Skkn hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

MỤC LỤC Trang A Đặt vấn đề -1 I Cơ sở lí luận -1 II Thực trạng vấn đề nghiên cứu -1 Thực trạng Hiệu vấn đề III Đối tượng thời gian nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu - 2 Thời gian nghiên cứu - IV Phương pháp nghiên cứu - B Giải vấn đề -3 PHẦN I Cơ sở lí thuyết phương pháp hàm số -3 PHẦN II Các toán phương pháp giải -5 I Các tốn phương trình -5 II Các tốn hệ phương trình III Các tốn bất phương trình 14 III Các toán hệ bất phương trình -18 Bài tập -19 C Kết luận 20 skkn A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI NÓI ĐẦU Đổi phương pháp dạy học ngành giáo dục, nhằm thay đổi cách dạy học cũ theo kiểu “ thầy đọc trị chép” hình thức, phương pháp dạy học Phương thức dạy học lấy người học làm trung tâm Tức người học người chủ động khám phá tìm kiến thức mới, hình thành kỹ hướng dẫn người thầy Với phương thức dạy học vậy, kết đạt người động sáng tạo biết cách phối hợp làm việc nhóm Trong hoạt động thực tiễn học tập nghiên cứu khoa học, phương pháp để thực hoạt động ln đóng vài trị quan trọng Phương pháp sản phẩm trí tuệ người hay nhiều người đúc rút từ hoạt động thực tiễn hay tư khoa học Trong việc học mơn tốn vậy, thân mơn tốn mơn khó nhiều học sinh Vì q trình dạy học tốn nhà sư phạm, thầy cô giáo cố gắng dạy em nắm vững phương pháp giải lớp tốn Từ với tư logic học sinh giải tốn khác Trong kho tàng kiến thức tốn học, có nhiều phương pháp giải dạng toán khác mà phươg pháp hàm số số Trong chương trình tốn học phổ thơng, vấn đề giải biện luận phương trình, hệ phương trình bất phương trình giữ vị trí quan trọng Nó xun suốt chương trình bậc học thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi đại học cao đẳng Lớp toán giải biện luận phương trình, hệ phương trình bất phương trình đa dạng phong phú Để giải toán học sinh phải huy động kiến thức Đại số Giải tích, phải sử dụng nhiều phương pháp thủ thuật khác Cũng địi hỏi học sinh phải có đam mê tìm tịi có khả vận dụng kiến thức, kĩ năng, phương pháp cách linh hoạt sáng tạo Với lí thực tiễn giảng dạy, đúc rút viết sáng kiến kinh nghiệm này, để rao đổi với bạn đồng nghiệp tài liệu để giảng dạy cho em học sinh, nhằm giới thiệu giảng dạy cho em phương pháp giải biện luận phương trình, hệ phương trình bất phương trình hiệu dễ áp dụng “phương pháp sử dụng chiều biến thiên” hay “ phương pháp hàm số để giải phương trình hệ phương trình bất phương trình” II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ skkn Thực trạng Đây vấn đề thời người làm tốn Trên thực tế có nhiều năm kỳ thi vào đại học cao đẳng, kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia đề thi có dạng toán Ta thường gặp tốn số báo Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Hiệu vấn đề Các dạng tốn tơi áp dụng giảng dạy cho học sinh trường THPT Triệu Sơn Tôi áp dụng giảng dạy cho học sinh em gặp tốn dạng em giải nhanh thường đạt kết tốt Đặc biệt kỳ vào Đại học Cao đẳng năm 2013 học sinh lớp tơi dạy tốn em làm tốt câu giải hệ phương trình phương pháp hàm số, có 16 lượt em đạt điểm mơn tốn điểm đến 10 điểm trung bình 70 lượt thi mơn tốn lớp 12C2 là: 7,75 điểm mơn tốn Năm học 2013-2014 đội tuyển tốn tơi phụ trách có em tham gia dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh em đạt giải: 1giải nhì giải ba III ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu - Các kiến thức hàm số biến thiên, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ - Các tốn phương trình, hệ phương trình bất phương trình sử dụng phương pháp hàm số để giải - Đối tượng áp dụng để thực học sinh lớp 12A7 trường THPT Triệu Sơn năm học 2013-2014 đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Thời gian nghiên cứu đề tài: Năm học 2012-2013 năm học 2013-2014 IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa số sách tham khảo, báo Tốn học tuổi trẻ để có hệ thống kiến thức hồn chỉnh hàm số sau xếp kiến thức cần dùng theo trình tự logic mơn học Phân chia tốn thành dạng để học sinh dễ vận dụng nắm bắt phương pháp - Nghiên cứu thực tế: Sau có nghiên cứu lí thuyết sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy tự chọn nâng cao buổi bồi dưỡng ôn thi đại học, ơn thi học sinh giỏi Thơng qua đánh giá mức độ hứng thú tiếp thu học sinh kết cho thấy phương pháp hiệu cho em giải lớp toán dạng B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ skkn PHẦN CƠ SỞ LÍ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I CÁC ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng f hàm xác định K Khi a Hàm số f gọi đồng biến K ; b Hàm số f gọi nghịch biến K Định nghĩa Cho hàm số hàm số f có tập xác định D(D ) Tập giá trị hàm số Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định D (D ) a Nếu tồn điểm cho với số gọi giá trị lớn hàm số f D, kí hiệu b Nếu tồn điểm cho với gọi giá trị nhỏ hàm số f D, kí hiệu số II CÁC ĐỊNH NGHĨA Định lí Giả sử f có đạo hàm K a Nếu hàm số f đồng biến K; b Nếu hàm số f nghịch biến K; c Nếu hàm số f khơng đổi K Định lí Nếu hàm số liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b)0 = = h(y) hàm số đồng biến h(-1) = Vậy (I) Thí dụ Giải hệ phương trình: Bài giải Với y=2x thay vào (2) ta được: Xét hàm số Ta có đồng biến Do phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt : Thí dụ Giải hệ phương trình: Bài giải Điều kiện: Ta có (2) (vì 2x + y2 +3 > 0, với Thay y = x2 vào (1) ta được: ) (3) Xét hàm số f(x) = Ta có f’(x) = Và f’’(x) = Do hàm số f’(x) đồng biến khoảng (-1; 2), nên phương trình f’(x) = có nhiều nghiệm Mặt khác f’( ) = 0, từ ta có Bảng biến thiên skkn x -1 f’(x) - f(x) Vì f( ) = + f( ) < 0, Từ bảng biến thiên suy phương trình f(x) = có nhiều nghiệm, f(0) = f(1) = 0, phương trình (3) có nghiệm x =0; x = Tóm lại hệ cho có nghiệm (0; 0) (1;1) Bài toán Giải hệ phương trình ; có phương trình đưa dạng (II) Phương pháp: + Biến đổi phương trình dạng (1) + Xét hàm số chứng minh hàm số đồng biến nghịch biến D + vào phương trình cịn lại tìm ( x; y) Thí dụ Giải hệ phương trình: Bài giải ĐK: Xét Vì (0; y) khơng nghiệm hệ phương trình Từ phương trình thứ (2) ta có Xét hàm số Ta có biến nên hàm số đồng , Thay vào phương trình (1): Hàm số đồng biến nghiệm (3) Xét nên có nghiệm hệ phương trình có Thí dụ Giải hệ phương trình : Bài giải (1) Nhân hai vế với ( + y) ta x + Xét hàm 10 skkn (x + = )( +y - y) = Suy f(t) đồng biến R mà (1) thay vào (2) ta được: Đặt u= với u ≥ (2) 6u + (x + 2)u – (x + 2) = Ta có  = 25(x + 2)2 Suy = u = - (loại x ≥ 0,5 nên u < 0) Giải phương trình: x + = có hai nghiệm x = x = 13 Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm Thí dụ Giải hệ phương trình: Bài giải Đặt phương trình (1) có dạng (3) Xét hàm số hàm số đồng biến R Phương trình (*) có dạng Khi phương trình (2) có dạng Xét hàm số , f(t) hàm số đồng biến khoảng Phương trình có dạng Hệ phương trình có cặp nghiệm (x;y) là: x =3 Bài tốn Tìm giá trị tham số để hệ phương trình sau có nghiệm Phương pháp: + Biến đổi phương trình đưa dạng ; + Xét hàm số lập bảng biến thiên ta suy giá trị tham số Thí dụ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: Bài giải Điều kiện xác định hệ: (1) Xét hàm số: Ta có Mà phương trình (3) có dạng Xét hàm (3) suy với nghịch biến [0; 2] thay vào (2) ta , nghịch biến Nên để phương trình (4) có nghiệm Vậy hệ có nghiệm 11 skkn suy hàm số Thí dụ Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm: với Bài giải Viết lại hệ: Đặt số thực ( ) Hệ trở thành: Suy ra: Xét hàm với Ta có Bảng biến thiên: + Kết luận Thí dụ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: Bài giải: Điều kiện x ,y  Hệ PT Hệ phương trình có nghiệm  phương trình (*) có nghiệm thuộc [0 ; +) Xét hàm số ;  f(x) đồng biến [0 ; +)  III CÁC BÀI TỐN BẤT PHƯƠNG TRÌNH 12 skkn ; Vậy Bài tốn Giải bất phương trình dạng , với hàm đặc trưng Phương pháp: + Tìm tập xác định D + Biến đổi phương trình dạng , + Xét hàm đặc trưng D, từ suy hàm số đồng biến nghịch biến + Bất phương trình: Thí dụ Giải bất phương trình: (1) Bài giải BPT Xét hàm số Ta có đồng biến (1) Lập bảng xét dấu suy tập nghiệm bất phương trình Thí dụ Giải bất phương trình: Do (2) Bài giải Bất phương trình (2) Xét hàm số , f(t) hàm số đồng biến khoảng Phương trình có dạng Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình Thí dụ Giải bất phương trình :   (3) Bài giải Điều kiện PT(3) Xét hàm số Ta có suy hàm số đồng biến Bất phương trình Kết luận tập nghiệm bất phương trình Bài tốn Tìm m để bất phương trình Phương pháp : + Tìm tập xác định + Biến đổi bất phương trình dạng (II) + Xét hàm số có nghiệm 13 skkn (II) + Từ rút giá trị tham số m Thí dụ Tìm tất giá trị m để bất phương trình có nghiệm (1) Bài giải Bất phương trình (1) Xét hàm số: ta có Lập bảng biến thiên: x f’(x) + +∞ - f(x) -1/3 Từ bảng biến thiên suy bpt (1) có nghiệm x>0 Thí dụ Tìm tất m để bất phương trình có nghiệm thuộc đoạn [-2; 2] (2) Bài giải Bất phương trình Ta thấy x = 1, bpt vô nghiệm với m, nên để bpt có nghiệm +) Nếu x > (1) Đặt f(x) = Để bpt cho có nghiệm thuộc đoạn [-2;2] Khảo sát f(x) = +) Nếu x < (1) ta tìm Suy Đặt f(x) = Để bpt cho có nghiệm thuộc đoạn [-2;2] Khảo sát f(x) [-2;1) ta tìm Suy 14 skkn Vậy bất phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn [-2; 2] Thí dụ Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm sin x x sin x  3cos x  m3sin x Bài giải Bất phương trình Xét hàm số f  x  2   3 sin x  3cos Ta có , ( x  R) Do f  x   x  R Dấu đẳng thức xảy x = k  ( k  Z ) Vậy bất phương trình có nghiệm m  Thí dụ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm (4) Bài giải Đặt Bất phương trình (4) trở thành: Xét hàm số , ta có (do t>0) Lập bảng biến thiên t f’(t) - +∞ + f(t) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để bất phương trình có nghiệm khi: Bài tốn Tìm m để bất phương trình: ( ) với x thuộc tập xác định Phương pháp + Tìm tập xác định + Tìm GTNN GTNN + Từ kết luận Thí dụ Tìm m để bất phương trình sau luôn 15 skkn (1) Bài giải ĐK: Bất Phương trình + Đặt ĐK: (2) + Phương trình (2) trở thành Xét hàm số với Suy hàm số Ta có đồng biến với Suy Vậy để bất phương trình ln ln đúng: Thí dụ Tìm m để nghiệm bất phương trình sau chứa đoạn 1;2 m x  3x   x  3x  Bài giải Với 0 (1) Đặt Bất phương trình: Xét (2) với Lập bảng biến thiên t 5/4 - Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn IV CÁC BÀI TỐN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Thí dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm: Bài giải Ta có Bài tốn trở thành tìm m để bất PT: có nghiệm Đặt suy BPT Thí dụ Cho hệ bất phương trình Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực Bài giải BPT (2) 16 skkn Xét hàm số , f(t) hàm số đồng biến khoảng Phương trình có dạng Hệ bất phương trình có nghiệm có nghiệm có nghiệm Hàm số hàm số nghịch biến Vậy hệ có nghiệm Thí dụ Cho hệ bất phương trình Tìm a để hệ có nghiệm (a tham số) thỏa mãn điều kiện Bài giải Đặt t  x từ (1) điều kiện suy  t   y = t2 – 8t +16 Khi bất phương trình (2) trở thành t   t  8t  23  a, (3) Xét hàm số f (t )  t   t  8t  23 f (t )  a Để bất phương trình (3) có nghiệm t [3;4]  [3;4] f ' t   t t 7  t 4 t  8t  23 , f '  t    t  8t  23.t    t  t    t     t    t   t    t  2, Ta có f  3   8; f    23    f (t )  f (3)   Vậy a ≥  Từ suy [3;4] BÀI TẬP Bài Giải phương trình a) Bài Giải phương trình: b) a) Bài Giải bất phương trình: a) Bài Giải hệ phương trình b) b) a) c) b) d) 17 skkn Nên Bài Giải hệ phương trình a) Bài Tìm m để phương trình sau: b) có nghiệm Bài Cho bất phương trình Tìm m để bất phương trình nghiệm với Bài Cho bất phương trình Tìm m để bất phương trình nghiệm với Bài Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm ; Bài 10 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm C KẾT LUẬN Kết nghiên cứu Trên phương pháp hàm số để giải số phương trình, hệ phương trình bất phương trình mà áp dụng phương pháp khác khó cho lời giải dạng toán kiểu Với nội dung kiến thức áp dụng vào giảng dạy cho học sinh trường THPT Triệu Sơn Cụ thể học sinh lớp giảng dạy em hàm học áp dụng phương pháp tốt việc vận dụng giải phương trình bất phương trình hệ phương trình Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh thi vào trường đại học cao đẳng đa số học sinh phụ trách em giải toán Kiến nghị, đề xuất Qua trình giải dạy, tơi có đề nghị với cấp quản lí tạo điều kiện để tổ chun mơn thường xuyên trao đổi phương pháp trao đổi kinh nghiệm nghiên cứu khoa học để đồng chí tổ viên nâng cao trình độ chun mơn Vì điều kiện thời gian nghiên cứu hạn chế nên sáng kiến kinh nghiệm chưa thể nêu hết vấn đề Nên kính mong người đọc góp ý bổ sung cho tác giả ngày hoàn thiện phương pháp nghiên cứu khoa học 18 skkn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 15 tháng năm 2014 Tôi xin cam đoan SKKN viết khơng chép nội dung người khác Tác giả Thi Văn Chung Giáo viên Toán: Trường THPT Triu Sn Tài liệu tham khảo Cỏc tạp chí Tốn Học Tuổi Trẻ (SGK): Giải tích nâng cao 11, Giải tích nâng cao 12 Nhà xuất GD Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá hàng năm Các đề thi đại học hàng năm Các đề thi thử đại học 19 skkn ... phương pháp hàm số để giải số phương trình, hệ phương trình bất phương trình mà áp dụng phương pháp khác khó cho lời giải dạng toán kiểu Với nội dung kiến thức áp dụng vào giảng dạy cho học sinh. .. học sinh, nhằm giới thiệu giảng dạy cho em phương pháp giải biện luận phương trình, hệ phương trình bất phương trình hiệu dễ áp dụng ? ?phương pháp sử dụng chiều biến thiên” hay “ phương pháp hàm. .. Bài Giải phương trình a) Bài Giải phương trình: b) a) Bài Giải bất phương trình: a) Bài Giải hệ phương trình b) b) a) c) b) d) 17 skkn Nên Bài Giải hệ phương trình a) Bài Tìm m để phương trình