Mot so CDBD toan 8

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn3[r]

Chuyên đề 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số nguyên II TÍNH CHẤT:

1 Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7,

2 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn

3 Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n



N)

4 Số phương có hai dạng 3n 3n + Không có số phương có dạng 3n + (n N)

5 Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục

Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho

Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương. Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4

Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t  Z) thì

A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2

V ì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  Z, 5y2  Z  x2 + 5xy + 5y2  Z

Vậy A số phương

Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương. Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*)

Đặt n2 + 3n = t (t  N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2

= (n2 + 3n + 1)2

Vì n  N nên n2 + 3n +  N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương.

Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2)

Chứng minh 4S + số phương

Ta có k(k+1)(k+2) =

k(k+1)(k+2).4 =

k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1)  S =

4 1.2.3.4 -4 0.1.2.3 + 2.3.4.5 -4 1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1) (k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) +

Theo kết  k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …

Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh rằng tất số dãy số phương.

Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + 1

=

1 10 n

10n +

9 10 n

+ = 9 10 10 10   

 n n

n = 10 10   n n =        10 n

Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho

n-1 chữ số

        10 n

 Z hay số có dạng 44…488…89 số phương Bài 5: Chứng minh số sau số phương:

A = 11…1 + 44…4 +

2n chữ số n chữ số 4

B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8

2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 6

C = 44…4 + 22…2 + 88…8 +

2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 8

Kết quả: A =        10n

; B =        10n

; C =        10 n Bài 6: Chứng minh số sau số phương:

a A = 22499…9100…09

n-2 chữ số n chữ số 0 b B = 11…155…56

n chữ số n-1 chữ số 5

a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9

= 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + 9

= 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9

= 225.102n – 90.10n + 9

= ( 15.10n – ) 2

 A số phương

b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 +

n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số =

9 10 n

10n +

9 10 n

+ =

9 10 10 102   

 n n

n = 10 102   n n =        10n

số phương ( điều phải chứng minh)

Bài 7: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số

phương

Gọi số tự nhiên liên tiếp n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)

Vì n2 khơng thể tận n2+2 không thẻ chia hết cho 5

 5.( n2+2) khơng số phương hay A khơng số phương

2

2

Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n



N n>1 khơng phải số

chính phương

n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]

= n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]

= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)

Với nN, n >1 n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2

n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2

Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2  n2 – 2n + số phương.

Bài 9: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị

Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương

Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương

Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a

4  a2  a2 

Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96  Ta có: + + + + = 25 = 52 số phương.

Bài 10: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương. a b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)

 a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + 1

= 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t



N)

Khơng có số phương có dạng 4t + (t  N) a2 + b2 khơng thể số

phương

Bài 11: Chứng minh p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng thể số

chính phương.

Vì p tích n số nguyên tố nên p2 p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (m N)

Vì p chẵn nên p+1 lẻ  m2 lẻ  m lẻ.

Đặt m = 2k+1 (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k +  p+1 = 4k2 + 4k + 1

 p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)  mâu thuẫn với (1)

 p+1 số phương

b p = 2.3.5… số chia hết cho  p-1 có dạng 3k+2

Khơng có số phương có dạng 3k+2  p-1 khơng số phương Vậy p tích n số ngun tố p-1 p+1 khơng số phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.

Chứng minh số ngun liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 khơng có số số phương.

a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 –

Có 2N   2N-1 không chia hết cho 2N-1 = 3k+2 (k N)  2N-1 khơng số phương

b 2N = 2.1.3.5.7…2007

Vì N lẻ  N khơng chia hết cho 2N  2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư  2N không số phương c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 +

2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho

2N không chia hết 2N+1 không chia cho dư  2N+1 không số phương

Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05

2008 chữ số 2007 chữ số 0 Chứng minh ab1 số tự nhiên.

Cách 1: Ta có a = 11…1 =

1 102008 

; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 5

2008 chữ số 2007 chữ số 2008 chữ số 0

 ab+1 =

9 ) 10 )( 10

( 2008 2008

 

+ =

9 10 ) 10

( 2008  2008  

ab1 =    



 

2 102008

=

2 102008



Ta thấy 102008 + = 100…02  nên

3 102008

 N hay

1 

ab số tự nhiên.

2007 chữ số

Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6

2007 chữ số 2008 chữ số 2008 chữ số 9

 ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2

 ab1 = (3a1)2 = 3a +



N

B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương:

a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 )

c 13n + d n2 + n + 1589 Giải

a Vì n2 + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)

 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n+1)2 = 11  (k+n+1)(k-n-1) = 11

Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1  k+n+1 = 11  k = k =

k – n - = n =

b Đặt n(n+3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2  (4n2 + 12n + 9) – = 4a2  (2n + 3)2 - 4a2 = 9

 (2n + + 2a)(2n + – 2a) =

Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1  2n + + 2a =  n = n =

2n + – 2a = a = c Đặt 13n + = y2 ( y  N)  13(n – 1) = y2 – 16

 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)

 (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 số nguyên tố nên y +  13 y –  13  y = 13k  (Với k  N)

 13(n – 1) = (13k  )2 – 16 = 13k.(13k  8)

 n = 13k2  8k + 1

Vậy n = 13k2  8k + (Với k  N) 13n + số phương.

d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m  N)  (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2

 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài 2: Tìm a để số sau số phương:

a. a2 + a + 43

b. a2 + 81

c. a2 + 31a + 1984

Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40

c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728

Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương Với n = thì 1! = = 12 số phương

Với n = 1! + 2! = khơng số phương

Với n = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 số phương

Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên khơng phải số phương

Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề n = 1; n = Bài 4: Tìm n  N để số sau số phương:

a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)

b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)

c n2 + 4n + 97

d 2n + 15

Bài 5: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m  N)

Từ suy m2 – n2 = 2006  (m + n)(m - n) = 2006

Như số m n phải có số chẵn (1)

Mặt khác m + n + m – n = 2m  số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2)  m + n m – n số chẵn

 (m + n)(m - n)  Nhưng 2006 không chia hết cho  Điều giả sử sai

Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương.

Bài 6: Biết x



N x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1)

Đẳng thức cho viết lại sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)

Do vế trái số phương nên vế phải số phương

Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1)

Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x N < x ≤ (2) Từ (1) (2)  x nhận giá trị 5; 6;

Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776

Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương.

Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84

Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40

Bài 8: Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n

là bội số 24.

Vì n+1 2n+1 số phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m



N)

Ta có m số lẻ  m = 2a+1  m2 = 4a (a+1) + 1

 n =

1

2



m

=

) ( 4a a

= 2a(a+1)

 n chẵn  n+1 lẻ  k lẻ  Đặt k = 2b+1 (Với b  N)  k2 = 4b(b+1) +1

 n = 4b(b+1)  n  (1) Ta có k2 + m2 = 3n +



(mod3)

Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư

Nên để k2 + m2



(mod3) k2



(mod3)

m2



(mod3)

 m2 – k2  hay (2n+1) – (n+1)   n  (2)

Mà (8; 3) = (3)

Từ (1), (2), (3)  n  24

Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a  N)

2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)

2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q  N ; p+q = n p > q

 a+48 = 2p  2p – 2q = 96  2q (2p-q -1) = 25.3

a- 48 = 2q

 q = p-q =  p =  n = 5+7 = 12

Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802

C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta

được số phương B Hãy tìm số A B.

Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số

B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m



N 32 < k < m < 100

a, b, c, d  N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ 9

 Ta có A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2

 m2 – k2 = 1111  (m-k)(m+k) = 1111 (*)

Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k m+k số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) viết (m-k)(m+k) = 11.101

Do m – k == 11  m = 56  A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136

Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số

sau đơn vị.

Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = k  N, 32 ≤ k < 100

Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10)  k +10  101 k-10  101

Mà (k-10; 101) =  k +10  101

Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110  k+10 = 101  k = 91  abcd = 912 = 8281

Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống nhau. Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b  N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ 9

Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)

Nhận xét thấy aabb  11  a + b  11

Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18  a+b = 11

Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) 9a+1 số phương

Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn  b = Số cần tìm 7744

Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương.

Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y  N

Vì y3 = x2 nên y số phương

Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999  10 ≤ y ≤ 21 y phương  y = 16  abcd = 4096

Bài 5: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số

đó có tổng chữ số số phương.

Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd phương  d{ 0,1,4,5,6,9}

d nguyên tố  d =

Đặt abcd = k2 < 10000  32 ≤ k < 100

k số có hai chữ số mà k2 có tận  k tận 5

Tổng chữ số k số phương  k = 45  abcd = 2025

Vậy số phải tìm 2025

Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số hai chữ

số số theo thứ tự ngược lại số phương

Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm ab ( a,b



N, ≤ a,b ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba

Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 )  11  a2 - b2  11

Hay ( a-b )(a+b )  11

Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b  11  a + b = 11 Khi ab - ba = 32 112 (a - b)

Để ab - ba số phương a - b phải số phương a-b = a - b = 4

 Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11  a = 6, b = 5, ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332

 Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11  a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm 65

Bài 7: Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta số

chính phương Tìm số phương ban đầu

( Kết quả: 1156 )

Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Gọi số phải tìm ab với a,b N ≤ a ≤ , ≤ b ≤

2

2

2

Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3

 (10a+b)2 = ( a + b )3

 ab lập phương a+b số phương Đặt ab = t3 ( t



N ) , a + b = l 2 ( l



N )

Vì 10 ≤ ab ≤ 99  ab = 27 ab = 64  Nếu ab = 27  a + b = số phương

 Nếu ab = 64  a + b = 10 khơng số phương  loại Vậy số cần tìm ab = 27

Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống nhau. Gọi số lẻ liên tiếp 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N)

Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11

Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ ≤ a ≤ 9

 12n( n + ) = 11(101a – )  101a –   2a – 

Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 2a-1 lẻ nên 2a – { 3; 9; 15 }  a { 2; 5; }

Vì a lẻ  a =  n = 21 số càn tìm 41; 43; 45

Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương

các chữ số số đó. ab (a + b ) = a3 + b3

 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab

 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) a + b a + b – nguyên tố

a + b = 3a a + b – = 3a a + b – = + b a + b = + b

 a = , b = a = , b = Vậy ab = 48 ab = 37

Chuyên đề 3

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

1 Phương pháp đặt nhân tử chung

– Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử. – Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác.

– Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào

trong dấu ngoặc (kể dấu chúng).

Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)

2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)

2 Phương pháp dùng đẳng thức

- Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. - Cần ý đến việc vận dụng đẳng thức.

8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4)

25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

– Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm.

– Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức.

Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)

= ( x2 + 1)( 2x – 3)

x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4 Phối hợp nhiều phương pháp

- Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên. - Đặt nhân tử chung.

- Dùng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử.

Ví dụ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2

3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =

= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)

= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]

= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]

= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a)

II PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

1 Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)

a) Cách (tách hạng tử bậc bx):

Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách. a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …

Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = + ci

Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.

Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử

Hướng dẫn

- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)

Lời giải

3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)

= (x + 2)(3x +2)

b) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2)

- Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :

f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x)

= (x + 2)(3x + 2)

- Tách thành số hạng nhóm :

f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(3x + 2)

f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)

c) Cách (tách hạng tử tự c)

- Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm:

f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)

d) Cách (tách số hạng, số hạng)

f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)

f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)

e) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần III.

Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau :

f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)

Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử.

Hướng dẫn

Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng thức.

Lời giải

f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)

Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử.

Lời giải

Cách : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)

= (3x – 1)(3x + 5)

Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)

Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 - 5xy + 2y2 ;

b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).

Hướng dẫn

a) Phân tích đa thức tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.

Ta tách hạng tử thứ :

2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)

= (x - 2y)(2x - y)

a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y) Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức : x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =

= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)

= (x - y)(y - z)(x - z)

Chú ý :

1) Ở câu b) ta tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))

2) Đa thức ở câu b) đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức giá trị đa thức Vì vậy, ngồi cách phân tích bằng cách tách trên, ta cịn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Xem phần VII).

III PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM

Trước hết, ta ý đến định lí quan trọng sau :

Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) có thể viết dạng f(x) = (x – a).q(x)

Lúc tách số hạng của f(x) thành nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, có, phải ước của hệ số tự

Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử.

Lời giải

Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đa thức f(x) có

một nghiệm x = –2, chứa nhân tử x + Từ đó, ta tách sau

Cách : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2).

Cách : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2).

Cách : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)

= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).

= (x + 2)(x2 – x + 2).

Từ định lí trên, ta có hệ sau :

Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x = Từ f(x) có một nhân tử x – 1.

Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = nghiệm của

đa thức Đa thức có nhân tử x – Ta phân tích sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)

= (x – 1)( x – 2)2

Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số các luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + 1.

Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 nghiệm của đa

thức Đa thức có nhân tử x + Ta phân tích sau :

f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)

= (x + 1)( x – 3)2

Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a f(1) f(–1) khác và đều là

số nguyên.

Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử.

Hướng dẫn

Các ước của 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18

f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm của f(x)

Dễ thấy không số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 khơng nghiệm của f(x) Chỉ cịn –2 Kiểm tra ta thấy nghiệm của f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau :

= (x – 3)(4x2 – x + 6)

Hệ Nếu ( là số nguyên) có nghiệm hữu tỉ , p,

q Z (p , q)=1, p ước a0, q ước dương an

Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - thành nhân tử.

Hướng dẫn

Các ước của –5 ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy số không nghiệm của f(x) Như vậy f(x) khơng có nghiệm nghun Xét số , ta thấy nghiệm của đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau :

f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).

1 Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình ph ương Ví dụ 12 Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử

Lời giải

Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

Ví dụ 13 Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử

Lời giải

Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)

= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

2 Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x - thành nhân tử

Lời giải

Cách 1.

x5 + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1

= x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)

= (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).

Cách Thêm bớt x2 :

x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)

= (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).

Ví dụ 15 Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử

Lời giải

x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)

= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1)

Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + chứa nhân tử là

x2 + x + 1.

V PHƯƠNG PHÁP ĐỞI BIẾN

Ví dụ 16 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Lời giải

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :

(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)

= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)

Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc x thành đa thức

bậc y

Ví dụ 17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.

Lời giải

Cách Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng :

Đặt thì Do :

A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2

= = (x2 + 3x - 1)2.

Dạng phân tích với x =

Cách A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)

= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.

VI PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Ví dụ 18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3

Lời giải

Thử với x= ±1; ±3 không nghiệm của đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Như vậy đa thức phân tích thành nhân tử thì phải có dạng

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd

= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.

Đồng hệ số ta :

2c = -14 - (-6) = -8 Do c = -4, a = -2 Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).

VII PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử lại

Ví dụ 19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).

Lời giải

Thay x y P = y2(y – z) + y2( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y).

Ta thấy thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P đã chứa thừa số (x – y) thì chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x)

Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến x, y, z

Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán

cho biến x ,y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1

Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)

VIII PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT 1 Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 - 3abc

Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 - 3abc.

b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.

Lời giải

a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc

= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)

b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc.

Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)

2 Đưa về đa thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3

a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.

b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.

Lời giải

a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3

= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3

= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2)

= (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]

= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]

= 3(a + b)(b + c)(c + a)

b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3

Theo kết câu a) ta có :

(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3

= 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) II Bài tập:

Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1 16x3y + 0,25yz3 21 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2

2 x 4 – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2

3 2ab2 – a2b – b3 23 a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2

4 a 3 + a2b – ab2 – b3 24 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)

5 x 3 + x2 – 4x - 4 25 a 6 – a4 + 2a3 + 2a2

6 x 3 – x2 – x + 1 26 (a + b)3 – (a – b)3

7 x 4 + x3 + x2 - 1 27 X 3 – 3x2 + 3x – – y3

8 x 2y2 + – x2 – y2 28 X m + 4 + xm + 3 – x - 1

10 x 4 – x2 + 2x - 1 29 (x + y)3 – x3 – y3

11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

12 a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3

13 a 2 – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz

14 a 3 – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5

16 x 3 – 3x2 – 3x + 1

17 x 3 – 4x2 + 4x - 1

18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2

19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2

20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2

Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1 x2 – 6x + 8 23. x3 – 5x2y – 14xy2

2 x2 – 7xy + 10y2 24. x4 – 7x2 + 1

3 a2 – 5a - 14 25. 4x4 – 12x2 + 1

4 2m2 + 10m + 8 26. x2 + 8x + 7

5 4p2 – 36p + 56 27. x2 – 13x + 36

6 x3 – 5x2 – 14x 28. x2 + 3x – 18

7 a4 + a2 + 1 29. x2 – 5x – 24

8 a4 + a2 – 2 30. 3x2 – 16x + 5

9 x4 + 4x2 + 5 31. 8x2 + 30x + 7

10 x3 – 10x - 12 32. 2x2 – 5x – 12

11 x3 – 7x - 6 33. 6x2 – 7x – 20

12 x2 – 7x + 12 34. x2 – 7x + 10

13 x2 – 5x – 14 35. x2 – 10x + 16

14 x2 – 3x – 1 36. 3x2 – 14x + 11

15 x2 – 7x + 4 37. 5x2 + 8x – 13

16 x2 – 7x + 3 38. x2 + 19x + 60

17 6x3 – 17x2 + 14x – 3 39. x4 + 4x2 - 5

18 4x3 – 25x2 – 53x – 24 40. x3 – 19x + 30

19 x4 – 34x2 + 225 41. x3 + 9x2 + 26x + 24

20 4x4 – 37x2 + 9 42. 4x2 – 17xy + 13y2

21 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43. - 7x2 + 5xy + 12y2

22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44. x3 + 4x2 – 31x - 70

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. x4 + x2 + 1 17. x5 - x4 - 1

2 x4 – 3x2 + 9 18. x12 – 3x6 + 1

4 2x4 – x2 – 1 20. a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1

5 x4y4 + 4 21. m3 – 6m2 + 11m - 6

6 x4y4 + 64 22. x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1

7 x4y4 + 1 23. x3 + 4x2 – 29x + 24

8 32x4 + 1 24. x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1

9 x4 + 4y4 25. x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1

10 x7 + x2 + 1 26. x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2

11 x8 + x + 1 27. x8 + x6 + x4 + x2 + 1

12 x8 + x7 + 1 28. x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 1

13.x8 + 3x4 + 1 29. a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)

14 x10 + x5 + 1

15 x5 + x + 1

16 x5 + x4 + 1

Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2

2 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1

3 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3

4 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2

5 x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2

6 x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3

7 x4 – 13x2 + 36

8 x4 + 3x2 – 2x + 3

9 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

2 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3

3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

4 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

5 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8

6 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24

7 15x3 + 29x2 – 8x – 12

9 x3 + 9x2 + 26x + 24

Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1 a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2)

2 ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2)

4 (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5

5 (x + y)7 – x7 – y7

6 ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5

8 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc

9 a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)

10 abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử. (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

2 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

3 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

4 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20

6 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35

7 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12

9 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2

Chuyên đề

Tính chia hết với số nguyên I Mục tiêu

Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng:

1.Biết vận dụng tính chất chia hÕt cđa sè nguyªn dể chứng minh quan hƯ chia hết, tìm số d tìm điều kiện chia hÕt

2 Hiểu bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ:

- Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Toán nâng cao chuyên đề đại số - Bồi dưỡng toán

- Nâng cao phát triển toán - …

III Nội dung

1 Kiến thức cần nhớ

1 Chøng minh quan hƯ chia hÕt

Gäi A(n) lµ mét biĨu thức phụ thuộc vào n (nN n Z)

+ Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đơI nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số

+ Trong k số liên tiếp tồn số lµ béi cđa k

b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia m cho n

* VÝ dô1:

C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2– 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n

Gi¶i:

Ta cã 5040 = 24 32.5.7

A= n3(n2- 7)2– 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6]

= n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6)

Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1)

=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)

T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d

Do A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)

Ta thÊy : A lµ tÝch số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp:

- Tồn bội số cđa (nªn A  ) - Tån bội (nên A

) - Tồn hai bội (nên A

 )

- Tồn bội có bội (nên A  16)

Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố  A 5.7.9.16= 5040

VÝ dô 2: Chng minh r»ng với số nguyên a : a/ a3 a chia hÕt cho

b/ a5-a chia hÕt cho

Gi¶i:

a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tÝch chia hÕt cho

b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)

 C¸ch 1:

Ta xÕt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia a cho

- NÕu a= k (kZ) th× A 5 (1)

- NÕu a= 5k 1 th× a2-1 = (5k21) 2 -1 = 25k2 10k5  A 5 (2) - NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k2)2 + = 25 k220k +5  A 5 (3)

Tõ (1),(2),(3)  A 5, n  Z Cách 2:

Phân tích A thành tổng cđa hai sè h¹ng chia hÕt cho : + Một số hạng tích số nguyên liên tiÕp

+ Mét sè h¹ng chøa thõa sè

Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1)

= a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)

Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a2-1) 5

Do a5-a 5

* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a tích số nguyên liên tiếp chia

hÕt cho Ta cã:

a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1)

= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5  a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5

Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5  a5-a 5(TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét hiƯu)

c/ Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa ta sử dụng đẳng thức: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (HĐT 8)

an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (HĐT 9) - Sử dụng tam giác Paxcan:

1 1 1

…

Mỗi dòng bắt đầu kết thúc

Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền

Do đó: Với a, b  Z, n N: an – bn chia hết cho a – b( ab)

a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a-b)

(a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a)

(a-1)2n = Bsa +1

(a-1)2n+1 = Bsa -1

* VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ

số chẵn Giải:

+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, kN thì:

A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 162 1( theo nhị thức Niu Tơn)

Mà 162 – = 255 17 VËy A17

- Nếu n lẻ : A = 16n = 16n + mà n lẻ 16n + 116+1=17 (HĐT 9) A không chia hÕt cho 17

+C¸ch 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n (theo công thức Niu Tơn) - Nếu n chẵn A = BS17 + = BS17 chia hÕt cho 17

- NÕu n lẻ A = BS17 = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17

VËy biÓu thøc 16n – chia hÕt cho 17 n số chẵn,

 n N

d/ Ngồi cịn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết

 VD 4: CMR tån t¹i bội 2003 có dạng: 2004 2004.2004 Giải: Xét 2004 sè: a1 = 2004

a2 = 2004 2004

a3 = 2004 2004 2004

……… a2004 = 2004 2004…2004

2004 nhãm 2004

Theo nguyên lý Dirichle, tồn hai số có số d chia cho 2003 Gọi hai số am an (  n <m 2004) am - an 2003

Ta cã: am - an = 2004 2004……2004 000…00

m-n nhãm 2004 4n hay am - an = 2004 2004……2004 104n

m-n nhãm 2004 mµ am - an 2003 (104n, 2003) =1

nên 2004 2004……2004 2003

m-n nhãm 2004 2 T×m sè d

* VD1:T×m sè d chia 2100

a/ cho b/ cho 25 Gi¶i:

a/ L thõa cđa sát với bội 23 = = – 1

Ta cã : 2100 = 299= (23)33 = 2(9 – )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn)

= BS9 – = BS9 + VËy 2100 chia cho d 7

b/ L thõa cđa gÇn víi béi cđa 25 lµ 10 = 1024 =1025 – 1

Ta cã:

2100 =( 210)10 = ( 1025 – )10 = BS 1025 + = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn)

VËy 2100 chia cho 25 d 1

* VD2: Tìm chữ số tận 51994 viết hệ thập phân

Giải:

- Cách 1: Ta cã: 1994 = 4k + vµ 54 = 625

Ta thÊy sè tËn cïng b»ng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dơng tận cïng b»ng 0625

Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k 52 = 25 (0625)k = 25 (…0625)= …5625 - Cách 2: Tìm số d chia 51994 ch 10000 = 24.54

Ta thÊy 54k – = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – = (52 + 1) (52 - 1) 16

Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56 54 vµ 51988 – 1= (54)497 – chia hÕt cho 16  ( 51994)3 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625

 51994 = BS10000 + 15625  51994 chia cho 10000 d 15625

VËy ch÷ số tận 51994 5625

3 Tìm ®iỊu kiƯn chia hÕt

* VD1: Tìm số ngun n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n

Gi¶i:

n3 + 2n2- 3n + n2 – n

n3 – n2 n + 3

3n2 - 3n +

3n2 – 3n

Ta cã: n3 + 2n2- 3n + = (n2 – n)(n + 3) +

2

n  n

Do Giá trị A chia hết cho giá trị B  n2 – n Ư(2)

 chia hÕt cho n(n – 1)  chia hÕt cho n

Ta cã b¶ng:

n -1 -2

n – -2 -3

n(n – 1) 2

Lo¹i T/m T/m Lo¹i

VËy víi n = -1, n = giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + chia hết cho n3 + 1

Gi¶i:

n5 +  n3 + 1n5 + n2 – n2 +

 n3 +  n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) 

 n3 +

 (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)  n – n2 – n + 1

 n(n – 1) n2 – n + 1

Hay n2 – n n2 – n + 1

 (n2 – n + 1) – n2 – n + 1  1n2 – n + 1

XÐt hai trêng hỵp:

+ n2 – n + =  n2 – n =  n(n – 1) =  n = 0, n = thử lại thấy t/m đề bài

+ n2 – n + = -  n2 – n + = , giá trị n thoả mÃn

VD 3: Tìm số tự nhiên n cho 2n - chia hÕt cho 7

Giải:

Ta có luỹ thừa gần víi béi cđa lµ 23 = = + 1

- NÕu n = 3k (k N) th× 2n - 1= 23k – = (23)k – = 8 k - 1k

8 – = NÕu n = 3k + 1(k N) th× 2n - = 23k+1 – = 8k – 1= 2(8k – 1) + 1

= BS7 +

 2n - kh«ng chia hÕt cho 7

- NÕu n = 3k +2(k N) th× 2n - = 23k+2 – 1= 4.23k –

= 4( 8k – 1) + = 4.BS7 +  2n - kh«ng chia hÕt cho 7

VËy 2n - 17 n = 3k (k N)

2 Bµi tËp

Bµi 1: Chøng minh r»ng:

a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n

b/ n4 – 10n2 + chia hÕt cho 384 víi mäi sè n lỴ

Gi¶i

a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]

= n(n+2)(n + 4) Víi n ch½n, n = 2k ta cã:

n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) 8

b/ n4 – 10n2 + = n4 – n2 – 9n2 + = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9)

= (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Víi n lỴ, n = 2k +1, ta cã:

n4 – 10n2 + = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + – 3)( 2k + +3)

= 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bµi 2: Chøng minh r»ng

a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n

b/ 32n – chia hÕt cho 72 với số nguyên dơng n

Giải:

Ta cã: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)]

= n2(n2 + 2)(n2 – 1).

Ta l¹i cã: 72 = 8.9 víi (8,9) = Xét trờng hợp:

+ Với n = 2k A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8

+ Víi n = 2k +1  A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8

Tơng tự xét trờng hợp n = 3a, n= 3a  để chứng minh A9 Vậy A8.9 hay A72

Bài 3: Cho a số nguyên tố lớn Chøng minh r»ng a2 – chia hÕt cho 24

Gi¶i:

 a2 chia cho d 1

 a2 – chia hết cho (1)

Mặt khác a số nguyên tố lớn a không chia hết cho

a2 số phơng không chia hÕt cho 3 a2 chia cho d 1  a2 – chia hÕt cho (2)

Mµ (3,8) = (3)

Tõ (1), (2), (3)  a2 – chia hÕt cho 24

Bµi 4: Chøng minh r»ng:

NÕu sè tù nhiªn a không chia hết cho a6 -1 chia hết cho 7

Gi¶i:

Bài tốn trờng hợp đặc biệt định lý nhỏ Phéc ma:

- Dạng 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên ap a chia hết cho p

- Dạng 2: Nếu a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p th× ap-1-1 chia hÕt

cho p

ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)

- NÕu a = 7k 1 (k N) th× a3 = ( 7k  1)3 = BS7   a3 - 17

- NÕu a = 7k 2 (k N) th× a3 = ( 7k  2)3 = BS7  23 = BS7  8 a3 - 17 - NÕu a = 7k 3 (k N) th× a3 = ( 7k  3)3 = BS7  33 = BS7  27 a3 + 17

Ta có a3 + a3 – chia hÕt cho VËy a6 – chia hÕt cho 7

Bµi 5: Chøng minh r»ng:

Nếu n lập phơng số tự nhiên (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504 Giải:

Ta có 504 = 32 7.8 7,8,9 ngun tố đơi một

Vì n lập phơng số tự nhiên nên đặt n = a3

CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504

Ta cã: + NÕu a ch½n a3 chia hÕt cho 8

NÕu a lẻ a3-1và a3 + hai số chẵn liên tiÕp (a3-1) (a3 + 1) chi hÕt cho 8

VËy A8 , 19 9a nN (1) + NÕu a7  a3

7  A7

NÕu a không chia hết cho a6 17 (a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma)

Vậy A7 ,  nN (2)

+ NÕu a3  a3

9 A9

NÕu a kh«ng chia hÊe cho  a = 3k 1 a3 = ( 3k  3)3= BS91  a3 – = BS9+1 – 9

a3 + = BS9- + 9

VËy A9 ,  nN (3)

Tõ (1), (2), (3)  A9 ,  nN

Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25

b/ 8n2 + 10n +3

c/

3 3

4

n n

Giải:

a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 5n 25 = 12n2 +15n – 20n – 25

= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)

Do 12n2 5n 25 số nguyên tố 4n +5 > nên 3n > 0.

Ta lại có: 3n – < 4n +5(vì n  0) nên để 12n2 – 5n – 25 số ngyên tố thừa số

nhá ph¶i b»ng hay 3n – =  n =

Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 số nguyên tố.

Vậy với n = giá trị biểu thức 12n2 5n 25 số nguyên tè 13

b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)

Biến đổi tơng tự ta đợc n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 số nguyên tố 3

c/ A =

3 3

4

n  n

Do A số tự nhiên nên n(n + 3)

Hai số n n + chẵn Vậy n , n + chia hÕt cho - NÕu n = A = 0, không số nguyên tố

- Nếu n = A = 7, sè nguyªn tè

-NÕu n = 4k víi kZ, k > A = k(4k + 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số

- Nếu n + = A = 1, không số nguyên tố

VËy víi n = th×

3

3

n  n

số nguyên tố Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai bạn

Mt ngy ca thp kỷ cuối kỷ XX, nhờ khách đến thăm trờng gặp hai học sinh Ngời khách hỏi:

- Cã lÏ hai em b»ng tuæi nhau?

Bạn Mai trả lời:

- Không, em bạn em tuổi Nhng tổng chữ số năm sinh chúng em

u l s chn

- Vậy em sinh năm 1979 1980, không?

Ngời khách suy luận nào? Gii:

Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trờng hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn

Gọi năm sinh Mai 19 9a +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a

{1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980