Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)VII Phơng trình bậc cao (Dành cho lớp A) Phơng trình a x3 +bx2 +cx+d=0(1) (a0)
-Biến đổi vế trái dạng tích bậc với bậc hai để giải -Nếu a+b+c+d=0 (1) có 1nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 (1) có 1nghiệm x=-1 Khi ta đẽ dàng Biến đổi vế trái dạng tích
-Nếu (1) có hệ số ngun , có nghiệm ngun nghiệm nguyên ớc hạng tử tự , giả sử nghiệm x1;x2;x3 x1+x2+x3 =-b/a
x1.x2.x3 =-d/a
x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a Bài 4.1: a) Giải phơng trình 2x3+7x2+7x+2=0
a-b+c-d=0 (1) có 1nghiệm x=-1 Khi ta đẽ dàng Biến đổi vế trái dng tớch
b) Giải phơng trình x3+7x2-56 x+48=0
a+b+c+d=0 th× (1) sÏ cã 1nghiệm x=1
a) Giải phơng trình 2x3+5x2+6x+3=0
e) Giải phơng trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0 Bµi 4.2 Giải phơng trình sau 4x 109x2+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0
( x lµ Èn , a, b, c, d, e hệ số ;a 0 )
(c điểm : vế trái hệ số số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối thỡ bng )
ph
ơng pháp gi¶i gåm b íc
-NhËn xét x=0 nghiệm (1) ta chia hai vế (1) cho x2 (đk x 0)
rồi nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta đợc phơng trình mi
-Đặt ẩn phụ : (x+ 1)
x =t (3) => x
2+ x =t
2 -2 ta đợc phơng trình ẩn t
-giải phơng trình ta đợc t = …
- thay giá trị t vào (3) để tỡm x v tr li nghim (1)
Giải phơng tr×nh sau : 10x4- 27x3- 110x2 -27x +10=0 (1)
Ta nhận thấy x=0 không phảI lµ nghiƯm cđa (1)
chia hai vế (1) cho x2 (đk x 0) ta đợc pt <=>10x2 27x – 110
-2 10 27
x
x =
Nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta đợc PT 10( x2 +
) ( )
2 x x
x ) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+1)
x =t (3) => x
2+ x =t
2 -2 thay vµo (2) ta cã
<=> 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t 1=-
2
; t 2= 26
+ Víi t1=-
(x+1)
x =-
5
2x2 +5x+2=0 cã nghiƯm lµ x
1=-2 ; x2=-1/2
+Víi ; t 2= 26
(x+1)
x =
26
5x2-26x+5 =0 cã nghiệm x
3=5 ; x4=1/5
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm S=
5 ; ; ;
1
Bài 4.4 Phơng trình hồi quy dạng tổng quát : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1)
Trong x ẩn , a, b, c, d, e hệ số ; a 0 e0) ( )2
b d a e
;
(2)Chó ý :Khi a e
=1hay a=e d= b; lúc (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 bx +e =0 Cách giải:
-Do x=0 khơng phải nghiệm phơng trình (1)nên chia hai vế cho x2 ta đợc
a x2 +bx +c + x
c x d
= (2)
Nhãm hỵp lÝ a (x2 + ) ( ) 0
2 bx c d
x b ax
c
-Đổi biến đặt x+
bx d
=t => x2 +(
2) 2b t d bx
d
(d/b)2 =c/a
nªn x2+ c/ a x2=t2 -2 d/b
Khi ta có phơng trình a (t2 - 2
b d
) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 (3)
-Giải (3) ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu Giải phơng trình : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1)
NhËn xÐt 4/1= )2
4 (
; Nªn phơng trình (1) phơng trình hồi quy
x=0 nghiệm (1)
Do chia hai vế phơng trình cho x2 (x 0) ta đợc
x2- -4x -9 +
x
x =0 (x
2 + )
x - 4( x - x
2
) -9 =0 (2) * Đặt ( x
-x
2
) =t (3) => ( x2 + 4) x =t
2 +4 thay vào (2)
Phơng trình (1) trở thµnh t2-4t -5 =0 cã nghiƯm lµ t
1=-1 ; t2=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc hệ số đối xứng , khác bớc đặt ẩn phụ Đặt x+bx
m
=yb => x2 + b
m y x b
m 2
2
2
Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c)
cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) triển khai tích Khi phơng trình có dạng
[x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k là
ad hc bc )
Ta có phơng trình At2 +B t + C =0 (Víi A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau thay vào (2) giá trị tỡm c nghim x
Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhËn xÐt 1+7 =3+5
Nhãm hỵp lý (x+1) (x+7 ) (x+3) (x+5 ) +15=0 (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vµo (2) ta cã (2) t( t+ 8) + 15=0
y2 +8y +15 =0 nghiÖm y 1=-3 ;
y2=-5
Thay vào (3) ta đợc phơng trình
1/x2 +8x +7 = -3 x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x
1,2 = -4
2/ x2 +8x +7 = -5 x2 +8x +12 = cã nghiÖm x
3=-2; x4 =-6
Vậy tập nghiệm phơng trình (1) lµ S = 2;6;4 6
Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong x ẩn số ;a, b, c các
(3)cách giải :
i vi dng phng trỡnh ta đặt ẩn phụ trung bình cộng (x+a) (x+b) Đặt t =x+
2
b
a
=> x+a =t+
2
b a
vµ x+b=t -
2
b a
Khi phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 (
b
a
)2 t2 + 2(
b
a
)4 –c =0
Đây phơng trình trùng phơng ó bit cỏch gii
áp dụng Giải phơng tr×nh sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)4 + (t 2)4 =626
9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626
t4 +24t2
- 297 =0 => t=-3 vµ t=3
Từ tìm đợc x=2 ; x=-4 nghiệm phơng trình cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c =
(trong x ẩn ;a ; f(x) đa thức mt bin )
cách giải: - Tìm TXĐ phơng trình
- i bin bng cỏch đặt f(x) =t ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0
(2) lµ PT bËc +/nếu (2) có nghiệm t=t0 ta giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghim ca phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ phơng trình cho )
nghiƯm cđa ph¬ng trnh (1)
Ví dụ :Giải phơng trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1)
TX§ : xR
Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3
VËy ta có phơng trình <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0
Đặt x2+ 3x =t (2)
Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = cã nghiƯm lµ t
1=1 ;t2=3 Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0
Phơng trình có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- Nên biến đổi phơng trình dạng
( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0
Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm cịn lại ta giải phơng trình
2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) phơng trình đối xứng (bậc 4) biết cách giải
Giải (2) ta đợc x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5
Vậy phơng trình cho có nghiệm x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1 Bài tập VN : Giải phơng trình sau
1) x3 - 4x2- 29x -24 =0 2) 8x3 - 20x2 +28x - 10 =0
3) x4- 3x3+9x2 -27 x+81=0 4, x4-10x3+11x2 -10x+1=0
5, x4 +5x3 -14x2-20x +16 =0 6, x4 +4x3 -10 x2 -28 x-15=0
4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x2
7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x2 nhãm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) råi chia vÕ cho 4x2
đặt t=x+7/x (đk x 0)
8) 3x5 -10x4 +3x3+3x2-10x+3=0 9) x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0
10) 6x5 -29x4 +27x3+27x2-29x+6=0 11) x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0
12) (x2-8x+7)(x2-8x+15)=20
13) (x2-3 x+1) (x2+3x+2) (x2-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x2-3 x+1) (x2-3x-4) (x2
-3x-10)=-30