BO DE THI 45 THI HSG

[r]

SỞ GD&ĐT ĐĂK LĂK ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP : PHỊNG GD&ĐT KRƠNG PẮC Năm học : 2010 - 2011

Thời gian: 150’

Bài 1: (3đ)

Cho a,b,c số hữu tỷ khác thỏa mãn a + b + c = Chøng minh r»ng:

M= 2

1 1

a b c là bình phơng số hữu tỷ

Bài :(5đ)

Rút gọn biểu thức sau tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên :

M = 22 2

2 2

1

2 8

x x x

x

x x x x x

   

  

   

     

 

Bµi 3: (3đ)

Tìm nghiệm nguyên phương trình :3x4x 5x Bài 4:(6đ)

Cho tam giác ABC có BAC=1200 Các phân giác AD,BE CF

a) (3đ) Chứng minh AD1 AB1 AC1

b) (3đ) Tính FDE

Bài 5(3đ)

Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn a+b+c =3

Chứng minh rằng: a2 b2 c2 5

  

ĐÁP ÁN ĐỀ :1 Bài 1: (3đ)

Ta cã: 12 12 12

a b c =

 

2 2

1 1 1 1 1 1

2 a b c

a b c ab bc ac a b c abc a b c

 

       

           

       

      

Vậy M bình phơng số h÷u tû ( 3đ) Bài 2( đ)

M =

     

2 2

2

2

2 2

4 2

2

x x x x x

x x x x

x                 M =     

  

2 2 2 2

2 4

x x

x x x

x

x x x

    

  

    

 

M =  

                2 2 2 2

4 4

2 2

2 4

x x x x

x x x x x x x

x x

x x x x

  

     



   

M =  

  

   

2

2

4 2 1 1

2

2

x x x x x

x x

x x

   



  ( 3đ)

Để M xác định   2

2

4 ( 2) 0 x x x x             



2 x x      (*)

Khi đố M nguyên 2M nguyên hay x

x

nguyên Mà x

x



=1+1

x Z

xƯ(1)=1;1

Với x=-1 thoả mÃn (*) M =  

Víi x = thoả mÃn (*) M =

Vậy x=1; x=-1 thoả mÃn điều kiện (2) Bi ( 3đ)

Phương trình cho viết lại :

5 x x              

Ta thấy x = nghiệm phương trình (0,25đ) Với x 2ta xét

Nếu x>2

5

x x

   

 

   

    ( 0,75đ)

Với x<0 ta đặt x= -y y >0 nên y 1

Ta có 4 5

5 5

x x y y y y

           

       

           

           

phương trình vơ nghiệm 5 5

3 4

y y

   

   

   

    ( 1,5đ)

Vậy phương trình cho có nghiệm x =2 Bài 4: (6đ)

a)Từ B kẻ BK // AC cắt AD K ta có tam giác ABK

Do

  1

AC

AB DB DK AB AD

AB AD AC AB AD

DC DA AD AD AB AC



        

( Cho đ)

b)Áp dụng tính chất đường phân giác tính BD BC AB AB AC



 ( cho 0,5đ)

Từ (a) suy AD AB AC AB AC



 ( 0,25đ)

Suy ra: DA CA EA

DB CB EB nên DE phân giác BDA (cho 1,25đ)

Chứng minh tương tự DF phân giác ADC ( cho 0,5đ) Từ suy EDF  900 (cho 0,5đ) Bài 5: (3đ)

Từ giả thiết ta có

2 a 2 b 2 c 0 2 ab bc ca   4a b c   abc0( 1đ)

Cộng hai vế với a2 b2 c2

  ,sau thu gọn ta

a b c  2 a2b2c2abc 4 a2b2c2abc5(1đ)

Mà abc 0 nên a2 b2 c2 5

   (0,5đ)

Dấu xảy ba số a,b,c có số 0, số số 1( cho 0,5đ)

D

I

A

B

C