Tính cạnh của hình thang tương tự như cách giải.. trên.[r]
(1)Các toán lớp IX Nga Thi ngày tháng X/MMX
Đề bài: Bài 1: Giả sử 5(а – 1) = b + a2 So sánh số а b.
Bài 2: Cho hai số dương khác а b thỏa mãn đẳng thức 1+a+
1 1+b =
2
1
+
√
ab
Chứng minh số а b – hai số nghịch đảo nhau.Bài 3: Tìm tất số nguyên tố p, q r, cho thỏa mãn đẳng thức: p + q = (p – q)r.
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ n, cho
số А = n3 + 12n2 + 15n + 180 chia hết cho 23.
Bài 5: Trong hinh thang cân AВСD đáy lớn AD đáy nhỏ ВС 12 tương ứng, chiều cao So sánh góc ВАС САD
Bài 6: Trong tam giác АВС góc В 45, АМ CN – đương cao, О – tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, Н – H trọng tâm giác
Chứng minh, ОNHМ – hình bình hành
Bài 7:Tồn hay khơng tam giác vng có hai trung tuyến vng góc
(2)Lời giải:
Bài 1: Giả sử 5(а – 1) = b + a2 So sánh số а b. Trả lời: а > b
Biến đổi giả thiết toán cho dạng:: b = –a2 + 5a –
Xét hiệu а – b Nhận được: а – b = a + a2 – 5a + = (a – 2)2 + > Suy ra, а > b
Bài 2: Cho hai số dương khác а b thỏa mãn đẳng thức
1+a+
1 1+b =
2
1
+
√
ab
Chứng minh số а b – hai số nghịch đảo Giải:
Phân tích :
1 1+a+
1 1+b =
2
1
+
√
ab
1
1
+
a
−
1
1
+
√
ab
+
1
1
+
b
−
1
1
+
√
ab
= √
ab
−
a
(
1
+
a
)
(
1
+
√
ab
)
+√
ab
−
b
(
1
+
b
)
(
1
+
√
ab
)
= √
a(
√
b−√
a)
1+a –√
b(
√
b−√
a)
1+b =
(
√
b−
√
a
)
(
√
a
1
+
a
−
√
b
1
+b
)
= 0.Nhân tử thứ chi а = b, trái với giả thiết Xét nhân tử thứ hai: а > b > 0, ta có
:
√
a
1
+
a
−
√
b
1
+
b
=
√
a−
√
b
+b
√
a−
a
√
b
= (
√
a
−
√
b
) (1
−
√
ab
)
= (3)Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ n, cho số А = n3 + 12n2 + 15n + 180 chí hết cho 23
Trả lời: n = 10
Phân tích đa thức cho dạng:
A= n3 + 12n2 + 15n + 180 = n2(n + 12) + 15(n + 12) = (n + 12)(n2 + 15)
Số А chia hết cho số nguyên tố 23, hai nhân tử chia hết cho 23
Nhân tử thứ chia hết cho 23 n= 11, cịn nhân tử thứ hai n=10 Bài 4Tìm tất số nguyên tố p, q r, cho thỏa mãn đẳng thức:
p + q = (p – q)r.
Trả lời: p = 5, q = 3, r =
Từ điều kiện tốn ta có p + q chia hết p – q, suy ra, (p + q) – (p – q) = 2q chia hết cho p – q
Nếu số p – q – nguyên tố ước 2q cac số 1, 2, q и 2q Nếu p – q = 1, vế trái lớn vế phải
Nếu p – q = q, p = 2q, lúc р – khơng ngun tố
Tương tự p – q = 2q, p = 3q, trường hợp , р – không nguyên tố Vậy р – q = Khi đẳng thức có dạng:
(q + 2) + q = 2r q + = 2r –1 q = 2r – 1 –
Cách Nếu r = 2, q = – khơng số nguyên tố
Nếu r – số lẻ (r – 1) – số chẵn lúc 2r – 1 – chia hết cho Thât kN, 22k – = 4k – = (4 – 1)(4k– 1 + 4k– 2 + +1) Vì , q = Khi р = r =
Cách Bởi q = 2r – 1 – =
(
2
r−1
2
)
−
1
=(
2
r−1
2
−
1
)(
2
r−1
2
+
1
)
, q số nguyên tố trường hợp
r−1 −1=1
Nên ,
r−1
2 =1 r = Khi q = р = 5.
Bài 5: Trong hinh thang cân AВСD đáy lớn AD đáy nhỏ ВС 12 6 tương ứng, chiều cao So sánh góc ВАС САD
Т
rả lời : góc ВАС lớn góc CAD Cách Bới AD || BC,
nên CAD = BCA (xem рис 1а)
Giả sử BH – đường cao hình thang Khi AH =
AD−BC
2 = 3; BH = 4,
Suy tam giác vuông АВН: AB =
(4)Xét tam giác АBC có BC > AB, nên , BAC > BCA (đối diện với canh lớn là góc lớn hơn) Suy ra, BAC > CAD.
Cách giả sử đường thẳng АВ CD cắt nahu Е ( xem hình 1б) Bới BC || AD BC=
1
2AD , nên BC – đường trung bình tam giác АЕD Tính cạnh hình thang tương tự cách giải
trên
АЕ = 2АВ = 10
Kẻ phân giác AL tam giác АЕD
Theo tính chất phân giác
LD LE=
AD AE=
12 10 >1 ,
Nên L nằm điểm С Е Suy ra, BAC > CAD.
Bài 6: Trong tam giác АВС góc В 45, АМ CN – đường cao, О – tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, Н – H trọng tâm giác
Chứng minh, ОNHМ – hình bình hành
Cáh Kẻ trung trực cạnh АВ ВС tam giác cho cắt điểm О (xem hình 2а)
Vì tam giác vng BNC có NBC = 45°,
nên BN = NC, suy điểm N nằm trung trực đoạn BC
Khi NO || HM
Tương tự với tam giác АМВ, ta có MO || HN Nên ONHM – hình bình hành( theo định nghĩa)
Cách Khảo sát đường trịn ngoại tiếp tam АВС (xem hình 2б) Vì tam giác cho nhọn nên tâm O nằm bên tam giác, mà tam giác АОС – cân AOC = 2ABC = 90°
Ngoài ra, ANC = AMC = 90°, N, O M nằm đường trịn đường kính AC
Khi ONC = OAC = 45°; ONВ = ÂNC – ONC = 45° ÌÀВ = 90° – ÀВМ = 45°
Từ hai góc ONВ ÌÀВ сsuy hai đường thàng song song NO AM
Рис 1б
Рис 2а
(5)Bài 7Tồn hay khơng tam giác vng có hai trung tuyến vng góc Trả lời: Có tồn
Giả sử tam giác ABC: С = 90°, CP BK – trung tuyến, M – giao điểm nó (xem hình 3)
Cách Ta đặt : BС = a, AC = b, AB = c Khi CP =
1
2 с; CM =
3 СР = с; BK2 = а2 +
1 b2; BM2 =
4
9 BK2 =
9 a2 + b2
Đoạn CM BM vng góckhi CM2 + BM2 = BC2, Thì ta có
1
9 đ2 + a2 +
1
9 b2 = а2 Tính с2 = a2 + b2, ta được:
4
9 a2 =
9 b2, ta có b = a
√
2
Vậy tam giác vng có CB = a CA = a√
2
Trung tuyến CP BK vng góc Cách Giả sử
CA
=
a
,CB
=
b
,lúc CP=
1
2(CA+CB)= 2a+
1 2b ;
BK=BA+AK=1
2b−a Ta xét,
CP
⋅
CK
=1 4b −1 2a −1
4a⋅b = 4b −1 2a ,
a
⊥
b
(а va b – modun tương ứng hai véc tơ)Suy ra,
CP
⋅
CK
= 4b −1 2a= b = a
√
2
Bài 8: Trong hình thang ABCD phâ giác góc tù B cắt đáy lớn AD điểm K – trung điểm nó, M – trung điểm cạnhBC, AB = BC Tính tỷ số KM : BD
Trả lời: KM : BD = :
Vì ABK = CBK = BKA, nên tam giác ABK – cân : AK = AB = BC
Khi ABCK – hình bvinhf hành (BC = AK, BC || AK), AB = BC, nên ABCK – hình thoi
vì KD = AK = BC KD || BC, nên BCDK – hình bình hành
(6)Giả sử O – giao điểm đường chéo BD CK, BO =
1 BD
Vì tam giác BCK – cân (BC = CK), nên trung tuyên bàng BO KM, suy ra, KM =
1