Kinh tê quản lí. chương 2: Kỹ thuật tối ưu hóa

NHĨM Bộ mơn: Kinh Tế Quản Lí Các phương pháp biểu diễn mối quan hệ kinh tế Quan hệ tổng cộng, trung bình, cận biên Phân tích tối ưu hóa KỸ THUẬT TỐI ƯU HĨA Phép vi phân Khái niệm đạo hàm Qui tắc vi phân Tối ưu hóa phép tốn Tối ưu hóa nhiều biến Tối ưu hóa ràng buộc I Các phương pháp biểu diễn mối quan hệ kinh tế Mối quan hệ đơn giản Sử dụng bảng đồ thị Mối quan hệ phức tạp Sử dung phương trình - Là phương pháp hữu ích - Sử dụng kĩ thuật phép toán vi phân việc xác định giải pháp tối ưu vấn đề VD: giả sử mối quan hệ tổng doanh thu (TR) doanh nghiệp khối lượng (Q) hàng hoá,dịch vụ mà doanh nghiệp bán thời gian định(ví dụ năm) là: TR = 100Q – 10 Mối quan hệ tổng doanh thu doanh nghiệp lượng bán biểu diễn dạng phương trình, bảng hay đồ thị II Quan hệ trung bình, tổng cộng, cận biên 2.1/ Tổng chi phí, chi phí trung bình chi phí cận biên: • Tổng chi phí (TC): Là tổng khoản chi phí cố định biến đổi ngắn hạn phát sinh doanh nghiệp sản xuất lượng sản lượng định • Chi phí trung bình(AC): chi phí cho đơn vị sản xuất trình sản xuất Chi phí trung bình (AC) tổng chi phí chia cho sản lượng TC: Tổng chi phí AC=TC/Q Q: Sản lượng • Ví dụ, phận sản xuất ABC International hồn thành sản xuất 10.000 widget Chi phí cố định đợt sản xuất 30.000 đô la, cộng thêm la cho chi phí biến đổi cho đơn vị sản xuất Tính tốn kết là: ($ 30,000 chi phí cố định + $ 20,000 Chi phí biến đổi) / 10,000 Đơn vị = chi phí trung bình Đơ la • Chi phí bình quân (ATC): chi phí tính đơn vị sản lượng, bao gồm tất chi phí đầu vào sản xuất ATC = TC/Q Q : Sản lượng TC : Tổng chi phí tất loại đầu vài sử dung để sản xuất sản lượng ATC = AFC + AVC AFC: Chi phí cố định bình qn AVC: Chi phí biến đổi bình * Chi phí cận biên (MC): mức tăng chi phí (∆C) sản lượng tăng thêm đơn vị (∆Y) MC với doanh thu cận biên (MR) định mức sản lượng cho phép doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Chi phí cận biên (MC) thay đổi tổng chi phí đơn vị thay đổi sản lượng d Quy tắc đạo hàm tích : •  Đạo hàm tích biểu thức biểu thức thứ nhân với đạo hàm biểu thức thứ sau cộng với tích biểu thức thứ với đạo hàm biểu thức thứ • Y=U.V • U=g(X) V=h(X) • e Quy tắc đạo hàm thương : ••  Đạo hàm thương biểu thức mẫu số nhân với đạo hàm tử số trừ tích tử số với đạo hàm mẫu số chia cho mẫu số bình phương • Y=U/V • U=g(X) V=h(X) • f Quy tắc đạo hàm hàm : ••  Nếu Y=f(U) U=g(X).Đạo hàm Y theo X đạo hàm Y theo U nhân đạo hàm U theo X • Y=f(U) U=g(X) • VI TỐI ƯU HĨA BẰNG PHÉP TỐN 6.1 Xác định cực đại cựu tiểu phép tốn -• Địi   hỏi tìm giá trị cựu đại cực tiểu hàm VD: Một doanh nghiệp muốn tối đa hóa doanh thu , tối đa hóa lợi nhuận tính thơng qua hàm cơng thức theo phép tốn - Giả sử : có hàm doanh thu TR=100Q-10 d(TR)/d(Q)= 100-20Q : - TR : hàm tổng doanh thu - Q : mức sản lượng - d(TR)/d(Q) : đạo hàm hay độ dốc chi phí cận biên - Đặt d(TR)/d(Q) = , ta có : 100-20Q=0  Q= 6.2 Phân biệt cực đại cực tiểu : Đạo hàm bậc -• Để   phân biệt điểm cực đại điểm cực tiểu ta sử dụng hàm bậc VD : - Ta có hàm tổng quát : Y=f(X)= đạo hàm bậc viết : Y/ d Y= dY/dX = Và Y/ d=6X Tương tự: TR = 100Q-10 d(TR)/d(Q)= 100-20Q Và / d = -20 - Đạo hàm bậc ứng với độ dốc hàm số , đạo hàm bậc ứng với thay đổi độ dốc hàm số - QUY TẮC : Nếu đạo hàm bậc dương , hàm số đạt cực tiểu , đạo hàm bậc âm hàm -• Một   số ứng dụng cho hàm tổng doanh thu sau : TR = 45Q- 0,5 d(/ dQ = 45-Q - Đặt đạo hàm bậc bằng0, ta thấy TR có độ dốc Q=45.Vì / d = -1 nên hàm TR có cực đại Q=45 - Có hàm chi phí cận biên sau : MC = -16Q+57 d(MC)/dQ = 6Q-16 - Đặt đạo hàm bặc , ta thấy đường MC có độ dốc =0 Q= 8/3, Vì / d=6 MC đạt cực tiểu Q=8/3 đường MC có dạng tương tự hình MC hình 2.2 - Cuối , số ví dụ dễ hiểu quan trọng tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp Giả sử hàm tổng doanh thu tổng chi phí doanh nghiệp : TR= 45Q- 0,5 TC= -8 +57Q+2 Ta có: TR – TC = 45Q-0,5 -(-8+57Q+2) = 45Q - 0,5 - + 8-57Q-2 VII, Tối ưu hóa bị ràng buộc 7.1 Đạo hàm riêng - Hầu hết mối quan hệ kinh tế nhiều biến Ví dụ : Doanh thu hàm hay phụ thuộc vào sản lượng việc quảng cáo - Cần phải xác định ảnh hưởng cận biên đến biến phụ thuộc Những ảnh hưởng cận biên đo lường đạo hàm riêng kí hiệu Ví dụ: giả sử hàm lợi nhuận () doanh nghiệp phụ thuộc vào doanh số hàng hóa X Y sau : = f ( X,Y ) = 80X-2-XY-3+100Y Đạo hàm riêng theo X, /chúng ta giữ Y cố định /= 80-4X-Y Điều nói lên ảnh hưởng cận biên từ thay đổi lượng bán hàng X Xét ảnh hưởng cận biên thay đổi Y đến , giữ X không đổi ta có : /= - X - 6Y + 100 7.2 Tối ưu hóa hàm nhiều biến Để tối đa hóa tối thiểu hóa hàm nhiều biến, phải đặt đạo hàm riêng giải hệ phương trình để tìm giá tối ưu biến độc lập Ví dụ để tối đa hóa hàm lợi nhuận = 80X - –XY -3 + 100Y Chúng ta đặt / /=0, giải X Y / = 80-4X-Y = / = - X - 6Y + 100 = Giải ta có : X = 16,52 Y = 13,92 Như doanh nghiệp tối đa hóa doanh nghiệp bán 16,52 đơn vị hàng hóa X 13,92 đơn vị hàng hóa Y = 1856,52 Đ VIII)Tối ưu hóa bị ràng buộc 8.1, Tối ưu hóa ràng buộc phương pháp  Để giải toán, trước hết ta giải phương trình ràng buộc để tìm biến định sau vào hàm mục tiêu mà doanh nghiệp cần tối đa hay tối thiểu hóa VD: doanh nghiệp tối đa hóa hàm lợi nhuận phần trước Nhưng có ràng buộc X+Y=12 Ta giải hàm rang buộc biến X X vào hàm lợi nhuận  X=12-Y )-2 = 960-80Y-2(144-2Y+ = 960-80Y-288+48Y-2 = -4 Để tối đa hóa hàm lợi nhuận khơng bị ràng buộc ta tìm đạo hàm theo Y, đặt giải Y d/dY= -8+56=0  Y= 7, thay Y=7 vào hàm ràng buộc X=5  Doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận kh sản xuất đơn vị hàng hóa X đơn vị hàng hóa Y  = 868Đ 8.2 Tối ưu hóa bị ràng buộc phương pháp nhân tử lagrange Để minh họa, ta xét toán phần trước : - Đặt hàm ràng buộc ta X+Y-12=0 - nhân hàm ràng buộc với cộng λ với hàm lợi nhuận ban đầu ta hàm = + λ(X+Y-12) (1) (1) Có thể xem hàm không bị ràng buộc với biến số X, Y, λ  để tối đa hóa tối đa hóa λ Đẻ tối đa hóa ta đặt đạo hàm riêng theo X, Y, λ không giải hệ phương trình: /= 80-4X-Y+λ =0 (2) /Y=-X-6Y+100+λ =0 (3) /λ =X+Y-12=0 (4) Giải hệ (2), (3), (4) ta X=5, Y=7, λ=-53   ... hệ kinh tế Quan hệ tổng cộng, trung bình, cận biên Phân tích tối ưu hóa KỸ THUẬT TỐI ƯU HĨA Phép vi phân Khái niệm đạo hàm Qui tắc vi phân Tối ưu hóa phép tốn Tối ưu hóa nhiều biến Tối ưu hóa. .. - 6Y + 100 7.2 Tối ưu hóa hàm nhiều biến Để tối đa hóa tối thiểu hóa hàm nhiều biến, phải đặt đạo hàm riêng giải hệ phương trình để tìm giá tối ưu biến độc lập Ví dụ để tối đa hóa hàm lợi nhuận... 16,52 Y = 13,92 Như doanh nghiệp tối đa hóa doanh nghiệp bán 16,52 đơn vị hàng hóa X 13,92 đơn vị hàng hóa Y = 1856,52 Đ VIII )Tối ưu hóa bị ràng buộc 8.1, Tối ưu hóa ràng buộc phương pháp  Để