Ngöôøi vieát: ÑOÃ THANH HAÂN (Tröôøng THPT Chuyeân BAÏC LIEÂU) Trong kì thi choïn HSG Quoác gia THPT (baûng B) naêm 2005, coù moät baøi toaùn lieân quan ñeán tính chaát cô baûn cuûa[r]
(1)Đỗ Thanh Hân _ dành cho học sinh yêu Toán
S DNG TNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP
ĐỂ GIẢI TOÁN
Người viết: ĐỖ THANH HÂN (Trường THPT Chuyên BẠC LIÊU) Trong kì thi chọn HSG Quốc gia THPT (bảng B) năm 2005, có tốn liên quan đến tính chất số phần tử tập hợp mà khơng học sinh khơng giải dược tốn
Bài viết xin trình bày vài tính chất liên quan đến số phần tử tập hợp (việc chứng minh xin nhường cho bạn đọc),và đưa lời giải số tốn có áp dụng tính chất
I/ Các tính chất số phần tử tập hợp hữu hạn: ( Kí hiệu A số phần tử tập hợp hữu hạn A )
1/ Tính chất 1) Giả sử A, B hai tập hợp hữu hạn Nếu A B A B A B
2/ Tính chất 2) Với hai tập hữu hạn A B, ta ln có: A B A B A B
Hệ 2.1: Với hai tập hữu hạn A B, ta ln có:
A B A B Dấu đẳng thức xảy A B Hệ 2.2: Với ba tập hữu hạn A,B C, ta ln có:
A B C A B C A B B C CA A B C 3/ Tính chất 3) Giả sử A, B hai tập hợp hữu hạn
Nếu BA A B\ A B Hệ 3.1: Giả sử A, B hai tập hợp hữu hạn
Nếu BA B A II/ Một số toán minh họa:
Bài tốn 1 Trong đề thi có ba câu: câu Số học, câu Giải tích, câu Hình học Trong 60 thí sinh dự thi, có 48 thí sinh giải câu Số học, 40 thí sinh giải câu Giải tích, 32 thí sinh giải câu Hình học,có 57 thí sinh giải câu Số học Giải tích, 50 thí sinh giải câu Giải tích Hình học,25 thí sinh giải câu Số học Hình học, 15 thí sinh giải câu
Hỏi có thí sinh khơng giải câu nào? Giải:
Kí hiệu: T tập hợp tất thí sinh
A,B,C tập hợp thí sinh giải câu Số học, Giải tích, Hình học Theo tính chất ta có:
A B A B A B 48 40 57 31 B C B C B C 40 32 50 22
(2)Đỗ Thanh Hân _ dành cho học sinh yêu Toán
5748 40 32 31 22 25 15
Vì A B C T nên T \ (A B C ) T A B C 60 57 3 Vậy có thí sinh khơng giải câu
Bài toán 2 Khi điều tra kết học tập mơn Tốn, Lý, Hóa lớp 45 học sinh, người ta nhận thấy: có 19 học sinh khơng giỏi mơn nào, 18 học sinh giỏi Tốn, 17 học sinh giỏi Lý, 13 học sinh giỏi Hóa, 10 học sinh giỏi mơn Tốn Lý, học sinh giỏi mơn Lý Hóa, 10 học sinh giỏi mơn Tốn Hóa Hỏi có học sinh giỏi môn?
Giải:
Kí hiệu: T tập hợp học sinh lớp
A,B,C tập hợp học sinh giỏi Tốn, Lý, Hóa Vì A B C T \T\A B C nên số học sinh giỏi mơn là: A B C T T\A B C 45 19 26
Tứ hệ 2.2 suy số học sinh giỏi môn là: A B C A B C A B C A B B C CA
26 18 17 13 10 10 7 .
Bài tốn 3 Tìm hiểu kết học tập lớp học, người ta thấy:
- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn đồng thời đạt điểm giỏi môn Vật lý;
- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi môn Vật lý đồng thời đạt điểm giỏi môn Văn;
- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi môn Văn đồng thời đạt điểm giỏi môn Lịch sử;
- Hơn 23 số học sinh đạt điểm giỏi môn Lịch sử đồng thời đạt điểm giỏi mơn Tốn;
Chứng minh lớp học nói có học sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn, Vật lý, Văn Lịch sử
( Đề thi HSG bảng B-2005)
Giaûi:
Ký hiệu T, L, V, S tập hợp học sinh giỏi Toán, Vật lý, Văn, Lịch sử
Theo đề bài, ta có:TL 23 T ,
3
L V L ,
3
VS V ,
3
S T S (*)
Ta giải toán phương pháp phản chứng
Giả sử khơng có học sinh nàođạt điểm giỏi mơn Tốn, Vật lý, Văn Lịch sử, cịn: TV L S
(3)Đỗ Thanh Hân _ dành cho học sinh yêu Toán
Neõn TL L V L vaø TS S V S (theo hệ 3.1) Suy TL L V TS S V L S (1)
Mặt khác, từ (*) ta có:
2( )
3
TL L V TS S V T L V S
Maø 2( )
3 T L V S 3 T L T S L V S V
31TL TL TS TS L V L V S V S V
Neân 2TL L V V S S T TL TS L V S V L S L S
Suy TL L V TS S V L S (2)
Từ (1) (2) ta gặp mâu thuẩn nên điều giả sử ban đầu sai *Nếu LS lập luận tương tự dẫn đến điều mâu thuẫn Tóm lại toán chứng minh
Các bạn áp dụng tính chất để giải tập tương tự sau:
Bài 1) Một lớp học có 42 học sinh Biết lớp có 26 học sinh giỏi Tốn, 24 học sinh giỏi Hóa, 21 học sinh giỏi Sinh; 32 học sinh giỏi Toán Sinh, 35 học sinh giỏi Tốn Hóa, 32 học sinh giỏi Hố Sinh, 11 học sinh giỏi môn Hỏi:
a) Có học sinh giỏi môn? b) Có học sinh không giỏi môn nào?
Bài 2) Trong kì thi tuyển sinh vào trường Đại học, người ta nhận thấy: có 58 thí sinh 10 điểm Tốn, 47 thí sinh 10 điểm Lý, 42 thí sinh 10 điểm Hố, 87 thí sinh 10 điểm Tốn Lý, 76 thí sinh 10 điểm Lý Hố, 82 thí sinh 10 điểm Tốn Hố, có thí sinh 10 điểm mơn Hỏi:
a) Có thí sinh điểm 10? b) Có thí sinh điểm 10?