Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh dùng tư duy hàm số để giải phương trình, hệ phương trình

MỤC LỤC I MỞ ĐẦU: Trang 01 Lí chọn đề tài 01 Mục đích nghiên cứu 01 Đối tượng nghiên cứu 02 Phương pháp nghiên cứu 02 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 03 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 03 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 03 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 05 3.1 Mục tiêu giải pháp 05 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp 05 GP1: Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình 1- Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình 2- Các dấu hiệu nhận biết phương trình giải phương pháp hàm số GP2: Vận dụng thực hành giải hệ phương trình 12 1- Thao tác thực hành tư hàm số giải hệ 2- Xây dựng hệ thống tập chọn lọc cho học sinh - Hướng dẫn học sinh xây dựng dấu hiệu cho hệ phương trình giải tư hàm số GP3: Nêu số vấn đề liên quan đến tư hàm số VĐ1 : Tư hàm số giải bất phương trình VĐ2 : Tư hàm số toán chứa tham số VĐ3 : Tư hàm số chứng minh bất đẳng thức VĐ4 : Mối liên hệ phương pháp hàm số phương pháp giải toán khác Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, 15 15 đồng nghiệp nhà trường III KẾT LUẬN 17 Kết luận 17 Kiến nghị 18 I MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, hệ phương trình vấn đề quan trọng tốn học phổ thơng, trải dài xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT Đây vấn đề hay khó, xuất nhiều dạng câu phân loại mức độ cao đề thi tuyển sinh Đại học Việc giải toán phương trình, hệ phương trình đa dạng phong phú, ngồi việc phân loại theo dạng tốn đặc trưng phân loại theo phương pháp giải toán Do đa dạng dạng toán, phương pháp giải mật độ xuất dày đặc đề thi nên học sinh có khối lượng lớn kiến thức tập thực hành khổng lồ Vì vậy, khơng có chiến lược cách học phần kiến thức học sinh dễ sa vào việc lo giải toán mà khơng có định hướng tư chiến lược cho việc giải toán nội dung Tư hàm tư cao, hình thành phát triển q trình học tốn Việc vận dụng tư hàm giải tốn phương trình, hệ phương trình khơng giúp học sinh giải tốn cách sáng tạo , nhẹ nhàng mà giúp học sinh phát triển hồn thiện tư hàm Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải tốn phương trình, hệ phương trình Với ý định đó, sáng kiến kinh nghiệm muốn nêu cách xây dựng định hướng “giải toán phương trình, hệ phương trình” cách xây dựng “tư hàm số” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giải tập Tốn phần quan trọng, khơng thể thiếu mơn Tốn học, làm tập khơng giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời rèn luyện khả tư cho học sinh Bài tập giải phương trình, hệ phương trình toán quan trọng, xuất nhiều đề thi THPT Quốc Gia mức độ cao Tuy nhiên nội dung lí thuyết phần hệ thống SGK phổ thơng trình bày đơn giản, rải rác từ lớp 10 đến lớp 12, khơng phân loại dạng tốn phương pháp Điều gây khó khăn nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng tốn phương pháp giải toán cho học sinh Trong sáng kiến kinh nghiệm nhiều nội dung phương pháp trang bị cho học sinh để giải toán phương trình, hệ phương trình Đó là: “Hướng dẫn học sinh dùng tư hàm số để giải phương trình, hệ phương trình” Nhiệm vụ đề tài: Khảo sát giải tốn phương trình, hệ phương trình học sinh trường THPT Hoằng Hóa Thực trạng phân tích thực trạng Đánh giá, rút kinh nghiệm Đề giải pháp nhằm nâng cao hiệu giải toán phương trình, hệ phương trình học sinh ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các dấu hiệu nhận biết tốn phương trình, hệ phương trình giải tư hàm số PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp dạy học theo hướng giải vấn đề Nghiên cứu tư liệu sản phẩm hoạt động sư phạm Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư giải toán học sinh Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh vấn đề liên quan đến nội dung đề tài Phương pháp thống kê, phân tích số liệu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến: - Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số f đồng biến K  x1 x2  K , x1  x  f ( x1 )  f ( x ) Hàm số f nghịch biến K  x1 x  K , x1  x  f ( x1 )  f ( x ) - Tính chất: Cho f (x) xác định K Với x1 x  K ; f ( x1 )  f ( x )  x1  x - Để chứng minh tính đơn điệu hàm số y  f (x) K ta dựa vào phương pháp sau: * Phương pháp 1: Dùng định nghĩa + Lấy x1 , x  K , x1  x , lập tỉ số A  f ( x )  f ( x1 ) x2  x1 + Dựa vào dấu A để suy tính đơn điệu Nếu A  0, x1 , x2 �K hàm số f đồng biến Nếu A  0, x1 , x2 �K hàm số f nghịch biến biến (Nội dung trình bày SGK lớp 10) *Phương pháp 2: Dùng đạo hàm: �f ' ( x) �0, x �D + Tính chất 1:Hàm số f đồng biến D � � �f '( x)  hữu hạn điểm D �f ' ( x) �0, x �D + Tính chất 2: Hàm số f nghịch biến D � � �f '( x)  hữu hạn điểm D Chú ý: D   a; b  thay D  a; b ;  a; b  ;  a; b  thêm tính chất hàm số phải lên tục D (Nội dung trình bày SGK lớp 12) Nếu học sinh học đạo hàm việc chứng minh tính đơn điệu hàm số đơn giản phương pháp Đối với học sinh chưa học đạo hàm phải sử dụng định nghĩa, dạng hàm số phức tạp việc dùng định nghĩa để chứng minh điều khó 1.2 Một số định lý: Định lí 1: Nếu hàm số y=f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm f(x) = k D không nhiều f(x)=f(y) x = y với x,y thuộc D Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức f(a)=k f đồng biến D nên * x > a suy f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm * x < a suy f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vơ nghiệm Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nghiệm Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số y = g(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f(x) = g(x) khơng nhiều Chứng minh: Giả sử x=a nghiệm phương trình f(x)=g(x), tức f(a)=g(a) Ta giả sử f đồng biến g nghịch biến *Nếu x>a suy f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vơ nghiệm *Nếu x