Rút gọn biểu thức chứa biến Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m h»ng sè) Bíc Sư dơng tÝnh chÊt a c a.d b.c để làm b d mẩu phơng trình Bớc Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí x Ví dụ: Cho A = x1 (víi x vµ x 1) Tìm giá trị x để: a) A = b) A = c) A = Gi¶i: Ta cã: x a) A = x1 =2 2= x - x = 2( x - 1) x x =2 x -2 x = x = (TMĐK) Vậy với x = A =2 a) A= x x1 = x = 2( x - 1) x = x -2 x -2 x =-2 x = - (VN) Vậy giá trị x để A = b) =- A= x x1 = x = - ( x - 1) x x +1 x + x= x =1 x =1 x = (TM§K) VËy víi x = 1 th× A = Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P < m hc P > m, hc P m, P m (m số) Bớc Chuyển m sang vế trái, quy đồng mẩu thức phân thức làm gọn vế trái Bớc Xác định dấu tử mẩu vế trái, từ có đợc bất phơng trình đơn giản (không chứa mẩu) Bớc Giải bất phơng trình để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lí Ví dụ: Cho A = x1 x (với x 0) Tìm giá trị x để: a) A > b) A < c) A Gi¶i: Ta cã: a) A > ( x 1) 3( x 1) 3( x 1) x 1 > x1 x 1 - > 3( x 1) 3( x 1) - >0 x x1 3( x 1) ( x 1) 3( x 1) >0 x 3 x1 3( x 1) >0 > (*) Vì với điều kiện x 3( x + 1) > � (*) x -4>0 x >4 x >2 x> VËy víi x > th× A > b) A < 2( x 1) 5( x 1) x1 x 1 x1 x 1 - 5( x 1) < 5( x 1) - 0) H·y so s¸nh P víi Gi¶i: Ta cã: P – = x1 x -1= x1 x - x x = ( x 1) x x = 1 x V× 1 x < P – < P < Dạng Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m số) với giá trị x thuộc ĐKXĐ Bớc Tính P m = ? Bíc NhËn xÐt dÊu cđa hiệu P m để có điều phải chứng minh +) NÕu P – m > th× P > m +) NÕu P – m < th× P < m +) NÕu P – m = th× P = m VÝ dô: Cho P = x 1 x (víi x > 0) Chøng minh r»ng: P > với giá trị x > Giải: Ta cã: P – = x 1 x -1= x 1 x x - x = ( x 1) x x = x V× víi x > th× x > x >0 P1>0 P > (đpcm) Dạng Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng) Bớc Biến đổi biểu thức P vỊ d¹ng: n P = m + A(x) (m, n Z, A(x) lµ biĨu thøc chøa x) Bíc Biện luận: Vì nguyên, mà m Z nên để P nguyên n phải A(x) n nguyên A(x) A(x ) phải ớc n Bớc Giải phơng trình: A(x) = Ư(n) để tìm đợc x Bớc Đối chiếu điều kiện chọn nghiệm hợp lÝ x 2 VÝ dô 1: Cho P = (với x x 1) x1 Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên x 2 Gi¶i: Ta cã: P = ( x 1) = x1 x1 x1 = x1 + x1 =1+ x1 Để P nhận giá trị nguyên nhận giá trị guyên, mà x1 phải x1 nguyên x - phải ớc cña x 3 x x 1 x x 4 x 2(VN ) x 2 x 0 x 16 x 4 x 0 (TMDK ) (TMDK ) (TMDK ) VËy víi x = 0, x = x = 16 P nhận giá trị nguyªn VÝ dơ 2: Cho M = x x (với x x 4) Tìm giá trị x để M nhận giá trị nguyên dơng Gi¶i: Ta cã: M = + x x = ( x 2) x = x x + x =1 x Để P nhận giá trị nguyên nhận giá trị guyên, mà x phải nguyên x x - phải ớc x 2 x x 1 x Víi x = 16 th× M = Víi x = th× M = Víi x = th× M = Víi x = th× M = x 4 x 0 x 3 x 1 16 16 0 9 1 = = x 16 x 0 x 9 x 1 (TMDK ) (TMDK ) (TMDK ) (TMDK ) =2>0 4 (TM) = (lo¹i) = =3>0 3 (TM) = =-1 +) P đạt giá trị lớn A(x) đạt giá trị nhỏ +) P đạt giá trị nhỏ A(x) đạt giá trị lớn n (Vì: Để P đạt giá trị lớn A(x) phải đạt giá trị lớn tức A(x) phải đạt giá trị nhỏ n Còn để P đạt giá trị nhỏ A(x) phải đạt giá trị nhỏ tức A(x) phải đạt giá trị lớn nhất) Trờng hợp n < +) P đạt giá trị lớn A(x) đạt giá trị lớn +) P đạt giá trị nhỏ A(x) đạt giá trị nhỏ Bớc Tiến hành tìm giá trị nhỏ lớn A(x) để có đợc giá trị lớn nhỏ P Bớc Tìm điều kiện ®Ĩ x¶y dÊu b»ng Bíc KÕt ln VÝ dơ 1: Cho P = x 3 x 1 (víi x 0) Tìm giá trị lớn P x 3 Gi¶i: Ta cã: P = x 1 ( x 1) = x 1 = x 1 x 1 + x 1 =1+ x Ta thấy: Vì n = > nên: Để P đạt giá trị nhỏ x + phải đạt giá trị lớn V×: x 0 x + Giá trị nhỏ x + Giá trị lớn P là: + =3 Mặt khác: x +1=1 x = x = Vậy: Giá trị lớn P 3, đạt đợc x = VÝ dơ 2: Cho M = x1 x 1 (víi x 0) Tìm giá trị nhỏ M Gi¶i: Ta cã: M = x1 x 1 = ( x 1) x 1 = x 1 x 1 - x 1 =1+ x Ta thấy: Vì n = - < nên: Để M đạt giá trị nhỏ Vì: x + phải đạt giá trị nhỏ nhÊt x 0 x + Giá trị nhỏ x + Giá trị lớn M là: + =-1 Mặt khác: x +1=1 x = x = Vậy: Giá trị nhỏ M - 1, đạt đợc x = Dạng Phơng trình dạng ax + b x + c = (1) (a, b, c số cho trớc a 0) a) Cách giải: Bớc Đặt x = y (*) (ĐK: y 0) Để đa phơng trình (1) dạng phơng trình bậc hai có ẩn y a.y2 + b.y + c = (2) Bớc Giải phơng trình (2) để tìm đợc y Bớc Thay y vừa tìm đợc vào hệ thức (*) để tìm đợc x b) Chú ý: +) Để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt không âm b Tức là: Phơng trình (2) phải có: a c a +) Để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu, phải có nghiệm âm nghiệm không, phải có nghiệm kép không âm 10 Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp): Trờng hợp Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm âm b 0 vµ mét nghiƯm b»ng kh«ng: a c a 0 Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm kép không 0 ©m: b 2a Ví dụ: Cho phơng trình: x 2(m 1) x + – 2m = (1) (víi m tham số) a) Giải phơng trình m = b) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có: 1) Hai nghiệm Đặt x = y (*) 2) Một nghiệm (ĐK: y 0) Khi phơng trình (1) trở thành: y – 2(m – 1)y + – 2m = (2) a)Khi m = phơng trình (2) trë thµnh: y + y = y(y + 1) = y 0 y 0 (TM ) y 0 y (loai ) 11 Víi y = th× VËy m = x =0 x=0 phơng trình có nghiệm x = b/1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt phơng trình (2) phải có: ' b 0 a c a 0 m 0 m 1 m (1 2m) m 2(m 1) m 0 0 m m 1 2m (VN) Vậy giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm b/2) Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) phải có: Trờng hợp Phơng trình (2) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu: a.c < – 2m < m> Trêng hợp Phơng trình (2) có nghiệm âm mét nghiƯm b»ng kh«ng: 12 b 0 a c a 0 (1 2m) m 2(m 1) m 0 0 m m 1 2m 1 m 0 m m 1 m 0 m Trờng hợp Phơng trình (2) có nghiệm kép không 0 ©m: b 2a 0 (1 2m) 0 m (m 1) 0 0 m m 1 m 0 (VN) m 1 KÕt hỵp trờng hợp ta đợc với m phơng trình (1) có nghiệm C Bµi tËp Bµi Cho biĨu thøc : 1 .1 A = x x x1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị biểu thøc A x = - 2 c) Tìm giá trị x để x.A = Bµi Cho biĨu thøc : x 1 B = x x x x 13 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn B b) Tính giá trị cđa biĨu thøc A x = + c) Tìm giá trị x để B = Bài ( điểm ) Cho biÓu thøc : P = a 3 a 1 a 4a a 2 a 2 a>0;a a) Rót gän P �4 b) TÝnh giá trị P với a=9 Bài Cho biểu thøc : � x2 x 2� x Q= � �x x x � � x , � � a) Tìm ĐKXĐ rút gọn Q b) Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị nguyên Bài A ( 1) ( ®iĨm 1 x2 )2 x x 1 ) Cho biểu thức : x2 Tìm điều kiƯn cđa x ®Ĩ biĨu thøc A cã nghÜa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Giải phơng trình theo x A = Bài 3 � � 3 � x 3 x 3 Cho biÓu x thøc: C = x 4x �� x 2� : �� � � x x �� x x x �� � a) Rót gän C b) T×m giá trị x để: C C 14 c) Tìm giá trị x để: C2 = 40C Bµi Cho � x x �� x P� : � x 2 x x �� �� x � �� biÓu thøc: x 4� � x 2� � a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P > c) Tính giá trị nhỏ P d) Tìm giá trị m để có giá trị x > thoả mãn: m( x - 3).P = 12m x - Bµi A ( ( x x x x1 ®iĨm ) Cho biÓu thøc : x ) : x x x a)Rót gän biĨu thøc b) Tính giá trị A x Bài A ( x điểm ) Cho biÓu thøc : thøc : : x x x x x2 x Rót gän biĨu thøc A Coi A lµ hµm sè cđa biÕn x vẽ đồ thi hàm số A Bài 10 ( 2,5 ®iĨm ) Cho biĨu �� 1 � �1 A= � : �� � 1- x x �� 1 x 1 x � 1 x � 15 a) Rót gän biĨu thøc A b) Tính giá trị A x = c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ Bài 11 ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : A = �a a a a �a � �a a a a � �: a � � a) T×m §KX§ vµ Rót gän biĨu thøc A b) Víi giá trị nguyên a A có giá trị nguyên Bài 12 ( điểm ) Cho biÓu thøc : A = 1 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng biÓu thøc A dơng với a Bài 13 Cho biÓu thøc P( 2 x 3 x x2 x ):( 2 x 2 x 2 x 2 x a) Rót gän P 4x ) x4 b) Cho x3 11 x2 H·y tÝnh gi¸ trị P Bài 14 Xét biểu thức A 1 5x 2x 4x 1 2x : x 1 4x 4x 16 a) Rót gän A Tìm giá trị x để A = b) Bµi 15 Cho biĨu thøc P( x 1 x 1 x ):( ) x x 1 1 x x x 1 a) Rót gän P b) Chøng minh P < với giá trị x 1 Bµi 16 Cho biểu thức � � a a a a �: � � P� � � a 2 a �� a 1� a 1 � a 1 � � a) Rút gọn P Bµi b) Tìm a để 17 Cho a 1 �1 P biểu thức � � x �� x P� 1 : �� � x x x x x x � �� � a) Tìm điều kiện để P có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P x nhận giá trị nguyên a a a a .1 Bµi 18 Cho biÓu thøc: P = 1 a 1 a b) Tìm a biết P > a) Rút gọn P c) Tìm a biết P = a 17 Bµi 19 Cho biểu thức � x 1 x x �� x x � B� : �� � x x x x x � �� � a) Rút gọn B b) Tính giá trị B x 2 c) Chứng minh B �1 với giá trị x thỏa mãn x �0; x �1 x2 Bµi 20 Cho biĨu thøc: P = x 1 x x : 1 x x x a) Rót gän P b) Tìm x để P < c) Tìm x để đạt giá trị nhỏ Bài 21 (2 điểm) Cho biÓu thøc: a N ab b b ab a a b ab (víi a, b hai số dơng khác nhau) a) Rút gọn biểu thức N b) Tính giá trị N khi: a 62 ; b 6 Bài 22 (2 điểm) Cho biểu thức: x M 1 x 1 x 1 x x ; x 0; x 1 18 a) Rót gọn biểu thức M b) Tìm x để M Bµi 23 Cho : biĨu thøc M = �a 25a �� 25 a a5 a 2� 1�� : � � � a 25 ��a a 10 a � a � �� � a) Rót gän M b) Tìm giá trị a để M < c) Tìm giá trị lớn M Bài 24 a 1 a Cho a 1 3 biÓu a 1 thøc Bµi = a a 1 a 1 a) Rót gän P biĨu thøc Q = P b) So s¸nh P víi a 1 a 1 25 Cho biÓu thøc A = � m m �� m m m � : � �� � � m �� m � m m m � �� � a) Rót gän A Bài 26 b) So sánh A với : Cho � 2x x 2x x x 1 � � 1 x 1 x x � a) Rót gän A biĨu thøc A = x �x x � � x 1 � b) Tìm x để A = 19 6 c) Chứng tỏ A bất đẳng thøc sai Bµi 27 Cho biĨu thøc P = � x 3 x �� x x2 � : � �� �2 x 2x ��x x x x 1� � � �� � a) Rót gän P b) Chøng minh P > c) Tính giá trị P, biÕt x x d) T×m giá trị x để : Bài 28 x 1 x 1 x x 2 p 5 x 2 Cho : x biÓu thøc P = � � � �� � 1 x x 1 x x :� x� � x� � � �1 x ��1 x � � � �� � � a) Rút gọn P b) Xác định giá trị x ®Ó (x + 1)P = x -1 c) BiÕt Q = Bài 29 x Tìm x để Q max P x Cho biÓu �2 xy x xy y �� xy xy 1 � : �� � ��x xy y xy x y � �� thøc P = � � � a) Rút gọn P b) Tìm m để phơng tr×nh P = m – cã nghiƯm x, y thoả mãn x y 20 Bài 30 Cho x x x x x x � � x x 1 x 1 � thøc P = � x 1 x � �2 x x x � a) Rút gọn P = P biểu b) Tìm giá trị lín nhÊt cđa A x 3 x x c) Tìm giá trị m để x > ta cã: P x x m x 1 x x 2 : 31 P x x Cho x x x x x biểu thức Bài a/ Rút gọn P b/ Tìm x ®Ĩ P < ; c/ T×m x ®Ĩ P đạt giá trị nhỏ x2 Bài 32 Cho biÓu thøc: P = x 1 x x : 1 x x x a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ Bµi x 2 x 3 P x x x 33 x : 2 x x x Cho biĨu thøc 21 a/ Rót gän P b/ T×m x ®Ĩ Bµi 34 Cho biĨu thøc: P a/ Rót gän P Bµi 3(x x 3) x x x x2 b/ T×m x ®Ó P 35 Cho x x : x x x 2 x P a/ Rót gän P ; P x x 15 biÓu thøc: x x b/ Tìm x để P 3x- x c/ Tìm giá trị a để cã x tho¶ m·n : P( x 1) x a Bµi P 36 3(x x 3) x x Cho x1 x2 x 2 x 1 x biÓu thøc: a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm giá trị x để P x Bài 37 Cho P x x x a Rót gän P x x 1 x 3 x b Tìm giá trị x để P c) Tìm a biết P > a Bài 41 1) Cho biÓu thøc: � � �� M� a �: � 1� � 1 a �� a � a) Tìm tập xác định M b) Rút gọn biểu thức M c) Tính giá trị M a = 2) Tính 40 57 2 40 57 � a a � � a a � 1 � � � � � � a a � � � � 1 Bµi 42 Cho biĨu thøc: N = � � a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm giá trị a ®Ĩ N = - 2004 23 1 x 1 : Bµi 43 Cho biÓu thøc: A = x x x1 x 2 x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) So sánh A với c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dơng d) Tìm giá trị tham số m để phơng trình A.x = m có nghiƯm x1 Bµi 44 Cho biĨu thøc: M = x x 1 . x x x a) Tìm điều kiện xác định rút gän M b) Chøng minh r»ng M > víi giá trị x thuộc tập xác định c) Tìm giá trị x để: M x < d) Tìm giá trị tham số m để phơng trình M = 2m có hai nghiệm Bài 45 Cho biÓu thøc: P = x2 x 1 x x x x 1 x a) Tìm điều kiện xác định rót gän P b) Chøng minh r»ng P < với giá trị x thuộc tập xác định c) Tìm giá trị tham số m để phơng trình m.P = có nghiệm 24