Kỳ thi Olympic truyền thống 30.4 tại TP Huế môn toán 11

Tham khảo tài liệu ''kỳ thi olympic truyền thống 30.4 tại tp huế môn toán 11'', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 LẦN THỨ XIII TẠI THÀNH PHỐ HUẾ ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút Chú ý: Mỗi câu hỏi thí sinh làm 01 tờ giấy riêng biệt Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình sau:  y2 −x x + = e  y +1 3 log ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) + Câu (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy d số đo nhị diện [B,SC,D] 1500 Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo d Câu (4 điểm) Cho dãy số dương (an) a Chứng minh với số nguyên dương k : k  (  32 43 k + 1) k a a a   a a a a + + + + k ≤ k  k (k + 1)  32 k k −1  n b Biết lim ∑ a i = a ∈ R Đặt bn = a + a 1a + a 1a a + + n a 1a a n với n ≥ n →∞ i =1 Chứng minh dãy (bn) có giới hạn Câu (4 điểm) Cho hàm số f(x) = 2x – sinx Chứng minh tồn số b hàm số g, h thoả mãn đồng thời điều kiện sau: 1) g(x) = bx + h(x) với số thực x 2) h(x) hàm số tuần hoàn 3) f(g(x)) = x với số thực x Câu (4 điểm) Tìm tất số tự nhiên m, n cho đẳng thức sau đúng: 8m = 2m + n(2n-1)(2n-2) -HẾT Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 11 ĐIỂM NỘI DUNG Câu 1: Giải hệ phương trình  y − x2 x2 +1 = e y +1  3log ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) +  Đk: (1) (2) x + 2y +6 > x + y + > 2 0,5 Phương trình (1) ⇔ y – x = ln(x +1) – ln(y +1) ⇔ ln(x2+1)+ x2 +1 = ln(y2+1)+y2+1 Xét hàm số f(t) = lnt + t với t ≥ Phương trình (3) có dạng f(x2+1) = f(y2+1) Ta có f(t) đồng biến [1 ;+ ∞ ) Do (4) ⇔ x2+1 = y2+1 ⇔ x = ± y (3) (4) * Với x = -y , từ (2) ta log (6 − x) = , với x -1 0.5  x + = 32u Đặt 3log ( x + 2) = log ( x + 1) = 6u ⇒  3u  x +1 = u u 1 8 ⇒ 1+23u = 32u ⇔   +   = 9 9 u u (5) 1 8 Xét g(u) =   +   , g(u) hàm nghịch biến R có g(1) = nên 9 9 u = nghiệm (5) Với u = suy x = y = (thỏa mãn hệ) Vậy hệ có nghiệm (3 ;-3) , (7 ;7) 0.5 Câu 2: NỘI DUNG Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy d số đo nhị diện [B,SC,D] 1500 Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo d Ta có: BD ⊥ SC Dựng mặt phẳng qua BD vuông góc với SC P Ta có : ∠BPD = 150 2BP − BD BD Ta có: cos150 = =1− 2BP 2BP (1) Gọi M trung ểm BC Ta có SM BC = BP.SC BC = d, gọi h chiều cao hình chóp S.ABCD d2 d2 d (4h + d ) 2 Ta có: SM = h + ; SC = h + Suy ra: BP = 2( h + d ) 0.5 d2 d −3 (1) trở thành: − Suy ra: h = =− 2 4h + d VS.ABCD = ĐIỂM d3 h.dtABCD = −3 0.5 ĐIỂM NỘI DUNG Câu Cho dãy số dương (an) a Chứng minh với số nguyên dương k: (k + 1)k a   32 43 k a a a  ≤ + + + + a a a k k  k (k + 1)  32 k k −1  n b Biết lim ∑ a i = a ∈ R n →∞ i =1 Đặt bn = a + a 1a + a 1a a + + n a 1a a n với n ≥ Chứng minh dãy (bn) có giới hạn a)Ta có k 32 43 (k + 1) k (a1 2)(a2 )(a3 ) (ak ) = k a1 a2 a3 ak (k + 1) ⇒ k k −1 k a1 a2 a3 ak = (k + 1)k k 32 43 (k + 1) k (a1 2)(a2 )(a3 ) (ak )≤ k +1 k k −1  32 43 (k + 1) k  + + + + ( a 2) ( a ) ( a ) ( a ) k  k k −1   b) Từ câu a) suy 1 32 1 (n + 1)n bn ≤ (a1 2)( + + ) + (a2 )( + + ) + + (an )( ) n −1 1.2 n(n + 1) 2.3 n(n + 1) n(n + 1) n 1 1 1 1 Do : + + + = − + − + + − = 1− 1: Từ (1) (x,y)=1 suy : y2-1 chia hết cho x 2(x2-1) chia hết cho y Do 2(x2-1).(y2-1) chia hết cho xy Nhưng: 2(x2-1)(y2-1) = 2[x2y2-2xy-((x-y)2-1)] nên có: 2((x-y)2-1) chia hết cho xy (2) Chú ý: với x >1 từ (1) ta có x3 < y3 < 2x3 Thật : (1) ⇔ (y-x)(y2+xy+y2-1) = x3-x Với x>1 ta có x3-x>0.Lúc y>0 y2+xy+y2-1>0,nên y>x Ngoài ra: (x2-1)(2x3-y3) = x2[2(x3-x)] – (x2-1)y3 = x2(y3-y)-(x2-1)y3 = y(y2-x2) > Do đó: 2x3-y3 > y + Từ đó: 0