2. Ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng th aúng. Ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù ... Tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù. Ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn baèng noù. Goùc thaønh goùc [r]
(1)CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề : PHÉP DỜI HÌNH
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Phép biến hình
ª ĐN : Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác định điểm M mặt phẳng , điểm M gọi ảnh M qua phé
f
p biến hình
ª Kí hiệu : f phép biến hình M ảnh M qua phép f ta viết : M = f(M) hay f(M) = M hay f : M I M hay M I M Điểm M gọi tạo
1 2
ª
ảnh f phép biến hình đồng f(M) = M , M H
Điểm M gọi điểm bất động , kép , bất biến
f ,f phép biến hình f f phép biến hình
Neáu H l
à hình tập hợp điểm M = f(M), với M H, tạo thành hình H gọi ảnh H qua phép biến hình f ta viết : H = f(H)
Phép dời hình
ĐN : Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm , tức với hai điểm M,N ảnh M , N chúng , ta c
ó M N = MN ( Bảo tồn khoảng cách ) Tính chất : ( phép dời hình )
ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng
thành ba điểm không thẳng hàng HQ : Phép dời hình biến :
Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng
Tam giác thành t
am giác ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) Đường tròn thành đường trịn ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
Góc thành góc
I I
I
B BÀI TẬP
x = 2x 1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) =
y = y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)
Giaûi :
a) A = f(A) = (1;5) b) B =
I
f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1)
x = 2x y Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) =
y = x 2y + Tìm ảnh ñieåm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C(
I
;4) Giaûi :
a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7)
3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) Đây có phải phép dời
hình hay không ? I
1 2
1 1
2 2
Giải : Lấy hai điểm M(x ;y ),N(x ;y ) Khi f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )
(2)
2 2
2 2
1
Ta coù : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )
Nếu x x M N MN Vậy : f phép dời hình (Vì có số điểm f khơng bảo tồn khoảng cách)
y x
x y
4 Trong mpOxy cho pheùp biến hình :
a) f : M(x;y) M = f(M) = ( y ; x 2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) Phép biến hình phép dời hình
I I
1
? HD :
a) f phép dời hình b) g khơng phải phép dời hình ( x x M N MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình :
a) f : M(x;y) I M = f(M) = (y + ; x) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) Phép biến hình phép dời hình ?
Giải :
a) f phép dời hình b) g khơng phải phép dời hình (
I
1
y y M N MN )
6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) Tìm ảnh đường thẳng ( ) : x 3y = qua phép biến hình f
Giaûi :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
x
x = 2x x
Ta coù f : M(x;y) M = f(M) = 2
y y y y 1
x
Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) x 6y M (x ;y ) ( ) : x 6y
2
Caùch : Lấy điểm M,N ( ) : M N M
I
( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1)
N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0)
I I
Qua M ( 4;1) x+ y
( ) (M N ) : PTCtaéc ( ) : PTTQ ( ) : x 6y
6
VTCP : M N (6; 1)
2
7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) a) CMR f phép dời hình
b) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = (C ) : (x
I
I 2) + (y 3) = 42
8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x ;y 1) a) CMR f phép dời hình
b) Tìm ảnh đường thẳng ( ) : x + 2y = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x
I
2
2
1 2
1 1
+ 1) + (y 2) =
x y
d ) Tìm ảnh elip (E) : + =
3
Giải : a) Lấy hai điểm M(x ;y ),N(x ;y )
Khi f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) f : N
I
2 2
2
2
(x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1)
Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN Vậy : f phép dời hình
(3)
b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
x = x x x
Ta coù f : M(x;y) M = f(M) =
y y y y
Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) x 2y M (x ;y ) (
I
) : x 2y 0
Cách : Lấy điểm M,N ( ) : M N M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2)
I I
Qua M (2;1) x y
( ) (M N ) : PTCtaéc ( ) : PTTQ( ) : x 2y
2
VTCP : M N ( 2;1)
Cách 3: Vì f phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng
( ) // ( ) Laáy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
Vì ( ) // ( ) ( ) : x + 2y m = (m 5) Do : ( ) M (2;1) m = ( ) : x 2y c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
2 2
x = x x x
Ta coù f : M(x;y) M = f(M) =
y y y y
Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = (x 4) (y 3) M (x ;y
I
2
f 2
) (C ) : (x 4) (y 3)
+ Taâm I( 1;2) + Taâm I = f [I( 1;2)] ( 4;3)
Caùch : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3)
BK : R = BK : R = R =
d) Dùng biểu thức toạ độ
x = x x x
Ta coù f : M(x;y) I M = f(M) = y y 1 y y 1
2 2 2
x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1)
Vì M(x;y) (E) : + = + = M (x ;y ) (E ) : + =
3 3
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) a) CMR f phép dời hình
b) Tìm ảnh đường thẳng ( ) : x 2y
I
2
2
2 2
=
c) Tìm ảnh đường trịn (C) : (x + 3) + (y 1) = d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x
ÑS : b) x 2y = c) (x + 2) + (y 1) = d) (y + 2) = 4(x 1)
10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) Khẳng định sau
sai ? I
A f phép dời hình B Nếu A(0 ; a) f(A) = A
C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + =
ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua trục tung C sai
1 2
1
12 Trong mpOxy cho phép biến hình :
f : M(x;y) M = f (M) = (x + ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) Tìm toạ độ ảnh A(4; 1) qua f f , nghĩa tì
I I
1 2
2
f f
m f [f (A)]
ÑS : A(4; 1) I A (6; 5) I A ( ; )
x
11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) Khẳng định sau sai ?
A f (O) = O (O điểm bất biến) B Ảnh A Ox
I
aûnh A = f(A) Ox C Ảnh B Oy ảnh B = f(B) Oy D M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9)
(4)Vấn đề : PHÉP TỊNH TIẾN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN : Phép tịnh tiến theo vectơ u phép dời hình biến điểm M thành điểm M cho MM u
Kí hiệu : T hay T Khi : T (M) Mu u MM u
Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định biết vectơ tịnh tiến Nếu T (M) M , M T phép đồng o o
2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) phép tịnh tiến Tu
x = x + a
M(x;y)I M =T (M) (x ;y ) u y = y + b
3 Tính chất :
ĐL : Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách hai điểm HQ :
Bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến tia thành tia
Bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho
Bieán
7 tam giác thành tam giác (Trực tâm I trực tâm , trọng tâm I trọng tâm )
Đường trịn thành đường trịn
(Tâm biến thành tâm : II I , R = R ) PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM
x = x + a
M(x;y)I M =T (M) (x ;y ) u y = y + b
PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H)
Cách : Dùng tính chất (cùng phương đthẳng , bán kính đường trịn : khơng đổi )
Laáy M (H) M (H )
(H) đường thẳng (H ) đường thẳng phương
I
Taâm I Taâm I
(H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I )
+ bk : R + bk : R = R
Cách : Dùng biểu thức tọa độ
Tìm x theo x , tìm y theo y thay vào biểu thức tọa độ Cách
II
: Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) I M , N (H ) B, BÀI TẬP
1 Trong mpOxy Tìm ảnh M điểm M(3; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;1) Giải
x x
Theo định nghóa ta coù : M = T (M)u MM u (x 3;y 2) (2;1)
y y
M (5; 1) Tìm ảnh điểm qua phép tịnh tiến theo vectơ u :
a) A( 1;1) , u = (3;1)
A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2)
(5)
3 Trong mpOxy Tìm ảnh A ,B điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (3;1) Tính độ dài AB , A B
Giải
Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B)u u
1
1
(4;2) , AB = |AB | , A B = |A B | Cho vectơ u ;u Gỉa sử M1 2 1 T (M),Mu 2 T (M ) Tìm v để Mu 1 2 T (M) v Giải
Theo đề : M1 T (M)u MM1 u , M1 2 T (M )u 1 M M1 2
u 2
Neáu : M2 T (M)v MM2 v v MM2 MM M M1 1 2 u + u .Vaäy : v u + u1 2 1 2
5 Đường thẳng cắt Ox A( 1;0) , cắt Oy B(0;2) Hãy viết phương trình đường thẳng ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; 1)
Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) u u
qua A (1; 1) x t
Mặt khác : T ( )u qua A ,B Do : ptts : y 1 2t
VTCP : A B = (1;2)
6 Đường thẳng cắt Ox A(1;0) , cắt Oy B(0;3) Hãy viết phương trình đường thẳng ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 1; 2)
Giải
Vì : A T (A) (0; 2) ,u
B T (B) ( 1;1) u
qua A (0; 2) x t
Mặt khác : T ( )u qua A ,B Do : ptts :
y 3t VTCP : A B = ( 1;3)
7 Tương tự : a) : x 2y = , u = (0 ; 3)
: x 2y b) : 3x y = , u = ( ; 2) : 3x y
8 Tìm ảnh c
2
ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1; 3) Giải
x = x + x = x Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến T : u
y = y y = y +
Vì : M(x;y) (
2 2 2
C) : (x + 1) (y 2) x (y 1) M (x ;y ) (C ) : x (y 1)
2
Vaäy : Ảnh (C) (C ) : x (y 1)
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) a) CMR f phép dời hình
b) Tìm ảnh đường thẳng ( ) : x 2y
I
2
2
2 2
=
c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x
ÑS : b) x 2y = c) (x + 2) + (y 1) = d) (y + 2) = 4(x
1)
10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) Khaúng định sau sai ?
A f phép dời hình B
I
Nếu A(0 ; a) f(A) = A
C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua trục tung C sai
2
9 Tìm ảnh đường trịn (C) : (x 3) (y 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4)
x = x x = x +
Giải : Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến T : u y = y 4 y = y 4
2 2 2 2 2
Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) (x 1) (y 2) M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2)
2
(6)
2 2
BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2)
2
b) (C) : x y 2x 4y 0, u = ( 2;3) (C )
2
: x y 2x 2y
10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác định toạ độ đỉnh C D hình bình hành ABCD biết đỉnh A( 2;0), đỉnh B( 1;0) giao điểm đường chéo I(1;2)
Giaûi
Gọi C(x;y) Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1) Vì I trung điểm AC nên :
x x
C = T (I)AI IC AI C(4;4)
y 2 y
Vì I trung điểm AC nên :
D =
xD xD
T (I)BI ID BI D(3;4)
yD 2 yD
Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) 11 Cho đường thẳng song song d d Hãy
pheùp tịnh tiến biến d thành d Hỏi có phép tịnh tiến ?
Giải : Chọn điểm cố định A d , A d
Lấy điểm tuỳ ý M d Gỉa sử : M = TAB(M) MM AB
MA M B M B/ /MA M d d = TAB(d)
Nhận xét : Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d
12 Cho đường tròn (I,R) (I ,R ) Hãy phép tịnh tiến biến (I,R)
thành (I ,R ) Giải : Lấy điểm M tuỳ ý (I,R) Gỉa sử : M = T (M)II MM II
IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)]II
13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố định , tâm I thay đổi di động đường trịn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC
Giaûi
Gọi J trung điểm cạnh AB Khi d
ễ thấy J cố định IM JB Vậy M ảnh I qua phép tịnh tiến T Suy : Quỹ tích M làJB ảnh đường trịn (C) phép tịnh tiến theo vectơ JB
14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax Gọi T phép tịnh tiến theo vectơ u = (m,n) (P ) ảnh (P) qua phép tịnh tiến Hãy viết phương trình
u
(P ) Giaûi :
T
M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y) x x = m x = x m
Vì MM = u
y y = n y = y n
2
Maø : M(x;y) (P) : y ax y n = a(x m) y =
I
2
a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n
2 2
Vậy : Ảnh (P) qua phép tịnh tiến T (P ) : y = a(x m)u n y = ax 2amx am n 15 Cho đt : 6x + 2y 1= Tìm vectơ u để = T ( ) u
Gi
ải : VTCP a = (2; 6) Để : = T ( )u u phương a Khi : a = (2; 6) 2(1; 3) chọn u = (1; 3)
16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm A( 5;2) , C( 1;0) Biết : B = T (A) , C = T (B) Tìm u vu v để thực phép biến đổi A thành C ?
(7)Tu+v
A( 5;2) I TuB I TvC( 1;0) Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)
u v
17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) Tìm ảnh K,M,N qua phép tịnh tiến T T u v
T T
HD : Gỉa sử : A(x;y)I BI
C(x ;y ) Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)
x 1 x
Do : K =Tu v(K) KK (1;5) K (2;7)
y y
Tương tự : M (4;4) , N (3;2)
18 Trong hệ trụ
u u
c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) G trọng tâm ABC phép tịnh tiến theo vectơ u biến A thành G Tìm G = T (G) u
Giaûi
T T
A(3;0)I G( 1;3)I G (x ;y
)
x x
Vì AG ( 4;3) u Theo đề : GG u G ( 5;6)
y 3 y
2 2
19 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ) : x y 10x 4y 25
Có hay không phe
ùp tịnh tiến vectơ u biến (C) thaønh (C )
HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R =
Ta thaáy : R = R = nên có phép tịnh tiến theo vectô u
= (4;1) biến (C) thành (C )
20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) B :2x y = Tìm tập hợp đỉnh C ?
Giải
Vì OABC hình bình hành nên : BC
u
AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)u
T x x x x
B(x;y) C(x ;y ) Do : BC u y y 1 y y 1
B(x;y) 2x y = 2x y 10 = C(x ;y ) : 2x y 10 =
21 Cho ABC Goïi A ,B ,C 1 1
I
lần lượt trung điểm cạnh BC,CA,AB Gọi O ,O ,O I ,I ,I1 3 1 3 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp ba tam giác AB C ,1 1
BC A1
1AB 1AB 1AB
2 2
, CA B Chứng minh : O O O I I I
1 1 3
HD :
Xét phép tịnh tiến : T1 bieán A C,C1 B,B1 A 1
AB
T T T
AB C1 1 C BA ;O1 1 1 O ;I2 1 I 2
I I I
I I I
w
O O1 2 I I1 2 O O1 2 I I 1 2
Lý luận tương tự : Xét phép tịnh tiến T1 ,T1 suy :
BC CA
2
O O2 3 I I vaø O O2 3 3 1 I I3 1 O O2 3 I I ,O O2 3 1 I I3 1 O O O1 3 I I I (1 3
w
c.c.c)
BC
22 Trong tứ giác ABCD có AB = 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 D 90 Tính độ dài cạnh BC DA
HD :
T
(8)
o
Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30
Định lý hàm cos MCD :
3
2 2 2
MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12 36
2
MD = 6cm
1
Ta có : MD = CD MC = MD MDC tam giác
2
MCD nửa tam giác DMC 90 MDA 30
Vaäy : MDA MAD MAB 30 AMD tam giác cân taïi M
6
Dựng MK AD K trung điểm AD KD=MDcos30 cm AD 3cm
2 Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 3cm
Vấn đề : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A , KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN1: Điểm M gọi đối xứng với điểm M qua đường thẳng a a đường trung trực đoạn MM
Phép đối xứng qua đường thẳng gọi phép đối xứn
g trục Đường thẳng a gọi trục đối xứng ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường tha
a o o o
úng a
Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M hình chiếu M đường thẳng a Khi :
Nếu M a Đ (M) M : xem M đối xứng với qua a ( M gọi điểm bất động ) a
M a Đ (M) M a a đường trung trực MM
Đ (M) M Đ (M ) Ma a
Ñ (H) H Ñ (H ) H , H ảnh hình H a a
d
ĐN : d trục đối xứng hình H Đ (H) H
Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định biết trục đối xứng
Chú ý : Một hình khơng có trục đối xứng ,có thể có hay nhiều trục đối xứng
d
2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y )
x = x x = x
ª d Ox : y = y ª d Oy : y = y
I
3 ĐL : Phép đối xứng trục phép dời hình
1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứ
HQ :
ng
Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng
Tam giác thành tam giác (Trực tâmI trực tâm , trọn
g tâm trọng tâm ) Đường trịn thành đường trịn (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
Góc thành góc
I I
a PP : Tìm ảnh M = Đ (M) (d) M , d a
H = d a
H laø trung điểm MM M ?
(9)
a
a
ª PP : Tìm ảnh đường thẳng : = Đ ( ) TH1: ( ) // (a)
Laáy A,B ( ) : A B Tìm ảnh A = Ñ (A) A , // (a)
w
a TH2 : // a
Tìm K = a
Lấy P : P K Tìm Q = Ñ (P) (KQ)
w
ª PP :Tìm M ( ) : (MA + MB) min
min
min Tìm M ( ) : (MA+ MB)
Loại : A, B nằm phía ( ) : 1) gọi A đối xứng A qua ( )
2) M ( ), MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )
w
min
Loại : A, B nằm khác phía ( ) : M ( ), MA + MB AB
Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )
w
B BÀI TẬP
ÑOx ÑOy
1 Trong mpOxy Tìm ảnh M(2;1) đối xứng qua Ox , đối xứng qua Oy
HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)
2 Trong mpOxy Tìm ảnh M(a;b) đối xứng qua Oy , đối xứ
I I
ÑOy ÑOx
Ña Ñb
Ña Ñb
ng qua Ox
HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)
3 Cho đường thẳng (a) : x = , (b) : y + = điểm M( 1;2) Tìm : M M M
HD : M( 1;2) M (5;2)
I I
I I
I I
Ña Ñb
Ña Ñb
tñ(m;y) tñ(
M (5; 4) [ vẽ hình ] Cho đường thẳng (a) : x m = (m > 0) , (b) : y + n = (n > 0)
Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y )
x 2m x
HD : M(x;y) M
y y
I I
2m x; n)
x 2m x
M
y 2n y
5 Cho điểm M( 1;2) đường thẳng (a) : x + 2y + =
HD : (d) : 2x y + = , H = d a H( 2;0) , H trung điểm MM M ( 3; 2)
6 Cho điểm M( 4;
a a
1) đường thẳng (a) : x + y = M = Đ (M) ( 1;4) Cho đường thẳng ( ) : 4x y + = , (a) : x y + = Tìm ảnh = Đ ( )
HD :
4
Vì
1
a
caét a K a K( 2;1)
1
M( 1;5) d M, a d : x y H(1/ 2;7 / 2) : tđiểm MM M Đ (M) (2;2)
KM : x 4y + =
a
a
a
8 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + = HD : a Ox = K( 3;0)
3
M O(0;0) Ox : M = Ñ (M) = ( ; )
5
b KM : 3x + 4y =
(10)
HD : a Ox = K(3;0) P O(0;0) Ox + Qua O(0;0)
: 3x y
+ a
3 9
E = a E( ; ) trung điểm OQ Q( ; )
10 10 5
b KQ : 3x + 4y =
1
Ox
Ox
0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y = Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay) Cách : K= a Ox K(3;0)
P(0;1) a Q = Ñ (P) = (0; 1) b KQ : x 3y =
a 11 Cho đường thẳng ( ) : x 2y + = , (a) : x 2y = Tìm ảnh = Đ ( ) PP : / /a
Cách : Tìm A,B A ,B A B
Cách : Tìm A A / / , A
a
2
a
2
Giải : A(0;1) A Đ (A) (2; 3)
A , / / : x 2y
12 Cho đường tròn (C) : (x+3) (y 2) , đường thẳng (a) : 3x y + 1= Tìm (C ) = Đ [(C)] HD : (C ) : (x 3) y
Ox
13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) C(1;6) Khẳng định sau sai ? A ABC cân B B ABC có trục đối xứng
C ABC Đ ( ABC) D Trọng tâm : G = Đ (G)Oy HD : Chọn D
2
14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) Tìm ảnh M, ( ) (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + =
Giải : Gọi M ,
( ) (C ) ảnh M, ( ) (C) qua phép đối xứng trục a Qua M( 3;2)
a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) : a
+ (d) (a) (d) : 2x y + m = Vì (d) M( 3;2) m = (d) : 2x y4 =
H M M
H M M
M M
M M
1
x (x x )
2 + H = (d) (a) H( 2;0) H trung điểm M,M H 1
y (y y )
2
2 ( x ) x 1
2
1 y 2 M ( 1; 2)
0 (2 y )
2 b) Tìm aûnh ( ) :
1
Vì ( ) cắt (a
1
) K= ( ) (a)
x + 3y =
Toạ độ K nghiệm hệ : x 2y + = 0 K(2;2)
a
Lấy P K Q = Đ [P( 1;3)] = (1; 1) ( Làm tương tự câu a) ) Qua P( 1;3)
Gọi đường thẳng (b) :
(11)
E P Q Q
E P Q Q
+ (b) (a) (b) : 2x y + m = Vì (b) P( 1;3) m = (b) : 2x y = + E = (b) (a) E(0;1) E trung điểm P,Q
1
x (x x ) ( x ) x
2
E
1
y (y y ) (3 y )
2
Q Q
1
Q(1; 1)
y
Qua K(2;2) x y
+ ( ) (KQ) : ( ) : 3x y
1
VTCP : KQ ( 1; 3) (1;3)
Đa Đa
c) + Tìm ảnh tâm I( 3;2) câu a)
Tâm I Tâm I
+ Vì phép đối xứng trục phép dời hình nên (C): R 2 (C ) : R R 2.Tìm I I + Tâm I( 3;2)
Vaäy : (C) BK :
I I
Ña a
2
2 + Tâm I = Đ [I( 3; 2)] ( ; )
(C ) 5 5
R = BK : R = R = 2
2
(C ) : (x ) (y )
5
I
2
15 Trong mpOxy cho điểm M(3; 5), đường thẳng ( ) : 3x + 2y = 0, đường tròn (C) : (x+1) (y 2) Tìm ảnh M, ( ) (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x y + =
HD :
a) M(3; 5) I
Ña
a
33 13
M ( ; ),(d): x 2y 0,tđiểm H( ; )
5 5
4 15
b) + K= (a) K( ; )
7
+ P ( ) : P(2;0) K , Q = Ñ [P(2;0)] = ( 2;2) ( ) (KQ) : x 18y 38 c) + I(1; 2) Ña I ( 8; ) , R = R = (C ) : (x + ) 2(y 8)29
5 5
I
2
ÑOx
16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y Tìm ảnh M, ( ) (C) qua phép đối xứng qua Ox
x x
HD : Ta coù : M(x;y) M (
y y
ÑOx
x x
1) (2)
y y
Thay vaøo (2) : M(2; 3) M (2;3)
2 2
2 2
M(x;y) ( ) 2x y = M (x ;y ) ( ) : 2x y =
M(x;y) (C) : x y 2x 4y x y 2x 4y
(x 1) (y 2) M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2)
Ox ÑOx
17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = Tìm ảnh a qua Đ
x x x x
Giải : Ta có : M(x;y) M
y y y y
Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 2(x ) ( y )+3 = 2x y +3 = M (
I
ÑOy
x ;y ) (a ) : 2x y + = Vaäy : (a)I (a ) : 2x y + =
2
Oy ÑOy
2 2 2
18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x y 4y = Tìm ảnh a qua Đ
x x x x
Giải : Ta có : M(x;y) M
y y y y
Vì M(x;y) (C) : x y 4y = ( x ) y 4(y ) = x
I
2
2
ÑOy 2
y 4y =
(12)
2
a a
19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y = , ( ) : x 3y 11 = , (C) : x y 10x 4y 27 = a) Viết biểu thức giải tích phép đối xứng trục Đ
b) Tìm ảnh điểm M(4; 1) qua Đ
a a
2
Ña
c) Tìm ảnh : ( ) = Đ ( ),(C ) Đ (C) Giải
a) Tổng quaùt (a) : Ax + By + C=0 , A B
Goïi M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM (x x;y y) phương VTPT n = (A;B) MM tn
x
I
2
x x y y
x At x x At ( t ) Gọi I trung điểm MM nên I( ; ) (a)
y y Bt y y Bt 2
x x y y x x At y y Bt
A( ) B( ) C A( ) B( ) C
2 2
2(Ax + By + C)
(A B )t 2(Ax + By + C) t
A
2
2 2
Ña
B
2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)
x x ;y y
A B A B
4(2x y 3) 12
x x x x y
5 5
Áp dụng kết ta coù :
2(2x y 3)
y y y y y
5 5
4
b) M(4; 1) M ( ;
5
I
Ña
Ña 2 2
)
c) : 3x y 17
d) (C) (C ) : (x 1) (y 4)
I I
20 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : x 5y = ( ) : 5x y 13 = Tìm phép đối xứng qua
trục biến ( ) thaønh ( )
Giải
1
Vì ( ) ( ) cắt Do trục đối xứng (a) phép đối xứng biến ( ) thành ( )
5
đường phân giác góc tạo ( ) ( )
1
1
x y (a ) | x 5y | | 5x y 13|
Từ suy (a) : x y (a )
1 25 25 +
Vậy có phép đối xứng qua trục ( ) : x y , ( ) : x y
a 21 Qua phép đối xứng trục Đ :
Những tam giác biến thành ? Những đường trịn biến thành ? HD :
Tam giác có đỉnh trục a , hai đỉnh lại đ
2
2
ối xứng qua trục a Đường tròn có tâm a
22 Tìm ảnh đường tròn (C) : (x 1) (y 2) qua phép đối xứng trục Oy PP : Dùng biểu thức toạ độ ĐS : (C ) : (x 1) (y
2 )
23 Hai ABC A B C nằm mặt phẳng toạ độ đối xứng qua trục Oy Biết A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) Hãy tìm toạ độ đỉnh A , B C
ÑS : A (1;5), B (4;6) vaø C( 3;1)
(13)
ÑS :
Hình vng có trục đối xứng , đường thẳng qua đỉnh đối diện đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối diện
Ngũ giác co
ù trục đối xứng ,đó đường thẳng qua đỉnh đối diện tâm ngũ giác Lục giác có trục đối xứng , đường thẳng qua đỉnh đối diện đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối diện
d
25 Gọi d phân giác A ABC , B ảnh B qua phép đối xứng trục Đ Khẳng định sau sai ?
A Nếu AB < AC B cạnh AC
d
B B trung điểm cạnh AC
C Nếu AB = AC B C D Nếu B trung điểm cạnh AC AC = 2AB ĐS : Nếu B = Đ (B) B AC
A Vì AB < AC mà AB = AB nên AB < AC B cạnh AC
B sai Vì giả thiết tốn khơng đủ khẳng định AB = AC C Vì AB = AB mà AB = AC nên AB = AC B C
a b
Ña Ñb
D Vì Nếu B trung điểm cạnh AC AC=2AB mà AB =AB nên AC=2AB 26 Cho đường thẳng a b cắt O Xét phép đối xứng trục Đ Đ : AI BI C
Khẳng định sau không sai ? A A,B,C đường tròn (O, R = OC)
B Tứ giác OABC nội tiếp
C ABC cân B D ABC vuông B
1
HD : A Khơng sai Vì d trung trực AB OA = OB , d trung trực BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C đường tròn (O, R = OC) Các câu B,C,D sai
27 Cho ABC có hai trục đối xứng Khẳng định sau ?
A ABC vuông B ABC vuông cân C ABC D ABC cân
HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng AC BC AB = AC
AB AB BC ABC
BC = BA
o
o o o o o o o
28 Cho ABC có A 110 Tính B C để ABC có trục đối xứng
A B = 50 vaø C 20 B B = 45 vaø C 25 C B = 40 vaø C 30 D B = C 35
o o
o o o
o
HD : Chọn D Vì : ABC có trục đối xứng ABC cân Vì A 110 90 ABC cân A , :
180 A 180 110
B C 35
2
29 Trong hình sau , hình có nhiều trục đối xứng ?
A Hình chữ nhật B Hình vng C Hình thoi D Hình thang cân ĐS : Chọn B Vì : Hình vng có trục đối xứng
30 Trong hình sau , hình có trục đối xứng ?
(14) 31 Trong hình sau , hình có trục đối xứng ?
A Hình thoi B Hình vng C D vuông cân
ĐS : Chọn C Vì : có trục đối xứng
32 Trong hình sau , hình có nhiều trục đối xứng ?
A Hình vng B Hình thoi C Hình trịn D Hình thang cân ĐS : Chọn C Vì : Hình trịn có vô số trục đối xứng
33 Trong hình sau , hình khơng có trục đối xứng ?
A Hình bình hành B C cân D Hình thoi ĐS : Chọn A Vì : Hình bình hành khơng có trục đối xứng
34 Cho hai hình vuô
ng ABCD AB C D có cạnh a có đỉnh A chung
Chứng minh : Có thể thực phép đối xứng trục biến hình vng ABCD thànhø AB C D HD : Gỉa sử : BC B C = E
ĐAE Ta có : AB = AB , B B 90 ,AE chung
EB = EB
ABE = AB F B B
bieát AB = AB I
ÑAE
ĐA ĐAE
EC = EC
Mặt khác : C C
AC = AC = a
BAB Ngoài : AD = AD D AE DAE 90
2
D D ABCD AB C D
I
I I
35 Gọi H trực tâm ABC CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có đường tròn ngoại tiếp
1
1 1
ÑBC ÑBC
HD :
Ta coù : A = C (cùng chắn cung BK )
A = C (góc có cạnh tương ứng ) C = C CHK cân K đối xứng với H qua BC Xét phép đối xứng trục BC
Ta coù : K I H ; B I B ;
ÑBC
ÑBC C C
Vậy : Đường tròn ngoại tiếp KBC Đường tròn ngoại tiếp HBC
I I
a
36 Cho ABC đường thẳng a qua đỉnh A khơng qua B,C a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đ
b) Gọi G trọng tâm ABC , Xác định G ảnh G qua phép đối xứng Đa a
a a
a Giaûi
a) Vì a trục phép đối xứng Đ nên :
A a A Ñ (A)
B,C a nên Đ : B B ,C C cho a trung trực BB ,CC b) Vì G a nên Đ : G G cho a trung trực
I I
I cuûa GG
37 Cho đường thẳng a hai điểm A,B nằm phía a Tìm đường thẳng a điểm M cho MA+MB ngắn
Giải : Xét phép đối xứng Đ : Aa A M a MA = MA Ta c
I
ó : MA + MB = MA + MB A B Để MA + MB ngắn chọn M,A,B thẳng hàng
(15)
38 (SGK-P13)) Cho góc nhọn xOy M điểm bên góc Hãy tìm điểm A Ox điểm B Oy cho MBA có chu vi nhỏ Giải
Gọi N = ĐOx(M) P = ĐOx(M) Khi
: AM=AN , BM=BP Từ : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP
( đường gấp khúc đường thẳng )
MinCVi = NP Khi A,B giao điểm NP với Ox,Oy
39 Cho ABC cân A với đường cao AH Biết A H cố định Tìm tập hợp điểm C trường hợp sau :
a) B di động đường thẳng b) B di động đường trò
n tâm I, bán kính R Giải
a) Vì : C = ĐAH(B) , mà B nên C với = ĐAH( ) Vậy : Tập hợp điểm C đường thẳng
b) Tương tự : Tập hợp điểm C đường tròn tâm J , bán kính R ảnh đường tròn (I) qua ĐAH
Vấn đề : PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
1 ĐN : Phép đối xứng tâm I phép dời hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua I Phép đối xứng qua điểm gọi phép đối tâm
Điểm I gọi tâm của phép đối xứng hay đơn giản tâm đối xứng Kí hiệu : Đ (M) MI IM IM
Nếu M I M I
Nếu M I M Đ (M)I I trung trực MM ĐN :Điểm I tâm đối xứng hình H Đ (H) H.I Chú ý : Một hình khơng có tâm đối xứng
I Ñ
2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ;y ) phép đối xứng tâm I : M(x;y)o o M Đ (M) (x ;y ) I x = 2xo x
y 2yo y
3 Tính chất :
Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giư
I
õa hai điểm Biến tia thành tia
Bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến góc thành góc có
số đo
Biến tam giác thành tam giác ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
Đường trịn thành đường trịn ( Tâm biến thành tâm : II I , R = R ) B BAØI TẬP
1 Tìm ảnh điểm sau qua phép đối xứng tâm I :
1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1)
2) B(3;1) , I( 1;2) B ( 5;3) 3) C(2;4) , I(3;1) C (4; 2)
Giaûi :
x x
a) Gỉa sử : A Đ (A)I IA IA (x 1;y 2) ( 3;1) y 2 1 y 1 A (4;1)
Cách : Dùng biểu thức toạ độ
(16)
2 Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I :
1) ( ) : x 2y 0,I(2; 1) ( ) : x 2y
2) ( )
: x 2y 0,I(1;0) ( ) : x 2y 3) ( ) : 3x 2y 0,I(2; 3) ( ) : 3x 2y 0
Giaûi
PP : Có cách
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
Cách : Xác định dạng // , dùng cơng thức tính khoảng cách d( ; ) Cách : Lấy A,B , tìm ảnh A ,B
I
A B
Ñ x x x x
1) Cách 1: Ta có : M(x;y) M
y y y y
I
I
Vì M(x;y) x 2y (4 x ) 2( y ) x 2y
M (x ;y ) : x 2y Đ
Vậy : ( ) ( ) : x 2y
Caùch : Gọi = Đ ( )I I song song
: x + 2y + m = (m 5)
|5| | m | m (loại)
Theo đề : d(I; ) = d(I; ) | m |
m
2 2
1 2
( ) : x 2y
Caùch : Laáy : A( 5;0),B( 1; 2) A (9; 2),B (5; 0) A B : x 2y
3 Tìm ảnh đường trịn sau qua phép đối xứng tâm I :
2 2
1) (C) : x (y 2) 1,E(2;1) (C ) : (x 4) y
2) (C) : x
2 2
y 4x 2y 0,F(1;0) (C ) : x y 8x 2y 12 đ / nghiã hay biểu thức toạ độ
2
3) (P) : y = 2x x , taâm O(0;0)
E
2
(P ) : y = 2x x
HD : a) Co ù2 cách giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ Đ
Cách : Tìm tâm I I ,R R (ña õcho)
b) Tương tự
4 Cho hai điểm A B Cho biết phép biến đổi M thàn
I
h M cho AMBM hình bình hành
HD :
MA BM Nếu AMBM hình bình hành
MB AM Vì : MM MA AM MA MB (1)
Gọi I trung điểm AB Ta coù : IA IB
Từ (1) MM MI
IA MI IB MM 2MI
MI IM M Ñ (M) I
5 Cho ba đường tròn (I ;R),(I ;R),(I ;R) đôi tiếp1 2 3 xúc A,B,C Gỉa sử M điểm
A B C I1
(I ;R) , ngồi : 1 Đ
Đ
Ñ Ñ
MI N ; NI P ; PI Q CMR : MI Q
A A A
HD :
Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) A , nên : 1 2
Ñ Ñ Ñ
(17)
B B B
C C C
Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) B , nên : 2 3
Ñ Ñ Ñ
N P ;I2 I 3 NI2 PI3 NI2 PI (2)3
Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) C , nên : 3 1
Ñ Ñ Ñ
P Q ;I3 I 1 PI3
I I I
I I I
1
QI1 PI3 QI (3)1 Từ (1),(2),(3) suy : MI1 QI1 M Đ (Q) I
5 Cho ABC tam giác vuông A Kẻ đường cao AH Vẽ phía
ngồi tam giác hai hình vng ABDE ACFG
a) Chứng minh tập hợp điểm B,C,F,G,E,D co ùmột trục đối xứng b) Gọi K trung điểm EG Chứng minh K đường thẳn
g AH c) Gọi P = DE FG Chứng minh P đường thẳng AH
d) Chứng minh : CD BP, BF CP e) Chứng minh : AH,CD,BF đồng qui
DF DF DF DF
DF HD :
a) Do : BAD 45 CAF 45 nên ba điểm D,A,F thẳng hàng
Đ Đ Đ Ñ
Ta coù : A A ; D D ; F F ; C G ;
Ñ
B E (Tính chất hình vuông ) Vaäy : Taäp
l l l l
l
hợp điểm B,C,F,G,E,D co ù trục đối xứng đường thẳng DAF b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ABC = AEG nên BAC AEG
Nhưng : BCA AGE ( đối xứng = )
AGE A (do KAG cân K) Suy : A2 1 A 2 K,A,H thẳng hàng K AH c) Tứ giác AFPG hình chữ nhật nên : A,K,P thẳng hàng (Hơn K trung điểm AP )
Vậy : P PH
d) Do EDC = DBP neân DC = BP DC = BP
Ta coù : DB = AB BDC ABP CD BP BCD APB hai góc có cặp
BC = AP
caïnh : BC AP cặp cạnh cò
n lại : DC BP Lý luận tương tự , ta có : BF CP
e) Ta có : BCP Các đường thẳng AH, CD BF ba đường cao BCP nên đồng qui
2AB
6 Cho hai điểm A B gọi Đ Đ hai phép đối xứng tâm A B A B
a) CMR : ÑB ÑA T
b) Xác định ĐA Đ B
HD : a) Gọi M điểm , ta có : M
w
A
B Ñ
M : MA AM Ñ
M M : MB BM Nghóa : M = ĐB Đ (M), M (1)A
I I
B A
Ñ Ñ
Ta chứng minh : M M :
Bieát : MM MM M M
Maø : MM 2MA vaø M M 2M B
Vaäy : MM 2MA 2M B 2MA 2M A 2AB
Vì : MA
I w
2AB
(18)
2AB BA Từ (1) (2) , suy : ĐB ĐA T b) Chứng minh tương tự : ĐA ĐB T
7 Chứng minh hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với (H) có tâm đối xứng
HD : Dùng hình thoi
Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với
Lấy điểm M thuộc (H) M1 Đ (M) , Ma 2 Đ (M ) Khi , theob 1 định nghĩa M ,M1 2 (H)
Goïi O = a b , ta có : OM = OM MOM1 1 2AOM 1 OM = OM vaø M1 2
OM 2M OB
1
Suy : OM = OM vaø MOM2 1 M OM1 2 2(AOM +M OB)1 1
hay MOM1 90 180
Vậy : O trung điểm M M 2
Do : M2 Đ (M), M (H),MO 2 (H) O tâm đối xứng (H)
8 Cho
N
ABC có AM CN trung tuyến CMR : Nếu BAM BCN = 30 ABC HD :
Tứ giác ACMN có NAM NCM 30 nên nội tiếp đtrịn tâm O, bkính R=AC MON 2NAM 60 Đ
Xeùt : AI B (O)I
N
M M
Đ
(O ) B (O ) A (O) 1 1
Đ Đ
C B (O) (O ) B (O ) C (O) 2 2
OO1 OO2 2R
Khi , ta có : OO O tam giác 1 2
MON 60
Vì O B O B R R 2R O O neân B trung điể1 2 1 2
I I
m O O 1 2 Suy : ABC OO O (Vì đồng dạng với BMN) 1 2 Vì OO O tam giác nên ABC tam giác 1 2
Vấn đề : PHÉP QUAY
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN : Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng giác Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho OM = OM (OM;OM ) = gọi phép quay tâm O với
Phép quay hồn tồn xác định biết tâm góc quay Kí hiệu : Q .O
góc quay
Chú ý : Chiều dương phép quay chiều dương đường tròn lựơng giác 2k
Q phép đồng , k (2k+1)
Q phép đối xứng tâm I , k Tính chất :
ĐL : Phép quay
phép dời hình HQ :
1.Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng
Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia
(19)
(O ; )
Q Q
5 Tam giác thành tam giác (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) Q
6 Đường trịn thành đường trịn ( Tâm biến thành tâm : I I , R
I I
I = R )
7 Goùc thành góc B BÀI TẬP
(O ; )
/
1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) Tìm M = Q(O ; )(M) HD :
x = rcos Gọi M(x;y) Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = M
y = rsin
Q / /
Vì : MI M Gọi M (x ;y ) đo
/ /
ä daøi OM = r (Ox;OM ) = + Ta có :
x = rcos( + ) = acos cos asin sin x cos ysin
y = rsin( + ) = asin cos acos sin xsin y cos
x = x cos ysin
/ Vaäy : M
y = xsin y cos
(O ; ) (I ; )
o o (I ; )
o o Đặc biệt :
Q // x = x cos ysin
M M
y = xsin y cos
Q / x x = (x x )coso o (y y )sin o
M M
y y = (x x )sin (y y )cos
I(x ;y ) o o o
Q M
I(x ;y )
I I I w w
w
x x = (x x )cos (y y )sin
// o o o
M
y y = (x x )sino o (y y )coso
(O ; 45 )
2 Trong mpOxy cho phép quay Q Tìm ảnh : (O;45 )
2
a) Điểm M(2;2) b) Đường tròn (C) : (x 1) + y = Q
/ / /
Giaûi Goïi : M(x;y) I M (x ;y ) Ta coù : OM = 2, (Ox; OM)
= x = rcos( +45 ) r cos cos45 r sin sin 45 x.cos45 y.sin 45 /
Thì M
y = rsin( +45 ) rsin cos45 r cos sin 45 y.cos45 x.sin 45
2
x = x y
/ 2
M
2
y = x y
2
(O ; 45 )
(O ; 45 ) (O ; 45 )
Q
/
a) A(2;2) A (0 ;2 2)
Q /
Taâm I(1;0) Taâm I ?
b) Vì (C) : (C ) :
Bk : R = Bk : R = R = 2
Q 2 2 2 2
/ 2
I(1;0) I ( ; ) Vaäy : (C ) : (x ) + (y ) =
2 2
I
I
1
x = x y
2
3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : Hỏi f phép ?
3
y = x y
(20)
Giaûi
x = x cos ysin
3
Ta có f : M(x;y) M (x ;y ) với f phép quay Q
(O; )
y = xsin y cos 3
3
I
4 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x y+1= Tìm ảnh đường thẳng qua : a) Phép đối xứng tâm I(1; 2) b) Phép quay Q
(O;90 ) Giaûi
a) Ta có : M (x ;y ) = Đ (M) biểu thức I
x x x x
tọa độ M y 4 y y 4 y
Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 2(2 x ) ( y ) 2x y
M (x ;y ) ( ) : 2x y
I
(O;90 ) Đ
Vậy : ( ) ( ) : 2x y
Q
b) Cách : Gọi M(x;y) M (x ;y ) Ñaët (Ox ; OM) = , OM = r , Ta coù (Ox ; OM ) = + 90 ,OM r
x = rcos Khi : M y
I
I
(O;90 )
(
Q
x r cos( 90 ) rsin y x y
M
= rsin y rsin( 90 ) rcos x y x
Vì M(x;y) ( ) : 2(y ) ( x ) + = x 2y + = M (x ;y ) ( ) : x 2y Q
Vaäy : ( )
I
I O;90 ) ( ) : x 2y 0
(O;90 ) (O;90 ) (O;90 )
Q
Caùch : Laáy : M(0;1) ( ) M ( 1;0) ( )
Q
1
N( ;0) ( ) N (0; ) ( )
2
Q
( ) ( ) M N : x 2y
I I I
(O;90 ) (O;90 )
Q 1
Cách : Vì ( ) ( ) ( ) ( ) mà hệ số góc : k k
2 Q
M(0;1) ( ) M (1;0) ( )
Qua M (1;0)
( ) : hsg ; k = ( )
I I
: x 2y
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) Hãy tìm toạ độ điểm A ảnh
o A qua phép quay tâm O góc 90 HD :
Gọi B(3;0),C(0;4) hình chiếu A lên trục Ox,
Oy Phép o
quay tâm O góc 90 biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OC A B Khi : C (0;3),B ( 4;0) Suy : A ( 4;3)
6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Tìm phép quay Q biến điểm A( 1;5) thành điểm B(5;1)
OA OB 26
HD : Ta có : OA ( 1;5) OB (5;1)
OA.OB OA OB
B = Q
(21)
7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M(4;1) Tìm N = Q (M) (O ; 90 ) HD :
Vì N = Q (M) (OM;ON) 90 OM.ON = 4x+y = y= 4x (1)
(O ; 90 )
2
Do : OM ON x y 16 17 (2)
Giải (1)
(2) , ta coù : N(1; 4) hay N( 1;4)
Thử lại : Điều kiện (OM;ON) 90 ta thấy N( 1;4) thoả mãn
w
8 a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) Tìm B = Q (A) (O ; 45 ) HD : Phép quay Q biến điểm A Oy thành điểm B đt : y x,ta có :
(O ; 45 )
xB yB 2 2
Maø OB = xB yB x
OA OB
o
3 B( ; ).
B 2 2 2
4 3
b) Cho A(4;3) Tìm B = Q (A) B ( ; )
(O;60 ) 2
2
9 Cho đường tròn (C) : (x 3) (y 2) Tìm (C ) = Q (C)
(O ; 90 )
2
HD : Tìm ảnh tâm I : Q (I) I ( 2;3) (C ) : (x 2) (y 3)
(O ; 90 )
2
10 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 3) Tìm (C ) =
Q (C)
(O ; 60 )
2
HD : Tìm ảnh tâm I : Q (I) I ( 2;2 3) (C ) : (x 2) (y 3)
(O ; 60 )
2
11 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2) Tìm (C ) = Q (C)
(O ; 45 )
2
HD : Tìm ảnh tâm I : Q (I) I (1 2;1 2) (C ) : (x 2) (y 2)
(O ; 45 )
12 [CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) đường thẳng (d) : x + y = Tìm ảnh A (d) qua phép quay Q
(O ; 90 ) HD :
Ta có : A(2;0) Ox Gọi B = Q (
(O ; 90 )
w
A) B Oy OA = OB Vì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y = nên A,B (d)
Do B = Q (A) tương tự Q (A) = C( 2;0)
(O ; 90 ) (O ; 90 )
x y x y
neân Q (d) = BC (BC) :
(O ; 90 ) xC yC 2
w
1 x y 0
13 Cho (d) : x 3y = Tìm = Q (d) ( ) : 3x y
(O ; 90 )
14 Cho (d) : 2x y = Tìm = Q (d)
(O ; 60 )
1 aûnh
HD : d Ox = A(1;0) , d Oy = B(0;2) A ( ; ),B ( 3;1)
2 ( ) : ( 2)x (2 1)y 0
15 Cho tam giác ABC có tâm O phép quay Q (O;120 ) a) Xác định ảnh đỉnh A,B,C
b) Tìm ảnh ABC qua phép quay Q
(22)
Giải
a) Vì OA = OB = OC vaø AOC BOC COA 120 neân Q : A B,B C,C A
(O;120 )
b) Q : ABC ABC
(O;120 )
I I I
16 [CB-P19] Cho hình vuông ABCD tâm O a) Tìm ảnh điểm C qua pheùp quay Q
(A ; 90 ) b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay Q
(O ; 90 )
HD : a) Goïi E = Q (C) AE=AC va
(A ; 90 )
ø CAE 90 nên AEC
vng cân đỉnh A , có đường cao AD Do : D trung điểm EC
b) Ta coù : Q (B) C vaø Q (B) C Q (BC) CD
(O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 )
17 Cho hình vuông ABCD tâm O M trung điểm AB , N trung điểm OA Tìm ảnh AMN qua phép quay Q
(O;90 )
HD : Q (A) D , Q (M) M trung điểm cuûa A
(O;90 ) (O;90 )
w
D
Q (N) N trung điểm OD Do : Q ( AMN) DM N
(O;90 ) (O;90 )
18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác ABCDEF , O tâm đường trịn ngoại tiếp Tìm ảnh OAB qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O
OE
OE (O;60 )
(O;60 ) (O;60 ) (O;60 )
OE OE OE
, góc 60 phép tịnh tiến T
HD :
Gọi F = T Q Xeùt :
Q (O) O,Q (A) B,Q (B) C
T (O) E,T (B) O,T (C) D Vaäy : F(O) = E , F(A) = O ,
w w
w F(B) = D F( OAB) = EOD
19 Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương , O tâm đường tròn ngoại tiếp I trung điểm AB
a) Tìm ảnh AIF qua pheùp quay Q
(O ; 120 )
b) Tìm ả
nh cuûa AOF qua pheùp quay Q
(E ; 60 ) HD :
a) Q biến F,A,B thành B,C,D , trung điểm I (O ; 120 )
thành trung điểm J CD nên Q ( AIF) CJB
(O ; 120 )
b) Q bieán
(E ; 60 )
w
w A,O,F thành C,D,O
15 Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự thẳng hàng Vẽ phía dựng hai tam giác ABE BCF Gọi M N tương ứng hai trung điểm AF CE Chứng minh : BMN tam giác HD :
Xeùt pheùp quay Q(B; 60 ).Ta coù : Q(B; 60 )(A) E , Q(B; 60 )(F) C Q(B; 60 )(AF) EC
Do M trung điểm AF , N trung điểm EC , nên :
Q(B; 60 )(M) N BM
(23)
21 [ CB-1.17 ] Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Điểm A chạy nửa đường trịn Dựng phía ngồi ABC hình vuông ABEF Chứng minh : E chạy
nửa đ
ường cố định
HD : Gọi E = Q (A) Khi A chạy nửa đường tròn (O) , (B;90 )
E chạy nửa đường tròn (O ) = Q [(O)] (B;90 )
22 Cho đường (O;R) đường thẳng không cắt đường tròn Hãy dựng ảnh ( ) qua phép quay Q
(O ; 30 ) Giải
Từ O hạ đường vng góc OH với Dựng điểm H cho
(OH
;OH ) = 30 OH = OH Dựng đường tròn qua điểm O,H,H ; đường tròn cắt điểm L Khi LH đường thẳng phải dựng
23 Cho đường thẳng d điểm O cố định không thuộc d , M điểm di động d Hãy tìm tập hợp điểm N cho OMN Giải : OMN OM ON NOM 60 Vì M chạ
y d : N chạy d ảnh d qua phép quay Q
(O;60 ) N chạy d ảnh d qua phép quay Q
(O; 60 )
24 Cho hai đường tròn (O) (O ) cắt A B Từ điểm I cố định kẻ cát tuyến di động IMN với (O) , MB NB cắt (O ) M N Chứng minh đường thẳng
M N luôn qua điểm cố định
Giải
Xét phép quay tâm A , góc quay (AO; AO ) = biến (O) thành (O ) Vì MM NN qua B nên (AO;AO ) = (AM;AM ) = (AN;AN ) Qua pheùp quay Q : MI
(A; )
M , N N Q
MN M N
Đường thẳng MN qua điểm cố định I nên đường thẳng M N qua điểm cố định I ảnh I qua Q(A; )
I I
25 Cho hai hình vuông ABCD BEFG
a) Tìm ảnh ABG phép quay Q
(B; 90 ) b) Gọi M,N trung điểm AG CE Chứng minh BMN vng cân
Giải
BA BC a) Vì
(BA;
BG BE
vaø
BC) 90 (BG;BE) 90
Q : A C,G E Q : ABG CBE
(B; 90 ) (B; 90 )
b) Q : AG CE Q : M N BM BN vaø (BM;BN) = 90
(B; 90 ) (B; 90 )
BMN vuông cân taïi B
I I
I
(24)
HD :
Xét phép quay Q : Kéo dài FA đoạn AD = AF (A;90 )
Vì AF = AC AC = AD nên suy : Q biến B , C thành E , D (A;90 )
Đ/nghó nên gọi trung điểm K DE K= Q (M)
(A;90 )
a MA AK (1) Trong DEF , AK đường trung bình nên AK // FE (2)
Từ (1),(2) suy : AM FE AH đường cao AEF
27 Cho hình vng ABCD có cạnh có đỉnh vẽ theo chiều dương Các đường chéo cắt I Trên cạnh BC lấy BJ = Xác định phép biến đổi AI thành BJ
HD
AB
: Ta coù : AI= AI BJ Lại có : (AI,BJ) 45
2
BJ = Q (AI) Tâm O = ttrực AB cung chứa góc 45 (O;45 )
qua A,B BJ = Q (AI)
(O;45 )
28 [CB-1.18] Cho ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng BCIJ,ACMN,ABEF gọi O,P,Q tâm đối xứng chúng
a) Gọi D trung điểm AB Chư
ùng minh : DOP vuông cân D b) Chứng minh : AO PQ AO = PQ
HD :
a) Vì : AI = Q (MB) MB = AI vaø MB AI
(C;90 )
w
Mặt khác : DP BM , DO
2 AI
DP = vaø DO DOP vuông cân D
(D;90 ) (D;90 ) b) Từ câu a) suy :
Q Q
O I P,A I Q OA PQ
29 Cho ABC có đỉnh kí hiệu theo hướng âm Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDE BCKF Gọi P trung điểm AC , H điểm đối xứng D qua B , M tr
ung điểm đoạn FH
a) Xác định ảnh hai vectơ BA BP phép quay Q (B;90 ) b) Chứng minh : DF BP DF = 2BP
HD :
BA = BH (cùng BD) a) Ta coù :
(BA;BH) = 90
90 90
H QB (A) BH QB (BA)
90 90 90
Vì : QB (A) H,QB (C) F QB (AC) HF
90 90
Mà : F trung điểm AC , QB (F) M trung điểm HF Do : QB (BP) BM
90
b) Vì : QB (BP) BM BP BM,BP BM
1
Mà : BM = DF BM // DF (Đường trung bình HDF ) Do : BP = DF , DF BP
(25)30 Cho tứ giác lồi ABCD Về phía ngồi tứ giác dựng tam giác ABM , CDP Về phía tứ giác, dựng hai tam giác BCN ADK Chứng minh : MNPK hình bình hành
H
(B;90 )
(D;90 ) 60
D : Xeùt pheùp quay QB : M A , N C
Q
MN AC MN AC (1)
60
Xeùt pheùp quay QD : P C , K A
Q
PK CA PK CA (2)
Từ (1) , (2) suy : MN = PK Lí luận , tươ
I I
I
I I
I
ng tự : MK = PN MKNP hình bình hành
(B;60 ) (B;60 )
31 Cho ABC Về phía ngồi tam giác , dựng ba tam giác BCA ,ACB ,ABC Chứng minh : AA ,BB ,CC đồng quy 1 1 1 1 1 1 HD :
Q Q
Gỉa sử AA1 CC1 I Xét : A1 C,A C1
A A1
I I
I
(B;60 )
Q
CC1 (A A;CC ) 601 1 AJC1 60 (1)
Lấy CC điểm E cho : IE = IA Vì EIA 601 EIA
(A;60 ) (A;60 ) (A;60 )
Q Q Q
Xeùt : B C ,I1 E , B1 C
Vì : C ,B,C thẳng hàng nên B,I,B thẳng hàng 1 1 AA ,BB ,CC đồng quy 1 1 1
I I I
32 Chứng minh đoạn thẳng nối tâm hình vng dựng cạnh hình bình hành phía ngồi , hợp thành hình vng
HD : Gọi I ,I ,I ,I tâm của1 4
(I;90 )
hình vuông cạnh AB,BC,CD,DA Dùng phép quay Q(I;90 ) : B C Vì I BA1 I CD3
CI3 BI vaø DCI1 3 ABI1 45 Maø DC // AB CI3 BI1 Q
Vaäy : I3 I1 I I2 1 I I vaø I I2 3 2 1 I I 2 3 Lý luận tương t
I
I
ự , ta có : I I I I hình vng 1 4 Vấn đề : HAI HÌNH BẰNG NHAU
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐL : Nếu ABC A B C hai tam giác có phép dời hình biến ABC thành A B C Tính chất :
Nếu thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình
Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình B BÀI TẬP
1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự trung điểm cạnh AB,CD,BC,EF Hãy tìm phép dời hình biến AEI thành FCH
HD :
Thực liên tiếp phép tịnh tie
án theo AE phép đối xứng qua đường thẳng IH
(26)
ÑIH: E F,B C,H H Ñ ( EBH)IH FCH
ÑIH AE: T ( AEI) FCH
Do : ĐIH TAE( AEI) FCH AEI FCH
I I I
w w
2 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm đối xứng ; E,F,G,H,I,J theo thứ tự trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh : Hai hình thang AJOE GJFC
nhau HD :
Phép tịnh tiến theo AO biến A,I,O,E thành O,J,C,F Phép đối xứng qua trục OG biến O,J,C,F thành G,J,F,C
Từ suy phép dời hình có cách thực liên tiếp hai phép biến hình biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC Do hai hình thang
3 [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) đường thẳng (d) : 2x y = Tìm ảnh (d) qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay Q phép tịnh tiến
(O;90 ) T u
(O;90 ) u
Q T
HD : PP : d d d
Goïi d Q (d) Vì tâm O d nên Q (O) O d
(O;90 ) (O;90 )
Maët khaùc : d d d : x 2y C (C 0) mà d qua O nên C = d : x + 2y = Caùch khaùc : Choïn
I I
w
(O;90 ) Q
M(1;2) d M d
x OM cos( 90 ) x OM cos cos90 OMsin sin 90 x x cos90 ysin 90
Ta coù : M
y OMsin( 90 ) y OMsin cos90 OM cos sin90 y y cos90 xsin 90
I
x 1cos90 2sin 90 x M ( 2;1)
y y cos90 1sin 90
Goïi d T (d )u d // d d : x 2y C
x x x
Goïi O T (O)u OO = u O (3;1)
y y y
Vì d O C
w
C d : x 2y
Vaäy :T Qu (d) (d ) : x 2y
(O;90 )
2
4 Tìm ảnh đường tròn (C) : x y 2x 4y có cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo u = (3; 1) phép ĐOy
ÑS : (C ) : (x + 4) 2(y 3) 29
2
5 Tìm ảnh đường tròn (C) : x y 6x 2y có cách thực liên tiếp phép quay Q phép ĐOx
(O;90 )
HD : (C) có tâm I(3;1) , bk : R = Khi :
(C) : I(3;1)
(O;90 ) Ox
Q Ñ
, R = (C ) : I ( 1;3) , R = (C ) : I ( 1; 3) , R =
2
(C ) :(x + 1) (y 3)
I I
6 [CB-P23] Trong mpOxy cho điểm A( 3;2),B( 4;5) C( 1;3)
(27)
(O;
Q phép đối xứng ĐOx Tìm toạ độ đỉnh A B C 1 1 (O; 90 )
HD :
a) Gọi M,N hình chiếu A Ox,Oy M( 3;0),N(0;2)
Q Khi : Hình chữ nhật OMANI
90 )
(O; 90 )
hcnhật OM A N với M (0;3),N (2;0)
Do : A (2;3) = Q (A)
(O; 90 )
Ttự : B (5;4) = Q (B),C (3;1) = Q (C)
(O; 90 ) (O; 90 )
Q
Cách khác : Gỉa sử AI A AOA vuông c
ân O
Điều : OA = OA = 13, OA.OA Làm tương tự cho B,C ta có điều cần chứng minh
b) Pheùp quay : Q ( ABC) A B C ,ÑOx( A B C ) A B C1 1
(O; 90 )
w
1
xA xA
Khi : A (2; 3).Ttự : B (5; 4),C (3; 1).1 1 1
yA yA
2 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P ) : y 2x ,1
2
(P ) : y 2x2 4x Khẳng định sau sai ?
2
A) y 2x 4x y 2(x 1)
B)
Tịnh tiến sang trái đơn vị xuống đơn vị ta (P ).2 C) (P ) (P ) 1 2
D) Phép tịnh tiến theo u = (1; 3) biến (P ) thành (P ) 1 2 ÑS : B)
8 Trong mpOxy ,
(O;90 )
cho điểm A(2;0),B(4;4),C(0;2) D( 4;4) Khẳng định sau sai ?
A) Các OAC, OBD tam giác vuông cân Q
B) Pheùp quay : OAB OCD
C) OAB OCD hai hìI nh
D) Tồn phép tịnh tiến biến A thành B C thành D ÑS : D)
9 Trong mpOxy cho ABC với A( 3;0),B(0;3),C(2;4) Phép biến hình f biến A thành A ( ;3) , B thành B (2;6),C thành C (4;7) Khẳng định sau ?
3 A) f phép quay Q B) f phép đối xứng tâm I( 1; )
(O;90 )
C) f phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;3) D) f phép đối xứng trục ĐS : C)
Vấn đề : PHÉP VỊ TỰ
ĐN : Cho điểm I cố đinh số k Phép vị tự tâm I tỉ số k
k
Kí hiệu : V , phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho IM k IM.I
k I
k Biểu thức tọa độ : Cho I(x ;y ) phép vị tự V o o I
x = kx+ (1 k)x
V k o
M(x;y) M V (M) (x ;y ) I
y = ky+ (1 k)yo
(28)
3 Tính chất :
k k
1 M V (M), N V (N) M N = kMN , M N = |k|.MNI I
2 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tia thành tia
5 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên |k| Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với
7 Đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = |k|.R Biến góc thành góc
B BÀI TẬP
1 Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm I , tỉ số k :
a) A(1;2) , I(3; 1) , k =
A ( 1;5) b) B(2; 3),I( 1; 2),k B ( 10;1)
1
c) C(8;3), I(2;1) , k =
2
C (5;2)
2 1
d) P( 3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I O,k = 1/ P (1; ),Q ( ; )
3 3
(I;2)
2
,R ( ; )
3
V x 3 4
HD : a) Goïi : A(1;2) A (x ;y ) IA 2IA (x 3;y 1) 2( 2;3)
y
x
A ( 1;5) y
I
2 Cho ba điểm A(0;3),B(2; 1),C( 1;5) Tồn hay không tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ?
HD : Gỉa sử tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B
(A;k)
nh C
V 1 k(2) 1
Khi : B C AC kAB 2 k( 4) k
2 Vậy : Tồn phép vị tự V 1 : B C
(A; )
3 Cho ba điểm A( 1;2),B(3;1),C(4;3) Tồn hay không toàn ta
I
I
(A;k)
ïi phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ?
HD : Gỉa sử tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C V
Khi : BI C AC kAB (1)
4 Cho OMN Dựng ảnh M,N qua phép vị tự tâm O , tỉ số k trường hợp sau :
1
a) k = b) k = c) k =
2
Giaûi
3
a) Phép vị tự V : MO I M , NI
N ta có OM 3OM,ON 3ON 1/2
b) Phép vị tự VO : M H , N K HK đường trung bình OMN
3/4
c) Phép vị tự VO : M P , N Q ta có OP OM,OQ
4
I I
I I
(29)5 Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O Dựng : a) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O , tỉ số k =
b) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị t
1 ự tâm O , tỉ số k =
2 Giải
2
a) Gọi V : AO A OA 2OA
B B OB 2OB C C OC 2OC D D O
I I I
I
D 2OC
V : ABCDMO A B C D
Ta veõ : AB// A B ,BC// B C ,CD // C D ,DA // D A
1/2
b) Goïi VO : A P OP OA
2 B Q OQ OB
2
I I I
1
C R OR OC
2 D S OS OD
2 1/2
VO : ABCDM PQRS
Ta veõ : AB// PQ,BC// QR,CD // RS,DA // SP
I I
6 Cho ABC có AB = 4, AC = , AD phân giác A ABC (D BC) Với giá trị k phép vị tự tâm D , tỉ số k biến B thành C
HD :
Theo tính chất phân gi
( D; 3/2 ) ác A , ta coù :
V
DB AB DC 3DB B C
AC
DC
Do DB DC ngược hướng
I
7 Cho ABC vuông A AB = 6, AC = Phép vị tự V 3 biến B thành B ,C thành C (A; )
2 Khẳng định sau sai ?
9
A) BB C C hình thang B) B C = 12 C) SAB C SABC D) Chu v
4
(A;3/2)
2
i ( ABC) = Chu vi( AB C )
HD :
V
A) B C BC
3 2 2
B) sai : B C = BC AB AC 15
2
w w
1.AB AC 3.AB .AC3
SAB C 2 2 2 9
C) :
1
SABC .AB.AC AB.AC
2
Chu vi AB C
D) :
Chu vi ABC
w w
(30)
1
HD : Gọi I trung điểm BC Ta có I cố định Nếu G trọng tâm ABC IG IA 1/3
Vậy G ảnh A qua phép vị tự VI
Tập hợp điểm A đường tròn (O) nên tập hợp G đường tròn (O ) , ảnh đường trịn 1/3
(O) qua phép vị tự VI
9 Trong mpOxy , cho điểm A( 1;2) đường thẳng d
qua A có hệ số góc Gọi B đường
thẳng di động d Gọi C điểm cho tứ giác OABC hình bình hành Tìm phương trình tập hợp :
a) Các tâm đối xứng I hình bình hành b) Các trọng tâm G tam giác ABC HD :
a)
Qua A( 1;2)
(AB): (AB) : y 1(x 1) y x
Hsg : k =
1
Vậy B chạy d I chạy d // d qua trung điểm M( ;1) đoạn OA
3 Vaäy d : x y =
2 b) Ta
w
w
w coù : OG 2OB G VO2/3(B) Vậy G chạy đt d // d qua điểm N( 4; ) VO2/3(A)
3 3
d : x y =
10 Tìm ảnh đường thẳng d qua phép vị tự tâm I , t
ỉ số k :
a) d : 3x y = ,V(O; ) d : 9x 3y 10
b) d : 2x y = ,V(O;3)
d : 2x y 12
c) d : 2x y = ,V(I; 2) với I( 1;2) d : 2x y d)
d : x 2y = ,V(I;2) với I(2; 1) d : x 2y 0 11 Tìm ảnh đường trịn (C) qua phép vị tự tâm I , tỉ số k : (Có cách giải )
2
a) (C) : (x 1) (y 2) = ,V(O; 2) (C) : (x 2) (y 4) = 202
2 2
b) (C) : (x 1) (y 1) = ,V(O; 2) (C) : (x 2) (y 2) = 16
2
c) (C) : (x 3) (y 1) = ,V(I; 2) với I(1;2)
(C) : (x 3)2 (y 8) = 202
12 Tìm phép vị tự biến d thành d : x y
a) d : 1,d : 2x y 0,V(O;k)
k =
3 HD : d : 2x y // d : 2x y Laáy A(2;0) d,B(3;0) d
3
Vì : phép vị tự V(O;k) : A B OB kOA Vì : OA= (2;0),OB (3;0) OB OA
2
I
3
V(O; ) V(O; )
2
Vaäy : A B d d
Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng nằm đường thẳng Để đơn giản ta chọn chúng nằm Ox Oy
I I
2 2
b) (C ) : (x 4)1 y ; (C ) : (x 2)2 (y 3) V(I; 2),I( 2;1) HD :
(C ) có tâm I ( 4;0),R1 1 1 , (C ) có tâm I (2;3),R2 2 2 2 V(I;k)
Gỉa sử :(C )1 I w
(31)
R2
R2 | k | R1 | k | k
R1 II2 kII 1
k = Gọi I(x ;y ) (2 x ;3 y )o o o o 2( x ; y )o o I( 2;1) k = Goïi I(x ;y ) (2 x ;3 y ) 2( x ; y )o o o o o o I( 10; 3)
« «
Vậy có phép vị tự biến (C )1 (C ) V(I; 2) với I( 2;1) V(I;2) với I( 10; 3)2
2 2
13 Trong mpOxy , cho đường tròn (C ) : (x 1)1 (y 3) = (C ) : (x 4)2 (y 3) = a) Xác định toạ độ tâm vị tự hai đường trịn
b) Viết phương trình tieáp tuyeán c
hung ngồi hai đường trịn HD : (C ) có tâm I (1;3) , bk : R1 1 1 ; (C ) có tâm I (4;3) , bk : R2 2 2
a) Gọi I tâm vị tự (C ) (C ) , ta có : II1 2 2 kII với1 k = R2 2 I( 2;3)
R1
b) Tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn tiếp tuyến từ I đến (C ).1
Gọi đt qua I có hệ số góc k :y = k(x+2) ky y 2k
tiếp xúc (C )1 d(I ; ) R1 1 k
2
: 2.x 4y 12
: 2.x 4y 12 2
14 Cho đường trịn (O,R) đường kính AB Một đường tròn (O ) tiếp xúc với (O,R) đoạn AB C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) I Chứng minh : AI BI
HD :
C tâm v
w
ị tự đường tròn (O) (O ) D (O ), I (O) ba điểm C,D,I thẳng hàng Gọi R bán kính đường trịn (O ) , :
R R
VC : O O ,I D
OI // O D OI AB (V
I I
w
ì O D AB) I trung điểm AB AI BI
15 Cho hai đường tròn (O,R) (O , R ) tiếp xúc A (R > R ) Đường kính qua A cắt (O,R) B cắt (O , R ) C Một đường
thẳng di động qua A cắt (O, R) M ca
ét (O , R ) taïi N Tìm quỹ tích I = BN CM HD :
IC CN
Ta có : BM // CN Hai BMI NCI Do :
IM BM
AC CN
Hai ACN ABM Do :
AB BM
IC AC 2R R IC R
IM AB 2R R IM IC R R
R
V(C;k )
CI R CI R CM M : R R I
CM R R R R
Vậy : Tập hợp điểm I đường tròn ( ) vị tự đường
I
R tròn (O,R) phép vị tự V(C ;k )
R R
16 Cho ABC Gọi I , J M theo thứ tự trung điểm AB, AC IJ Đường tròn ngoại tiếp tâm O AIJ , cắt AO A Gọi M chân đường vng góc hạ từ A xuống BC
(32)
HD :
Gọi M trung điểm BC Ta có : AB 2AI AC 2AJ1 V(A;2)
Từ : AIJ ABC Khi :
V(A;2): O A ,M M 1 OM IJ A M1 BC
Như : M1 M A,M,M thẳng hàng ( A,M
I I
,M thẳng hàng )1
17 Cho ABC Gọi A ,B ,C tương ứng trung điểm BC,CA,1 1 AB Kẻ A x,B y,C z song song với đường phân giác trong1 1 1 góc A,B,C ABC Chứng minh : A x,B y,C z1 1 1 đồng quy.
HD :
1
Xét phép vị tự tâm G , tỉ số G trọng tâm ABC ,
I tâm đường trịn nợi tiếp ABC
Ta coù : AJ A x , BI1 B y , CI1 C z ,1
GI
I J ( ) A x,B y,C z đồng quy tạ1 1 1
GJ
I I I
I i J
18 Cho hai đường tròn (O ,R ) (O ,R ) nhau1 1 2 2 R1 R Một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc 2 với (O ) A tiếp xúc với (O ) B Chứng1 2 minh : Đường thẳng AB luôn qua điểm cố định
HD :
A tâm vị tự biến (O ) thành (O) : AO AO ngược hướng 1 1 B tâm vị tự biến (O) thành (O ) : AO AO ngược hướng 2 1 Kéo dài AB cắt (O ) C : AO và 2 CO ngược hướng 2
Vậy : AO CO ngược hướng Như AC hay là1 2 AB phải qua tâm I tâm vị tự (O ) (O ) 1 2
19 Cho ABC Người ta muốn định ba điểm A ,B ,C cạnh BC,CA,AB cho A B C A B CA , B C AB C A BC
1 Gọi E,F,K chân đường cao
phát xuất từ A,B,C
2/3 2/3 2/3
Đặt : C = VB (A),A = VB (E),B = VB (F) 2/3
a) Nghiệm lại : A = VB (E) B C CK b) Suy : A B C
2 Chứng minh trực
tâm H ABC trọng tâm A B C HD :
a
Trong ABC đướng cao : AE = BF = CK = .(a cạnh ABC)
E,F,K trung điểm cạnh
1 a) Vì A = V
2 2
2/3(E) BA BE BC CA ( BC) CA CB Vaäy : A = V2/3(E)
B 3 3 2 3 B
2 2
2/3 2/3
Vì C = VB (A) BC BA BA AC BA AC BA AK B = VA (C)
3 3
2/3 2/3
A A
V V
Vaäy : C B , K C B C CK
3
(33)
B C // CK cuøng AB
b) Ta coù : B C CK 2 a 3
3 B C = CK =
3
2 2
Tương tự : C A AE A B BF
3
a 3
Vậy : B C AB,C A BC,A B AC B C =C A =A B = A B C
3
2 Trực tâm H ABC trọng tâm tam giác , nên :
2 2
BH BF Maø : BC BA BH BC (BF BA) C H AF
3 3
Vaäy : C H // AF Suy : C
H A B Lý luận tương tự : A H B C
Vấn đề : PHÉP ĐỒNG DẠNG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ĐN : Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm M , N ảnh M , N ảnh chúng , ta có M N = k.MN
2 ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) hợp thành phép vị tự tỉ số k phép dời hình D
3 Hệ : (Tính chất ) Phép đồng dạng :
1 Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) Biến đường thẳng thành đường thẳng
3 Biến tia thành tia
4 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên k ( k tỉ số đồn
g dạng ) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với ( tỉ số k)
6 Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = k.R Biến góc thành góc
4
Hai hình đồng dạng :
ĐN : Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng biến hình thành hình F
H đồng dạng G F đồng dạng : H I G
Cho điểm M
a) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép đối xứng trục Đ phép vị tự V tâm O ,a với O a , tỉ số k =
b) Dựng ảnh phép đồng dạng F
2
a O
hợp thành phép vị tự V tâm O , tỉ số k = phép quay tâm I với góc quay = 90
Giải
Đ V
a) Goïi : M M1 M2
M (a) M1 M M trung điểm OM2 M (a) v
I I
w
w
à O M :1 a trung trực đoạn MM1 M trung điểm đoạn OM 1 2 M (a) O M :1
a trung trực đoạn MM1 M trung điểm đoạn OM 1 2 b) Gọ
w
3 90
O I
V Q
i M M1 M Khi : 2
OM1 3OM , IM = IM vaø (IM ;IM) 901 1
(34)
2 Cho ABC có đường cao AH H đoạn BC Biết AH = , HB = , HC = Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC F hợp thành hai phép biến hình ?
A) P
1 hép đối xứng tâm H phép vị tự tâm H tỉ số k =
2 B) Phép tịnh tiến theo BA phép vị tự tâm H tỉ số k = C) Phép vị tự tâm H tỉ số k = phép quay tâm H , góc (H
B;HA) D) Phép vị tự tâm H tỉ số k = phép đối xứng trục
HD :
Phép V Q(H; ) với = (HB;HA) : BH A, A C
Vậy : F phép đồng dạng hợp thành V Q biến HB
I I
A thaønh HAC
3 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Trên cạnh AB lấy điểm I cho IA 2IB gọi G trọng tâm ABD F phép đồng dạng biến AGI thành COD F hợp thành
hai phép biến hình sau ?
A) Phép tịnh tiến theo GO phép vị tự V(B; 1) B) Phép đối xứng tâm G phép vị tự V(B; )
2
C) Phép vị tự V(A; ) phép đối xứng
2 taâm O
2
D) Phép vị tự V(A; ) phép đối xứng tâm G
2/3
O A
HD :
3 Vì G trọng tâm ABD nên AO AG
2
Theo giả thiết , ta coù : AB AJ
Phép đối xứng tâm O , biến A thành C B thành D ( O bất biến ) Đ
V
AI AI
2/3 2/3
O O
A Ñ A Ñ
V V
C G I O I O I I B I D
O
V(A; ) Ñ
2
AGI AOB COD
Phép đồng dạng F