Bài soạn Đề + đáp án biểu điểm kì thi HSG huyên Mai Sơn 2011

UBND HUYN MAI SN PHềNG GD&T CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM c lp - T do - Hnh phỳc chớnh thc THI CHN HSG LP 9 - CP THCS NM HC 2010 2011 Mụn: Toỏn Vũng 1 Ngy thi: 24/01/2011 (Thi gian: 150 phỳt, khụng k thi gian giao ) Câu 1: (6 điểm) Giải phơng trình và hệ phơng trình sau: a) 2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + + = b) 2 2 2 2 2 3 0 2 0 xy y x y x y x + = + + = Câu2: (4 điểm) a) Cho biết 2 2 1 3 x x x = + + . Hãy tính giá trị của biểu thức 2 4 2 1 x x x+ + b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 4 2 1 x x x+ + Câu 3: (3 điểm) Cho tam giác ABC, có à A = . H là trực tâm tam giác. Tính tỉ số AH BC theo . Câu 4: (3 điểm) Có 37 cây hồng có số quả bằng nhau, 17 quả hỏng, còn lại chia đều cho 79 ngời. Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả? Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm O, đờng kính AH, đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E và F. a) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng. b) Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O kẻ từ E và F cắt cạnh BC tơng ứng ở M và N. Chứng minh tam giác MON là tam giác vuông. c) Biết AB = 8 cm, AC = 14 cm. Tính diện tích tứ giác MEFN? ------------- Ht ------------- (Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) UBND HUYN MAI SN CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM PHềNG GD&T c lp - T do - Hnh phỳc P N THI CHN HSG LP 9 - CP THCS NM HC 2010 2011 Mụn: Toỏn Vũng 1 - Ngy thi: 24/01/2011 Câu 1: (6 điểm) Giải phơng trình và hệ phơng trình sau: a) 2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + + = (1) Điều kiện: x 5 2 Nhân hai vế với 2 ta có (1) (2 5) 6 2 5 9 2 5 2 2 5 1 4x x x x + + + + = 2 2 ( 2 5 3) ( 2 5 1) 4x x + + = 2 5 3 2 5 1 4x x + + = (2) *) Với x 3 thì (2) có dạng: 2 5 3 2 5 1 4x x + + = 2 5 1x = 2 5 1 3x x = = (Thoả mãn x 3 ) *) Với 5 3 2 x < thì (2) có dạng: 2 5 3 1 2 5 4x x + + = luôn thoả mãn. Vậy nghiệm của (1) là: 5 3 2 x (3 điểm) b) 2 2 2 2 2 3 0 2 0 xy y x y x y x + = + + = 2 2 2 2 2 3 (1) 2 (2) xy y x x y x y = + = *) Ta thấy x = 0 ; y = 0 là một nghiệm của hệ. *) Với 0; 0x y . Chia (1) cho y 2 , chia (2) cho x 2 ta đợc: 2 2 2 2 2 3 (3) 2 (4) x x y y y y x x = + = Nhân hai phơng trình với nhau ta đợc hệ (3), (4) tơng đơng với: 2 2 2 2 2 3 2 3 (1) 4 3(5) 2 2 3 x x xy y x y y xy x y xy y x = = = + = ữ ữ (5) tơng đơng với (xy) 2 3xy 4 = 0 1 4 xy = Thay xy = -1 hay y = - 1 x vào (1) ta đợc: 2 3 1 2 3 1 1 1x x x y x x + = = = = Thay xy = 4 hay y = 4 x vào (1) ta đợc: 2 3 3 3 16 8 8 2 3 2 3 3 3 x x x y x x = = = = Vậy hệ đã cho có ba nghiệm là x = y = 0; x = -1, y = 1 và 3 3 2 2 3 3 x y= = (3 điểm) Câu2: (4 điểm) a) Từ 2 2 1 3 x x x = + + 2 1 3 2 x x x + + = Hay 1 3 1 5 1 2 2 x x x x + + = + = 2 4 2 2 2 2 1 1 1 25 21 1 1 1 4 4 + + = + + = + = = ữ x x x x x x x 2 4 2 4 1 21 x x x = + + (2 điểm) b) P(x) = 2 4 2 1 x x x+ + P(x) > 0 với mọi x 0, P(0) = 0 Với x 0 ta có 2 2 1 1 1 3 ( ) x P x x = + + ( vì 2 2 1 x x + 2) Dấu = đạt đợc khi và chỉ khi x 2 = 1 1 1 ( ) 3 x P x = Hay P(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 1 3 khi và chỉ khi 1x = (2 điểm) Câu 3: (3 điểm) Vẽ đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Vẽ đờng kính CE ta có: ã ã BEC BAC = = . EB BC EB // AH EA AC EA // BH EBHA là hình bình hành. Vậy EB = AH. BC = EB. tan = AH.tan cot .tan AH AH BC AH = = Câu 4: (3 điểm) Gọi a là số quả của mỗi cây hồng, và b là số quả của mỗi ngời đợc chia. Ta có phơng trình: 37.a 17 = 79.b với a,b N* a = 79. 17 5. 17 2. 37 37 b b b + + = + Do a,b N* nên 5. 17 37 b + = c N* 2( 1) 7. 3 5 c b c = + Do b, c N* nên 2(c 1) chia hết cho 5. 5 1( )c d d N = + Do đó ta có: a = 79.d +9 b = 37.d + 4 a,b N*; d N 9a a đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi d = 0. A C E B H O . à à . Vậy mỗi cây hồng có ít nhất 9 quả. Câu 5: (4 điểm) a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì : à à à 0 90A E F= = = Mà O là trung điểm của AH nên E, O, H thẳng hàng. (1 điểm) b) ME = MH, OE = OH OM là trung trực của EH. OM EH, AE EH AE//OM Tơng tự: ON//AF ã ã 0 90MON BAC = = Vậy tam giác OMN vuông. (1,5 điểm) c) Tam giác AHB có OM là đờng trung bình 1 2 OM AB = MEO MHO NFO NHO MEO MHO S S NFO NHO S S = = = = V V V V Vậy: S MEFN = 2S MON mà 1 4 OMN ABC S S = nên 1 1 4 2 OMN ABC MEFN ABC S S S S= = 2 1 8.14 . 28( ) 2 2 cm= = (1,5 điểm) Giỏo viờn ra : Trn Th Thu Hin Trnh Th Thanh H A O B C H E N M F . (3 điểm) Câu2: (4 điểm) a) Từ 2 2 1 3 x x x = + + 2 1 3 2 x x x + + = Hay 1 3 1 5 1 2 2 x x x x + + = + = 2 4 2 2 2 2 1 1 1 25 21 1 1 1 4 4 + + . 1 4x x x x + + + + = 2 2 ( 2 5 3) ( 2 5 1) 4x x + + = 2 5 3 2 5 1 4x x + + = (2) *) Với x 3 thì (2) có dạng: 2 5 3 2 5 1 4x x + + = 2 5 1x