Tài liệu hướng dẫn tự học môn toán lớp 12

https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 GIẢI TÍCH 12 John Napier (Logarit) (1550-1617) R Bombelli - Italy (Số phức) (1526 - 1573) NewTon - Anh (Tích phân) (1642 - 1727) Gottfried Wilhelm Leibniz - Đức (Tích phân) (1646 - 1716) - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Toán lớp 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Dấu nhị thức bậc nhất: • Dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0) Nghiệm nhị thức nghiệm phương trình ax + b = • Bảng xét dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b (a ≠ 0): b -∞ +∞ x a ax + b trái dấu với a dấu với a Dấu tam thức bậc hai: • Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Nghiệm tam thức nghiệm phương trình ax2 + bx + c = • Tính ∆ = b2 - 4ac • Nếu ∆ < thì: phương trình f(x) = vô nghiệm -∞ +∞ x f(x) dấu với a b • Nếu ∆ = thì: phương trình f(x) = có nghiệm kép x = 2a b -∞ +∞ x 2a f(x) dấu với a dấu với a • Nếu ∆ > thì: phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2 (x1 < x2) -∞ x1 x2 +∞ x f(x) dấu với a trái dấu với a dấu với a * Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ∆ ' hệ số b chẵn Dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (*) (∆ = b2 - 4ac) Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai nghiệm Phương trình (*) có hai nghiệm nghiệm trái dấu (x1 < < x2) âm phân biệt (x1 < x2 < 0) dương phân biệt (0 < x1 < x2 ) c  a≠0  a≠0 khi: P = <   ∆>0 a  ∆ >c  c khi:  P = > khi:  P = > a a   b S = − < S = − b >   a a Điều kiện không đổi dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) a > a < a) f(x) ≥ ∀x ∈ R ⇔  ; b) f(x) ≤ ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ ∆ ≤ Các khái niệm liên quan đến hàm số: Hàm số cho biểu thức kí hiệu y = f(x) với f(x) biểu thức chứa biến x • Tập xác định hàm số: D = {x ∈ R  f(x) có nghĩa} • Giá trị hàm số y = f(x) x0 y0 = f(x0) Giới hạn vô cực: a) Một vài giới hạn đặc biệt: f ( x) k • Quy tắc tìm giới hạn thương : lim x = +∞ • x→+∞ với k nguyên dương g ( x) k Dấu f ( x) lim xfk (=x)+∞ lim x)số chẵn =− ∞ giới ••xlim Quyxtắc tìm khạn số lẻ tích f(x).g(x): • xlim gk(là x→ x→ x0 lim →−∞ → −∞x0 g(x) x→ x0 g ( x ) limtắc f (về x) giới hạn limvô g (cực: x) lim f ( x) g ( x) b) Một vài quy x→ x0 x→ x0 x→ x0 ±∞ L Tùy ý +∞ +∞ + +∞ L>0 L>0 -∞ -∞ -∞ - Tài +∞ -∞ liệu lưu hành nội + -∞ L 0) u' ( x )' = ( u )' = (x > 0) (u > 0) x u 1 u' ( )' = − (x ≠ 0) ( )' = − (u ≠ 0) x u x u (sinu)' = cosu.u' (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u' π u' π + kπ , k ∈ Z) + kπ , k ∈ Z) (tanx)' = (x ≠ (tanu)' = (u ≠ 2 cos x 2 cos u u' (cotx)' = - (x ≠ kπ, k ∈ Z) (cotu)' = - (u ≠ kπ, k ∈ Z) sin x sin u c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt: ad − bc ax + bx + c adx + 2aex + be − dc ax + b )' = •( )' = •( (cx + d ) dx + e (dx + e) cx + d ax + bx + c (ae − bd ) x + 2(af − dc) x + bf − ec )' = •( dx + ex + f (dx + ex + f ) d) Ý nghĩa hình học đạo hàm: Hệ số góc tiếp tuyến điểm M(x 0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) f'(x 0) phương trình tiếp tuyến M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0)  Ghi chú: - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 §1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định K (K = (a; b) K = [a; b) K = (a; b] K = [a; b]) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1, x2 thuộc K cho: với cặp x1, x2 thuộc K cho: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: x Bảng biến thiên: a b x lim− a b lim+ x →b x→ a y y lim lim x →a + x→b − Đồ thị hàm số đồng biến đường lên từ trái sang phải Đồ thị hàm số nghịch biến đường xuống từ trái sang phải 2) Tính đơn điệu dấu đạo hàm:  Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thị hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên rút nhận xét: a) y = x2 y TXÑ: D = R y' = 2x y' = ⇔ 2x = ⇔ x = ⇒ y = Bảng biến thiên: Đồ thị: x -∞ +∞ y' + +∞ x +∞ y O x TXĐ: D = b) y = y y' = Bảng biến thiên: x -∞ y' Đồ thị: +∞ x O y Nhận xét: Nếu y' < K hàm số K Nếu y' > K hàm số K Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K a) Nếu f'(x) > ∀ x ∈ K hàm số f(x) đồng biến K b) Nếu f'(x) < ∀ x ∈ K hàm số f(x) nghịch biến K - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 * Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) K gọi chung đơn điệu K, K gọi chung khoảng đơn điệu hàm số y = f(x) Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx khoảng (0; 2π) Giải: * Chú ý: Quan sát đồ thị hàm số y = x3 trả lời câu hỏi: Khẳng định sau hay sai? sao? "Nếu hàm số y = f(x) tăng R f'(x) > với x ∈ R" Trả lời: Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f'(x) ≥ (f'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ K f'(x) = số hữu hạn điểm x0 hàm số đồng biến (nghịch biến) K • Nếu f'(x) = ∀x ∈ K f(x) khơng đổi K (hay hàm số y = f(x) hàm y = c K) II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = f(x):  Trình bày giải: • Tìm tập xác định D hàm số (D = {x ∈ R | f(x) có nghĩa}) • Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0, tìm điểm x i (i = 1, 2, , n) mà đạo hàm khơng xác định • Lập bảng biến thiên (lưu ý xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần bảng biến thiên) i) y' > 0, ∀x ∈ (a; b) x a b - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí y' Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 + lim y y x →b − lim y x →a + Hàm số đồng biến (tăng) khoảng (a; b) ii) y' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) y' = số hữu hạn điểm x0, x1, , xn x a x0 x1 xn b y' + + + + lim y x →b − y lim y x →a + iii) Hàm số đồng biến (tăng) khoảng (a; b) y' < 0, ∀x ∈ (a; b) x a b y' lim y y x →a + lim y x →b − Hàm số nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) iv) y' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) y' = số hữu hạn điểm x0, x1, , xn x a x0 x1 xn b y' - - - lim y x →a + y lim y x →b − Hàm số nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) • Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Ví dụ 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) = x − x − x + Giải: Ví dụ 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí a) y = 2x + 6x + 6x - 7; d) y = Giải: Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 b) y = x - 2x - 3; x −1 x +1 x4 c) y = - - x2 + ; 2 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức: π Ví dụ: Chứng minh x > sinx khoảng (0; ) Giải: - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y = x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; c) y = 3x3 - 8x2; d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; f) y = 2x3 - 6x + Bài 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y = x4 - 2x2 + 3; b) y = x4 + 8x2 + 5; 16 c) y = 16x + 2x2 x -x; d) y = x – x + 3 Bài 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: x +1 3x + − 2x a) y = ; b) y = ; c) y = 1− x x+7 x −1 Bài 4: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 x − x +1 x − 2x x − 2x + a) y = ; b) y = ; c) y = 1− x x +1 x −1 Bài tập nâng cao: Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: 2x a) y = ; b) y = x − x − 20 x −9 x Bài 2: Chứng minh hàm số y = đồng biến khoảng (-1; 1) nghịch biến khoảng (x +1 ∞; -1) (1; +∞) (HD: Chứng minh y' ≥ 0∀x∈ (-1;1) y' ≤ 0∀x∈ (-∞ ;-1)∪ (1; +∞ )) 2 Bài 3: Chứng minh hàm số y = x − x đồng biến (0; 1) nghịch biến (1; 2) Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau: π π x3 a) tanx > x (0 < x < ); b) tanx > x + (0 < x < ) 2 CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Lập bảng biến thiên hàm số sau: 3 y= x + x + x 2 Đồ thị hàm số y = 3 x + x + x 2 - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục khoảng (a; b) (có thể a -∞; b +∞) điểm x0 ∈ (a; b) a) Nếu tồn số h > cho f(x) < f(x0) với x ∈ (x0 - h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 b) Nếu tồn số h > cho f(x) > f(x 0) với x ∈ (x0 - h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 * Chú ý: a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) x x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f(x0) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), điểm M(x0; f(x0)) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực trị x0 f'(x0) = II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ: Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x - h; x0 + h) có đạo hàm K K \{x0}, h > a) Nếu f'(x) > khoảng (x0 - h; x0) f'(x) < khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) b) Nếu f'(x) < khoảng (x0 - h; x0) f'(x) > khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ: Quy tắc 1: Tìm điểm cực trị hàm số y = f(x) • Tìm tập xác định • Tính f'(x) Tìm điểm x cho f'(x) f'(x) khơng xác định • Lập bảng biến thiên • Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị x f'(x) 10 x0 - h + x0 x0 + h - x f'(x) x0 - h - Tài liệu lưu hành nội - - x0 x0 + h + https://ebooktoan.com cung cấp file word toán miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I- PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG: Định lí: Trong không gian Oxyz,  cho đường thẳng ∆ qua điểm M0 (x0;y0;z0) nhận a = (a1;a2;a3) làm vectơ phương Điều kiện cần đủ để điểm M(x;y;z) nằm ∆ có số thực t cho:  x = x0 + ta1   y = y0 + ta2  z = z + ta   Định nghĩa: Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0;z0) có vectơ phương a =  x = x0 + ta1  (a1;a2;a3) phương trình có dạng:  y = y0 + ta2 (t ∈ R)  z = z + ta  * Chú ý: Nếu a1, a2, a3 khác phương trình ∆ viết dạng tắc: x − x0 y − y0 z − z = = a1 a2 a3 Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(1; 0; -2) có vectơ phương  a = (1;−3;0) Giải: Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B với A(1; -2; 2), B(3; 4; 2) Giải: Ví dụ 3: Hãy tìm tọa độ vectơ phương điểm M, N, P nằm  x = −1+ 2t  đường thẳng ∆ có phương trình tham soá ∆:  y = − 3t (t ∈ R)  z = + 4t  138 - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 Giải: II– ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU:  x = x0' + t ' a1  x = x0 + ta1   ' Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d:  y = y0 + ta2 d':  y = y0 + t ' a2  y = z + ta  y = z' + t' a 3   Ví dụ: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau đây:  x = 1+ t  x = + 2t'  x = 3− t  x = − 3t'     a) d:  y = 2t d':  y = 3+ 4t' ; b) d:  y = + t d':  y = + 3t' ; z = 3− t  z = 5− 2t' z = − 2t  z = − 6t'      x = 1+ t  x = − 2t'   c) d:  y = + 3t d':  y = −2 + t' ;  z = 3− t  z = 1+ 3t'    x = 1+ 2t  x = 1+ 3t'   d) d:  y = −1+ 3t d':  y = −2 + 2t'  z = 5+ t  z = −1+ 2t'   Giải: - Tài liệu lưu hành nội - 139 https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12   * Đặc biệt: d ⊥ d' ⇔ a ⊥ a ' Ví dụ: Chứng minh hai đường thẳng sau vng góc:  x = 5− t  x = + 2t'   d:  y = −3 + 2t d':  y = 13+ 3t'  z = 4t  z = 1− t'   Giải: * Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:  x = x0 + at  Cho đường thẳng d:  y = y + bt mp(α): Ax + By + Cz + D =  y = z + ct  140 - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word toán miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 Xét: A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = (1) • d cắt (α) ⇔ (1) có nghiệm • d // (α) ⇔ (1) vơ nghiệm • d ⊂ (α) ⇔ (1) có vơ số nghiệm Ví dụ: Tìm số giao điểm mp(α): x + y + z - = với đường thẳng d trường hợp sau: x = + t  x = 1+ 2t  x = 1+ 5t    a) d:  y = − t ; b) d:  y = 1− t ; c) d:  y = 1− 4t  z=1  z = 1− t  z = 1+ 3t    Giải:  * Đặc biệt: d ⊥ (α) vectơ phương ud đường  thẳng d phương với vectơ pháp tuyến n(α ) mp(α)  x = 1+ t  Ví dụ: Chứng minh đường thẳng d:  y = + 2t vng góc với mặt  z = 3+ 3t  phẳng (α): 2x + 4y + 6z + = ud n (α ) α d Giải: * Một số toán khác: ª Hình chiếu điểm M mp(α): - Tài liệu lưu hành nội - 141 https://ebooktoan.com cung cấp file word toán miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 * Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vuông góc mp(α) * Bước 2: Xác định giao điểm M' ∆ với mp(α) M' hình chiếu cần tìm Ví dụ: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M(1; -1; 2) mặt phẳng (α) có phương trình: 2x - y + 2z + 11 = Giải: ª Giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S): * Bước 1: Tìm hình chiếu I mp(P) * Bước 2: Tính IH khoảng cách từ I đến mp(P) * Bước 3: Giao tuyến cần tìm đường tròn (C) tâm H bán kính r' = r − IH Ví dụ: Cho mặt cầu (S) có phương trình: (x - 3) + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 100 mặt phẳng (α) có phương trình: 2x - 2y - z + = Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Hãy xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn (C) Giải: ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua mp(α): 142 - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 * Bước 1: Tìm hình chiếu I điểm M mp(α) * Bước 2: Tìm điểm M' cho I trung điểm M M' Đó điểm đối xứng cần tìm Ví dụ: Cho điểm M(2; 1; 0) mặt phẳng (α): x + 3y - z - 27 = Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp(α) Giải: ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆: * Bước 1: Viết phương trình mp(α) qua M vuông góc với đường thẳng ∆ * Bước 2: Xác định giao điểm I (α) ∆ (I hình chiếu M ∆ ) * Bước 3: Tìm điểm M' cho I trung điểm M M' Đó điểm đối xứng cần tìm  x = + 2t  Ví dụ: Cho điểm A(1; -2; -5) đường thẳng ∆:  y = −1 − t  z = 2t  a) Tìm hình chiếu A ∆ b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua ∆ c) Tính khoảng cách từ A đến ∆ Giải: - Tài liệu lưu hành nội - 143 https://ebooktoan.com cung cấp file word toán miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 ª Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ∆': * Bước 1: Viết phương trình mp(α) chứa ∆' song song đường thẳng ∆ * Bước 2: Tìm điểm A ∆ * Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến (α)  x = 1+ t' x −1 y − z  = = ∆':  y = − 2t ' Tính khoảng cách hai đường Ví dụ: Cho hai đường thẳng ∆: −1  z =1  thẳng ∆ ∆' Giải: 144 - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 ª Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng x −3 z+2 = y −1 = Ví dụ: Cho mp(α): 3x - 2y - z + = đường thẳng ∆: a) Hãy chứng tỏ ∆ song song mp(α) b) Tính khoảng cách ∆ (α) Giải: ª Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ví dụ: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (α): x + 2y + 2z + 11 = (β) cho phương trình: x + 2y + 2z + = Giải: ª Phương trình đường cao tam giác không gian: Đường cao AH ∆ABC qua A vuông góc với giá hai vectơ  n = [ AB, AC ] CB Ví dụ: Viết phương trình đường cao AH tam giác ABC biết A(1; 0; 6), B(0; 2; -1), C(1; 4; 0) Giaûi: - Tài liệu lưu hành nội - 145 https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12  Ghi chuù: 146 - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng d trong trường hợp sau: a) d qua điểm M(5; 4; 1) có vectơ phương a = (2;−3;1) b) d qua điểm A(2; -1; 3) vng góc với mặt phẳng (α) có phương trình x + y - z + =  x = + 2t  c) d qua điểm B(2; 0; -3) song song với đường thẳng ∆:  y = −3 + 3t  z = 4t  d) d qua hai điểm P(1; 2; 3) Q(5; 4; 4) e) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3; 2; -1) song song đường thẳng x −1 y +1 z = = −3 Bài 2: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d' cho phương trình sau:  x = −3 + 2t  x = + t'  x = 1+ t  x = + 2t '     a) d:  y = −2 + 3t d':  y = −1 − 4t ' b) d:  y = + t d':  y = −1 + 2t '  z = + 4t  z = 20 + t ' z = 3−t  z = − 2t '      x = 1− t  x = 1+ t'   c) d:  y = + 2t d':  y = − 2t '  z = 3t  z =1    x = 7t x + y +1 z −  = = d) d: d':  y = − 4t  z = + 5t  Bài 3: Tìm số giao điểm đường thẳng d với mp(α) trường hợp sau:  x = 12 + 4t  x = 1+ t   a) d:  y = + 3t (α): 3x + 5y - z - = 0; b) d:  y = − t (α): x + 3y + z + = 0;  z = 1+ t  z = + 2t    x = 1+ t  b) d:  y = + 2t (α): x + y + z - =  z = − 3t   x = −3 + 2t  Bài 4: Tính khoảng cách đường thẳng ∆:  y = −1 + 3t mp(α): 2x - 2y + z + =  z = −1 + 2t   x = + at  x = 1− t'   Bài 5: Tìm a để hai đường thẳng sau cắt d:  y = t d':  y = + 2t '  z = −1 + 2t  z = − t'    x = 2+t  Bài 6: Cho đường thẳng d:  y = −3 + 2t Viết phương trình tham số đường thẳng hình  z = + 3t  chiếu vng góc d mặt phẳng tọa độ  x = 2+t  Bài 7: Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng ∆:  y = + 2t  z=t  a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng ∆ b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆ Bài 8: Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng (α): x + y + z - = a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M mp(α) - Tài liệu lưu hành nội - 147 https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp(α) c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(α) Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải toán sau phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(A'BD) mp(B'D'C) Bài 2: Cho hai mp(P): 2x - y - 11 = mp(Q): x - y - z + = a) Chứng minh mp(P) cắt mp(Q); b) Tìm phương trình đường thẳng giao tuyến hai mp(P) mp(Q) x−2 y −3 z +4 x +1 y − z − = = , d2 : = = Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 : −5 −2 −1 a) Chứng tỏ hai đường thẳng chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng c) Tính khoảng cách hai đường thẳng CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 148 - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 BỔ SUNG KIẾN THỨC - Tài liệu lưu hành nội - 149 https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí * ƠÂN TẬP CHƯƠNG III * BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện 150 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 b) Tìm góc hai đường thẳng AB CD c) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD Bài 2: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) a) Tìm tọa độ tâm I tính bán kính r mặt cầu (S) b) Lập phương trình mặt cầu (S) c) Lập phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A Bài 3: Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD c) Viết phương trình mp(α) chứa AB song song với CD Bài 4: Lập phương trình tham số đường thẳng: a) Đi qua hai điểm A(1; 0; -3), B(3; -1; 0)  x = −2 + 2t  b) Đi qua điểm M(2; 3; -5) song song với đường thẳng ∆:  y = − 4t  z = −5t   x = 12 + 4t  Bài 5: Cho mặt phẳng (α) có phương trình 3x + 5y - z - = đường thẳng d:  y = + 3t  z = 1+ t  a) Tìm giao điểm M đường thẳng d mp(α) b) Viết phương trình mp(β) chứa điểm M vng góc với đường thẳng d  x = + 3t   Bài 6: Cho điểm A(-1; 2; -3), vectơ a = (6;−2;−3) đường thẳng d có phương trình  y = −1 + 2t  z = − 5t   a) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A vng góc với giá a b) Tìm giao điểm d (α)  c) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vng góc với giá a cắt đường thẳng d Bài tập nâng cao: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 10x + 2y + 26z + 170 =  x = −5 + 2t  x = −7 + 3t '   song song với hai đường thẳng d:  y = − 3t ; d':  y = −1 − 2t '  z = −13 + 2t  z =8    x=t  x = − 2t '   Bài 2: Cho hai đường thẳng d:  y = −4 + t d':  y = −3 + t ' Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với  z = 3−t  z = − 5t '   mặt phẳng tọa độ (Oxz) cắt hai đường thẳng d, d' - Tài liệu lưu hành nội - 151 https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 MỤC LỤC PHẦN I: GIẢI TÍCH Bài §1 Sự đồng biến, nghịch biến hàm số §2 Cực trị hàm số §3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số §4 Đường tiệm cận §5 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Ôn tập chương I §1 Lũy thừa §2 Hàm số lũy thừa §3 Lôgarit §4 Hàm số mũ Hàm số lôgarit §5 Phương trình mũ phương trình lơgarit §6 Bất phương trình mũ bất phương trình lơgarit Ơn tập chương II §1 Ngun hàm §2 Tích phân §3 Ứng dụng tích phân hình học Ơn tập chương III §1 Số phức §2 Cộng, trừ nhân số phức §3 Phép chia số phức §4 Phương trình bậc hai với hệ số thực Ôn tập chương IV Trang 10 14 19 21 29 35 40 42 46 49 53 56 63 68 74 79 81 84 86 88 90 PHẦN II: HÌNH HỌC Bài §1 Khái niệm khối đa diện §2 Khối đa diện lồi khối đa diện §3 Khái niệm thể tích khối đa diện Ơn tập chương I §1 Khái niệm mặt trịn xoay §2 Mặt cầu Ơn tập chương II §1 Hệ tọa độ khơng gian §2 Phương trình mặt phẳng §3 Phương trình đường thẳng khơng gian Ôn tập chương III 152 - Tài liệu lưu hành nội - Trang 97 100 102 107 111 116 122 126 131 139 152 ... điểm cực trị dấu 12 - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word tốn miễn phí Bài 2: Tìm a b để cực trị hàm số y = Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 5 a x + 2ax2... thứ tự tăng dần bảng biến thiên) i) y' > 0, ∀x ∈ (a; b) x a b - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word toán miễn phí y' Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 +... CHƯƠNG I: 28 - Tài liệu lưu hành nội - https://ebooktoan.com cung cấp file word toán miễn phí Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Tốn lớp 12 II CÁC DẠNG ĐỒ THỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 12 Hàm số y =