SỞ GD & Đ T BÌNHPHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 Năm học : 2008 - 2009 Môn : Toán Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 20 /3 /2009 Câu 1 ( 2 điểm) Cho phương trình (m + 2)x 2 – 2(m – 1 )x + m - 2 = 0 . Với m là tham số, tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương. Câu 2 : (2 điểm) Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: T = 3 a a b c+ + + 3 b b a c+ + + 3 c c b a+ + ≤ 3 5 Câu 3 :(2 điểm) Giải phương trình : 2 x + 2 2 ( 1) x x + = 3 Câu 4 : (1 điểm) Viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành một hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi số đã viết với số thứ tự chỉ vị trí mà nó đứng. Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai tổng mà chữ số tận cùng của tổng đó là như nhau. Câu 5 : (3 điểm) Cho tam gíac ABC vng tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC tại D, M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) tại N, cắt BC tại E. a . Chứng minh O, N, O’ thẳng hàng. b . Gọi I là trung điểm MN, chứng minh góc OIO’ vng. H ẾT Số báo danh thí sinh:……………………… Chữ ký giám thị 1:………………………… Chữ ký giám thị 2:………………………… ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GD & Đ T BÌNHPHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 Năm học : 2008 - 2009 ĐÁP ÁN MƠN TỐN(Đề thi chính thức) Câu 1 ( 2 điểm) Cho phương trình (m + 2)x 2 – 2(m – 1 )x + m - 2 = 0 . Với m là tham số . Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương. * Xét m = - 2 => 6x = 4 => x = 2 3 ( nhận m = - 2) * Xét m ≠ - 2 => ' ∆ = - 2m + 5 ' ∆ = 0 => m = 5 2 khi đó PT có nghiệm kép x = 1 3 => (nhận m = 5 2 ) * Phương trình có đúng một nghiệm dương khi P < 0 ⇔ -2 < m < 2 . * Xét p = 0 =>m = 2 => 4x 2 - 2x = 0 => x = 0 , x = 1 2 => m = 2 nhận. KL : -2 ≤ m ≤ 2 , m = 5 2 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 Câu 2 : (2 điểm) Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng : T = 3 a a b c+ + + 3 b b a c+ + + 3 c c b a+ + ≤ 3 5 đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a => x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c => 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ; => 10T = 4 ( )x y z x − + + 4 ( )y x z y − + + 4 ( )z x y z − + = = 12 – ( y x + z x + x y + z y + x z + y z ) ≤ 12 -6 =6 => T ≤ 3 5 Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 Câu 3 :(2 điểm) Giải phương trình : x 2 + 2 2 ( 1) x x + = 3 ĐK: x ≠ - 1 ⇔ ( x - 1 x x + ) 2 = 3 – 2 2 1 x x + ⇔ ( 2 1 x x + ) 2 + 2 2 1 x x + - 3 = 0 => 2 1 x x + = 1 => x 1,2 = 1 5 2 ± Hoặc 2 1 x x + = -3 vơ nghiệm 0.25 1.0 0.5 0.25 Câu 4 : (1 điểm) Viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành một hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi số đã viết với số thứ tự chỉ vị trí mà nó đứng. Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai tổng mà chữ số tận cùng của tổng đó là như nhau. Gỉa sử các số từ 1 đến 10 được viết thành : a 1 , a 2 , a 3 ,…….a 10 . Lập dãy mới theo yêu cầu bài toán: A 1 = a 1 +1; A 2 = a 2 +2;… , A 10 = a 10 +10 => A 1 +A 2 +A 3 +…….+A 10 = 2(1+2+3+… +10)=110 110 là số chẵn nên không có trường hợp 5 số A i nào đó là lẽ và 5 số A j nào đó là chẵn mà chỉ xẫy ra : số A i >5 hoặc A j >5. Từ 1 đến 10 chỉ có 5 vò trí chẵn , 5 vò trí là lẽ p dụng nguyên tắc Đêriclê=> hoặc có ít nhất hai số A i lẽ tận cùng như nhau hoặc ít nhất hai số A j có chữ số tận cùng như nhau. 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5 : (3 điểm) Cho tam gíac ABC vng tại A , đường tròn (O) đường kính AB, cắt đường tròn(O’) đường kính AC tại D . M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn(O) tại N, cắt BC tại E. a . Chứng minh O, N,O’ thẳng hàng. b . Gọi I là trung điểm MN , chứng minh góc OIO’ vng. * Giám khảo tự vẽ hình a . CM tam giác ABE cân đỉnh B => BN vừa là đường cao vừa là trung tuyến => NA = NE Có OA=OB, O’A =O’C => O,N,O’ thẳng hàng b. O’M ⊥ BC => O’M ⊥ OO’ => Tam giác NO’M vng => NI =IO’ = IM => · 'IO N = · 'O NI = · ANO = · NAO => Tứ giác OAO’I nội tiếp=> góc OIO’ vng 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Trên đây là lời giải tốn tắt khi chấm giám khảo xem các bước cụ thể của bài làm. Nếu học sinh giải theo cách khác cho kết qủa đúng giám khảo thống nhất các bước chấm điểm. điểm tồn bài làm tròn đến 0.5. . SỞ GD & Đ T BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 Năm học : 2008 - 2009 Môn : Toán Thời gian : 150 phút (không kể. 2:………………………… ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GD & Đ T BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 Năm học : 2008 - 2009 ĐÁP ÁN MƠN TỐN(Đề thi chính thức) Câu 1