 Fe [etry = PE ay V2m J_« VE Succ = QV27—- yo), vo S V2x < eV wWP2 yo Sy (9-1-43) 'Tích phân thứ hai có giới hạn trên là: li = © eve tu VFN Ay VOT dụa { Me~/2 6< V9) (01-4) Me~Y/2¿~(e=5/52 (yo > HH Kết hợp bai tích phân và thay Mí bởi e¥/?, ta nhận được:
Trang 1748 CO SO LY THUYET TRUYEN TIN
Giới hạn trên thứ nhất chính là giới han hợp, giới hạn này không chặt khi Ä lớn Giới hạn dưới chặt hơn khi ă lớn Chú ý rằng Pụ =+ 0 khi k + 00 hay M — oo nếu + > là9, Nhưng In2 là giới hạn của SNR vừng bit để truyền thơng an tồn với tốc độ bing thông lượng Ở trên kẽnh AWGN có dãi
thông hữu hạn Khi thay Yo v2kn2 =v2Rfin3 ` +} = TỂ =TC„vÌn2 (1-49) vao (9-1-46) và (9-1-47), ta nhận được: 9.2-TQä€~—R) (0<R<1C,) P ws { 22-700S-VRP (LE SRS Cx) SNS abe oe 9-1-50
Ching ta da biéu dién gisi han theo C., va téc độ truyền Rõ ràng xác suất sai có thể nhỏ tì
néu T oo hay ă -› oo nếu bảo dam ring R < Cy = Txu/(Ngln2) Hơn nữa, ta biết rằng cá hiệu trực giao có thể dùng để truyền ở tốc độ bằng thông lượng khi ă —› co nếu thỏa mãn R < Cop 9-1-4 Hàm an toàn của kẽnh “Ta biểu diễn (9-1-50) như sau: Pry < 2.2~TEW) (9-1-51) Thành phần mũ }‡C„ — R (00<<‡C«4) = 2œ = — 4%, )- 1-:
BR) = | evn (li SBS Cos) (6152)
gọi là hàm an toàn của kênh đối với kênh AWGN có dải thông hữu hạn Đường biểu điền Ø(R)/G.,
trên hình 9-1-9 Cùng trên hình đó ta cùng vẽ giới hạn hdp cia Py trong (7-2-27) dược biểu diễn thành
Par spoT"), oc Rs ben (9-1-58) dị & 3 tủ oe $ ˆ di 4 4 4 Giới hạn hợp 8 ._ H q B 8% i ic c
Hình 9-1-9: Hàm an toàn của kênh đối với kênh AWGN có dải thông hữu hạn
Người ta chứng minh được rằng không tồn tại một hàm an toàn khac Ey (R) mà E¡(R) > ECR) voi
mọi # Xác suất sai bị chặn trên và chặn đưới như sau:
42 TEŒ < P, < Kv2—TEUR) (9-1-54)
Trang 18se hộ
KENH VA THONG LUQNG CUA KENH 19
Do các tín hiệu trực giao có hiệu quả giống như tín hiệu đơn hình tối ưu với M lớn, nên giới hạn
dưới của (9-1-54) đúng với mọi tín hiệu Như vậy hàm an toàn #(R) đặc trưng cho xác suất sai khi truyền trên kênh AWGN có dải thông hữu hạn
Mac dù xác suất sai có thể nhỏ tùy ý bằng cách tăng số tín hiệu nếu R < + nhưng có một độ
chênh lệch lớn giữa hiệu quả thực tế dạt được so với kết quả trong lý thuyết Ví dụ như trong hình
7-2-17, tap hop M = 16 tin hiệu trực giao xác định liên kết với SNR từng bịt khoảng 7,Š đB có xác
suất sai P = 1075, nhưng lý thuyết chỉ ra rằng với C/W = 0,5 truyền an toàn có thể đạt được khi SNR 1a -0,8 dB, nhu vay có thé tìm được những tín hiệu sử dụng có hiệu quả hơn Ta sẽ thấy rằng
„những tín hiệu mã sẽ có hiệu quả hơn
Dộ chênh lệch về hiệu quả cũng xảy ra trong miền có dải tần hữu hạn #/W > 1 Trong miền này
ching ta khong thé tang do rong dai thông như trong miền có công suất hữu hạn Các kỹ thuật mã
hóa cho truyền thông trên kênh có đải thông hữu hạn được xét tới trong chương 10
9-2 Mã hóa ngẫu nhiên
Việc thiết kế mã điều chế cho truyền thông trên kênh có thể chia ra hai phương pháp cơ bản Một là
phương pháp đại số mà việc thiết kế các bộ mã hóa và giải mã hóa cho một số loại mã loại này ta sẽ `
xét trong chương 10 Phương pháp thứ hai là phương pháp xác suất với việc phân tích độ hiệu quả của lớp tổng quát các tín hiệu mã Phương pháp này đưa ra các giới hạn về xác suất sai khi truyền tin trên
kênh Trong phần này ta xét phương pháp mã thứ hai và gọi là mmã hóa ngấu nhiên
9-2-1 Mã hóa ngẫu nhiên dựa vào tín hiệu mã nhị phân ă mức
Xét một tập hợp ă tín hiệu mà được xây dựng từ tập hợp các từ mã nhị phân ? chiều:
Ci =[cacie ciny $= 1,2, ,M (9-2-1)
với œ¿ bằng 0 hoặc I Mỗi bit được ánh xạ thành một tín hiệu PSK nhị phân thì tín hiệu tương ứng với từ mã C; được biểu diễn là: si(t) = s0), i=1,2, , ÄƑ (9-2-2) i=l ở đây _f ve khi ej =1 x = (29) và É, là năng lượng của tín hiệu ứng với một bit Như vậy các tín hiệu s;(#) tương ứng với các vectd ?› chiều: Sĩ =Snse sin, Ý= lý8, ,M (924)
Giả thiết tốc độ thông tin vào bộ mã hóa là Ö‡ bit/s và mã hóa từng khối k bịt thành một trong A#£
tín hiệu Như vậy k = RT và M = 2* = 2F? tín hiệu cần thiết Dịnh nghĩa
D= zchiều/s T (9-2-5)
va nhu vay n = DT là số chiều của không gian tín hiệu
Ta có tất c 2" = 2P vectơ, trong số đó M = 2T vectơ được sử dụng để truyền thông tin Ta có ok _ 2” _ 2 (p-Rm
FP==smr =7 (D-Ry (9-2-6)
Trang 1920 CO SO LY THUYET TRUYEN TIN
Vấn đề đặt ra là liệu chúng ta có thể chon M = 27 vecto trong số 2“ = 2P? vectơ có thể dé xác
suat sai P -+ 0 khi 7 -» oo hay n -+ oo được không Rõ ràng khi 7 — oo thì #' — 0 nên có thể chọn
Ä tín hiệu có khoảng cách tối thiểu tăng đần khi 7 > 00 hay P, 3 0
Chúng ta có (2") cach chọn Mf vectơ từ 2” vectơ Với mỗi cách chọn trong số 2"*“ cách chọn, ta
có một hệ thống truyền thong có thể thiết kế sao cho tối ưu với tập hợp A tín hiệu đã chọn Môi hệ thống truyền thông được đặc trưng bởi xác suất sai aie) Là, bah A Giải điều ĐẦU rà [Lee FO tán * nity tan, Giải diều Đâu ra chếtốitu | [7 Dave | : nữ) {5,029}, A! ` Điầu ra ii x _ * Giải điều : nữ) {s (0xx A mm Đâu ra Mi = Giải điều Dito che CO; che tsi Hình 9-2-1: Tập hợp 2" hệ thống truyền thông
Giả sử chúng ta chon M tin hiệu mã một cách ngẫu nhiên trong số 2*M tín hiệu mã có thể Như
vậy đối với tín hiệu thứ ra, ký hiệu là {s;}„., xuất biện với xác suất: P({si}m) = 20 (9-2-7) và xác suất lỗi tương ứng với tin higu ma nay la P.({s;}m) Nhu vay x4c suét 16i trung bình với cả tập hợp tín hiệu mã chọn được là: 2A P, m=1 2"M m= =3” P.sJn)P((sjn) = 3° M S” P.( si}m) (9-2-8)
Rõ ràng có một số lựa chọn có xác suất sai lớn Ví dụ M day È bịt cùng dược gán cho một vectơ sẽ
có xác suất sai rất lớn Trong những trường hợp như vậy #;({s;}„) > P Tuy nhiên cũng có những cách chọn khác mà Pz({s;},„) < P¿ Như vậi han nay sé ding nếu chúng ta xác
thể kết luận rằng với những bộ 1nã đó, Ÿ2({s¡}„) — 0 khi 7 — so
Để xác định giới hạn trên của Pạ, ta xét việc truyền một bản tin k bit X¿ = [ziz› z;z], với +
=0 hoặc 1 Xác suất lỗi có điều kiện trung bình trong cả tập hợp mã là:
PUR = Yl Pe(Xx, {sibm)PUsibm)
moi ma
ậ inh được giới hạn trên của P,, giới các bộ mã mà ,({s¡}m) < P, Hơn nữa, nếu -— 0 khi 7' > oo thi ching ta co
(9-3-9) với P„(X«, {s¡}2„) là xác suất lỗi có điều kiện của một dãy & bit thông tin X¿ được truyền đi bởi mã
Trang 20
KENH VA THONG LUONG CUA KENH 21
V6i Pom(s;,8;) là xác suất lỗi của hệ thống truyền thông nhị phân sử dụng hai vectơ tín hiệu sị và sự
để truyền một trong 2 day k bịt có xác suất giống nhau Nhự vậy: M PAX) SS) Pe({Sc}m) 3 Pam (sis se) (92-11) mọi mã ik Tioán đổi thứ ty lấy tổng ta có: M M PAYS ST) SY Pe(fsibn)Ponlsise)| <3 >FeGn ae) (9-2-12) i [moi ma zk
v6i P,(s;,8,) 1a trung binh theo tập hop cha Pom (s1,Sx) theo 24 bo ma,
Với kênh có nhiễu cộng gaussian trắng, xác suất sai Pam (S1,8x) 1a: dad, Pam (81,84) = Q ( &) (9-2-13) đổ, — |s: — sụ|? Nếu s; và sự khác nhau đ tọa độ thì: n đổ, = N81 ~ su]? = $7515 — 43)? = d VE? = Ade, jel (9-2-14) Như vậy: 2d hầm (Si, sự) = Q ( =) No (9-2-15)
Đây giờ ta có thể lấy trung bình Thm(S¡,s¿) theo tập hợp các mã, Do mọi mã là đồng xác suất,
hai vectơ tín hiệu s; và s¿ là đồng xác suất và độc lập thống kê Nhu vay P(sy = sự) = j và
P(sti A Sus) —= ÿ, độc lập với mọi ¡ = 1,2, ,n Xác suất để s và sự khác nhan ở tọa độ là: na} () sen Như vậy: poet đệ ` e (se) = 3` P()Q ( lệ) =3d ( " Jo ( PS ) d=0 to d=0 (9-3-1?) 0 Đo: a XÔ < eo nên
Đ(S,Sk) S 2n” ( i ) eH He/N0 < 2—B(1 + e~6/Nuyn < lạa +e~Éc/Naj|n a0 (9-2-18)
Thay (8-2-18) vào (9-2-12) ta nhận được:
M
Trang 2122 CO SO LY THUYET TRUYEN TIN
Cuối cùng, xác suất lỗi trung bình trong điều kiện P, nhận được bằng cách lấy trung bình của
P.(Xx) với mọi day & bit thông tin có thể
P.= SROGIPOH) < mika ee YS PO) < Mize eM (9-2-20)
Ta biểu diễn kết quả này dưới dạng thuận tiện để sử dụng hơn Gọi Họ là tốc độ giới bạn, có đơn
vị bit/s và: 2
Ro = logs ene = 1— logy (1 + e7&/%2) (9-2-21)
“Khi do (9-2-19) tro thanh: Ð, < M2TnRo = g8Ta-nRo (9-2-22) Do n= DT nén: P, <277URa~f) (9-2-28) 9.6 0.4 0.2 Rate R, (bits/chiéu) 0 -10 -5 0 5 10 SINq (AB)
Hinh 9-2-2: Téc dé gidi han Ao 1a ham cia SNR timg chiều tính theo đơn vị đB
Tham sé Ro theo é./No duge vé trén hinh 9-2-2 Ta nhận thấy rằng 0 < ñ < 1 và P, + 0 khi T 4 00 néu R< DRạ Mặt khác, (9-2-21) có thể được biểu diễn thành: TP, <9#7-n(o~B/P) (9-2-24) Tỷ số R/D có đơn vị bit/s và ta định nghĩa: R_— R _RT_k =#==_-.=_—=—~ -2-25 Re D nh n (0225) Như vậy, ?## là tốc độ mã và Đ, <9 n(e~R) (9-2-28)
Như vậy khi ?t, < Ra, xác suất sai trung bình 'P, — 0 khi độ dài tit ma n —+ co, như vậy tồn tại phương
pháp mã hóa trong số 2*# phương pháp để xác suất sai không lớn hơn P¿
Toi day ta có thể kết luận rằng tồn tại loại mã tốt theo nghĩa xác suất sai nhỏ nhất Mặc dù thông thường ta không chọn mã một cách ngẫu nhiên nhưng một vấn đề là liệu một mã được chọn ngẫu nhiên
có phải là một bộ mã tốt hay không Chú ý rằng TP, là xác suất sai trung bình theo tập hợp với mọi
bộ mã Nếu một mã được chọn ngẫu nhiên, xác suất để xác suất sai P¿ > œP; nhỏ hơn l/œ
Người ta thấy rằng ít hơn 10% số bộ mã có xác suất sai lớn hơn 10P, va it hơn 1% số bộ mã có xác
Trang 22
KENH VA THONG LUONG CUA KENH 23
chúng ta có thể khắc phục bằng cách tang n tit mo thành 10ng/7 Như vậy ta sẽ có một bộ mã có xác suất sai trung bình 7 < 10”1 Như vậy ta có thể dé dàng có một bộ mã tốt bằng cách chọn ngẫu nhiên Ta biểu diễn xác suất sai trung bình trong (9-2-25) theo SNR tung bit Ta có: E=nk = kbp (9-2-27) Như vậy n = k&,/é_ va ta chi ¥ ring Regs/E_ = 1 va ta co: Pe < ako) (9-2-28) svdi R R le et u - Yo => Fy = ——— 1-log(1+e- Re) ( 9-2-2! 9)
Cha y ring P, + 0 khi k + co và SNR từng bịt %% > 2o
Tham s6 yo 14 ham cha Rey duge vé trén hinh 9-2-3 Chat ¥ ring y 3 2In2 khi Rey 3 0 Nhu
vay xác suất sai của tín hiệu mã nhị phân # mức tương đương với xác suất sai nhận được trong giới hạn hợp đối với các tín hiệu trực giao Ä# mức, miễn là số chiều của tín hiệu đủ lớn để + 21n2
ol -10 505 10° &%
R, Yy (dB)
Hình 9-2-3: Giới hạn dưới của SNR từng bịt đối với tín hiệu mã nhị phân
Cuối cùng, ta chú ý rằng tin hiệu mã nhị phân là thích hợp trong sử dụng khi SNR từng chiều là
nhỏ, €s/Wạ < 10 Khi £./No > 10, fạ bão hòa ở giá trị 1 bit/chiều Như vậy thì tốc độ mã phải nhỏ
hon Ro va tin hiệu mã nhị phân không hiệu quả khi £./Nụ > 10 Trong trường hợp này ta dùng tín
hiệu mã không phải nhị phân để tăng số bit theo chiều
9-2-2 Mã hóa ngẫu nhiên dựa vào tín hiệu đa biên độ M mức
Giả thiết chúng ta sử dụng tín hiệu mã không phải là nhị phân với các từ mã trong (9-2-1), với các ký
hiệu mã eự là một giá trị trong tập hợp {0,1,2, ,4— 1} Mỗi ký hiệu mã được chuyển thành một
trong g giá trị biên độ Như vậy chúng ta đã xây dựng các tín hiệu ứng với các vectơ {s;} trong không gian n chiéu, trong đó các thành phần {s¿} nhận một trong g gia tri biên độ Như vậy ta có g" tín
hiệu, trong đó ta chọn ra Ä4 = 2T tín hiệu mang các khối È bit thông tin ạ giá trị biên độ tương ứng
với các ký hiệu mã {0,1, ,g — 1} dược ký hiệu là {a1,2, ,a,} voi các xác suất tương ứng là {p;}
Các giá trị biên độ giả thiết là phân bố đều trong khoảng [-Vée, Vi», các giá trị biên độ kề nhau khác
nhau là 2vễc/(g~ 1) Điều này bảo đảm cho các thành phần s¿; có năng lượng dinh giới hạn là Vc và
năng lượng mỗi từ mã thỏa mãn điều kiện:
Trang 2324 CO SO LY THUYET TRUYEN TIN
'Tương tự như phần trước, ta thấy rằng xác suất sai trung bình bị giới hạn trên như sau
Ð, < Ma3—nRo = RT2-nTa - 2—n(Ro~R/D) (9-2-30) vi Ro la Ro = —log(Š `” mpmeT Sm/4Ne) (62-3) Si Và ~ dim = |a1- Gn}, lm =1,2, ,¢ (9-2-32) Trong trường hợp đặc biệt, khi mọi giá trị biên độ là đồng xác suất m = pm = 1/q thì a Ro =~ loga(-y Soo on) (9-2-33) = Ry (bite Jebiéu) 0.1 -10 0 10 2 3 40 50 10108 fA IMy)
Hình 9-2-4: Tín hiệu bốn mức biên độ Hình 9-2-5: Tốc độ giới hạn Ra trong diều chế biên độ g mức cách đều đồng xác suất
Ví dụ khi g = 2 và ai = =VÉ,0› = VỆ, tạ có dịi = dạy = 0, diy = doy = 2 VỆ; và
=log,—— am " —
Với g = 4,01 = —VEc,a2 = ~VEc/3,03 = VE/3,05 = VE ta có đụa = Ú với m = 1,9,3,4, dio =
đạa = dạy = dại = dgo = dag = 2VEc/3, dia = đại = dos = dan = 4VEc/3, da = diy = 2VE Nhu vay
8
Ro = l08: 5 2 TEJNG 0o Hung c EM S4 (9-2-34)
Ta thấy rõ ràng rằng Ro bay giờ bão hỏa ở 2 bit/chiều khi £,/Nọ tăng
Trang 24ee
KENH VA THONG LUQNG CUA KENH 25
Nếu ta bỏ ràng buộc về năng lượng đỉnh của các phần tử nhưng giữ ràng buộc về năng lượng trung bình trong mỗi từ mã, ta có thề nhận được giới hạn trên lớn hơn về số bịt theo chiều, đó là kết quả của
Shannon:
~_t == & - Ỉ = 1 = 1 ƒ ae be yy -2-35 RS gl + ye 1+ No loge + 5 logs | (s+ 1+) (9-2-35)
Dé thi cia Rj theo SNR từng chiều cũng ở trên hinh 9-2-5, Gia tri Ko đạt dược của chúng ta như đã làm còn kém giá trị tối ưu Tuy nhiên các tin hiện mã này đễ tạo ra trong thực thế và hay được sử
dụng
9-2-3 So sánh Hạ với thông lượng của kenh AWGN
Thong lượng của kênh AWGN với dài thông hữu hạn có công suất tín hiệu vào hạn chế là:
= Pov ye cac
C = W log, (+ win) bit/s (9-2-36)
ta biểu diễn thông lượng của kênh theo bit/chiều và công suất trung bình theo năng lượng/chiều Với
D=2W vag, = & = Ful tạ có
Pay = Bho = Dé (92-37)
Dat Cy = C/2W = C/D, (9-2-36) duge biểu diễn thành:
+ On = Beg, ( + 24) = jloge(1 + 2Res)_bit/ehiba 1 (9-2-38) 0 € and R (bits (chiều) -10 -5 0 5 10 l5 IN, (dB)
Hình 9-2-6: 5o sánh tốc độ giới han FR} vdi thong lugng cua kénh AWGN
Biểu thức về thông lượng chuẩn này có thể so sánh với #2 như trên hình 9-2-6 Do C, 14 gidi hạn
trên thực của tốc độ truyền R/D nén RE < Cy Ta cũng thấy rằng với những giá trị £,/Nọ nhỏ, độ
chênh lệch giữa Nặ và C„ là khoảng 3 đR Như vậy, sử dụng mã ngẫu nhiên nhiều mức biên độ, công
suất trung bình hạn chế tối wu, tốc độ giới hạn sẽ nhỏ hơn khoảng 3 dB so với thông lượng kênh Người
Trang 2526 CO SO LY THUYET TRUYEN TIN
9-3 Thiết kế hệ thống truyền tin dựa vào tốc độ giới hạn
Trong phần trước, chúng ta đánh giá bộ mã hóa, điều chế bằng xác suất sai Dó là một tiêu chuẩn hay
được sử dụng trong thiết kế hệ thống Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, tính xác suất sai là rất phức tạp, như trong các phép xử lý phi tuyến (trong lượng tử hóa tín hiệu thông qua việc xử ly tin hiệu ở bộ thu) hay nhiễu không phải là gaussian,
“Thay cho việc tính chính xác xác suất sai đối với một loại mã nào đó, chúng ta có thể sử dụng
xác suất sai trung bình theo tập hợp đối với rã ngẫu nhiên Giả thiết đầu vào kênh có g ký hiệu {0,1, ,g — 1} và đầu ra kênh có Q ký hiệu {0,1, 1} và các xác suất chuyển đổi ?(/|7) với
j=0,1, ,g— lLi= 0,1, ,Q — 1, và Q > g Các ký vào có xác suất {p;} và giả thiết là độc lập thống kê Hơn nữa, giả thiết nhiều trên kênh là độc lập thống kê theo thời gian, như vậy không có
sự phụ thuộc nào giữa các ký hiệu nhận được Trong những điều kiện như vậy, xác suất sai trung bình
theo tập hợp đối với mã ngẫu nhiên là có thể xác định dược, đối với kênh DMC là:
TP, <2-n(Ra-R/D) (9-3-1)
với z là độ dài từ mã, ñ là tốc độ thông tin, don vi bit/s, Ð là số chiều truyền đi trong một đơn vị thời gian, fọ là tốc độ giới hạn đối với bộ lượng tử hóa @ mức
2
Q—1 lạ-L
Re = max € —log 3) |Àp,VPGI1) (9-3-3)
* =0 |j=0
Nhìn từ quan điểm thiết kế mã, sự tích hợp của bộ điều chế, kênh, bộ giải diều chế tạo thành một
kênh rời rạc ợ ký hiệu vào và Q ký hiệu ra Các xác suất chuyển đổi {P(|)} phụ thuộc vào tính chất
nhiễu trên kênh, số mức lượng tử và kiểu lượng tử Ví dụ với kênh AWGN đầu vào nhị phân, đầu ra của bộ tương quan tại thời điểm lấy mẫu có hàm mật độ phân bố xác suất có diều kiện là:
?(vl2) = Vino e-t=mJ)/2? 2= 0,1 (9-3-3)
mo = —V€,m1 = VE-,07 = $No Hai ham mat độ phân bố xác suất được vẽ trên hình 9-3-1 Ta có
thể chia trục thực ra 5 miền như hình vẽ Với mỗi cách chia, ta có thể tính các xác suất chuyển đổi và
Trang 26KENH VA THONG LUONG CUA KENH 27
Gia tri Ra khi Q > co la téc d6 giới hạn của bộ của bộ giải mã không lượng tử Trong trường hợp
như thế và sử dụng tín hiệu PSK hay PAM, tốc độ giới hạn là:
2
Rạ — may 4 —leg, [ˆ dự [Sp ve ~0o | j=0 (9-3-5)
, với p; là xác suất của ký hiệu thứ ÿ,
Các kết quả trong (9-3-5) và (9-3-2) cho phép so sánh hiệu quả các bộ thu với số mức lượng tử hóa khác nhau
Vi dụ 9-3-1 Ta so sánh hiệu quả của các bộ thu với tín hiệu vào kênh AWGN là PSK nhị phân và
Q = 2,4,8 Dé don giản, các mức lượng tử ở đầu ra bộ giải diều chế là 0, +rạ, +2n, , +(20—1 — 1)7
với rạ là bước lượng tử và b là số bit của bộ lượng tử hóa z„ được chọn để tối thiểu hóa SNR, từng bit “+ cần thiết để hoạt động ở tốc độ ñạ Điều đó có nghĩa là r„ phải tối ưu hóa đối với mỗi giá tri SNR
Nhưng người ta thấy r„ thay đối không đáng kể đối với những thay đổi nhỏ của SNR Như vậy có thé
dùng giá trị của 7; đối với một giá trị SNR cho một dải giá tri kha rong cla SNR
Giá trị Fọ được tính với b = 1 (giải mã xác định cứng), b = 2,3 Kết quả được vẽ trên hình 9-3-2
SNR timg bit y, (0B)
Hinh 9-3-2: Anh hướng của bộ lượng tử hóa khi hệ thống hoạt động ở tốc độ R = Ro hay R= Ra
với tín hiệu PSK nhị phân trên kênh AWGN
Khi ta sử dụng mã không phải là nhị phân cùng với tín hiệu ă mức (M = q) tin hiệu nhận được ở đầu ra của M bộ lọc phối hợp được biểu diễn bởi vectd y = [y\,12 ] Tốc độ giới hạn của kênh
M dau vao, M dau ra nay la:
M-1M-1 0
Ro = max {- tog, wie | v80 Ì (9-3-6)
' j=0 i=0 oo
với p(y|j) 1a ham mat do phan bé6 xac suat có điều kiện của vectơ y khi tín hiệu thứ j được truyền di Giả sử M tín hiệu vào là trực giao thì M tin hiéu ra tương ứng sẽ độc lập thống kê, như vay
MàI
P(yl) = p+a(w;) [] Palys) (9-3-7) ø
Trang 27s & a 28 CO SO LY THUYET TRUYỀN TIN va (9-3-6) ta co M-L M-1M-1 oO 2 Ro = max § —log, |S) FF + DD way ( [ dy evalu) (9-3-8) ; j=0 j=0 tno iZj ~00 _ Gia trị cực đại của lọ đối với phân bố xác suất đầu vào đạt được khi ø; = 1M Như vậy: M 1+ (M1 [FS Pen0)Pn)di|` = log, Af — logy fear 1) [ [ “ Varco} } (9-3-9) Ro 108; Với việc xác định pha liên kết cho tín hiệu trite giao M mite, các hàm mật độ phân bố xác suất tương ứng là: = heen tem)? fae? Psen(y) a (93-10) Pay) = Wiyz° Ÿ ở đây m = VE vio? = 4No Thay vào (9-3-9) và tính tích phân ta thu được: Ro 1 M 962 |1 + (Ñ — 1e 2N M logs [rrar-==a| (9-3-1) với £ là năng lượng của một tín hiệu nhận được, #„ là tốc độ thông tỉn tính theo bir/tín hiệu và
&/No JA SNR tig bit Voi M = 2 và mã là nhị phân thì ta có #„ = ñ, nếu mã là nhị phân và 2" thì mỗi tín hiệu trong Ä/ tín hiệu mang lượng thong tin Ry = 0# Nếu mà là nhị phân và
thì (9-3-11) đơn giản thành:
=k
Ro oe (=e eer) , M = 2 tin hiéu tryc giao (9-3-12)
Trang 28KENH VA THONG LUONG CUA KENH 29 how ®ạ (bititín hiệu) - aw 2 “ ST 1T 4 $3 6 7 SNR tig bit 7, (6B)
Hinh 9-3-3: SNR tig bit cin thiét dé hoat dong 6 tée dé Ro bang tín hiệu trực giao xác định liên
kết trên kênh AWGN Khi M — oo, (9-3-11) trở thành: jlim | Ro = 2Nin5 bit/tín hiệu (8-3-14) Do £ = P„„T nên _ Ro = Pov =f 1 - 3-1: - AF = BN ind = 2° (9.213)
Như vậy khi Àƒ —+ co thì tốc độ giới hạn là một nửa thông lượng kênh ÁWGN có dải thông vô hạn ` Mặt khác, nếu ta thay = Ro@ vào (9-3-14) dẫn tới + = 2In2 (1,4 dB), đó là SNR, tối thiểu để hoạt
động ở tốc độ Tỉo (khi M — oo), lon hon gidi han Shannon 3 dB
Gia tri Ro trong (9-3-11) với việc sử dụng tín hiệu trực giao ÄZ mức rõ ràng là không tối ưu khi M
nhỏ Tập hợp các tín hiệu đơn hình cho giá trị Ïo cực đại Trong trường hop ni M Ro = bấy | TT TM Tye EA (9-3-16) So sánh kết quả này với biểu thức trong (9-3-11) ta thấy tín hiệu đơn hình có hiệu quả về năng lượng hon M/(M — 1) lan Trong trường hợp xác định không liên kết, các hàm mật độ phân bố xác suất là: —(09+42)/3 1 > Psrnly) = a o(ay),y 2 0 (9-3-17) Poly) = ye 1y 20
a= \/2éNo Téc dG gidi han Ro chudn hoa véi tin hiéu tryc giao M mite xac din không liên kết được
vẽ trên hình 9-3-4 Để so sánh, ta vẽ tốc độ giới hạn đối với giải mã xác định cimg (Q = M) déi voi
các ký hiệu Ä# mức TYong trường hợp này ta có;
M Q=M
|vT=? + MTP] J
,với Py là xác suất sai ký hiệu, và độ chênh lệch giữa xác định cứng và xác định mềm là khoảng 2 dB
Trang 2930 2 a a an hóa eS a 'Tốc độ chui 2 R SNR titng bit y, (4B)
Hinh 9-3-4: SNR titng bit can thiết dé hoat déng 6 téc dé Ro voi tin hiệu trực giao M mtte xac dinh khong lién két trén kenh AWGN
BAI TAP
9-1 Chứng tỏ rằng hai quan hệ sau:
l(@œ;iÝ) =Ơ với mọi j thỏa mãn P(x,) > 0
1(z;;Ÿ) <Œ_ với mọi j thỏamãn P{z;) =0
với Ở là thông lượng của kênh và
Q-1
Tes ¥) = 3) PQ@ls,)ios” yee
7=0 +
là điều kiện cần và đủ để tập hợp xác suất đầu vào {P(z;)} cực đại I(X;Y)
9-2 Hình sau biểu diễn kênh DMC 8Z mức đối xứng với các xác suất chuyển đổi P(y|z) = 1— p khi z=U= kvới k=0,1, , M — 1 và P(w|z) = p/(M — 1) khi z # g Chứng tỏ rằng kênh này thỏa mãn
Trang 3031
9-4 Một kênh điện thoại có độ rong dai thong W=300 Hz va tỷ số tín hiệu trên nhiêu là 26 dB Giả thiết rằng kênh này là kênh tương tự AWGN có dài thông hạn chế với Pi» /WNo=400, Xác định thông lượng của kênh theo đơn vị bit/s Liệu kênh này có đủ để truyền tín hiệu tiếng nói được lấy mẫu và
mã hóa theo luật loga PCM hay không?
9-5 Xét hai kênh trong hình san Chứng tỏ rầng nếu các ký hiệu vào đồng xác suất sẽ cực đại hóa,
Trang 31Chương 10
‘MA HOA KENH
Trong chương trước, chúng ta đã xét việc mã hóa và giải mã hóa một cách tổng quát và ta đã
thấy rằng, việc mã hóa bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên các từ mã cũng cho một loại ma hiệu suất cao Với các tín hiệu trực giao, ta có thể thiết kế được một bộ mã hoạt động ở tốc độ bằng thông lượng kênh khi số lượng tín hiệu tiến tới vô hạn Trong chương này ta sẽ xét một số loại
mã và đánh giá hiệu quả của các loại mã trên kênh AWGN
10-1 Mã khối tuyến tính
Với mã khối mỗi từ mã được coi là một vectd có độ dài cố định Mã khối là một tập hợp các veetơ này Độ dài của một từ mã là số lượng các ký hiệu mã có trong từ mã và ký hiệu là ø Mỗi ký
hiệu mã nhận một giá trị trong bộ ký hiệu có ợ phần tử Khi g = 2 thì bộ mã là nhị phân Khi
4> 2 thì bộ mã không phải là nhị phân Đặc biệt khi g = 2° với ð là số nguyên dương thì mỗi ký
'hiệu mã trong từ mã tương đương với một từ mã nhị phân có q bit Như vậy mã không nhị phần
độ dài N trong trường hợp này tương đương với một từ mã nhị phân độ đài ø = bÑ
Ta có thể tạo được 2” tổ hợp nhị phân có độ dain Trong dé ta cé thé chon ra M = 2* tix ma
(k <n) dé tạo ra bộ mã và có thể coi khối đài k bit 1A khdi thông tin được mã hóa Như vậy khối
& bit thông tin được ánh xạ thành một từ mã độ dài ø trong tập Ö/ từ mã Ta gọi mã khối đó là
ma khéi (n, &) và Ñ, =k/n là tốc độ mã Số lượng ký hiệu khác 0 trong một từ mã gọi là trọng lượng của từ mã và tập hợp các giá trị trọng lượng của các từ mã có trong một bộ mã tạo thành sự phân bố về trọng lượng của bộ mã Khi Ä từ mã có cùng trọng lượng thì gọi là bộ mã có trọng
lượng cố định,
Việc mã hóa và giải mã hóa thực hiện các phép toán cộng và nhân số học trên các từ mã Các
phép toán số học tuân theo các quy ước của trường đại số với các phần tử là các ký hiệu trong bộ
ký hiệu Trường #' là một tập hợp các phần tử mà trên tập hợp này ta định nghĩa được hai phép toán số học gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau:
Phép cộng
1, Tập hợp # là đóng đối với phép cộng, có nghĩa là nếu ø, b e F thì a + b e E 2 Phép cộng có tính kết hợp, có nghĩa là nếu a, b, e 6 #' thì ø + (b + c) = (g + ð)+e 3 Phép cộng có tính giao hoán, có nghĩa là ø + ð = b + a
4 Trong tập hợp F có một phần tử gọi là phần tử không ký hiệu là 0 mà ø + 0 = ø với mọi ø € Ƒ
Trang 32MA HOA KENH 3ã 5 Mọi phần tử trong tập hợp đều có phần tử đối Nếu ð là một phần tử thì phần đối, ký hiệu
là ~6 Phép trừ giữa hai phần tử ø - được định nghĩa là ø + C8), Phép nhân
1 Tập hợp # là đóng đối với phép nhân, có nghĩa là nếu ø, b e Ƒ thì øb e F 9 Phép nhân có tính kết hợp, có nghĩa là œ(ðc) = (qö)c
3 Phép nhân có tinh giao hoan, ab = ba
+4 Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, có nghĩa là (a + b)e = ae + be
B Tập hợp # có một phần tử gợi là phần tử đơn vị, ký hiệu là 1 mà ø1 =ø với mọi ø € F
6 Mọi phần tử thuộc #, khác 0 đều có nghịch đảo, néu b € F, b z# 0 thì nghịch đảo của ö ký hiệu là b ` và bô"! = 1 Phép chia giữa bai phần tử ø và ö được định nghĩa là øð-1,
Bộ mã được xây dựng từ một trường có hữu hạn phần tử và trường hữu hạn có g phần tử gọi là trường Galois và ký hiệu là GF(g) Mọi trường đều có hai phần tử 0 và 1 Như vậy trường đơn
giản nhất là trường GF(2) Phép cộng và phép nhân trên trường GF(g) được định nghĩa theo modulo g va ky hiéu 1A (mod g) Néu q = p™ véi m 1A số nguyên dương thì ta có thể mở rộng trường GF@œ) thành trường GE(p”) và gọi là trường mở rộng của trường GE(@) Phép cộng và phép nhân trên trường mở rộng dựa trên số học modulo p
Giả sử có hai từ mã C; và C, trong mã khối (n, š) Sự khác nhau giữa các ký hiệu tương ứng hay các vị trí tương ứng gọi là khoảng cách Hamming giữa hai từ mã và ký hiệu là đ, Với
¿ z7 thì 0 < đụ <n Giá trị nhỏ nhất trong tập hợp {dy} goi là khoảng cách tối thiểu giữa hai từ
mã và ký hiệu là đ„„ (còn gọi là khoảng cách Hamming của bệ mầ)
Một bộ mã có thể là tuyến tính hay không tuyến tính Giả sử C, và C, là hai từ mã của bộ mã
khối (m, &) và ơi và ơ; là hai phần tử nào đó thuộc bộ ký hiệu Bộ mã là tuyến tính nếu và chỉ
nếu œ¡C, + œ¿C, cũng là một từ mã Như vậy mọi bộ mã tuyến tính đều chứa từ mã 0 (là từ mã chỉ có các ký hiệu mã là 0) Như vậy mã có trọng lượng cố định là mã phi tuyến
Giả sử có một bộ mã khối tuyến tính và ký hiệu C„ ¿ = 1, 9 , ÄM là các từ mã, Ký hiệu C; là
từ ma 0, C, = [00 0] va w, là trọng lượng của từ mã thứ r Như vậy thì ø, chính là khoảng cách
Hamming giữa C, và Ơ¡ Khoảng cách giữa hai từ mã C, và C; là trọng lượng của từ mã tổng của
€¡ và C¡ Như vậy sự phân bố của trọng lượng của một bộ mã tuyến tính hoàn toàn đặc trưng cho khoảng cách Hamming của bộ mã Khoảng cách tối thiểu của bộ mã là:
din = min {c,} rel (10-1-1) Tập hợp tất cả các vectd n chiều tạo nên một không gian vectơ n chiều Nếu ta chọn một tập
hợp $& < m) vecld độc lập tuyến tính trong không gian vectơ S (lA không gian vectd được xây dựng bởi tất cả các tổ hợp mã có độ dài n cùng với các phép toán tương ứng) và xây dựng tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectd này thì ra sẽ tạo nên không gian con 9, của không gian Š có
số chiều là k Mọi tập hợp & vectơ độc lập tuyến tính trong S, đều tạo nên cơ sở của không gian
vectd Xét tất cả các vectơ trong 9 trực giao với cơ sở của S, (tức là trực giao với mọi vectd trong
®,) thì tập hợp đó tạo ra một không gian con của Š và gọi là không gian không của S„ Số chiều của 6, là & thì số chiều của không gian không là ø ~& Không gian không của S, là một mã tuyến tính khác, có số phần tử là 2"-* va trong mỗi từ mã hay mỗi vectơ có n - k bit thông tin
Trang 3334 CO SO LY THUYET TRUYEN TIN
10-1-1 Ma tran sinh va ma tran kiém tra parity
XCt mis Fn2, -+2me la k bit thông tin được mã hóa thánh một từ mà Cạ, Vectơ k bịt thông tin dưa vào bộ mã hóa được ký hiệu là: Xm — [mi m3 ‹ mkÌ và đầu ra của bộ mã hóa là vectơ: Cảm — [Gm1Cm2 - - Con] Quá trình mã hóa trong một bộ mã hóa khối tuyến tính có thể được biểu điễn bởi ø phương trình: mg = #181) + 8 magái + + Emegyy, ý = LL2, ,n (10-1-2) + với g¡; bằng 0 hoặc 1 Các phương trình (10-1-2) duge biéu dién đưới dang ma trận như sau: Ầ Cr = XmG (10-1-3) G goi la ma tran sinh cia ma 1a: 8ì ir Fz ++ Gin G= & = gn ge an (10-1-4) Be er Gk2 + Gkn Vậy từ mã là tổ hợp tuyến tinh của các vectơ {g¡} của G: Cm = 2miBi + 2m2Ba + + #mkBk (10-1-5)
Do mã tuyến tính (n, &) gồm 2# từ mã là không gian có số chiều là k, các hàng của ma trận sinh Œ
phải độc lập tuyến tính Như vậy {g,} phải là cơ sở của mã (n,k) Ma trận sinh Œ có thể chuyển về dạng "hệ thống” như sau: 1 00 0 pio me Dine‘ 010 O por Pez Pon-k G=[I,P]= oo * (10-1-6) 0 0 0 1 per Ø2 Penk
1¿ là ma trận đơn vị &xk và P là ma trận &x (n — k) xác định w — k bit con lại hay các bit kiểm tra parity Cha y rằng ma trận sinh dạng hệ thống tạo ra mã khối tuyến tính có & bit đầu tiên chính là các bit mang thông tin va n — & bit con lai la td hop tuyến tính của các bit mang thông tin gọi là các bit kiểm tra parity Mã (n, k) được tạo ra từ ma trận sinh dạng hệ thống gọi là mã có tính hệ thống
Mã (n, ) tạo ra từ ma trận sinh không có đạng hệ thống gọi là mã không có dạng hệ thống Tuy
nhiên một ma trận sinh sẽ tương đương với một ma trận sinh dạng hệ thống Hai mã như vậy gọi là
hai mã tương đương Như vậy mọi mã tuyến tính (n,k) đều tương đương với một mã tuyến tính có
tính hệ thống (n,È)
Số liệu
Trang 34MA HOA KENH 35 Vi du 10-1-1 Xét mã (7,4) có ma trận sinh: 1000101 Ä=|0100111]_- G=l0 01011 g| =lP| (10-1-7) 0001011 Một từ mã được biểu diễn là: Cn = [mì ®m2#m3tim4 €m5Cm6Em7) với {#m¡} là các bịt thông tin và {emi} 1a ba bịt kiểm tra parity, được xác định qua: ms = #mi đụng + đmg m6 = Zm2 + Im3 + Lng (10-1-8) Cm? = Bm t+ fm2+ lm
Một bộ mã hóa khối tuyến tính hệ thống sử dụng một thanh ghỉ dịch & bit và ø— k bộ cộng modulo 2 z— k bộ cộng tạo ra các bìt parity và được lưu trữ tạm thời trong một thanh ghi dịch khác độ dài m — È Việc mã hóa dùng các thanh ghi dịch trong ví dụ này có thể trình bày như trên hình 10-1-1 Cùng với mã khối tuyến tính (n,k) là mã kép có số chiều n — & Mã kép nay la ma (n,n — k) với 2"—* vectd, là không gian không của mã (n,k) Ma tran sinh cla ma kép, ký hiệu H gồm ø — k vectơ độc lập tuyến tính trong không gian không Một từ mã Cậ thuộc mã (n,k) sẽ trực gÌao với mọi mã trong mã kép, có nghĩa là sẽ trực giao với mọi hàng trong ma trận H (H” là ma tran chuyển vị của ma trận H): C„H'=0 (10-1-9) với 0 là vects hang n — k phần tử 0 Do (10-1-9) đúng với mọi từ mã trong bộ mã (n,k) nên: GH'=0 (10-1-10) Gia thiét ma (n, k) la ma hé théng va ma tran G có dạng hệ thống Do GH' = 0 nen: H=(-P'l,_¢] (10-1-11) Dấu trừ có thể bỏ qua nếu mã là nhị phân bởi vì phép trờ modulo 2 chính là phép cộng modulo 2 Vi du 10-1-2 Mã hệ thống (7,4) tạo ra từ ma tran sinh G trong (10-1-7), ma tran H tương ứng là: 1110100 :H=Ïl01 11010 (10-1-12) 1101001 Tích C„HF tạo ra ba phương trình: Emi + Linz + Bms + Cms Ema + mg + Zing + C6 Emit@ma+imatemy = 0 0 (10-1-13) 0
Ma trận H được sử dụng trong bộ giải mã để kiểm tra các từ mã nhận được có thỏa mãn điều kiện (10-1-13) hay khong Do vậy ma trận H gọi là ma trận kiểm tra parity cia ma (n,k),
Trang 3536 CƠ SỞ LÝ THUYET TRUYEN TIN
trọng lượng nhỏ nhất cũng là khoảng cách tối thiểu nên amin các cột của H là độc lập tuyến tính Như vậy không nhiều hơn đ„¿„ — 1 cột của H là phụ thuộc tuyến tính Do hạng của H là n — k nên:
đặn Sm—k+1 (10-1-14)
Một ¡nã tuyến tính nhị phân (n, k) với khoảng cách tối thiểu dmin ta ¢6 thé tao ra mã tuyến tính nhị phân (m + 1, k) bằng cách thêm 1 bit parity vào mỗi tu ma Bit parity là 0 nếu số ký hiệu 1 trong từ mã
là chắn và là 1 nếu số ký hiệu 1 trong từ mã là lẽ Như vậy, nếu trọng lượng tối thiêu hay khoảng cách
tối thiểu của bộ mã là lẻ thì bit parity sẽ tăng khoảng cách tối thiểu lên 1 đơn vị Ta gọi mã (n + 1, k) là mã mở rộng và ma trận kiểm tra parity 1a:
H = H : (10-21-15)
Mã hệ thống (n,È) có thể thu hẹp lại bằng cách đặt một số ký hiệu mang thông tin bằng 0, Như
vậy mã tuyến tính (n,È) gồm & bit mang thông tin và n — È bit kiểm tra có thé thu hẹp lại thành mã tuyến tính (k — i,n — ?) bằng cách đặt ¡ bit đầu tiên bằng 0 Do
Cn = XmG
nên việc đặt / bịt của X„ bằng 0 tương đương với việc giảm số hàng của Œ đi † hàng đầu tiên Mặt khác
C„H' =0
ta có thế bổ đi ? cột đầu tiên của H Mã (n — 1,k — f) gồm 2*—F từ mã, hoảng cách tối thiểu của bộ
mã này ít nhất cũng bằng khoảng cách tối thiểu của bộ mã (n, k)
10-1-2 Một số loại mã khối tuyến tính
Mã Hamming Có cả ma Hamming nhị phân và không nhị phân và chúng ta chỉ xét mã nhị phân Mã
Hamming gồm lớp các bộ mã thỏa mãn điều
(n,k) = (2t ~ 1,9 =1 — m) (10-1-16)
trong đó n là số nguyên dương
Ma trận kiểm tra parity H có tính chất đặc biệt giúp chúng ta mô tả mã đề dàng hơn Đối với mã Hamming (ø, k), n = 2”' — 1 cột gồm tất cả các vectơ có mm = " — k phần tử trừ vectơ 0 Ví dụ như mã (7,4) trong vi du 10-1-1 là mã Hamming Ma tran kiém tra parity gồm 7 vectơ cột là tất cả các vectơ
có độ dài 3 trừ vectơ 0 Nếu ta muốn tạo mã Hamming có tính hệ thống thì ta có thể đễ dàng sắp xếp
để có được ma trận kiểm tra parity H và từ đó có ma trận sinh G Ta nhận thấy rằng không có hai cột khác nhau nào của ma trận HH là phụ thuộc tuyến tính Tuy nhiên véi m > 1, c6 thể tìm được 3
cột của H có tổng bằng 0 Như vậy dmin = 3 déi voi ma Hamming
Bằng cách thém bit parity, ma Hamming(n, k) có thể mở rong thanh m& (n + 1,k) vOi'dmin = 4 Mặt khác, mã Hamming có thể thu hẹp lại thành mã (n —1,k ~ 1) băng cách bỏ đi ¡ hàng trong ma tran sinh G hay bỏ đi J cét trong ma tran kiém tra parity H Phan bé trọng lượng của mã Hamming (n,k) được biểu diễn thành dang đa thức như sau:
Az) = > Az! = la +2)” +n(1+z)—9/2(1 ~ z)tn+1)/2 (10-1-17)
Trang 36MA HOA KENH 37
với 4; là số lượng các từ mã có trọng lượng ¿
Mã Hadamard Mã Hadamard nhận được từ các hàng của ma trận Hadamard Ma trận Hadamard
Mạ là ma trận nxn (a chấn), các phần tử là 0 hoặc 1, một hàng bất kỳ khác các hàng khác chỉ ở $n vi
trí Một hàng của ma tran gdm toàn phần tử 0 còn các hàng khác gồm šn phần tử 0 và dn phần tử 1
Véi n = 2, ma tran Hadamard la: 0 0 M2 = [ 01 (10-1-18) i Từ ma trận Mạ, ta có thé tao ra ma tran Mo, theo quan hệ: Mo=[ Me Me | _ [Ma My {40-1-19) ; voi M,, là ma trận bù của M„ bằng cách thay phần tử 0 bằng phần tử 1 và ngược lại Ta có: 0000 0101 M.=lp g1 1 (10-1-20) 0 110 Ma tran ba cia Mg la: 1 1 1 1 = 1010 M=|1 7 9 9 (10-1-21) 16001
Từ các hang cha M, va My ta tao ra 8 tit ma độ dai 4 Khoang cach téi thidu dain = in = 2 Taco - thể tạo ra các từ mã c6 dé dain = 2",k = logy 2n = mt Lidmin = in = 27-1 voi m là số nguyên
dương
Mã Golay Mã Golay là mã tuyến tính nhị phân (23,12) với đ„¿„ = 7 Mở rộng mã Golay bằng cách thêm vào bịt parity để trở thành mã nhị phân tuyến tính (24,12) va dmin = 8 Bang 10-1-1 liét ke sự phân bố về trọng lượng của các từ mã trong mã Golay (23,12) và (24,12)
Bang 10-1~-1 Sự phân bố trọng lượng của mã Golay Trọng lượng Mã (2312) Mã (2412) 0 1 1 ĩ 253 0 8 506 759 11 1288 0 12 1288 2576 15 506 0 16 253 759 23 1 0 24 0 1 10-1-3 Mã vòng
Mã vòng là tập con của lớp mã tuyến tính và thỏa mãn tính chất dịch vòng như sau: nếu C =
Trang 3738 CO SO LY THUYET TRUYEN TIN
vong cae phin tit ca C cing la mot tit ma Nhu vay moi dich vong cha C đều là từ mã Chúng ta
xét một số đặc điểm của mã này,
Đối với mã vòng thì mỗi từ mã Œ = [Cs—Len~z cico} tương ứng với một da thức C(p), có bậc không quá ø — 1 và được định nghĩa là:
aad
C(p) = cn—ip"? + en—op”? + Ferptco (10-1-22)
Đối với mã nhị phân thì mỗi hệ số nhận một trong hai giá trị là 0 hoặc 1
'Ta lập đa thức:
PC(p) = cr—ip™ + en—-2p" + + e BÊ + cạp
Đa thức này không biểu diễn một từ mã do bậc của nó là œ khí e„_¡ = 1 Nếu ta chia pC(p) cho p® +1, ta nhận được: pC(p) _ AO) peel PT ea (10-1-23) với
Ci(p) = cmap") + cpap? + + cop + ena
Cha ý rằng Œ; (p) biểu diễn từ mã C¡ = [Cz—z coca—], chính là từ mã dịch vòng một vị trí Do
C¡(p) là phần dư khi chia pC(p) cho p® + 1 nên;
C1(p) = pC(p) mod (p" + 1) (10-1-24)
Tương tự, nếu C(p) là một từ mã trong bộ mã vòng thi p'C(p) mod (p" + 1) cũng là một từ mã
trong bộ mã vòng:
p'C(p) = Q(p)(p" + 1) + Cilp) (10-1-25)
đa thức du C;(p) biểu diễn một tit ma thuộc bộ mã vòng và đa thức Qứ) là da thức thương,
Ta có thể tạo ra mã vòng nhờ đa thức sinh ø(p) bậc œ — k, Đa thức sinh của mã vòng (n, k) là một thừa số khi khai triển ø” + 1 và có dạng như sau:
9(P) = PP + ge ap + gp tL (10-1-26)
Ta định nghĩa da thức mang tin X(p) là;
X(p) = ap-p*! + ty_op*? + tap +20 (10-1-27)
trong đồ Íz¿—i#¿_z zo} thể biện k bit thông tin Tích của (ø)ø(p) là một da thức có bậc không
vugt qua n ~ 1 va có thể biểu diễn cho một từ mã Chúng ta có 3* đa thức ÄX;(p) và có 2* từ mã có
thể tạo ra từ g(p) Ta ký hiệu các từ mã này là:
Cm(p) = Xm(p)g(p), m= 1,2, ,28 (10-1-28)
Để chứng tô các từ mã trong công thức (10-1-28) thỏa mãn tính chất dịch vòng, ta xét một từ mã
C(p), mot dich vòng của C(p) tao ra:
(0) = pC(p) + cn—1(p" +1) (10-1-29)
va do 9(p) chia hét cả Ở(p) và p" + 1 nên nó cũng chia hết Cạ(p), có nghĩa là Ơi (p) có thể biểu diễn thành
€i(p) = X:(p)g(p)
Nhu vay dich vòng của mọi từ mã trong (10-1-28) đều tạo ra một từ mã khác Đa thức sinh ø) gọi là đa thức sinh của mã vòng (w, k) và mã vòng là không gian con Š, của không gian vectơ Š Không gian vectd % có số chiều là k
Trang 38ase a MA HOA KENH 39 Ví dụ 10-1-3 Xét mã khối độ dai 7 Đa thức pÏ + 1 khai triển như sau: øh+1=(p+1)(p?+?p° + ứ” +p+1) (10-1-30) Để tạo ra mã vòng (7,4), ta có thể sử dụng một trong hai đa thức sinh: ữ) = p`+p+l 10-1-31 gp) = p”+p+l ( )
Mã tạo ra bởi gi (p) va go(p) la tuong duong Cac tit ma trong bo ma (7,4) dude tao ra béi da thitc ` ø(p) được ghi trong bảng 10-1-2 Bảng 10-1-2: Mã vòng (7,4), da thức sinh ø¡(p) = pŠ + p? +1 Các bít thông tin Ty ma Pop pp Pp pp ppl p 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 1 00 0 11 0 1 0 0 10 0 0 1 10 10 00 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 10 9 0 1 1 0 1 900 0 1 0 1 0 1 1 1 0/0 1 0 1 1 0 0 10 11 10 0 1 1 1 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 4 0 0 0 100 1 1 1 09 0 161 101 0 1 1 10 01 0 10 1 1 11 11 1 1 1 1.1 0 0 1 0 1 1 1 0 8 1 40 1 10 1600 1 1 21 40 10 00 L1 10 L1 1 1 10 0 1 0 11 Tổng quát, đa thức ø” + 1 có thể phân tích thành: ?"+1=g0)h(p)
với g(p) là ký hiệu đa thức sinh bộ mã vòng (n,k) va A(p) là ký hiệu của đa thức parity có bậc là & Ta định nghĩa da thức phối hợp với híp) như sau:
PR) = php ft heap th + + hip lt +)
1+h¿_ip+ họng? + + hìpFTÍ + ph (10-1-32) Rõ ràng đa thức phối hợp cũng là một thừa số khi khai triển p* + 1, Như vay p*h(p—+) la da thite sinh
của mã vòng (n,m — Èk) Mã vòng này là mã kép của mã vòng (n,k) được tạo ra từ da thức g(ø) Mã
Trang 39Brose 25 hấp
40 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TRUYỀN TIN
Đa thức phối hợp là
Pthíp"!) =1+p+p? + pt
Đa thức này tạo ra mã kép (7,3) trong bang 10-1-3
Bang 10-1-3: Ma kép (7,3) véi da thite sinh pih(p!) =p*+p°+p+1 [ Cac bit théng tin Từ mã ppt 0 0 0 0 ? 0 1 p` p ph ph pe ph p 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 11 ` 4 0 1 0 1 0 1 9 10 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 10 0 1 0 1 10 0 1 0 1 1 toa 0 1 1 10 0 1 0 11 1 11 0 0 1 01
Ta đặt câu hỏi là từ đa thức sinh của mã vong (n,k) ta có thể tao được ma trận sinh bằng cách
nào? Ta đã biết rằng ma trận sinh của mã (n,k) được xây dựng từ tập hợp k từ mã mà các vectơ mã
tương ứng là độc lập tuyến tính Như vậy từ đa thức sinh g(p), ta có thé dé dang tao ra k tit ma doc lập tuyến tính là các từ mã tương ứng với các đa thức độc lập tuyến tính sau
?`~'g(p),p*”®g() , pạ(p), ø(p)
Do moi đa thức bậc không quá ø — 1 và chia hết cho 9(œ) đều có thể biểu diễn thành một tổ hợp tuyến
tính của các đa thức trên, như vậy các đa thức trên sẽ tạo ra cơ sở của không gian vectơ k chiều Tóm lại, các từ mã tương ứng với các đa thức trên tạo ra cơ sở của mã vòng (n, È) Ví dụ 10-1-5 Bốn hàng của ma trận sinh mã vòng (7,4) với đa thức sinh nlp) =p) +p? +1 nhan ditge từ các da thức p'gi(p), = 3,2,1,0 Ma trận đó là: 1 101000 TH 90001101 „ Tương tự, ma trận sinh dối với đa thức go(p) =p? + p41 la: , 1011000 G=Í0 010110 (0-88) 8 001011
Các ma trận kiểm tra parity có thể xây dựng tương tự từ các da thức phối hợp
Ma trận sinh nhận được theo phương pháp trên không có tính hệ thống Ta có thể tạo ra ma trận
Trang 40os MA HOA KENH 41 Nhung p"~' + Ri(p) tuong ứng với một từ mã của bộ mã vòng nên đa thitc tương ứng với hàng thứ ! của ma trận G là p"~! + /(p) Vi du 10-1-6 Với mã vòng (7,4) dược tao ra tit da thite sinh go(p) = p? + p+ 1 ta co: Pos (PP +p4+lop) tp +1 po= (p+ 1golp) +p? + p41 P= pyolp)+p +p P= golp)t+pti Ma trận sinh của bộ mã có tính hệ thống là G = (10-1-37)
coor core eroo m=Ăcc =mmm= mo Hone
và ma trận kiểm tra parity tương ứng là 1110100 H=|9 111010 (10-1-38) 1 101001 Ta cùng chứng mình được rằng bộ mã tạo ra bởi ma trận sinh (10-1-35) giống bộ mã được tạo ra từ ma trận sinh (10-1-37),
Phương pháp tao ra ma tran sinh GŒ có tính hệ thống cũng chỉ ra rằng mã vòng có tính hệ thống có
thể được tạo ra trực tiếp từ ma trận ø(p} Ta nhân da thức X(p) voi p"—* sẽ nhận được:
Ppˆ~ÊX(p) = #-ipPTỦ + ae ap®”? + + mịphS TH + gạpR
Trong mã hệ thống, đa thức này biểu diễn & bit thông tin trong từ mã (ø) Đa thức này phải thêm
vào ?t— & bắt parity Chia p"~È X(p) cho g(p), ta nhận được: ,_*Xơ) _ r(p) apy + ø() hay tương đương là: BEX (p) = Q(p)g(p) + ríp) (10-1-39) R6 rang Q(p)g(p) 1d một từ mã thuộc bộ mã vòng Như vậy cộng r{p) vào cả hai vế của (10-1-39) ta sẽ nhận được mã có tính hệ thống
Do p" + 1 = g(p)h(p) hay g(p)h(p) = 0 mod (p” +1) nén ta n6i rang hai da thức g(p) và hp) là
trực giao với nhau, và tuong ty, hai da thite p'g(p) va pi h(p) 18 true giao với mọi 7,7 Nhung hai vecto tương ứng với hai da thức g(p) và h(p) là trực giao nếu các phần tử của một trong hai vectơ là đảo ngược lại Thực ra, nếu đa thức parity A(p) được sử dụng để tạo ra mã kếp (n,m — k) thì tập hợp các từ mã nhận được nếu đảo ngược lại sẽ giống bộ mã tạo ra bởi đa thức phối hợp Điều đó nói lên rằng mna trận sinh của mã kép nhận được từ đa thức phối hợp pÈh(p—) có thể nhận được một cách gián tiếp từ híp) Do ma trận kiểm tra parity H của mã (n,k) là ma trận sinh của mã kép nên H có thể nhận