Một số đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12

www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài (6 ñiểm) 1/ So sánh hai số 20092010 20102009   1 lim  −  2/ Tìm giới hạn x →0 x ( + x + 1)  x( (1 + x) + + x + 1)  Bài (4 ñiểm) 1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x2009 + y2009 + z2009 = Tìm giá trị lớn F = x2 + y2 + z2 2/ Cho số nguyên dương n Chứng minh 1 2009 C + C 2010 + + C n+1 2009+n < 2007 Bài (4 điểm) Hình chóp S.ABC có tổng mặt (góc đỉnh) tam diện đỉnh S 180o cạnh bên SA = SB = SC = Chứng minh diện tích tồn phần hình chóp khơng lớn Bài (4 ñiểm) 1/ Gọi m, n, p nghiệm thực phương trình ax3 + bx2 + cx – a = (a≠0) Chứng minh rừng + m n 2+ ≤ m2 + n + p2 p  x3 + y + x ( y + z ) = xyz + 14  3 2/ Giải hệ phương trình  y + z + y ( z + x) = xyz − 21  z + x3 + z ( x + y ) = xyz +  Bài (2 ñiểm) 1/ Chứng minh bốn đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác lồi phủ kín miền tứ giác 2/ Cho y = a0x + a1x3 + a2x5 + … + anx2n+1 + … thoả mãn (1 – x2)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1) Tìm hệ số a0, a1, a2, …, an
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007 BÀI 1: (3 điểm) Tìm tất giá trị a cho bất phương trình sau có số hữu hạn nghiệm tính nghiệm này: ( ) ( ) tan cos 4π − x − 4a.tan cos 4π − x + + a ≤ BÀI 2: (3 ñiểm) Với giá trị a hàm số f ( x ) = x (1 − a ) + (1 − 2a ) sin hai ñiểm cực trị khoảng ( π ; 5π ) ? BÀI 3: (4điểm) ðề thi HSG mơn Tốn x 2x + sin + π a có khơng q 3 Trang www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá Với giá trị a tập hợp nghiệm bất phương trình sau chứa không bốn giá trị x nguyên x(x − 4) + a (a + 4) ≤ ax(a + 1) BÀI (3 ñiểm) ðÁP ÁN ) ( ðặt t = tan cos 4π − x2 , với t ≤ ta n Dễ thấy với t0 ∈ [ −tan1, tan1] phương trình ) ( t − 4at + + 2a ≤ có số tan cos 4π − x2 = t0 có số nghiệm hữu hạn Do ta tìm tất a cho hệ   −tan1 ≤ t ≤ tan1 nghiệm hữu hạn ðiều hệ có nghiệm Nếu biểu thức ∆ tam thức bậc hai tương ứng âm rõ ràng hệ vô nghiệm Nếu ∆ = 0, tức a = hay a = − , nghiệm bất phương trình thứ hệ 1 ñiểm t = 2a Từ hai giá trị tìm a có a = − thích hợp, với a = − ta ñược 2 ) ( 2 t = ∈ [ −tan1; tan1] từ ñây suy tan cos 4π − x2 = hay cos 4π − x = − Phương trình có nghiệm n = Lúc π + n π , vớ i n ∈ Z cos 4π − x = − π hay π  4π − x = ± π − arccos  + k 2π , với k ∈ Ζ Dễ thấy phương trình có nghiệm: 4  π  x = ± 4π −  π ± arccos  4  2 Nếu ∆ > nghiệm bất phương trình ñoạn [t1 ,t ] , ñoạn phải có điểm chung với đoạn [ −tan1, tan1] Suy t1 = tìm cách giải tập hợp hai hệ sau :  f ( tan1) = hay   tan1 < t0  tan 21 +  a = 4tan1 − Suy   a > tan1  hay tan1 hay t2 = -tan1 Lúc giá trị cần tìm tham số  f ( −tan1) =   −tan1 > t0 với f(t) = t2 – 4at +2 + 2a  − ( tan 21 + ) a =  4tan1 +   a < − tan1  Dễ thấy hệ thứ có nghiệm , cịn hệ thứ hai vơ nghiệm Giá trị vừa tìm tham số tương ( ) 2 ứng t = tan1 Suy tan cos 4π − x = tan1, cos 4π − x = + nπ , n ∈ Ζ Phương trình có ba nghiệm x1 = , x2 = -2 π , x3 = π Kết luận : Nếu a = ðề thi HSG mơn Tốn π  x = ± 4π −  π ± arccos  4  2 Trang www.VNMATH.com Nếu a = Nguyễn Văn Xá tan + , x1 = , x2 = -2 π , x3 = π 4tan1 − 2 Với giá trị cịn lại a phương trình vơ nghiệm có vơ số nghiệm BÀI (3 điểm) x 2x ' Ta có f ' ( x ) = − a + (1 − 2a ) cos + cos Nghiệm phương trình f ( x ) = ñiểm 3 x 2x =0 tới hạn hàm f Ta viết : − a + (1 − 2a )cos + cos 3 x  cos = −  Dễ thấy phương trình tương ñương với tập hợp:  x  cos = a  Phương trình thứ tập hợp có hai nghiệm x1= 2π x2 = 4π khoảng ( π , 5π ) Các x  x   +  cos − a     1 dễ thấy ñiểm tới hạn trở thành ñiểm cực trị a ≠ − (nếu a = − đạo hàm khơng đổi 2 dấu , hàm f khơng có điểm cực trị ) Như a ≠ − hàm f có hai ñiểm cực trị khoảng ñược xét Do , cần tìm giá trị a cho phương trình thứ hai khơng có thêm điểm cực trị 1  x Trên khoảng ( π , 5π ) hàm y = cos nhận tất giá trị thuộc ñoạn  −1;  2  ' ñiểm ñiểm tới hạn hàm f Khi viết ñạo hàm dạng f ( x ) = 2 cos E -4 -2 F D 10 12 14 16 -1 -2 -3 -4 1 Nếu a ∈  − 1,  a ≠ − hàm f có cực trị Có nghĩa với giá trị a khác hàm 2  f có khơng hai cực trị 1 Kết luận : a ≥ , a = − , a ≤ −1 2 ðề thi HSG mơn Tốn Trang www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá BÀI (4 ñiểm)  x≥a  x ≤ a2 Bất phương trình cho tương ñương với tập hợp hai hệ:  hay  Nhờ tập x ≤ a + x ≥ a + hợp ta biểu diễn nghiệm bất phương trình ban đầu Kẻ đường thẳng x = k , với k ∈Ζ 14 12 10 x=a+4 x=a2 -5 - 12 A 10 15 Lúc giá trị a0 mà với đường thẳng a = a0 cắt đường thẳng x = k khơng q điểm tập hợp ñã ñược ñánh dấu, giá trị cần tìm Căn vào hình vẽ ta có giá trị a cần tìm : − < , < a Câu 4: (4 ñiểm) Trên mặt phẳng cho hình vng ABCD cạnh a điểm M thay ñổi Tìm giá trị nhỏ tổng sau: 1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2 2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD Câu 5: (4 ñiểm) Cho tập hợp A = {0,1,2,…,2006} Một tập T A ñược gọi tập “ngoan ngỗn” với x, y ∈ T (có thể x = y) | x – y | ∈ T 1) Tìm tập “ngoan ngỗn” lớn A khác A 2) Tìm tập “ngoan ngoãn” bé A chứa 2002 2005
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) x x−1 = Bài 1: (4ñ) Giải phương trình : ( 3) − Bài 2: (4đ) Tìm giá trị lớn biểu thức x + y :  x + y   x − y  x1 =  Bài 3: (4ñ) Cho dãy x , x , , x n , với  2 x n +1 = x n + x n , (n = 1,2, ) 1 + + + biết A = x1 +1 x +1 x100 +1 ≤ ≤ Hãy tìm phần nguyên A  a1 =   Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a n ) với :  Chứng minh tổng tất số hạng dãy nhỏ − − a n a n +1 =  1,03 Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD tam giác BCD chọn ñiểm M kẻ qua M ñường thẳng song song với cạnh AB,AC,AD cắt mặt (ACD), (ABD) (ABC) A , B , C Tìm vị trí M để thể tích hình tứ diện MA B C lớn
THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN 1− x2 x Câu 2: Cho tam giác ABC ñều Tìm tập hợp ñiểm M nằm tam giác thoả mãn hệ thức: MA = MB + MC Câu 1: Giải BPT: ln( x + x + x − x + 1) − ln( x + x ) ≤ ln ðề thi HSG mơn Tốn Trang www.VNMATH.com Câu 3: Cho số thực dương x, y thoả mãn: x + y =1 Nguyễn Văn Xá 1 Tìm biểu thức: A= + xy x +y  x1 = Câu 4: Cho dãy ( x n ) xác ñịnh:  (n >0) Tìm lim x n  xn +1 = + xn Câu 5: Cho tam giác ABC cạnh Trên dt (d) vng góc với mf (ABC) A lấy ñiểm M tuỳ ý Gọi H trực tâm tam giác MBC Khi M chạy dt (d), tìm max V(HABC) Câu 6: Tìm ña thức P(x) thoả mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 Câu 7: Với số tự nhiên n, gọi P(n) tập hợp số tự nhiên k cho: 50 n < k < 50 n +1 Kí hiệu S số phần tử P(n) CMR với số tự nhiên n, ta có: S=2 S=3; CMR tồn vô số số tự nhiên k cho S =
KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008 Baøi 1: (5 điểm) a) Tìm tất số nguyên m cho PT x2 + (m2 - m)x - m3+1 = có nghiệm nguyên b) Giải bất phương trình log2 ( −1) x + + − log2 ( +1) x ≤ Baøi 2: (5 điểm) a) Giải phương trình 4sin25x - 4sin2x + 2(sin6x + sin4x) + = b) Cho số thực x1,x2,… ,xn thỏa mãn sin2x1+2sin2x2 +…+ nsin2xn = a, với n số nguyên dương, a n(n + 1) số thực cho trước, ≤ a ≤ Xác định giá trị x1, x2, … , xn cho toång S = sin2x1+2sin2x2 + … + nsin2xn đạt giá trị lớn tìm giá trị lớn theo a n Bài 3: (4 điểm) 1 a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc =1 Chứng minh : + + ≥ 2 2 a (b + c ) b (c + a ) c (a + b ) cot A(cot A + cot B) A+ B b) Cho tam giaùc ABC nhọn thỏa điều kiện = cot( ) − cot B A+ B 2 cot( ) + cot B Chứng minh ABC tam giác cân Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, cạnh BC, CA, AB lấy điểm A’, B’, C’ cho AA’, BB’ CC’ đồng qui điểm M Gọi S1, S2 S3 diện tích tam giác MBC, MCA, MA ' MB ' MC ' MAB đặt = x, = y, = z MA MB MC Chứng minh rằng: (y + -1) S1+(x + z-1)S2 +(x + y -1)S3 = u = 1  Baøi 5: (2 điểm) + u.n2 −  Cho dãy {un} , n số nguyên dương , xác định sau : u =  n +1 un  Tính un chứng minh u1 + u2 +…+ un ≥ + π [1 − ( ) n−1 ] un > Baøi 6: (2 điểm) Cho đa thức f(x)=x3+ ax2 + bx + b có ba nghiệm x1, x2, x3 đa thức g(x) = x3+ bx2 + bx + a Tính tổng S = g(x1) + g(x2) + g(x3) theo a, b ðề thi HSG mơn Tốn Trang www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1: (5 điểm) Câu a)(3 điểm) Đáp án + Biến đổi: x(x+m2) -m(x+m2) = -1 + (x+m2)(x-m) = -1 x + m2 = + (a)   x − m =2 −1  x + m = −1 hoaëc  (b) x − m = Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 +Giải (a) m =1 m =-2 +Giải (b) vô nghiệm +Vậy m =1 m =-2 Câu b)(2 điểm) Đáp án + Biến đổi: Điểm log ( − 1) x + + log ( + 1) x − ≤ (log ( − 1) x + 3)(log ( + 1) x − 1) ≥ ⇔ +Vì log ( − 1) x + + log ( + 1) x − = 2, A + B ≥ A + B (1) 0.5 0.5 neân + ( − log ( + 1) x + 3)(log ( + 1) x − 1) ≥ ⇔ 0.5 ≤ (log ( + 1) ≤ +Vaäy log +1 ≤ x ≤ 3log 0.5 x +1 Bài 2: (5 điểm) Câu Đáp án ðề thi HSG mơn Tốn Điểm Trang www.VNMATH.com a)(2 điểm) 2 Nguyễn Văn Xá Biến đổi 4sin 5x+1-sin x+4sin5xcosx=3sin x 4sin25x+4sin5xcosx+cos2x=3sin2x (2sin5x+cosx)2=3sin2x 0.5 sin x + cos x = ± sin x ⇔ sin x = ± sin x − cos x ⇔ 2 0.5 π sin x = sin( x − ) 5π sin x = sin( x − ) Vậy nghiệm 7π π π π x=− +k x= +k 24 36 x=− Caâu b)(3 điểm) 5π π +k 24 x= 0.5 11π π +k 36 0.5 Đáp án + Biến đổi S = 2(sin x1 cos x1 + sin x2 cos x2 + + n sin xn n cos xn ) +Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có: Điểm 0.5 S ≤ (sin2 x1 + sin2 x2 + + n sin2 xn )(cos2 x1 + cos2 x2 + + n cos2 xn ) S ≤ a(1 − sin x1 + − sin x2 + + n − n sin xn ) S ≤ a[(1 + + + n) − (sin x1 + sin x2 + + n sin xn )] S ≤ a[ 2 n(n + 1) − a] +Daáu = xảõy sin x1 = sin x2 = = n sin xn cos x1 cos x2 n cos xn  tan x1 = tan x2 = = tan xn hay  2 sin x1 + sin x2 + + n sin xn sin x > i  hay  x1 = x2 = = xn = α  n(n + 1)  sin α = a   0 ≤ xi ≤ π ðề thi HSG mơn Tốn 0.5 0.5 0.5 0.5 Trang www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá   x1 = x2 = = xn = α  n(n + 1) 2a  Vaäy Max S= a[ − a ] sin α = n(n + 1)   π 0 ≤ α ≤  0.5 Bài 3: (4 điểm) Câu a)(2 điểm) Đáp án p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có 1 )(a (b2 + c ) + b2 (c + a ) + c (a + b )) ≥ ( 2 + + a (b + c ) b (c + a ) c (a 2x+=b ) ≥( a b + c + a b +c b 1 = ( + + )2 a b c b c + c a + a 2b 2 =( ) a 2b c = (b c + c a + a 2b ) ⇒ ( 2 c +a 2 b c + a + c a + b2 0.5 c a + b ) = (b c + c a + a 2b ) 1 + + )≥ 2 = 2 a (b + c ) b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) + b (c + a ) + c ( a + b ) = Câu b)(2 điểm) Điểm 0.5 0.5 b c + c a + a b 3 a 4b c ≥ = 2 Đáp án +Biến đổi ,ta có (cot A + cot B)2 = 4cot ( Điểm A+ B A+ B ) ⇔ cot A + cot B = 2cot( ) 2 +Biến đổi vế trái sin( A + B) 2sin( A + B) 2sin( A + B) cot A + cot B = = ≥ sin A sin B cos( A − B) − cos( A + B) − cos( A + B) ( A + B) ( A + B) + 4sin cos ( A + B) 2 cot A + cot B ≥ = cot ( A + B) 2 sin 2 + Dấu = xãy cos(A-B)=1 hay A=B Vậy tam giác ABC cân C ðề thi HSG mơn Tốn 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Trang www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá Bài 4: (2 điểm) Câu điểm Đáp án + Gọi S diện tích tam giác ABC,ta có S = S + S + S s1 MA' s AA' = ⇒ = Ta coù s AA' s1 MA' s − s1 AA'− MA' MA = = = +Suy s1 MA' MA' x s s1 +Suy = x ⇒ = x ⇒ s1 = x( s2 + s3 ) s − s1 s2 + s3 +Tương tự s2 = y(s3 + s1), s3 = z(s1 + s2 ); S = s1 + s2 + s3 = x(s2 + s3 ) + y(s3 + s1) + z(s1 + s2 ) Vậy (y+z-1) s1+(x+z-1)s2 +(x+y-1)s3 =0 Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 5: (2 điểm) Câu điểm Đáp án Điểm +Đặt π un = tan α > 0, < α < ta coù −1 + tan α − cos α α un +1 = = = tan sin α tan α cos α +Vì π < α < ⇒ α < tan α sn = u1 + u + + u n maø π π π π u1 = = tan = tan ⇒ u2 = tan , , un = tan 2.2 2.2 2.2n + π π π sn = tan + tan + + tan ≥ 2.2 2.2 2.2n π π π 1 π ≥ 1+ + + = + ( + + n ) = + (1 − ( ) n −1 ) n 2.2ñpcm 2.2 2 + Suy 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi 6: (2 điểm) Câu Đáp án ðề thi HSG mơn Tốn Điểm Trang 10 ... số tự nhiên n, gọi P(n) tập hợp số tự nhiên k cho: 50 n < k < 50 n +1 Kí hiệu S số phần tử P(n) CMR với số tự nhiên n, ta có: S=2 S=3; CMR tồn vô số số tự nhiên k cho S =
KỲ THI CHỌN HSG 12. .. + 3a 0.5 S = (a − b)(−a + 2b + 3) Chú ý : học sinh đưa phương án giải vấn đề khác kết đúng, hợp lô gic khoa học cho điểm tối đa phần
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1995 Bài I Xét ñường... trịn (C) ðề thi HSG mơn Toán Trang 12 www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá
10 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1998 Câu (5 ñiểm): Cho họ ñường cong (Cm): y = x − x + mx + − m ( m tham số) ðường