Vấn đề 1.Bài toán đếm

Email: chuviettan@gmail.com Câu Cho điểm đồng phẳng cho đường thẳng qua cặp điểm điểm khơng có đường thẳng song song, vng góc hay trùng Qua điểm ta vẽ đường vng góc với tất đường thẳng nối điểm điểm cịn lại Khơng kể điểm cho số giao điểm đường thẳng vng góc nhiều bao nhiêu? A 310 B 330 C 360 D 325 Lời giải Tác giả : Chu Viết Tấn,Tên FB: Chu Viết Tấn Chọn A Gọi điểm Có C42 = A, B, C , D, E đường thẳng khơng qua đường thẳng Tương tự từ B A nên từ A kẻ đường thẳng vng góc với kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng khơng qua B Đáng lẽ nhóm đường thẳng cắt 6´ = 36 điểm ( Không kể A, B ) Nhưng có C3 = đường thẳng không qua điểm A, B nên đường thẳng vng góc vẽ từ A đường thẳng vng góc vẽ từ B đơi song song với nên số giao điểm 2 nhóm đường thẳng vng góc cịn 36-3=33 điểm Có C5 = 10 cách chọn cặp điểm nên có 330 giao điểm đường thẳng vng góc Thế điểm A, B,C đường cao tam giác số đường vng góc lại đồng quy điểm ( thay cắt điểm) nên số giao điểm giảm Vì có C5 = 10 tam giác tam giác ABC nên số giao điểm giản 20 Vậy số giao điểm nhiều đường thẳng vng gốc 330-20=310 Mở rộng: Bài tổng quát cho n điểm (n>2) trungthuong2009@gmail.com Câu { } Từ chữ số thuộc tập X = 1;2;3;4;5;6;7 lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác cho số tự nhiên chia hết cho A 96 B 144 C 72 D 120 Lời giải Tác giả : Phạm Thành Trung,Tên FB: Phạm Thành Trung Chọn A Ta có nhận xét + + + + + + = 28 số chia cho có dư Vậy để chọn số tự nhiên có chữ số chia hết cho ta cần loại tập số có tổng chia cho dư Do có hai trường hợp loại hai số có tổng chia cho dư Khi loại cặp { 3;7} ta có: + Chọn số cho vị trí hàng đơn vị có cách { 3;7} ;{ 4;6} X hai chữ + Chọn số cho vị trí cịn lại có Trường hợp có Khi loại cặp 4! cách 3.4! = 72 số { 4;6} ta có: + Chọn số cho vị trí hàng đơn vị có cách + Chọn số cho vị trí cịn lại có Trường hợp có Vậy có tất 4! = 24 72 + 24 = 96 4! cách số số thỏa mãn yêu cầu Nguyenhang15401@gmail.com Câu (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Một khối lập phương có độ dài cạnh 2cm chia thành khối lập phương cạnh 1cm Hỏi có tam giác tạo thành từ đỉnh khối lập phương cạnh 1cm A 2876 B 2898 C 2915 D 2012 Lời giải Tác giả : Nguyễn Thúy Hằng, FB: Hằng-RuBy-Nguyễn Chọn D Có tất Chọn 27 điểm điểm 27 có C27 = 2925 Có tất ( 8.2 + 6.2 + 4.2 + + + + + 2) = 49 ba điểm thẳng hàng Vậy có 2925 − 49 = 2876 tam giác tranquocan1980@gmail.com Câu Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ phần tử tập A lập số có chữ số đơi khác mà hai số chẵn khơng thể đứng cạnh nhau? A.26880 B.27360 C.34200 D.37800 Lời giải Tácgiả :Trần Quốc An, FB: TranQuocAn Chọn D Giả sử số có chữ số thỏa đề có dạng Nhận xét : Trong vị trí M TH1 : Số + a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 có tối đa chữ số số chẵn lấy từ tập A chứa chữ số chẵn a1 chẵn : a1 có cách chọn Các vị trí a2 , a3 , , a5 TH có : + M = a1a2 a3a4 a5 a6 số lẻ nên có 4.5! = 480 5! cách xếp cách chọn a1 lẻ : a1 có cách chọn Chọn chữ số chẵn chữ số lẻ xếp chúng vị trí a2 , a3 , , a5 sau C51.C44 5! cách TH có : TH2: Số + M 5.C51.C44 5! = 3000 cách chọn có chứa chữ số chẵn a1 chẵn : a1 có cách chọn Vị trí a2 số lẻ nên a2 có cách chọn Chọn chữ số chẵn số lẻ xếp chúng vào vị trí cịn lại có C41 C43 4! cách TH có : + 4.5.C41 C43 4! = 7680 cách chọn a1 lẻ : a1 có cách chọn a2 , a3 , , a5 có chữ số lẻ , ta tạo vách ngăn , chọn hai chữ số chẵn đặt Ở vị trí vào vách ngăn đó,chọn chữ số lẻ số lẻ đặt vị trí cịn lại có cách TH có TH3: Số + 5.C52 C42 2!.C43 3! = 14400 M có chứa chữ số chẵn a1 chẵn : a1 có cách chọn Vị trí a2 cách chọn lẻ nên a2 có cách chọn C52 C42 2!.C43.3! Ở vị trí a3 , a4 , a5 , a6 có chữ số lẻ , ta tạo vách ngăn , chọn hai chữ số chẵn đặt vào vách ngăn đó,chọn chữ số lẻ số lẻ đặt vị trí cịn lại có C42 C32 2!.C42 2! cách TH có + 4.5.C42 C32 2!.C42 2! = 8640 cách chọn a1 lẻ : a1 có cách chọn Ở vị trí a2 , a3 , , a5 có chữ số lẻ , ta tạo vách ngăn , chọn ba chữ số chẵn đặt vào vách ngăn đó,chọn chữ số lẻ số lẻ đặt vị trí cịn lại có TH có Vậy có : C53 3!.C42 2! cách 5.C53 3!.C42 2! = 3600 cách chọn 480 + 3000 + 7680 + 14400 + 8640 + 3600 = 37800 cách chọn thỏa yêu cầu toán Email: ngvanmen@gmail.com Câu Cho đa giác 20 cạnh nội tiếp đường trịn (O) Xác định số hình thang có đỉnh đỉnh đa giác A 765 B 720 C 810 D 315 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mến – face: Nguyễn Văn Mến Hình thang ln có trục đối xứng qua tâm nên ta xét trục đối xứng vng góc với hai đáy hình thang hai trường hợp Th1: Trục đối xứng hình thang qua hai đỉnh đa giác Chọn trục đối xứng có 10 cách Mỗi trục đối xứng ta có Suy 10.C9 = 360 C92 cách chọn đỉnh hình thang nhân trục đối xứng hình thang có trục đối xứng qua đỉnh đa diện Th2: Trục đối xứng không qua đỉnh đa giác Chọn trục đối xứng ta có 10 cách Mỗi trục đối xứng ta có Suy 10.C10 Lại có = 450 C102 = 45 C102 hình thang có trục đối xứng khơng qua đỉnh đa giác hình chữ nhật hình thang có hai trục đối xứng nên số hình thang thỏa mãn u cầu tốn 360 + 450 − 45 = phamkhacthanhkt@gmail.com Câu cách chọn đỉnh hình thang nhận trục đối xứng 765 Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số 2011 chữ số có hai chữ số A 102010 − 16151.92008 B 102010 − 16153.92008 C 102010 − 16148.92008 D 102010 − 16161.9 2008 Lời giải Tác giả: Phạm Khắc Thành Chọn D Đặt A1 = { 0;9} ; A2 = { 1} ; A3 = { 2} ; A4 = { 3} ; A5 = { 4} ; A6 = { 5} ; A7 = { 6} ; A8 = { 7} ; A9 = { 8} ( ) Gọi số cần tìm n = a1a2 a2010 a2011 a1 ≠ + Xét số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số: Mỗi vị trí từ a2 đến a2011 có 10 cách chọn a1 phụ thuộc vào tổng ( a2 + a3 + + a2011 ) nên có cách chọn Vậy có 102010 số + Xét số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số khơng có mặt chữ số 9: a1 có cách chọn Từ a2 đến a2010 , vị trí có cách chọn a2011 có cách chọn Vậy có 8.92009 số + Xét số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số có chữ số 9: + Trường hợp Từ a1 = ta có: a2 đến a2010 , vị trí có cách chọn a2011 có cách chọn Do có 92009 + Trường hợp số a1 ≠ ta có: a1 có cách chọn Có 2010 cách xếp chữ số Ở 2008 vị trí cịn lại, vị trí có cách chọn Vị trí cuối có cách chọn Do có 8.2010.9 2008 số Vậy số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán là: 102010 − ( 8.9 2009 + 92009 + 8.2010.92008 ) = 102010 − 16161.92008 số honganh161079@gmail.com Câu Nhân ngày phụ nữ Việt Nam 20/10, bạn nam lớp 10A đến cửa hàng hoa để mua hoa tặng giáo dạy lớp Cửa hàng hoa có bán ba loại hoa: hoa hồng, hoa cẩm chướng hoa đồng tiền ( số hoa loại lớn 8) Nhóm bạn nam vào cửa hàng chọn hoa Hỏi bạn nam có cách chọn số lượng loại hoa? A 40320 B 6720 C 336 D 45 Lời giải Tác giả : Đỗ Thị Hồng Anh, FB: Hong Anh Chọn D Nhóm bạn nam chọn bơng hoa gồm x hoa hồng, y hoa cẩm chướng z hoa đồng tiền Ta coi lựa chọn ba số ( x; y; z) cho x, y, z số nguyên không âm thỏa mãn x + y + z = Mỗi ( x; y; z) ta đặt tương ứng với dãy nhị phân độ dài 10 gồm kí tự kí tự sau: 11 1011 { { 011 { x y z Chẳng hạn ( 3; 1; 4) ứng với lựa chọn hoa hồng, hoa cẩm chướng hoa đồng tiền đặt tương ứng với dãy nhị phân 1110101111 Vì với dãy nhị phân độ dài 10 gồm kí tự kí tự tương ứng với cách chọn vị trí 10 vị trí để ghi số 0, vị trí cịn lại ghi số nên số dãy nhị phân C102 = 45 Vậy có 45 cách lựa chọn hoa thỏa yêu cầu toán mihawkdaculamihawkdacula@gmail.com Câu ( ) Cho dãy số un xác định sau: Số hạng thứ n số số tự nhiên có n chữ số gồm chữ số 1, 2, số có mặt lần Tìm tổng số hạng A 26844 B 28464 C 24684 D 26484 Lời giải Tác giả : Trần Tín Nhiệm, FB: Trần Tín Nhiệm Chọn D Ta tìm số hạng tổng quát Xét n = 1, n = rõ ràng ( un ) u1 = u2 = Bài tốn phụ: Ta xác định xem có số có n chữ số, chữ số 1, 2, cho chữ số xuất hay hai ba chữ số cho + Số số có n chữ số có mặt ba chữ số 33….3) + Trong ba số 1, 2, có C32 { 1,2,3} ( 11….1, 22…2, tập gồm chữ số Xét số gồm hai số 1,2 Mỗi chữ số có cách chọn nên có 2n số có n chữ số tạo thành từ chữ số tạo thành từ { 1,2} Nên có 2n – số có n { 1,2} chữ số có mặt lần ( trừ 11…1, 22…2) Từ đó, số số gồm n chữ số có mặt hai ba chữ số { 1,2,3} ( C32 2n − Mặt khác có tất 3n số số tự nhiên có n chữ số tạo thành từ chữ số có tất chữ số ( ) ) { 1,2,3} Do 3n − C32 2n − − = 3n − 3.2n + số số tự nhiên có n chữ số tạo thành từ { 1,2,3} số có mặt lần u1 = u2 =  n n  n n Suy dãy số ( un )  un = − 3.2 + (n ≥ 3) hay ( un ) = − 3.2 + 9 ∑u =∑( i 310 − 210 − − 3.2 + = ∑ − 3∑ + 27 = − + 27 = 26484 − − i =1 i =1 i i Vậy i =1 i =1 Minhduc486@gmail.com Câu 9 ) i i Có cách điền số 1, 2, 3, 4, 5, (mỗi số lần) vào trịn Hình cho tổng số cạnh tam giác nhau? (ví dụ hình 2, tổng số cạnh 10) Hình Hình Lời giải Tác giả : Trần Minh Đức, FB: Trần Minh Đức Gọi số điền vào Ta có: A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 hình vẽ A1 + B2 + A3 = A1 + B3 + A2 = A2 + B1 + A3 A1  A1 + B2 + A3 = A1 + B3 + A2  A3 − B3 = A2 − B2 ⇔ ⇔ A + B + A = A + B + A  3  A1 − B1 = A2 − B2 B3 B2 ⇔ A1 − B1 = A2 − B2 = A3 − B3 Do A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 hoán vị 1, 2, 3, 4, 5, A2 B1 A3 Nên ta có sau thỏa mãn: – = – = – 1; – = – = – – = – = – 1; – = – = – Ứng với ta có Và với cách chọn 3! hốn vị đỉnh A1 , A2 , A3 A1 , A2 , A3 có cách chọn B1 , B2 , B3 Vậy có: 3!.4 = 24 cách điền thỏa mãn yêu cầu toán hungbnp@gmail.com Câu 10 Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 hỏi lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, cho số tự nhiên chia hết cho 3? A 625 B 120 C 216 D 96 Lời giải Tác giả : Bùi Nguyễn Phi Hùng FB:Bùi Nguyễn Phi Hùng Chọn C Một số tự nhiên abcde có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Nhận thấy số tự nhiên thoả ycbt khơng đồng thời có mặt chữ số Do ta chia làm trường hợp: Trường hợp 1: abcde khơng có chữ số Khi chữ số cịn lại có tổng chúng chia hết cho 3, nên số số tự nhiên thoả mãn 5! số Trường hợp 2: abcde chữ số (khi ta cịn chữ số 0,1,2,4,5 có tổng chúng chia hết cho 3) Bước 1: chọn chữ số a có cách Bước 2: chọn bcde có 4! cách Suy trường hợp ta có 4.4! số Vậy theo quy tắc cộng ta có tất 5!+4.4! = 216 số Cohangxom1991@gmail.com Câu 11 Cho tập hợp A = { 0,1,2,3,4,5,6} có số tự nhiên gồm chữ số khác A có số lẻ chúng khơng ba vị trí liền kề A 160 B 164 C 170 lập từ D 468 Lời giải Tác giả : Phạm Văn Huy, FB: Đời Dòng Chọn D Cách Giả sử a1a2 a3a4 a5 số cần tìm Ta tính tất số gồm chữ số cho ln có mặt số lẻ, sau trừ trường hợp mà + Tất số lẻ đứng liền số lẻ, xếp số lẻ vào vị trí ta có A5 = 60 cách Khi cịn lại hai vị trí tùy chọn Vậy có số chẵn ta có A42 = 12 cách 60.12 = 720 số Nếu a1 = ta có chữ xếp số lẻ vào vị trí cịn lại vị trí chọn số chẵn { 2;4;6} A42 A31 = 72 số Vậy tất có 720 − 72 = 648 + Tính số có số gồm chữ số cho ln có mặt chữ số lẻ chữ số cho có số lẻ đứng liền Nếu a1a2 a3 số lẻ ta có Khi hai vị trí cịn lại a4a5 chọn tùy ý số chẵn A42 = 12 ta có Vậy có 6.12 = 72 số Nếu chọn a2 a3a4 chọn Vậy có số lẻ ta có A3 = (cách xếp) Khi a1 có cách chọn a5 có cách 6.3.3 = 54 số Tương tự a3a4 a5 số lẻ có 54 số Vậy có tất 72 + 2.54 = 180 số có số lẻ đứng liền Vậy tổng cộng có 648 − 180 = 468 số Cách 2: Tham khảo cách giải Lưu Thêm (QTV) Có vị trí khơng liền kề { 1,2,4} ,{ 1,2,5} ,{ 1,3,4} ,{ 1,3,5} ,{ 1,4,5} , { 2,3,4} , { 2,3,5} Trường hợp 1: a1 số lẻ Chọn vị trí cho a2 , a3 có cách Xếp số lẻ vào vị trí vừa chọn có 3! cách Chọn 2 số chẵn xếp vào vị trí cịn lại có A4 Vậy có 5.3! A42 = 360 số : a1 không số lẻ Chọn vị trí cho chữ số lẻ có cách Trường hợp Xếp số lẻ vào vị trí có 3! cách số chẵn xếp vào vị trí cịn lại có 3.3 cách Vậy có 2.3!.3.3 = 108 số Vậy tổng cộng có 360 + 108 = 468 số Chọn thantaithanh@gmail.com Câu 12 Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên có 15 chữ số, chữ số chữ số xuất lần, chữ số cịn lại xuất khơng q lần chữ số lớn khơng có hai chữ số đứng cạnh A 293388478 B 293388479 C 293388480 D 293388481 Lời giải Tác giả : Nguyễn Trung Thành Chọn C Trước hết ta xếp chữ số chữ số vào 10 vị trí xếp thành hàng ngang Chọn 10 vị trí để xếp chữ số có C105 cách chọn Các vị trí cịn lại ta xếp chữ số Giữa chữ số chữ số hai sắp xếp có vị trí xen hai vị trí hai đầu mút Để chữ số khác lớn mà khơng có hai chữ số đứng cạnh ta cần chọn chữ số lại xếp chúng vào 11 vị trí nói trên: - Có C75 cách chọn chữ số lớn - Với chữ số vừa chọn xếp vào 11 vị trí có: A115 cách xếp Vậy có: C10 C7 A11 = 293388480 quangnam68@gmail.com 5 C biết L ={các số tự nhiên có 2018 chữ số lập từ số 0,1,2 mà số xuất lẻ lần }, C ={các số tự nhiên có 2018 chữ số lập từ số 0,1,2 mà số Câu 13 Cho hai tập hợp hợp xuất chẵn lần ( kể số tử tập hợp A L L 32018 − không xuất hiện) } Gọi L , C C Giá trị biểu thức M = L + C B 32018 + C 32019 + số lượng phần D 32019 − Lời giải Tác giả:Nguyễn Quang Nam ; Fb: quang nam Chọn A Giả sử số cần lập có dạng : +) Tính L a1a2 a2018 sau: giả sử số cần lập có k số ( k lẻ) ta tiến hành lập số sau: - Chọn số cho a1 có cách ( a1 ≠ ) k ⇒ có C2017 cách - Chọn số cho vị trí cịn trống có 22017 − k cách k 2017 − k số thỏa mãn tính chất ⇒ có 2.C2017 - Chọn vị trí cho k số từ 2017 vị trí 2017 ⇒ L = 2.(C12017 22016 + C32017 22014 + + C2017 ) +) Tính C : lí luận tương tự 2016 C = 2.(C02017 22017 + C22017 22015 + + C2017 2) Áp dụng tính chất Cnk − + Cnk = Cnk+ ta có 2016 2017 L + C = 2.[(C02017 + C12017 ).22017 + (C2017 + C32017 ).22014 + + (C 2017 + C 2017 ).2] = 2018 = 2.(C12018 22017 + C32018 22014 + + C2017 − (2 − 1) 2018 = 32018 − 2018 2) = (2 + 1) ⇒ L + C = 32018 − trichinhsp@gmail.com A = { 1;2;3; ;2020} Câu 14 Cho tập a< b< c A 2032129 cho và số a, b, c ∈ A Hỏi có số tự nhiên có dạng abc a + b + c = 2019 B 2032128 C 677376 D 338688 Lời giải Tác giả : Nguyễn Trí Chính, FB: Nguyễn trí Chính Chọn D Gọi x số số tự nhiên có dạng abc cho a, b, c ∈ A , a < b < c a + b + c = 2019 Thì 3!x số nghiệm Xét phương trình TH1: Xét TH2: Xét ( a; b;c) phương trình: a + b + c = 2019 ( 1) với a; bc đôi khác a + b + c = 2019 ( 1) , số nghiệm nguyên dương ( 1) C2018 a = b = c = 673 , ( 1) có nghiệm a = b = c = 673 a = b, a ≠ c ( 1) :2a + c = 2019 ( 2) có 1009 nghiệm ( a;c) ⇒ ( 1) có 1009 nghiệm ( a; b; c) , trừ nghiệm ( 673;673;673) nên 1008 nghiệm Có 1≤ a ≤ 1009, phương trình 2a + c = 2019( 2) TH3: Tương tự a = c, a ≠ b b = c, b ≠ a có 1008.2 = 2016nghiệm Số nghiệm khác Suy a + b + c = 2019 có số nghiệm dương C2018 CM: Xét phương trình a + b + c = 2019 ( 1) a = 2017,b + c = : ( 1) Nếu a = …… Nếu ( 1) : 3! x= 1009.2017− ( 1+ 3.1008) = 2032128 x= 338688 CM: “phương trình Nếu , 2016, b + c = 3: ( 1) a = 1,b+ c = 2018 : ( 1) có nghiệm nguyên dương có nghiệm nguyên dương có 2017nghiệm nguyên dương () Tất nghiệm : 1+ + + 2017 = 1009.2017 = lehongphivts@gmail.com 0,1,2,3,4,5,6,7 phải có chữ số 1,2 Câu 15 Từ chữ số A 5880 B C2018 lập số tự nhiên có chữ số khác đứng cạnh nhau? 960 C Lời giải 4800 D 840 Tác giả: Lê Hồng Phi, FB: Lê Hồng Phi Chọn D Cách Số tự nhiên có chữ số có dạng a1a2 a3a4a5 Để thuận tiện ta xét trường hợp a1 = +) Sắp hai chữ số 1,2 đứng cạnh có +) Bố trí nhóm { 1,2} +) Chọn chữ số cho Do có tất Khi a1 = vào 2! cách vị trí liên tiếp vị trí có cách 3 vị trí cịn lại có A6 cách 2!× × A63 = 960 số cách làm ta tính có Vậy có tất 2!× 3× A52 = 120 số 960 − 120 = 840 số tự nhiên thỏa mãn toán Cách Số tự nhiên có chữ số có dạng a1a2 a3a4a5 Trường hợp hai chữ số 1,2 đứng hai vị trí ( a1a2 ) +) Sắp hai chữ số 1,2 đứng cạnh có +) Chọn chữ số cho Do đó, có 2! cách 3 vị trí cịn lại có A6 = 120 cách × 120 = 240 số Trường hợp hai chữ số 1,2 khơng đứng vị trí ( a1 ) +) Chọn chữ số cho vị trí a1 có cách +) Sắp hai chữ số 1,2 đứng cạnh có +) Bố trí nhóm { 1,2} +) Chọn chữ số cho Do đó, có vào 2! cách vị trí liên tiếp vị trí cịn lại có A52 = 20 vị trí có cách cách × × × 20 = 600 số Vậy có tất 240 + 600 = 840 số Email: Sunflower.hnue@gmail.com { } Hỏi có tập gồm phần tử A mà tổng Câu 16 Cho tập hợp A = 1,2,3 ,100 phần tử 90 A 638 B.624 C 631 D 609 Tác giả:Nguyễn Thị Thúy Facebook: Thuy Nguyen Lời giải Chọn C E = { a, b, c} G/s tập hợp cần tìm có dạng  a > b ≥ 30 > c a + b + c = 90 ⇒  Không tính tổng quát g/s a > b > c ,  a > 30 > b > c TH1 : Nếu a > b ≥ 30 > c ⇒ 30 ≤ b ≤ 44 ( 2b < a + b < 90 ) ⇒ b ∈ { 30,31, ,44} b = 44 ⇒ a = 45 ⇒ a có cách chọn { } Nếu b = 43 ⇒ a ∈ 44,45,46 ⇒ a có cách chọn …………………………………………………… Nếu ⇒ b = 30 ⇒ a ∈ { 31,32,33, ,59} ⇒ a có 29 cách chọn Số cách chọn cặp ( a, b ) + + + + 29 = 225 số Với cách chọn cặp ( a, b ) cho ta cách chọn c = 90 − ( a + b ) Có 225 cách chọn tập E trường hợp TH2: a > 30 > b > c ⇒ b, c ∈ { 1,2, ,29} Số cách chọn cặp ( b, c ) C292 = 406 , với cách chọn cặp ( b, c ) cho ta cách chọn a = 90 − ( b + c ) ⇒ Có 406 cách chọn tập E trường hợp Vậy số cách chọn tập E : 225+406= 631 Email: ngbdai@gmail.com ABC , cạnh AB lấy điểm khác A, B , cạnh BC lấy điểm khác B, C , cạnh CA lấy điểm khác C , A Gọi S tổng số tứ giác tạo thành lấy điểm 15 điểm nói Khi S bằng? A S = 1365 B S = 1020 C S = 991 D S = 1041 Câu 17 Cho tam giác Lời giải Tác giả: Nguyễn Bá Đại Chọn B Lấy điểm 15 điểm có C154 = 1365 Số cách lấy điểm đó, ba điểm nằm cạnh, điểm thứ tư cạch khác là: 11.C43 + 10.C53 + 9.C63 = 324 Số cách lấy điểm , điểm nằm cạch là: C43 + C54 + C64 = 21 Vậy S = 1365− 324− 21= 1020 Email: thachtv.tc3@nghean.edu.vn Câu 18 Cho lưới gồm vng kích thước B 10 × hình vẽ sau Một người từ theo quy tắc: cạnh ô vuông theo chiều từ trái qua phải từ lên Hỏi có đường khác để người từ A A đến C54 C62 B C166 C A đến B qua điểm C ? C94 C72 D C64 C105 Lời giải Tác giả: Trịnh Văn Thạch Chọn C ( ) Mỗi đường từ A đến C gồm + đoạn (mỗi đoạn cạnh ô vuông) Tại đoạn, người chọn lên (ta mã hóa 1) hay sang phải (ta mã hóa 0) Số đoạn lên số đoạn sang phải ⇒ Mỗi đường từ A đến C Từ số đường từ chuỗi nhị phân kí tự có chữ số chữ số A đến C C Tương tự, số đường từ đến B C94 C72 Vậy đường khác để người từ ngonguyenanhvu@gmail.com Câu 19 Cho hình đa giác có nhiêu đỉnh 24 C94 C72 + 2n đỉnh ( n ≥ 2;n∈ Z ) Biết số đường chéo hình đa giác 23 số lần hình chữ nhật tạo từ A A đến B qua điểm C B 20 đỉnh 2n hình đa giác Hỏi đa giác có bao C 26 D 30 Lời giải Tác giả : Ngô Nguyễn Anh Vũ, FB: Euro Vu Chọn C Số đường chéo tạo thành từ 2n đỉnh đa giác là: C2n − 2n Đa giác có 2n đỉnh nên có n đường chéo qua tâm Mỗi hình chữ nhật tạo từ hai đường chéo qua tâm.Vậy số hình chữ nhật tạo thành Cn2 23 ⇒ ( 2n) ! − 2n = 23 n! C − 2n = Cn ( n − 2) !2! ( 2n − 2) !2! Theo đề: 23 ⇔ ( 2n − 1) n − 2n = ( n − 1) n ⇔ 24n2 − 36n = 23n2 − 23n ⇔ n2 − 13n = 12 2n Vậy đa giác có ⇔ n = 13 26 đỉnh phamthanhmy@gmail.com Câu 20 Có số tự nhiên có năm chữ số đơi khác thỏa mãn tổng chữ số hàng đớn vị, hàng chục hàng trăm 10 A 1368 B 1728 C 2016 D 1872 Lời giải Tác giả: Phạm Thanh My Facebook: Pham Thanh My Chọn D Gọi số cần lập abcde thỏa mãn a ¹ 0,c + d + e = 10 Þ c,d,e lập từ ( 0;1;9) ,( 0;2;8) ,( 0;3;7) ,( 0;4;6) ,( 1;2;7) ,( 1;3;6) ,( 1;4;5) ,( 2;3;5) + Trường hợp 1: Chọn để tạo c,d,e lập từ số có chứa chữ số c,d,e có cách chọn, có 3! cách xếp Chọn xếp hai chữ số cịn lại có Þ trường hợp có + Trường hợp 2: Chọn để tạo Chọn chữ số A72 cách 4.3!.A72 số c,d,e lập từ số khơng chứa chữ số c,d,e có cách chọn, có 3! cách xếp a có cách ( a ¹ 0) Chọn chữ số b có cách Þ trường hợp có 4.3!.6.6 số Vậy có 1872 số thỏa mãn đề kenbincuame@gmail.com số sau: { } Câu 21 Từ chữ số thuộc tập X = 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 , ta lập số tự nhiên có chữ số cho có chữ số lặp lại lần, chữ số khác lặp lại lần, chữ số khác với hai chữ số trên? A 43200 B 480 C 3888 D 38880 Lời giải Tác giả : Nguyễn Việt Thảo , FB: Việt Thảo Chọn D - Có 10 cách chọn chữ số xuất lần có - Có cách chọn chữ số xuất lần có C63 C32 cách chọn vị trí cho chữ số cách chọn vị trí cho chữ số - Có cách chọn chữ số từ chữ số lại Khi có 10.C6 9.C3 = khác 43200 dãy số gồm chữ số, chữ số đứng đầu - Xét trường hợp chữ số đứng đầu Khi ta có trường hợp: + Chữ số xuất lần, có C52 9.C32 + Chữ số xuất lần, có C51.9.C43.8 số + Chữ số xuất lần, có 9.C53 số số Vậy số cần tìm theo yêu cầu toán là: 10.C63 9.C32 − C52 9.C32 − C51.9.C43.8 − 9.C53.8 = 38880 (số) * Nhận xét: Ta lập luận theo cách khác sau: Vì vai trò 10 chữ số thuộc tập X 10.C63 9.C32 8.9 = 38880 nên số số cần tìm theo u cầu tốn là: số 10 Congnhangiang2009@gmail.com Câu 22 Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên có chữ số cho số tạo thành định phải có mặt chữ số , chữ số khác xuất nhiều lần khơng có số có hai chữ số đứng cạnh nhau? A 984 B 23 C 50 D 58464 Lời giải Tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, FB: Hoàng Nhàn Chọn D Gọi X = { 2,3,4,5,6,7,8,9} Chỉ xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: chữ số +) Chọn chữ số từ tập X chữ số khác từ tập X : xếp theo thứ tự thành hàng ngang: có A85 cách xếp 6 Khi đó, ta có vị trí xếp số 1, +) Xếp số vào Suy trường hợp có Trường hợp 2: +) Chọn chữ số X Suy trường hợp Trường hợp 3: có chữ số khác từ tập X: xếp theo thứ tự thành hàng ngang: có A84 C52 A84 cách xếp chữ số hai đầu cách xếp cách xếp chữ số chữ số khác từ tập X : xếp theo thứ tự thành hàng ngang: có vị trí xếp số 1, +) Xếp số vào ba Suy trường hợp có 4 2 vị trí nói trên: có khoảng trống C43 A83 cách xếp chữ số hai đầu cách xếp A83 C43 cách xếp Vậy có A8 C6 + A8 C5 + A8 C4 langtham313vt@gmail.com 3 = 58464 số Câu 23 Có tất số tự nhiên gồm A cách xếp cách xếp vị trí nói trên: có C5 chữ số từ tập X Khi đó, ta có C61 chữ số hai đầu vị trí xếp số 1, khoảng trống +) Xếp số vào hai khoảng trống vị trí nói trên: có A85 C61 chữ số từ tập Khi đó, ta có +) Chọn chữ số mà số khơng có chữ số lặp lại lần? 99595 B 89560 C 89640 D 89595 Lời giải Sưu tầm : Nguyễn Minh Cường, FB: yen nguyen Chọn D * Gọi n = abcdelà số tự nhiên gồm chữ số a có cách chọn; b,c, d,e chữ số có 10 cách chọn ⇒ * Tìm số tự nhiên có lặp lại lần: a0000 ; TH có số + TH chữ số lặp lại lần: a1111( a ≠ 1) : a có cách chọn ⇒ có số ( a = 1) : x có cách chọn có vị trí ⇒ Dạng 1x111 Suy TH có 9.104 số n chữ số có chữ số lặp lại lần + TH chữ số Dạng có 8+ 36 = 44 số có 9.4 = 36 số Các TH chữ số từ số Suy có tất Vậy có đến lặp lại lần tương tự TH chữ số lặp lần, TH có 44 9+ 9.44 = 405 số có chữ số có chữ số lặp lại lần 9.104 − 405 = 89595 số thỏa yêu cầu toán Email: tuancaohoc17@gmail.com Câu 24 Có số tự nhiên có hàng chục chữ số lẻ A 171 chữ số khác nhau, chia hết cho , nhỏ 4567 B 172 C 173 có chữ số D 170 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Tuấn,Tên FB: Nguyễn Tuấn Chọn B Gọi abcd số tự nhiên có hàng chục chữ số lẻ Ta có: chữ số khác nhau, chia hết cho abcd M4 ⇔ 1000a + 100b + 10c + d M4 ⇔ 2c + d M4 Mặt khác a ∈ { 1;3} Khi Ta có d c lẻ suy c ∈ { 1;3;5;7;9} \ { a} dư , hay d ∈ { 2;6} a, c, d b chia cho có Vì trường hợp có TH2: a = Khi c Ta có d Sau chọn 2.4.2.7 = 112 lẻ suy , hay d = a, c, d b a = 4, b ∈ { 1;3} Ta có d chia cho Khi dư c có cách chọn suy c có cách chọn 35 số thỏa mãn c lẻ suy c ∈ { 1;3;5;7;9} \ { b} suy c có cách chọn , hay d ∈ { 2;6} Vì trường hợp có 1.2.4.2 = 16 số thỏa mãn TH4: a = Ta có d 4, b = Khi c chia cho dư dư cách chọn Vì trường hợp có 1.5.1.7 = TH3: số thỏa mãn c ∈ { 1;3;5;7;9} dư có suy phải chia cho cách chọn chia cho có chữ số (1) c lẻ nên 2c chia cho dư , nên để thỏa mãn (1), d TH1: Sau chọn , nhỏ 4567 lẻ suy c ∈ { 1;3;5;7;9} , hay d = Vì trường hợp có 1.1.5.1 = số thỏa mãn suy c có cách chọn TH5: a = 4, b = Khi c ∈ { 1;3} Ta có d Vậy trường hợp có 2.2 = chia cho dư , hay d ∈ { 2;6} số thỏa mãn Do có 172 số thỏa mãn đề danhduoc@gmail.com Câu 25 Có số tự nhiên có chữ số cho có chữ số xuất bốn lần, chữ số khác xuất hai lần chữ số khác với hai chữ số trên? A 75600 B 68040 C 68400 D 60480 Lời giải Tác giả: Vũ Danh Được Chọn B Ta xét số có chữ số đứng đầu, đó: Có 10 cách chọn chữ số xuất lần có C74 cách chọn vị trí vị trí cho chữ số Có cách chọn chữ số (khác với chữ số trên) xuất lần có vị trí cịn lại cho chữ số C32 cách chọn vị trí Chữ số cịn lại (khác với hai chữ số trên) có cách chọn Vậy số số 10.C7 9.C3 = Vì vai trị chữ số 75600 0,1, 2, ,9 (số) nên số số có chữ số đứng đầu 75600:10 = 7560 Vậy số số thỏa mãn yêu cầu toán (số) 75600 − 7560 = 68040 (số) Email: phuongnamthptqx1@gmail.com Câu 26 Có số tự nhiên chia hết cho 3, biết số gồm 2018 chữ số lấy từ tập hợp X = { 3;5;7;9} A 42018 + 42018 + B 42018 + C 42018 + D Lời giải Tác giả : Trần Văn Nam,Tên FB: Trần Văn Nam Chọn C Gọi Sn số số tự nhiên chia hết cho 3, số gồm n chữ số lấy từ tập hợp X Dễ thấy S1 = Gọi Pn số số tự nhiên không chia hết cho 3, số gồm n chữ số lấy từ tập hợp X Sn + Pn = 4n Ta có Ta tính Sn + ( n = 1,2,3 ) sau: Giả sử A số tự nhiên gồm n chữ số lấy từ tập hợp X, có trường hợp sau: Nếu A chia hết cho ta viết thêm chữ số chữ số vào bên phải A để số chia hết cho 3, gồm n+1 chữ số lấy tự tập hợp X Nếu A chia hết cho dư ta viết thêm chữ số vào bên phải A để số chia hết cho 3, gồm n+1 chữ số lấy tự tập hợp X Nếu A chia hết cho dư ta viết thêm chữ số vào bên phải A để số chia hết cho 3, gồm n+1 chữ số lấy tự tập hợp X n Sn + Pn = 4n , ta Sn+ − Sn = Do Sn +1 = 2Sn + Pn Ta có Sn = ( Sn − Sn−1 ) + ( Sn− − Sn− ) + + ( S2 − S1 ) + n −1 =4 +4 n− thay ( 1,2,3 ) 4n + + + + = Vậy số phải tính S2018 = 42018 + Email: tuangenk@gmail.com Câu 27 Một số tự nhiên gọi số thú vị số có chữ số đơi khác lập thành tự tập A { 1;2; ;8} số chia hết cho 1111 Hỏi có số tự nhiên thú vị thế? 383 B 384 C 386 D 388 Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Tuấn Facebook: Minh Tuấn Chọn B Số cần tìm có dạng i = a1a2 a3a4b1b2b3b4 Ta có tổng chữ số số cần tìm tổng chữ số từ đến 36 chia hết số cần tìm chia hết cho Do 1111 có ước chung lớn nên theo giả thiết i chia hết cho 9999 Đặt x = a1a2 a3a4 , y = b1b2b3b4 Ta có i = x.104 + y = 9999 x + x + y ( x + y) chia hết cho 9999 Mặt khác < x + y < 2.9999 ⇒ x + y = 9999 Do a1 + b1 = a2 + b2 = a3 + b3 = a4 + b4 = Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 có cặp chọn chia hết cho 9999 từ suy a2 ; cách chọn a3 Vậy số số thú vị ( 1;8) , ( 2;7 ) , ( 3;6 ) , ( 4;5) cách chọn 8.6.4.2 = 384 Email: lecamhoa474@gmail.com số a1 tức chọn ak có ln nên có cách chọn bk a1 ; cách A = { 1;2;3; ;2018} Câu 28 Cho tập a< b< c A 2027070 cho và số a, b, c ∈ A Hỏi có số tự nhiên có dạng abc a + b + c = 2016 B 2026086 337681 C D 20270100 Lời giải Tác giả : Lê Cẩm Hoa Chọn C Xét phương trình a + b + c = 2016 Ta biết phương trình có C2015 nghiệm ngun dương số trùng nhau: a = b = c = 672 nghiệm có a = b , c ≠ a ⇒ 2a + c = 2016 TH1: Xét cặp nghiệm TH2: Xét cặp < c < 2016 nên có 1007 giá trị c Do có 1007 Suy c số chẵn thỏa cặp, mà có cặp trừ cặp ( 672,672,672 ) (loại) Do có 1006 cặp Tương tự ta suy có 1006.3 cặp nghiệm có số trùng C2015 − 3.1006 − = 337681 Do số tập hợp gồm ba phần tử có tổng 2016 3! (Chia cho 3! a < b < c nên khơng tính hốn vị ba ( a, b, c ) ) Lenguyet150682@gmail.com Câu 29 Từ hai chữ số tạo số có 2018 chữ số thỏa mãn hai điều kiện: i) Chia hết cho ii) Có tổng chữ số số chẵn A 22018 B 22017 22015 C D 22016 Lời giải Tác giả : Lê Thị Nguyệt, FB: Nguyệt Lê Chọn C Giả sử số thỏa đề có dạng Vì a1 ¹ a1a2 a2018 nên a1 = a2018 M5 nên a2018 Vì aa = Vì tổng chữ số số chẵn nên số Do có tất C 2016 + C 2016 + L 2015 + C 2016 = 22015 a2,a3, ,a2017 có số lẻ số = số thỏa đề  ... thỏa đề có dạng Vì a1 ¹ a1a2 a2018 nên a1 = a2018 M5 nên a2018 Vì aa = Vì tổng chữ số số chẵn nên số Do có tất C 2016 + C 2016 + L 2015 + C 2016 = 22015 a2,a3, ,a2017 có số lẻ số = số thỏa đề. .. 3!.C42 2! = 3600 cách chọn 480 + 3000 + 7680 + 14400 + 8640 + 3600 = 37800 cách chọn thỏa yêu cầu toán Email: ngvanmen@gmail.com Câu Cho đa giác 20 cạnh nội tiếp đường tròn (O) Xác định số hình... qua đỉnh đa giác hình chữ nhật hình thang có hai trục đối xứng nên số hình thang thỏa mãn yêu cầu toán 360 + 450 − 45 = phamkhacthanhkt@gmail.com Câu cách chọn đỉnh hình thang nhận trục đối xứng