Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC tại K, ta sẽ chứng tỏ K là điểm chính giữa của BC (hay K trùng với I).. Mà tam giác NBC và tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp 2 lần ch[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ?
Kí hiệu : Diện tích hình (P) dt (P)Cạnh đáy tam giác (Q) c.đáy (Q) Chiều cao tam giác (Q) c.cao (Q)
Khi gặp tốn khó diện tích (dt) hình, đặc biệt tốn liên quan đến dt tam giác, thường lúng túng xoay sở nào, nên đâu Để giải tốt loại toán em cần nắm vững vận dụng linh hoạt kiến thức sau :
1 Nếu hình (P) khơng thể tính trực tiếp diện tích để tính dt (P) ta làm theo cách sau :
- Chia hình (P) thành hình dễ tính dt hơn, tính dt hình cộng lại
- Bổ sung vào hình (P) số hình (dễ tính dt) để hình (Q) dễ tính dt hơn, lấy dt (Q) trừ dt hình bổ sung
2 Nếu hai tam giác (P) (Q) có :
- Chung c.đáy hai c.đáy c.cao (P) = k x c.cao (Q) dt (P) = k x dt (Q)
- Chung c.đáy hai c.đáy dt (P) = k x dt (Q) c.cao (P) = k x c.cao (Q)
- Chung c.cao hai c.cao c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) dt (P) = k x dt (Q)
- Chung c.cao hai c.cao dt (P) = k x dt (Q) c.đáy (P) = k x c.đáy (Q)
Sau số ví dụ :
Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M N điểm AB CD Nối DM, BN cắt AC I K Chứng tỏ AI = IK = KC
Giải : (ở ta cần vận dụng mối quan hệ diện tích, c.đáy c.cao tam giác)
Ta có : dt (ABC) = x dt (AMD) (vì AB = x AM AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC c.cao BC)
Suy dt (DCM) = x dt (AMD) Gọi CH AE chiều cao tam giác DCM DAM xuống đáy DM, CH = x AE Nhưng CH AE chiều cao tam giác ICM IAM có chung cạnh đáy IM Vậy dt (ICM) = x dt (IAM) Mà tam giác IAM ICM chung chiều cao từ M, IC = x AI, suy AC = x AI hay AI = 1/3 AC
Làm tương tự với cặp tam giác ABN CBN ; KCN KAN ta có KC = 1/3 AC Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy IK = 1/3 AC
Do AI = IK = KC
Chú ý : để chứng tỏ đoạn thẳng ta phải chứng tỏ tam giác có chung chiều cao diện tích
(2)a) Chứng tỏ tứ giác BMNC hình thang BC = x MN
b) Chứng tỏ đoạn thẳng BN, CM, AI cắt điểm
Giải :
a) Vì AB = x AM, AC = x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC Từ suy : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C)
dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)
Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang
Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN)
Hơn từ AC = x AN, nên NC = x AN, dt (NBC) = x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy dt (NBC) = 3/2 x x dt (MBN) = x dt (MBN)
Mà tam giác NBC tam giác MBN có chiều cao (cùng chiều cao hình thang BMNC) Vì đáy BC = x MN
b) Gọi BN cắt CM O Ta chứng tỏ AI cắt BN O Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC K, ta chứng tỏ K điểm BC (hay K trùng với I) Theo phần a) ta có dt (NBC) = x dt (ABN) Mà tam giác NBC tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp lần chiều cao từ A xuống đáy BN Nhưng chiều cao tương ứng hai tam giác BCO BAO có chung đáy BO, dt (BCO) = x dt (BAO)
Tương tự ta có dt (BCO) = x dt (CAO)
Do dt (BAO) = dt (CAO) Hai tam giác BAO CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B chiều cao từ C xuống đáy AO Đó chiều cao tương ứng hai tam giác BOK COK có chung đáy OK, dt (BOK) = dt (COK) Mà hai tam giác BOK tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K điểm cạnh BC Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cắt điểm O
Bài tập thực hành : Cho tam giác ABC, gọi M điểm cạnh BC N nằm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt cạnh BA kéo dài P a) Chứng tỏ AB = AP
b) Gọi Q điểm PC Chứng tỏ ba điểm B, N, Q nằm đường thẳng