CHUYEN DE RUT GON BIEU THUC LOP9

P Bắc Ninh xây dựng chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” với mục đích làm tài liệu dạy ôn cho học sinh lớp 9, với mong muốn các em học sinh nắm chắc chuẩn kiến thức, kỹ năng để hiểu và biế[r]

Chuyên đề :

Rút gọn biểu thức

A MỞ ĐẦU

Hàng năm đề thi mơn tốn kỳ thi vào lớp 10- THPT phần rút gọn biểu thức thường chiếm từ 1,5 điểm đến 2điểm Có dễ, em học sinh làm sai dẫn đến đạt trọn vẹn số điểm khó Là giáo viên tốn nhà trường phân công dạy lớp trăn trở suy nghĩ phải dạy ơn cho em làm để em học sinh đạt kết tốt Chính tơi nhóm thầy dạy tốn trường THCS Vạn An – T P Bắc Ninh xây dựng chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” với mục đích làm tài liệu dạy ôn cho học sinh lớp 9, với mong muốn em học sinh nắm chuẩn kiến thức, kỹ để hiểu biết cách làm dạng “ Rút gọn biểu thức”

Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” xây dựng dựa kiến thức sách giáo khoa phát triển dần theo mức độ có đầy đủ dạng phù hợp với đối tượng học sinh Các ví dụ tập đưa bám sát vào đề thi vào lớp 10 –THPH Sở giáo dục đào tạo Bắc Ninh năm gần

B NỘI DUNG

*Kiến thức lý thuyết cần ý:

1 Những đẳng thức đáng nhớ: 1 (A+B)2 = A2 +2AB +B2

2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2

3 A2 –B2 = (A-B )(A+B)

4 (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3

5 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3

A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)

2 Các công thức biến đổi thức: A có nghĩa A≥0

A2 A

AB  A B ( Với A 0; B0 )

B A B A

 ( Với A 0; B > )

A2B A B ( Với B0 )

A B = A2B ( Với A 0; B0 )

A B = - A2B ( Với A < ; B0 )

AB

B B A

 ( Với AB 0 B 0 )

ABB

B A

 ( Với B > )

10

3 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta rút gọn nhân tử chung tử mẫu phân thức.

Các tính chất phân thức Sử dụng tính chất ta có thể nhân với biểu thức liên hợp tử

( mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn.

* Các dạng tập:

- Rút gọn biểu thức số

- Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết rút gọn đế: + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến;

+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với số); + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức;

+ Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với giá trị nguyên biến

2

2

( )

0, )

C C A B

A A B A B

A B    



(víi

( )

0, 0, )

C C A B

A B A B A B

A B     



* DẠNG1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:

I.Các ví dụ:

+ Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ 20 453 18 72

b/ ( 28 3 7) 7 84

c/  6 52  120

Giải:

a/ 20 453 18 72 = 22.5 32.5 32.2 62.2

 



= 5 59 26

= 2 3 5(96) 215 2

b/  28 3  7 84= 22.7 7 7 22.21

 



= 2.7 2172 21 = 1472 2 2121

c/  6 52 120 = 62 305 22.30

= 652 30 3011

+ Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: a/ A 51 3 51 3

 

b/

6

B  

c/

1 2

2 3

C  

 

1

d/ 200 :

2 2

 

 

 

 

 

2

1 1

/ 200 : 10 :

2 2 2

1

2 8 2 12 64 54

4

d        

   

   

 

        

Giải:

a/ A 51 3 51 3

 

   

   

5

5

  



 

5 3

5

   

  



b/

6

B  

 

 

 

 

   

2

3 3

2 3

3 3 1 1 2

2

2 3

  

 

 

 

   

 

c/

1 2

2 3

C  

   

1

2 3 3

  

 

       

   

3 3 2 3 3

     



 

   

 

   

2 2

3 3 3

 

 

   

 

   

 

 

 

2 3 3 3 3 3 3

1

3 3 3

3 3

   

     



 

+ Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: a/ 2 2 2   2 2 9

b/ 2 3 2 

c/  2  2

4

8

2 5

 

 

Giải:

a/ 2 2 2   2 2 9

BĐVT ta có :

   2

2 2  2  2 4 9      VP

Vậy đẳng thức chứng minh. b/ 2 3 2 

BĐVT ta có :

3 2 3

2

  

       

2

3

4

2

  

  

 

3 3 1 3 3

2 2 VP

     

    

Vậy đẳng thức chứng minh. c/  2  2

4

8

2 5

 

 

BĐVT ta có :

       

2

2 2 2

4 2

2 5 2 5 2 5

  

   

   

   

2 2

2 2

5

2 5 5

  

    

 

   

2 5

5 VP

  

  



Vậy đẳng thức chứng minh.

+ Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ 2 3 10

b/ 2003 2005 2 2004

c/

Giải:

a/ 2 3 10

Ta có:  2 32   2 6   5 24

Và  102 10 5 5    25

Vì 24 < 25 => 24 < 25=> 5 24 5  25

b/ 2003 2005 2 2004

Ta có:  2003 20052 2003 2005 2003.2005 

4008 2004 2004 1    4008 20042 1

      

Và 2 20042 4.2004 2.2004 20042

  

Vì

   

2 2

2

2

2004 2004 2004 2004 4008 2004 4008 2004

2003 2005 2004 2003 2005 2004

    

    

     

c/

Ta có: 5 3 5 32 75

 

Và 3 5 3 52 45

 

Vì 75 > 45 => 75 45 75  45  

*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1

Nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán:

+ Vận dụng phép biến đổi cách hợp lý thành thạo.

+ Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc hai đúng

hoặc đưa đẳng thức

+ Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích

+ triệt để sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu…

II Bài tập:

1 Thực phép tính: a/  12 75 27 : 15 ;

b/ 252 700 1008 448;

c/ 2 2    72 20 2  .

6

2

2 Rút gọn biểu thức sau: a/ 3;

2

 



b/ 2  ;

c/ : 2

2

 

  

   

 

 

3.So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ 3 và 2 2 6;

b/ 7

2 21 5;

c/ 14 13 2 3 11.

4.Cho A 11 96 2

1

B

 

Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, so sánh A B. Chứng minh đẳng thức sau:

a/ 2 2 5 2  5 2 20 33 ;

b/ 10 5   10 5   2 10;

c/ 1

1  2 3  99 100 

*DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ

I Các ví dụ:

* Ví dụ 1: Cho biểu thức 1 :

1

a M

a a a a a



 

  

   

  với a >0 a 1

a/ Rút gọn biểu thức M

Giải: Đkxđ: a >0 a 1

a/ 1 1 : 1

1 2 1

a M

a a a a a

            

    2

1 : 1 1       a a a a a

          a a a a a a a a a a a a 1 1 1

1 2 

          

b/ Ta có

a a

a

M  11 , a > => a 0 => 0

a nên

1

1 

a

Vậy M <

* Ví dụ 2: Cho biểu thức

                         x x x x x x x x P 2 2 1

a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức P

c/ Tính giá trị P với x3 2 Giải:

a/ Biểu thức P có nghĩa chỉ :                2 x x x x                      3 2 1 3 2 1 0 x x x x x x x

b/ Đkxđ : x1;x 2;x 3

                         x x x x x x x x P 2 2 1                                           x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 1     

  x x

     x x x x x x x x x x                      2 3 1      x x x x x x x

x          

 1 2

c/ Thay  2

1 2

3   

x vào biểu thức

x x

P 2 , ta có:

 

 

1 2 2 2 2 2            

P

1    

* Nhận xét phương pháp giải:

Theo thứ tự thực phép tính ta phải làm phép tính từ dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ khơng Tại vậy? Bởi quy đờng mẫu tính tốn phức tạp Ta trục thức mỗi mẫu, kết nhanh chóng

* Ví dụ 3: Cho biểu thức

3 3 32119

        x x x x x x

A với x 3

a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A <

c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải:

a/ Đkxđ: x3

                    

  

3 3 3 3 3 11 3 3 11 3 3 11 3 11 3 2 2                                               x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A

b/ Ta có 3

 

x x

A , A < tức

  (*) 6 3 3 3 3                     x x x x x x x x x x x x

Dễ thấy x + > x – Bất phương trình (*) có nghiệm

       0 3 0 6 x x  6x3

c/ Ta có (9) 9 3 U x x x x x

A   

        

Mà U(9)1;3;9 nên ta có:  x – = - <= > x = ( tm đkxđ )  x – = < => x = ( tm đkxđ )  x – = - <= > x = ( tm đkxđ )  x – = < = > x = ( tm đkxđ )  x – = - <=> x = - ( tm đkxđ )  x – = <= > x = 12 ( tm đkxđ )

Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 A nhận giá trị nguyên * Ví dụ 4: Cho biểu thức

                        x x x x x x x x B 1 1

3 với x0 x1

a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B =

Giải: Đkxđ : x 0 x1

a/ 

                       x x x x x x x x B 1 1 3             

 1 1. 1

1 1 1 1 2                                     x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

b/ Ta có B x B = 3, tức x13 x 4 x16 ( t/m đkxđ)

Vậy với x = 16 B =

* Ví dụ 5: Cho biểu thức 3 3 3 : 1 1 xy y x y y x x y x y x y x y x A                        

 với x > , y >

a/ Rút gọn A;

b/ Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Giải: Đkxđ : x > , y >

a/ 3

       y

x xy

y x xy y xy x y x xy

y x y x xy

y x



 

       

 

 

  

 :

  

x y

xy

y x y x xy

y x

xy 

 

    

 

 



 :

 

2

xy y x y x

xy xy

y

x 

  



b/ Ta có 20   0

  



 x y x y xy

 x y 2 xy

Do

16 16 2

 

  

xy xy xy

y x

A ( xy = 16 )

Vậy A =

16

x y

x y

xy

 



  

   

*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TỐN 2

(Đây dạng tốn có tính tổng hợp cao)

Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác

khơng… tốn chưa cho)

Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép

biến đổi thức)

+ Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất nhân tử chung.

+ Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác không.

Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để

kết luận.

Bước 4: Làm câu hỏi phụ theo yêu cầu toán

+ Tuân thủ nghiêm ngặt phép biến đổi phương trình, bất phương trình.

+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện toán để nhận nghiệm, loại nghiệm kết luận.

Bài 1: Cho biểu thức 2

1 :

3 27 3

x A

x

x x x

 

 

 

 

   

   

  



 

1) Rút gọn A

2) Tìm x để A < –1

Bµi 2: Cho biĨu thøc A = x x x x x

2 x x x

     

 

   

     

   

a) Rót gän biĨu thøc A;

b) Tìm giá trị x để A > -

Bµi 3: Cho biÓu thøc B = x : x 10 x

x x x x

    

   

   

       

 

a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm giá trị x để A >

Bµi 4: Cho biÓu thøc C = x x x x     x 1

a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm giá trị x để C <

Bµi 5: Rót gän biĨu thøc :

a)

2

2

x x x x

D =

x x x x

     



     

; b)

x x x x

P = 1

x x

     

 

   

     

   

; c)

2

1 x

Q = :

x x x x x x



  

; d)

x x H =

x

  

Bµi 7: Cho c¸c biĨu thøc P = 2x x x

 



vµ

3

x x 2x

Q =

x

  



a) Rút gọn biểu thức P Q; b) Tìm giá trị x để P = Q

Bµi 8: Cho c¸c biĨu thøc    

  

   

   

 

   

  

   

3 2

3

9 :

x x x x x

x x x

x x B

a) Rót gän biĨu thøc B b) Tìm x để B >

c) Với x > ; x 9 , Tìm giá trị lớn biểu thức B( x + 1)

Bµi 9: Cho biĨu thøc P = 3x 9x 1 :

x

x x x x

   

 

 

      

 

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P; b) Tìm số tự nhiờn x

P số tự nhiên; c) Tính giá trị P với x = –

Bµi 10: Cho biĨu thøc : P = x x x : x

x x x x x

      

  

   

        

   

a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x để 1 5

P  2

Bµi 11: Cho A 2x x x 10 x x x x x x

 

  

      víi x Chứng minh

rằng giá trị A không phụ thuộc vào biến số x

Bµi 12: Cho biĨu thøc

M = 

  

  

      

   

  

     

1 1

1 :

1 1

1

ab a ab ab

a ab

a ab ab

a

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị cđa M nÕu a=2 vµ b=

3

1

c) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa M nÕu a  b 4

Do thời gian có hạn mục đích chuyên đề áp dụng cho học sinh đại trà, nên lượng tập còn đơn giản chưa thật đa dạng, đầy đủ, khơng tránh khỏi thiếu sót, rât mong đờng nghiệp tham gia góp ý xây dựng để chun đề chúng tơi có khả áp dụng rộng rãi có tính thiết thực hơn!

Chúng xin chân thành cảm ơn!

Vạn An, ngày 24 tháng 10 năm 2010.