Một số đề thi học sinh giỏi môn Toán 943679

1 Đề số Thời gian: 150 phút Câu I ( điểm) Giải phương trình x x   x  10 x  25  y2 – 2y + = x  2x  C©u II (4 ®iĨm) Cho biĨu thøc : x2  x  A= ( x  2) T×m giá trị nhỏ biểu thức A Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c)      a b c 1 Câu III (4,5 điểm) Giải toán cách lập phương trình Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phương chữ số Cho phương trình: x2 (m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đường chéo AC BD cắt I Góc ACD = 600; gọi E; F; M trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu V (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đường cao SH cđa h×nh chãp ฀  COA ฀  900 AOB  BOC Chøng minh r»ng: ฀ www.vnmath.com DeThiMau.vn Đề số Bài (2đ): Cho biểu thức:    xy  x x 1   1 : 1     xy  1  xy   A =  xy  x xy   x   xy   a Rót gän biĨu thøc b Cho 1   T×m Max A x y Chứng minh với số nguyên dương n ta cã: 1  1   1   1   tõ ®ã tÝnh tæng: n n n 1 (n  1)  S= 1 1 1 1         2 2005 20062 Bµi (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bài (2đ): Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm: x 6a   5a (2a  3)  x  a 1 ( x  a )( x  a 1) Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình: x2+ 2kx+ = Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thøc:  x1   x2  x      x1    Bài 4: (2đ) Cho hệ phương trình: m    x 1 y       3m   y x 1 Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ đà cho có nghiệm Bài (2đ) : Giải phương trình: 3x x x  10 x  14  x x 2 Giải hệ phương tr×nh:  y  x 27 x 27  y 27 y 27  z   x  z 27 z 27 0 Bài (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k 1)y = (k tham số) www.vnmath.com DeThiMau.vn Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3.x ? Khi hÃy tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất? Bài (2đ): Giả sử x, y số dương thoả mÃn đẳng thức: x y 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P  ( x  1)( y  1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2đ): Cho ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gäi O lµ giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M điểm đường thẳng AB Vẽ phía AB hình vuông AMCD, BMEF a Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đường thẳng DF luôn qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vuông M chuyển động đường thẳng AB cố định khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Dựng Bài 10 (2đ): Cho xOy đường thẳng qua M cắt hai cạnh góc thành mét tam gi¸c cã diƯn tÝch nhá nhÊt …………………………………………………………… www.vnmath.com DeThiMau.vn Đế số Bài 1: Chứng minh: 3 -1 = (2 ®iĨm) 3 + 9 Bµi 2: Cho 4a + b = ab (2a > b > 0) TÝnh sè trÞ biĨu thøc: M = (2 ®iĨm) ab 4b  b 2 Bµi 3: (2 điểm) Chứng minh: a, b nghiệm phương trình: x + px + = c,d nghiệm phương trình: x2 + qx + = th× ta cã: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2 Bài 4: (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình Tuổi anh em cộng lại 21 Hiện tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh b»ng ti em hiƯn TÝnh ti cđa anh, em Bài 5: (2 điểm) Giải phương trình: x4 + x 2006 = 2006 Bài 6: (2 điểm) Trong hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - x2 đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1 VÏ (P) T×m m cho (d) tiÕp xóc víi (P) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định A (P) Bài 7: (2 điểm) Cho biểu thøc A = x – xy + 3y - x + Tìm giá trị nhỏ mà A đạt Bài 8: (4 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O) Kẻ tiÕp tuyÕn chung ngoµi AB vµ tiÕp tuyÕn chung EF, A,E  (O); B, F  (O’) a Gäi M giao điểm AB EF Chứng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b Chøng minh: AE  BF c Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh: O,N,O thẳng hàng Bài 9: (2 điểm) Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước d góc nhọn đường chéo www.vnmath.com DeThiMau.vn Đế sô Câu 1(2đ) : Giải PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + = b, x   x   x   x = Câu 2(2đ): a, Thực phÐp tÝnh : 13  100  53  90 b, Rót gän biĨu thøc : B= a2 b2 c2   a2  b2  c2 b2  c2  a2 c2  a2  b2 Víi a + b + c = Câu 3(3đ) : a, Chøng minh r»ng :  1 1     10 2 50 b, T×m GTNN cđa P = x2 + y2+ z2 Biết x + y + z = 2007 Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 Biết : Nếu đưa em từ giải nhì lên giải số giải nhì gấp đôi giải Nếu giảm số giải xuống giải nhì giải số giải 1/4 số giải nhì Số em đạt giải ba 2/7 tổng số giải Câu (4đ): Cho ABC : Góc A = 900 Trên AC lấy điểm D Vẽ CE  BD a, Chøng minh r»ng :  ABD  ECD b, Chứng minh tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp c, Chứng minh FD  BC (F = BA  CE) d, Gãc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a TÝnh AC, ®­êng cao AH cđa  ABC bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF Câu (4đ): Cho đường tròn (O,R) điểm F nằm đường tròn (O) AB A'B' dây cung vuông góc với F a, Chøng minh r»ng : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chøng minh r»ng : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 c, Gäi I lµ trung ®iĨm cđa AA' TÝnh OI2 + IF2 www.vnmath.com DeThiMau.vn Đế số Câu1: Cho hàm số: y = x  x  + x x a.Vẽ đồ thị hàm số b.Tìm giá trị nhỏ y giá trị x tương ứng c.Với giá trị x y Câu2: Giải phương trình: a  12 x  x = b 3x  18 x  28 + x  24 x  45 = -5 – x2 + 6x c x  2x  x3 + x-1 C©u3: Rót gän biĨu thøc: a A = ( -1)  2   12  18  128 bB= 1 + 22 + + 2006 2005  2005 2006 + 2007 2006 2006 2007 Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M bên hình vẽ thoả mÃn MAB =MBA=150 Vẽ tam giác ABN bên h×nh vÏ a TÝnh gãc AMN Chøng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD Câu5: Cho hình chãp SABC cã SA  SB; SA  SC; SB SC Biết SA=a; SB+SC = k Đặt SB=x a TÝnh Vhchãptheo a, k, x b TÝnh SA, SC ®Ĩ thể tích hình chóp lớn www.vnmath.com DeThiMau.vn Đế số I - Phần trắc nghiệm : Chọn đáp ¸n ®óng : a) Rót gän biĨu thøc : a (3  a) víi a  ta ®­ỵc : A : a2(3-a); B: - a2(3-a) ; C: a2(a-3) ; D: -a2(a-3) b) Một nghiệm phương trình: 2x2-(k-1)x-3+k=0 lµ k 1 k 1 k 3 k 3 ; B ; C; D 2 2 c) Phương trình: x - x -6=0 có nghiệm là: A - A X=3 ;B X=3 ; C=-3 ; D X=3 X=-2 d) Giá trị biểu thức: 2 2 A  b»ng : 2 ; B ; C ; D 3 II - PhÇn tù luËn : Câu : a) giải phương trình : x  16 x  64 + x = 10 x2 y b) giải hệ phương tr×nh :   x   y   x  x  x x  x    C©u 2: Cho biĨu thøc : A =    x   x    2 x   a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > -6 Câu 3: Cho phương trình : x2 - 2(m-1)x +2m -5 =0 a) Chứng minh phương trình có nghiệm với giá trị m b) Nếu gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để x1 + x2 =6 Tìm nghiệm Câu 4: Cho a,b,c số dương Chứng minh r»ng 1< a b c   Câu IV : Cho tam giác ABC cã gãc nhän Dùng phÝa ngoµi tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P trung điểm BC; BD;CE a) Chøng minh : BE = CD vµ BE với CD b) Chứng minh tam giác MNP vuông c©n C©u V : a 1 b  c    vµ 5a- 3b -4 c = 46 Xác định a, b, c a c 2a  3ab  5b 2c  3cd  5d 2) Cho tØ lÖ thøc :  Chøng minh :  b d 2b  3ab 2d  3cd 1) Cho Với điều kiện mẫu thức xác định Câu VI :Tính : S = 42+4242+424242+ +424242 42 www.vnmath.com DeThiMau.vn 11 §Ị số 11 Bài 1: (4đ) Cho biểu thức: 2( x  3) x x 3 x3   P= 3 x x2 x 3 x 1 a) Rót gän biĨu thức P b) Tính giá trị P với x = 14 - c) T×m GTNN cđa P Bài 2( 4đ) Giải phương trình a) 1 1 +    x  x  x  x  15 x  12 x  35 x  16 x  63 b) x   x   x  11  x Bài 3: ( 3đ) Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) cã hƯ sè gãc k ®i qua ®iĨm M(0;1) a) Chứng minh với giá trị k, đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B b) Gọi hoành độ A B x1 x2 Chứng minh : |x1 -x2| 2 c) Chøng minh r»ng :Tam gi¸c OAB tam giác vuông Bài 4: (3đ) Cho sè d­¬ng x, y tháa m·n x + y =1 a) T×m GTNN cđa biĨu thøc M = ( x2 + y )( y2 + x ) b) Chøng minh r»ng : N=(x+ 25 ) + ( y + )2  x y Bài ( 2điểm) Cho tam giác ABC vuông ë A cã AB = 6cm, AC = 8cm Gäi I giao điểm đường phân giác, M trung điểm BC Tính góc BIM Bài 6:( 2đ) Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC Các đường tròn đường kính AM, BC cắt N ( khác B) BN cắt CD L Chứng minh : ML vuông góc với AC Bài ( 2điểm) Cho hình lập phương ABCD EFGH Gọi L K trung điểm AD AB Khoảng cách từ G đến LK 10 www.vnmath.com DeThiMau.vn 12 Tính thể tích hình lập phương Đề 12 (Lưu ý) Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình: 1) x3 - 3x - = 2) 7- x + x - = x2 - 12x + 38 Câu 2: ( điểm) 1) Tìm số thực dương a, b, c biết chúng thoả mÃn abc = vµ a + b + c + ab + bc + ca  2) Cho x > ; y > tho· m·n: x + y  HÃy tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 3x + 2y +  x y Câu 3: (3 điểm) Cho x + y + z + xy + yz + zx = CMR: x2 + y2 + z2  C©u 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm có đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (Ax By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt Ax; By theo thứ tự C; D a) CMR: Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí M nửa đường tròn (0) để ABDC có chu vi nhỏ c) Tìm vị trí C; D để hình thang ABDC có chu vi 14cm Biết AB = 4cm Câu 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD , hÃy xác định hình vuông có đỉnh thuộc cạnh hình vuông ABCD cho hình vuông có diện tích nhỏ nhất./ www.vnmath.com DeThiMau.vn 13 Đề số 13 Phần I: Trắc nghiệm (4 điểm) Khoanh tròn vào chữ đứng trước câu trẻ lời Nghiệm nhỏ nghiệm phương trình 1   2   x     x   x    lµ 2   5  1 A  B  C D 20 Đưa thừa số vào dấu a b với b ta A a b B  a2b C a b D Cả sai Giá trị biểu thức  48  10  b»ng: A B C D Cho hình bình hành ABCD thoả mÃn A Tất góc nhọn; B Góc A nhän, gãc B tï C Gãc B vµ gãc C ®Ịu nhän; D ¢ = 900, gãc B nhän Câu sau A Cos870 > Sin 470 ; C Cos140 > Sin 780 B Sin470 < Cos140 D Sin 470 > Sin 780 Độ dài x, y hình vẽ bên Em hÃy khoanh tròn kết A x = 30 ; y  10 ; B x = 10 3; y  30 30 15 C x = 10 ; y  30 ; D Một đáp số khác 30 y Phần II: Tự luận (6 điểm) Câu 1: (0,5đ) Phân tích đa thức sau thõa sè a4 + 8a3 - 14a2 - 8a - 15 x Câu 2: (1,5đ) Chứng minh biểu thøc 10n + 18n - chia hÕt cho 27 với n số tự nhiên ab Câu (1,0đ) Tìm số trị 2a2 + 2b2 = 5ab; Vµ b > a > ab www.vnmath.com DeThiMau.vn 14 Câu (1,5đ) Giải phương trình a 4y x  4y  x  x  ; b x4 + x  2006  2006 Câu (0,5đ) Cho ABC cân A đường cao AH = 10cm, ®­êng cao BK = 12cm TÝnh độ dài cạnh ABC Câu (1,0đ) Cho (0; 4cm) vµ (0; 3cm) n»m ngoµi OO’ = 10cm, tiếp tuyến chung tiếp xúc với đường tròn (O) E đường tròn (O) F OO cắt đường tròn tâm O A B, cắt đường tròn tâm (O) C D (B, C nằm điểm A D) AE cắt CF M, BE cắt DF N Chứng minh rằng: MN AD Đề số 14 Câu 1: (4,5 điểm) : Giải phương trình sau: 1) 2) X  2X 1  X  6X     X  X  ( X  1)(2  X C©u 2: (4 ®iĨm) 1) Chøng minh r»ng: 1 1     2 2007 2006 2) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c chiều dài cạnh tam giác thì: ab + bc a2 + b2 + c2 < (ab + bc + ca) C©u 3: (4 điểm) 1) Tìm x, y, z biết: x y z    x yz y  z 1 x  z  x  y  2) T×m GTLN cđa biĨu thøc : x   y  biÕt x + y = Câu 4: (5,5 điểm): Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, xy tiếp tuyến B với đường tròn, CD đường kính Gọi giao ®iĨm cđa AC vµ AD víi xy theo thø tù lµ M, N a) Chøng minh r»ng: MCDN lµ tø giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN www.vnmath.com DeThiMau.vn 15 c) Gäi I lµ đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN Khi đường kính CD quay quanh tâm O điểm I di chuyển đường tròn ? Câu 5: (2 điểm): Cho M thuộc cạnh CD hình vuông ABCD Tia phân giác góc ABM cắt AD I Chứng minh rằng: BI 2MI Phần I: Trắc nghiệm khách quan Đề 15 a ab a Câu 1: Víi a>0, b>0; biĨu thøc b»ng : a a  ab A: B: a-4b C: a  b D: a  b C©u 2: Cho bất đẳng thức: 30 ( I) : + 10 (III): 2 Bất đẳng thức A: Chỉ I B: Chỉ II C: Chỉ III D: Chỉ I II Câu 3: Trong câu sau; câu sai Phân thức b/ d/ x2  y2 (x  y )(x  y ) b»ng ph©n thøc x y a/ c/ (x  y )(x  xy  y ) x4  x2y2  y Phần II: Bài tập tự luận Câu 4: Cho phân thøc: x  x  x  x  3x  M= x 2x a/ Tìm tập xác định M b/ Tìm giá trị cảu x đê M=0 c/ Rút gọn M Câu 5: Giải phương tr×nh : www.vnmath.com DeThiMau.vn xy (x  xy  y )(x  y ) x y (x  y )2 16 2(3  x)  3x 7x   5x  4(x  1) 5  (1) a/   14 24 12 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x b/      5 (2) 41 43 45 47 49 Câu 6: Cho hai đường tròn tâm O tâm O cắt A B Một cát tuyến kể qua A cắt đường tròn (O) C (O) D gọi M N trung điểm AC vµ AD a/ Chøng minh : MN= CD b/ Gọi I trung điểm MN chứng minh đường thẳng vuông góc với CD I qua điểm cố định cát tuyến CAD thay đổi c/ Trong số cát tuyến kẻ qua A , cát tuyến có độ dài lớn Câu 7: ( Cho hình chóp tứ giác SABCD AB=a; SC=2a a/ TÝnh diƯn tÝch xung quanh vµ diƯn tÝch toàn phần hình chóp b/ Tính thể tích hình chóp x Đề 16 Câu I: Cho đường thẳng y = (m-2)x + (d) a) Chøng minh r»ng đường thẳng (d) qua điểm cố định với m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn CâuII: Giải phương trình: a) x x   x  x   b) x  x   x  x   C©u III: 2 a) Tìm giá trị nhỏ của: A= xy yz zx víi x, y, z lµ sè dương x + y + z x y z=  x   y  z b) Giải hệ phương trình:  3 x  y  z  12 x  x  2x c) B = x  x  2x x  x  2x  x  x  2x Tìm điều kiện xác định B Rút gọn B Tìm x để B n 1 C©u III (3đ) : Tìm giá trị nhỏ hàm sè : x  2x  a, y = 2x  4x  www.vnmath.com DeThiMau.vn 20 b, y = x3 - C©u VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông A ,đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H AB AC BiÕt BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, TÝnh độ dài đoạn DE b, Chứng minh AD AB = AE.AC c, Các đường thẳng vuông góc với DE D E cắt BC M N Chứng minh M trung điểm BH ; N trung điểm CH d, TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c DENM -&*& - đề 20 Câu I: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau A= 3 2 ; 1 1 B= 3 2 Câu II: (3,5 điểm) giải phương trình sau x + x -1 = ; 2) 3x2 + 2x = x2  x + – x x   2x  + x   2x  = C©u III: (6 điểm) Tìm giá trị m để hệ phương trình (m +1)x - y = m+1 x - (m-1)y = Có nghiệm thoả mản điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ Cho Parabol (P): y = x2 - 4x + điểm A(2;1) Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua A a Viết phương trình đường thẳng (d) b Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M; N c Xác định giá trị k để MN có độ dài bé Câu IV (4,5 điểm) www.vnmath.com DeThiMau.vn ... Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 Biết : Nếu đưa em từ giải nhì lên giải số giải nhì gấp đôi giải Nếu giảm số giải xuống giải nhì giải số giải 1/4 số giải nhì Số. .. 4R2 c, Gäi I trung điểm AA' Tính OI2 + IF2 www.vnmath.com DeThiMau.vn Đế số Câu1: Cho hàm số: y = x  x  + x x a.Vẽ đồ thị hàm số b.Tìm giá trị nhỏ y giá trị x tương ứng c.Với giá trị x y...2 Đề số Bài (2đ): Cho biểu thøc:    xy  x x 1   1 : 1     xy  1  xy   A =  xy  x xy   x   xy   a Rót gän biĨu thøc b Cho 1   T×m Max A x y Chứng minh với số nguyên