4 CHUY~1

Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Phần Giải tích – Biên soạn: Nguyễn Hồng Diệu CHUN ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN I LŨY THỪA Các công thức: α (1) α a a = a = a ×a L a n ( số ) α n β a ×a = a α +β (2) aα = aα − β ; aβ ; (4) (5) a = a =1 aα = a − n = (3) an ( aα ) β = a α β ; (6) α (ab)α = aα ×bα ; (7) (8) n (7) ab = n a.n b mn aα a = ;  ÷ bα b n (9) n ap = ( n a ) (a > 0) p (8) (9) n a = mn a (10) Các tính chất m a na = (b > 0) b nb n ap = ( n a ) (a > 0) p (11) (1) Tính đồng biến, nghịch biến: aα = a n = n a m (12) a na = (b > 0) b nb  a > 1: a m > a n ⇔ m > n  m n  < a < 1: a > a ⇔ m < n (2) So sánh lũy thừa khác số: Với a>b>0 am > bm ⇔ m >  m m a < b ⇔ m < α y=x Tập xác định hàm số : α gD=¡ số nguyên dương g D = ¡ \ { 0} α với nguyên âm g D = (0; +∞) α với không nguyên y = xα , (α ∈ ¡ ) Đạo hàm: Hàm số có đạo hàm với (0; +∞) Khảo sát hàm lũy thừa khoảng y = xα , α > x>0 ( xα )′ = α xα −1 (uα )′ = α uα −1u ' ; y = xα , α < Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Phần Giải tích – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu (0; +∞) (0; +∞) Tập khảo sát: Sự biến thiên: α −1 g y′ = α x > 0, ∀x > Tập khảo sát: Sự biến thiên: g g α −1 g y′ = α x < 0, ∀x > Giới hạn đặc biệt: lim+ xα = 0, lim xα = +∞ lim xα = +∞, lim xα = x →+∞ x →0 Giới hạn đặc biệt: x →0+ Tiệm cận: Khơng có x →+∞ Tiệm cận: Ox Trục tiệm cận ngang Oy Trục tiệm cận đứng Bảng biến thiên: Bảng biến thiên: Đồ thị: y = xα I (1;1) Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: y = x , y = x −2 , y = xπ n Lưu ý: Đẳng thức x=x n xảy x>0 y=x , hàm số n không đồng với hàm số y = n x ( n ∈ N *) b1 , b2 > 0 < a, c ≠ 1, b > II LÔGARIT: Cho , α = log a b ⇔ aα = b (1) log a a = 1, log a = (2) Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Phần Giải tích log a a x = x, (∀x ∈ R ) – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu a loga x = x ( x > 0) (3) (4) a loga b α = b, log a (a ) = α log a (b1.b2 ) = log a b1 + log a b2 (5) (6) log a b1 = log a b1 − log a b2 b2 log a (7) (8) = − log a b b log a n b = α log a b = α log a b (9) (10) log c b log a b = log c a log a c = (11) (đổi số) log aα b = (13) log a b n log c a (12) log a b (α ≠ 0) α log aα b β = (14) β log a b (α ≠ 0) α log a b.log b c = log a c ( a; b; c > 0; a; b ≠ 1) (15) III HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LƠGARIT Tính chất: y = log a x , (0 < a ≠ 1) y = a x , (0 < a ≠ 1) Hàm số mũ: TXĐ: D=R Hàm số logarit: T = (0; +∞) ; Tập giá trị: TXĐ: Sự biến thiên: + + x < a < ⇒ y ' = a ln a < 0, ∀x + + Giới hạn đặc biệt: +  a > 1: lim a = 0; lim a = +∞ x →−∞ x →+∞  x 0 < a < 1: lim a = +∞; lim a x = x →−∞ x →+∞  x x Ox ; Tập giá trị: a >1 ⇒ y' = < a 0: < 0, ∀x > x ln a + Giới hạn đặc biệt: log a x = +∞  a > 1: lim+ log a x = −∞; xlim →+∞ x →0  log a x = −∞ 0 < a < 1: lim+ log a x = +∞; xlim →+∞ x →0  tiệm cận ngang Bảng biến thiên: > 0, ∀x > x ln a ⇒ y'= Oy Tiệm cận: trục + T=R Sự biến thiên: x a > ⇒ y ' = a ln a > 0, ∀x Tiệm cận: trục D = (0; +∞) tiệm cận đứng Bảng biến thiên: + a > 0: Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 + – Phần Giải tích < a < 1: + – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu < a < 1: y = log a x y = ax Đồ thị: Đồ thị hàm số Ox ; qua điểm ( 0;1) nằm phía trục Đồ thị: Đồ thị hàm số ( 1;a ) Oy phải trục ; qua điểm nằm phía bên ( 1;0 ) ( a;1) Đạo hàm hàm số mũ hàm số lôgarit Hàm sơ cấp Hàm số hợp Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 (e )'=e x (a )'=a x Phần Giải tích – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu ( e ) ' = u '.e x u u ( a ) ' = u '.a ln a u ln a , ( x > 0) x ( ln x ) ' = ( log a x ) ' = x – ( ln u ) ' = , ( x > 0) x.ln a ( log a u ) ' = u u' , (u > 0) u u' , (u > 0) u.ln a IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Phương trình mũ Phương trình mũ bản: a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = log a b a, b > 0, a ≠ ( ) Phương pháp giải: a) Đưa số Phương trình lơgarit Phương trình lơgarit log a x = b ⇔ x = a b < a ≠ ( ) Phương pháp giải: a) Đưa số  f ( x) > log a f ( x) = log a g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x ) a f ( x) = a g( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) b) Đặt ẩn phụ m.a f ( x ) + n.a f ( x ) + p = (1) , đặt m.a f ( x) + n.a − f ( x) b) Đặt ẩn phụ Đối với phương trình biến đổi phức tạp ta đặt t = log a f ( x) t = a f ( x) > + p=0 (2) , quy đồng đưa (1) m.( a + b ) f ( x ) + n.( a − b ) f ( x ) + p = (3) , ( a + b )( a − b ) = k t = ( a − b ) f ( x) > ⇒ ( a + b ) f ( x) = Đặt m.a f ( x) + n ( a.b ) f ( x) + p.b f ( x) k t =0 (4) f ( x) b2 f ( x ) a  ÷ b =t >0 c) Mũ hóa hai vế Đưa phương trình cho dạng sau: 0 < a ≠ log a f ( x ) = g ( x ) ⇔  g( x)  f ( x ) = a *  f ( x ) = a t log a f ( x ) = logb g ( x ) = t ⇒  t  g ( x ) = b * Khử x hệ phương trình để thu phương trình theo ẩn t, giải phương trình tìm t, từ tìm x d) Sử dụng hàm số đánh giá Chia hai vế cho đặt c) Lơgarit hóa hai vế a f ( x ) = kb f ( x ) a f ( x ) b f ( x ) = k Có dạng (với UCLN (a, b) = 1) Khi lơgarit hai vế số a b (nên chọn số có số mũ phức tạp) d) Sử dụng hàm số đánh giá Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Phần Giải tích – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu ax = f ( x) (1) : Sử dụng tính đơn điệu hàm số, chứng minh phương trình có nghiệm au + u = av + v (2) f ( t ) = at + t Xét hàm đặc trưng CM hàm số đơn ⇒u =v điệu V BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Phương trình mũ Phương trình mũ bản: a x ≥ b, a x < b, a x ≤ b ax > b (1) Dạng: (hoặc ) với a > 0, a ≠ Phương pháp giải: (1) Dạng 1: 0 < a ≠ 1, b ≤ → (*) dung ∀x ∈ R  a f ( x ) > b ( *) → 0 < a < 1, b > → ( *) ⇔ f ( x ) < log a b  a > 1, b > → * ⇔ f x > log b ( ) ( ) a  (2) Dạng 2: a f ( x) 0 < a ≠ 1, b ≤ → (*) VN  < b ( *) → 0 < a < 1, b > → ( *) ⇔ f ( x ) > log a b  a > 1, b > → * ⇔ f x < log b ( ) ( ) a  Phương trình lơgarit Phương trình lơgarit log a f ( x) > b; log a f ( x) ≥ b; log a f ( x) < b; log a f ( x) ≤ b a, b > 0, a ≠ ( ) Phương pháp giải: log a f ( x) > g ( x) ⇔ f ( x) > a g ( x ) ( a > 1) (1) log a f ( x) > g ( x) ⇔ f ( x) < a g ( x ) (0 < a < 1) (2)  g ( x) > log a f ( x) > log a g ( x) ⇔  a >1  f ( x) > g ( x) (3)  f ( x) > log a f ( x) > log a g ( x) ⇔  < a → (*) ⇔ f ( x ) > g ( x ) a f ( x ) < a g ( x ) (*) →   < a < → (*) ⇔ f ( x ) < g ( x ) B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ Câu Cho A a a a3 a số dương, biểu thức B a a, b Câu Cho C a D a m, n số thực dương, a m b m = ( ab ) A viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là? 2m số thực tùy ý Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? m b −m m mn a b = ÷ a m b n = ( ab ) a a m a n = a mn B C D Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 P = x x Câu Viết biểu thức A P=x ( B x>0 P=x – Phần Giải tích – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu ) dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ 12 ( a12 a ) : ( a a )    C P = x7 D π >π Câu Cho D Kết luận sau đúng? (3 ) a b = 3a +b A α = aα + bα D α β α β = A Câu Kết phép tính: bằng: 12 11 a a a5 A B C a, b, α ( a > b > 0,α ≠ 1) Câu Cho số thực Mệnh đề sau đúng? α aα a α α  ÷ = −α ( ab ) = aα bα ( a − b ) = aα − bα b b A B C α P = x 12 (3 ) a b = 3ab B D a b D = 3a b a 3 4  ÷ > ÷ 4 5 a, b (3 ) = 3a −b C a b4 > b3 Câu Cho số thực thỏa điều kiện Chọn khẳng định khẳng định sau? a>0 b >1 a>0 < b 2 D y = ( x − 1) Câu 10 Tập xác định hàm số ( 0; + ∞ ) [ 1; + ∞ ) A B  2 1 − ÷ ÷   ( ) −1 2019 2019  2 < 1 − ÷ ÷   là: ( 1; + ∞ ) C Câu 11 Trong hàm số đây, hàm số nghịch biến tập số thực ¡ D ¡ ? Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Phần Giải tích x A π  y = ÷ 3 y = ( x − 27 ) C D 2 y= ÷ e π Câu 12 Tập xác định hàm số D = [ 3; +∞ ) D = ¡ \ { 2} D=¡ A B C log a a>0 a ≠1 a Câu 13 Giá trị với bằng: − −3 A B C log a ( a > 0, a ≠ 1) a Câu 14 Giá trị với A B C ( a) x 2 B Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu y = log π ( x + 1) y = log x – D = ( 3; +∞ ) D − D D 16 3log a Câu 15 Giá trị bằng: A B C D a Câu 16 Cho số thực dương Mệnh đề sau đúng? log ( 3a ) = + log a log ( 3a ) = + log a log ( 3a ) = + a log ( 3a ) = log a A B C D log a = log8 ( ab ) b a Câu 20 Cho hai số thực dương thỏa mãn Mệnh đề đúng? a=b a =b a2 = b a=b A B C D log ( 2020 − x ) x D D Câu 17 Gọi tập tất giá trị để có nghĩa Tìm ? D = [ 0; 2020] D = ( −∞; 2020 ) D = ( −∞; 2020] D = ( 0; 2020 ) A B C D y = ( − 3x − x2 ) 2020 Câu 18 Tập xác định hàm số là: ( −4;1) ( −∞; −4 ) ∪ ( 1; +∞ ) [ −4;1] ¡ A B C D y = ( x − 1) Câu 19 Hàm số ( 0; +∞ ] A −4 có tập xác định là:  1 ¡ \ − ;   2 B C ¡ D  1 − ; ÷  2 Tài liệu ơn thi THPT quốc gia năm 2020 – Phần Giải tích – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu f ( x ) = ( + ln a ) a x ¡ Câu 20 Điều kiện cho làm cho hàm số đồng biến ? < a 1 a>0 a>e e A B C D a, x < a 1 D y = 2 x +3 Câu 22 Tính đạo hàm hàm số x+ x+2 y′ = ln y′ = ln y′ = 22 x + ln16 y′ = 22 x +3 ln A B C D x y = log ( x + e ) Câu 23 Tính đạo hàm hàm số x 1+ e 1 + ex + ex x ( x + e ) ln ( x + e x ) ln ln x + ex A B C D y = ( − x2 ) Câu 24 Tập xác định hàm số là: ( −∞; − ) ∪ ( 2; + ∞ ) ( −2; ) ( −∞; − ) A B C y = log3 ( x − x + 3) Câu 25 Tập xác định hàm số: là: ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ ) ( 1;3) ( −∞;1) A B C a Câu 26 Với số thực dương bất kì, mệnh đề đúng? log a = log a log ( 3a ) = 3log a log a = 3log a A B C 1− x y=e Câu 27 Đạo hàm hàm số là: 1− x 1− x ′ ′ y = −2e y =e y′ = 2e1−2 x A B C x2 + x y=e D Câu 28 Tìm tập xác định hàm số D = 0; D = ¡ \ { 0; 2} [ ] D=¡ A B C D m = 2± ( 3; +∞ ) D D log ( 3a ) = log a y′ = e x D D D=∅ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Phần Giải tích – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu a số thực dương khác Khẳng định sai? log a = log a 2.log a = log a = log a A B C Câu 29 Cho Câu 30 Cho A < a ≠1 ( P = log a a a Giá trị biểu thức B ) log a a = D C log a ( a 2b ) D a b Câu 31 Với số thực dương Biểu thức − log a b + log a b + log a b log a b A B C D y = 12 x Câu 32 Cho hàm số Khẳng định sau sai? ¡ A Hàm số đồng biến B Đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung C Đồ thị hàm số nhận trục hoành tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số ln nằm phía trục hoành a = log b = ln Câu 33 Cho , , hệ thức sau ? 1 a e + = = 10a = eb 10b = e a a b 10e b 10 A B C D a  I = log a  ÷  64  a Câu 34 Cho số thực dương khác Tính 1 I= I =− I =3 I = −3 3 A B C D P = log a b log b a a, b > a, b ≠ Câu 35 Cho , biểu thức có giá trị bao nhiêu? 18 24 12 A B C D x> f ′( x) f ( x ) = log ( x − 1) Câu 36 Tính đạo hàm hàm số với 3 3ln f ′( x) = f ′( x) = f ′( x) = f ′( x) = ( 3x − 1) ln ( 3x − 1) ln ( 3x − 1) ( 3x − 1) A B C D P = log ( a b ) log a = x log b = y a b Câu 37 Cho số thực dương , thỏa mãn , Tính 3 P=x y P=x +y P = xy P = 2x + 3y A B C D 10 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 A 2021 B Chọn C y = ex −x + mx ⇒ Hàm số y=e 2023 – – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu 2022 C Lời giải y′ = ( x − x + m ) e x − x x3 − x + mx Phần Giải tích đồng biến D 2020 + mx [ 1; 2] ⇔ x − x + m ≥ ∀x ∈ [ 1; 2] ⇔ m ≥ −3 x + x ∀x ∈ [ 1; 2] ⇔ m ≥ −1 [ −2; 2020] Mà nhận giá trị nguyên m Câu 22 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên số tự nhiên bằng: 4500 A B ⇒ A có giá trị 2020 có bốn chữ số Gọi N m thỏa yêu cầu toán số thỏa mãn 2500 C Lời giải 3N = A D 3000 Xác suất để N Chọn A Ký hiệu B biến cố lấy số tự nhiên A thỏa mãn yêu cầu toán = A ⇔ N = log3 A N Ta có: Để N A = 3m (m ∈ ¥ ) số tự nhiên Những số A = 2187 dạng có chữ số gồm 38 = 6561 n ( Ω ) = 9000; n ( B ) = P ( B) = Suy ra: 4500 log x = log y = log ( x + y ) x, y Câu 23 Gọi x −a + b = y số thực dương thỏa mãn điều kiện a b a+b , hai số nguyên dương Tính a+b = a + b = 11 A B a+b = C Lời giải D a+b =8 , với 45 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Phần Giải tích – Biên soạn: Nguyễn Hồng Diệu Chọn A log x = t Đặt  x = 9t  y = 6t  log x = log y = t  ⇒  x + y = 4t  log x = log ( x + y ) = t  t x = 3  y  ÷  (1) (2) (3) (4) Theo đề có Từ (1), (2), (3) ta có  t −1 +  ÷ = 2t t t 2 3  3 t t t t t + = ⇔ ( ) + ( 3.2 ) − = ⇔  ÷ +  ÷ − = ⇔  t  2  2  ÷ = −1 −   (TM ) ( L) t x   −1 + − a + b = ÷ = = ⇒ a = 1; b = y 2 2 Thế vào (4) ta a = 1; b = a + b = Thử lại ta thấy thỏa mãn kiện toán Suy log p = log12 q = log16 ( p + q ) p, q Câu 24 Giả sử A p q số thực dương cho −1 + B ( ) Tìm giá trị 1+ D ( C Hướng dẫn giải ) Chọn B  p = 9t  t ⇒ 9t + 12t = 16t q = 12  t  p + q = 16 t = log p = log12 q = log16 ( p + q ) Đặt Từ suy 16 ≠ Chia hai vế phương trình cho ta phương trình: t  t −1 +  ÷ = 2t t t 3 3   −1 +   + − = ⇔ ⇔  ÷  ÷  ÷= t  4 4 4   = −1 − <  ÷   46 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia năm 2020 – Phần Giải tích – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu t Mặt khác p 3 p −1 + = ÷ ⇒ = q 4 q a b Câu 25 Cho số thực dương , thỏa mãn 1 0