Đề số 3 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2y x x= − + − (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C). Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: x x x x x 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16+ + + = + + + − . 2) Giải phương trình: x x x x 3 2 2 cos2 sin2 cos 4sin 0 4 4 π π + + − + = ÷ ÷ . Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I x x x x dx 2 4 4 6 6 0 (sin cos )(sin cos ) π = + + ∫ . Câu IV (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Câu V (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: abcd a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 + + + ≤ + + + + + + + + + + + + II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2x – y – 5 = 0 và đường tròn (C’): 2 2 20 50 0x y x+ − + = . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. Câu VII.a (1 điểm) Chứng minh rằng nếu n a bi (c di)+ = + thì 2 2 2 2 n a b c d( )+ = + . B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ∆ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y –8 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD. Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình: x y x x y x xy y y x y 2 2 4 4 4 2 4 4 4 log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 ) log ( 1) log (4 2 2 4) log 1 + − + = + + − + − + = − ÷ Hướng dẫn Câu I: 2) Gọi M(m; 2) ∈ d. Phương trình đường thẳng ∆ qua M có dạng: 2y k x m( )= − + . Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) ⇔ Hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x x k x m x x k 3 2 2 3 2 ( ) 2 (1) 3 6 (2) − + − = − + − + = ⇔ m hoaëc m m 5 1 3 2 < − > ≠ Câu II: 1) Đặt t x x2 3 1= + + + > 0. (2) ⇔ x 3= 2) 2) ⇔ 4 2 4 0x x x x x(sin cos ) (cos sin ) sin + − − − = ⇔ x k 4 π π = − + ; x k x k 3 2 ; 2 2 π π π = = + Câu III: x x x x 4 4 6 6 (sin cos )(sin cos )+ + x x 33 7 3 cos4 cos8 64 16 64 = + + ⇒ I 33 128 π = Câu IV: Đặt V 1 =V S.AMN ; V 2 =V A BCNM ; V=V S.ABC ; V SM SN SM (1) V SB SC SB 1 1 . . 2 = = 4a SM AM a SM= SB 2 4 ; 5 5 5 = ⇒ = ⇒ V V V V (2) V V 1 2 2 2 3 3 5 5 5 = ⇒ = ⇒ = ABC a V S SA 3 1 . 3 . 3 3 ∆ = = ⇒ a V 3 2 . 3 5 = Câu V: a b a b (1); b c b c (2); c a c a (3) 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2+ ≥ + ≥ + ≥ ⇒ a b c abc a b c a b c abcd abc a b c d 4 4 4 4 4 4 ( ) ( )+ + ≥ + + ⇒ + + + ≥ + + + (4) abc a b c d a b c abcd 4 4 4 1 1 ( ) ⇒ ≤ + + + + + + ⇒ đpcm. Câu VI.a: 1) A(3; 1), B(5; 5) ⇒ (C): 2 2 4 8 10 0x y x y+ − − + = 2) Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒ ( ) : 1+ + = x y z P a b c (4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; ) IA a JA b JK b c IK a c = − = − = − = − uur uur uuur uur ⇒ 4 5 6 1 5 6 0 4 6 0 + + = − + = − + = a b c b c a c ⇒ 77 4 77 5 77 6 a b c = = = Câu VII.a: a + bi = (c + di) n ⇒ |a + bi| = |(c + di) n | ⇒ |a + bi| 2 = |(c + di) n | 2 = |(c + di)| 2n ⇒ a 2 + b 2 = (c 2 + d 2 ) n Câu VI.b: 1) Tìm được C (1; 1) 1 − , C 2 ( 2; 10)− − . + Với C 1 (1; 1)− ⇒ (C): 11 11 16 0 3 3 3 2 2 x y x y + − + + = + Với C 2 ( 2; 10)− − ⇒ (C): 91 91 416 0 3 3 3 2 2 x y x y + − + + = 2) Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ⊥ (Oxy) ⇒ (P): 5x – 4y = 0 (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ⊥ (Oxy) ⇒ (Q): 2x + 3y – 6 = 0 Ta có (D) = (P)∩(Q) ⇒ Phương trình của (D) Câu VII.b: x x=2 vôùi >0 tuyø yù vaø y y=1 α α α = = . Tìm được C (1; 1) 1 − , C 2 ( 2; 10) − − . + Với C 1 (1; 1)− ⇒ (C): 11 11 16 0 3 3 3 2 2 x y x y + − + + = + Với C 2 ( 2; 10) − − ⇒ (C): 91 91 416 0 3 3 3. 1 ( ) ⇒ ≤ + + + + + + ⇒ đpcm. Câu VI.a: 1) A(3; 1), B(5; 5) ⇒ (C): 2 2 4 8 10 0x y x y+ − − + = 2) Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒ ( ) : 1+ + = x y