Đang tải... (xem toàn văn)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.[r]
(1)Sở GD&ĐT hng yên
Trng THPT minh châu Thời gian : 180 phút ( không kể thời gian phát đề ) đề thi THủ ĐH lần 1năm 2010 – 2011 Cõu I: ( 2.5 điểm ) Cho hàm số y =
2 x x
C 1) Khảo sát vẽ đồ thị C hàm số:
2) Một đường thẳng d cú hệ số gúc k = -1 qua M( O,m) Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị
C điểm phõn biệt A B cho độ dài AB bằng 2 6
Câu II: ( 2,0 điểm ) Giải phương trình : (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x =
Giải hệ phơng trình:
2 1 3
1
x y xy y
xy x y
Câu III: ( 1,0 điểm ) Tính tích phân: 3
0
3sin 2cos (sin cos )
x x
I dx
x x
Cõu IV:(2.5 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD hỡnh vuụng cạnh a, mặt bờn SAB tam giác vng góc với đáy.Gọi H trung điểm AB M điểm di động đ-ờng thẳng BC
1)Chứng minh r»ng SH (ABCD) tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
2)Đặt CM=x.Tính khoảng cách từ S đến DM theo a x
Cõu V(1,0 điểm) Tìm m để PT sau có nghiệm : x 1 x2m x1 x 24 x1 x m3
2 Theo chương trình ChuÈn .
Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, choABC có đỉnh A(1;2), đường
trung tuyến BM: 2x y 1 phân giác CD: x y 0 Viết PT đường thẳng BC.
2 Cho đường thẳng (D) có phương trình:
2 2
x t
y t
z t
.Gọi đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song
song với (D) I(-2;0;2) hình chiếu vng góc A (D) Trong mặt phẳng qua , viết phương
trình mặt phẳng có khoảng cách đến (D) lớn nhất.
Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z số thực thuộc (0;1] CMR 1
1 1
xy yz zx x y z 2 Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
2
( ) :C x – – 0,y x y ( ') :C x2 y24 – 0x qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C A, B cho MA= 2MB
2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đờng thẳng d d’ lần lợt có phơng trình : d : x y z
1
, d’ :
1
2
z
y x
Viết phơng trình mặt phẳng () qua d tạo với d gãc 300
Câu VII.b (1 điểm) Cho x0,y 0 thỏa mãn x y 1 3xy Tìm giá trị lớn biểu thức 2
3 1
( 1) ( 1)
x y
M
y x x y x y x y
(2)-Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm
Họ tên thí sinh : ………Số báo danh : ………
trờng thpt minh châu đáp án đề thi thử đại học lần năm học 2010- 2011
M«n thi: to¸n
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
2 (0,75 điểm)
Phơng trình đờng thẳng qua M(0;m) có hsg k=-1 có PT: y=-x+m(d)
Hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng d nghiệm phương trình
2
2 (1)
x x
x m
x x mx m
§Ĩ đường thẳng d cắt đồ thị C điểm phân biệt A B PT (1) phải có nghiệm phân biệt khác
0,25 0,25
Câu Nội dung Điểm
I
2.0đ 1.25đ
Hàm số y = 2x x
cã : - TXĐ: D = R\ {2} - Sự biến thiên:
+ ) Giới hạn: Lim y 2x Do ĐTHS nhận đờng thẳng y = làm TCN ,
x x
lim y ; lim y
Do ĐTHS nhận đờng thẳng x = làm TCĐ +) Bảng biến thiên:
Ta cã : y’ =
2
1 x
< x D
Hàm số nghịch biến khoảng ;2 hàm số cực trị - Đồ thị
+ Giao ®iĨm víi trơc tung: (0 ; ) + Giao điểm với trục hoành : A(3/2; 0)
- ĐTHS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng
0,25
0,25
0,25
0,5
8
6
4
2
-2
-4
-5 10
y’ y
x
-
2
-2
2
(3)2
2
4(2 3) 12
( ; 2) (6; ) 2 0,
m m m m
m
m m m
th×
đường thẳng d ln ln cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B
Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(xA – xB)2 = 2[(xA +xB)2 -4xA.xB] =2[m2-4(2m-3)]=2(m2-8m+12)=24
0 m 8m
8 m m
(Tm)
0,25 II
(2 điểm)
1 (1 điểm)
Phương trình cho tương đương với
(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx =
cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2x – 1) = 0
cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x =
0,5
cos2x (cosx + sinx + 2) =
cos2x (1)cosx sinx ( VN)
0,25
(1)2x = k
x =
4 k
(k Z) 0,25
II 22 2 1 3
1
x y xy y
xy x y
NhËn thÊy y0,viÕt hÖ thµnh:
2 3 x x y y x x y y Đặt : u x y x v y
HƯ trë thµnh
2 3 u v u v
, giải hệ ta đợc : u=2,v =1 u=-3, v=6
0.25 0.25 TH1: 2 1 x u x y v y x y
TH2: 2
1
3
6
6 x
u x y
y
v y y
x y
v« nghiƯm trªn
VËy hƯ cã nghiƯm nhÊt: 1 x y 0.25 0.25
Câu Phần Nội dung
III
(1,0) Đặt x t dx dt x, t 2,x t
Suy ra: 3 3 3
0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 3cos 2sin (sin cos ) (cos sin ) (cos sin )
x x t t x x
I dx dt dx
x x t t x x
(Do tích phân không phụ
(4)Suy ra: 3 3 2
0 0
3sin 2cos 3cos 2sin
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
x x x x
I I I dx dx dx
x x x x x x
=
=
2
2
2
0 0
1 1
tan
2 4
2cos cos
4
dx d x x
x x
KL: Vậy
2
I
Câu V. (1 i m)đ ể
V.Phương trình x 1 x 2m x1 x 24 x1 x m3
(1)
Điều kiện : 0 x
Nếu x0;1 thỏa mãn (1) – x thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm cần có điều kiện
1
2
x x x Thay
2
x vào (1) ta được:
3
1
2
1
2
m
m m
m
* Với m = 0; (1) trở thành:
4 41 2 0
2 x x x
Phương trình có nghiệm nhất. * Với m = -1; (1) trở thành
4
4
2
4
1 2 1
1 1
1
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
+ Với 4 41 0
2 x x x
+ Với 1
2 x x x
Trường hợp này, (1) có nghiệm nhất. * Với m = (1) trở thành:
4 2 2
4
1 1 1
x x x x x x x x x x
Ta thấy phương trình (1) có nghiệm 0,
2
x x nên trường hợp (1) khơng có nghiệm nhất.
Vậy phương trình có nghiệm m = m = -1. VIa
0,75
(5)Điểm C CD x y : 0 C t ;1 t
Suy trung điểm M AC 3;
2
t t
M
0,25
Điểm : 2 7;8
2
t t
MBM x y t C
0,25 0,25 Từ A(1;2), kẻ AK CD x y: 1 0 I (điểm KBC).
Suy AK:x1 y 2 0 x y 1 0
Tọa độ điểm I thỏa hệ: 0;1
1 x y
I x y
Tam giác ACK cân C nên I trung điểm AK tọa độ K1;0.
Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình: 4
7
x y
x y
2
Gọi (P) mặt phẳng qua đường thẳng , thì
( ) //( )P D ( )P ( )D Gọi H hình chiếu
vng góc I (P) Ta ln có IH IA và IH AH
Mặt khác
, ,
d D P d I P IH
H P
Trong mặt phẳng P , IH IA; maxIH = IA H A Lúc (P) vị trí (P0) vng
góc với IA A.
Vectơ pháp tuyến (P0) n IA 6;0; 3
, phương với v2;0; 1 . Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2x 41.z1 2x - z - = 0.
VIIa
Để ý xy1 x y 1 x 1 y 0;
và tương tự ta có
1
yz y z zx z x
0,25
(6) 1 1 1
1 1 1
3 zx+y 1 5
x y z
x y z
xy yz zx yz zx xy
x y z
yz xy z
z y
x
yz zx y xy z
z y
x
z y y z
vv
VIb 1) + Gọi tâm bán kính (C), (C’) I(1; 1) , I’(-2; 0) R1, ' 3R
, đường thẳng (d) qua M có phương trình 2
( 1) ( 0) 0, ( 0)(*)
a x b y ax by a a b
+ Gọi H, H’ trung điểm AM, BM.
Khi ta có: MA 2MB IA2 IH2 2 I A' I H' '2
2 2
1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]
,
IA IH
2
2
2 2
9
4 ( '; )d I d d I d( ; ) 35 a b 35
a b a b
2 2 2 36 35 36 a b a b a b
Dễ thấy b0 nên chọn
6 a b a
Kiểm tra điều kiện IA IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Đờng thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) có vectơ phơng u(1; 1;1)
Đờng thẳng dđi qua điểm M'(2;3;5) có vectơ phơng u'(2;1; 1) Mp() phải qua điểm M có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u vµ
2 60 cos ) ' ; cos( u
n Bởi đặt n (A;B;C) ta phải có :
2 1 6 2 0 2 B C
A C B A C B A 0 2 ) ( 6
32 2 2 2 A2 AC C2 CA B C CA A A CA B
Ta cã 2 ( )(2 )
AC C A C A C
A VËy AC hc 2AC
Nếu AC,ta chọn A=C=1, B2, tức n (1;2;1) mp()có phơng trình
0 )
2 (
2
y z
x hay x2yz 40
Nếu 2AC ta chọn A1,C2, B 1, tức n (1;1;2) v mp()
có phơng trình x (y 2) 2z 0 hay x y 2z20
VIIb 1,00
Theo giả thiết, ta có 3xy 1 x y2 xy Đặt t xy 3t t 0 t 1
0.25 Ta có
2 2
2
3 3 ( 1) ( 1) 36 27
( 1) ( 1) ( 1)
x y x y y x t t
y x x y xy xy x y t
2 2
2 2 2
1 (3 1) 36 32
4
x y t t t t
x y x y t t
(7)Theo Cô si
1 1 1
2
2
t M
x y xy t
0.25
Xét ( ) 21
4
t f t
t
[1;+ ) suy max 1