Một số bài tập dãy số - số học trong đề thi học sinh giỏi (ThS Trần Quốc Dũng)

www.VNMATH.com MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ - SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Biên soạn: Th.S Trần Quốc Dũng l D ! TÂY NINH 2011-2012 1) CMR dãy un có giới hạn hữu hạn n 2) Đặt Tn k T Tính lim n n uk 1) CMR dãy un có giới hạn hữu hạn: n 2) Đặt Tn k T Tính lim n : n uk www.VNMATH.com TÂY NINH 2006-2007 Tìm phần nguyên số A 3 4 2006 2005 2006 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số gồm n số số 1 1  n n n n 1 , ta có: n , dấu “=” khơng thể xảy n 1 n Từ đó, ta có: n n Từ suy ra: n   1 1 n n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 1 2006 2006 2005 1 2005 Cộng vế theo vế ta suy 2005 2006 2006 A 2006 2006 Vậy A 2005 TÂY NINH 2004-2005 Cho dãy số un xác định u1 1, u2 un 2un un n 1) Tìm số hạng tổng quát u n u 2) Cho a lim n Tính a un n 1) Xét phương trình đặc trưng x 2 x Do u1 u2 A1 nên 2) a 2 A1 u lim n un B x A B 2 n 1 lim 2 1 2 un 2 2 n n C2 un 2 n n n C1 1 n 1 B 2 lim n n 1 2 n n www.VNMATH.com n 1 1 2 1 2 n 1 lim n n 2 2004 1) Cho 2004 số nguyên dương u1 , u2 , , u2004 thỏa mãn k 1 uk uk 2025 cho 2004 Chứng minh có hai số 2004 2) Tìm 2004 số thực u1 , u2 , , u2004 thuộc 1, thỏa 2004 k k 1) Giả sử khơng có hai số nhau, lúc ta giả sử u1 2004 k 2004 uk k 1 k 2004 2004 k k k 2004 k k k k k k 2004 21 2004 2003 2004 k Điều trái với giả thiết, suy đpcm 2) Ta có: uk uk uk uk 2004 2004 uk3 k uk3 uk u2004 uk k 2004 k k k k 2004 7uk 2004 uk k u2 k k 2025 đạt giá trị lớn uk3 7.2025 1 1 1 k 2151 2004 uk uk Gọi m số uk , suy số uk 2004 – m Từ đó, ta có: Dấu “=” xảy m.1 + (2004 – m ).2 = 2025, suy m = 1983 Vậy có 1983 số 21 số thỏa mãn đề TÂY NINH 2000-2001 Tìm tất cặp số tự nhiên x, y cho y chia hết cho x x chia hết cho y Từ điều kiện đề ta có: x y; y x x y x y x y x y x (do x, y số tự nhiên) Ta xét trường hợp sau: TH1: Nếu y x y ước x – x + 1, suy y ước x – – (x + 1) = - 2, suy y y + Với y = x = (thỏa mãn) + Với y = x = 3(thỏa mãn) TH2: y = x y ước x x + 1, suy y ước x + – x = 1, suy y = 1, lúc x = (thỏa mãn) TH3: y = x + x ước x + suy x ước 2, suy x = x = + Nếu x = y = (thỏa mãn) + Nếu x = y = (thỏa mãn) Vậy ta có cặp số phải tìm là: (1,1), (1, 2), (2,3), (2,1), (3,2) CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG VÒNG TRƯỜNG_CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA_TÂY NINH 2011-2012 www.VNMATH.com QUẢNG BÌNH 2010-2011 www.VNMATH.com QUẢNG BÌNH 2011-2012 www.VNMATH.com BÌNH ĐỊNH 2010-2011 HÀ TĨNH 2010-2011 +)TH2: Nếu x0 1, www.VNMATH.com 10 BÌNH ĐỊNH 2011-2012 www.VNMATH.com 11 KIÊN GIANG 2009-2010 Tính lim un 12 ĐẮC LẮC 2011-2012 Cho m số nguyên thỏa mãn: < m < 2011 Chứng minh (m + 2010)! số nguyên m!2011! Ta có: (m 2010)! 2011 (m 2011)! 2011 = Cm20112011 m!2010! m 2011 m !2011! m 2011 2010 2011 2010 2010 Suy ra: (m+ 2011)Cm+2010 = 2011.Cm 2011 , tức là: (m+ 2011)Cm+2010 chia hết cho 2011 (do Cm+2010 ; Cm20112011 số tự nhiên) Vì: 2011 số nguyên tố < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m + 2011, 2011)= 2010 Cm+2010 2010  2011 hay Vậy Cm+2010 (m + 2010)! số nguyên m!2011! 13 BÌNH PHƯỚC 2008-2009 www.VNMATH.com 14 LONG AN 2011-2012 Cho dãy số un xác định u1 3un un với n a) Xác định số hạng tổng quát dãy số un u12 u22 u32 u2011 b) Tính tổng S a) Dễ thấy un Từ un 3un2 N* 0, n un2 Đặt u n2 có: Đặt xn ta có: xn Nên: xn 2.3n b) S 2.3 1 2.3 3vn 2 2.3 1 xn Từ suy xn cấp số nhân với x1 2.3n 3un2 1 2010 2.3 un 2.3n 2011 , công bội 3 3 2010 2011 32011 2011 32011 2012 15 ĐỒNG THÁP 2009-2010 www.VNMATH.com 16 ĐỒNG THÁP 2011-2012 10 www.VNMATH.com 17 NINH BÌNH 2009-2010 18 TP HCM 2011-2012 11 www.VNMATH.com 12 www.VNMATH.com 19 LẠNG SƠN 2011-2012 13 www.VNMATH.com 20 VĨNH LONG 2009-2010 Xác định số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi x0 101 xn xn n Cách 1: Dùng phương pháp sai phân Cách 2: Đặt xn yn n ta thu hệ thức truy hồi dãy số yn x0 y0 70 yn n y0 101 yn n n yn yn Ta thấy yn cấp số cộng với số hạng đầu y0 101 công sai d Theo công thức số hạng tổng quát cấp số cộng yn , ta có: yn y0 nd 101 n xn 101 n 7n Theo Viét, ta có: a b 1, ab n n n n b , n * Ta chứng minh Rn số nguyên chia hết cho quy nạp Đặt Rn a b a -Với n = 1, ta có R1 a b a b 3ab a b R1 số nguyên chia hết cho - Giả sử Rk số nguyên chia hết cho 5, ta có: Rk ak ak bk bk a b ak bk ab a k Rk Rk Theo giả thiết quy nạp Rk , Rk bk ak bk chia hết Rk a b ab a k bk chia hết cho Vậy Rn số nguyên chia hết cho 5, n  * Do đó, Rn a 2007 b 2007 a 2009 b 2009 số nguyên chia hết cho 21 ĐỒNG NAI 2009-2010 14 www.VNMATH.com 22 OLYMPIC ĐỒNG BẰNG SƠNG CỬU LONG TẠI SĨC TRĂNG 15 www.VNMATH.com 23 VÒNG QUỐC GIA 2011-2012 24 VÒNG QUỐC GIA 2010-2011 16 www.VNMATH.com 25 DÃY SỐ CĨ TÍNH CHẤT SỐ HỌC_VỊNG QUỐC GIA 2011-2012 17 www.VNMATH.com 18 www.VNMATH.com 26 TOÀN QUỐC 2009-2010 27 TP HCM 2005-2006 28 TP HCM 2004-2005 19 www.VNMATH.com 29 TP HCM 2003-2004 (Giống đề thi HSG BÌNH PHƯỚC 2008-2009) 20 www.VNMATH.com 30 TP HCM 2001-2002 Dùng PP sai phân với ý nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính nghiệm cần tìm vế phải Đáp số: 31 BÀI TẬP 1) 2) 3) 4) 21 www.VNMATH.com 5) 22 ... www.VNMATH.com 23 VÒNG QUỐC GIA 201 1-2 012 24 VÒNG QUỐC GIA 201 0-2 011 16 www.VNMATH.com 25 DÃY SỐ CĨ TÍNH CHẤT SỐ HỌC_VỊNG QUỐC GIA 201 1-2 012 17 www.VNMATH.com 18 www.VNMATH.com 26 TOÀN QUỐC 200 9-2 010 27 TP... 17 NINH BÌNH 200 9-2 010 18 TP HCM 201 1-2 012 11 www.VNMATH.com 12 www.VNMATH.com 19 LẠNG SƠN 201 1-2 012 13 www.VNMATH.com 20 VĨNH LONG 200 9-2 010 Xác định số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy... QUỐC 200 9-2 010 27 TP HCM 200 5-2 006 28 TP HCM 200 4-2 005 19 www.VNMATH.com 29 TP HCM 200 3-2 004 (Giống đề thi HSG BÌNH PHƯỚC 200 8-2 009) 20 www.VNMATH.com 30 TP HCM 200 1-2 002 Dùng PP sai phân với ý