[r]
(1)Phòng giáo dục & Đào tạo
hun trùc ninh §Ị thi chän häc sinh giái hun
Môn Toán lớp 9
Năm học 2006 2007 Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bµi 1( 4,0 ®iĨm)
Cho biĨu thøc A = x x : x x x
x x x x x
víi x 0 ; x vµ x a/ Rót gän A
b/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 2(5,0 điểm)
Cho hệ phơng trình :
2
( )
( )
y x y m
x x y m
a, Giải hệ phơng trình m =
b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm nht Bi 3(3,0 im )
Cho phơng trình : 3x2 4x2(m 1) 0
Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt nhỏ Bài 4( 8,0 điểm )
Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB cố định, đờng kính CD thay đổi, AC AD cắt tiếp tuyến đờng tròn (O) B lần lợt F E.Gọi M N lần lợt trung điểm BF, BE
a, Chứng minh tứ giác CDEF tứ giác néi tiÕp
b, Chøng minh trùc t©m H cđa tam giác AMN trung điểm OB
c, Khi CD thay đổi tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động đ-ờng
=== Hết ===
Đáp án chấm học sinh giỏi
môn Toán
Năm học 2006 - 2007 ================== Bài 1( 4,0 điểm)
Cho biểu thức A = x x : x x x
x x x x x
(2)víi x 0 ; x vµ x a/ Rót gän A
A = x x : x x x
x x x x x
=
x x x x x x :
x x 3 x 2
3 x x x
x x x
3 x x x
= x2
b/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyờn A nguyờn
x2nhận giá trị nguyên nên x không số vô tỷ Giả sử x= p
q (víi p, q tù nhiªn ; q0; (p,q) = 1) suy
2 p x
q
Vì x nguyên suy 2
p q p q (p,q) = q q=1 VËy x=p N Suy x + số tự nhiên Vậy A nguyên x + ớc
Do x + số tự nhiên nên x + = x= Bài 2( 5,0 điểm)
Cho hệ phơng trình : 2
( )
( )
y x y m x x y m
a, Giải hệ phơng trình m =
b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm H
íng dÉn gi¶i.
a, Với m = hệ cho trở thành
2
2
( ) ( ) (1)
( ) ( ) (2)
y x y y x y
x x y x x y
Trừ vế phơng trình (1) (2) ta đợc: y2 – x2 = (y - x)(y + x) = 0
0
y x y x
y x y x
* Với y = x thay vào (1) ta đợc : x2 – 2x =
2
x x
x = y =
x = y =
* Với y = - x thay vào (1) ta đợc y2 = y = 0 y = x=
(3)Q
K H
d
I
N M
F E
O
D
C
B A
b, Giả sử hệ phơng trình có nghiệm ( x0;y0) (y0;x0) nghiệm hệ Do để hệ có nghiệm x0 = y0
Khi x2 – 2x -2m = (*)
HÖ cã nghiÖm nhÊt (*) cã nghiÖm kÐp '
2
m m
Víi
2
m hệ cho trở thành 2
( )
( )
y x y x x y
giải hệ ta cã
1
x y
VËy víi
2
m hệ cho có nghiệm (1;1)
Bài 3(3,0 điểm )
Cho phơng trình : 3x2 4x 2(m 1) 0
( 1)
Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt nhỏ H
ớng dẫn giải.
Đặt t = x- x = t + thay vµo (1) ta cã 3(t + )2- 4(t + 2) + 2(m -1) = 0 3t2 + 8t + 2(m + 1) = ( 2)
Phơng trình cho có nghiệm nhỏ (2) có nghiệm âm
' 6( 1)
10
2( 1)
0
1
3
8
0
3
m
m
c m
m m
a b a
Bµi ( 8,0 ®iĨm )
Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB cố định, đờng kính CD thay đổi, AC AD cắt tiếp tiếp tuyến đờng tròn (O) B lần lợt F E.Gọi M N lần lợt trung điểm BF, BE
a, Chứng minh tứ giác CDEF tứ giác néi tiÕp
b, Chøng minh trùc t©m H cđa tam giác AMN trung điểm OB
c, Khi đờng kính CD thay đổi tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động đờng
H
íng dÉn gi¶i.
a,Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp
(4)+ Ta cã S® AEB 1(S®AB S®BD)
2 ( Theo Đ/l góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn ) = 1SđAD
2 (1) mµ SđACD 1SđAD
2 ( 2) ( Theo Đ/L góc néi tiÕp )
Tõ (1) vµ (2) suy tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp ( Theo dÊu hiƯu nhËn biÕt tgnt) b, Chøng minh trùc t©m H tam giác AMN trung điểm OB
Từ M kẻ đờng thẳng vng góc với AN cắt AB H suy H trực tâm tam giác AMN
+ Cm cho vBMH vBAN BM BH BHBM.BN
AB BN AB
+ C/m cho BM.BN = BE.BF
4 ( v× M, N lần lợt trung điểm BF, BE) =
2 AB
4
( Theo hệ thức lợng tam giác vuông AEF) + Từ suy BH = AB
4 = OB
2 Suy H trung điểm OB
c, Khi đờng kính CD thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF chuyển động trên đờng nào.
Gọi K trung điểm EF, qua O kẻ đờng thẳng vng góc với CD cắt đờng trung trực EF I, suy I tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF
- Chứng minh cho AOIK hình bình hành cm AKF cân K KAFKFA
Cm cho ACD AEF ( tứ giác CDEF tứ giác néi tiÕp ) suy
ACDCAKAFEAEF 90 AQK 900 AKCD, mµ OICD suy AK//OI
cm đợc OA// IK ( Vì vng góc với EF )
Suy AOIK hình bình hành IK = OA = R khơng đổi
- Vì IK = R khơng đổi, EF cố định nên I thuộc đờng thẳng d song song với EF I cách EF khoảng R I nằm nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ đờng thẳng FE
=== HÕt ===