Thông tin tài liệu
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 TỔ HỢP XÁC SUẤT Câu Nhằm chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, Đồn trường THPT Chun Lương Thế Vinh tổ chức giải bóng đá nam Có 16 đội đăng kí tham dự có đội Tốn 10, Toán 11 Toán 12 Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia 16 đội vào bảng để đá vịng loại Tính xác suất để đội lớp Toán nằm bảng khác 53 19 16 A 56 B 28 C 35 D 56 Câu Trong hệ tọa độ Oxy , lấy ngẫu nhiên điểm có tọa độ ngun hình trịn tâm O , bán kính Tính xác suất để lấy điểm mà khoảng cách từ O đến điểm khơng lớn 18 A 121 Câu Câu 29 B 121 C 25 Một họp có tham gia nhà Tốn học có nam nữ, nhà Vật lý có nam nữ nhà Hóa học có nam nữ Người ta muốn lập ban thư kí gồm nhà khoa học với yêu cầu phải có đủ lĩnh vực ( Tốn , Lý, Hóa ) có nam lẫn nữ Nếu người bình đẳng số cách lập ban thư kí là? A 1575 B 1440 C 1404 D 171 Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số Xác suất để chọn số tự nhiên có dạng a1a2 a3a4 a5 mà a1 �a2 �a3 a4 �a5 1001 77 A 45000 B 1500 C 5000 Câu Câu Câu 29 D 81 287 D 22500 Tung xúc sắc khơng đồng chất xác suất xuất mặt hai chấm ba chấm gấp hai gấp ba lần xác suất xuất mặt lại, xác suất xuất mặt lại Xác suất để sau lần tung có lần xuất số mặt chẵn lần xuất số mặt lẻ gần số sau đây? A 0, 234 B 0, 292 C 0, 2342 D 0, 2927 Một nhóm học sinh gồm bạn nam bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành hàng Xác suất để có bạn nữ đứng cạnh là: 27 28 A 11 B 55 C 55 D 11 Có người ngồi xung quanh bàn tròn, người cầm đồng xu Tất người tung đồng xu họ, người có đồng xu ngửa đứng, cịn người có đồng xu sấp ngồi Hỏi xác suất mà khơng có hai người liền kề đứng bao nhiêu? 47 25 49 A 256 B 16 C 128 D 256 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Câu Có cặp vợ chồng xếp ngồi ghế dài có chỗ Biết người chồng ngồi cạnh vợ ngồi cạnh người đàn ơng khác Số cách xếp chỗ ngồi thỏa mãn yêu cầu A 8! B 816 C 18 D 604 Câu Lập số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để số có chữ số đứng trước không nhỏ chữ số đứng sau 14 A 25 143 B 1800 119 C 1500 11 D 200 Câu 10 Một hộp chứa bóng đỏ (được đánh số từ đến ), bóng vàng (được đánh số từ đến ), bóng xanh (được đánh số từ đến ) Lấy ngẫu nhiên bóng Xác suất để bóng lấy có đủ ba màu mà khơng có hai bóng có số thứ tự trùng 381 B 455 43 A 91 74 C 455 48 D 91 Câu 11 Gieo đồng thời ba súc sắc Bạn người thắng xuất hai mặt chấm Xác suất để lần chơi thắng lần gần với giá trị đây? 5 10 A 1, 24 � 104 B 3,87 � 104 C � 7 10 D 1, 65 � S 1; 2;3; 4; ;17 Câu 12: Cho tập hợp gồm 17 số Chọn ngẫu nhiên tập có ba S phần tử tập Tính xác suất để tập hợp chọn có tổng phần tử chia hết cho 27 A 34 23 B 68 Câu 13 Cho tập hợp S 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 C 34 D 12 Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S Tính xác suất p biến cố ba số chọn không chứa hai số nguyên liên tiếp A Câu 14 p 21 B p 16 C p 16 D p 12 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 1 1 A 21 B 42 C 84 D 63 Câu 16 Một sắt có độ dài 6m bẻ thành đoạn cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để đoạn tạo thành tam giác A B C D Câu 17 Trong thư viện có 12 sách gồm Toán giống nhau, Lý giống nhau, Hóa giống Sinh giống Có cách xếp thành dãy cho sách thuộc môn không xếp liền nhau? A 31104 B 60936 C 308664 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! D 478970496 Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Câu 18 Một quân vua đặt ô bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển quân vua chuyển sang ô chung cạnh chung đỉnh với ô đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên ba bước Xác suất để sau ba bước quân vua trở ô xuất phát C83 A83 8! C 8! D 512 Hùng học sinh nữ sinh thành nhóm, phải có học sinh nữ nhóm 16 C 34 D 17 A 64 B Câu 19 Có học sinh nam có có Hoa Chia 12 học nhóm có học sinh Tính xác suất để Hùng Hoa A 32 B Câu 20 Có cặp vợ chồng xếp ngồi ghế dài có chỗ Biết người vợ ngồi cạnh chồng ngồi cạnh người phụ nữ khác Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thỏa mãn A 816 B 18 C 8! D 604 A 1; 2; ;100 Gọi S tập hợp tất tập A cho S có hai phần tử hai số có tổng bẳng 100 Chọn ngẫu nhiên phần tử thuộc S Tính xác suất để chọn Câu 21 Cho tập phần tử có tích hai số số phương A 49 B 99 C 49 D 33 Câu 22 Có sách Toán, sách Lý sách Hoá khác xếp ngẫu nhiên lên giá sách gồm có ngăn, sách xếp dựng đứng thành hàng dọc vào ba ngăn (mỗi ngăn đủ rộng để chứa tất sách) Tính xác suất để khơng có hai sách Toán đứng cạnh 54 55 36 37 A 91 B 91 C 91 D 91 Câu 23 Tung đồng xu cân đối đồng chất 10 lần Xác suất cho khơng có hai lần tung liên tiếp xuất mặt sấp bằng: A 64 16 B 64 C 128 D 256 Câu 24 Từ chữ số , , , 4, , lập số có bốn chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số có chữ số A Câu 25 B C D A 1; 2; ;100 Từ tập chọn số ngẫu nhiên Tính xác suất để số chọn cạnh tam giác 25 65 65 A B 264 C 132 D 132 Câu 26 Cho ngẫu nhiên số tự nhiên có 2018 chữ số Tính xác suất để số chọn số tự nhiên chia hết cho mà số có hai chữ số Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 16217 2015 � 0,9 A 900 16217 2016 � 0,9 C 900 Đề Trường A Lần X Năm 2019 16217 2015 � 0,9 B 900 16217 2015 � 0,9 90 D Câu 27 Cho A tập số tự nhiên có 2019 chữ số Lấy số tập hợp A Tính xác suất để lấy số lẻ chia hết cho 1 625 A 18 B C 20 D 1701 Câu 28 Xếp ngẫu nhiên 15 sách khác gồm sách Toán 10 sách Văn lên giá sách ngang có ngăn (các sách xếp dựng đứng, ngăn trống) Tính xác suất cho ngăn khơng có sách Tốn xếp cạnh 36 37 99 55 A 476 B 91 C 476 D 91 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1.C 11.C 22.D Câu 2.D 12.B 23.A 3.C 13.D 24.D BẢNG ĐÁP ÁN 6.C 7.A 16.B 17.C 18.A 26.B 27.A 28.C 4.D 14.D 25.D 8.B 19.B 9.C 20.A 10.C 21.C [1D2-5.2-3] Nhằm chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, Đồn trường THPT Chun Lương Thế Vinh tổ chức giải bóng đá nam Có 16 đội đăng kí tham dự có đội Tốn 10, Tốn 11 Toán 12 Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia 16 đội vào bảng để đá vịng loại Tính xác suất để đội lớp Toán nằm bảng khác 53 19 16 A 56 B 28 C 35 D 56 Lời giải Chọn C bảng phân biệt A, B, C, D n C164 C124 C84 C44 Gọi A biến cố để đội lớp Toán nằm bảng khác A3 Chọn đội toán vào bảng khác là: Chọn đội cho bảng chưa có đội Tốn nào: C134 C C C Chọn đội vào bảng có đội Tốn: � n A A43 C134 C93 C63 C33 Vậy P A n A 16 n 35 Ngày 08/ 4/ 2019 Câu [1D2-4.3-3] Trong hệ tọa độ Oxy , lấy ngẫu nhiên điểm có tọa độ ngun hình trịn tâm O , bán kính Tính xác suất để lấy điểm mà khoảng cách từ O đến điểm khơng lớn 18 A 121 29 B 121 C 25 29 D 81 Lời giải Chọn D Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 2 Phương trình hình trịn tâm O , bán kính : x y �25 Gọi điểm M x; y thuộc hình trịn tâm O , bán kính (với x, y ��) TH1: Nếu x � y 0; �1; �2; �3; �4; �5 � 11 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính TH2: Nếu x �1 � y 0; �1; �2; �3; �4 � 18 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính TH3: Nếu x �2 � y 0; �1; �2; �3; �4 � 18 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính TH4: Nếu x �3 � y 0; �1; �2; �3; �4 � 18 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính TH5: Nếu x �4 � y 0; �1; �2; �3 � 14 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính TH6: Nếu x �5 � y � điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính Như số điểm M x; y có tọa độ ngun thuộc hình trịn tâm O , bán kính là: n 11 3.18 14 81 M x; y thuộc hình trịn tâm O bán kính , có khoảng cách đến O 2 � x y �9 không lớn OM OM Do điểm TH1: Nếu x � y 0; �1; �2; �3 � điểm thuộc hình trịn tâm O bán kính hình trịn tâm O , bán kính TH2: Nếu x �1 � y 0; �1; �2 � 10 điểm thuộc hình trịn tâm O bán kính hình trịn tâm O , bán kính TH3: Nếu x �2 � y 0; �1; �2 � 10 điểm thuộc hình trịn tâm O bán kính hình trịn tâm O bán kính TH4: Nếu x �3 � y � điểm thuộc hình trịn tâm O bán kính hình trịn tâm O bán kính M x; y Như số điểm có tọa độ ngun thuộc hình trịn tâm O bán kính , có khoảng cách đến O không lớn là: n A 2.10 29 Vậy xác suất để lấy điểm mà khoảng cách từ O đến điểm khơng lớn là: P A Câu n A n 29 �0,36 81 [1D2-2.2-3] Một họp có tham gia nhà Tốn học có nam nữ, nhà Vật lý có nam nữ nhà Hóa học có nam nữ Người ta muốn lập ban thư kí gồm nhà khoa học với yêu cầu phải có đủ lĩnh vực ( Tốn , Lý, Hóa ) có nam lẫn nữ Nếu người bình đẳng số cách lập ban thư kí là? A 1575 B 1440 C 1404 D 171 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Lời giải Chọn C +) Đặt A biến cố chọn nhà khoa học có đầy đủ lĩnh vực ( Tốn, Lý, Hóa) Khi : C52 C61.C71 420 Số cách chọn nhà Toán học , nhà Vật lý , nhà Hóa học là: C C C 525 Số cách chọn nhà Toán học , nhà Vật lý , nhà Hóa học là: 1 C C C 630 Số cách chọn nhà Toán học , nhà Vật lý , nhà Hóa học là: � n A 420 525 630 1575 +) Đặt B biến cố chọn nhà khoa học đủ lĩnh vực ( Toán , Lý , Hóa) mà có nam có nữ Khi : 1 1 Số cách chọn có nam: C3 C3 C4 C3 C3 C4 C3 C3 C4 126 1 1 Số cách chọn có nữ : C2 C3 C3 C2 C3 C3 C2 C3 C3 45 � n B 126 45 171 +) Vậy số cách chọn nhà khoa học có đày đủ lĩnh vực ( Tốn, Lý, Hóa), Câu có nam lẫ nữ là: 1575 171 1404 (cách) [1D2-2.2-3] Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số Xác suất để chọn số tự nhiên có aa aa a dạng mà a1 �a2 �a3 a4 �a5 1001 77 A 45000 B 1500 C 5000 287 D 22500 Lời giải Chọn D Gọi A biến cố“Chọn số tự nhiên có dạng a1a2 a3a4 a5 mà a1 �a2 �a3 a4 �a5 ” Đặt a3 k với �k �6 Ta có: �a1 �a2 �k 1� a1 ףa2 k � � �� � k a4 �a5 �11 � k �a4 a5 �12 � Suy số cách chọn số a1 , a2 Ck 1 cách Số cách chọn số a4 , a5 C12 k cách Với cách chọn số cho a1 , a2 có cách chọn số cho a4 , a5 không thỏa mãn a4 , a5 3 10;11 ; 10;12 ; 11;12 Suy ra: Vậy 6 k 1 k 1 n A �Ck21.C122 k 3�Ck21 1148 P A n A 1148 287 n 9.10 22500 Ngày 30/3/2019 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Câu Đề Trường A Lần X Năm 2019 [1D2-5.4-3] Tung xúc sắc không đồng chất xác suất xuất mặt hai chấm ba chấm gấp hai gấp ba lần xác suất xuất mặt lại, xác suất xuất mặt lại Xác suất để sau lần tung có lần xuất số mặt chẵn lần xuất số mặt lẻ gần số sau đây? A 0, 234 B 0, 292 C 0, 2342 D 0, 2927 Lời giải Chọn D Gọi p xác suất xuất mặt 1; 4;5;6 chấm Ta có xác suất xuất mặt chấm, chấm p p Ta có p 2p 3p 1� p 2; 4; Xác suất xuất mặt chẵn chấm 1;3;5 gieo , mặt lẻ �4 ��5 � C � �� ��0, 2927 �9 ��9 � Do đó, xác suất cần tính Câu Ngày 29 / / 2019 [1D2-5.5-3] Một nhóm học sinh gồm bạn nam bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành hàng Xác suất để có bạn nữ đứng cạnh là: 27 28 A 11 B 55 C 55 D 11 Lời giải Chọn C Không gian mẫu n 11! Gọi A biến cố: “Xếp nam nữ đứng thành hàng mà có nữ đứng cạnh nhau” +) Xếp nam vào vị trí: có 7! cách Khi nam tạo thành khoảng trống +) Chọn nữ đứng cạnh hoán vị nữ này: có A4 cách +) Coi nữ lại cặp nữ đứng cạnh nữ, ta xếp vào khoảng trống nam tạo thành: có A8 cách Câu 28 � P A n A 7!.A A � 55 [1D2-5.2-4] Có người ngồi xung quanh bàn trịn, người cầm đồng xu Tất người tung đồng xu họ, người có đồng xu ngửa đứng, cịn người có đồng xu sấp ngồi Hỏi xác suất mà khơng có hai người liền kề đứng bao nhiêu? 47 25 49 A 256 B 16 C 128 D 256 Lời giải Chọn A +) n 28 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 TH1: bạn tung mặt ngửa Khi bạn ngồi xen kẽ � Có cách TH2: bạn tung mặt ngửa: Ta chọn A bạn tung mặt ngửa Gọi b , c số thứ tự hai bạn tung mặt b ; c 1 � b ; c C2 C2 ngửa lại � �b c �5 � Có cách chọn Có cách chọn Tương tự ta chọn bạn B C tung mặt ngửa 8.C42 16 � Có cách C 20 TH3: bạn tung mặt ngửa � Có cách TH4: bạn tung mặt ngửa � Có cách TH5: Khơng có bạn tung mặt ngửa � Có cách � n A 16 20 47 Vậy P A 47 256 Câu [1D2-2.2-3] Có cặp vợ chồng xếp ngồi ghế dài có chỗ Biết người chồng ngồi cạnh vợ ngồi cạnh người đàn ông khác Số cách xếp chỗ ngồi thỏa mãn yêu cầu A 8! B 816 C 18 D 604 Lời giải Chọn B Xếp bà có 4! cách: B B B B - Xếp ông vào khe đầu – cuối khe cịn lại có 2.3! 3.2! 18 cách - Xếp ông vào khe đầu (hoặc cuối) ông vào khe không liền kề cịn lại có 2! cách - Xếp cặp ông vào khe đầu – cuối khe không liền kề cịn lại có 2! C52 cách - Xếp – ông vào khe đầu – cuối, ông vào khe không liền kề cịn lại có cách Vậy tổng cộng có 4!.34 816 cách Câu [1D2-2.2-3] Lập số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để số có chữ số đứng trước khơng nhỏ chữ số đứng sau 14 A 25 143 B 1800 119 C 1500 11 D 200 Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Chọn C Gọi số cần tìm abcd , d �c �b �a ����� d c b a � d Ta có � c b a 12 � có C13 cách chọn d , c 1, b 2, a 4 � có C13 cách chọn d , c, b, a số C13 cách chọn đó, bỏ 0,1,2,3 C134 119 P ( A) 9.103 1500 Xác suất Ngày 26/ 3/ 2019 Câu 10 [1D2-4.5-3] Một hộp chứa bóng đỏ (được đánh số từ đến ), bóng vàng (được đánh số từ đến ), bóng xanh (được đánh số từ đến ) Lấy ngẫu nhiên bóng Xác suất để bóng lấy có đủ ba màu mà khơng có hai bóng có số thứ tự trùng 43 A 91 381 B 455 74 C 455 48 D 91 Lời giải Chọn C Số phần tử không gian mẫu C15 1365 Các trường hợp thuận lợi cho biến cố là: Trường hợp 1: Chọn bóng xanh, bóng vàng bóng đỏ: Chọn bóng xanh từ bóng xanh: có C4 cách Chọn bóng vàng từ bóng vàng (đã loại có số thứ tự trùng với bóng xanh chọn): có C3 cách Chọn bóng đỏ từ bóng đỏ (đã loại có số thứ tự trùng với bóng xanh vàng chọn): có C3 cách 1 � trường hợp có C4 C3 C3 54 cách chọn Trường hợp 2: Chọn bóng xanh, bóng vàng bóng đỏ: Tương tự trường hợp 1, có C4 C4 C3 72 Trường hợp 3: Chọn bóng xanh, bóng vàng bóng đỏ: 1 Tương tự trường hợp 1, có C4 C4 C4 96 Suy số phần tử biến cố 54 72 96 222 Vậy, xác suất cần tìm P 222 74 1365 455 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Câu 11 [1D2-4.6-4] Gieo đồng thời ba súc sắc Bạn người thắng xuất hai mặt chấm Xác suất để lần chơi thắng lần gần với giá trị đây? 5 104 B 3,87 � 10 A 1, 24 � 7 10 D 1, 65 � 104 C � Lời giải Chọn C C32 � C51 C33 16 216 27 Xác suất xuất hai mặt chấm Gọi A biến cố “Trong lần chơi thắng lần” Xảy ba trường hợp: Thắng lần thua lần Thắng lần thua lần Thắng lần Theo quy tắc cộng nhân xác suất, ta có �2 � �25 � �2 � 25 �2 � P A C � �� 104 � � C6 � �� C6 � ��4 � �27 � �27 � �27 � 27 �27 � Ngày 19/03/2019 S 1; 2;3; 4; ;17 Câu 12 : [1D2-5.2-3] Cho tập hợp gồm 17 số Chọn ngẫu nhiên tập S có ba phần tử tập Tính xác suất để tập hợp chọn có tổng phần tử chia hết cho 27 A 34 23 B 68 C 34 D 12 Lời giải Chọn B 3;6;9;12;15 Tập hợp số từ tập S chia hết cho 1; 4;7;10;13;16 Tập hợp số từ tập S chia cho dư 2;5;8;11;14;17 Tập hợp số từ tập S chia cho dư *) TH1: Ba số lấy từ tập S chia hết cho : Có C5 cách chọn *) TH2: Ba số lấy từ tập S chia dư 1: Có C6 cách chọn *) TH3: Ba số lấy từ tập S chia dư 2: Có C6 cách chọn 1 *) TH4: Một số chia hết cho 3, số chia dư 1, số chia dư 2: Có C5 C6 C6 cách chọn Vậy số phần tử biến cố A : “ Chọn ba số có tổng chia hết cho 3” : n A C53 C63 C63 C51.C61 C61 230 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Số phần tử không gian mẫu Xác suất biến cố A Ngày 18/ 03/ 2019 n C173 P A Đề Trường A Lần X Năm 2019 230 23 C173 68 S 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 Câu 13 [1D2-5.2-3] Cho tập hợp Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S Tính xác suất p biến cố ba số chọn không chứa hai số nguyên liên tiếp A p 21 B p 16 C p 16 D p 12 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu là: n C93 Gọi A biến cố: “Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S ba số chọn không chứa hai số nguyên liên tiếp nào” Cách Xếp số lên đường tròn cách liên tiếp (hình minh họa) Trường hợp 1: Lấy số đường trịn cho khơng số đứng cạnh Chọn số để làm mốc có cách Chọn số khơng kề với mốc để liên kết có C6 15 cách Trừ cặp số đứng cạnh ta 15 10 liên kết Trong ba số liên kết vừa chọn số chọn làm mốc lần, tổng số ba thu phải giảm lần 9.10 30 Vậy TH1 có: cách chọn Trường hợp 2: Chọn hai số 1,9 số khác có cách Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 12 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n A 30 35 Tổng cộng TH ta có: Vậy xác suất cần tìm p A Đề Trường A Lần X Năm 2019 n A 35 n C93 12 Cách (phương pháp đánh số thứ tự) Gọi a, b, c ba số lấy cho khơng có hai số liên tiếp Khi ta phải có �a b c �7 (do �a, b, c �9 ) Số cách chọn ba số a, b 1, c 2 Vậy xác suất cần tìm Câu 14 p A n A 35 từ số: C7 35 cách Vậy n A 35 n C93 12 [1D2-2.2-4] Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 A 21 B 42 C 84 D 63 Lời giải Chọn D A4 Số phần tử S là: Ký hiệu số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu là: abcd 100ab cd 11 9ab a c b d a c � b d a c M11 � b d M11 � � � � � a b c dM 11 � a c M11 � Theo giả thiết ta có: Và �b d �17,3 �a c �17 nên b d a c 11 Các cặp số có tổng 11 : 2,9 , 3,8 , 4, , 5, Số lượng số thỏa mãn yêu cầu A42 2!.2! A42 2!.2! A 63 Do xác suất aa a a a a a Câu 15 [1D2-5.5-4] Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số khác có dạng Tính xác suất để số chọn ln có mặt chữ số thỏa a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 A 243 B 486 C 1215 D 972 Lời giải Chọn B Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 13 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 6 aaaaaa Ta có a1 có cách chọn có A9 cách Vậy có tất 9.A9 số tự nhiên có chữ n A96 số khác Suy không gian mẫu Gọi A biến cố thoả mãn yêu cầu đề TH1: Nếu lấy Vì có mặt chữ số chữ số nên có C8 cách chọn chữ số lại chữ số (trừ số số ) Với cách chọn đó, ta có: a7 có cách chọn a4 có cách chọn a5 ; a6 có C5 cách a1 ; a2 ; a3 có cách Vậy có C8 1.C5 560 (số) TH2: Nếu không lấy Vì ln có mặt chữ số nên có C8 cách chọn số gồm chữ số (trừ số số ) Với đó, ta có: a4 có cách chọn a5 ; a6 ; a7 a1 ; a2 ; a3 có C6 cách chọn có cách chọn Vậy có C8 C6 560 (số) Vậy n A 560 560 1120 Vậy xác suất cần tính P A n A n 486 Ngày 17/03/2019 Câu 16 [1D2-5.2-4] Một sắt có độ dài 6m bẻ thành đoạn cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để đoạn tạo thành tam giác A B C D Lời giải Chọn B Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 14 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Xét tam giác ABC có độ dài chiều cao Lấy điểm M nằm bên tam giác ABC Gọi d1 , d , d3 khoảng cách từ M đến cạch tam giác Ta ln có d1 d d Mỗi điểm M tam giác ABC đặc trưng cho cách chia đoạn thẳng dài 6m thành đoạn thẳng � S ABC Để đoạn thẳng d1, d 2, d lập thành tam giác � d1, d 2, d � M nằm tam giác DEF � A S DEF � Xác suất cần tìm P S DEF S ABC Câu 17 [1D2-2.4-4] Trong thư viện có 12 sách gồm Toán giống nhau, Lý giống nhau, Hóa giống Sinh giống Có cách xếp thành dãy cho sách thuộc môn không xếp liền nhau? A 31104 B 60936 C 308664 D 478970496 Lời giải Chọn C Gọi A1 , A2 , A3 , A4 biến cố “Xếp sách Toán liền nhau”, “Xếp sách Lý liền nhau”, “Xếp sách Hóa liền nhau” “Xếp sách Sinh liền nhau”, X gọi số phần tử tập X Số cách xếp để có ba sách môn đứng cạnh � �� A1 �A2 �A3 �A4 �Ai ��Ai �Aj � � �Ai �Aj �Ak � �� i 1 1�i j �4 1�i j k �4 � �� � A �A2 �A3 �A4 � � � Trong đó: Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 15 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC • A1 10.C93 C63 Đề Trường A Lần X Năm 2019 ( coi ba sách Toán xếp cạnh một, có 10 vị trí để xếp) � �Ai 4.10.C93 C63 i 1 1 A �A2 8.7C63 • ( coi ba sách Toán xếp cạnh một, ba sách Lý xếp cạnh một) � �A �A i j C42 8.7C63 1�i j �4 2 A �A2 �A3 6.5.4 • ( coi ba sách Toán xếp cạnh một, ba sách Lý xếp cạnh một, ba sách Hóa xếp cạnh một) � �Ai �A j �Ak C43 6.5.4 1�i j k �4 • A1 �A2 �A3 �A4 4! 3 4 1 , , 3 suy Từ A1 �A2 �A3 �A4 4.10.C93 C63 C42 8.7C63 C43 6.5.4 4! 60936 3 Mặt khác, số cách xếp 12 sách C12C9 C6 369600 Vậy, số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán là: 369600 60936 308664 (cách) Câu 18 [1D2-5.5-4] Một quân vua đặt ô bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển quân vua chuyển sang ô chung cạnh chung đỉnh với đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên ba bước Xác suất để sau ba bước quân vua trở ô xuất phát A 64 C83 B 8! A83 C 8! D 512 Lời giải Chọn A Số phần tử không gian mẫu: n Gọi biến cố A : ‘‘ Sau ba lần di chuyển quân vua lại vị trí ban đầu ’’ TH1: Nước chéo Bước 1: có cách Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 16 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Bước 2: có cách Bước 3: có cách Vậy có: 4.2.1 (cách) TH2: Nước ngang, dọc Bước 1: có cách Bước 2: có cách Bước 3: có cách Vậy có 4.4.1 16 � n A 16 24 Vậy xác suất P A n A 24 n 83 64 Ngày / / 2019 Câu 19 [1D2-5.2-3] Có học sinh nam có Hùng học sinh nữ có Hoa Chia 12 học sinh thành nhóm, nhóm có học sinh phải có học sinh nữ Tính xác suất để Hùng Hoa nhóm A 32 B 16 C 34 D 17 Lời giải Chọn B +) Xác suất không thay đổi đặt tên ba nhóm A, B, C +) Số phần tử không gian mẫu là: n 3.C42 2!.C82 C63 C33 20160 +) Gọi D biến cố “Hùng Hoa nhóm” Trường hợp Hùng Hoa nhóm A 1 3 - Nếu nhóm A có hai nữ có: C3 C7 2!.C6 C3 840 cách - Nếu nhóm A có nữ có nhóm B C có nữ 2 Số cách chia là: 2.C3 C7 1.C5 C3 1260 cách � Số cách chia thỏa mãn trường hợp là: 840 1260 2100 cách Làm tương tự cho hai trường hợp sau: Trường hợp Hùng Hoa nhóm B: Có 2100 cách Trường hợp Hùng Hoa nhóm C: Có 2100 cách P D n D 6300 n 20160 16 n D 6300 2100.3 � +) Vậy = Câu 20 [1D2-2.2-4] Có cặp vợ chồng xếp ngồi ghế dài có chỗ Biết người vợ ngồi cạnh chồng ngồi cạnh người phụ nữ khác Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thỏa mãn A 816 B 18 C 8! D 604 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta thực xếp ông chồng xong, chia trường hợp xếp bà vợ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 17 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Xếp ông chồng có 4! cách: C C C C Tiếp đến xếp bà vợ thỏa u cầu tốn có bốn trường hợp sau (xếp bà vợ vào khe đầu cuối khe ông chồng xếp) Trường hợp 1: Khơng có ơng chồng cạnh nhau, khơng có cách xếp thỏa mãn đề Trường hợp 2: Có hai ơng chồng ngồi cạnh Trong trường hợp có hai tình nhỏ +) Chỉ có cặp hai ơng chồng ngồi cạnh nhau: ta xếp hai cặp bà vào 2 khe đầu – cuối khe không liền kề cịn lại có 2! C5 cách +) Có cặp ơng chồng cạnh nhau: ta xếp 1-1 bà vào khe đầu-cuối, bà vào khe khơng liền kề cịn lại có cách Trường hợp 3: Có ơng chồng cạnh (3 bà vợ khe, riêng bà khe, bà khe khe khơng phép ngồi gần chồng người khác Xếp bà khe đầu (tương tự cho cuối), sau xếp bà khe 3, 4, khe 3, có cách xếp, tổng 2, khe có 2! cách xếp (xếp vợ ơng đứng cuối, hốn vị hai bà cịn lại 2 2! Xếp bà vào khe đầu (hoặc cuối) bà vào khe không liền kề cịn lại có cách (hay 2.C4 ) Trường hợp 4: Cả ông ngồi cạnh (lưu ý trường hợp xếp khe đầu, khe cuối khác với khe giữa) Xếp bà vào khe đầu-cuối khe cịn lại có 2.3! 3.2! 18 cách Vậy tất có 4!.34 816 cách Cách 2: TH1: Chỉ có cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau, buộc bà vợ phải ngồi bên, ông chồng ngồi bên so với cặp vợ chồng � có 2.3!.3! A4 288 (cách xếp) TH2: Có hai cặp vợ chồng ngồi cạnh � có A4 2.6 288 (cách xếp) TH3: Có ba cặp vợ chồng ngồi cạnh � có A4 2.2 192 (cách xếp) TH4: Tất cặp vợ chồng ngồi cạnh � có A4 48 (cách xếp) Vậy có tất 288 288 192 48 816 (cách xếp) thỏa yêu cầu đề Cách 3: TH1: phụ nữ ngồi cạnh : 4!3!2 + 4!2!2 + 4!2 = 432 TH2: phụ nữ ngồi cạnh : 4!2!2 + 4!2!2 = 192 TH3: phụ nữ ngồi cạnh : 4!2 + 4!2!2 + 4!2 = 192 Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu : 432 + 2.192 = 816 cách Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 18 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 A 1; 2; ;100 Gọi S tập hợp tất tập A cho S có hai phần tử hai số có tổng bẳng 100 Chọn ngẫu nhiên phần tử thuộc S Tính xác suất Câu 21 [1D2-5.2-3] Cho tập để chọn phần tử có tích hai số số phương 4 A 49 B 99 C 49 D 33 Lời giải Chọn C S 1;99 ; 2;98 ; ; 49;51 n S 49 Ta có nên Lấy hai 100 số từ A mà có tổng 100 tích số phương có 2;98 10;90 20;80 36; 64 cặp , , , Vậy xác suất cần tìm P 49 Câu 22 [1D2-5.2-3] Có sách Tốn, sách Lý sách Hoá khác xếp ngẫu nhiên lên giá sách gồm có ngăn, sách xếp dựng đứng thành hàng dọc vào ba ngăn (mỗi ngăn đủ rộng để chứa tất sách) Tính xác suất để khơng có hai sách Toán đứng cạnh 54 55 36 37 A 91 B 91 C 91 D 91 Lời giải Chọn D Gọi A biến cố: Sắp xếp 12 sách giá sách thành hàng dọc mà khơng có hai sách Toán đứng cạnh Ta xem vách ngăn giá sách sách giống nhau, số phần tử không gian mẫu là: n 14! 2! 11! Sắp xếp sách (gồm Lý Hoá) giá sách có 2! cách Sau vách ngăn giá sách có 12 vị trí chọn xếp sách tốn A123 Chọn 12 vị trí xếp sách Tốn có cách ` 11! A12 55 2! P A 14! 11! 91 � n A A12 2! 2! Vậy xác suất biến cố A Câu 23 [1D2-5.2-3] Tung đồng xu cân đối đồng chất 10 lần Xác suất cho khơng có hai lần tung liên tiếp xuất mặt sấp bằng: A 64 16 B 64 C 128 D 256 Lời giải Chọn A 10 Số phần tử không gian mẫu N () Gọi A biến cố khơng có hai lần tung liên tiếp xuất mặt sấp Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 19 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Gọi số lần xuất mặt sấp 10 lần tung đồng xu k Do khơng có hai lần tung liên tiếp xuất mặt sấp nên �k �5, k �� Số lần xuất mặt ngửa 10 k Để xếp cho lần xuất mặt sấp khơng liền ta có 10 k vị trí cho mặt sấp tức có C11k k cách N (A) �C11k k Vậy số phần tử A N (A) P( A) N() �C k 11 k k 0 10 k 0 64 Cách – Phùng Huyền TH1: Xuất sấp + 10 ngửa: cách TH2: Xuất sấp + ngửa Vì khơng xuất mặt sấp liên tiếp nên có 10 vị trí để xuất mặt sấp Vậy có C10 cách N N N N N N N N N TH3: Xuất sấp + ngửa Vì khơng xuất mặt sấp liên tiếp nên có 10 vị trí để xuất mặt sấp Vậy có C9 cách N N N N N N N N TH4: Xuất sấp + ngửa Vì khơng xuất mặt sấp liên tiếp nên có 10 vị trí để xuất mặt sấp Vậy có C8 cách N N N N N N N TH5: Xuất sấp + ngửa Vì khơng xuất mặt sấp liên tiếp nên có 10 vị trí để xuất mặt sấp Vậy có C7 cách N N N N N N TH5: Xuất sấp + ngửa Vì khơng xuất mặt sấp liên tiếp nên có 10 vị trí để xuất mặt sấp Vậy có C6 cách N P( A) N N N N C101 C92 C83 C74 C65 210 64 Câu 24 [1D2-4.2-2] Từ chữ số , , , 4, , lập số có bốn chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số có chữ số A B C Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! D Trang 20 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Lời giải Chọn D Ta có: n A64 Số chữ số có chữ số khác có chữ số hình thành từ chữ số , , , 4, , là: A5 Số chữ số có chữ số khác khơng có chữ số hình thành từ chữ số , , , 4 , là: A6 A5 A64 A54 A Vậy xác suất để lấy số có chữ số là: Câu 25 A 1; 2; ;100 [1D2-5.5-4] Từ tập chọn số ngẫu nhiên Tính xác suất để số chọn cạnh tam giác A 25 C 132 65 B 264 65 D 132 Lời giải Chọn D Gọi a, b, c số chọn thỏa mãn yêu cầu toán Giả sử a b c �2 Suy b c x a b 1 y c 1 x 1 y c x y x y 100 Ta có c � c y Suy 98 � x 98 c y 98 c b c Vì a �b c nên b -1�-y - �c c Từ 98 y y c c 50 Số số tạo thành cạnh tam giác số c; x; y 98 c y 98 c 98 c y �c 2 � � 98 � � 50 �c 2 � 98 �c 2 � � � � 99 c y 99 c y � � � � � � � �� �� � �� � � ��� � �� c 2 � y �x � � c 51 �y 0 �x 0 � � c 2 �y 0 � c 51 �y 0 � 50 50 � c 1 200 3c � 98 � c 99 99 c 99 c 98 c � �� � �� � 2 c 2 � � c 51 � � 50 � c 1 200 3c � 98 � c 99 c 100 � �� � �� � 2 c 2 � � c 51 � � 100 1 �50 � 3c 203c 200 � c 199c 9900 � � � c 51 � = �c = 60025 19600 79625 nA 79625 n 161700 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 21 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC P A Đề Trường A Lần X Năm 2019 65 132 Câu 26 [1D2-2.2-3] Cho ngẫu nhiên số tự nhiên có 2018 chữ số Tính xác suất để số chọn số tự nhiên chia hết cho mà số có hai chữ số 16217 2015 � 0,9 A 900 16217 2016 � 0,9 C 900 16217 2015 � 0,9 B 900 16217 2015 � 0,9 90 D Lời giải Chọn B Xét biến cố A : ”số chọn chia hết cho mà số có hai chữ số ” B : ”số chọn chia hết cho ” C : ”số chọn chia hết cho mà số có hai chữ số ” n 9.102017 • Số phần tử không gian mẫu a �0; � 0;1; 2; ;9 i 1; 2018 Giả sử số cần lập có dạng a1a a 2017 a 2018 với • Vì số cần lập chia hết cho a a 2018 có 10 2017 9 nên a1 + a + + a 2018 M cách chọn a1 �0 có cách chọn để a1 + a + + a 2018 M9 Do n B 102017 • Để xác định TH n C ta xét trường hợp: : Số chia hết cho khơng có chữ số a1 �0 có cách chọn a a 2017 2016 có cách chọn a2018 �9 có cách chọn để a1 + a + + a 2018 M9 2016 Do có 8.9 số thỏa mãn TH : Số chia hết cho có chữ số vị trí a1 a a 2017 2016 có cách chọn a2018 có cách chọn 2016 Do có số thỏa mãn TH : Số chia hết cho có chữ số khơng vị trí a1 Có 2017 cách chọn vị trí cho chữ số 2015 Với 2017 chữ số lại, tương tự TH ta 8.9 cách chọn Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 22 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 2015 Do có 2017.8.9 số thỏa mãn Vậy nên n C 8.92016 92015 2017.8.92015 16217.92015 n A n B n C 102017 16217.92015 • Vì B A �C ; A �C � nên Vậy p A n A 102017 16217.92015 16217 2015 � 0,9 2017 n 9.10 900 Câu 27 [1D2-2.2-3] Cho A tập số tự nhiên có 2019 chữ số Lấy số tập hợp A Tính xác suất để lấy số lẻ chia hết cho 1 625 A 18 B C 20 D 1701 Lời giải Chọn A Cách : • Các phần tử thuộc tập A có dạng a1a2 a3 a2019 a1 có cách chọn a1 �0 a2 có 10 cách chọn a2019 có 10 cách chọn 2018 Vậy tập A có 9.10 phần tử • Chia tập A thành tập không giao mà tập có 18 phần tử số tự nhiên liên tiếp, số 100 000 với 2018 chữ số Khi đó, tập có số lẻ chia hết cho 9.102018 5.102017 18 Số tập Vậy xác suất để chọn số tự nhiên từ tập A cho số số lẻ chia hết cho 5.102017 9.10 2018 18 Cách : • Các phần tử thuộc tập A có dạng a1a2 a3 a2019 a1 có cách chọn a1 �0 a2 có 10 cách chọn a2019 có 10 cách chọn 2018 Vậy tập A có 9.10 phần tử Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 23 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 • Xét phần tử thuộc tập A số lẻ chia hết cho a2019 có cách chọn từ tập 1;3;5; 7;9 a2 ; ; a2018 chữ số có 10 cách chọn từ tập 0;1; 2; ;9 Với cách chọn a2 ; a3 ; ;a 2019 ta có cách chọn a1 �0 để số tìm số chia hết cho Vậy có 1.10 2017 số lẻ chia hết cho tập A 1.102017.5 2018 18 Vậy xác suất cần tìm 9.10 Ngày 11/ 02/ 2019 Câu 28 [1D2-2.2-3] Xếp ngẫu nhiên 15 sách khác gồm sách Toán 10 sách Văn lên giá sách ngang có ngăn (các sách xếp dựng đứng, ngăn trống) Tính xác suất cho ngăn khơng có sách Tốn xếp cạnh 36 37 99 55 A 476 B 91 C 476 D 91 Lời giải Chọn C Cách : Dùng kết toán chia kẹo Euler Gọi A biến cố :” ngăn khơng có sách Tốn xếp cạnh nhau” • Tính n Số cách phân phối số lượng 15 sách vào ngăn số nghiệm ngun khơng âm phương trình x y z 15 � x 1 y 1 z 1 18 Có C17 cách phân phối số lượng thỏa mãn Với cách phân bố số lượng có 15! cách xếp vị trí Vậy n C172 15! * Tính n A C2 10! + Xếp 10 sách Văn vào ngăn: Tương tự có 12 cách + Xếp sách Toán: 10 sách Văn vách ngăn giá sách tạo thành 12 “vách ngăn” A5 Nên xếp sách Toán vào 13 khoảng trống tạo 12 “vách ngăn’ có 13 cách Nên n A C122 10! A135 Vậy xác suất biến cố A p A C122 10! A135 99 C17 15! 476 Cách : Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 24 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Yêu cầu toán tương đương với trình xếp sách Tốn, Văn hai vách ngăn thành hàng ngang (hai vách ngăn có vai trị nhau) cho khơng có sách Tốn đứng cạnh Số phần tử không gian mẫu n 17! 2! Gọi A biến cố: ”khơng có hai Tốn đứng cạnh nhau” 12! Số cách xếp 10 sách Văn vách ngăn thành hàng ngang 2! cách Khi để khơng có sách Tốn đứng cạnh nhau, cần xếp sách Toán vào 13 khoảng trống (bao gồm 11 khe tạo sách Văn, vách ngăn đầu hàng) đó, sách Tốn A5 vào vị trí Có 13 cách xếp Nên số phần tử biến cố A n A 12! A13 2! 12! � A13 99 p A 2! 17! 476 2! Xác suất cần tìm xác suất biến cố A Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 25 Mã đề X
Ngày đăng: 02/05/2021, 15:03
Xem thêm:
