Phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 giới thiệu tới người đọc lý thuyết tóm tắt, bài tập căn bản, câu hỏi trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1PGS TS NGUYÍN VĂN LỘC ( Chủ biín )
HOĂNG NGỌC ĐỨC - VŨ ĐOĂN KẾT - THỊ VAN CHUNG - LE THI LIÍN HĂ VĂN QUYỀN - VŨ THỊ PHƯỢNG - HOĂNG THÚY HĂNG - TRẤN QUANG TĂI
GIẢI BĂI TẬP
GIẢI TÍCH 2
(HD, 10.2 ( CHUONG TRÌNH NĐNG CAO )
= Bai tap can ban " Cđu hỏi trắc nghiệm
Trang 2PGS-TS NGUYỄN VĂN LỘC (Chủ biín)
HOĂNG NGỌC ĐỨC - VO DOAN KET - THI VAN CHUNG LE THI LIEN - HA VAN QUYEN - VŨ THỊ PHƯỢNG
HOANG THUY HANG - TRAN QUANG TAI
GIAI BAI TAP GIAI TICH 12 (Chuong trinh nang cao)
Tom tat ly thuyĩt
e Bai tap căn bản
Cđu hỏi trắc nghiệm
Đâp ân
Trang 3
LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sâch “GIẢI BĂI TẬP GIẢI TÍCH 19 NĐNG CAO” có nội dung
tương ứng uới sâch giâo khoa Giải Tích 12 nđng cao được âp dụng từ năm
học 2008 - 2009
Mỗi mục ($) của chương gồm bốn phđn I Tóm tắt lý thuyết
II, Bai tap căn bản LHI Cđu hỏi trắc nghiệm
IV Dap an
Phĩn I Trinh bay nhitng vĩn đề lý thuyết trọng tđm nhất của sâch giâo khoa mă câc em cđn phải hiểu uă nắm uững
Phđn II Trình băy lời giải chỉ tiết của câc băi tập có trong sâch giâo khoa, mỗi băi tập đều níu đđy đủ câc bước lập luận uới căn cứ lă câc định nghĩa, định lý, câc tính chất đê học
Phđn III Trình băy câc cđu hỏi trắc nghiệm nhằm giúp câc em ôn luyện lại kiến thức đê học
Phđn IV Trình băy đâp ân câc cđu hỏi trắc nghiệm níu ở phần III ~ Vide sit dung sâch nín thực hiện theo trình tự như sau:
Sau khi hoc ly thuyết, câc em hêy tự mình gidi cde bai tap có trong sâch giâo khoa, nếu gặp khó khăn có thể tham khảo lời giải băi tập trình băy ở phđn II, hơn nữa ngay cả khi giải được băi tập của sâch giâo khoa, câc em cũng nín so sânh lời giải của mình uới lời giải được trình băy trong
sâch năy để hiểu sđu sắc, đđy đủ kiến thức uă phương phâp giải toân Tiếp
theo câc em nín dừnh thời gian giải câc cđu hỏi trắc nghiệm ở phần Ili dĩ
củng cố kiến thức
Hy tọng cuốn sâch sẽ lă tăi liệu hỗ trợ tích cực giúp câc em học tốt
hình học 12 nđng cao
Rất nong câc em dùng sâch ưới ý thức tự chủ cao uỉ không dùng sâch theo câch chỉ “đọc” câc lời giải có sẵn của câc băi tập trong SGK
Để tiệc sử dụng cuốn sâch đạt hiệu quả cao, câc em nín kết hợp sử dụng câc cuốn sâch khâc của cùng tâc giả như: Câc dạng băi tập uă phương phâp giải Giải Tích 12; Kiến thức chuẩn uă nđng cao Giải Tích 12; Tôn bơi dưỡng trắc nghiệm 0ă tự luận Giải Tích 12; Câc chủ đí bâm sât - nđng cao Giải Tích 12; 1250 cđu hỏi trắc nghiệm khâch quan toân 12
Chúc câc em thănh công
Trang 4Chương I ỨNG DỤNG ĐẠO H HĂM ĐỀ KHẢO SÂT VĂ VE DO THI CUA HAM SO §1 2u đơm điệu cia ham sĩ 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1, Nhắc lại định nghĩa hăm số đồng biến, nghịch biến
Giả sử K lă một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng Hăm số f xâc định trín K được gọi lă:
Đông biến trín K nếu Vxụị, x; e K, xị.< X¿ => f(x;) < f(x2)
Nghịch biến trín K nếu Vxị, x; € K, x; < x2 = flx;) > flx,) 2 Diĩu kiĩn cần của tính đơn điệu:
Giả sử hăm số f có đạo hăm trín khoảng 1
a) Nếu hăm số f đồng biến trín khoảng Ï thì f(x) > 0 với mọi x e I b) Nếu hăm số f nghịch biến trín khoảng I thì f{x) < 0, Vx I
3 Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Giả sử hăm số f có đạo hăm trín khoảng I
a) Nĩu f(x) > 0, Vx e I thì hăm số f đồng biến trín khoảng I b) Nĩu f (x) < 0, vx € I thi ham số nghịch biến trín khoảng I
4 Mĩ rong diĩu kiĩn dd cua tinh don điệu
Giả sử hăm số f có đạo hăm trĩn khoang I Nĩu f(x) 2 0, Vx e I
(hoac f (x) < 0, Vx € I) va f (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì
hăm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trĩn I
ð Chú ý: Khoảng I trong câc điều kiện trín có thể được thay bởi một đoạn hoặc mót nửa khoảng Khi đó phải bổ sung giả thiết “Hăm số liín tục trín đoạn hoặc nửa khoảng đó.”
II BĂI TẬP CĂN BẢN
Trang 6Vậy hăm số đồng biến trín mỗi khoảng (—œ; ~ M8) vă (V3; +=); hăm
nghịch biến trín mỗi khoảng (~ 3; 0) vă (0; V3) đ) Tập xâc định: R : 2 _ x+2 y=l+S= x x? Vay hăm số đồng biến trín mỗi khoảng (—œ; 0) vă (0; +20) e) Tập xâc định: R y`= 4x” — 4x = 4x(x? — 1) y`=0<©x=0 hoặc x = +1 Bảng biến thiín: >0Vxz0 x _= -1 0 1 +0 - 0 + 0 - 0 + i -5 6 -6
Vậy hăm số nghịch biến trín mỗi.khoảng (-1; 0) vă (1; +) ¡ ngịch biến trín mỗi khoảng (~œ; =1) vă (0; 1) Ø Hăm số y = V4 -x? xâc định vă liín tục trín [—2; 2] , -x vn Bảng biến thiín: ` sy =06x=0 0 2 UT 1777777 WM SM
Vậy hăm số dĩng biĩn trĩn [-2; 0] vă nghịch biến trín [0; 2]
Trang 7b) Hăm số y = - mẽ nghịch biến trín mỗi khoảng của nó Giải a) Hăm số xâc định trín R \ (-2} 4 (x+2)? Nín hăm số đồng biến trín mỗi khoảng (—>; -2) vă (~2; +œ) b) Hăm số xâc định trín R \ I~1] -x? -2x-5 y= Erp <0 Vxz-l
Nín hăm số nghịch biến trín mỗi khoảng (—œ; -1) vă (—1; +) Băi 3 Chứng minh rằng câc hăm số sau đồng biến trín R a) f(x) = x° - 6x? + 17x +4; b) f(x) = x" + x - cosx — 4 Giải a) Ham sĩ f(x) = x' - 6x? + 17x + 4 xâc định trín R Ta c6 f(x) = 3x" - 12x + 17 = 3(x- 2 +5>0 vVxeR Nín hăm số đồng biến trín R b) Hăm số f(x) xâc định trín R
va f (x) = 3x? + 1+ sinx > 0 vx € R (x? > 0; 1+ sinx 2 0; 3x? + 1+ sin? = 0
vô nghiệm) Nín hăm số đồng biến trín R
Băi 4 Với giâ trị năo của a, ham sĩ y = ax — x" nghịch biến trín R ? Giải
Hăm số xâc định trín R, y` = a - 3x”
Câch 1 Nếu a< 0 >y'<0 Vx e R = hăm số nghịch biến trín R
Trang 8=
Hăn: số đồng biến trĩn (— Ễ if ) Vậy a > 0 không thỏa mên yíu cầu băi toân
Cấc¿ 2 Hăm số nghịch biến trín R, điều kiện y' <0, Vxe R,y`= 0 chỉ tại một số hu hn im Ta c:y'<0 âa-3xđ<0cââa<3x? vxeR «@sa<min(3x?), mă 3x” >0 Vx e R R Nín min(3x”) = 0 Vậy a <0 R Kết luận: Với a < 0 thì y = ax - xỶ nghịch biến trín R Băi ð Tim câc giâ trị của tham số a để hăm sĩ f(x) = 3x! + ax? + 4x + 3 đồng biến trín R Giải Ñx) xâc định trín R f(x)= x? + 9ax+ 4; Ar=a?-4 Câc» 1 + Nếu a? - 4 <0 hay -2 < a < 9 thì f'(x) >0, Vx e R = hăm số đồng biến trín R + Nếu a? - 4 =0 hay a = +2:
- Với a = 2 thi f (x) = (x + 2)? > 0 Vx # ~2 Hăm số đồng biến trín R - Với a = -9 thì f (x) = (x - 2)? > 0 Vx # 2 Hăm số đồng biến trín R
+ Nếu a? ~ 4 > 0 hay a < ~9 hoặc a > 2 thi f (x) = 0 có 2 nghiệm phđn biệt
Trang 9y'=x?— 4x + 4= (x— 9) >0, Vx#2;y' = 0 chỉ tại x = 2 Vậy hăm số đồng biến trín R b) Hăm số đê cho xâc định trín R y` =-4X? + 12x - 9 = -(2x — 3}? <0, Vx e R; y` = 0 chỉ tại x = toi G2 Vậy hăm số nghịch biến trín R e) Hăm số đê cho xâc định trín D = R \ [5} 2 y= SN >0,VxeD (x - 5) Nín hăm số đồng biến trín mĩi khodng (—«; 5 ) va (5; +0) d) y = V2x-x’ liĩn tuc trĩn [0; 2] va y‘= —L=X_ tới x (02; 20221 V2x ~ x? Chiểu biến thiín của hăm số được níu trong bảng sau: x _= 0 1 2 >— 1/7777} TS TT T777 SM
Vay hăm số đồng biến trín (0; 1] vă nghịch biến trín [1; 2]
Trang 10Wy= í a ~—2<0 vx e D nín hăm số nghịch biến trín mỗi khoảng x+ (20; -1) va ( 1; +90) Băi 7 Chứng minh rằng hăm số fx) = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trín R Giải fx) xâc định vă liín tục trín R nín liín tục trín mỗi đoạn Ỉ ws Z +e 60] «7 f'00 = -9(sin9x + 1) <0, Vx e R f(x) =0 ¢2 sinx = -1 > 2x=-2 + kín © xi = ST +kikeZ r
vậy hăm số nghịch biến trín mỗi đoạn iz + km2 +(k+ vr, keZ
Do dĩ ham sĩ nghich biĩn trĩn R Băi 8 Chứng minh câc bất đẳng thức sau:
a) sinx < x vĩi moi x > 0 ; sinx > x với mọi x < 0 ; 2 b) cosx > 1 ~ = với mọi x #0; 3 3 ữ x — š x ` 6)/8JDIRSURICuia) Nóê TH i9, ụ sinx < x — Vật MỚI HQHiKkLÚa Giải a)+ Hăm số f(x) = x - sinx liín tục trín nửa khoảng [s;) vă có đạo hăm f (x) = 1 - cosx >0 Vx e (0; 3 Do đó hăm số đồng biến trín [0; 5 Suy ra: fx) > f(0) Vx e (0; 5) hay x — sinx > 0, Vx € (0; =)
Hiển nhiín x > sinx, Vx > 5 (do sinx < 1)
Vậy x > sinx với mọi x > 0
+ Ham 86 f(x) =
— sinx liín tục trín I-53 0] vă có đạo hăm
f'(x) = 1— cosx > Ö Vx € că: 0) Do đó hăm số đồng biến trín Fi 0)
Suy ra: f(x) < f(0) Vx € cai 0) hay x - sinx < 0 Vx € ct ;0)
Hiển nhiín : x < sinx với mọi x < ae (vi sinx 2-1)
Trang 11Vậy x < sinx với mọi x < 0 2 b) Câch 1 ham sĩ g(x) = cosx — 1 + ® Xâc định trín R vă có đạo hăm g(x) = x — sinx Theo a) g(x) > 0, Vx > 0; g(x) <0, Vx <0; g(0)=0 Chiều biến thiín của g(x) được thể hiện trong bảng sau: x _—>= 0 +0 g(x) - 0 # _ g(x) ae 0 Vậy g(x) >0, Vx #0 2
Cadch 2 Xĩt g(x) = cosx - 1+ = liín tục trín nửa khoảng [0; -z) vă có
đạo hăm g(x) = x — sinx Theo a, g’(x) > 0 với mọi x > 0
Do đó hăm số g đồng biến trín [Ô; +)
Vă ta có: g(x) > g(0), Vx >0
2
Tức lă cosx — 1 + Ty > 0 Với moi x > 0 q)
Từ đó suy ra với mọi x < 0, ta có: (=x)? x? €os(—x) + 1+ > 0 hay cosx + 1 + a >0, với mọi x < 0 (2) 2 Từ (1) vă (2), ta có: g(x) > 0 Vx # 0 hay cosx > 1 ~ Si vx #0 3 ce) Xĩt h(x) = sinx — x + = xâc định trín R vă có đạo hăm 2 h(x) = cosx - 1+ x >0, Vx#0; h(0) = 0 (theo b) = h(x) đồng biến trín R vă ta có: ˆ h(x) > h(0) với mọi x > 0 ; vă h(x) < h(0) với mọi x < 0 3 3
Suy ra sinx > x — oe với mọi x > 0 vă sinx < x — a với mọi x < Ĩ
Trang 121, 1 => f(x) > cos*x + —-— - 2 > 0 voi moi x € (0; Tì cos* x 2 2 1 a (vi cos*x + ——— >2 vx € (0; —)) cos’ x ⁄ Do đó hăm số f đồng biến trín [0; 3) vă ta có x) > Ñ0) Vx € (0; = ‘ : nt
Hay sinx + tanx > 2x vdi moi x € (0; 2?
Băi 10 Số dđn của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 ước tính bởi công 26t + 10
thie fit) = = (ft) được tính bằng nghìn người) t+
a) Tính số dđn của thị trấn văo đầu năm 1980 vă đầu năm 1995
b) Xem f lă một hăm số xâc định trín nửa khoảng [0; +) Tinh f {t) vă xĩt
chiều biến thiín của f trín nửa khoảng [0; +)
c) Đạo hăm của hăm số f biểu thị tốc độ tăng dđn số của thị trấn (tính
bằng nghìn người/ năm)
- Tính tốc độ tăng dđn số văo đầu năm 1990 của thị trấn - Tính tốc độ tăng dđn số được dự kiến văo đầu năm 2008
- văo năm năo thì tốc độ tăng dđn số lă 0,125 nghìn người / năm
Giải
a) văo đầu năm 1980, ta có t = 10 ; f(10) = 18
Vậy số dđn của thị trấn văo đầu năm 1980 lă 18 nghìn người
- Văo đầu năm 1995, ta có t = 25 ; 25) = 22
Số dđn của thị trấn văo đầu năm 1995 lă 22 nghìn người
b) f') = 120
(t +5)?
khoảng (~ð; +))
Vay ham số đồng biến trín 0; +=)
e) Tốc độ tăng dđn số văo đầu năm 1990 lă;
f (20) = > = 0,192 (do t = 1990 — 1970 = 20)
với mọi t > 0 ; Ất) liín tục trín [0; +œ) (vì liín tục trín
Trang 13III CĐU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 Ham s6 f(x) = 2x° - 3x? + 1:
(A) Đồng biến trín (0; +œ) ; (B) Nghịch biến trín (—=; 0)
(C) Đông biến trín (0; 1) ; (D) Nghịch biến trín (0; 1)
9 Hăm số Ñx) = x' ~ 2x” + 2x + 1:
(A) Đồng biến trín R ; (B) Nghịch biến trín Fs 40) 5
(C) Đồng biến trín (—; 1) ; (Đ) Đồng biến trín (— 3 +0)
3 Hăm sĩ y = 2
x
(A) Đồng biến trín (0; +00) ; (B) Nghịch biến trín (—œ; 0) (C) Đồng biến trín (—œ; 0) ; (D) Nghịch biến trín (0; +2) 4 Hăm số y = xV4 - x
(A) Đông biến trín G: 4); (B) Nghịch biến trín (—=; =) ;
(C) Đồng biến trín Cố) : (D) Nghich biĩn tren Gs +)
5 Hăm số y = sinx - x2: (A) Nghịch biến trín R ;
(B) Đông biến trín R;
(C) Đồng biến trín (—œ; 0) vă nghịch biến trín (0; +œ) ;
(D) Ngịch biến trín (—œ; 0) vă đồng biến trín (0; +œ) IV ĐÂP ÂN Cđu 1 2 3 4 5 Đâp ân | D) @) (B) (C) (A) Đ2 âc tr ca ham 16 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa
- Giả sử hăm số f xâc định trín tập hợp D (D c R) vă x, e D được gọi lă
điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hăm số f nếu tổn tại một khoảng (a; b) chứa x„
sao cho (a; b) c D va f(x) < f(x) (f(x) > fx¿)) với mọi x e (a; b) \ [xo]
- Khi d6 f(x,) goi 1a giâ trị cực đại (giâ trị cực tiểu) của hăm số f Diĩm.cyue đại vă điểm cực tiểu gọi chung lă điểm cực trị
Giâ trị cực đại vă giâ trị cực tiểu gọi chung lă cực trị của hăm số
Trang 14Ø Điều kiện cần để hăm số có cực trị
Dinh lí 1: Giả sử hăm số f dạt cực trị tại điểm x„ Khi đó, nếu f có đạo hăm
tai x, thi f’ (x,) = 0
3 Điều kiện đủ để hăm số đạt cực trị vă quy tắc tìm cực trị
a) Định lí 2: Giả sử hăm số f liín tục trín khoảng (a; b) chứa điểm x„ vă có
đạo hăm trín (a; xạ) vă (xạ; b) Khi đó:
+ Nếu f 1x) đổi dấu từ đm sang dương khi x đi qua điểm x, thì hăm số đạt cực tiểu tại điểm xụ
+ Nếu f 'x) đổi dấu từ dương sang đm khi x đi qua điểm x„ thì hăm số đạt cực đại tại điểm xạ
b) Định lý 3 : Nếu hăm số y = Ñx) có đạo hăm cấp một trong khoảng (a; b)
chứa Xạ; f (x,) = 0 vă f có đạo hăm cấp 2 khâc 0 tại xạ
- Nấu f ”(¿) < 0 thì hăm số f đạt cực đại tại điểm xu - nếu f "(x,) > 0 thì hăm số f đạt cực tiểu tại điểm xu * Câc quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
- Tim f(x)
- Tim cdc diĩm x; (i = 1, 2, ) tai dĩ dao ham cia ham s6 bing 0 ho&c ham số liín tục nhưng không có đạo hăm
- Xĩt dấu f(x) Nếu f 1x) đổi đấu khi x di qua x; thì hăm số đạt cực trị tại Xo Quy tắc 2 :
- Tìm f'(x)
~ Tìm câc nghiệm x/ (¡ = 1, 2, ) của phương trình f (x) = 0 - Với mỗi i, tinh f "(x)
Nếu f (x) < 0 thì hăm số đạt cực đại tại điểm x, Nĩu f "(x;) > 0 thì hăm số đạt cực tiểu tại điểm x¿
II BĂI TAP CAN BAN
Trang 15x _” ad 1 + f(x) + 0 - 0 + 1 f(x) a 3
Vay ham số đạt cực đại tại điểm x = -3; giâ trị cực đại của hăm số lă : fop = f(-3) = -1 Ham số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, giâ trị cực tiểu của
ham s6 1a fer = f(-1) = -t
Câch 2 f”(%) = 2w + 4 = f%"(-3)=-2<0;f"-1l=2>0
Vậy hăm số đạt cực đại tại điểm x = -3; giâ trị cực đại của hăm số lă:
fon = f~3) = —1 hăm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, fer = f(-1) = -4 b) Tập xâc định: R f(x) = x? - 2x + 2 = (x - 1)? +1 > 0, Vx e R = fx) luôn đồng biến nín ham số không có cực trị ce) Tập xâc định : R \ (0} ; f*)=0e©Sx=+1 Câch 1 : Bảng biến thiín x —= -1 0 1 +00 f(x) + 0 - il - 0 + -2 f (x) ¬ a Pa 2
Vay ham số đạt cực đại tại x # -1; fop = f(-1) = -2
Hăm số đạt cực tiểu tại x = 1, for = Ñ1) = 2
Cach 2.6%) = 2% 2 2
x x
Vi f (x) = -2 < 0 nĩn ham số đạt cực đại tại x = —1, fcp = Ñ—1) = -2
Trang 16—m -1 0 +
Ham sĩ dat cue dai tai x = -1, fep = fl-1
Hăm số đạt cực tiểu tại x = 0, for = (0) = 1 e) Tập xâc định: R f(x) =x'~x’ ;f'(x)=0 @x = 0 hoặc x= +1 Bang biĩn thiĩn x -z et 0 i +00 | _ - 0 + f(x) + 0 = 0 32 15 f (x) me 28 2 15 2 ¬ 32 Vay ham số đạt cực đại tại x = -1, fep = f(-1) = 15 Ĩ ` 28 Hăm số đạt cực tiểu tại x = 1, for = f1) = 1E Ø Tập xâc định : R \ I1] Ki, 2 Ta có: f'0) = (2x - 3)(x - 1) - (x” - 3x +3) = 2x (x= UẺ (x-1) f(x) = 0 =x =0 hoacx =2 Bang biĩn thiĩn: 1 x — 0 1 2 +0 fx) “|ZANIN 7
Vậy hăm số đạt cực đại tại x = 0 ; fcp = f0) = —3
Hăm số đạt cực tiểu tại x = 2, fer = (2) = 1
Trang 1718 a) Tập xâc định : [-2; 2] y= Var +x es 2x? y=s0eox=tv2 Bang biĩn thiĩn: x 0 -2 -V2 v2 si + a a ¿ o- 2 WIN
Hăm số đạt cực tiểu tại x = - V2, yer = y(- V2) = -2
Trang 18) = 4sin{ - + kíx)~ -2V3 <0 Vậy hăm số đạt cực đại tại câc điểm x== +kn,keZ Ý3 Yep = x[§-*=) =2 sa + km keZ hăn: số đạt cực tiểu tại điểm x = § +km,keZ 8x Yor = of Emr] a Wl a ke Z đ) Tập xâc định: R y` =2sinx + 2.sin2x = 2sinx(1 + 2cosx) Sỉn x = 0 x=kn "| =9 y ù cos x = -— x= 22h + kor, ke Z 2 y” =2cosx + 4.cos2x 9 nếu k lẻ Rage bin =y"Œn) >0 (có thể viết : y'Œm) = 4+2coskm) Ta cd: y'(kn) = { 0 nếu k chẩn Nín hăm số đạt cực tiểu tại câc điểm x = kn, yor = n m lạt cực tiíu tại câc điểm T, Yợt Yin) = oc fe
r# + kor) = -3 < 0 nín hăm số đạt cực đại tại câc điểm
2m 2m 9
x =toc+kír,k 6 2o yoo -v(+Ÿ‹kr) hs
Băi 13, Tìm câc hệ số a, b, c, d của hăm số f{x) = ax" + bx? + cx + d sao cho hăm số f đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f(0) = 0 vă đạt cực đại tại điểm x = 1,
1) =1
Giải
Ta có f (x) = 3ax? + 2bx + c = f (0) =c ; f'(1) = 3a + 2b +c Vi f(0) =O >d=0
Trang 19f”(1) = -6 < 0 Ham số đạt cực đại tại x = 1 Đâp số: a = -2; b= 3;c=0;d=0
Băi 14 Xâc định câc hệ sĩ a, b, c sao cho ham sĩ: (x) = x3 + aX? + bự + € đạt
cực trị bằng 0 tại x = -2 vă đồ thị của hăm số đi qua A(1; 0) Giải Câch 1 :f (x) = 8x? + 2ax + b Điều kiện cần: Hăm số đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 = f'(-2) = 0 vă f(~2) = Hay ~-4a + b + 12 =0 (1) vă 4a - 2b+c-8=0 (2)
Dĩ thi di qua A(1; 0) >a+b+c+1=0
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2); (3) ta được a = 3, b=0,c=-4 Diĩu kiĩn an Xĩt flx) = x? + 3x? - 4 Ta c6 : dĩ thi ham sĩ f(x) đi qua A(1; 0) f (x) = 3x? + 6x = f ”(x) = 6x + 6 f (-2) = 0; f ”(~2) = =6 < 0 nín x = -2 lă điểm cực đại vă f(-2) = Đâp số: a = 3; b = 0;c = -4 Câch 2: Hướng dẫn: f(-2) = 0 ghe f-2) =0 f(1) = 0
PT f (x) = 0 có 2 nghiệm phđn biệt trong đó có 1 nghiệm x = -2
Trang 20III CAU HOI TRAC NGHIEM
2
1 Ham sĩ-y = 4x) < + 2 —5x+6
(A) Nhđn điểm x = —1 lăm điểm cực đại ;
(B) Nhận điểm x = 1 lăm điểm cực tiểu;
(C) Nhận điểm x = ; lăm điểm cực đại ;
(D) Nhan điểm x = -ễ lăm điểm cực tiểu
2 Ham sĩ y = = x! — 2x" + 2008 :
(A) Nhận điểm x = -3 lăm điểm cực tiểu;
(B) Nhận điểm x = 0 lăm điểm cực tiểu; (C) Nhận điểm x = —-3 lăm điểm cực đại; (D) Nhan điểm x = 0 lăm điểm cực đại
8 Hăm số “— ax? — 1, có:
(A) Hai điểm cực tiểu vă một điểm cực đại ; (B) Hai điểm cực đại vă một điểm cực tiểu; (C) Một điểm cực trị ; (D) Hai điểm cực trị say 4 Hăm số y = Bek ee ax+2 x-1
(A) Dat cuc tiĩu tại điểm x = 0 ; (B) Đạt cực tiểu tai diĩm x = 2;
(C) Dat cuc dai tai diĩm x = 2; (D) Khong cĩ cue dai
5 Ham s6 y = V3 - 2x - x?
(A) Đạt cực trị tại điểm x = -3 ; (B) Đạt cực trị tại điểm x = 1 ; (C) Đạt cực tiểu tại điểm x = -1 ; (Đ) Đạt cực đại tại điểm x = —1 6 Hăm số y = 2sinx ~ x
(A) Nhận điểm x= ^ lăm điểm cực đại ; (B) Nhận điểm x= ~ lăm điểm cực tiểu ;
wla
wla
(C) Nhận điểm x = "8 lăm điểm cực đại;
(D) Nhận điểm x = s lăm điểm cực đại
Trang 21Đ3 âc tr ln nht n giõ tri nhb nhĩt ena him 16
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Giả sử hăm số f xâc định trín tập hợp D (D c R)
a) Nếu tổn tại 1 điểm x„ e D sao cho ffx) < flx,), Vx ¢ D thisĩ M = f{x,) được gọi lă giâ trị lớn nhất của hăm số f trín D, kí hiệu lă M= max flx)
b) Nếu tổn tại một điểm xạ e D sao cho f(x) > f(x,), Vx e D thì số m = f(x,) được gọi lă giâ trị nhỏ nhất của hăm số f trín D, kí hiệu lă m = mịn f(x)
2 Câch tìm
- Phương phâp thường dùng để tìm giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất của hăm số trín một tập hợp lă lập bảng biến thiín của hăm số trín tập hợp đó
- Quy tắc tìm giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất của hăm số liín tục trín
một đoạn:
a Tim cĩc diĩm x, X2,.- , Xm € (a; b) tại đó hăm số f có đạo hăm bằng 0
hoặc không có đạo hăm
b Tinh f{x;,), flx2), f(xm), f(a) vă f(b)
c So sânh câc giâ trị tìm được
Số lớn nhất trong câc giâ trị trín lă giâ trị lớn nhất của hăm số f trín [a; b] ; số nhỏ nhất trong câc giâ trị đó lă giâ trị nhỏ nhất của f trín [a; b}
II BĂI TẬP CĂN BẢN
Băi 16 Tìm giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất của hăm số: fx) = sin‘x + cos*x Giải Hăm số xâc định trín R 'Ta có fx) = (sin#x)? + (cos”x)? = (sin°x + cos?x)? — 2sin”x.cos”x = 1 - 5 sin?2x vĩ6i moixe R flx) < 1, Vx e R; f(0) = 1 Vay max fix) = 1 1 HOAN T7 1_ 1 3 1 =, 2: ;fl—|sl-s= = ee fix) 2 5 Vx € R (do sin*2x < 1) (3) 25 Vay min flx) 3
Trang 23Câch 1 : Bảng biến thiín: x ra 1JJW]NIHIHNIHJTT+—— [NI] Le š 11 Vậy mịn Ñx) = Ñ0) = 2 ; max Ñx) = f1) = 3 Câch 2 Vi x e [0; 1] nín phương trình f '(x) = 0 vô nghiệm (trín [0; 1 11 Ta có:/R0) =2; 1) = =
Vậy min fx) = Ñ0) =2; max Ấx) = f1) = at xel0;1) xe(0;1) 3
f) f(x) = x- a f'(x)=1+ hs > 0, Vx € (0; 2), f(x) liín tục trín (O; ] nín
x x
fx) đồng biến trín (0; 2]
Vậy max f(x) = Ñ2) = 3 Hăm số không đạt giâ trị nhỏ nhất trí nửa
khoảng (0; 2]
Băi 18 Tìm giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất của câc hăm số sau:
a)y= 2sin?x + 2sinx — 1 ; b)y= cosˆx — sinxcosx + 4
Giải
a) Đặt t = sinx ; —1 <t< 1
y = Ñt) = 2U + 2t — 1,t e [—1; 1]
Ta tìm giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất của y = Ất) trín [—1; 1]Đó lă
Trang 248 1 3 / min fit) =fl-3)=-93 max f(t) = f(1) = 3 $ 3 " 1 T Do dĩ: miny = -~, dat dugc tai sinx =-— <> x = -=+k2n ak 2 2 6
max y = 3, đạt được tại sinx = 1 c xe 2 + k?m,k € Z
b) y = cos”2x — sinxcosx + 4 = 1 — sin’2x - 5 sin2x +4 = -sin?2x — 5 sind +5 Đặt t = sin2x, -1 <t< 1 21 +: fXt)z 1 guys aot y = f(t) =-t? - gttds f(t) = -2t - 5 ƒF (50/6/64 Bảng biến thiín: 1 Ễ -1 74 + f(t) + 0 - 81 16 f (t) 9 7 2 2 min f(t) = f(1) = Ai may R9 =f~2) = =
Do dĩ min y = 2; chẳng han x = Ti max y = a
Bă 19 Cho tam giâc dĩu ABC canh a Ngudi ta dựng một hình chữ nhật
MNP có cạnh MN nằm trín cạnh BC, hai đỉnh P vă Q theo thứ tự nằm
Trang 25Ta có 8(x) = X8 (a - 4x) ; S(œ) =0 © x= ; a a x 0 Z 2 f"(x) + 0 - a2 (3 f(x) s § đạt giâ trị lớn nhất tại x = ; vă giâ trị lớn nhất của diện tích hình chữ a xê nhật MNP@ lă: es S(x) = s(§) =— x‹0Ệ
Băi 20 Một hợp tâc xê nuôi câ trong hổ Nếu trín mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con câ thì trung bình mỗi con câ sau một vụ cđn nặng :
Pín) = 480 - 20n (gam)
Hỏi phải thả bao nhiíu câ trín một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều câ nhất
Giải
Nếu trín mỗi đơn vị diện tích của mặt hổ có n con câ thì sau một vụ, số câ
trín mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cđn nặng: fn) = n - P(n) = 480n - 20n? (gam) n e N* Xĩt ham s6 f(x) = 480x ~ 20x? trín (0; +œ) (Biến n lấy câc giâ trị nguyín dương được thay bằng biến số x lấy câc giâ trị trín khoảng (0; +)) f{x) = 480 ~ 40x; f“) = 0 © x = 12 x 0 12 +œ f(x) + 0 - f(x) f (x)
Trĩn (0; +00) ham s6 f(x) đạt giâ trị lớn nhất tại x = 12
Suy ra trín tập hợp N* câc số nguyín dương, hăm số f đạt giâ trị lớn nhất tại điểm n = 12
Vậy muốn thu hoạch được nhiều câ nhất sau một vụ thì trín mỗi đơn vị
diện tích của mặt hỗ phải thả 12 con câ
Trang 26Luyện tập Băi 21 Tìm cực trị của câc hăm số sau: 3 a) f(x) = : b) fx) = — x+1 ; d) fix) =x + Vx? -1 Giai 1- 2 a) f (x) = 7: f'%)=0x=z1 x?+1 Bảng biến thiín: t —œ ¬1 1 +0 f0 - 0 + 0 = 1 2 t(x) -Ô 2
Trang 27-V5 võ to |jjJ/7JJJJ + o - TTT I] ]
Hăm số đạt cực đại tại điểm x = 0; fep = R0) = V5
Hăm số không đạt giâ trị cực tiểu đ) f(x) xâc định trín D = (—z; —1] C2 [1; +) f{x)=1+ Š với <1 hoặc x >1 vx? -1 Bảng biến thiín x —2 -1 + tứ) E i = Vay ham số nghịch biến trín (—; -1] vă đồng biến trín [1; +z) Hăm số không có cực trị x? +mx-1 Băi 22 Tìm câc giâ trị của m để ham số f{x) = đạt cực đại vă cực tiểu x-1 Giải Tap xâc định: D = R \ {1} x’ -2x+1-m 2} _ - * ro XE xua rao oft 24 ' 0i lo, (x-1)Ẻ x#1
Phương trình (*) có nghiệm x z 1 khi vă chỉ khi m z 1
Hăm số có cực đại vă cực tiểu khi vă chỉ khi phương trình (*) có hai
Ay 20 Ầ° m>0
m0
nghiệm phđn biệt khâc 1, nghĩa lă : | om>0 m0
Vay fix) dat cue dai vă cực tiểu khi vă chỉ khi m > 0
Băi 23 Độ giảm huyết âp của một bệnh nhđn được cho bởi công thức G(x) = 0,025x30 - x) Trong đó x lă liều lượng thuốc được tiím cho bệnh
Trang 28nhđn (x lấy đơn vị lă miligam) Tính liễu lượng thuốc cản tiím cho bệnh
nhđn để huyết âp giảm nhiều nhất vă tính độ giảm đó Giải Ta có G(x) = 0,75x" - 0,025x"; G '(x) = 1,5x-0,075X”; Gx) = 0cox = 0; x = 20 Bang biĩn thiĩn 20 +00 + 0 - 100 max G(x) = G(20) = 100 “YN
Vậy liều lượng thuốc cần tiím cho bệnh nhđn để huyết âp giảm nhiều nhất lă 20mg Khi đó, độ giảm huyết âp lă 100
Băi 24 Cho parabol (P)y = x? vă điểm A(~3; 0) Xâc định điểm M thuộc parabol (P)
sao cho khoảng câch AM ngắn nhất vă tìm khoảng câch ngắn nhất đó Giải Goi M(x; x*) lă một điểm bất kì trín (P) Ta co: AM? = (x + 3)’ + (x)? = xt +x? + 6x +9 AM nhỏ nhất c> AM nhỏ nhất © f(x) = x‘ + x’ + 6x + 9 dat gid tri nhd nhĩt = 4x" 4 2x + 6 = (x + 1)(4x" — 4x + 6) Bảng biến thiín x | x -1 +0 f(x) = 0 +
f đạt giâ trị nhỏ nhất tại điểm x = -—1; Ñ—1) = 5 Suy ra, khoảng câch AM
đạt giâ trị nhỏ nhất khi M ở vị trí điểm M,(-1; 1) Lúc đó AM, = V5
Băi 25 Một con câ hỏi bơi ngược dòng để vượt qua một khoảng câch lă 300km
Vận tốc dòng nước lă 6km/⁄h Nếu vận tốc bơi của câ khi nước đứng yín lă v
(km/h) thì năng lượng tiíu hao của câ trong t giờ được cho bởi công thức:
E(v) = cv?t Trong đó e lă một hằng số, E được tính bằng Jun Tìm vận tốc
của câ khi nước đứng yín để năng lượng tiíu hao lă ít nhất
Giải
Vận tốc của câ khi bơi ngược dòng lă v - 6 (km/⁄h) Thời gian câ bơi để vượt qua một khoảng câch 300km lă: t = 300 (giờ) v-
Trang 29Năng lượng tiíu hao của câ để vượt khoảng câch đó lă: 3 300 = 300.c —~ v-6 v-6 Băi toân trở thănh tìm v > 6 để E(v) nhỏ nhất? E(v) = c.vŸ (Jun) v >6
Ta có: Ev) = 600c.v? So vs ¡E(v) =0 ©v =9; v= 0 (loại do v > 6)
Bang biĩn thiĩn v 6 9 +œ Ev) - 0 + E(v) i _ eee” E(9) Vậy để ít tiíu hao năng lượng nhất, câ phải bơi với vận tốc 9 km/h (khi nước đứng yín)
Băi 26 Sau khi phât hiện một bệnh dịch câc chuyín gia y tế ước tính số người
nhiễm bệnh kể từ ngăy xuất hiện bệnh nhđn đầu tiín đến ngăy thứ t lă:
Ất) = 46t? — tỦ; t= 0, 1, 9, 2B
Nếu coi f lă hăm số xâc định trín đoạn (0; 25] thì f '(t) được xem lă tốc độ
truyền bệnh (người/ ngăy) tại thời điểm t
a) Tính tốc độ truyền bệnh văo ngăy thứ 5
b) Xâc định ngăy mă tốc độ truyền bệnh lă lớn nhất vă tính tốc độ đó e) Xâc định câc ngăy mă tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600
đ) Xĩt chiều biến thiín của hăm số f trín đoạn [0; 2B]
l Giải
Số người nhiễm kể từ ngăy xuất hiện bệnh nhđn đầu tiín đến ngăy thứ t
lă ft) = 4Bt? ~ tỶ, t nguyín thuộc đoạn [0; 25]
Trang 30©) f \t) > 600 © 90t — 3t? > 600 © 10 < t < 20 Từ ngăy thứ 11 đến ngăy thứ 19, tôc độ truyền bệnh lă lớn hơn 600 người mỗi ngăy d) f(t) = 3t(30 - t) > 0 Vt © (0; 25) ; ft) liín tục trín [0; 25] => f(t) dĩng biĩn trĩn [0; 25] Băi 27 Tìm giâ trị lớn nhất vă giâ trị nhỏ nhất của câc hăm số sau: a) f(x) = V3 - 2x trĩn doan [-3; 1] b) fix) =x + V4—x? c) f(x) = sin“x + cos’x + 2 d) f(x) = x — sin2x trín đoạn [-š=] Giải a) 5 e0vee (-3; 1) ma f(x) liĩn tye trĩn [-3; 1] V3 - 2x nín hăm số nghịch biến trín [—3; 1]
Vậy mịn fx) xe{-3} = Ñ1)=1; max Ñx) xel-3) = Đ-3) = 3 ¥3- 2x’ Ta có f1) = 1;f-3)= 3 nín min f(x) x«(~8;1] = f(1)=1; max f(x) = f-3) xe[~811] = 3 b) Tập xâc định: D = [~2; 2] %⁄x) =1— X_,ewyyy= 2 f'œ) =1 Fort wader 2 Câch 1 : Bảng biến thiín: x v2 2 +00 a AN Vay max lăng (an › múa, = f{-2) = -2 a) Câch 1 f(x) = Cach 2 f(x) = f (x) = 0 v6 nghiệm (trín [~3; 1]) Câch 2 ta có: ~9) = -2 min rðmney
So sânh câc giâ trị trín ta:được:
max f(x) = (V2) nef -2;2) = 2V2 ; mịn fx) = Ñ-9) xe(-2;2) =-
©) fx) = sin'x + 1— sin?x + 2 = sin'x — sin^x + 3 , Dat t = sinx; t e [0; 1) Khi đó ta có h(t) = tÍ ~— t + 3, t [0; 1]
Trang 31NÓ) = 2t — 1; R0 = 0e t 2 € (0,1
1 11
h(0) = 3; h(—)= —; h(1) =3 2 4
Vậy max h(t0 = h(0) = h(1) = 3; min h(t) = nS) = = “
Suy ra: max f(x) = 3 ; đạt được chẳng hạn tại x = 0
Trang 32Vậy trong tất cả câc hình chữ nhật có chu vị 40cm, hình vuông có cạnh lă
10cm có diện tích lớn nhất
Câch 2 Hướng dẫn : Sử dụng bất đẳng thức Cô ~ si
Hai số dương a, b có tổng không đổi thì tích của chúng lă lớn nhất khi vă chỉ khi a=b Giải Gọi a, b lă hai cạnh của hình chữ nhật, ta có a + b = 20 (a, b > 0) a+b ` 2 ie sab ) = 100 = max(a.b) = 100 © a = b = 10 Vậy hình vuông có cạnh 10cm lă hình có diện tích lớn nhất (trong tất cả câc hình chữ nhật có chu vị 40cm)
III CĐU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 Giâ trị nhỏ nhất của hăm số y = 4x” — 3x trín đoạn {0; 2] lă: (A)1; (®)2; (C0; (D) -24 2 Giâ trị nhỏ nhất của hăm số y = x? + 2 với x > 0 lă: x (A) 1; - (B) 3; (C) 4; (D) 2 3 Giâ tr lớn nhất của hăm số y g x+ v2~ x? lă: (A) -Ý2 ; ® V2; (C2; (D) 3 4 Giâ tr lớn nhất của ham sĩ y = Vx-2+V4-x la: (A) V2 ; (B) 3; (3; — D2 5 Giâ tr nhỏ nhất của ham sĩ y = sinx — cos*x + ; la: 3 1 3 (A) -— ; ) 4 ‘B) -= ; (B) 5 (C) 2 =; (D) D) -1 Iv DAP AN Cau 1 2 3 4 5
Dap 4n | (A) (B) (C) @) (A)
§4 Dĩ thi eta ham s6 va phĩp tịnh tiến lệ tọa độ
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Dĩ thi cla ham sĩ y = f(x) xâc định trín tập D lă tập hợp tất cả câc
điểm (x; fx)), x e D của mặt phẳng tọa độ
Đồ thị của ham sĩ y = f(x) còn gọi lă đường cong có phương trình lă y = ffx)
(gọi tắt l¿ đường cong y = fx)
Trang 339 Phĩp tịnh tiến hệ tọa độ vă công thức chuyển hệ tọa độ
Giả sử I(x; yo) 1A hĩ trục tọa y
độ mới có gốc lă điểm I; hai trục Ậ a
IX, IY theo thứ tự có cùng vectơ yf X
đơn vị ¡, j với hai trục Ox, Oy
Điểm M bất kì trong mặt phẳng
Gọi (x; y) ŒX; Y) lần lượt lă tọa độ Yd T
của M đối với hệ trục Oxy, IXY Ta có: ae WARS ee Ỳ ~ v x gq * oy y=Y+y, ¬
(*) được gọi lă công thức chuyển hệ tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo vectơ OI 8 Phương trình đường cong y = f(x) đối với hệ tọa độ mới IXY lă
Y = {X + x0) - Yo
II BĂI TẬP CĂN BẢN
Băi 29 Xâc định đỉnh I của mỗi parabol (P) sau đđy.Viết công thức chuyển hệ
tđy
tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo vectơ OJ vă viết phương trình của parabol
(P) đối với hệ tọa độ IXY a) y = 2x? — 3x +1; b)y= 2x n x8 ©)y=x-4x?; đ)y= 2x? ~ 5 Giải 3 1 Đinh I có độ I| —;-— a) có tọa độ (3 3] ? >
Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo vectơ OI lă :
Trang 34Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ IXY lă : Piet ik 2 1 Y-z=g(X+1) -(X+1)-3 hay Y= 3* Ld, Dinh I} =; — 9 (3 5) -Š Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo vectơ OI lă : 1 ch về x TH 1 =Y+— UE Tg Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ IXY lă : 16 8 đ) Đỉnh I(0 ; =5) 2 ve -Xeô-4|X‹|] hay Y =-4X? Say Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo vectơ OI lă : P =x y=Y-5 Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ IXY lă : Y-5=2X?-5 hay Y= 2X’ Băi 30 Cho hăm số y = f(x) = x° - 3x7 +1
a) Xâc định điểm I thuộc đổ thị (@) của hăm số đê cho biết rằng hoănh độ
của điểm I lă nghiệm của phương trình f "(x) = 0
>
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phĩp tịnh tiến thep vectơ OI vă viết phương trình của đường @) với hệ tọa độ IXY Từ đó suy ra rằng I lă tđm đối xứng của đường cong (@)
e) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (®) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy Chứng minh rằng trín khoảng (-œ ; 1) đường cong (@) nằm phía dưới tiếp tuyến tại Ia (6) vă trín khoảng (1 ; +ø) đường cong (@) nằm phía
Trang 35§ =X+1
y=Y-1
Phương trình của (@) đối với hệ trục IXY lă :
Y~1=(X+1)'—- 3% + 1 +1 hay Y=X?- 3X
Vì hăm số Y = X? - 3X lă hăm số lẻ nín đồ thị của nó nhận gốc tọa độ I lăm tđm đối xứng c) se Tiếp tuyến với (9) tại I(1 ; -1) đối với hệ tọa độ Oxy la: y=f 1x - 1) + 1) với f'1) = -3 ; 1) = —1 nín phương trình tiếp tuyến : y = -3(x — 1)( + (1) hay y = -3x + 2 « Xĩt hiĩu (x* - 3x? + 1) ~ (—8x + 2) = (x - 1)°
+ Với x e (—œ ; 1) = (x - 1) < 0 nĩn dutng cong (@) : y = x* — 37 + 1 nằm
phía dưới tiếp tuyến y = -3x + 2
+ Với x € (1 ; +0) => (x — L)Ỷ > 0 nín đường cong (@) nằm phía trín tiếp tuyến tại I Băi 31 Cho đường cong (@) : y = 2- a x+ vă điểm I(-2 ; 2) Viết công thức >
chuyển hệ tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo vectơ OI vă viết phương trình của đường cong (6) đối với hệ tọa độ IXY Từ đó suy ra l lă tđm đối xứng của (6) Giải 4 y ï > Jx=X-2 Công thức chuyển hệ tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo OI : vad y=Y+ Phương trình (@) trong hệ tọa độ IXY : i 1 Y+2=2- ——— hay * K-2+2 MỸ Y= -—= x
WY=-Ý lă hăm số lẻ nín (C) nhận gốc tọa độ I lă tđm đối xứng
Băi 32 Xâc định tđm đối xứng của đồ thị mỗi hăm số sau đđy : 3x-2 = đại = 3 ay x-1 * by x+1 Giải 2 2 2, [X=x-1 x=X+1 Meals ei Ss bee eee hi * ay x-1" ak TT x agi Xi eal ay
(*) lă công thức chuyển hệ tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo vectơ OI với 1 ; 1) (đối với hệ trục Oxy)
Đối với hệ trục IXY, hăm số y = š lă hăm số lẻ nín đỏ thị nhận gốc tọa độ lăm tđm đối xứng
Trang 36Vậy tđm đối xứng của đồ thị hăm số y = x- 7 + 1lă (1 ; 1) 3x -2 `5 -5 -B _, JX=x+l b y iz ee i Bier Re 6% aS we ng hay? - : R Đđy lă công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phĩp tịnh tiến y=Y+ ay theo vecto OI vĩi I(-1 ; 3) ViY = lă hăm số lẻ nín đồ thị nhận gốc tọa độ I lăm tđm đối xứng a Ks se 3a đê thị or 3x -2 Vay tam đối xứng của đồ thị hăm số y = 1 lă I(-1 ; 3) x+ Băi 33 Cho đường cong (6) có phương trình y = ax + b + , trong đó — Xò a #0,c #0 va I(Xo ; yo) thoa man yo = ax + b Viết công thức chuyển hệ tọa >
độ :rong phĩp tịnh tiến theo vectơ OI vă phuong trinh cua (@) dĩi vĩi hĩ tọa độ IXY Từ đó suy ra rằng I lă tđm đối xứng của đường cong (6) Giải a Công thức chuyển hệ tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo OI với I(xo ; yọ) lă : x=X+x, x=X+x, hay y=Y+y, y=Y+ax,+b
Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY :
Ý+axe+b<aOf+xdl+b+——T— hay Yaak e &
X+x,-x, X
Do hăm số Y = aX + š lă hăm số lẻ nín đổ thị (€) của hăm số nhận gốc
tọa độ ] lăm tđm đối xứng
MI CAU HOI TRAC NGHIEM
Cau 1.Cho parabol (P) : y = -2x? + 4x + 3 ; gọi I lă đỉnh của (P)
mă
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo OI lă :
x=X+1 X=x+l x=X-1 x=X+l
(A) ;@ ; (Ơ) ¡ D) |e l ee eas i owtcct ‘ teat Cđu 3 Cho parabol (P) ở cđu 1, phương trình của (P) đối với tọa độ IXY lă :
(AJY= 2X? (Y=-X”; (OY=-2X?; (D) Y = 2x2
Trang 37+4 Cđu 3 Cho đường cong (6) có phương trình y = a = Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phĩp tịnh tiến theo vectơ OI với I(ð; 4) lă: (A) xe 5, ®) TH NGG: (œ nets, œ) x=X+õ y=Y-4 y=Y+4 y=Y-4 y=Y*4 Cđu 4 Cho (€) vă I như ở cđu 3, phương trình của (@) đối với hệ tọa độ IXY lă: 5 5 5 5 = : Va ; @y=548; wm y=2 (A) Y x-10 78 (B) xen: (©) x? (D) x Cau ð Tđm đối xứng của đồ thị hăm số y = 3x + 1 + =z la: (A) 1(4; D; (B) 1(4; 13); (C) 1(2; 13); (D) I(-4; -11) Iv DAP AN T Cđu 4 2 3 4 5 Đâp ân | (A) (C) (D) '| (Dy (B) Š5 đường tiệm cận của dĩ thi ham sĩ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 (Đường) tiệm cận ngang
Định nghĩa: Đường thẳng y = yo được gọi lă tiệm cận ngang của đỗ thị hăm 86 y = f(x) nĩu lim f(x) = y, hoặc jim f(x) = y,
2 Tiệm cận đứng
Định nghĩa: Đường thẳng x = xọ được gọi lă tiệm cận đứng của dĩ thi ham số y = fx) nếu một trong câc điểu kiện sau đđy thỏa mên: lim f(x) = +;
lin f(x) = -00 ; lim f(x) = +00; lim f(x) = -o xe xi xx;
8 Tiệm cận xiín
Định nghĩa: Đường thẳng y = ax + b, a z 0, được gọi lă tiệm cận xiín của đổ
thị hăm số y = fx) nếu lim[f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc lim{f(x) - (ax + b)] = 0
Câch tìm: Ngoăi định nghĩa ra, có thể âp dụng câc công thức sau để xâc
định câc hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiín
a = lim TS, b = lim(fG° - ax] hoặc a = tim £29; b = lim[f(o - ax]
* Lưu ý: - Nếu a = 0 thì ta có tiệm cận ngang
- Tiệm cận xiín vă tiệm cận ngang loại trừ nhau: có tiệm cận xiín thì
không có tiệm cận ngang vă ngược lại
IL BAI TAP CAN BAN
Băi 34 Tìm câc đường tiệm cận của đổ thị câc hăm số sau:
Trang 38x-2 -2x- 2 1 2 ; b) y= ; xx+ôzc =e? a») yeaa đân 9) ĐEN 8 x? -3x+4 x+2 x d) y= ; = 3 fhy= y 2x+1 ey x?-1 T1 Giải
Vi liny =— va limy = ; nín đường thang y = lă tiệm cận ngang của 8 —
dĩ thi (khi x +œ vă khi x => —œ)
Vì lim y=+œ nín đường thẳng x = -3 lă tiệm cận đứng của đô thị U (khi x (-2)> vi Ly y =~œ nín đường thẳng x = -3 lă tiệm cận đứng của đô thị xf-2 (3, 5 2) khi -= ( ¡x¬| 2) b) TX2: R \I-3] Vì liny =-2 vă lim y =-2 nín đường thẳng y = -2 lă tiệm cận ngang của đổ thị (khi x —» +00 va x —> —œ) Vi lin y=- nĩn đường thẳng x = -3 lă tiệm cận đứng của đô thị (khi x3 x — (-3)) va lim_y = +0 nín đường thẳng x = —-3 cũng lă tiệm cận đứng của x-s(-3)° đồ thị (kh x > (-3)") c) TXD: R\{3) Vì liny =+œ va limy = -œ nín đường thẳng x = 3 lă tiệm cận đứng của .¬— 46 thi (kh x > 3° va khi x > 3°)
Dutngthang y = x + 2 lă tiệm cận xiín của đồ thị (chi x ~» —œ vă khi x -> +00)
Trang 39iw Câch 2: y=*—^~°,TxÐ mx-j] 1 W lim y=-s vă lim y=+= nín đường thẳng x= “> lă tiệm cận 487” 4g : đứng của đổ thi Ghi xa S2 ) X=8x+4 1 _ |x -3x+4 1 _ -7x+8 7 = ————=-~; b=lim————-~x|=lim———=-— TR SN ĐH TƯ cđn bị x1 al a a nín đường thẳng y = 2x -i la tiĩm can xiĩn cla dĩ thi (khi x > +2) 2_3x+4 1 |x?-8x+4 1 7 Ta cũ bia ew ie et: Be Ee a wê 8 tông có::8 x2x+l) 2 2x+1 2* qo đường thẳng y = px-t cũng lă tiệm cận xiĩn cia dĩ thi (khi x > —«) e) Hăm số xâc định trín R\|+1] Ta có lim y = lim i -o va limy =lim ies nĩn dudng thang xe! avr x? -] xo xl’ x* =]
x = 1 lă tiệm cận đứng của đồ thị (khi x — 1!)
Cũng có: lim y= lim x* cle +o va lim y=-œ nín đường thẳng
xt) xy x? =] xe(<0"
x =~—1 cũng lă tiệm cận đứng của đồ thị (khi x > (-1) vă khi x = (=L)')
Vi lim — y = lim xe =0 vă lim tee yg? ote y = lim = = 0 nín đường thẳng y = 0 nee? —
lă tiệm cận ngang của đồ thị (khi x — —= vă khi x —» +)
Kết luận: Đồ thị hăm số đê cho có hai tiệm cận đứng lă câc đường thẳng
x = +1 vă một tiệm cận ngang lă đường thẳng y = 0 f) y = —~—: ham s6 xĩc dinh trĩn R\(-1) x +1 Vì lim y = lim ae eee aL tee = lim —X”— = 0; tương tự: lim y = lim xe wont XO 4] =0 nĩn git x? đường thẳng y = 0 lă tiệm cận ngang của đổ thị (khi x —> = va khi x ~ +2) W lim y= lim — =+0; lim y= lim xt-1 xe xt 4] 4-1 x¬(-Ð*" xổ +
thẳng x = -—1 lă tiệm cận đứng của đồ thị (khi x —> (1) vă khi x —> (-1)')
Kết luận: Đồ thị có tiệm cận ngang lă đường thẳng y = 0 vă tiệm cận đứng
lă đường thẳng x = —1
=-= nĩn đường
Trang 40Bai 35 Tim câc đường tiệm cận của đỏ thị câc hăm số sau: 3 x'+2 a) y ¥ b) y= Giải a) Hăm số xâc định trín R\I0] Vì lim y = lim y =-> nín đường thẳng x = 0 lă tiệm cận đứng của đồ thị x0 x10" (khi x > 0° vă khi x +0 )
vi bm [252 + x=a=G=8|= lim #52” co woe] 2 mee gt
tim| 2 x-a-(x-2)] = tim =~ 0 — me X
nín đường thẳng y = x — 3 lă tiệm cận xiín của đồ thị (khi x —> —œ vă khi x + +00)
a
b) y= x’ - 2x ‘* = f(x) Ham sĩ xdc dinh trĩn R\(0; 2)
Vi limy = -~; limy 190" x0 = +0 nín đường thẳng x = 0 lă tiệm cận đứng của đổ thi (khi x > 0 va khi x > 0°)
3 3
Vì limy Kat” = lim x re =+œ; lim x92" x? — Ox wor? y = lim x+2 =-s nín đường thẳng rot x2 — Ox
xe 2 cũng lă tiệm cận đứng của đồ thị (khi x — 2ˆ vă khi x -> 2°)
3
Ta có TC Ey xr x were yd Oy?
mm 2
b = lim [f(o Rete - ax] = in| xa -x|- lim 2% +2 _ 9 avon] -9x .¬ y 2x
nín đường thẳng y = x + 2 lă đường tiệm cận xiín của đồ thị (khi x > +0)
Tương tự, y = x + 2 cũng lă tiệm cận xiín của đồ thị (khi x —» -©)
Rết luận: Đồ thị hăm số đê cho có câc đường tiệm cận đứng lă x = 0; x = 2 vă đường tiệm cận xiín lă y = x + 2
ec) TXD: R \ {+1}
Mili ws i x +xe] li = hi X°+Xx+1_
wen ye ead en ged