Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Véctơ với hình học sơ cấp

Luận văn với mục tiêu tìm hiểu không gian véctơ Euclide và mô hình vật lý của nó; phương pháp véc tơ trong hình học sơ cấp. Để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo luận văn.

TR B GIÁO D C VĨ ĨO T O NG I H C TH NG LONG - LÊ TH Y N VÉCT V I HỊNH H C S C P TịM T T LU N V N TH C S TOÁN H C CHUYểNăNGÀNH: PH NGăPHỄPăTOỄNăS ăC P MẩăS :ă60ă46ă01ă13 Hà N i – N m 2018 TR B GIÁO D C VĨ ĨO T O NG I H C TH NG LONG - LÊ TH Y N ậ C00849 VÉCT V I HỊNH H C S C P TịM T T LU N V N TH C S TOÁN H C CHUYểNăNGÀNH: PH NGăPHỄPăTOỄNăS ăC P MẩăS :ă60ă46ă01ă13 NG IăH NGăD NăKHOAăH C:ăTS.ăNGUY NăV Nă OÀNH Hà N i – N m 2018 L IC M Lu nă v nă nƠyă đ h N că th că hi nă t iă Tr ngă iă h că Th ngă Long d iă s ă ngăd năt nătìnhăc aăTS.ăNguy năV nă oƠnh.ăNhơnăd pănƠy, tácăgi ăxinăbƠyăt ă lòngăbi tă năsơuăs căđ năth yăgiáoăh ngăd n Tácăgi ăxinăbƠyăt ăl iăc mă năt iăcácăth yăcôăgiáoătrongătr ng iăH căTh ngă Longăđưăgiúpăđ ,ăgi ngăd yăvƠăt oăđi uăki năchoătôi trongăqătrìnhăh căt păt iăl pă Caoăh căTốnăkhóaăV.ăTácăgi ăxinăbƠyăt l iăc mă năt iăBanăch ănhi măKhoaăđƠoă t oăSauăđ iăh c,ăKhoaăToánăđư t oăđi uăki năchoătôiătrongăth iăgianăh c t p Tácăgi ăxinăc mă năt iăb năbèăđ ngănghi pătrongăl păcaoăh c tốnăkhóaăV HƠă N iăđưăcóănhi uăs ăđ ngăviênăgiúpăđ ătrongăqătrìnhăh c t păv aăqua Lu năv năkhơngătránhăkh iănh ngăthi uăsót,ătơiămongănh năđ c s ăch ăb oă c aăquýăth yăcôăvƠăcácăb năđ ngănghi p Hà n i, ngày 25 tháng 12 n m 2018 Tác gi LêăTh ăY n L I CAM OAN Tôiăxinăcamăđoanăr ngăcácăs ăli uăvƠăk tăqu ănghiênăc uătrongălu năv nănƠyă lƠătrungăth căvƠăkhôngătrùngăl păv iăcácăđ ătƠiăkhác.ăTôiăc ngăxinăcamăđoanăr ngă m iăs ăgiúpăđ ăchoăvi căth căhi nălu năv nănƠyăđưăđ tríchăd nătrongălu năv năđưăđ căc mă năvƠăcácăthơngătină căch ărõăngu năg c Hà N i, ngày 25 tháng 12 n m 2018 Tác gi LêăTh ăY n M CL C M C L C L I NịI CH U NG KHỌNG GIAN VÉCT EUCLIDE VĨ MỌ HỊNH V T Lụ C A Nị Không gian véc t Euclide 1.1 nh ngh a không gian véc t 1.1.1 nh ngh a 1.1.2 M t s tính ch t c a khơng gian véc t 1.2 C s c a không gian véc t , c s tr c chu n 1.2.1 H đ c l p vƠ ph thu c n tính: 1.2.2 C s vƠ s chi u c a không gian véc t 1.3 Tích vơ h 1.3.1 1.3.2 ng, không gian véc t Euclid nh ngh a tích vơ h ng, khơng gian véc t Euclid cao th tích Mơ hình v t lỦ c a không gian Euclide 2.1 Xây d ng mô hình 2.2.1 Phép c ng véc t 2.2.2 Phép nhơn véc t v i s 2.2.3 Tích vơ h ng hai véc t 2.2 M t s th hi n c b n c a khái ni m hình h c nh mơ hình K T LU N CH NG 1: CH NG PH NG PHÁP VÉC T TRONG HỊNH H C S C P 2.1 Các bƠi toán ch ng minh m t đ ng th c véc t 2.1.1 C s lý thuy t 2.1.2 Các toán minh h a 2.2 Các bƠi toán ch ng minh m t h th c hình h c 2.2.1 C s lý thuy t 2.2.2 Các toán minh h a BƠi t p tham kh o 10 2.3 Các bƠi tốn tính tốn m t bi u th c hình h c 10 2.3.1 C s lý thuy t 10 2.3.2 Các toán minh h a 10 BƠi t p tham kh o 11 2.4 Các bƠi toán v ch ng minh b t đ ng th c hình h c 11 2.4.1 C s lý thuy t 11 2.4.2 Các toán minh h a 11 Trang 2.5 Các bƠi toán ch ng minh quan h song song, quan h vng góc 11 2.5.1 C s lý thuy t 11 2.5.2 Các toán minh h a 12 BƠi t p tham kh o 13 2.6 Các bƠi tốn v ch ng minh tính đ ng quy, th ng hƠng 13 2.6.1 C s lý thuy t 13 2.6.2 Các toán minh h a 13 BƠi t p tham kh o 14 2.6 Các bƠi tốn hình h c khơng gian ba chi u 14 2.6.1 Bi u di n véc t theo c s , k thu t ch n g c 14 2.6.2 Ch ng minh toán song song, đ ng ph ng không gian 14 BƠi t p tham kh o 15 2.6.3 Ch ng minh tính vng góc khơng gian 15 BƠi t p tham kh o 15 2.6.4 Tính đ i l ng góc, kho ng cách, di n tích, th tích nh véc t 15 BƠi t p tham kh o 16 K T LU N CH NG 2: 16 TƠi li u tham kh o 17 Trang L I NịI CH U NG KHỌNG GIAN VÉCT EUCLIDE VĨ MỌ HỊNH V T Lụ C A Nị Không gian véc t Euclide 1.1 1.1.1 nh ngh a không gian véc t nh ngh a nh ngh a 1.1: Cho lƠăm tăt păh pămƠ cácăph năt ăđ căkýăhi uălƠ:  ,  ,  ,K lƠ m tătr ngămƠ cácăph năt ăđ căkýăhi uălƠ a, b, c, x, y, z, Trên taăcóăhaiăphépătốn: Phépăc ngăhaiăph năt ăc a X  ( ,  ) Phépănhơnăm tăph năt ăc a   v iăm tăph năt ăc a K : Kx  (x,  ) x. Gi ăs ăv iăm i  ,  ,   m i x, y  K cácăđi uăki năsauăđ căth aămưn: i (   )      (   ) ii T năt iăvect          iii V iăm i  cóăm tăph năt  ' cho            iv        v x.(   )  x.  x. vi ( x  y)    x.  y. vii (xy).  x.(y. ) viii 1.   trongăđóă1ălƠ ph năt ăđ năv ăc aătr ng K Khiăđóătaănóiăr ng lƠ m tăkhôngăgianăvect ătrênătr ng K (ho c vect ).ăTaăc ngănói lƠ khơngăgianătuy nătínhătrênătr ng K Trang lƠ K - khơngăgiană 1.1.2 M t s tính ch t c a không gian véc t 1.2 C s c a không gian véc t , c s tr c chu n 1.2.1 H đ c l p ph thu c n tính: nh ngh a 1.2: Cho m vect 1 ,  ,,  m c aăkhôngăgianăvect tr ng K, m  i H ă vect 1 ,  ,,  m đ că g iă lƠ ph ă thu că nă tínhă n uă t nă t iă m ph nă t ă khôngăđ ngăth iăb ngă0ăsaoăcho: x11  x 2  x m m   ii H ă vect 1 ,  ,,  m đ că g iă lƠ đ că l pă nă tínhă n uă nóă khơngă ph thu că nă tính,ă hayă m tă cáchă t ngă đ ng x11  x 22  x m m   kéoă theo x1  x   x m  đ iii T pS  l pătuy nătính căg iălƠ đ căl pătuy nătínhăn uăm iăh ăconăh uăh năc a Săđ uăđ că 1.2.2 C s s chi u c a không gian véc t nh ngh a 1.3: i M tăh ăvécăt ăc a đ căg iălƠ m tăh ăsinhăc a th ătuy nătínhăđ căquaăh ăđó n uăm iăvécăt ăc aă đ uăbi uă ii M tăh ăvécăt ăc a đ căg iălƠăm tăc ăs ăc a  n uăm iăvécăt ăc a  đ uăbi uă th ătuy nătínhăduyănh tăquaăh ănƠy Nh ăv y,ăm iăc ăs ăđ uăcóăm tăh ăsinh.ăTaăhưyănghiênăc uăsơuăh năv ăm iăquanăh ăgi aă h ăsinh,ăc ăs ăvƠăđ căl pătuy nătính nh ngh a 1.4: M tăh ăvécăt ăc aăkhôngăgian  đ căg iălƠăđ căl pătuy nătínhăc căđ iă n uănóăđ căl pătuy nătínhăvƠăn uăthêmăb tăk ăvécăt ănƠoăc a vƠoăh ăđóăthìăh ăm iăthuă đ cătr ăthƠnhăph ăthu cătuy nătính nh ngh a 1.5: Khơngăgianăvécăt g măh uăh năph năt 1.3 Tích vơ h 1.3.1 đ căg iălƠăh uăh năsinhăn uănóăcóăm tăh ăsinhă ng, khơng gian véc t Euclid nh ngh a tích vơ h ng, không gian véc t Euclid nh ngh a 1.6:ăM tăkhôngăgianăvécăt trênătr ngăs ăth c đ căg iălƠăm tăkhôngă giană Euclidă (đ că lƠă -clít)ă n u đ că trangă b ă m tă d ngă song nă tínhă đ iă x ng  ,   :  th aăm năđi uăki n:  ,    v iăm i vécăt   D ngăsongătuy nătínhă đ iăx ngănƠyăđ căg iălƠ tíchăvơăh ng c a nh ngh a 1.7:ăKhơngăgianăvécăt ăth c cùngăv iăm tătíchăvơăh Trang ngătrênă đ căg iă lƠ m tăkhôngăgianăvécăt ăEuclid nh ngh a 1.8: Chu năhayăđ ădƠiăc aăm tăvécăt   lƠ đ i l ng |  |  ,   N u |  | thìăaăđ căg iălƠ m tăvécăt ăđ nhăchu nă(vécăt ăđ năv ) Cóăth ăd ădƠngăth yă chu năc aăm tăvécăt ăcóănh ngătínhăch tăc ăb năsau: i |  | 0  ;|  | khiăvƠăch ăkhi   ii | c || c |  |  | c  ;    lƠăm tăvécăt ăđ nhăchu năchoăm iăvécăt Chu năc aăm tăvécăt ăc ngă | | th aămưnănh ngăb tăđ ngăth căquenăthu cătrongăhìnhăh c iii Vécăt   nh ngh a 1.9: V iăm iăvécăt  ,   c a taăg iăgócăgi a  vƠ  lƠ góc  v i      ,   cho cos   (Kháiăni mănƠyăphùăh păv i kháiăni măgócăthơngăth ngătrongă | | |  | hìnhăh c) nh ngh a 1.10: Gi ăs S1 vƠ S2 lƠ haiăt păh păcácăvécăt ătrong Taăg i S1 tr căgiaoă (vngăgóc)ăv i S2 n u  ,    v iăm iăvécăt   S1 ,   S2 Doătínhăđ iăx ngăc aătíchăvơă h ngănênăn uă  ,  tr căgiaoăv iănhauăthì  ,  c ngătr căgiaoăv iănhau nh ngh a 1.11: H ăvécăt i  e1 ,,ek  c aăkhôngăgianăvécăt ăEuclid đ căg iălƠăm t h ătr căgiaoă n uăcácăvécăt ăc aăh ăđôiăm tătr căgiaoăv iănhau,ăt călƠă ei ,e j  0i  j ii H ăvécăt  e1 ,,ek  c aăkhôngăgianăvécăt ăEuclid đ n uănóălƠăh ătr căgiaoăv ăđ ădaiăm iăvécăt ăb ngă1 1.3.2 căg iălƠăm tăh tr căchu nă cao th tích Cho lƠăm tăkhơngăgianăEuclidăvƠ lƠăm tăkhơngăgianăconăh uăh năsinh nh ngh a 1.12: Vécă t ăchi uă c aă m tă vécă t ă  lên ' lƠă m tă vécă t   ' cho    tr căgiaoăv i ' Khiăđóătaăg iăvécăt    lƠăvécăt ăđ ăcao t ă  t i ' nh ngh a 1.13: Cho 1 ,,  m lƠăcácăvécăt ătrong Maătr n:  1 , 1  G 1 ,,  m      ,  m Trang  1 ,  m   m , m     căg iălƠămaătr năGramăvƠ đ nhăth căc aămaătr nănƠyăđ 1 ,,  m nh ngh a 1.14: iăl căg iălƠăđ nhăth căGramăc a ng: V 1 ,,  m   G 1 ,,  m  đ căg iălƠ th ătíchăc aăhìnhă h p P 1 ,,  m  Mơ hình v t lỦ c a không gian Euclide 2.1 Xây d ng mơ hình 2.2.1 Phép c ng véc t 2.2.2 Phép nhân véc t v i s 2.2.3 Tích vô h ng hai véc t 2.2 M t s th hi n c b n c a khái ni m hình h c nh mơ hình K T LU N CH NG 1: Trang CH PH NG NG PHÁP VÉC T TRONG HỊNH H C S C P 2.1 Các bƠi toán ch ng minh m t đ ng th c véc t 2.1.1 C s lý thuy t Ch ngăminhăm tăđ ngăth căvécăt ăth căch tălƠăch ngăminhă2ăvécăt ăb ngănhau.ă D aăvƠoăcácăki năth căvécăt ,ăcácăk ăthu tăc ăb nătaăcóăth ăbi năđ iănh ăcácăbi năđ iăđ iă s :ăBi năđ iăv ătráiăthƠnhăv ăph i,ăbi năđ iăv ăph iăthƠnhăv ătráiăvƠăbi năđ iăc ă2ăv Trongănhi uătr ngăh păđ ăch ngăminhăđ ngăth căvécăt taăcònăs ăd ngăđ năk ăthu tă hìnhăchi uăc aăvécăt ătrênăm tătr c,ăxemătƠiăli uă[3] Trênăm tăph ngăchoăvect a  AB vƠăm tătr căOx.ăG i A , B l năl tălƠăhìnhăchi uăvngă gócăc aăA vƠăBătrênătr căOx.ăTaăg iăhìnhăchi uăc aăvect ă a  AB trênătr căOxălƠăđ ădƠiă đ iăs A B ,ăkíăhi uălƠ: A B  f x (a)  f x (AB) Khiăch ăchi uătrênăm tătr cătaăvi tăg nălƠ: A B  f (AB) Hìnhă2.2 Hìnhăchi uăc aăvect ătrênăm tătr căcóăcácătínhăch tăsau: i f (a ) | a |  cos  trongăđó a lƠăđ ădƠiăđ iăs ăc a a cịn  lƠăgócăt oăb i a vƠăchi uăd c aătr căOx ngă ii f (a  b)  f (a)  f (b) iii.ăV iăm i k  f (ka)  kf (a) iv a  b  f x (a)  f x (b) va f x (a)  f x (b) trongăđóăOxăvƠăO’x lƠăhaiătr căkhơngăsongăsong Ch ngăminhăcácătínhăch tătrênăkhơngăkhó.ăTaănêuăphépăch ngăminhă(iv) i uăki năc n:ăHi nănhiênădoăápăd ngătínhăch tă(i) Trang i uăki năđ :ă t a  AB; b  CD gi ăs : f x (AB)  A1B1f x (CD)  C1D1 f v (AB)  A2 B2 2f v (CD)  C2 D2 Theoă gi ă thi t: A1B1  C1D1;A2 B2  C2 D2 G iă Eă lƠă giaoă mă c a AA vƠ BB1 , F lƠă giaoă măc a CC2 vƠ DD1 B ngăcáchăxétăhaiătamăgiácăvuôngăAEKăvƠăCFH b ngănhauătaăsuyă EA / /FC EAă=ăFCănên AE  CF T ăđó: AB  AE  EB  CF  FD  CD hay a  b Hìnhă2.3 2.1.2 Các tốn minh h a Bài tốn 2.1: ChoătamăgiácăABC,ătr ngătơmăG,ătr cătơmăHăvƠătơmăđ O.ăCh ngăminhăr ng: ngătrịnăngo iăti pă i) HA  HC  2HO ii OA  OB  OC  OH iii) OH  3OG Bài toán 2.2: ChoăCălƠăm tăđi măthu căđo năth ngăABăsaoăcho r ngăv iăSălƠăm tăđi măb tăkìătaălnăcó:ă SC  CA m  ăCh ngăminhă CB n n m SA  SB mn mn (2.1) Bài tốn 2.3: ChoătamăgiácăABCăcóăđ ădƠiăcácăc nhăđ iădi năv iăcácăđ nhăA,B,Căl nă l tălƠăa,b,c.ă ngătrònăn iăti pătamăgiácăABCăl năl tăti păxúcăv iăBC,ăCA,ăAB t iă A1, B1, C1.ăCh ngăminhăr ng: a AA1  bBB1  cCC1  Trang Bài tốn 2.4: TamăgiácăABCăv iăcácăc nhăa=BC,b=CA,ăc=AB.ăG iăH,ăIăl năl tơmăvƠătơmăđ ngătrịnăn iăti pătamăgiácăABC.ăCh ngăminhăr ng: tălƠătr că i) aIA  bIB  cIC  ii) tan A.HA  tan B.HB  tanC.HC  iii) Sa MA  Sb MB  Sc MC  trongăđóăMălƠăm tăđi măb tăkìăn mătrongătamăgiác;ăSa,Sb,Sc theoăth ăt ălƠădi nătíchăcácătamăgiác MBC, MCA, MAB Bài tốn 2.5: ChoătamăgiácăABCăcóăBC=a,ăCA=b,ăAB=c.ăG iăN,M,Kăl năl tălƠăchơnă cácă đ ngă phơnă giácă t ă A,B,Că c aă tamă giácă ABC.ă Ch ngă minhă r ng: a (b  c) AN  b(c  a ) BM  c(a  b)CK  Bài toán 2.6: ChoăHăvƠăOătheoăth ăt ălƠătr cătơmăvƠătơmăđ ABC.ăCh ngăminhăr ng: OH  OA  OB  OC Bài toán 2.7: Ch ngăminhăr ngăđi măJălƠătơmăđ ch ăkhi: aJA  bJB  cJC  ngătrịnăng aiăti pătamăgiácă ngătrịnăn iăti pătamăgiácăABCăkhiăvƠă (2.8) Bài tốn 2.8: G iă(O;R)ăvƠă(J;r)ălƠăcácăđ ngătrònăngo iăti păvƠăn iăti pătamăgiácăABC.ă G iăD,ăE,ăF l năl tălƠăti păđi măc aă(J;r)ăv iăBC,ăCA,ăAB G iăKălƠătr ngătơmătamăgiácă DEF Ch ngăminhăr ng: OJ  3R JK (2.12) r Bài tốn 2.9: Gi ăs ătamăgiácăABCăcóăAB =ăc,ăBCă=ăa,ăCAă=ăb.ăG iăG vƠăOătheoăth ăt ă lƠătr ngătơmăvƠătơmăđ ngătrònăngo iăti pătamăgiácăABC.ă t S  SABC G i n1 , n2 , n3 lƠăcácă vect ăđ năv ătheoăth ăt ăvngăgócăv i BC, CA, AB, cùngăchi uăv iăcácăvect JE, JF trongăbƠiătoánă2.8.ăCh ng minhăr ng: a 3.n1  b3.n  c3  n3  12S.GO (2.16) 2.2 Các bƠi toán ch ng minh m t h th c hình h c 2.2.1 C s lý thuy t Khiăg păd ngătốnăch ngăminhăh ăth căch aăcácăbìnhăph ngăđ ădƠiăđo năth ngă ho cătíchăcácăđ ădƠiăđo năth ng,ăchúngătaăcóăth ăchuy năh ăth cătrênăv ăd ngăch aăbìnhă ph ngăvơăh ngăc aăcácăvect ăt ngă ngăhayătíchăđ ădƠiăcácăvect ăT ăđóăs ăd ngătíchă vơăh ngăđ ăgi iăcácăbƠiătốnăthu căd ngătrên 2.2.2 Các toán minh h a Bài toán 2.10: (Cơng th c Leibnitz) ChoătamăgiácăABCăcóătr ngătơmăGăvƠăMălƠăđi mă b tă k ă Ch ngă minhă r ng: MA2  MB2  MC2  3MG   a  b2  c2  trongă đó:ă a=BC,b=CA, c=AB Bài tốn 2.11: ChoătamăgiácăABCăcóăBCă=ăa,ăCAă=ăb,ăABă=ăc.ăG iăO,ăI,ăGăl năl Trang tălƠă tơmăđ ngătrịnăngo iăti p,ăn iăti p,ătr ngătơmăc aătamăgiácăABC.ăVƠăR,ărăl năl kínhăđ ngătrịnăngo iăti p,ăn iăti pătamăgiácăABC.ăCh ngminhăr ng: i) IG   p  5r  16Rr tălƠăbánă  ii) OI2  R  2Rr (Côngăth căEuler) Bài toán 2.12: ChoătamăgiácăABC,ăBC=a,ăCA=b,ăAB=c.ăV iăđi măMăn mătrênăc nhă AB, ch ngăminhăr ng: c2 CM2  a AM2  b2 BM2   a  b2  c   AM BM BƠi t p tham kh o 2.3 Các bƠi tốn tính tốn m t bi u th c hình h c 2.3.1 C s lý thuy t Dùngăvécăt ăchoăphépăgi iăcácăbƠiătốnătínhătốnă ăcácătr ngăh păkhácănhau.ă Trongăkhơngăgianăchúngătaăcịnăth yătácăd ngăc aăph ngăphápăvécăt ătrongăcácăbƠiătínhă tốn,ăgópăph nălƠmăgi măđiătínhătr uăt ng,ătínhăph căt pătrongătínhătốnăcácăđ iăl ngă hìnhăh c.ăK ăthu tăquanătr ngă ăđơyălƠăk ăthu tăchuy năt ă“ngơnăng ăhìnhăh căthu nă túy”ăsangă“ngơnăng ăvécăt ” 2.3.2 Các toán minh h a Bài toán 2.16: Trênăcácăc nhăAC,ăBCăc aătamăgiácăABCăl yăl năl cho: AE=3EC,ăFC=2FB.ăG iăOălƠăgiaoăc aăAFăvƠăBE i) Tínhăt ăs : k  tăcácăđi măE,ăFăsaoă FA FO ii) Tínhădi nătíchătamăgiácăABCăkhiăbi tădi nătíchătamăgiácăOBNă=ămă(đvdt) Bài tốn 2.17:( thi Olympic Tốn qu c t , 1996) Choă tamă giácă ABCă cóă BC=a,ă AB=c,ă CA=b.ă G iă Iă lƠă tơmă đ ngă trònă n iă ti pă tamă giácă ABC Tính   a.A2  b.IB2  c.IC2 theo a,b,c Bài toán 2.18:( thi đ ngh Olympic 30-4, Thành ph H Chí Minh, l n 7) Choăl că giácă đ u A1A2 A3A4 A5A6 cóă tơmă lƠă mă I.ă M tă hìnhă trònă (O,R)ă ch aă mă I,ă cácă tia IAi (i  1.6) c tă đ ngă trònă (O)ă t iă IAi (i  1.6) Tínhă t ngă sauă theoă R:   IB12  IB22  IB32  IB42  IB52  IB62 Trang 10 BƠi t p tham kh o 2.4 Các bƠi toán v ch ng minh b t đ ng th c hình h c 2.4.1 C s lý thuy t - S ăd ngăquyăt că3ăđi măvƠăb tăđ ngăth cătrongătamăgiác - S ăd ngăcácăb tăđ ngăth căd ngăvécăt : + | a | 0,| a |  a  + | a || b || ab | D uăb ngăx yăraăkhi a , b cùngăph ng + | a  b || a |  | b | ăD uăb ngăx yăraăkhiăcùngăh ng T ngăquát: a1  a  a n  a1  a  a n D uăb ngăx yăraăkhiăcácăvécăt cùngăh ng + | a  b ||| a |  | b || ăD uăb ngăx yăraăkhi a.b cùngăh ng 2.4.2 Các toán minh h a Bài toán 2.22: ChoătamăgiácăABC,ăBC=a.ăCA=b,ăAB=c.ăCh ngăminhăr ngăt năt iăduyă nh tăm tăđ măHătrênăm tăph ngăth aămưn: a.HA2  b.HB2  c.HC2  abc Bài toán 2.23:( thi đ ngh Olympic 30-4, Thành ph H Chí Minh, l n 7) Cho x,y,zălƠă3ăs ăd ng.ăCh ngăminh: x2  y2  z2  xy  cos C  yz cos A zxcos B (2.21) Bài toán 2.24: ChoătamăgiácăABC,ăch ngăminhăr ng: x2  y2  z2  2[ yz cos A zx cos 2B  xy  cos 2C ] x, y, z  2.5 Các bƠi toán ch ng minh quan h song song, quan h vng góc 2.5.1 C s lý thuy t a Ch ngăminhăhaiăđ ngăth ngăaăvƠăbăsongăsong Gi ăs AB lƠăvect ăch ăph ngăc aăđ ngăth ngaăvƠăCDălƠăvect ăch ăph th ngăb.ăTaăcóă: a / / b  AB  kCD v i k  vƠ A  a, A  b Chúăý:ăN uăch ăcóăđi uăki n AB  kCD thìăm iăch ăk tălu năđ songăv iăb b Ch ngăminhăhaiăđ ngăth ngăvngăgóc Trang 11 ngăc aăđ ngă căaătrùng băho căaăsongă Haiăvect a vƠ b (khácăvect ă- khơng)ăvngăgócăv iănhauăkhiăvƠăch ăkhi a b  T ăđó,ăn u AB lƠăvect ăch ăph ngăc aăđ ngăth ngăaă(cóăth ăch năA,ăBă  a) vƠ CD lƠă vect ăch ăph ngăc aăđ ngăth ngăbă(cóăth ăch năC,ăDăthu c băthì: a  b  AB.CD  ) Chúăý:ăNh ăđ nhălýăcosinătrongătamăgiác,ăbi uăth cătíchăvơăh AC cóăth ăvi tăd iăd ng: AB.AC   AB2  AC2  BC2  ngăc aăhaiăvect AB vƠ 2.5.2 Các toán minh h a Bài toán 2.25: Choăt ăgiácăABCD.ă ngăth ngăđiăquaăđ nhăA,ăsongăsongăv iăBCăc tă BCă ă M;ă đ ngă th ngă điă quaă đ nhă B,ă songă songă v iă ADă c tă ACă ă N.ă Ch ngă minh MN / /DC Bài toán 2.26: Trênăcácăc nhăAB,ăBC,CAăc aătamăgiácăABCăl yăt ngă ngăcácăđi m AC1 BA1 CB1    k (k  1) Trênă cácă c nh A1B1 , B1C1.C1A1 c aă tamă C1B A1C B1A AC BA CB giácă AiB1C1ă theoă th ă t ă l yă cácă m C2 , A2 , B2 cho:    k C2 B1 A 2C1 B2 A1 (k  1) C1 , A1 , B1 cho Ch ngăminhăr ng: A2C2 / /AC;C2B2 / /CB;B2A2 / /BA Bài toán 2.27: ChoătamăgiácăABCăcơnăt iăA.ăG iăHălƠătrungăđi măc aăBC,ăDălƠăhìnhă chi uăc aăHălênăAC,ăMălƠătrungăđi măc aăHD.ăCh ngăminh: AM  BD Bài tốn 2.28: Choăhìnhăch ănh tăABCD,ăk ăBKăvngăgócăv iăAC,ăg iăM,Năl năl lƠătrungăđi măc aăAK vƠăCD tă i) Ch ngăminhăr ng: BMN  900 ii) Tìmăđi uăki năc aăhìnhăch ănh tăđ ătamăgiácăBMNăvngăcơn Bài toán 2.29:(Cu c thi toán mùa xuân t i Bulgaria 11.2.1996) G iăđi măDăn mătrênă cungăBCă(khôngăch aăđi măA)ăc aăđ ngătrònăngo iăti p ABC cho D  B D  B vƠ D  C TrênăhaiătiaăBD, CD taăl yăl năl tăcácăđi măEăvƠăF saoăchoăBEă=ăACăvƠăCF=AB.ă G iăMălƠătrungăđi măđo năth ngăEF i) Ch ngăminhăr ng BMC BMC lƠăgócăvng ii) Tìmăqu ătíchăcácăđi măMăkhiăDăv ănênăcungăBC Trang 12 BƠi t p tham kh o 2.6 Các bƠi tốn v ch ng minh tính đ ng quy, th ng hƠng 2.6.1 C s lý thuy t a i u ki n đ ba m A, B, C phân bi t th ng hàng: - A,ăB,ăCăphơnăbi tăth ngăhƠng  k  : AB  kAC - A,ăB,ăCăphơnăbi tăth ngăhƠng  m, n  , m  n  OC  mOA  nOB (v iăOăb tăkì)ă b i u ki n đ ba đ ng th ng đ ng quy: Chuy năv ăch ngăminhăbaăđi măth ngăhƠngăb ngăcáchăxácăđ nhăgiaoăđi măc aă haiăđ ngăth ngăsauăđóăch ngăminhăđi mănƠyăth ngăhƠngăv iăhaiăđi măcùngăn mătrênă m tăđ ngăth ngăcònăl i - Ch ngăt ăt năt iăm tăđi măthu căt tăc ăcácăđ ng 2.6.2 Các toán minh h a Bài toán 2.32: ChoătamăgiácăABC.ăG iăM,ăN,ăPăl năl CA,ătheoăt ăs ăm,ăn,ăp.ăCh ngăminhăr ng: tălƠăcácăđi măchiaăc nhăAB,ăBC,ă i) M,ăN,ăPăth ngăhƠng  m.n.p  1( ii) AN,ăBP,ăCMăđ ngăquyăho căsongăsong  m.n.p  1( nhălíăMenelaus) nhălíăXeva) Bài toán 2.33: ChoătamăgiácăABC,ăcácăđ ngăth ngăđiăquaăcácăđ nhăc aătamăgiácăvƠă songă songă v iă nhauă c tă đ ngă trònă ngo iă ti pă tamă giácă ABCă t ngă ngă t i A1 , B1 , C1 Ch ngăminhăr ngătr ngătơmăcácătamăgiác ABC1 , BCA1 ,CAB1 th ngăhƠng Bài toán 2.34: Choăt ăgiácăl iăABCDăngo iăti păđ ngătrònă(O).ăG iăM,ăNătheoăth ăt ă lƠătrungăđi măhaiăđ ngăchéoăAC,ăBD.ăCh ngăminhăr ngăM,ăN,ăOăth ngăhƠng Bài toán 2.35: ChoătamăgiácăABC.ăXétăcácăđi măMăG BC, N G CAvƠăP G AB cho t ăgiácăAPMNălƠăm tăhìnhăbìnhăhƠnh.ăCácăđ ngăth ngăBNăvƠăCPăc tănhauăt iăO.ăCh ngă minhăr ngăđ ngăth ngăOMăluônăđiăquaăm tăđi măc ăđ nh Bài toán 2.36: Choăl căgiácăl i ABCDEF G i M, M , N, N , P, P theoăth ăt ălƠătrungăđi mă c aăcácăđ an AB, DE, BC, EF,CD, FA Ch ngăminhăr ngă MM , NN , PP đ ngăquyăkhiăvƠăch ă SAEC  SBFD Trang 13 BƠi t p tham kh o 2.6 Các bƠi tốn hình h c không gian ba chi u 2.6.1 Bi u di n véc t theo c s , k thu t ch n g c Bài tốn 2.6.1: ChoăSABCălƠăhìnhăchópăđ uăđ nhăS,ăcóăSA=4.ă i m D  SC mƠăCD = 3,ăkho ngăcáchăt ăA đ năBDăb ngă2.ăG iăOălƠătơm ABC Tínhăđ ădƠiăSOă? Bài tốn 2.6.2: Choăt ădi năđ uăABCDăcóăMălƠătrungăđi măc aăAC, NălƠătơmăm t BCD, EălƠătrungăđi măc nhăAB Tínhăgócăgi aăMNăvƠăDE 2.6.2 Ch ng minh tốn song song, đ ng ph ng không gian Cácăđi uăki năsongăsong,ăđ ngăquy,ăth ngăhƠngăcóăth ăs ăd ngănh ătrongăhìnhăh căph ng.ă aăs ăcácătr ngăh păv năc năch năc ăs ăvƠăg c ch ngăminh AB / /CD taăđiăch ngăminh k  : AB  kCD ăcó d / /mp( ) taăl yătrênă dă m tă vécă t a ( ) haiă vécă t b, c sauă ch ngă minhă 3ă vécă t ă đ ngă ph ng (k,1 : a  kb  1c) ăch ngăminhă2ăm t ph ngăsongăsong (P) / /(Q) taăl yătrên (P) haiăvéc t a , b (Q) hai vécăt x, y Sau đóăch ngăminh cácăb ă3ăvécăt (a , x, y);(b , x, y) đ ngăph ng ăch ngăminhă3ăvécăt ăđ ngăph ng  k,1 : c  ka  1b B năđi măA,B,C,Dăthu că m tăm t ph ng   ,   : OA   OC   OC  (1     )O ( O) Bài toán 2.6.3: Choăhìnhăl păph ngăABCDA’B’C’D’ăc nhăa.ăG iăP, QălƠăcácăđi măxácă   đ nhă b i: AP  AD ;CQ  C D G iă Mă lƠă trungă mă BB’ Ch ngă minhă P,M,Qă th ngă hƠng Bài toán 2.6.4: Choăl ngătr ătamăgiácăABCA’B’C’.ăGi ăs ăM,N,E,Făl năl tơmăcácătamăgiác AA B , ABC , ABC, BCC Ch ngăminh r ng: MN / /EF Bài tốn 2.6.5: Choăhìnhăh p ABCDA BCD Gi ăs ăM,Năl năl AA vƠCh ngăminhăr ng: MN / /  DAC  tălƠătr ngă tălƠătrung măcácăc nh Bài toán 2.6.6: Choăl ngătr ătamăgiácăABCA’B’C’.ăG iăM,Năl năl tălƠătrungăđi măc aă AA’,ă CC’.ă G iă G lƠă tr ngă tơmă c aă tamă giácă A’B’C’.ă Ch ngă minhă r ng: mp  MGC   / / mp  AB N  Bài toán 2.6.7: Choă t ă diênă ABCDă vƠă cácă m I K, E, F th aă mưn: 2IB  IA  ; 2KC  KD  ; 2EB  3EC  ; 2FA  3FD  ăCh ngăminhăr ng: i) Cácăvécăt BCIK.AD đ ngăph ng Trang 14 ii)ăCácăvécăt BA, EF,CD BA, EF,CD đ ngăph ng iii) B năđi măI,E,K,Făcùngăthu că1ăm t ph ng Bài toán 2.6.8: Choăt ădi năABCD.ăG iăM,NălƠătrungăđi măc aăABăvƠăCD;ăP,QălƠă2ă măth ăt ăthu căAC,ăBDăsaoăcho PA QB Ch ngăminhăr ng b năđi măM,N,P,Qăcùngă  PC QD thu căm tăm tăph ng BƠi t p tham kh o 2.6.3 Ch ng minh tính vng góc khơng gian Tíchăvơăh ngăc aăhaiăvécăt ăgiúpăchoăcácăbƠiătốnăch ngăminhătínhăvngăgócă trongăkhơngăgianătr ăthƠnhăcácăbƠiătốnătínhătốn.ăTaăxétăcácăvíăd ăsau: Bài tốn 2.6.12:( thi H mơn tốn kh i B, n m 2007) Choăhìnhăchópăt ăgiácăđ uă S.ABCDăcóăđáyăhìnhăvngăc nhăa.ăG iăEălƠăđi măđ iăx ngăc aăDăquaătrungăđi măc aă SA,ăMălƠătrungăđi măc aăAE,ăNălƠătrungăđi măc aăBC.ăCh ngăminhăr ng: MN  BD vƠă tínhătheo aăkho ngăcáchăgi aăhaiăđ ngăth ngăMNăvƠăAC Bài tốn 2.6.13: ChoăhìnhăchópăS.ABCDăcóăđáyăABCDălƠăhìnhăthoiătơmăO.ăBi tăr ngă SA = SC, SB = SD Ch ngăminhăr ng: SO  mp(ABCD) vƠă AC  SD Bài toán 2.6.14: (Bài t p 5, trang 69-SGK 11) Choăt ădi năABCD.ăCh ngăminhăr ngă n u AB  CD;AC  BD AD  BC BƠi t p tham kh o 2.6.4 Tính đ i l ng góc, kho ng cách, di n tích, th tích nh véc t Tíchăvơăh ngăđ căs ăd ngăth ngăxunătrongăcácăbƠiătốnăhìnhăh căkhơngă gianăđ ătínhăkho ngăcách,ătínhăgóc,ătínhăt ăs ,ădi nătíchăthi tădi nă(vƠăxácăđ nhăthi tădi n),ă th ătíchă ăK ăn ngăs ăd ngătíchăvơăh ngă ăđơyăđ căth ăhi năqua: - K ăn ngăch năc ăs ăđ ăl păb ngănhơnăvôăh ng - K ăn ngăbi uădi năm tăvect ăquaăc ăs ăđưăch n K ăn ngănhơnăvơăh ngăcùngăcácăphépăbi năđ iăđ iăs ătrênăcácăvect ăV iăcácăbƠiă tốnătínhăkho ngăcáchăvƠăgócătrongăkhơngăgian,ăcóăth ăchia lƠmă4ăd ngăc ăb năcùngăcáchă gi iă(b ngăvect )ănh ăsau: D ng I: Kho ng cách t m đ n đ ng th ng Bài toán 2.6.17: Choăđi măMăvƠă1ăđ ngăth ngălăcóăvect ăch ăph AămƠ AM  m Tínhăkho ngăcách d(M,1) t ăMăđ năđ ng th ngăl Trang 15 ng a trênălăcóăđi mă D ng II: Kho ng cách t m đ n m t ph ng, góc gi a đ ng th ng m t ph ng Bài toán 2.6.18: Choăm tăph ngă(a)ăv iăc păvect ăch ăph ng a, b ă i m Aăthu căm tă ph ng ( ); M khôngăthu căm tăph ng ( ), AM  m Tính kho ngăcách d(M,  ) t ăđ n ( ) vƠ gócăgi a AM v iăm tăph ng ( ) D ng III: Kho ng cách góc gi a đ Bài toán 2.6.19: Choăcácăđ ng th ng chéo ngăth ng l1 , l2 v iăvect ăch ăph ngăl năl tălƠă a1 , a ; cho cácăđi m A1  l1 , A2  l2 mƠ A1A2  m Tínhăkho ngăcáchăvƠ gócăgi aăl2 vƠăl2 D ng IV: Góc gi a hai m t ph ng ngăth ngăho cătínhăgócăgi aăhaiăphépăvect n1; n2 c aă2ă Taăchuy năv ătínhăgócăgi aă2ăđ m tăph ng Bài tốn 2.6.20: S.ABCălƠăhìnhăchópătamăgiácăđ uăđ nhăSăcóăSAă=ă4.ăM tăđi măDăthu că SCămƠăCDă=ă3,ăkho ngăcáchăt ăAăđ năđ ngăth ngăBDăb ngă2.ăTínhăth ătíchăhìnhăchópă S.ABC Bài tốn 2.6.21: HìnhăchópăS.ABCăcóăđáyălƠătamăgiácăđ uăABC,ăc nhăAB = 1, c nhăbên SA  (ABC) vƠ SA  M tăph ngă(a)ăsongăsongăv iăSB vƠ AC;ăm tăph ngă(ß) song song vƠă v iăSCăvƠăAB Tínhăgócăgi aă Bài tốn 2.6.22: Hìnhăl păph ? ng ABCDA1B1C1D1 cóăc nhăb ngă1.ăL yăcác măEăthu că AAi,ăFăthu căBCăsaoăcho: AE  ; BF  QuaătơmăKăc a hìnhăl păph Făd ngăm tăph ng ( ) Tínhăkho ngăcáchăt ă B1 đ năm tăph ng ( ) BƠi t p tham kh o K T LU N CH NG 2: Trang 16 ngăvƠă2ăđi măE,ă TƠi li u tham kh o [1] ăThanhăS n,ăTr năH uăNamă[2011],ăPh ch ăđ ,ăNXBăGiáoăd căVi tăNam ngăphápăgi iătốnăHìnhăh că10ătheoă [2] Nguy năTháiăS nă[2005],ăNhìnăHìnhăh căb ngăconăm tăđ iăs ă- Chuyênăđ ătoánă h căs ă8,ăNXBă HQGăthƠnhăph ăH ăChíăMinh [3] Nguy năV năM uă(Ch ăbiên),ăNguy nă ngăPh t,ă h căvƠăm tăs ăv năđ ăliênăquan, NXBăGiáoăd căVi tăNam ăThanhăS nă[2007],ăHìnhă [4] Nguy năV năNhoă[2012],ăTuy năT păOlympicăTốnăH căT iăCácăN Au, NXBă iăH căQu căGiaăHƠăN i [5] NgơăVi tăTrungă[2002],ăGiáoăTrìnhă HƠăN i.ă34ă- 45, 204 - 215 iăS ăTuy năTính,ăNXBă că ơngă iăh căQu căGiaă [6] Nhi uătácăgi ,ăVNMATH.com [2013],ăTuy năt păcácăchuyênăđ ăhìnhăh cătrênă T păchíăTốnăh cătu iătr [7] www.diendantoanhoc.net [2002],ăTuy năt păđ ăthiăIMOă(IMOăTaskăCollection) [8] Jean-Marie Monier [1997], Geometry, @Dunod, Paris Trang 17 ... lý thuy t 2.1.2 Các toán minh h a 2.2 Các bƠi toán ch ng minh m t h th c hình h c 2.2.1 C s lý thuy t 2.2.2 Các toán minh h a BƠi t p... 2.3 Các bƠi toán tính tốn m t bi u th c hình h c 10 2.3.1 C s lý thuy t 10 2.3.2 Các toán minh h a 10 BƠi t p tham kh o 11 2.4 Các bƠi toán v ch ng... iăcácăvect JE, JF trongăbƠi? ?toán? ?2.8.ăCh ng minhăr ng: a 3.n1  b3.n  c3  n3  12S.GO (2.16) 2.2 Các bƠi toán ch ng minh m t h th c hình h c 2.2.1 C s lý thuy t Khiăg păd ng? ?toán? ?ch ngăminhăh ăth