SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT N 2013 – 2014 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) 2 x x 1 x 1 B x x x x 1) Tính giá trị biểu thức A x = 64 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Tìm x để B Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình: Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Bài III (2,0 điểm) 3(x 1) 2(x 2y) 1) Giải hệ phương trình: 4(x 1) (x 2y) 1 2) Cho parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = mx m2 + m +1 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B (d) (P) b) Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 cho x1 x Bài IV (3,5 điểm) Cho đường trịn (O) điểm A nằm bên ngồi (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, d không qua tâm O) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp 2) Chứng minh AN2 = AB.AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = cm, AN = cm 3) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T Chứng minh MT // AC 4) Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, 1 chứng minh: a b c Với x > 0, cho hai biểu thức A BÀI GIẢI B I: (2,0 đ ể ) 1) Với x = 64 ta có A 64 64 2) B ( x 1).( x x ) (2 x 1) x x x x 1 x ( x x ) x xx x 1 x 2 x 1 3) Với x > ta có : A 2 x 2 x : B x x 1 x 1 x x x x x 4.( Do x 0) B II: (2,0 đ ể ) Đặt x (km/h) vận tốc từ A đến B, vận tốc từ B đến A x (km/h) Do giả thiết ta có: 10 10 90 90 x( x 9) 20(2 x 9) 5 x x9 x x9 2 x 31x 180 x 36 (vì x > 0) B III: (2,0 đ ể ) 1) Hệ phương trình tương đương với: 3x 2x 4y 5x 4y 5x 4y 11x 11 x 4x x 2y 3x 2y 6x 4y 10 6x 4y 10 y 1 2) a) Với m = ta có phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) x x x2 x x 1 hay x (Do a – b + c = 0) 2 9 Ta có y (-1)= ; y(3) = Vậy tọa độ giao điểm A B (-1; ) (3; ) 2 2 b) Phươnh trình hồnh độ giao điểm (P) (d) x mx m2 m x2 2mx m2 2m (*) 2 Để (d) cắt (P) điểm phân biệt x1 , x2 phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt Khi ' m2 m2 2m m 1 Khi m > -1 ta có x1 x2 x12 x22 x1 x ( x1 x2 )2 x1 x 4m2 4(m2 2m 2) 8m 4 m Cách g ả khác: Khi m > -1 ta có x1 x2 b ' b ' ' 2m a' a' Do đó, u cầu tốn 2m m 2m m Bài IV (3,5 điểm) 1/ Xét tứ giác AMON có hai góc đối K ANO 900 Q AMO 900 nên tứ giác nội tiếp M T 2/ Hai tam giác ABM AMC đồng dạng C I nên ta có AB AC = AM2 = AN2 = 62 = 36 H A B 62 62 AC 9(cm) P O AB BC AC AB 5(cm) N 3/ MTN MON AON (cùng chắn cung MN đường tròn (O)), AIN AON (do điểm N, I, M nằm đường trịn đường kính AO chắn cung 900) Vậy AIN MTI TIC nên MT // AC có hai góc so le 4/ Xét AKO có AI vng góc với KO Hạ OQ vng góc với AK Gọi H giao điểm OQ AI H trực tâm AKO , nên KMH vng góc với AO Vì MHN vng góc với AO nên đường thẳng KMHN vng góc với AO, nên KM vng góc với AO Vậy K nằm đường thẳng cố định MN BC di chuyển Cách g ả khác: Ta có KB2 = KC2 = KI.KO Nên K nằm trục đẳng phương đường tròn tâm O đường tròn đường kính AO Vậy K nằm đường thẳng MN trục đẳng phương đường tròn B IV: (0,5 đ ể ) Từ giả thiết cho ta có 1 1 1 Theo bất đẳng thức Cauchy ta ab bc ca a b c có: 1 1 1 1 1 1 , , a b ab b c bc c a ca 1 1 1 1 , 1 , 1 2 a c a 2b b 2c Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có: 3 1 3 1 6 2 a b c 2 a b c 2 1 1 (điều phải chứng minh) a b c TS Nguyễn Phú Vinh (TT Luyện thi Đại học Vĩnh Viễn – TP.HCM) ... B II: (2,0 đ ể ) Đặt x (km/h) vận tốc từ A đến B, vận tốc từ B đến A x (km/h) Do giả thi? ??t ta có: 10 10 90 90 x( x 9) 20(2 x 9) 5 x x9 x x9 2 x 31x 180 x 36... 5x 4y 5x 4y 11x 11 x 4x x 2y 3x 2y 6x 4y 10 6x 4y 10 y 1 2) a) Với m = ta có phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) x x x2 x ... Cách g ả khác: Khi m > -1 ta có x1 x2 b ' b ' ' 2m a' a' Do đó, yêu cầu toán 2m m 2m m Bài IV (3,5 điểm) 1/ Xét tứ giác AMON có hai góc đối K ANO