Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 nâng cao, phần 2 giới thiệu tới người đọc lý thuyết tóm tắt, bài tập căn bản, câu hỏi trắc nghiệm về nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng, số phức. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1Chuong III NGUYEN HAM, TICH ` PHAN VA UNG DUNG
§7 Wguyén ham
1 TOM TAT LY THUYET
1 Định nghĩa: Cho ham số f xác định trên khoảng I Hàm sé F dugc goi la
nguyên hàm của f trén I néu F'(x) = f(x) véi moi x thuộc I
2 Dinh lí 1: Giả sử F là nguyên hàm của hàm số f trên khoảng I Khi đó: a) Với mỗi c, hàm số F(x) + C cũng là nguyên hàm của f trên I
b) Ngược lại, nếu G là một nguyên hàm bất kì của f thì tổn tại c sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc I Kí hiệu họ nguyên hàm: Íf(x)dx = F(x) +C 3 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: a.i 1) jdx=x+C; 2) [x'dx== +C(a#-1); œ+1 3) [S“=Inlx|+C; x 4) Voi k 1a hằng số #0
a) fin kxdx = _ +C; b) |eos kdx = sem +C
c) fevdx = 2" +0; —k d) fatdx = ar +QO<a#l) “na l 5) a) ƒ oe = tan x+C; % vj =-cotx+C cos’ x sin’ x 4 Định lí 2 Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên khoảng I a) [Œ(x) + g(x))dx = ÍfGOdx + [g(x)dx; b) Íkfeodx = kƒfœ0dx +C; (với k e R,k là hằng số) I BAI TAP CAN BAN
Trang 22 Vay nguyén ham caa ham sé: f(x) = 3x? + s la F(x) = x° + = +C 4 b) Tương tự câu a) ta có: [(2x" - 5x + 7)dx = cản 1 d) Xét: f(x *)dx =— ang _ _102* e) Ta có: fro dx = aia te Bai 2 Tim: a) five + Yxdx; b) Ea ce) j4sin? xdx ; d) fas Giai xi! 4 Tại a) Ta có: [(x + Ÿx)đx = fix'* + x!*)dx = X—+X— +0 tay =+1 ” 2 3 -22 8 sc, b) Ta có: pie (4.8) dx = fo x¥? 4 x? x") dx key va 2 2 = fe! +x dx = ` += +C=vx-2+40 144 Bie Ye : 3 2 ©) Ta có: j4sin? xảx = 2 fl ~ cos 2x)dx = 2x - 5 sin 2x) + ¢ = 2x sin 2x + Cc 1+cos4x d) Ta có: J 2 dx = 3 fa + cos 4x)dx = 2Q + Ì si 4x) + O 2 2 4 = *x+ 1sin4x + 2 8
Bài 3 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: Nguyên hàm của hàm y = x.sinx là:
Trang 3(A) x’sin + C; (B)-x.cosx + C; (C) —x.cosx + sinx + C
Giải
Khang dinh (C) Có thể dùng nguyên hàm từng phần:
Dat EX = {du = dx
dy = sin xdx v =—cosx
> Íxsinxdx = =XC€08X+ feos xdx = —xcosx + sinx + C Bài 4 Khẳng định sau đúng hay sai:
Nếu f) =(1~ Ýx}' thì [f(x)dx = —Ýx +C
Hướng dẫn: Khẳng định đúng Vì: fx) = (1 - Vx) =(-vxy
II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 Hàm số y = có nguyên hàm fix) la biểu thức nào sau đây, nếu biết đồ sin? x thị của hàm số F(x) đi qua điểm M|š:0}? v3 (A) v3 -cotx; (B) af — cotX; (c) - V3 + cotx; (D) a + cotx 3 2 Nếu một nguyên hàm của hàm số ffx) là = ~x thi ham sé f(x + 1) là: 3 (A) nh ~x+1; (B)x?+2x+2; (C) (x + 1)?; (D) x(x + 2) 8 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f{x) = 7 và F(2) = 5 thì F(x) có dạng: ° x? x? (A) Tri, (B) 7 +4; (C) x? + 5x; () x? +1
4, Néu F(x) la nguyén ham cia ham f{x) = sinx.cosx vA r(§) = 1 thì F(x) có dạng: (A) ~ Feostx +1; (B) ~3 sin’x +1; (C) cos2x + 1; (D) cost +1
5 Một nguyên hàm của hàm số f{x) = sinx + =[Š —x| là:
Trang 4§2 Mot số plucong phap tim nquyén ham
1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Cho hàm số y = f{x) liên tục và u = u(x) có đạo hàm liên tục trên 1 sao cho f(u(x)) xác định trên I Khi đó F là nguyên hàm của hàm f, nghĩa là: Íf(u)du = F(u) + thì: [ftuG))u)dx = F(u))+© @)
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu u(x), v(x) la hai ham số có đạo hàm liên tục trên I thì:
ÍaGOvGốx = u)vG - [vG)u()dx- (2)
I BAI TAP CAN BAN
Trang 5Bài 6 Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các
hàm số sau:
a) Ñx) = xain ; b) fix) = x°cosx;
©) flix) = x.e%; 4) fix) = x'In(2x) Đáp số % u=x du =dx a) |xsin=dx Đặt thì - J 2 dv = sin dx v= ~2eos* ¬.¬ x x Cho nên: Íxsn 2d = -8xcosz+ J2cos 5 dx = -2xcos * + 4sin* 2t 2 2 Tà = b) fx? cosxdx Dat {* =9 thì 4đ“ 2xdx dv = cos xdx v=sinx Cho nên: fx’ cosxdx = x2sinx — 2Íxsin xdx = du, = Laidar {4 * thy {a = ox dv, = sin xdx v, =-cosx
Chonén: fe cosxdx = x’sinx — 2[-xcosx + Joos xdx]
Trang 63 Si uy ra i 1= -|t.tdt =-—+C fi 7" IE! Vay I = J8xv7 - 3x*dx = V0 -8x')_ JG 3 b) Xét J = foos(3x + 4)dx
batt = 8244S de= zat Suy ra: J = j footat = Zsint +c
Vay nguyén hàm của ham f(x) = cos(3x + 4) la F(x) = 3 sin(ax +4)+C dx ) Xét K= |———— ° l0: 1 4 dt 1 Dat t = 3; ặ x+2—=dx 2=>dx= —dt.S 3 uy ra: :Ke= si Sợ: ==tant+C ant + dx 1 Vị w ÍGGQxrn T8 an —————-= ~ tan(3x + 2) + C 2
XétL= fsin® Xcos*dx = fl 1-cos* = * sin de
d) Xét L fain s 080 0E Ï 1-cos 3 coe sing
Dat t = cos* = dt = ~ Zein Xax = sin% dx = =8dt
3
Suy ra: L = [(1— tĐt(8dĐ) = -8[(tP =8 + tát = =2 tP = +
Vậy nguyên hàm của hàm sé f{x) = sin® 5 cos? la
F(x) = ~ Loos! % - neo ngon = +C
Bai 8 Tìm nguyên hàm của các hàm số: 3 5 a) fix) = x27] _~1| ; b) f(x) = J sping es 18 x x x ©) fix) = x°e%; d) fx) = e9, Giải 5 x? a) Xét I = a(S ) dx
Dat t = 57 =dt= a xtdx o> xix = 6dt
Trang 7: + a 1 1/1; 2
b) Xét: J = [cy-sin co dx = 5 [y-sin =dx
2 2 dx 1
Datt= = at = =d t=—-—dx© xã = vẽ —=-~dt 5 Suy ra J = ~+ Jsintat = Feost +C
Vậy nguyên hàm của ham sé f(x) = 4 sind cos? la F(x) = digg +C x x x 4 x ©) Xét L = Jx°.e%dx u=x? > du = 3x?dx dx Đặt | Suy ra L = x*.e* - 3 fx’ e*dx dv = e* v=e u, = x? du, = 2xdx Tuong tu nhu trén Dat: > dv, = e“dx => Ls x"e* - 3(x7.e%) + 6 jxetdx = x°.e" — 3x”,e* + 6x.e* — 6e* + C = eX(x’ — 3x? + 6x - 6) + C x e* =v, a) Xt K= fe Pdx Dat t = V3x—9 = t? = 3x-9 = 9tdt = 3dx = K = = feetat Dat Meat => dul yale CN 2 j=dt = 2 ics 2 ac dv = e'dt ve=e! 3 3 3 3
Trang 8=l= ~ 5 xeosDx + 5 Joos 2xdx = ~ 5 xe0s2x + 5g sinx +C x?.sin2x 1 Vậy Jx?.cos 2xdx = ~ 2 xeos2x + 2 sìn 2x + C 2 b) Xét J = {Vx Inxdx Dat u = Inx du= 2 dx => 3 dv = vx ax voix 23 21, 2 2 Suy ra: J = SxtInx - 5 fo (avid = 5 xv Inx-5 [Vxdx 2 8.61, s3 3 xỶx =gzVxInx-2 [xiảx =xýxinx-a^g + +C 2 2 ~2xe{inx-2) +C ce) Xét L = Jin x cos xdx 5 Dat t = sinx => dt = cosxdx Suy ra: L= ƒt at = ! Cc inŠ sin’ x 5
đ) Xét K= Jxcos(x*)dx Dat t = x? => dt = 2xdx © xdx = &
Vay L= fs in‘x cos xdx =
Suy ra: K = ; foos tdt = Saint +C Vay K= fx cos(x*)dx = sen x?sC
III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ,
1 Một nguyên hàm của hàm số Ñx) = nhan $ - x] la: sin’ x sin* x, cos? x, cos’ «x A) : Bị Cc ‘D) % ( 3 (B) 7 (C) 3 @®) 5 UNG OE một nguyên hàm cia ham sé f(x), thi f(x) 1a: cot x cos x
cay 22nX > (mì tan, cos’ x © cot” x (D) 2tanx
3 Mét nguyén harn cia ham số: f(x) = xsin2x a
(A) - 5 xcos2x + sin2x; (B) - 5 xsin2x + + cost;
Trang 9(C) 8 xcos2x + 1 gin2x; (D) ` ysin2x + đunzg; 2 4 2 4 4 Nguyên hàm của hàm f{x) = xŸ.e* là: (A) x?.e* + 2x.e* + 2e" + C; (B) x?.e* + 2x.e" - 2e" + C; (C) (x2 - 2x + 2)e* + C; (D) (x? + 2x — 2)e" + C 5 Một nguyên hàm của ham fx) = x’.sin(x°) là:
đấu 1Q - (3y: đau 1 3
(A) 5 sin(x’); (B)- 3 (-sin(x*)); (C) 5 cos*x; (D) s cos(x*) IV ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 Đáp án (B) (A) (A) (C) () §3 Tih phan
1 TOM TAT LY THUYET
1 Định nghĩa: Cho hàm số f liên tuc trén khodng I va a, b là hai số bất kỳ thuộc I
Nếu F là một nguyên hàm của f thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân
của f từ a đến b và ký hiệu là: [”fQ)dx = F@9)|* = F(b) - F(a)
Chủ ý: ta có: [tat = [`f(u)du = @) - F(a)
9 Định lí 1: Cho hàm số y = ftx) liên tục, không âm trên khoảng I và a, b là
hai số thuộc I (a < b) Khi đó diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đổ thị
hàm số y = ffx), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: S = Ÿtœax
8 Tính chất của tích phân Giả sử f, g liên tục trên I và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc I Khi đó ta có: @) [f@œ) =0 @ [fGodx =- [ f@œ)dx @) [|fGOdx+ [fG)dx = [f@)dx (4) [|ŒG@) + g9)dx = [ fGodx + [`gG)dx () Ÿ Kf@ax =K t f(x)dx với K e R và K là hằng số
II BÀI TẬP CĂN BẢN
Bài 10 Khéng-tim nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau:
a) f{š-3)t« b) l4; c) fi vo - x4dx
Trang 11bì [|3f()dx =3 [(fGodx =-12
©) ['tt0o- gooldx = [foods f goods = 6-8 = -2 4) [ (4G) - gooldx = 4 [’ foodx - [ gGodx = 4.6 ~ 8 = 16
Bai 12 Cho [f (zidz=3; [' f(0dx =7 Hay tinh f f(t)dt , Giải
Ta có [f(z)dz=3; ['f@©0dx =7 = [† (dt =8 và [ f(ĐĐdt =7
Nên: [ f(Đdt = [ f(Đát + [ f(t)dt c7 =3+ [ f(Đ)dt
Vậy [fiat =4
Bài 13 a) Ching minh rhngnéu f(x) > 0 trên [a; b] thì [ f(x)dx >0
b) Chứng minh rằng nếu f(x) > g(x) trên [a; b] thì [ food > ft g(x)dx
Giai
a) Goi F(x) la một nguyên hàm của fx), ta có: F{x) = Ấx) > 0 trên đoạn [a;
bị] Do đó F(x) tăng trên đoạn [a; b]
Vi vay a<b = Fla) < F(b)
Nên ['fG0dx = Fib) - Fla) > 0
b) Theo câu a) ta có: f(x) - g(x) > 0, nén
[ ŒGÓ ~ gGordx > 0 > f'tGddx - [ g@e)dx > 0
Vậy Ÿreax > Ÿ soodx
Bài 14 a) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 1 - 2sin2t (m/s) Tinh quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời
điểm t = ae (s)
4
b) Một vật chuyển động chậm dân với vận tốc v(t) = 160 ~ 10t (m/s) Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại Giải a) Quang đường 8 đi được từ t = 0 (s) đến t = = (s) ie é laS= (a ~ 2sin 2t)dt = (t + cos 2t)
b) Khi vat dimg lai thi v(t) = 0 = 160- 10t=0 t= 16(s)
vậy quãng đường đi được từ t = 0 đến khi dừng lại là
S = [° (160 - 10t)dt = (160t ~ 5t”)|!°= 1280 (m)
Trang 12Bài 15 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t? Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Giải Chọn mốc thời gian vật bắt đầu tăng tốc tạ= 0 - Lúc đó vận tốc trong khoảng tạ = 0 đến T là v(T) = ƒ@t+ t?)dt = + ,3m = vận tốc tăng: V(t) = Ẻ 3 +10 3 2 l , 38 2 Quang đường đi được từ khi tăng tốc trong 10 giây là: - w(t 3 „ ds 10 4800 S= (5 +5t wro)ae- [Eade +104) =
Vậy quãng đường đi được là = (m)
Bài 16 Một viên đạn được bắn lên theo phuơng thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 m/s Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s?
a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới tốc độ cao lớn nhất
b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất (chính xác đến hàng phần trăm)
Giải
a) Giả sử rằng đạn được bắn lên từ mặt đất, khi đó: v(t) = vo — gt = 2ð - 9,8L (t>0, t tính bằng giây)
Ta đã biết quãng đường viên đạn đi được trong t giây là S(t) thì:
Sit) = vit) => S(t) = fvit)dt = [(25 - 9, Bt)at => S(t) = 25t- 4,9t?+C (S(t) tinh bing mét) Vi vién dan duge ban lén tit mat dét cho nén S(0) = 0, vi vay C = 0 Từ đó: S(t) = 25t-4,9t? (1) Tacé: (1) ¢> S(t) =—4,9t? + 25t 2 © S(t) = -4,9 ta 5 825 9,8 19,6 625 25 ths vt>0,có “= khi khi: t= — => S(t) 19,6 ‘t 2 0, có “=” khi va chi khi: 98 625 25
Do đó: max S(t) 18.6 khi t s8 t)=—— it=——
Trang 131 CAU HOI TRAC NGHIEM 1 Tích phân fo + |x) dx bing: (A) 9; (B) 8; (C) 5; (D) 7 2 Tich phan fx + 3x|dx bằng: 3 2 9 2 =; B) =; C) —; D) = (A) 5 (B) 3 (C) 5 (D) 9 3 Cho tich phan I = ƒ3xk - 2m| dx Nếu m > ; thi tich phan I bang: (A) 6m? ~ 3m?; (B) m° - 3m’; (C) 3m - m; (D) Một đáp số khác 4 Tính tích phân f 10Vx?dx ta duge: (A) 40; (B) 20; (C) 2; (D) 0 5 Cho biết [ (f(x) - g(x)Jdx = 5 và [[3f9x) + g(x)]dx = 10 Thế thì [f@œ)dx bằng: (A) 5; (B) 15; (C) 10; (D) Một đáp số khác 1I ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 | Đáp án | (A) (| @) (A) (D)
§4 Mbt 16 phutong phip tinh tich phan
1 TOM TAT LY THUYET
1 Phương pháp đổi biến số:
[ ffuGu'Godx= ƒf@6)du — @)
Trong đó u = u(x); a = u(a); B = u(b)
2 Phương pháp tích phân từng phần
fucov '(x)dx = u(x).v(x)| = [voou '(x)dx (2)
Trong đó u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên I va a, b là hai số thuộc I
1I BÀI TẬP CĂN BẢN
Bài 17 Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) [Hàn b) (ax fans dx; c) fiPas trax cos? x
; Đế,
4) wn +4 ru: e) oT f) f (1 - cos 8x) sin 3xdx
Trang 14:Suy ra: [Ver iax =f" u2udu - 2.4 “| #33 172 Giải a) Đặt u = Vx+1 =u?=x+ 1 = 2udu = dx x=0Zu=l; xelSuz #2 3 tanx 4 cos’ zo ’) Tinh ig 1 cos? x
Đặtu = tanx = du= dx
Trang 15T
x=0>u=0; x= —>u=!l1
6
54 2
vay [/°(1 ~ cos 3x) sin 3xdx = ; fudu = a i “§
Bài 18 Dùng phương pháp tích phân từng phần: a) 8 in xax:; b) ƒ@&+Đe*dx; ec) fe cos xdx ; d) [x cos xdx Giải a) Tính fx In xdx du = —dx i Đặt u=lnx -Š x dy = x°dx v=— x 6 6 6 5 Suy ra fx Inx =~ x le ax 2ina- [Fa 6 = p= 2in2-2 36 3 3 4 b) Tính [ œ+ 1)e*dx
Dat u=x+1; dv=e"dx = du = dx; v = e*
Suy ra [xs Detdx = et (x +1)|! - ['etdx = 2 -1-e" ) = 2e-1-(e-=e
ce) Tinh fe cos xdx
Đặt u = cosx; dv = e“dx => du = —sinxdx; v = e*
Suy ra [let cos xdx = e* cos x ot [let sin xdx = -e" -1+],
Tinh I, = fe sin xdx
Đặt u; = sinx; dv, = e*dx = du, = cosxdx; vị = e*
a-fe * cos xdx =-I
Vay I = -(e" + 1) - I <> 21 = -(e* + 1) , et vay fe cos xdx = = —— 2 d) Dat u = x, dv = cosxdx => du = dx; v = sinx Suy ra I, = e*.sinx Sum
Suy ra: (? xcos xdx = x.sinx
3- sin xdx = 3 + (cos x) Nia
Vay [A xcosxdx = —1
Trang 16Luyện tập Bài 19 Tính: a) f vt® + 2t(2+5t')dt; b) Ữ xsin x cos xdx Giai a) Đặt Vt° +2t =u =uÊ= tỦ + 2t > Qudu = (5t! + 2)dt Với t=0=u=0;t=1=u= V8
Trang 17Sayers 2sin 2x có nguyên hàm là F(2x) Suy ra: fax - F(2x)|? = F(6) - F(2) Bài 22 Chứng minh rằng: a) Ỉ f(x)dx = f f(1 - x)dx b) ƒ fGx)dx = [(fG© +f(-x)]dx Giải a) Xét VT = ['f(x)dx Dat x=1-t>dx=-dt; x=O>t=H=lx=l=>t=0 Suy ra VT = [£0 -w(-dt) = [fa - tat Mà [ f@x)dx = [ f(Đát Suy ra: VT = [f(1~x)dx = VP b) VT= [ f@œ)dx = [ f)dx + [ f@œ)dx Œ) XétI= [ f@œ)dx Đặt t = -x = dx = -dt; x =-l>t=1;x=0>t=0 Suy ral = f(-t)-dĐ = [ f(-t)dt = [tcxax
“Thay vào (*) ta được:
VT= [f@)dx+ [`f(-x)dx = [ Œ(x) + f(-x))dx = VP
Bài 238 Cho f f004x = 3 Tinh f f(x)dx trong các trường hợp sau
a) f(x) la ham 86 lẻ; b) f(x) 1a ham s6 chan
Giải
a) Theo bai 6b) Néu flx) là hàm sé chan thi:
f foods = f foodx = 3
b) Nếu ftx) là hàm số lẻ thì: f, f(x)dx =0
© ÍjfúOdx + [fGOdx =0 P foods +3=0 = fi fxddx =-3
Trang 18Datusx? = du= arte > x'dx = Vé6ix=loue=l; x=2>u=8 Biss Suy ra: I = i fetdu=ier|t=£ > b) Tính J= ƒ' “(nx)?dx x Bato ines due Đáp x=l=u=0;x=3=u=ln3 x u® jing _ n8)Ẻ ge 8 e) Đặtu = V1+x? =u?=1+x? ©udu = xdx x=0=u=1;x= V3 =u=2 Suy ra (urdu = Sử =i Vay [xiv eax -2 == d) Tính K= [x'e"°dx Suy ra J = fPutau = du Đặt u = 3x? => du = 9x"dx = x?dx = gee O>u=0;x=l>u=3 Suy ra: K = fe ae dee ï=ge'=Ð ) Tinh L= (78% gx ° Tưng Dat u = 1+ sint © cosxdx = du; x=0 >u= 1; x= mịa d
Suy ra L= {> = In|ul |= In|2| =In2
Trang 20Vay f 2 Inxdx =e
Ill CAU HOI TRAC NGHIEM
1, Khang định nào sau đây đúng? (A) [{cos(2t - dt = sin(2x - 2); (®) [{t+8ät= 2+3 x+3 2 (C) [ (Ẻ +8+ Đất =2 Gx+DP vỗ: (D) (sin xdx = cos x ữ dx 1 a ee ge 2, Néu li =5ink thi K nhận giá trị nào ? (A) 9; đ V8; â e, ) ;
3 Tinh tich phan I = fan x)'dx bing?
(A)e; ˆ (Œ)e-1; (C)e-2; (D){e-2)m 4 Tính tích phân K = fe cos? xdx bằng? (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3 |x|sin x 5.Tính1= [| LÝ — —dx bằng? 3 oi e +1 TL TL TL (A) —ln2; =ln2; —ln2; D) 0
(A) Fina; (B) Zing; (C) Fina (D) 0
Iv DAP AN x
Câu 1 2 3 4 5
Đáp án (B) (A) (C) (A) (@)
§5 Ung dung tich phan dé tinh dign tich hinh phing
I, TOM TAT LY THUYET
+ Cho ham s86 y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích 9 của hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x =a, x = b
là: S= [|f6o|dx
+ Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số y = fx), y = g(x) và
hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là: §= [lfc ~g(x)|dx
+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x = g(y), x = h(y) và hai
đường thẳng y = c, y = d là: S= [ |s(y)~ h(y)|dy
Trang 21II BÀI TẬP CĂN BẢN
Bai 26 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số y = sinx + 1, trục
hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = =
Giai
Ta thấy sinx + 1 >0 Vx€ G ts) nén dién tich S can tim bang: -[ |sin x + 1Rx = ig (sin x + 1)dx = (—cosx + x)|§ :
Tự cos TE 6 72) -(-cos0 + 0)= = me 1
6 6 6
Bài 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số y = cos”x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = œ b) Dé thi hai ham sé y = Vx vay = *Vx
c) Dé thi hai ham sé y = 2x va y = x' - 2x? trong miễn x > 0
Giai a) Dién tich S can tim:
1+ cos 2x 1 I„, Sin2xI, S= [cost xdx = [Sd = 5 x|5
b) Hoành độ giao điểm của đổ thị hai hàm số y = vx và y = 'jx là
Trang 22Bài 28 Tinh diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị các hàm số y = x” - 4, y = —x? - 2x và hai đường thẳng x = -3, x = —1; b) Dé thi hai hàm số y = x? — 4 và y = -x? - 2x e) Để thị hàm số y = xŸ - 4x, trục hoành, đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 Giải a) Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là: S = [? (x - 4)- (x? - 20 fox = [ [2 =4)~(-x? ~ 2x) Jdx = [, (2x? + 2x - 4)dx 20 3 2 =|2% ( 3 42% ~4x “2 a 8
Chú ý: ở câu này, nếu không vẽ hình thì phải chứng tổ được rằng 7x
e[-3; -9] thì (x? - 4) — (—x? - 2x) > 0 để phá được dấu gid trị tuyệt đối
b) Phương trình hoành độ giao điểm đổ thị hai hàm số đã cho là: x -4=-x?-2xox?+x-2=0 0 [zs x=-2 Dựa vào hình vẽ ở câu a) ta có: 8 = [| -4)- Cx -20)]dx = fi [-(2x? + 2x - 4) fax 3 2 -(2%-2% +4] e) Diện tích cdn tim S = “fike - 4x|dx 1 =9 - ta có: x× 4x = x(x?— 4) = 0 = ae x=42 ta có bảng xét dấu sau: x _= -2 0 2 +00 x = | - 0 + | + x -4 + 0_ - L_~ 0 + x(x? — 4) = 0 + 0 - 0 + Vậy S= Í @x° =4x)dx+ [[~Gœ° =4x)jdx + [ (x” = 4x)dx 4 2 ` 2 4 Ss o[= 4% WP af 4e P(e ae 4 2), (4 2) (4 2
Ill CAU HOI TRAC NGHIEM
Trang 232 2 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip ~~ + = =1la: (A) 6x; (B) 12x; (C) 24n; (D) 36a 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = xỶ, các đường thẳng x = 1, x = 2 và trục hoành là: 7 9 A) 9; B) 4; C) =; (D) = (A) (B) ( 3 ) 3 8 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y = x” và đường thẳng y = 4x là: (A) 2; (B) 4; (C) 6; (D) 8 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số y = avx, trục hoành và đường thẳng y = x - 3 là: (A) 10; m2, @i8; wm Š 5 Dién tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = y'; x = 1; y = 4 là: 2 4 8 (A) =; ) 3 (B) 3 B) —; ( ©) 3; (D) 3 D) - Iv DAP AN Cau 1 2 3 4 5 Đáp án (A) (C) (D) (C) (B) §6 4 Ung dung tich phan dé tinh thé tich oật thể I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
+ Cho vật thể có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
trục Ox là S(x) Thể tích của nó giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại các điểm a và b (mặt phẳng x = a và x = b ) là:
V= sœ4x
+ Cho hàm số y = Đx) liên tục, khơng âm trên đoạn [a; b] Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số y = ffx), trục
hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:
V= x[ Œ@)#dx
+ Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong x = g(y), trục tung, hai đường thẳng y = c, y.= d quay quanh trục tung là:
V= xÏ (ø(y)#ây 1I BÀI TẬP CĂN BẢN
Bài 29 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và x=1,biết rằng thiết diện vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
x (-1s x $1) la mét hình vuông cạnh 1a 2 V1 - x?
Trang 24Giải 2 Diện tích của thiết diện là S(x) = (sứ = x) 2 Thể tích của vật thể cần tìm là: V = fi (2vi - x) dx = f (4 - 4x)?dx V= [(eVĩ=xŸ ax = facta =(4x-2x")|' =8 4 4 a
Bài 30 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = a, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ (0 < x < m) là một tam giác đều cạnh là 2 vjsin x
Giải
2
Diện tích của thiết diện là: S(x) = 5 (2vsinx) a =3sinx
Vậy thể tích của vật thể đã cho là: V= ƒ8sin xdx = -V3 cos x x= 2/3
Bài 31 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y = vx -1 Tinh
thé tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Giải
Giao điểm của đường y = vx -1va
đường y = 0 có hoành độ là x = 1, như vậy: V= xf Wx -1*dx y = nf (x ~ 24x + Dax 3 4 =n xg es aah 2°08 6 2 1
Bài 32 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = en y=lvày=4 Tính
Trang 25Bài 33 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = v5 „*, x=0,y=-lvày= 1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung Giải Thể tích khối tròn xoay tạo thành 6 -xÍ = vn bal Vs x [| (W5y*)*dy = xf Sy*dy = bxs 1 =2n a Luyén tap Bài 34 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2, a) Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và y = - trong miễn x > 0, y < 1 b) Dé thi hai ham sé y =x‘ - 4x’ +4, y = x’, trục tung và đường thing x = 1 c) Dé thị các hàm số y = xỶ, y = 4x - 4 và y = -4x - 4 Giải ˆ a) Cách 1: Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x và y = 1 là x = 1 2 Hoành dộ giao điểm của đường thẳng y = 1 và đường cong y = = trong miễn x > 0 là x = 2 Diện tích hình phẳng cần tìm
thính là tổng diện tích tam giác
zong OAC và tam giác cong ACB
Diện tích tam giác cong OAC là 1 x? xox? \P 5 (:-š)*-(š-R|}-6 Diện tích tam giác cong ACB là ee , 12 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: ou 8 12 12 6
Cách 2: Coi hình phẳng đã cho là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có
Trang 26
Š 3 1
Nên S= [et cm + | E — ST váy) bog 4e 8
e) Ta thấy đường thẳng y = -4x - 4 và 2 đường thẳng y = 4x - 4 lần lượt là hai tiếp
tuyến của đổ thị hàm số y = xŸ tại các tiếp điểm có hoành độ x = -2 và x = 2 Do tính đối xứng qua Oy cua parabol y = x? nên diện tích hình phẳng cần tìm bằng 2 lần diện tích tam giác cạnh OMT; và bằng: S=2[x? - (4x - 4)]dx = 3 [ (x ~2)°4x 3 fo 3
Bai 35 Tinh dién tích hình phẳng giới hạn bới
a) Dé thi hai ham sé y = x? + 1 và y = 3 — x
b) Céc dudng c6 phuong trinh x = y*, y= 1vax=8
e) Đồ thị hai hàm số y = Vx, y = 6 — x va truc hoanh Giai a) Hoanh dé giao diém dé thj hai ham sé y = x’ + 1 và y = 3 - x là nghiện xei x=-2° =4x-4 Ỷ = -4x - ‹ cia CG©AQ©GAA + x-2=00>| Vậy diện tích cần tìm là: 8= [ |[x?+1)~(8~ x)l = [ fx? + x- 2]dx 1 x x? ' 9 = =f, +x-adn=-(2 42 -2s] 72
b) Tung độ giao điểm của đường cong x = y* vA dudng thang x = 8 lt nghiệm của phương trình yŸ = 8 © y = 2 Vậy diện tích cần tìm là:
S= fy ~ 8Ry = -fo* - 8)dy = {#-w]
16 1 17
=-||—-15|-|—-8||=— (š-s)d¿-+|-5
c) Tacé: y= Vx e>x=y? (y>0);y=6—xex=6~y
Trang 27Bài 36 Tính thể tích của vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 < x < x) là một hình vuông cạnh là 2x/sin x
Giải Diện tích thiết diện là S(x) = (2 Vsin x ) Vậy thể tích của vật T được tính bởi:
Ve [[ (2vsinx)’ ax = ff 4 sin xdx = -4 cos x Bài 37 Cho hình phẳng A giới hạn
bởi các đường y = xŸ, y =0,x =0
va x = 2 Tinh thé tích của khối trdn xoay tao thanh khi quay hinh A quanh truc hoanh
Giải
Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức 2 t=-4-1~1)=8 2 5 V =x[x'dx = m.— = 32n 0 5 lo 5 Vậy thể tích cần tìm là: v 2 228 5
Bài 38 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx, y = 0,x = 0 yAx = T:
“Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Giải
x x
"Thể tích cần tìm là: V = mỆ"(cos x)'dx = xfs Tục == x4 Ìsii2x inf Ta eB 4k B\ ở øo 2(4 2) 8 4
Trang 28Dat {ue =x i (x) = 1
v'(x) = e* v, (x) = e*
=> I, =xe" )- [ e*dx = e~e" j=e-(e-l=1
=I=e-2.1=e-2 Vậy V= m(e - 2)
Bài 40 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = \j2sin2y, x =0, y=0 Và y= > Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung Giải Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: Ve xj (2sin 2y)?dy = ~[?2sin 2ydy = -ncos 2y |* o = -n(€osn — cos0) = —m(—1 — 1) = 2w
II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 Thể tích khối chóp cụt có chiểu cao là 6(cm), diện tích đáy nhỏ là ð(cm?) và
diện tích đáy lớn là 20(em?) có giá trị là:
(A) 35 V2 (cm); (B) 70 (cm’); (C) 402 (em); (Đ) 80 (cm)
2 Thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 3 và thiết diện của
vật thể bị cất bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 <x <3) là một hình vuông cạnh x” bằng:
(A) 10; (B) =, (©) 22; œ 249 10 `
3 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đổ
thị hàm số y = vsin x (0 <x $7) va truc hoanh khi quay quanh trục Ox là:
(A) 2a; ST; ©, wy 2
4 Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y= V1-x? và đường thẳng y = 0 quanh trục Ox là:
Ai: (®) of, ms 3 z
ð Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đổ thị hàm số y = Vx , đường thẳng y = 1 và
Trang 29cAU HOI VA BAI TAP ON TAP CHUGONG III
Bài 41 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) y = 2x(1 - x); b) y=8x~ 2; =] t ( 3 sin(2x + 1) = x? 241]; dys ^^ a sn( x T by cos?(2x + 1) Giải x x1 2 a) [2x(1- x*)dx = [(2x - 2x*)dx = 2.2 -2.=—+e=x+=4+C 2 -1 x 2 a 4 8 2 4 ~-^ |dx = 9x 9dx =8 -2.% 42 4x? - xt +0 1Í» 2 ]x-je- x4) dx 5 hy LIÊN: Loài * 4 1 3 c) fx? sin Ễ + tÌa 1 a 2 3 2) Ta thay x? sin| x? va) Bein? 1] x? +1)" 3 = fu(x)]u(x) trong đó: u= uœ) = x? +1, flu) = Zsinu 1 3 QQ: 2 2 a c
vi vậy fx ? sin| in| x? x? +1|= |~sinudu + [gsin lu = =~cosu + = —— cos| x? +1 |+ 3° + 3 x
Trang 30see )y= 3 ey 3 d) y = x’e* Giải » Soft] 2) wenm (to by fX +x Mdx = [Fd + x)" + x!) dx 44 4a -i G+x') +o-=fdtx) +c 4 4 N 16 1 i u'(x) == ) Dat u(x) = 5 = = v'(x) = e™ v(x) = nề xe^ dz* Set x1 1 dee xe* =+ 1 [e*dx =F 5 32° lạ? 6 6 ax 2x + 2x a2 lap ot Fg Ox 6 6 2 6 12 12 g ae " = đặt u(x) = x +8 (x) =2x ° v(x) = e* = fx @*.dx = x?.e* - fax .dx = x?.e* - 2 [x.e%dx Đặt la =x B_ oe =1 V(x) = @* v, (x) = e*
> Jx?erdx = xe" - fetdx = x.e* - e*
Trang 31Giải Theo định nghĩa nguyên hàm thì f{x) là một nguyên hàm của hàm g(x) = 12x(3x?~ 1 =s f(x) = [12x(3x” - 1)”dx (3x? - 1)° 2 4)4 = J2ax? - Gx? -1)'dx = 2 +c = Sta) +C 2 4 a witty =3 = SPM og c 5 a f(xy - OH 2s Bài 45 Xác định số b dương để tích phân fe ~ x?)dx có giá trị lớn nhất Giải b 2 3\|> b 3 Tish I= f'(x-x?)dx tacé: 1={%-|- 2B 2 3) 2 8 4 x x Xét hàm số y = Ân trên [0; +œ) ta có: 2 yp x=0 3s N8 6c kể y=x-X,y=0œ© 1 ta có bảng biến thiên sau: x= x —= 0 1 +œ y 0 0 y 1 i} 7
Từ bảng biến thiên ta thấy y lớn nhất bang 2 = khix=1
Vậy để tích phân I có giá trị lớn nhất khi b = Sỹ
Trang 321
b-a
trị trung binh cia ham sé f(x) trén [a; b] va duge ky hiéu m(f) Chung minh
rằng tồn tại điểm c e (a; b) sao cho m(Ð = fic)
Giải
Bài 47 Cho hàm số fx) liên tục trên [a; b] Tỉ số [£60 duge goi la gid
m(f) = es f(x)dx _—
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f{x) = F(x) = f(x) => F(x) liên tục trên
{a; b], có đạo hàm trên (a; b) và thỏa mãn Ÿre = F(b) - F(a)
=m F(b) ~ F(a)
b-a
Theo định lý Lagrăng thì 3 c e (a; b) sao cho ae = F'(c)
Vì Fe) = flc) > 3c € (a; b) dé m(f) = fc) (dpem)
Bài 48 Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với
vận tốc v(t) = t(5 - t) (m⁄s) Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó
dừng lại
Giải
Khi vật dừng lại nghĩa là v(t) = 0 hay t(5 - t) = 0 © [ 5 => sau 5 gidy thì vật đó dừng lại Vậy quãng đường vật đi được là:
- bee eae (SP 2°) 185 _185 _ 155
L= [t6 - tật = [et - tat 5 “I 3g” 0m
Bài 49 Một chất điểm A từ trạng thái nghỉ chuyển động với vận tốc nhanh dân đều 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6m/⁄s Từ thời điểm đó nó chuyển động đều Một chất điểm B khác xuất phát từ cùng vị trí với A nhưng chậm hơn nó 12 giây với vận tốc nhanh dân đều và đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc của B tại thời điểm đó
Giải
Từ công thức v, = vạ + at ta có:
Gia tốc trong 8 giây đầu của chất điểm A là:
` Trong 8 giây đầu này, chất điểm A chuyển động nhanh dân với vận tốc
2/8
v(t) = 34 vậy nó đi được quãng đường là (Grae = i+ Âu 24 (m)
8au 12 giây tiếp theo (khi mà bị B đuổi kịp), A đi được thêm 6.12 = 72 mét Như vậy, khi bị B đuổi kịp, A và B đi được quãng đường là: 24 + 72 = 96 (m)
Từ công thức S = S, + pat? suy ra gia tốc của chất điểm B là:
Trang 34
Giải a) Ta có 4 ~ x? = -x + 2 x?~x— 2= 0© l: x=2 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= fi \-x+2)-4-x)|dx = fi fx? -x-2]dx 3 2 2 =-Í œ8 -x- 2x =-[2-2 2%] i b) Tung độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình: 4-4y?=1-y!e y'—4y?+3=0 y=+1l © (0? ~ 1(y? - 3) =0 © l +8 Xét dấu (y?~— 1)(y? — 3) ta có: y _œ -v8 -1 1 v3 +00 y?—1 + | + 0 - 0 + | + y-3 + 0 =- | - | = 0 + y? — 1)(y? Diện tích hình phẳng cần tìm là: - 3) + 0 = O + O: = 0 + S= pale -4y?)~(1~y9ly = ra ~ 4y? + Bay 1 1 l3 - i ~(y* - 4y? + 8)dy + lơ! ~4y? +8)dy + {°-0 ~4y? +8)dy 5 3 + 5 3 1 5 3 3 ia
=-(¥° 5 49" yay I? (2249, ay) (92 49" gy ||* 2 Ue 288 3 aya 45 3 a (5 3 1 15
Chú ý: * Ta có thể làm theo cách khác như sau mà không cần lập bảng xét dấu: Vì hai đường đã cho cắt nhau tại 4 điểm có tung độ lần lượt là ffs +1; 1
V8 nên trên mỗi khoảng (— V8; ~1); (-1; 1); (1; v3) thì biểu thức y'—4y?+3
giữ nguyên một dấu vậy:
lạ
S= (iby -4y? +8|dy = Ife" ~4y? +84y|+|[_ (y* -4y? +3)dy| +
{Poot —ay* + aay = |-28 án -l-3 KH a
Trang 354/328
oe a3 _ 28) _ 112-243
'll5 5 lỗ 15
Bài 52 Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:
a) parabol y = x? - 2x + 2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(3; 5) và trục tung;
b) parabol y = -x? + 4x - 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0; -3) và B(3; 0) Giải a) y= x?— 2x+ 2 y' = 2x - 2; y(3)=4 => Phuong trinh tiếp tuyến tại M là: y-ð=4(x- 3) hay y = 4x — 7 Diện tích cẩn tìm là: S= [[Gœ -2x + 9) - (4x =7)]dx = f(x? - 6x + 9dx = P(x ~ 8)#dx (x- 3) |* ¬g |9 b) y =-x’ + 4x-3 y=-2x+4 y0) =4 y=~2x+6 y\) = ~8
Tiếp tuyến tại A là: y = 4x - 3 Tiếp tuyến tại B là: y = =2x + 6 Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: 4x-3 =-2x+6 #s Dựa vào hình vẽ ta có diện tích cần tìm là: g« Ƒ[4x- 3) -(-x? + 4x - 8) fix + + BC 2x +6) -(-x? + 4x ~ 3) fix *_ 27 27 9 3 3 24: 3d -* 5, (x - 3) Éx r+ Bx - )“dx 3 |, 3 s7 8g” B3 T4
Trang 36rex
Vậy thể tích cần tìm là; V = (=- _ðn x'|? =4n 875
Bài ð4 Xét hình giới hạn bởi đường hyperbol y = 2 và các đường thẳng y = 1; y =4; x = 0 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình đó quanh trục tung Giải fíacổty =2 © x2 x y 2 2 ` 1l* (3 ) =V= rị |—|dy =x| 4.y”dy = -4n.—| = -4m| —— 1| = 3x [[Ệ]#-*[z*w-+=1|-¬(1 Bài 55 Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đổ thị hàm số y = Veosx
[0 sxs j) và hai trục tọa độ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay A quanh trục hoành
Giải
Ve 1 (eos x)*dx = x [cos xdx = nsin x
Bai ð6 Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình x(y +
1) = 2 và các đường thẳng x = 0, y = 0, y = 3 Tính thể tích khối tròn xoay
tạo được khi A quay quanh trục tung Giải =n = Ta có: xy +1)=2—=xe= y+1 -1 |° 1 Ve = = =-4n/—-1]=3 => :((ch}# vn dy = 4n seth (3 ) —t
Bài ð7 Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình
x- y? =0 và các đường thẳng y = 2, x = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A a) Quanh trục hồnh; b) Quanh trục tung Giải § x-y?=0œx=y?œy=+vx a) Đồ thị hàm số y = Ýx cắt đường thẳng y = 2 tại điểm có hoành độ là 4
Thể tích khối tròn xoay tạo được bằng thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miễn chữ nhật OMNP quanh Ox trừ đi thể
khối tròn xoay tạo thành kki quay mién tam giác cong ONP quanh Ox
Trang 37
Vay V= nf 22dx— xf‘ (Vx)dx =4n4-n Í~ 16x ~ 8x = 8x Jo b) Thể tích cần tìm là: 5 2
Ve xÍ ty?) ly nfy ly "eI, ?#dy = mÍ y'dy = | = 5
Bai ð8 Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình y =
ix
x?e? và các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay
tạo thành khi quay A quanh trục hoành Giải ? 9n x 2 Ve f(<2) dx = xÍ xe*dx u(x) = x {: (x)=1 > v(x) = e* Dat v'(x) = e* > Ẩxe4 = xe*|? - fetdx = (2e? - e) - (e? - e) =e? >V=ne
Bai 59 Cho hinh phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình y? = x® và các đường thẳng y = 0, x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay tạo được
khi quay A
a) Quanh trục hoành; b) Quanh trục tung
Giải
y?=x°©œy= tx? cex= Yy?
a) Ta thấy đường cong yŸ = xỶ
có 2 nhánh đối xứng qua Ox Vậy
Trang 38BAI TAP TRAC NGHIEM KHACH QUAN
Trong mỗi bài tập dưới đây, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng
định đã cho (trong các khẳng định đó, chỉ có một khẳng định đúng)
=lne Giá trị của c là:
(A) 9; (B) 3; (©) 81; (D) 8
Bai 61 Gié tri cia [2 e*dx la:
(A) e'; (B) e* - 1; (C) 4e!; (D) 3e* - 1
Bài 68 Giá trị của [) x*(x +1)"dx la: 7 1 2 A) -— mag B)-—; ng (C) =; 15 55 — Bài 63 Diện tích hình phẳng nằm trong phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng y = 4x và đồ thị hàm số y = xỶ là: (A) 4; (B) 5; (C) 3; (D) 3,5
Bài 64 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn
bởi hai đường thẳng y = 8x, y = x va dé thi ham sé y = xỶ là: (A) 12; (B) 15,75; (C) 6,75; (D) 4
Bai 65 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn
bởi đường thẳng y = 2x và đồ thị hàm số y = x’ la:
4 3 5
(A) 3 (B) 9° (C) 3° œ 2S 3
Bài 66 Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đế thị hai hàm số y =x’ va y=6- |x| Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung là:
(A) ee, (B) 97; (C) 8n; (D) ae
Trang 39=> In3 = InC = C =3 Vậy khẳng định đúng là (B) Bài 61 Ta có: Ể 2.e”*dx = fret (ax) dx sett Vậy khẳng định đúng là (B) Bài 68 Ta có: [ x?œ + 1)°dx = [ (x° + 8x! + 8x” + x?)dy x xe x xe 1 3 3 1 1 =| >+3.—+*+3.—+—|| =-|Ìz-=+— |=—- =f 6 5 4 3 60 2_ ot _ ọ= ø° -1 6 5 4 3 Vậy khẳng định đúng là (D) x=0 x= +2
Với góc nhọn phần tư thứ nhất ta có x > 0 nên loai x = -2
Trang 40+6-~ lx| = x? © |x?| + |x| 6=0 elxl=2 ox=#2>y=4 +y=x2©ox=ty Do tính đối xứng qua Oy của parabol y = x? và đường y = 6 - |xÌ ta có: V = x[ ((y)°dy + m Í (6 - y)*dy 2 ; : TC Gav? ~ on-s{-8) SP ae 3 Vay khẳng định đúng là (A) Bai 67 Ta có: ax? = —bx x=0° =© x=-— b a = V = nf, (-bx)*dx ~ x, (ax?¥'dx = xfs (b?x? - a?x*)dx thự a?x) 0 fey, ° =b° b° | 2mb? a =n| ——+——|= 15a° 3a? Ba? 5
Để giá trị này không phụ thuộc vào a, b thì tỉ số be phải là 1 hằng số a Trong 4 khẳng định (A), (B), (C), (D) chi có khẳng định (C):
5
bŠ = 2a8 © 2 = 21a thỏa mãn Vậy khẳng định đúng là (C) a